MateWiki - Contribuciones del usuario [es]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-07T15:29:01Z

Liam O'Hea Kith:

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda. En este trabajo se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente. En este caso, las "flechas" que representan el vector gradiente de temperatura, apuntan hacia la zona cálida más cercana del arco.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjunta, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. Adicionalmente, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\;\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho\;</math> , se procece a la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
 
 
El vector<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>solo tiene una componente en la dirección del vector<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math>, que es la dirección radial. No hay componente en la dirección del vector<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>, por lo que el campo no depende del ángulo<math>\;\theta\;</math>. Por lo tanto, el sentido del campo de vectores en el sólido va a depender únicamente de la magnitud del radio<math>\;\rho\;</math>, es decir, el campo es puramente radial. Atendiendo a la imagen se observa que el sentido de dicho campo es del centro hacia afuera. Esto es porque el factor que multiplica al vector unitario radial<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math> es siempre positivo para los valores de<math>\;\rho\;</math> entre los que está comprendido(<math>\;1\le \rho\le 2\;</math>).
 
Visualmente también se puede apreciar como la longitud de los vectores va creciendo a medida que se acercan al radio máximo <math>\;\rho=2\;</math>.
 
 
Para ilustrar el campo de vectores se ha utilizado Matlab y se han seguido los siguientes pasos para la programación del código:

1. Se construye una región semicircular (entre radios 1 y 2).

2. Se dibuja el mallado de sólido.

3. Se genera el campo de vectores radial que va creciendo a medida que las flechas se aproximan al radio máximo.

4. Se grafica (quiver) sobre la región.

[[Archivo: Imagen2_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
A continuación, se va a dibujar el sólido antes y después del desplazamiento. El vector posición de las partículas en el sólido resulta de la suma del vector de posición de los puntos del arco en reposo y el vector desplazamiento, que viene dado por la onda<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>. Dicha onda es transversal y su propagación por el sólido va a provocar un desplazamiento en los puntos interiores del arco.
 
 
Para la representación:
 
 
1. Se define la placa.

2. Se crea una malla polar y se convierte a cartesianas.

3. Se aplica un desplazamiento radial que deforma la placa.

4. Se dibuja lado a lado el sólido original y el deformado.

[[Archivo: Imagen1_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Radios de la placa
u = 1:h:2;

% Cálculo del nº aproximado de puntos
puntos = round(pi/h) + 1;

% Ángulos
v = linspace(0, pi, puntos);

% Malla polar
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas cartesianas sin deformar
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% -------- CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ----------------
% u_r = (1/5)*(rho - 1).*rho
u_r = (1/5) .* (rho - 1) .* rho;

% Componentes cartesianas del desplazamiento:
u_x = u_r .* cos(theta);
u_y = u_r .* sin(theta);

% Coordenadas deformadas:
XX = xx + u_x;
YY = yy + u_y;
% --------------------------------------------------

figure;

% ---- SUBPLOT 1: sólido sin deformar ----
subplot(1,2,1)
mesh(xx, yy, 0*xx); % dibujo plano
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido sin deformar');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','b');

% ---- SUBPLOT 2: sólido deformado ----
subplot(1,2,2)
mesh(XX, YY, 0*XX);
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido deformado por u(\rho,\theta)');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}
Como se puede observar en las imágenes adjuntadas, el sólido sufre una deformación radial. El desplazamiento radial<math>\;{u}(\rho)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;</math> es nulo para el radio mínimo<math>\;\rho=1\;</math> y va creciendo conforme se acerca al borde exterior<math>\;\rho=2\;</math>, donde el desplazamiento es el máximo de toda la región. En consecuencia, las semicircunferencias intermedias se desplazan hacia fuera, conservando su forma pero situándose a mayor distancia del centro. Esto produce una expansión gradual y continua del material en la dirección radial.

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==

[[Archivo:Capovectorialdetensionnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

[[Archivo:Tensordeformacionesnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Como las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> son nulas, no se puedan representar.

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero, por lo que no es posible representarlas.

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
 
 
En este caso, para el cálculo de la masa del sólido, se da como dato un campo escalar: la densidad. Por lo tanto, el resultado se va a obtener realizando una integral de superficie de la densidad. Al estar expresado el campo escalar en coordenadas cilíndricas, los parámetros y límites de integración también van a quedar definidos en este sistema de coordenadas. Esto no va a ser un problema puesto que en la introducción del artículo se dejó expresado el cambio y el dominio de las variables en dichas coordenadas cilíndricas.
 
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
*<math>M=\int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab.
{{matlab|codigo=
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad * jacobiano (IMPORTANTE!)
D = (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA))) .* RHO;
% Pesos del trapecio para rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
w_rho(end) = 0.5;
% Pesos del trapecio para theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Cálculo de la integral doble (forma matricial)
M = h_rho * h_theta * (w_theta' * D * w_rho);
% Resultado
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M);
}}
La masa aproximada es<math>\;M=24.65284</math>

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

*Se han usado diferentes programas de inteligencia artificial para la realización de este artículo: Gemini y Chatgpt.

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-07T11:50:51Z

Liam O'Hea Kith: /* Bibliografía */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda. En este trabajo se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente. En este caso, las "flechas" que representan el vector gradiente de temperatura, apuntan hacia la zona cálida más cercana del arco.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjunta, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. Adicionalmente, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\;\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho\;</math> , se procece a la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
 
 
El vector<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>solo tiene una componente en la dirección del vector<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math>, que es la dirección radial. No hay componente en la dirección del vector<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>, por lo que el campo no depende del ángulo<math>\;\theta\;</math>. Por lo tanto, el sentido del campo de vectores en el sólido va a depender únicamente de la magnitud del radio<math>\;\rho\;</math>, es decir, el campo es puramente radial. Atendiendo a la imagen se observa que el sentido de dicho campo es del centro hacia afuera. Esto es porque el factor que multiplica al vector unitario radial<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math> es siempre positivo para los valores de<math>\;\rho\;</math> entre los que está comprendido(<math>\;1\le \rho\le 2\;</math>).
 
Visualmente también se puede apreciar como la longitud de los vectores va creciendo a medida que se acercan al radio máximo <math>\;\rho=2\;</math>.
 
 
Para ilustrar el campo de vectores se ha utilizado Matlab y se han seguido los siguientes pasos para la programación del código:

1. Se construye una región semicircular (entre radios 1 y 2).

2. Se dibuja el mallado de sólido.

3. Se genera el campo de vectores radial que va creciendo a medida que las flechas se aproximan al radio máximo.

4. Se grafica (quiver) sobre la región.

[[Archivo: Imagen2_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
A continuación, se va a dibujar el sólido antes y después del desplazamiento. El vector posición de las partículas en el sólido resulta de la suma del vector de posición de los puntos del arco en reposo y el vector desplazamiento, que viene dado por la onda<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>. Dicha onda es transversal y su propagación por el sólido va a provocar un desplazamiento en los puntos interiores del arco.
 
 
Para la representación:
 
 
1. Se define la placa.

2. Se crea una malla polar y se convierte a cartesianas.

3. Se aplica un desplazamiento radial que deforma la placa.

4. Se dibuja lado a lado el sólido original y el deformado.

[[Archivo: Imagen1_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Radios de la placa
u = 1:h:2;

% Cálculo del nº aproximado de puntos
puntos = round(pi/h) + 1;

% Ángulos
v = linspace(0, pi, puntos);

% Malla polar
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas cartesianas sin deformar
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% -------- CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ----------------
% u_r = (1/5)*(rho - 1).*rho
u_r = (1/5) .* (rho - 1) .* rho;

% Componentes cartesianas del desplazamiento:
u_x = u_r .* cos(theta);
u_y = u_r .* sin(theta);

% Coordenadas deformadas:
XX = xx + u_x;
YY = yy + u_y;
% --------------------------------------------------

figure;

% ---- SUBPLOT 1: sólido sin deformar ----
subplot(1,2,1)
mesh(xx, yy, 0*xx); % dibujo plano
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido sin deformar');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','b');

% ---- SUBPLOT 2: sólido deformado ----
subplot(1,2,2)
mesh(XX, YY, 0*XX);
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido deformado por u(\rho,\theta)');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}
Como se puede observar en las imágenes adjuntadas, el sólido sufre una deformación radial. El desplazamiento radial<math>\;{u}(\rho)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;</math> es nulo para el radio mínimo<math>\;\rho=1\;</math> y va creciendo conforme se acerca al borde exterior<math>\;\rho=2\;</math>, donde el desplazamiento es el máximo de toda la región. En consecuencia, las semicircunferencias intermedias se desplazan hacia fuera, conservando su forma pero situándose a mayor distancia del centro. Esto produce una expansión gradual y continua del material en la dirección radial.

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==

[[Archivo:Capovectorialdetensionnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

[[Archivo:Tensordeformacionesnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Como las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> son nulas, no se puedan representar.

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero, por lo que no es posible representarlas.

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
 
 
En este caso, para el cálculo de la masa del sólido, se da como dato un campo escalar: la densidad. Por lo tanto, el resultado se va a obtener realizando una integral de superficie de la densidad. Al estar expresado el campo escalar en coordenadas cilíndricas, los parámetros y límites de integración también van a quedar definidos en este sistema de coordenadas. Esto no va a ser un problema puesto que en la introducción del artículo se dejó expresado el cambio y el dominio de las variables en dichas coordenadas cilíndricas.
 
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
*<math>M=\int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab.
{{matlab|codigo=
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad * jacobiano (IMPORTANTE!)
D = (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA))) .* RHO;
% Pesos del trapecio para rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
w_rho(end) = 0.5;
% Pesos del trapecio para theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Cálculo de la integral doble (forma matricial)
M = h_rho * h_theta * (w_theta' * D * w_rho);
% Resultado
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M);
}}
La masa aproximada es<math>\;M=24.65284</math>

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

==Bibliografía==
*Se han usado diferentes programas de inteligencia artificial para la realización de este trabajo: Gemini y Chatgpt.
*Se han consultado artículos de años anteriores.
*Apuntes de clase y moodle.

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-06T16:57:47Z

Liam O'Hea Kith: /* Masa aproximando la integral numéricamente */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda. En este trabajo se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente. En este caso, las "flechas" que representan el vector gradiente de temperatura, apuntan hacia la zona cálida más cercana del arco.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjunta, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. Adicionalmente, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\;\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho\;</math> , se procece a la representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
 
 
El vector<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>solo tiene una componente en la dirección del vector<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math>, que es la dirección radial. No hay componente en la dirección del vector<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>, por lo que el campo no depende del ángulo<math>\;\theta\;</math>. Por lo tanto, el sentido del campo de vectores en el sólido va a depender únicamente de la magnitud del radio<math>\;\rho\;</math>, es decir, el campo es puramente radial. Atendiendo a la imagen se observa que el sentido de dicho campo es del centro hacia afuera. Esto es porque el factor que multiplica al vector unitario radial<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math> es siempre positivo para los valores de<math>\;\rho\;</math> entre los que está comprendido(<math>\;1\le \rho\le 2\;</math>).
 
Visualmente también se puede apreciar como la longitud de los vectores va creciendo a medida que se acercan al radio máximo <math>\;\rho=2\;</math>.
 
 
Para ilustrar el campo de vectores se ha utilizado Matlab y se han seguido los siguientes pasos para la programación del código:

1. Se construye una región semicircular (entre radios 1 y 2).

2. Se dibuja el mallado de sólido.

3. Se genera el campo de vectores radial que va creciendo a medida que las flechas se aproximan al radio máximo.

4. Se grafica (quiver) sobre la región.

[[Archivo: Imagen2_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
A continuación, se representará el sólido antes y después de la deformación producida por el campo de presiones <math>\overrightarrow{u}</math> en coordenadas cartesianas (calculado en el apartado anterior). Para ello se considera el campo de vectores <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math>. La deformación producida por el campo afecta a todo el arco, aunque la magnitud del cambio es relativamente leve.

En los siguientes gráficos se puede observar el antes y el después del mismo.

1. Se define una placa curva (un semianillo entre radios 1 y 2).

2. Se crea una malla polar y la convierte a cartesiana.

3. Se aplica un desplazamiento radial que deforma la placa.

4. Se dibuja lado a lado el sólido original y el deformado.

[[Archivo: Imagen1_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Radios de la placa
u = 1:h:2;

% Cálculo del nº aproximado de puntos
puntos = round(pi/h) + 1;

% Ángulos
v = linspace(0, pi, puntos);

% Malla polar
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas cartesianas sin deformar
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% -------- CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ----------------
% u_r = (1/5)*(rho - 1).*rho
u_r = (1/5) .* (rho - 1) .* rho;

% Componentes cartesianas del desplazamiento:
u_x = u_r .* cos(theta);
u_y = u_r .* sin(theta);

% Coordenadas deformadas:
XX = xx + u_x;
YY = yy + u_y;
% --------------------------------------------------

figure;

% ---- SUBPLOT 1: sólido sin deformar ----
subplot(1,2,1)
mesh(xx, yy, 0*xx); % dibujo plano
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido sin deformar');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','b');

% ---- SUBPLOT 2: sólido deformado ----
subplot(1,2,2)
mesh(XX, YY, 0*XX);
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido deformado por u(\rho,\theta)');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==

[[Archivo:Capovectorialdetensionnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

[[Archivo:Tensordeformacionesnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Como las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> son nulas, no se puedan representar.

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero, por lo que no es posible representarlas.

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad * jacobiano (IMPORTANTE!)
D = (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA))) .* RHO;
% Pesos del trapecio para rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
w_rho(end) = 0.5;
% Pesos del trapecio para theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Cálculo de la integral doble (forma matricial)
M = h_rho * h_theta * (w_theta' * D * w_rho);
% Resultado
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M);
}}
La masa aproximada es: 24.65284

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

==Bibliografía==

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-06T15:42:30Z

Liam O'Hea Kith:

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente. En este caso, las "flechas" que representan el vector gradiente de temperatura, apuntan hacia la zona cálida más cercana del arco.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjunta, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. Adicionalmente, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math> , se procece a la representación de el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El vector<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>solo tiene una componente en la dirección del vector<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math>, que es la dirección radial. No hay componente en la dirección del vector<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>, por lo que el campo no depende del ángulo<math>\;\theta\;</math>. Por lo tanto, el sentido del campo de vectores en el sólido va a depender únicamente de la magnitud del radio<math>\;\rho\;</math>, es decir, el campo es puramente radial. Atendiendo a la imagen se observa que el sentido de dicho campo es del centro hacia afuera. Esto es porque el factor que multiplica al vector unitario radial<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math> es siempre positivo para los valores de<math>\;\rho\;</math> entre los que está comprendido(<math>\;1\le \rho\le 2\;</math>).
 
Visualmente también se puede apreciar como la longitud de los vectores va creciendo a medida que se acercan al radio máximo <math>\;\rho=2\;</math>.

1. Se construye una región semicircular (entre radios 1 y 2).

2. Dibujamos su malla (líneas radiales y circunferenciales).

3. Generando un campo vectorial radial que crece con el radio.

4. Se grafica con flechas (quiver) sobre la región.

[[Archivo: Imagen2_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
A continuación, se representará el sólido antes y después de la deformación producida por el campo de presiones <math>\overrightarrow{u}</math> en coordenadas cartesianas (calculado en el apartado anterior). Para ello se considera el campo de vectores <math>\vec u(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math>. La deformación producida por el campo afecta a todo el arco, aunque la magnitud del cambio es relativamente leve.

En los siguientes gráficos se puede observar el antes y el después del mismo.

1. Se define una placa curva (un semianillo entre radios 1 y 2).

2. Se crea una malla polar y la convierte a cartesiana.

3. Se aplica un desplazamiento radial que deforma la placa.

4. Se dibuja lado a lado el sólido original y el deformado.

[[Archivo: Imagen1_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Radios de la placa
u = 1:h:2;

% Cálculo del nº aproximado de puntos
puntos = round(pi/h) + 1;

% Ángulos
v = linspace(0, pi, puntos);

% Malla polar
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas cartesianas sin deformar
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% -------- CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ----------------
% u_r = (1/5)*(rho - 1).*rho
u_r = (1/5) .* (rho - 1) .* rho;

% Componentes cartesianas del desplazamiento:
u_x = u_r .* cos(theta);
u_y = u_r .* sin(theta);

% Coordenadas deformadas:
XX = xx + u_x;
YY = yy + u_y;
% --------------------------------------------------

figure;

% ---- SUBPLOT 1: sólido sin deformar ----
subplot(1,2,1)
mesh(xx, yy, 0*xx); % dibujo plano
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido sin deformar');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','b');

% ---- SUBPLOT 2: sólido deformado ----
subplot(1,2,2)
mesh(XX, YY, 0*XX);
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido deformado por u(\rho,\theta)');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==

[[Archivo:Capovectorialdetensionnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

[[Archivo:Tensordeformacionesnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Como las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> son nulas, no se puedan representar.

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero, por lo que no es posible representarlas.

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

==Bibliografía==

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-06T12:59:02Z

Liam O'Hea Kith: /* Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente. En este caso, las "flechas" que representan el vector gradiente de temperatura, apuntan hacia la zona cálida más cercana del arco.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjunta, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. Adicionalmente, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\vec e(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math> , se procece a la representación de el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. El vector<math>\;\overrightarrow{u}\;</math>solo tiene una componente en la dirección del vector<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math>, que es la dirección radial. No hay componente en la dirección del vector<math>\;\;\vec{e}_{\theta}\;</math>, por lo que el campo no depende del ángulo<math>\;\theta\;</math>. Por lo tanto, el sentido del campo de vectores en el sólido va a depender únicamente de la magnitud del radio<math>\;\rho\;</math>, es decir, el campo es puramente radial. Atendiendo a la imagen se observa que el sentido de dicho campo es del centro hacia afuera. Esto es porque el factor que multiplica al vector unitario radial<math>\;\vec{e}_{\rho}\;</math> es siempre positivo para los valores de<math>\;\rho\;</math> entre los que está comprendido(<math>\;1\le \rho\le 2\;</math>).
 
Visualmente también se puede apreciar como la longitud de los vectores va creciendo a medida que se acercan al radio máximo <math>\;\rho=2\;</math>.

1. Se construye una región semicircular (entre radios 1 y 2).

2. Dibujamos su malla (líneas radiales y circunferenciales).

3. Generando un campo vectorial radial que crece con el radio.

4. Se grafica con flechas (quiver) sobre la región.

[[Archivo: Imagen2_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
A continuación, se representará el sólido antes y después de la deformación producida por el campo de presiones <math>\overrightarrow{u}</math> en coordenadas cartesianas (calculado en el apartado anterior). Considerando el campo de vectores <math>\vec e(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math>. Podemos observar que la superficie del arco se ve ligeramente afectada, y claramente cómo afecta el campo en ella significativamente. A partir de los siguientes gráficos podemos observar el antes y el después del mismo.

1. Se define una placa curva (un semianillo entre radios 1 y 2).

2. Creamos una malla polar y la convierte a cartesiana.

3. Aplicando un desplazamiento radial que deforma la placa.

4. Se dibuja lado a lado el sólido original y el deformado.

[[Archivo: Imagen1_campos.jpg |800px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores antes y después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Radios de la placa
u = 1:h:2;

% Cálculo del nº aproximado de puntos
puntos = round(pi/h) + 1;

% Ángulos
v = linspace(0, pi, puntos);

% Malla polar
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Coordenadas cartesianas sin deformar
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% -------- CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ----------------
% u_r = (1/5)*(rho - 1).*rho
u_r = (1/5) .* (rho - 1) .* rho;

% Componentes cartesianas del desplazamiento:
u_x = u_r .* cos(theta);
u_y = u_r .* sin(theta);

% Coordenadas deformadas:
XX = xx + u_x;
YY = yy + u_y;
% --------------------------------------------------

figure;

% ---- SUBPLOT 1: sólido sin deformar ----
subplot(1,2,1)
mesh(xx, yy, 0*xx); % dibujo plano
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido sin deformar');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','b');

% ---- SUBPLOT 2: sólido deformado ----
subplot(1,2,2)
mesh(XX, YY, 0*XX);
view(2)
axis equal
axis([-3 3 -1 3])
set(gca,'DataAspectRatio',[1 1 1]);
title('Sólido deformado por u(\rho,\theta)');
set(findobj(gca,'Type','Surface'),'EdgeColor','r');
}}

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==

[[Archivo:Capovectorialdetensionnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

[[Archivo:Tensordeformacionesnormal.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Como las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> son nulas, no se puedan representar.

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero, por lo que no es posible representarlas.

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-02T12:29:03Z

Liam O'Hea Kith: /* Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjuntada, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. De manera adicional, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\vec e(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math> , se procece a la representation de el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Ejerciciopolo.jpeg|500px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
[[Archivo:Ejerciciopolo2.jpeg|500px|miniatura|derecha|Antes/Después]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas no implica que no se puedan representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordendas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero por lo que no hay puntos en los que sea mayor. Esto no quita que no sea posible representarlas. Por otra parte, si hay mayor o menor deformación en el campo, aunque depende completamente de las tensiones normales
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordenadas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Sigma
sigma_xx = (3/5) * (2*rho - 1);
sigma_xy = zeros(size(rho));
sigma_xz = zeros(size(rho));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = (3/5) * rho;
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tension con la componente normal y tangencial
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz;

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Representación de la mayor deformación del campo
figure;
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-02T12:28:53Z

Liam O'Hea Kith: /* Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjuntada, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. De manera adicional, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\vec e(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math> , se procece a la representation de el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Ejerciciopolo.jpeg|500px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
[[Archivo:Ejerciciopolo2.jpeg|500px|miniatura|derecha|Antes/Después]]
 
 
 
 
 
 

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas no implica que no se puedan representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordendas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero por lo que no hay puntos en los que sea mayor. Esto no quita que no sea posible representarlas. Por otra parte, si hay mayor o menor deformación en el campo, aunque depende completamente de las tensiones normales
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordenadas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Sigma
sigma_xx = (3/5) * (2*rho - 1);
sigma_xy = zeros(size(rho));
sigma_xz = zeros(size(rho));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = (3/5) * rho;
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tension con la componente normal y tangencial
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz;

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Representación de la mayor deformación del campo
figure;
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-02T12:28:27Z

Liam O'Hea Kith: /* Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjuntada, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. De manera adicional, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\vec e(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math> , se procece a la representation de el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Ejerciciopolo.jpeg|500px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
[[Archivo:Ejerciciopolo2.jpeg|500px|miniatura|derecha|Antes/Después]]

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas no implica que no se puedan representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordendas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero por lo que no hay puntos en los que sea mayor. Esto no quita que no sea posible representarlas. Por otra parte, si hay mayor o menor deformación en el campo, aunque depende completamente de las tensiones normales
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordenadas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Sigma
sigma_xx = (3/5) * (2*rho - 1);
sigma_xy = zeros(size(rho));
sigma_xz = zeros(size(rho));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = (3/5) * rho;
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tension con la componente normal y tangencial
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz;

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Representación de la mayor deformación del campo
figure;
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Ejerciciopolo2.jpeg

2025-12-02T12:27:49Z

Liam O'Hea Kith:

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-02T12:27:19Z

Liam O'Hea Kith: /* Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjuntada, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. De manera adicional, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\vec e(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math> , se procece a la representation de el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Ejerciciopolo.jpeg|500px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
[[Archivo:Ejerciciopolo.jpeg|500px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]

==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas no implica que no se puedan representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordendas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero por lo que no hay puntos en los que sea mayor. Esto no quita que no sea posible representarlas. Por otra parte, si hay mayor o menor deformación en el campo, aunque depende completamente de las tensiones normales
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordenadas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Sigma
sigma_xx = (3/5) * (2*rho - 1);
sigma_xy = zeros(size(rho));
sigma_xz = zeros(size(rho));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = (3/5) * rho;
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tension con la componente normal y tangencial
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz;

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Representación de la mayor deformación del campo
figure;
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-02T12:23:08Z

Liam O'Hea Kith: /* Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjuntada, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. De manera adicional, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\vec e(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math> , se procece a la representation de el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Ejerciciopolo.jpeg|500px|miniatura|derecha|Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido]]
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

% Crear figura
figure;

% Dibujar líneas radiales y circunferencias
plot(xx, yy, 'r');
hold on
plot(xx', yy', 'r');

% Ajustes visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Sección de arco con campo vectorial radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
grid on

% --- Campo vectorial radial ---
r1 = 1;
r2 = 2;
theta_vec = linspace(0, pi, 20); % menos puntos para flechas
rho_vec = linspace(r1, r2, 20);
[R, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);

% Componente radial
U_rho = (1/5) * (R - 1) .* R;
U_theta = zeros(size(U_rho));

% Convertir a cartesianas
U = U_rho .* cos(THETA) - U_theta .* sin(THETA);
V = U_rho .* sin(THETA) + U_theta .* cos(THETA);

% Graficar flechas
quiver(X, Y, U, V, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1.2); % azul, grosor 1.2

hold off
}}

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas no implica que no se puedan representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordendas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero por lo que no hay puntos en los que sea mayor. Esto no quita que no sea posible representarlas. Por otra parte, si hay mayor o menor deformación en el campo, aunque depende completamente de las tensiones normales
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordenadas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Sigma
sigma_xx = (3/5) * (2*rho - 1);
sigma_xy = zeros(size(rho));
sigma_xz = zeros(size(rho));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = (3/5) * rho;
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tension con la componente normal y tangencial
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz;

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Representación de la mayor deformación del campo
figure;
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-02T12:09:50Z

Liam O'Hea Kith: /* Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjuntada, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. De manera adicional, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\vec e(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math> , se procece a la representation de el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Ejerciciopolo.jpeg|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]
{{matlab|codigo=
clc
% PLACA SIN DEFORMAR
paso_muestreo = 2/10;
rho = 1:paso_muestreo:2;
alfa = atan(1/2);
theta = linspace(alfa,pi-alfa,pi/paso_muestreo);
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO.*cos(THETA);
y = RHO.*sin(THETA);
subplot(1,2,1)
Q = mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(Q,'EdgeColor','b');
axis ([-3,3,-1,3])
title('PLACA SIN DEFORMAR');
% PLACA DEFORMADA
subplot(1,2,2)
A = (sin(THETA).*cos(THETA))./2;
B = (sin(THETA).^2)./2;
X = x+A;
Y = y+B;
S = mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(S,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
title('PLACA DEFORMADA');
% COMPARACIÓN AMBAS PLACAS
hold on
figure
S = mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(S,'EdgeColor','r');
title('COMPARACIÓN DE AMBAS PLACAS');
hold on
Q = mesh(x,y,0*x);
set(Q,'EdgeColor','b');
hold off]]
}}

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas no implica que no se puedan representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordendas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero por lo que no hay puntos en los que sea mayor. Esto no quita que no sea posible representarlas. Por otra parte, si hay mayor o menor deformación en el campo, aunque depende completamente de las tensiones normales
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordenadas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Sigma
sigma_xx = (3/5) * (2*rho - 1);
sigma_xy = zeros(size(rho));
sigma_xz = zeros(size(rho));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = (3/5) * rho;
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tension con la componente normal y tangencial
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz;

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Representación de la mayor deformación del campo
figure;
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-02T11:47:51Z

Liam O'Hea Kith: /* Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjuntada, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. De manera adicional, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\vec e(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math> , se procece a la representation de el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Ejerciciopolo.jpeg|100px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas no implica que no se puedan representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordendas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero por lo que no hay puntos en los que sea mayor. Esto no quita que no sea posible representarlas. Por otra parte, si hay mayor o menor deformación en el campo, aunque depende completamente de las tensiones normales
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordenadas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Sigma
sigma_xx = (3/5) * (2*rho - 1);
sigma_xy = zeros(size(rho));
sigma_xz = zeros(size(rho));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = (3/5) * rho;
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tension con la componente normal y tangencial
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz;

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Representación de la mayor deformación del campo
figure;
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-12-02T11:47:37Z

Liam O'Hea Kith: /* Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar los valores mínimo y máximo se van a calcular y evaluar los puntos críticos de la función. Para hacer el estudio se va a hacer el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos.
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Para el cálculo de los puntos críticos, se van a igualar las derivadas parciales a cero, es decir:<math>\;\frac{\partial T}{\partial \rho}=0\;</math> y <math>\;\frac{\partial T}{\partial \theta}=0</math>:
 
*<math>\frac{\partial T}{\partial \rho}=2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}</math>
Se iguala la expresión a cero: <math>\;2\rho(cos\theta-sen\theta)^{2}=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si<math>\;cos\theta=sen\theta\;</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>. Sustituyendo el valor obtenido en la función temperatura se observa que se obtiene la temperatura mínima, que es <math>T=0</math>. Por lo tanto, en este caso, es independiente el valor de <math>\;rho\;</math> para hallar el valor mínimo de la temperatura.
*<math>\frac{\partial T}{\partial \theta}=-2\rho^{2}(cos\theta^{2}-sen\theta^{2})=-2\rho^{2}cos2\theta</math>
Se iguala la expresión a cero:<math>-2\rho^{2}cos2\theta=0</math>. Como <math>\rho>0\;</math> la ecuación solo se satisface si <math>\;cos2\theta=0</math>, es decir, si <math>\;\theta=\frac{3\pi}{4}\;</math>o si <math>\;\theta=\frac{\pi}{4}\;</math>, que se descarta como candidato a máximo por el estudio anterior. Sustituyendo en la función temperatura: <math>\;T(\rho, \frac{3\pi}{4}) = \rho^2 (\cos(\frac{3\pi}{4}) - \sin(\frac{3\pi}{4}))^2 = \rho^2 (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \rho^2 (-\sqrt{2})^2</math>
 
 
El término <math>\;\rho^2\;</math> representa la dependencia de la temperatura con la distancia al origen. Para maximizar<math>\;T</math>, el radio tiene que ser el máximo, es decir, 2. Sustituyendo en la función temperatura:<math>\;T(2,\frac{3\pi}{4})=2^2 (-\sqrt{2})^2=8\;</math>. De esta manera, se obtendría el valor máximo.
 
 
Estos resultados se pueden apreciar de manera visual con la imagen que se ha adjuntado. Se puede observar que los tonos más fríos se concentran a lo largo de una línea recta: <math>\;x=y</math> (<math>\theta = \pi/4</math>). Esto demuestra que la temperatura mínima no depende de la distancia al origen <math>\;\rho\;</math>, sino únicamente de la condición angular<math>\;\cos\theta = \sin\theta</math>. Por otra parte, los valores más altos de la temperatura están representados por colores más cálidos, que están situados en el borde exterior del arco (<math>\rho=2</math>) en específico sobre la línea <math>y=-x</math>, es decir para <math>\;\theta = 3\pi/4</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Al estar expresada la temperatura en coordenadas cartesianas, se calcula el gradiente de la temperatura derivando parcialmente de x e y, obteniendo:
*<math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}
Con la imagen adjuntada, se puede observar que el gradiente de la función temperatura es ortogonal a las líneas de nivel. De manera adicional, se va a demostrar dicha ortogonalidad de manera analítica.
 
 
Una curva de nivel de una función escalar <math>\;T(x,y)\;</math> es el conjunto de todos los puntos <math>\;(x,y)\;</math> donde la función tiene valor constante<math>\;T(x,y)=C\leftrightarrow (x-y)^{2}=C</math>.
 
 
El vector desplazamiento de una partícula sobre la curva de nivel sería<math>\;dr\;</math> y, con el razonamiento anterior, se observa que la temperatura no cambia con el desplazamiento porque es la derivada de una constante, es decir:<math>\;\nabla T=0\;</math>. Por lo tanto, sobre cualquier curva de nivel debe de cumplirse que<math>\;\nabla T\cdot dr=0\;</math>.Esta igualdad indica que el producto escalar entre el gradiente y el vector desplazamiento es nulo, lo que solo ocurre cuando ambos vectores son perpendiculares.

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==
Considerando el campo de vectores <math>\vec e(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\vec e_\rho</math> , se procece a la representation de el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Ejerciciopolo.jpeg|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en Matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera. Esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El concepto de rotacional se utiliza para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto. Se puede calcular, de manera concisa, como un producto vectorial. Aplicado a este caso, el rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
Al ser el vector rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> nulo, no se representará en Matlab.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir
*<math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
Se realizan las operaciones para obtener dichas tensiones tangenciales:
*<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
Aunque las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math> sean nulas no implica que no se puedan representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordendas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> , es decir:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>
 
Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado 8:
*<math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
*<math>\left(\frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\vec e_{\theta}\right)=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>
 
Se obtienen, entonces, dichas tensiones tangenciales:
*<math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |= \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 0\\\frac{1}{\rho}\\0 \end{pmatrix}\right|= 0 </math>
 
 
Al igual que en el apartado anterior, las tensiones tangenciales son cero por lo que no hay puntos en los que sea mayor. Esto no quita que no sea posible representarlas. Por otra parte, si hay mayor o menor deformación en el campo, aunque depende completamente de las tensiones normales
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_theta_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

[rho, theta] = meshgrid(u, v);

%Cambio a coordenadas cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Sigma
sigma_xx = (3/5) * (2*rho - 1);
sigma_xy = zeros(size(rho));
sigma_xz = zeros(size(rho));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = (3/5) * rho;
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tension con la componente normal y tangencial
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz;

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')

%Representación de la mayor deformación del campo
figure;
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Ejerciciopolo.jpeg

2025-12-02T11:46:58Z

Liam O'Hea Kith:

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-30T18:28:47Z

Liam O'Hea Kith: /* . Divergencia de \overrightarrow{u} */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar el mínimo, se busca la derivada de la función temperatura y se iguala a cero, quedando la siguiente ecuación:
*<math>x-y=0\to x=y</math>.
De esta manera se demuestra que la temperatura mínima del sólido es de 0,00ºC y que se alcanza en todos aquellos puntos donde la variable x es igual a la variable y. La temperatura irá creciendo hacia ambos lados de la recta<math>\;x=y</math>
 
Para maximizar la temperatura se procede de la misma manera, pero se va a realizar el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Se expresa la ecuación <math>\;x-y=0\;</math> en coordenadas cilíndricas obteniendo:<math>\;\rho(cos\theta - sen\theta)=0</math>. Se calcula el valor absoluto de <math>\;\left|cos\theta - sen\theta \right|\;</math> y se observa que se maximiza cuando el radio es máximo, es decir, cuando <math>\rho=2\;</math> y cuando <math>\theta=0\;</math> o <math>\;\theta=\pi</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Se calcula el gradiente de la temperatura derivando respecto de x e y, obteniendo <math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

Al representarlo gráficamente, se observa que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera, esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>. 
En resumen, la imagen muestra que en esta región del espacio el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> aumenta a medida que aumenta el radio sin importar la dirección.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
No se representará el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> en matlab porque es 0.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir, <math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
 
 

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior: <math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} y \left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
 

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
 

Aunque las tensiones tangenciales sean 0 eso no implica que no se pueda representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Tensor de tensiones sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

% Magnitud del vector tangencial
Tt_mag = sqrt(Ttx.^2 + Tty.^2 + Ttz.^2);

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')
%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>.

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-30T18:21:37Z

Liam O'Hea Kith: /* . Divergencia de \overrightarrow{u} */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar el mínimo, se busca la derivada de la función temperatura y se iguala a cero, quedando la siguiente ecuación:
*<math>x-y=0\to x=y</math>.
De esta manera se demuestra que la temperatura mínima del sólido es de 0,00ºC y que se alcanza en todos aquellos puntos donde la variable x es igual a la variable y. La temperatura irá creciendo hacia ambos lados de la recta<math>\;x=y</math>
 
Para maximizar la temperatura se procede de la misma manera, pero se va a realizar el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Se expresa la ecuación <math>\;x-y=0\;</math> en coordenadas cilíndricas obteniendo:<math>\;\rho(cos\theta - sen\theta)=0</math>. Se calcula el valor absoluto de <math>\;\left|cos\theta - sen\theta \right|\;</math> y se observa que se maximiza cuando el radio es máximo, es decir, cuando <math>\rho=2\;</math> y cuando <math>\theta=0\;</math> o <math>\;\theta=\pi</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Se calcula el gradiente de la temperatura derivando respecto de x e y, obteniendo <math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

Al representarlo gráficamente, se observa que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera, esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>. 
También existe una simetría angular, es decir, si se fija un radio el color y valor de la divergencia será el mismo sin importar el ángulo <math> \theta </math>, esto sucede porque la función de la divergencia no depende de <math> \theta </math>.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
No se representará el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> en matlab porque es 0.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir, <math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
 
 

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior: <math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} y \left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
 

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
 

Aunque las tensiones tangenciales sean 0 eso no implica que no se pueda representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Tensor de tensiones sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

% Magnitud del vector tangencial
Tt_mag = sqrt(Ttx.^2 + Tty.^2 + Ttz.^2);

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')
%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>.

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-30T18:15:43Z

Liam O'Hea Kith: /* . Divergencia de \overrightarrow{u} */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar el mínimo, se busca la derivada de la función temperatura y se iguala a cero, quedando la siguiente ecuación:
*<math>x-y=0\to x=y</math>.
De esta manera se demuestra que la temperatura mínima del sólido es de 0,00ºC y que se alcanza en todos aquellos puntos donde la variable x es igual a la variable y. La temperatura irá creciendo hacia ambos lados de la recta<math>\;x=y</math>
 
Para maximizar la temperatura se procede de la misma manera, pero se va a realizar el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Se expresa la ecuación <math>\;x-y=0\;</math> en coordenadas cilíndricas obteniendo:<math>\;\rho(cos\theta - sen\theta)=0</math>. Se calcula el valor absoluto de <math>\;\left|cos\theta - sen\theta \right|\;</math> y se observa que se maximiza cuando el radio es máximo, es decir, cuando <math>\rho=2\;</math> y cuando <math>\theta=0\;</math> o <math>\;\theta=\pi</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Se calcula el gradiente de la temperatura derivando respecto de x e y, obteniendo <math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

Al representarlo gráficamente, se observa que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}
 
Observando la representación realizada en matlab se puede apreciar que la variación es radial, los colores cambian progresivamente del centro hacia afuera, esto sucede porque la fórmula de la divergencia depende linealmente de <math> \rho </math>.

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
No se representará el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> en matlab porque es 0.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir, <math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
 
 

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior: <math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} y \left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
 

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
 

Aunque las tensiones tangenciales sean 0 eso no implica que no se pueda representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Tensor de tensiones sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

% Magnitud del vector tangencial
Tt_mag = sqrt(Ttx.^2 + Tty.^2 + Ttz.^2);

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')
%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>.

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-30T18:04:57Z

Liam O'Hea Kith: /* . Rotacional de \overrightarrow{u} */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar el mínimo, se busca la derivada de la función temperatura y se iguala a cero, quedando la siguiente ecuación:
*<math>x-y=0\to x=y</math>.
De esta manera se demuestra que la temperatura mínima del sólido es de 0,00ºC y que se alcanza en todos aquellos puntos donde la variable x es igual a la variable y. La temperatura irá creciendo hacia ambos lados de la recta<math>\;x=y</math>
 
Para maximizar la temperatura se procede de la misma manera, pero se va a realizar el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Se expresa la ecuación <math>\;x-y=0\;</math> en coordenadas cilíndricas obteniendo:<math>\;\rho(cos\theta - sen\theta)=0</math>. Se calcula el valor absoluto de <math>\;\left|cos\theta - sen\theta \right|\;</math> y se observa que se maximiza cuando el radio es máximo, es decir, cuando <math>\rho=2\;</math> y cuando <math>\theta=0\;</math> o <math>\;\theta=\pi</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Se calcula el gradiente de la temperatura derivando respecto de x e y, obteniendo <math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

Al representarlo gráficamente, se observa que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.
 
No se representará el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> en matlab porque es 0.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir, <math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
 
 

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior: <math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} y \left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
 

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
 

Aunque las tensiones tangenciales sean 0 eso no implica que no se pueda representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Tensor de tensiones sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

% Magnitud del vector tangencial
Tt_mag = sqrt(Ttx.^2 + Tty.^2 + Ttz.^2);

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')
%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>.

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-30T18:04:12Z

Liam O'Hea Kith: /* . Rotacional de u */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar el mínimo, se busca la derivada de la función temperatura y se iguala a cero, quedando la siguiente ecuación:
*<math>x-y=0\to x=y</math>.
De esta manera se demuestra que la temperatura mínima del sólido es de 0,00ºC y que se alcanza en todos aquellos puntos donde la variable x es igual a la variable y. La temperatura irá creciendo hacia ambos lados de la recta<math>\;x=y</math>
 
Para maximizar la temperatura se procede de la misma manera, pero se va a realizar el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Se expresa la ecuación <math>\;x-y=0\;</math> en coordenadas cilíndricas obteniendo:<math>\;\rho(cos\theta - sen\theta)=0</math>. Se calcula el valor absoluto de <math>\;\left|cos\theta - sen\theta \right|\;</math> y se observa que se maximiza cuando el radio es máximo, es decir, cuando <math>\rho=2\;</math> y cuando <math>\theta=0\;</math> o <math>\;\theta=\pi</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Se calcula el gradiente de la temperatura derivando respecto de x e y, obteniendo <math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

Al representarlo gráficamente, se observa que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}

==. Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>==
El rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir, <math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
 
 

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior: <math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} y \left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
 

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
 

Aunque las tensiones tangenciales sean 0 eso no implica que no se pueda representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Tensor de tensiones sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

% Magnitud del vector tangencial
Tt_mag = sqrt(Ttx.^2 + Tty.^2 + Ttz.^2);

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')
%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>.

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-30T18:03:34Z

Liam O'Hea Kith: /* . Divergencia de u */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar el mínimo, se busca la derivada de la función temperatura y se iguala a cero, quedando la siguiente ecuación:
*<math>x-y=0\to x=y</math>.
De esta manera se demuestra que la temperatura mínima del sólido es de 0,00ºC y que se alcanza en todos aquellos puntos donde la variable x es igual a la variable y. La temperatura irá creciendo hacia ambos lados de la recta<math>\;x=y</math>
 
Para maximizar la temperatura se procede de la misma manera, pero se va a realizar el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Se expresa la ecuación <math>\;x-y=0\;</math> en coordenadas cilíndricas obteniendo:<math>\;\rho(cos\theta - sen\theta)=0</math>. Se calcula el valor absoluto de <math>\;\left|cos\theta - sen\theta \right|\;</math> y se observa que se maximiza cuando el radio es máximo, es decir, cuando <math>\rho=2\;</math> y cuando <math>\theta=0\;</math> o <math>\;\theta=\pi</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Se calcula el gradiente de la temperatura derivando respecto de x e y, obteniendo <math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

Al representarlo gráficamente, se observa que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==. Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}

==. Rotacional de u==
El rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir, <math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
 
 

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior: <math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} y \left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
 

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
 

Aunque las tensiones tangenciales sean 0 eso no implica que no se pueda representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Tensor de tensiones sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

% Magnitud del vector tangencial
Tt_mag = sqrt(Ttx.^2 + Tty.^2 + Ttz.^2);

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')
%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>.

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-30T18:00:46Z

Liam O'Hea Kith: /* . Divergencia de u */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar el mínimo, se busca la derivada de la función temperatura y se iguala a cero, quedando la siguiente ecuación:
*<math>x-y=0\to x=y</math>.
De esta manera se demuestra que la temperatura mínima del sólido es de 0,00ºC y que se alcanza en todos aquellos puntos donde la variable x es igual a la variable y. La temperatura irá creciendo hacia ambos lados de la recta<math>\;x=y</math>
 
Para maximizar la temperatura se procede de la misma manera, pero se va a realizar el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Se expresa la ecuación <math>\;x-y=0\;</math> en coordenadas cilíndricas obteniendo:<math>\;\rho(cos\theta - sen\theta)=0</math>. Se calcula el valor absoluto de <math>\;\left|cos\theta - sen\theta \right|\;</math> y se observa que se maximiza cuando el radio es máximo, es decir, cuando <math>\rho=2\;</math> y cuando <math>\theta=0\;</math> o <math>\;\theta=\pi</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Se calcula el gradiente de la temperatura derivando respecto de x e y, obteniendo <math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

Al representarlo gráficamente, se observa que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==. Divergencia de u==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}

==. Rotacional de u==
El rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir, <math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
 
 

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior: <math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} y \left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
 

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
 

Aunque las tensiones tangenciales sean 0 eso no implica que no se pueda representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Tensor de tensiones sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

% Magnitud del vector tangencial
Tt_mag = sqrt(Ttx.^2 + Tty.^2 + Ttz.^2);

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')
%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>.

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-30T17:59:11Z

Liam O'Hea Kith: /* . Divergencia de u */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==. Definición de las características del arco==
=== El arco===
La figura sobre la que se va a trabajar en este artículo es un arco o semi-anillo. Dicho arco está comprendido entre un radio mínimo de 1 y un radio máximo de 2. Por lo tanto, el dominio del arco queda comprendido dentro del siguiente intervalo:<math>\;1\le \sqrt[]{y^{2}+x^{2}}\le 2\;</math>, pero, al tratarse de un semi-anillo, queda restringido al semiplano superior, es decir, para <math>\;y\ge 0</math>
 
 
Sabiendo las condiciones anteriores, se pueden expresar, también, las coordenadas cilíndricas que describen el arco. El radio queda comprendido entre 1 y 2, el ángulo limitado al semiplano superior y la altura libre:
*<math>\rho\in \left[ 1,2 \right]</math>
*<math>\theta\in \left[ 0,\pi \right]</math>
 
Por otra parte, se va a suponer que sobre el arco se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración, de manera que los desplazamientos vienen dados por una onda, que depende de tres variables: dos espaciales y una temporal. Sin embargo, se va a poner el foco en las ondas transversales que vienen descritas, en este caso, por<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 

=== Mallado del arco===
A continuación, se ha generado el mallado de los puntos interiores del sólido. La imagen resultante se adjunta junto con el código, realizado en Matlab. Se ha tomado como paso de muestreo <math>h=\frac{1}{10}</math>

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==. La temperatura==
===Representación de la temperatura del arco===
La temperatura del sólido es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura del arco proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. Dicha temperatura es una magnitud conocida y se distribuye a lo largo del arco siguiendo la siguiente función:<math>\;T(x,y)=(x-y)^{2} </math>
 
 
Se va a ilustrar como se distribuye la temperatura utilizando curvas de nivel, que muestran los puntos que se encuentran a igual temperatura.
 
Se incluye una barra de colores que permite interpretar fácilmente los valores de temperatura a lo largo del sólido, asociando un color o escala de colores a una temperatura determinada.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}
===Máximos y mínimos===
Adicionalmente, se ha escrito el código para obtener la temperatura máxima y la temperatura mínima del arco.
{{matlab|codigo=
% Encontrar el valor máximo y mínimo
% Puntos críticos
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n',maxT,minT);
}}
Este estudio de máximos y de mínimos también se puede realizar de manera anaítica.
 
Como se menciona en el principio, la temperatura viene dada por la función<math>\; T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. Se trata de una función cuadrática, por lo que siempre será mayor o igual que cero.
 
Para averiguar el mínimo, se busca la derivada de la función temperatura y se iguala a cero, quedando la siguiente ecuación:
*<math>x-y=0\to x=y</math>.
De esta manera se demuestra que la temperatura mínima del sólido es de 0,00ºC y que se alcanza en todos aquellos puntos donde la variable x es igual a la variable y. La temperatura irá creciendo hacia ambos lados de la recta<math>\;x=y</math>
 
Para maximizar la temperatura se procede de la misma manera, pero se va a realizar el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas para facilitar los cálculos
*<math>x=\rho cos\theta</math>
*<math>y=\rho sen\theta</math>
Se expresa la ecuación <math>\;x-y=0\;</math> en coordenadas cilíndricas obteniendo:<math>\;\rho(cos\theta - sen\theta)=0</math>. Se calcula el valor absoluto de <math>\;\left|cos\theta - sen\theta \right|\;</math> y se observa que se maximiza cuando el radio es máximo, es decir, cuando <math>\rho=2\;</math> y cuando <math>\theta=0\;</math> o <math>\;\theta=\pi</math>.

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Se calcula el gradiente de la temperatura derivando respecto de x e y, obteniendo <math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>.

Al representarlo gráficamente, se observa que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==. Divergencia de u==
La divergencia de un campo vectorial<math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se obtiene a partir de la siguiente expresión:
 
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+\frac{\partial (u_{\theta})}{\partial \theta}+\frac{\partial(\rho u_{z}) }{\partial z} \right)</math>
 
El campo vectorial con el que se va a operar es:<math>\;\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\;\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
Primeramente, se van a determinar las componentes conocidas, es decir,<math>\;u_{\rho}\;;\; u_{\theta}\;;\;u_{z}</math> para así poder sustituir los valores en <math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\;u_{\rho}=\frac{1}{5}(\rho^{2}-\rho)\;;\; u_{\theta}=0\;;\;u_{z}=0</math>
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial (\rho u_{\rho})}{\partial \rho}+0+0 \right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho\cdot \frac{1}{5}\cdot (\rho^{2}-\rho) \right)</math>
 
Se multiplica<math>\;\;\overrightarrow{u}_{\rho}\;\;</math> por<math>\;\;\rho\;\;</math>y se deriva el término respecto de<math>\;\;\rho\;\;</math>, obteniendo:
 
 
*<math>\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \frac{1}{5}(\rho^{3}-\rho^{2}) \right)=\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)</math>
 
Finalmente, se obtiene la divergencia:
 
*<math>\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{1}{5}(3\rho^{2}-2\rho)=\frac{1}{5}(3\rho-2)</math>
 
A continuación se adjunta el código desarrollado en Matlab para la representación de la divergencia de manera numérica.
 
 

'''Representación de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}

==. Rotacional de u==
El rotacional de un campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> definido en coordenadas cilíndricas se calcula de manera genérica a partir de la siguiente expresión:
 
*<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}</math>
 
Realizando el cálculo para el campo vectorial <math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e}_{\rho}</math>
 
*<math>\nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
Como se puede observar el vector rotacional es el vector nulo, por lo que el campo es conservativo. Esto supone que el campo se comporta como un campo radial, es decir, no tiene tendencia a girar, sus líneas apuntan hacia o directamente desde un punto, pero no giran alrededor del centro.

==. Tensor deformaciones==
La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor deformaciones, que viene descrito por la siguiente expresión:
 
*<math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>

 
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten describir el tensor de tensiones <math> \sigma </math> a través de la fórmula:
 
*<math>\sigma</math>=<math>\lambda\nabla \cdot \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math>
 
 
Donde <math> \mathbf{I} </math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> R^{3} </math>, y <math> \lambda </math>, <math> \mu </math> son conocidos como coeficientes de Lamé, que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math> \lambda </math><math>\;</math>=<math>\;</math><math> \mu </math><math>\;</math>=<math>\;</math>1 se van a calcular y representar las tensiones normales que marcan el eje <math> \overrightarrow{e_{\rho}}</math> y el eje <math>\frac{1}{\rho}\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
Para obtener dichas tensiones normales hay que realizar, anteriormente, unas operaciones. Se calculará el gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u}</math> y su traspuesto, obteniendo así el tensor identidad:<math>\;</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2}</math>.
 
Gradiente del campo <math>\overrightarrow{u}</math>
 
*<math>\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
Se va a calcular dicho gradiente de manera matricial: <math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\left( \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\left| \frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta} \right| \frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}\right)</math>
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\frac{1}{5}(2\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \rho}=\Gamma^{k}_{11}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{11}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{11}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{11}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial \theta}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
<math>\Gamma^{k}_{12}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{12}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{12}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{12}\overrightarrow{e_{z}}=1\cdot \overrightarrow{e_{\theta}}</math>
 
 
*<math>\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial z}=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\overrightarrow{0}</math>
 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{e_{\rho}}}{\partial z}=\Gamma^{k}_{13}\overrightarrow{e_{k}}=\Gamma^{1}_{13}\overrightarrow{e_{\rho}}+\Gamma^{2}_{13}\overrightarrow{e_{\theta}}+\Gamma^{3}_{13}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{0}</math>
 
 
Por tanto:
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho-1)& 0&0 \\
0 &\frac{1}{\rho}(\frac{1}{5}(\rho-1)\rho)&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math><math>\quad</math>=<math>\quad</math><math>\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Cálculo de la matriz gradiente traspuesta
 
 
<math>\left[ \nabla\overrightarrow{u}(\rho,\theta,z) \right]^{t}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Como se puede observar<math>\quad</math><math>\nabla \overrightarrow{u}=\nabla \vec u ^ t</math>. Por lo tanto, el tensor deformaciones queda definido como:<math>\quad</math><math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u }{2}</math>
 
Se va a calcular el tensor deformaciones matricialmente
 
 
*<math>\epsilon (\vec u)=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}+\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1 &0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix} \right)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Conociendo <math>\epsilon (\vec u)</math>, se obtiene <math>\sigma</math>
 
*<math>\sigma=1\cdot \nabla \overrightarrow{u}\;\mathbf{I}+2\cdot 1\cdot \epsilon</math>
 
 
*<math>\sigma=
1\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0& 1&0 \\
0& 0&1
\end{pmatrix}+2\cdot 1\cdot\frac{1}{5} \begin{pmatrix}
2\rho-1& 0&0 \\
0 &\rho-1&0 \\
0 &0&0
\end{pmatrix}</math>=<math>\;</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix}</math>
 
 
Finalmente, con esta información, se puede proceder al cálculo de las tensiones normales, que son los valores de la diagonal principal de la matriz tensor de tensiones o <math>\sigma</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\overrightarrow{e}_{\rho}:\overrightarrow{e}_{\rho}\cdot \sigma\cdot \overrightarrow{e}_{\rho}=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
*Tensión normal en la dirección del eje<math>\;\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}:\frac{1}{\rho}\;\overrightarrow{e}_{\theta}\cdot \sigma\cdot \frac{1}{\rho}\overrightarrow{e}_{\theta}=\frac{3}{5}(\rho-1)</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\overrightarrow{e}_{\rho}\;</math>, es decir, <math>\;\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>
 
 
 

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior: <math>\sigma=</math><math>\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} y \left(\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot \vec e_{\rho}\right)=\frac{3}{5}(2\rho-1)</math>
 
 

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left |\frac{3}{5}\begin{pmatrix}
2\rho-1&0 &0 \\
0& \rho-1&0 \\
0& 0&0
\end{pmatrix} ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \left(\frac{3}{5}(2\rho-1)\right)\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right|=0</math>
 
 

Aunque las tensiones tangenciales sean 0 eso no implica que no se pueda representar, lo que no será posible es ver una elevación si nos centramos en las tangenciales. Por otra parte las deformaciones producidas en el campo provienen totalmente de parte de las tensiones normales y por ello hay modificaciones en el arco plano inicial.
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii.png|thumb|500px|Representación de tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Tensiones_tangenciales_arcoii_mayor_deformacion.png|thumb|500px|Mayor deformación del campo]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

%Cálculo del vector radial
erx = cos(theta);
ery = sin(theta);
erz = zeros(size(theta));

%Tensor de tensiones sigma
sigma_xx = (3/5) * (2 * ones(size(rho)));
sigma_xy = (3/5) * rho;
sigma_xz = (3/5) * (-1 * ones(size(rho)));

sigma_yx = zeros(size(rho));
sigma_yy = zeros(size(rho));
sigma_yz = zeros(size(rho));

sigma_zx = zeros(size(rho));
sigma_zy = zeros(size(rho));
sigma_zz = zeros(size(rho));

%Vector tensión con la componente normal y la tangente
Tx = sigma_xx .* erx + sigma_xy .* ery + sigma_xz .* erz;
Ty = sigma_yx .* erx + sigma_yy .* ery + sigma_yz .* erz;
Tz = sigma_zx .* erx + sigma_zy .* ery + sigma_zz .* erz;

Tn_scalar = Tx .* erx + Ty .* ery + Tz .* erz; % = 3/5 (2ρ - 1)

Tnx = Tn_scalar .* erx;
Tny = Tn_scalar .* ery;
Tnz = Tn_scalar .* erz;

Ttx = Tx - Tnx;
Tty = Ty - Tny;
Ttz = Tz - Tnz;

% Magnitud del vector tangencial
Tt_mag = sqrt(Ttx.^2 + Tty.^2 + Ttz.^2);

%Dibujo del campo de tensiones tangenciales
figure;
quiver(xx, yy, Ttx, Tty, 'LineWidth', 1.3);
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('x')
ylabel('y')
%Mayor deformación del campo
figure
surf(xx, yy, Tn_scalar);
shading interp;
colorbar;
title('Mayor deformación del campo');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math> ==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left |\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot \sigma \cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta) \frac{1}{\rho}\vec e_\theta \right |</math>.

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior:

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va resolver de manera numérica con Matlab. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-27T18:02:36Z

Liam O'Hea Kith: /* Interpretación del trabajo con alguna aplicación */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==Dibujo del Mallado==

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==Dibujo de la temperatura==

La temperatura del arco se distribuye siguiendo la función <math> T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. A continuación se muestra dicha distribución de temperatura, utilizando curvas de nivel que muestran los puntos que se encuentran a la misma temperatura.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura en el por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Se calcula el gradiente de la temperatura, obteniendo <math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>. Al representarlo gráficamente, se observa que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

Representamos el campo de vectores de deslizamiento en una mitad de anillo en dos dimensiones. Nos dan el campo <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>ρ</mi><mo>,</mo><mi>θ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>5</mn></mfrac><mfenced><mrow><mi>ρ</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi>ρ</mi><msub><mi>e</mi><mi>ρ</mi></msub></math>

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==Divergencia de u==

Se calculará la divergencia siguiendo la siguiente fórmula:

<math> \nabla ·\overrightarrow{u}= \frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho u_{\rho} \right) + \frac{\partial }{\partial \theta}\left( u_{\theta} \right) \right)=\frac{3\rho-2}{5} </math>
 
La divergencia aumenta en función de <math> \rho </math>.
 
 
'''Cálculo y dibujo de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}

==Rotacional de u==
Se calculará el rotacional siguiendo la siguiente fórmula:
 
 
<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
 
Si el rotacional es 0 <math> \Longrightarrow </math> El campo es conservativo.

==Tensiones normales==
El tensor deformaciones <math> \epsilon(\overrightarrow{u}) </math> viene dado por la siguiente expresión: <math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>
 
Dicho tensor deformaciones, es la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \overrightarrow{u} </math>. Por lo tanto, para calcularlo, se debe calcular tanto el gradiente de <math> \overrightarrow{u} </math> como su traspuesto <math> \nabla ^t(\overrightarrow{u}) </math>
 
 
<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}} </math>
 
 
Cálculo del gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u} </math> :
 
<math> \nabla \overrightarrow{u}=\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}\overrightarrow{e_{\theta}} </math>
 
Componentes del campo:
 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>.

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior, comenzamos:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left | ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right | = </math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math>==

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va a resolver numéricamente. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-27T17:59:39Z

Liam O'Hea Kith:

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==Dibujo del Mallado==

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==Dibujo de la temperatura==

La temperatura del arco se distribuye siguiendo la función <math> T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. A continuación se muestra dicha distribución de temperatura, utilizando curvas de nivel que muestran los puntos que se encuentran a la misma temperatura.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura en el por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Se calcula el gradiente de la temperatura, obteniendo <math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>. Al representarlo gráficamente, se observa que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

Representamos el campo de vectores de deslizamiento en una mitad de anillo en dos dimensiones. Nos dan el campo <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>ρ</mi><mo>,</mo><mi>θ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>5</mn></mfrac><mfenced><mrow><mi>ρ</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi>ρ</mi><msub><mi>e</mi><mi>ρ</mi></msub></math>

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==Divergencia de u==

Se calculará la divergencia siguiendo la siguiente fórmula:

<math> \nabla ·\overrightarrow{u}= \frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho u_{\rho} \right) + \frac{\partial }{\partial \theta}\left( u_{\theta} \right) \right)=\frac{3\rho-2}{5} </math>
 
La divergencia aumenta en función de <math> \rho </math>.
 
 
'''Cálculo y dibujo de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}

==Rotacional de u==
Se calculará el rotacional siguiendo la siguiente fórmula:
 
 
<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
 
Si el rotacional es 0 <math> \Longrightarrow </math> El campo es conservativo.

==Tensiones normales==
El tensor deformaciones <math> \epsilon(\overrightarrow{u}) </math> viene dado por la siguiente expresión: <math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>
 
Dicho tensor deformaciones, es la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \overrightarrow{u} </math>. Por lo tanto, para calcularlo, se debe calcular tanto el gradiente de <math> \overrightarrow{u} </math> como su traspuesto <math> \nabla ^t(\overrightarrow{u}) </math>
 
 
<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}} </math>
 
 
Cálculo del gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u} </math> :
 
<math> \nabla \overrightarrow{u}=\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}\overrightarrow{e_{\theta}} </math>
 
Componentes del campo:
 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>.

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior, comenzamos:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left | ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right | = </math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math>==

En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left|\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot\sigma)\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\right|

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va a resolver numéricamente. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==Interpretación del trabajo con alguna aplicación==
==apartado 12==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-27T17:58:26Z

Liam O'Hea Kith: /* jdsucsdbch */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==Dibujo del Mallado==

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==Dibujo de la temperatura==

La temperatura del arco se distribuye siguiendo la función <math> T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. A continuación se muestra dicha distribución de temperatura, utilizando curvas de nivel que muestran los puntos que se encuentran a la misma temperatura.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura en el por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Se calcula el gradiente de la temperatura, obteniendo <math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>. Al representarlo gráficamente, se observa que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

Representamos el campo de vectores de deslizamiento en una mitad de anillo en dos dimensiones. Nos dan el campo <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>ρ</mi><mo>,</mo><mi>θ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>5</mn></mfrac><mfenced><mrow><mi>ρ</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi>ρ</mi><msub><mi>e</mi><mi>ρ</mi></msub></math>

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==Divergencia de u==

Se calculará la divergencia siguiendo la siguiente fórmula:

<math> \nabla ·\overrightarrow{u}= \frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho u_{\rho} \right) + \frac{\partial }{\partial \theta}\left( u_{\theta} \right) \right)=\frac{3\rho-2}{5} </math>
 
La divergencia aumenta en función de <math> \rho </math>.
 
 
'''Cálculo y dibujo de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}

==Rotacional de u==
Se calculará el rotacional siguiendo la siguiente fórmula:
 
 
<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
 
Si el rotacional es 0 <math> \Longrightarrow </math> El campo es conservativo.

==Tensiones normales==
El tensor deformaciones <math> \epsilon(\overrightarrow{u}) </math> viene dado por la siguiente expresión: <math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>
 
Dicho tensor deformaciones, es la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \overrightarrow{u} </math>. Por lo tanto, para calcularlo, se debe calcular tanto el gradiente de <math> \overrightarrow{u} </math> como su traspuesto <math> \nabla ^t(\overrightarrow{u}) </math>
 
 
<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}} </math>
 
 
Cálculo del gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u} </math> :
 
<math> \nabla \overrightarrow{u}=\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}\overrightarrow{e_{\theta}} </math>
 
Componentes del campo:
 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>.

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior, comenzamos:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left | ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right | = </math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math>==

En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left|\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot\sigma)\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\right|

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va a resolver numéricamente. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==Interpretación del trabajo con alguna aplicación==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-27T17:58:11Z

Liam O'Hea Kith: /* Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==Dibujo del Mallado==

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==Dibujo de la temperatura==

La temperatura del arco se distribuye siguiendo la función <math> T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. A continuación se muestra dicha distribución de temperatura, utilizando curvas de nivel que muestran los puntos que se encuentran a la misma temperatura.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
El gradiente térmico es un vector que muestra cómo cambia la temperatura en el por unidad de distancia, indicando la dirección en que aumenta más rápidamente.
Se calcula el gradiente de la temperatura, obteniendo <math>\nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))</math>. Al representarlo gráficamente, se observa que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal a las curvas de nivel.
[[Archivo:Gradientearcodef.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Cálculo de cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx - yy).^2;

% Gradiente
Tx = 2.*(xx-yy);
Ty = -2.*(xx-yy);

% Representación del gradiente
figure
contourf(xx,yy,T,20)
hold on

% Curvas de nivel
contour(xx, yy, T, 20, 'k', 'LineWidth', 1.0)

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')
hold off

axis equal
colorbar
title('Gradiente térmico del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
}}

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

Representamos el campo de vectores de deslizamiento en una mitad de anillo en dos dimensiones. Nos dan el campo <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>ρ</mi><mo>,</mo><mi>θ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>5</mn></mfrac><mfenced><mrow><mi>ρ</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi>ρ</mi><msub><mi>e</mi><mi>ρ</mi></msub></math>

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==
==jdsucsdbch==

==Divergencia de u==

Se calculará la divergencia siguiendo la siguiente fórmula:

<math> \nabla ·\overrightarrow{u}= \frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho u_{\rho} \right) + \frac{\partial }{\partial \theta}\left( u_{\theta} \right) \right)=\frac{3\rho-2}{5} </math>
 
La divergencia aumenta en función de <math> \rho </math>.
 
 
'''Cálculo y dibujo de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}

==Rotacional de u==
Se calculará el rotacional siguiendo la siguiente fórmula:
 
 
<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
 
Si el rotacional es 0 <math> \Longrightarrow </math> El campo es conservativo.

==Tensiones normales==
El tensor deformaciones <math> \epsilon(\overrightarrow{u}) </math> viene dado por la siguiente expresión: <math>\epsilon (\vec u) = \frac{\nabla \vec u + \nabla \vec u ^ t}{2} = \frac{y}{10}\vec i \otimes \vec i - \frac{x}{20}\vec i \otimes \vec j - \frac{x}{20}\vec j \otimes \vec i </math>
 
Dicho tensor deformaciones, es la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \overrightarrow{u} </math>. Por lo tanto, para calcularlo, se debe calcular tanto el gradiente de <math> \overrightarrow{u} </math> como su traspuesto <math> \nabla ^t(\overrightarrow{u}) </math>
 
 
<math>\overrightarrow{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\overrightarrow{e_{\rho}} </math>
 
 
Cálculo del gradiente del campo vectorial <math>\overrightarrow{u} </math> :
 
<math> \nabla \overrightarrow{u}=\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \rho}\overrightarrow{e_{\rho}}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial \theta}\overrightarrow{e_{\theta}} </math>
 
Componentes del campo:
 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>.

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior, comenzamos:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left | ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - ·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right | = </math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math>==

En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left|\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta-(\sigma\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\cdot\sigma)\cdot\frac{1}{\rho}\vec e_\theta\right|

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va a resolver numéricamente. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==Interpretación del trabajo con alguna aplicación==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-27T17:32:32Z

Liam O'Hea Kith: /* Rotacional de u */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==Dibujo del Mallado==

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==Dibujo de la temperatura==

La temperatura del arco se distribuye siguiendo la función <math> T(x,y)=(x-y)^{2} </math>. A continuación se muestra dicha distribución de temperatura, utilizando curvas de nivel que muestran los puntos que se encuentran a la misma temperatura.
[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])
}}

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==
Se calcula el gradiente de la temperatura, obteniendo \nabla T(x,y)=(2(x-y),-2(x-y))

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

Representamos el campo de vectores de deslizamiento en una mitad de anillo en dos dimensiones. Nos dan el campo <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>ρ</mi><mo>,</mo><mi>θ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>5</mn></mfrac><mfenced><mrow><mi>ρ</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi>ρ</mi><msub><mi>e</mi><mi>ρ</mi></msub></math>

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==

==Divergencia de u==

Se calculará la divergencia siguiendo la siguiente fórmula:

<math> \nabla ·\overrightarrow{u}= \frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho u_{\rho} \right) + \frac{\partial }{\partial \theta}\left( u_{\theta} \right) \right)=\frac{3\rho-2}{5} </math>
 
La divergencia aumenta en función de <math> \rho </math>.
 
 
'''Cálculo y dibujo de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}

==Rotacional de u==
Se calculará el rotacional siguiendo la siguiente fórmula:
 
 
<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>
 
 
Si el rotacional es 0 <math> \Longrightarrow </math> El campo es conservativo.

==Tensiones normales==

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>.

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior, comenzamos:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left | \begin{pmatrix} \ \frac{sen(θ)}{2\rho} & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{3sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \frac{sen(θ)}{2\rho}·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right | = \left | \begin{pmatrix} 0\\ \frac{cos(θ)}{2\rho}\\0 \end{pmatrix}\right| </math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math>==

En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\theta}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\theta}) \vec e_{\theta} \right |</math>.

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va a resolver numéricamente. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==Interpretación del trabajo con alguna aplicación==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-27T17:12:12Z

Liam O'Hea Kith: /* Rotacional de u */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==Dibujo del Mallado==

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==Dibujo de la temperatura==

[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])

% Puntos críticos (Uso de T(:) para mayor eficiencia)
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n', maxT, minT);
}}

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

Representamos el campo de vectores de deslizamiento en una mitad de anillo en dos dimensiones. Nos dan el campo <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>ρ</mi><mo>,</mo><mi>θ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>5</mn></mfrac><mfenced><mrow><mi>ρ</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi>ρ</mi><msub><mi>e</mi><mi>ρ</mi></msub></math>

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==

==Divergencia de u==

Se calculará la divergencia siguiendo la siguiente fórmula:

<math> \nabla ·\overrightarrow{u}= \frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho u_{\rho} \right) + \frac{\partial }{\partial \theta}\left( u_{\theta} \right) \right)=\frac{3\rho-2}{5} </math>
 
La divergencia aumenta en función de <math> \rho </math>.
 
 
'''Cálculo y dibujo de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}

==Rotacional de u==
Se calculará el rotacional siguiendo la siguiente fórmula:
 
<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}·\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} &\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{2\rho-1}{5}& 0& 0 \\
\frac{\rho^{2}-\rho}{5} & 0 & 0
\end{vmatrix}=0\overrightarrow{e_{\rho}}+0\overrightarrow{e_{\theta}}+0\overrightarrow{e_{z}} </math>

==Tensiones normales==

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>.

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior, comenzamos:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left | \begin{pmatrix} \ \frac{sen(θ)}{2\rho} & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{3sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \frac{sen(θ)}{2\rho}·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right | = \left | \begin{pmatrix} 0\\ \frac{cos(θ)}{2\rho}\\0 \end{pmatrix}\right| </math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math>==

En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\theta}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\theta}) \vec e_{\theta} \right |</math>.

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va a resolver numéricamente. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==Interpretación del trabajo con alguna aplicación==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-27T16:59:11Z

Liam O'Hea Kith: /* Divergencia de u */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==Dibujo del Mallado==

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==Dibujo de la temperatura==

[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])

% Puntos críticos (Uso de T(:) para mayor eficiencia)
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n', maxT, minT);
}}

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

Representamos el campo de vectores de deslizamiento en una mitad de anillo en dos dimensiones. Nos dan el campo <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>ρ</mi><mo>,</mo><mi>θ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>5</mn></mfrac><mfenced><mrow><mi>ρ</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi>ρ</mi><msub><mi>e</mi><mi>ρ</mi></msub></math>

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==

==Divergencia de u==

Se calculará la divergencia siguiendo la siguiente fórmula:

<math> \nabla ·\overrightarrow{u}= \frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho u_{\rho} \right) + \frac{\partial }{\partial \theta}\left( u_{\theta} \right) \right)=\frac{3\rho-2}{5} </math>
 
La divergencia aumenta en función de <math> \rho </math>.
 
 
'''Cálculo y dibujo de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%Intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}

==Rotacional de u==
Se calculará el rotacional siguiendo la siguiente fórmula:
 
<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix} </math>

==Tensiones normales==

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>.

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior, comenzamos:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left | \begin{pmatrix} \ \frac{sen(θ)}{2\rho} & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{3sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \frac{sen(θ)}{2\rho}·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right | = \left | \begin{pmatrix} 0\\ \frac{cos(θ)}{2\rho}\\0 \end{pmatrix}\right| </math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math>==

En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\theta}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\theta}) \vec e_{\theta} \right |</math>.

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va a resolver numéricamente. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==Interpretación del trabajo con alguna aplicación==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-27T16:58:41Z

Liam O'Hea Kith: /* Dibujo del Mallado */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==Dibujo del Mallado==

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculo de lo puntos que caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on %Se mantiene el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==Dibujo de la temperatura==

[[Archivo:Temperaturaarco.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la temperatura del arco]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])

% Puntos críticos (Uso de T(:) para mayor eficiencia)
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n', maxT, minT);
}}

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

Representamos el campo de vectores de deslizamiento en una mitad de anillo en dos dimensiones. Nos dan el campo <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>ρ</mi><mo>,</mo><mi>θ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>5</mn></mfrac><mfenced><mrow><mi>ρ</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi>ρ</mi><msub><mi>e</mi><mi>ρ</mi></msub></math>

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==

==Divergencia de u==

Se calculará la divergencia siguiendo la siguiente fórmula:

<math> \nabla ·\overrightarrow{u}= \frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho u_{\rho} \right) + \frac{\partial }{\partial \theta}\left( u_{\theta} \right) \right)=\frac{3\rho-2}{5} </math>
 
La divergencia aumenta en función de <math> \rho </math>.
 
 
'''Cálculo y dibujo de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}

==Rotacional de u==
Se calculará el rotacional siguiendo la siguiente fórmula:
 
<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix} </math>

==Tensiones normales==

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>.

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior, comenzamos:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left | \begin{pmatrix} \ \frac{sen(θ)}{2\rho} & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{3sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \frac{sen(θ)}{2\rho}·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right | = \left | \begin{pmatrix} 0\\ \frac{cos(θ)}{2\rho}\\0 \end{pmatrix}\right| </math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math>==

En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\theta}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\theta}) \vec e_{\theta} \right |</math>.

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>.
A partir de este dato se va a calcular la masa del arco. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
 
La integral quedaría expresada de la siguiente manera:
 
M = <math> \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} \left(1 + e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \rho \, d\rho \, d\theta </math>
 
Sin embargo, se va a resolver numéricamente. <big>
 
'''Masa del arco utilizando métodos numéricos (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Función densidad
D = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
% Pesos para la dirección theta
w_theta = ones(N_theta + 1, 1);
w_theta(1) = 0.5;
w_theta(end) = 0.5;
% Fórmula Matricial de la Integral Doble (Método del Trapecio)
M = h_rho * h_theta * (w_theta') * F * w_rho;
% Resultado de la masa
fprintf('Masa (M) aproximada: %.5f\n', M)
}}

==Interpretación del trabajo con alguna aplicación==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-27T16:07:20Z

Liam O'Hea Kith: /* Dibujo de la temperatura */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==Dibujo del Mallado==

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on % Mantenemos el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==Dibujo de la temperatura==
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;
% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;
% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;
% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);
% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);
% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);
% Expresión de la temperatura
T = (xx-yy).^2;

% Representación de la temperatura
figure
contourf(xx,yy,T,10)
colorbar
title('Temperatura')
xlabel('x'); ylabel('y')
axis equal
axis([-3,3,-3,3])

% Puntos críticos (Uso de T(:) para mayor eficiencia)
maxT = max(T(:));
minT = min(T(:));
fprintf('La temperatura máxima es %.2f ºC y la mínima es %.2f ºC\n', maxT, minT);
}}

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

Representamos el campo de vectores de deslizamiento en una mitad de anillo en dos dimensiones. Nos dan el campo <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>ρ</mi><mo>,</mo><mi>θ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>5</mn></mfrac><mfenced><mrow><mi>ρ</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi>ρ</mi><msub><mi>e</mi><mi>ρ</mi></msub></math>

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==

==Divergencia de u==

Se calculará la divergencia siguiendo la siguiente fórmula:

<math> \nabla ·\overrightarrow{u}= \frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho u_{\rho} \right) + \frac{\partial }{\partial \theta}\left( u_{\theta} \right) \right)=\frac{3\rho-2}{5} </math>
 
La divergencia aumenta en función de <math> \rho </math>.
 
 
'''Cálculo y dibujo de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}

==Rotacional de u==
Se calculará el rotacional siguiendo la siguiente fórmula:
 
<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix} </math>

==Tensiones normales==

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>.

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior, comenzamos:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left | \begin{pmatrix} \ \frac{sen(θ)}{2\rho} & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{3sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \frac{sen(θ)}{2\rho}·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right | = \left | \begin{pmatrix} 0\\ \frac{cos(θ)}{2\rho}\\0 \end{pmatrix}\right| </math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math>==

En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\theta}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\theta}) \vec e_{\theta} \right |</math>.

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>
A partir de este dato se va a calcular la masa aproximando la integral numéricamente. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
<big> '''Masa del arco calculada numéricamente con Matlab (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% 4. Funcion densidad
F = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
}}

==Interpretación del trabajo con alguna aplicación==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-27T15:57:36Z

Liam O'Hea Kith: /* Masa aproximando la integral numéricamente */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==Dibujo del Mallado==

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on % Mantenemos el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==Dibujo de la temperatura==

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

'''Texto en negrita'''

Representamos el campo de vectores de deslizamiento en una mitad de anillo en dos dimensiones. Nos dan el campo <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>u</mi><mo>(</mo><mi>ρ</mi><mo>,</mo><mi>θ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>5</mn></mfrac><mfenced><mrow><mi>ρ</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi>ρ</mi><msub><mi>e</mi><mi>ρ</mi></msub></math>

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==

==Divergencia de u==

Se calculará la divergencia siguiendo la siguiente fórmula:

<math> \nabla ·\overrightarrow{u}= \frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho u_{\rho} \right) + \frac{\partial }{\partial \theta}\left( u_{\theta} \right) \right)=\frac{3\rho-2}{5} </math>
 
La divergencia aumenta en función de <math> \rho </math>.
 
 
'''Cálculo y dibujo de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}

==Rotacional de u==
Se calculará el rotacional siguiendo la siguiente fórmula:
 
<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix} </math>

==Tensiones normales==

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>.

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior, comenzamos:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left | \begin{pmatrix} \ \frac{sen(θ)}{2\rho} & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{3sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \frac{sen(θ)}{2\rho}·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right | = \left | \begin{pmatrix} 0\\ \frac{cos(θ)}{2\rho}\\0 \end{pmatrix}\right| </math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math>==

En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\theta}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\theta}) \vec e_{\theta} \right |</math>.

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función <math> d(\rho,\theta)=1 + e^{\rho^2 \cos\theta} </math>
A partir de este dato se va a calcular la masa aproximando la integral numéricamente. La coordenada <math> \rho </math> conservará el radio del arco y <math> \theta </math> es un ángulo que queda comprendido entre 0 y <math> \pi </math>, por tanto: <math> (\rho,\theta)=\left[ 1;2 \right]\times \left[ 0,\pi \right] </math>
<big> '''Masa del arco calculada numéricamente con Matlab (Método Trapecio):'''</big>
 

{{matlab|codigo=
% MATLAB Code para calcular la masa
% Densidad: d(rho, theta) = 1 + exp(rho^2 * cos(theta))
% Región: 1 <= rho <= 2, 0 <= theta <= pi
% Parámetros y Límites de integración
rho_min = 1;
rho_max = 2;
theta_min = 0;
theta_max = pi;
% Subintervalos
N_rho = 50;
N_theta = 100;
% Tamaño del paso (h) para cada variable
h_rho = (rho_max - rho_min) / N_rho;
h_theta = (theta_max - theta_min) / N_theta;
% Mallado de la superficie
rho_vec = linspace(rho_min, rho_max, N_rho + 1);
theta_vec = linspace(theta_min, theta_max, N_theta + 1);
[RHO, THETA] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% 4. Funcion densidad
F = RHO .* (1 + exp(RHO.^2 .* cos(THETA)));
% Cálculo de los Pesos de la Regla del Trapecio
% Pesos para la dirección rho
w_rho = ones(N_rho + 1, 1);
w_rho(1) = 0.5;
}}

==Interpretación del trabajo con alguna aplicación==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-27T12:16:45Z

Liam O'Hea Kith: /* Rotacional de u */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==Dibujo del Mallado==

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on % Mantenemos el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==Dibujo de la temperatura==

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==

==Divergencia de u==

Se calculará la divergencia siguiendo la siguiente fórmula:

<math> \nabla ·\overrightarrow{u}= \frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho u_{\rho} \right) + \frac{\partial }{\partial \theta}\left( u_{\theta} \right) \right)=\frac{3\rho-2}{5} </math>
 
La divergencia aumenta en función de <math> \rho </math>.
 
 
'''Cálculo y dibujo de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}

==Rotacional de u==
Se calculará el rotacional siguiendo la siguiente fórmula:
 
<math> \nabla \times \overrightarrow{u}=\frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho}} & \overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{\partial }{\partial \rho}& \frac{\partial }{\partial \theta}& \frac{\partial }{\partial z} \\
u_{\rho}& \rho u_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix} </math>

==Tensiones normales==

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==
En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>.

Haciendo referencia a los datos adquiridos en el apartado anterior, comenzamos:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left | \begin{pmatrix} \ \frac{sen(θ)}{2\rho} & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{3sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \frac{sen(θ)}{2\rho}·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right | = \left | \begin{pmatrix} 0\\ \frac{cos(θ)}{2\rho}\\0 \end{pmatrix}\right| </math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math>==

En este apartado se calcularán las tensiones tangenciales, especificamente con <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\theta}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\theta}) \vec e_{\theta} \right |</math>.

==Masa aproximando la integral numéricamente==
La densidad de la placa viene dada por la función d(\rho,\theta)=1+(e^\rho)^2*cos\theta
A partir de este dato se va a calcular la masa aproximando la integral numéricamente. El arco, como se menciona anteriormente, está centrado en el (0,0) y sus radios son R_1=1 y R_2=2

==Interpretación del trabajo con alguna aplicación==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-27T12:04:59Z

Liam O'Hea Kith: /* Dibujo del Mallado */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==Dibujo del Mallado==

<big> '''Mallado del arco realizado a través de Matlab:'''</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on % Mantenemos el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==Dibujo de la temperatura==

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==

==Divergencia de u==

Se calculará la divergencia siguiendo la siguiente fórmula:

<math> \nabla ·\overrightarrow{u}= \frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho u_{\rho} \right) + \frac{\partial }{\partial \theta}\left( u_{\theta} \right) \right)=\frac{3\rho-2}{5} </math>
 
La divergencia aumenta en función de <math> \rho </math>.
 
 
'''Cálculo y dibujo de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}

==Rotacional de u==

==Tensiones normales==

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left | \begin{pmatrix} \ \frac{sen(θ)}{2\rho} & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{3sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \frac{sen(θ)}{2\rho}·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right | = \left | \begin{pmatrix} 0\\ \frac{cos(θ)}{2\rho}\\0 \end{pmatrix}\right| </math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math>==

==Masa aproximando la integral numéricamente==

==Interpretación del trabajo con alguna aplicación==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-27T12:03:47Z

Liam O'Hea Kith: /* Divergencia de u */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==Dibujo del Mallado==

<big> Mallado del arco realizado a través de Matlab:</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on % Mantenemos el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==Dibujo de la temperatura==

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==

==Divergencia de u==

Se calculará la divergencia siguiendo la siguiente fórmula:

<math> \nabla ·\overrightarrow{u}= \frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho u_{\rho} \right) + \frac{\partial }{\partial \theta}\left( u_{\theta} \right) \right)=\frac{3\rho-2}{5} </math>
 
La divergencia aumenta en función de <math> \rho </math>.
 
 
'''Cálculo y dibujo de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo de la divergencia en el arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}

==Rotacional de u==

==Tensiones normales==

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left | \begin{pmatrix} \ \frac{sen(θ)}{2\rho} & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{3sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \frac{sen(θ)}{2\rho}·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right | = \left | \begin{pmatrix} 0\\ \frac{cos(θ)}{2\rho}\\0 \end{pmatrix}\right| </math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math>==

==Masa aproximando la integral numéricamente==

==Interpretación del trabajo con alguna aplicación==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-27T12:03:19Z

Liam O'Hea Kith: /* Divergencia de u */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==Dibujo del Mallado==

<big> Mallado del arco realizado a través de Matlab:</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on % Mantenemos el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==Dibujo de la temperatura==

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==

==Divergencia de u==

Se calculará la divergencia siguiendo la siguiente fórmula:

<math> \nabla ·\overrightarrow{u}= \frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho u_{\rho} \right) + \frac{\partial }{\partial \theta}\left( u_{\theta} \right) \right)=\frac{3\rho-2}{5} </math>
 
La divergencia aumenta en función de <math> \rho </math>.
 
 
'''Cálculo y dibujo de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
[[Archivo:Divergenciafoto.png|4000px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}

==Rotacional de u==

==Tensiones normales==

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left | \begin{pmatrix} \ \frac{sen(θ)}{2\rho} & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{3sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \frac{sen(θ)}{2\rho}·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right | = \left | \begin{pmatrix} 0\\ \frac{cos(θ)}{2\rho}\\0 \end{pmatrix}\right| </math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math>==

==Masa aproximando la integral numéricamente==

==Interpretación del trabajo con alguna aplicación==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Divergenciafoto.png

2025-11-27T12:00:43Z

Liam O'Hea Kith:

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-27T11:59:28Z

Liam O'Hea Kith: /* Divergencia de u */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==Dibujo del Mallado==

<big> Mallado del arco realizado a través de Matlab:</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on % Mantenemos el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==Dibujo de la temperatura==

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==

==Divergencia de u==

Se calculará la divergencia siguiendo la siguiente fórmula:

<math> \nabla ·\overrightarrow{u}= \frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho u_{\rho} \right) + \frac{\partial }{\partial \theta}\left( u_{\theta} \right) \right)=\frac{3\rho-2}{5} </math>
 
La divergencia aumenta en función de <math> \rho </math>.
 
 
'''Cálculo y dibujo de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''
 
{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
w=10;
p=80;
u=linspace(1,2,w);
v=linspace(0,pi,p);

%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%divergencia
DIVu = (3.*U - 2)./5;

%gráfica
surf(X,Y,DIVu)
view(2)
axis equal;
colorbar;
title('Divergencia en el arco');
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
}}

==Rotacional de u==

==Tensiones normales==

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·σ·\vec e_ρ)·\vec e_ρ| = \left | \begin{pmatrix} \ \frac{sen(θ)}{2\rho} & \frac{cos(θ)}{2\rho} & 0 \\ \frac{cos(θ)}{2\rho} & \frac{3sen(θ)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sen(θ)}{2\rho} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \frac{sen(θ)}{2\rho}·\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\right | = \left | \begin{pmatrix} 0\\ \frac{cos(θ)}{2\rho}\\0 \end{pmatrix}\right| </math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math>==

==Masa aproximando la integral numéricamente==

==Interpretación del trabajo con alguna aplicación==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-27T11:11:50Z

Liam O'Hea Kith: /* Divergencia de u */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==Dibujo del Mallado==

<big> Mallado del arco realizado a través de Matlab:</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on % Mantenemos el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==Dibujo de la temperatura==

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==

==Divergencia de u==

Se calculará la divergencia siguiendo la siguiente fórmula:

<math> \nabla ·\overrightarrow{u}= \frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho u_{\rho} \right) + \frac{\partial }{\partial \theta}\left( u_{\theta} \right) \right)=\frac{3\rho-2}{5} </math>
 
La divergencia aumenta en función de <math> \rho </math>.
 
 
'''Cálculo y dibujo de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> a través de matlab:'''

==Rotacional de u==

==Tensiones normales==

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec e_\rho</math>==

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\frac{1}{\rho}</math><math>\vec e_\theta</math>==

==Masa aproximando la integral numéricamente==

==Interpretación del trabajo con alguna aplicación==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-27T11:01:52Z

Liam O'Hea Kith: /* Divergencia de u */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==Dibujo del Mallado==

<big> Mallado del arco realizado a través de Matlab:</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on % Mantenemos el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==Dibujo de la temperatura==

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==

==Divergencia de u==

Se calculará la divergencia siguiendo la siguiente fórmula:

<math> \nabla ·\overrightarrow{u}= \frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho u_{\rho} \right) + \frac{\partial }{\partial \theta}\left( u_{\theta} \right) \right) </math>
 
 
Cálculo y dibujo de la divergencia de \overrightarrow{u} a través de matlab:

==Rotacional de u==

==Tensiones normales==

==Tensiones tangenciales respecto a <math>\vec e_\rho</math>==

==Tensiones tangenciales respecto a j==

==Masa aproximando la integral numéricamente==

==Interpretación del trabajo con alguna aplicación==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-27T10:55:24Z

Liam O'Hea Kith: /* Divergencia de u */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==Dibujo del Mallado==

<big> Mallado del arco realizado a través de Matlab:</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on % Mantenemos el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==Dibujo de la temperatura==

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==

==Divergencia de u==

Se calculará la divergencia siguiendo la siguiente fórmula:

<math> \nabla ·\overrightarrow{u}= \frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho u_{\rho} \right) + \frac{\partial }{\partial \theta}\left( u_{\theta} \right) \right) </math>

==Rotacional de u==

==Tensiones normales==

==Tensiones tangenciales respecto a i==

==Tensiones tangenciales respecto a j==

==Masa aproximando la integral numéricamente==

==Interpretación del trabajo con alguna aplicación==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-27T10:53:34Z

Liam O'Hea Kith: /* Divergencia de u */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==Dibujo del Mallado==

<big> Mallado del arco realizado a través de Matlab:</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on % Mantenemos el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==Dibujo de la temperatura==

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==

==Divergencia de u==
<math> \nabla ·\overrightarrow{u}= \frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho u_{\rho} \right) + \frac{\partial }{\partial \theta}\left( u_{\theta} \right) \right) </math>

==Rotacional de u==

==Tensiones normales==

==Tensiones tangenciales respecto a i==

==Tensiones tangenciales respecto a j==

==Masa aproximando la integral numéricamente==

==Interpretación del trabajo con alguna aplicación==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-26T19:02:16Z

Liam O'Hea Kith: /* Dibujo del Mallado */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==Dibujo del Mallado==

<big> Mallado del arco realizado a través de Matlab:</big>
 

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on % Mantenemos el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==Dibujo de la temperatura==

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==

==Divergencia de u==

==Rotacional de u==

==Tensiones normales==

==Tensiones tangenciales respecto a i==

==Tensiones tangenciales respecto a j==

==Masa aproximando la integral numéricamente==

==Apartado 12==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-26T18:55:53Z

Liam O'Hea Kith:

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==Dibujo del Mallado==

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

<big> Mallado del arco realizado a través de Matlab:</big>
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on % Mantenemos el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==Dibujo de la temperatura==

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==

==Divergencia de u==

==Rotacional de u==

==Tensiones normales==

==Tensiones tangenciales respecto a i==

==Tensiones tangenciales respecto a j==

==Masa aproximando la integral numéricamente==

==Apartado 12==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-26T18:52:46Z

Liam O'Hea Kith: /* Dibujo del Mallado */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==Dibujo del Mallado==
<big> Mallado del arco realizado a través de Matlab:</big>
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on % Mantenemos el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|derecha|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

==Dibujo de la temperatura==

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==

==Divergencia de u==

==Rotacional de u==

==Tensiones normales==

==Tensiones tangenciales respecto a i==

==Tensiones tangenciales respecto a j==

==Masa aproximando la integral numéricamente==

==Apartado 12==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-26T18:51:15Z

Liam O'Hea Kith: /* Dibujo del Mallado */

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==Dibujo del Mallado==
<big> Mallado del arco realizado a través de Matlab:</big>
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on % Mantenemos el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

[[Archivo:FotoarcoII.png|500px|miniatura|centro|Dibujo del mallado del arco mediante MatLab.]]

==Dibujo de la temperatura==

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==

==Divergencia de u==

==Rotacional de u==

==Tensiones normales==

==Tensiones tangenciales respecto a i==

==Tensiones tangenciales respecto a j==

==Masa aproximando la integral numéricamente==

==Apartado 12==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:FotoarcoII.png

2025-11-26T18:47:27Z

Liam O'Hea Kith:

Grupo 38 Cicloide

2025-11-26T18:45:30Z

Liam O'Hea Kith: /* Cálculo de vectores velocidad y aceleración */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 38 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Esteban Espinoza Villanueva Alejandro Trejo Meseguer Antonio García del Pozo García Liam O'Hea Kith}}

'''La cicloide es una curva generada por un punto en el borde de una circunferencia que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.
Este tipo de curva está presente en varios aspectos de la vida cotidiana. Por ello, se presenta a continuación, un estudio de la misma. Esto, aportará al lector un conocimiento de la cicloide en diferentes aspectos, tanto teoricos como practicos de las matemáticas y la física.
Se considera la parametrización: <math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=2.
==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
{{matlab|codigo=
% Parámetros
R = 2; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Graficar la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva paramétrica (t)');
grid on;
axis equal;
}}
[[Archivo:Dinujografuno.png|300px|miniatura|centro|Dibujo de la cicloide mediante MatLab.]]

==Cálculo de vectores velocidad y aceleración==

La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 2, R=2, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(2(t-sin(t)), 2(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(2-2cos(t),2sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(2sen(t),2cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:

{{matlab|codigo= % Parámetros dados
R = 2; % Radio de la cicloide
t = linspace(0, 2*pi, 50); % Valores de t

% Coordenadas de la curva
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Derivadas parciales para el cálculo del vector velocidad
vx = R * (1 - cos(t)); % Componente x de la velocidad
vy = R * sin(t); % Componente y de la velocidad

% Derivadas segundas para el cálculo del vector aceleración
ax = R * sin(t); % Componente x de la aceleración
ay = R * cos(t); % Componente y de la aceleración

% Grafica de la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5);
hold on;

% Grafica de los vectores velocidad y aceleración
quiver(x, y, vx, vy, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1); % Vectores de velocidad en rojo
quiver(x, y, ax, ay, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1); % Vectores de aceleración en verde

% Elementos de la gráfica
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva (t) con vectores velocidad y aceleración');
grid on;
axis equal;
hold off; }}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 

Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}2\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 
Para lo cual se utilizará Matlab a través del siguiente código:
{{matlab|codigo= f = @(t) 2*sqrt(2)*sqrt(1 - cos(t)); %Módulo de la derivada de la parametrización
a = 0;
b = 2*pi;
n = 1000;
h = (b - a) / n; %Integral calculada con suma del área de 1000 rectángulos
x = a:h:b;
y = f(x);
integral_aproximada = sum(y(1:end-1)) * h; %Suma de cada una de las áreas
disp(integral_aproximada);}}
Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=16u

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==

Calcularemos los vectores tangencial y normal a la curva a través de las fórmulas:

Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 
El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 
Y para ello necesitamos calcular el vector binomial, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 
Realizando las operaciones: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{2-2cos(t)}{\sqrt{cos(t)^{2}-16cos(t)+1}}\overrightarrow{k}</math> 
Así, obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=\frac{sen(t)(2cos(t)-2)}{\sqrt{(2-2cos(t))(cos(t)^{2}-16cos(t)+1)}}\overrightarrow{(-i)}+\frac{(2cos(t)-2)(1-cos(t))}{\sqrt{(2-2cos(t))(cos(t)^{2}-16cos(t)+1)}}\overrightarrow{j}</math>
 
Y el vector tangente: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{1-cos(t)}{\sqrt{2-2cos(t)}}\overrightarrow{i}+\frac{sin(t)}{\sqrt{2-2cos(t)}}\overrightarrow{j}</math>

{{matlab|codigo= % Parámetros dados
t1 = linspace(0, 2*pi, 20);

x = 2*t1 - 2*sin(t1); % Componente x de la curva
y = 2 - 2*cos(t1); % Componente y de la curva

% Vectores tangente t(t)
u = (2 - 2*cos(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente x
v = (2*sin(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente y

%vectores normales n(t)
w=v %componente x
q=-u %componente y

% Gráfica de la curva y el campo vectorial
figure;
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;

% Grafica de los vectores tangentes y normales
quiver(x, y, u, v, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);
quiver(x, y, w, q, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);

axis equal;
grid on;
title('Campo Vectorial sobre la Curva');
xlabel('x');}}
[[Archivo:CAMPOVECTORIALSOBRELACURVA.jpg|400px|miniatura|centro|Gráfica de los vectores tangentes y normales.]]

==Curvatura de k(t) y su gráfica==
La curvatura '''k(t)''' es una función que representa el nivel de curvatura de la cicloide en cada P(t) de la misma.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>

{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(16*(cos(t)).^2-32*cos(t)+16)./((sqrt(8-8*cos(t)).^3))); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

[[Archivo:Graficacurvaturaa.png|miniatura|centro|Imagen de la gráfica realizada con Matlab.]]

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
'''La curvatura define el radio de la circunferencia osculatriz en cualquier punto de la curva''' a través de la fórmula: <math>K(t)=\frac{1}{R(t)}</math>.
'''Donde K(t) es la curvatura y R(t) es el radio''' buscado en cualquier punto t. En este caso se particularizará para t=2. 
Ahora, '''sustituyendo t en la fórmula''':<math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math> , y despejando R(T), se obtiene a el radio de la circunferencia osculatriz para el punto seleccionado : <math>K(2)=0,149\Rightarrow R(2)=6,711 [u]</math> 
A continuación, para encontrar las coordenadas del centro de la circunferencia osculatriz, se tendrán en cuenta distintas propiedades que se cumplen para cualquier punto de la curva, P(t) y su correspondiente centro C(t).: 
[[Archivo:Ejercicio6osculatriz.jpg|500px|miniatura|derecha|Circunferencia osculatriz en t=2]]
* <math>\left| \overrightarrow{PC(t)} \right|=R(t)</math> 
* <math>\frac{\overrightarrow{PC(t)}}{\left| \overrightarrow{PC(t)} \right|}=\overrightarrow{n(t)}</math> 
De esta forma: 
<math>\overrightarrow{PC(t)}=R(t)\overrightarrow{n(t)} </math> 
Y como <math>\overrightarrow{PC(t)}</math> también cumple: 
<math>\overrightarrow{PC(t)}=\overrightarrow{OP(t)}-\overrightarrow{OC(t)}=\overrightarrow{\gamma(t)}-\overrightarrow{OC(t)}</math> 
Entonces: 
<math>\overrightarrow{OC(t)}=\overrightarrow{\gamma(t)}-R(t)\overrightarrow{n(t)}</math> 
'''Teniendo en cuenta que''' <math>K(t)=\frac{1}{R(t)}</math>, se pondrá R(t) en función de K(t): 
<math>\overrightarrow{OC(t)}=\overrightarrow{\gamma(t)}-\frac{1}{K(t)}\overrightarrow{n(t)}</math> 
Por último, se particulariza para P(t=2): 
<math>\overrightarrow{OC(t=2)}=\overrightarrow{OC(P)}=-1,4558\overrightarrow{i}+8,4969\overrightarrow{j}</math> 
Se adjunta el código de MATLAB: 
{{matlab|codigo=
% Parámetros iniciales
R = 2; % Radio de la curva
t_eval = 2; % Valor de t donde se evaluará la circunferencia osculatriz

% Parametrización de la curva
x = @(t) R * (t - sin(t));
y = @(t) R * (1 - cos(t));

% Derivadas de la parametrización
x_prime = @(t) R * (1 - cos(t));
y_prime = @(t) R * sin(t);
x_double_prime = @(t) R * sin(t);
y_double_prime = @(t) R * cos(t);

% Punto P en t = 2
P = [x(t_eval), y(t_eval)];

% Velocidades y aceleraciones en t = 2
v = [x_prime(t_eval), y_prime(t_eval)];
a = [x_double_prime(t_eval), y_double_prime(t_eval)];

% Curvatura y radio de curvatura
kappa = abs(v(1)*a(2) - v(2)*a(1)) / norm(v)^3; % Curvatura
radius = 1 / kappa; % Radio de curvatura

% Vector normal unitario
normal = [-v(2), v(1)] / norm(v);

% Centro de la circunferencia osculatriz
C = P + radius * normal;

% Puntos para la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 100);
circle_x = C(1) + radius * cos(theta);
circle_y = C(2) + radius * sin(theta);

% Graficar la curva y la circunferencia osculatriz
t = linspace(0, 2*pi, 1000);
figure;
hold on;
plot(x(t), y(t), 'b', 'LineWidth', 1.5); % Curva
plot(circle_x, circle_y, 'r--', 'LineWidth', 1.5); % Circunferencia osculatriz
plot(P(1), P(2), 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k', 'DisplayName', 'P'); % Punto P
plot(C(1), C(2), 'mo', 'MarkerFaceColor', 'm', 'DisplayName', 'Centro'); % Centro C

% Configuración del gráfico
legend('Curva \gamma(t)', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', 'Centro C');
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Curva y circunferencia osculatriz');
axis equal;
grid on;
hold off;}}

==Información sobre la cicloide, aplicaciones en la ingeniería civil y propiedades matemáticas==

'''Primero se describirá la curva''' y se enunciarán algunas propiedades que presenta la cicloide en cuanto a las matemáticas, '''posteriormente se relacionará con el campo de la ingeniería''' y las posibles aplicaciones que puede tener para la construcción. 
[[Archivo:Curva generacion cicloide.png|miniatura|derecha|Circunferencia de generación cicloide]]
Para comprender cómo se genera esta curva, '''imaginemos un círculo rodando suavemente sobre una superficie plana. A medida que el círculo gira, un punto fijo en su borde traza una trayectoria''' en el espacio que da lugar a la cicloide. Esta curva tiene propiedades matemáticas notables. 
En el ámbito de la ingeniería, la cicloide encuentra aplicaciones en el diseño de mecanismos y estructuras. Por ejemplo, se utiliza en la construcción de engranajes cicloidales, así como en la trayectoria ideal de cuerpos sometidos a ciertas condiciones gravitatorias, como el problema de la braquistócrona. 
'''A continuación, se procederá a enunciar algunas propiedades de la cicloide.''' Sin embargo, antes de hacerlo, '''es necesario definir ciertos términos''' fundamentales que faciliten su comprensión. Estos conceptos servirán como base para explicar las características matemáticas. 
'''<big>Definiciones:</big>''' 
* '''Circulo generador:''' La circunferencia que gira, donde se ubica el punto fijo.
* '''Directriz:''' La recta horizontal que pasa por el centro de la circunferencia generadora.
[[Archivo:Cicloide y recta directriz.jpg|miniatura|centro|Directriz de la cicloide]]
* '''Eje horizontal:''' La recta sobre la que rueda el círculo generador de la cicloide.
* '''Ángulo principal:''' El ángulo entre la tangente a la curva y el eje horizontal.
* '''Punto inferior y superior:''' El punto más bajo y más alto del círculo cuando está en contacto con el eje horizontal.
'''<big>Propiedades matemáticas:</big>'''
* '''El ángulo''' ente la '''normal a la cicloide''' (en cualquiera de sus puntos) y la '''recta directriz''' es igual a la mitad del “ángulo principal”
* '''1ª propiedad fundamental:''' Toda normal a la circunferencia pasa por el punto “inferior” del círculo generador.
* '''2ª propiedad fundamental:''' La tangente a la cicloide pasa por el punto “superior” del círculo generador. 

'''<big>Aplicaciones matemáticas de la cicloide</big>''' 

La cicloide tiene aplicaciones en problemas clásicos, como la braquistócrona y la tautócrona, estos problemas se basan en el movimiento de un cuerpo que desliza sin rozamiento bajo la acción de la gravedad. 

* '''Braquistócrona''', es la trayectoria por la que bajo la acción de la gravedad el tiempo de bajada de un cuerpo es el mínimo posible. (Curva roja)[[Archivo:Brachistochrone.gif|miniatura|centro|Curva braquistócrono.]] 

* '''La Tautócrona''', es la curva para la cual el tiempo que tarda un objeto en llegar a su punto más bajo es independiente de su punto de partida. Esta curva es una cicloide. El tiempo viene dado por: <math>t = \pi \sqrt{\frac{r}{g}} </math>[[Archivo:Tautochrone curve.gif|miniatura|centro|Curva Tautócrona]] 
'''<big>Aplicaciones en la ingenieria</big>''' 
En cuanto a la ingeniería civil, la cicloide no tiene muchos usos prácticos en la construcción por la complejidad de su forma. Sim embargo, se utiliza en otras disciplinas: 
[[Archivo:600pxLobePump3DAnimation.gif|miniatura|200px|derecha|Engranaje cicloidal]]
* '''Diseño de engranajes cicloidales:''' Estos engranajes son conocidos por su eficiencia, baja fricción y resistencia al desgaste, ideales para aplicaciones de alta precisión. Estos se utilizan el relojes y compresores volumétricos.
* '''Diseño de estructuras de descenso:''' Basándose en la propiedad de la braquistócrona, las cicloides se utilizan para optimizar la velocidad de descenso en estructuras como montañas rusas, canales de agua y toboganes.
* '''Diseño de arcos y bóvedas:''' La cicloide se utiliza en la arquitectura para diseñar arcos y bóvedas, especialmente en construcciones que requieren alta resistencia y distribución uniforme de cargas. Sin embargo, no es eficiente debido a su alto coste de fabricación. Apartado 8 del trabajo.

* '''Infraestructura de energía renovable:''' En diseños de turbinas hidráulicas y eólicas, se utilizan formas cicloidales para optimizar el flujo y la eficiencia.[[Archivo:Éole_à_CapChat_en_2010.JPG|miniatura|200px|centro|Turbina eólica con turbinas cicloidales]] 

La cicloide, con su singular combinación de elegancia matemática y utilidad práctica, se posiciona como una curva de gran relevancia tanto en el ámbito teórico como en el práctico. Su generación mediante un movimiento simple, la convierte en un concepto accesible, pero al mismo tiempo lleno de propiedades sorprendentes que han capturado la atención de matemáticos, físicos e ingenieros a lo largo de la historia.

En el campo de la ingeniería, su capacidad para optimizar trayectorias, distribuir cargas y mejorar la eficiencia mecánica ha llevado a aplicaciones diversas. Además, su papel en problemas clásicos como la braquistócrona y la tautócrona destaca su importancia.

'''En conclusión''', el estudio de la cicloide no solo resalta la conexión esencial entre las matemáticas teóricas y las aplicaciones prácticas, sino que también demuestra cómo conceptos aparentemente abstractos pueden transformar la sociedad en la que vivimos.

==Uso de cicloides en estructuras civiles==
[[Archivo:Fcicloide1.jpg|630px|izquierda]]
[[Archivo:Fcicloide2.jpg|645px|derecha]]

La cicloide ha fascinado a matemáticos, físicos e ingenieros debido a sus propiedades únicas. A pesar de sus ventajas teóricas como la óptima trayectoria física, la eficiencia y la distribución de fuerzas uniformemente, su aparición en estructuras civiles es poco común debido a factores prácticos y económicos. Una de las implementaciones de la cicloide en estructuras civiles importantes es su uso en la cubierta del '''Museo de Arte Kimbell''' que se encuentra en Texas, EE.UU. Diseñado por el arquitecto ruso '''Louis Isadore Kahn''', el museo cuenta con 19 bóvedas con forma de cicloide paralelas entre sí. En este edificio los focos de luz apuntan a las bóvedas cicloidales que iluminan indirectamente el museo sin tener que enfocar la luz en las obras, que en algunos casos se pueden dañar en el largo plazo.

También se pueden apreciar cicloides en otras estructuras, como en pistas para usar bicicletas y patinetes, elementos decorativos modernos y se pueden encontrar figuras parecidas a la cicloide en puentes de todo el mundo.

[[Archivo:Skate.PNG|450px|centro]]

==Cicloide en un espacio tridimensional==
Para la representación de la superficie S se '''extenderá una unidad en la dirección de <math>\overrightarrow{i}</math>''' cada punto de la cicloide en R3. 
De esta forma, se aprecia que <math>x_{1}</math> varía entre 0 y 1. Por otra parte,<math>x_{2}</math> y <math>x_{3}</math> están relacionados mediante la ecuación de la cicloide dada en R3, que ya está parametrizada en función de t. Se asignan el parámetro u a <math>x_{1}</math>.
 
 
La ecuación de la superficie parametrizada queda de la forma:
<math>S(u,t) \left\{ \begin{array}{cl}
x_{1}=u & : \ u \in [0,1] \\
x_{2}=2(t − sint) & : \ t \in [0,2π]\\
x_{3}=2(1 + cost) \\

\end{array} \right.</math>

Para representarla escribimos el siguiente código en matlab:
{{matlab|codigo= %Valores para u y t
u = linspace(0, 1, 50);
t = linspace(0, 2*pi, 50);

%Inicializamos las coordenadas x1, x2 y x3
[X1, T] = meshgrid(u, t);
X2 = 2 * (T - sin(T));
X3 = 2 * (1 + cos(T));

%Gráfica en R3
figure;
mesh(X1, X2, X3);
xlabel('x_1 = u'); ylabel('x_2 = 2(t - sin(t))'); zlabel('x_3 = 2(1 + cos(t))');
title('Cicloide en R^3');
grid on;
axis equal;}}
[[Archivo:R3cicloide.PNG|600px|centro]]

==Densidad de la cicloide dada por una función==
Se considera la '''función de densidad <math>f(x_{1},x_{2},x_{3})=\left( 1-x_{1} \right)^{2}x_{3}</math>''' y la '''parametrización <math>S(u,t)=(u,R(t-sen(t)),R(1+cos(t)))</math>''', con '''u perteneciendo al intervalo [0,1] y t perteneciendo al intervalo [0,2π].'''
 
La densidad parametrizada <math>\sigma</math> según los parámetros anteriores queda de la siguiente manera <math>\sigma(u,t)=(1-u)^{2}R(1+cos(t))</math>. 
Observamos que la densidad varía a lo largo del eje <math>x_{1}</math> y <math>x_{3}</math>, manteniéndose constante según el eje <math>x_{2}</math>. 
De esta forma, en el eje <math>x_{1}</math> la densidad será máxima en u=0 y será nula en u=1, mientras que en el eje <math>x_{3}</math> será máxima siempre que cos(t) sea máximo, es decir, en los valores de t=0 y t=π. 
De cara a hallar la masa de la superficie, se utilizará la fórmula: <math>m_{S}=\int_{}^{}\int_{S}^{}\sigma(u,t)\left| \frac{\partial \overrightarrow{S(u,t)}}{\partial u}\times \frac{\partial \overrightarrow{S(u,t)}}{\partial t} \right|dudt</math> 
Donde: 
<math> \frac{\partial \overrightarrow{S(u,t)}}{\partial u}=\overrightarrow{i}</math> 
<math>\frac{\partial \overrightarrow{S(u,t)}}{\partial t}=(2-2cos(t))\overrightarrow{j}+(-2sen(t))\overrightarrow{k}</math> 
Y entonces: 
<math>\left| \frac{\partial \overrightarrow{S(u,t)}}{\partial u}\times \frac{\partial \overrightarrow{S(u,t)}}{\partial t} \right|=\sqrt{(2-2cos(t))^{2}+(-2sin(t))^{2}}^{}</math>
 
Realizando la integral a través de Matlab se obtiene: 
<math>m_{S}=\int_{}^{}\int_{S}^{}\sigma(u,t)\left| \frac{\partial \overrightarrow{S(u,t)}}{\partial u}\times \frac{\partial \overrightarrow{S(u,t)}}{\partial t} \right|dudt=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}(1-u)^{2}R(1+cos(t))\sqrt{(2-2cos(t))^{2}+(-2sin(t))^{2}}^{}dudt</math> 
La masa de la cicloide obtenida es 7.073774ud

{{matlab|codigo= %Parámetros
R = 2;

%Valores para u y t
u1 = 0; u2 = 1; % Límites para u
t1 = 0; t2 = 2*pi; % Límites para t

nu = 100;
nt = 100;

du = (u2 - u1) / nu;
dt = (t2 - t1) / nt;
valoru = linspace(u1, u2, nu);
valort = linspace(t1, t2, nt);

inicio = 0;

for i = 1:nu
for j = 1:nt
u1 = valoru(i);
t = valort(j);

f = (1 - u1)^2 * R * (1 + cos(t)) * ...
sqrt((2 - 2*cos(t))^2 + (-2*sin(t))^2);

inicio = inicio + f * du * dt;
end
end

fprintf('La masa de la cicloide es: %.6f\n', inicio);}}

[[Categoría:TC24/25]]

Ondas y campos vectoriales en un arco (Grupo 32)

2025-11-26T18:30:15Z

Liam O'Hea Kith:

{{TrabajoED | Ondas y campos vectoriales en un arco. Grupo 32 | Teoría de Campos | 2025-26 | Isabella Eugenia Acosta Montoya Macarena Gil Andrés Guillermo Polo Toledo Marta de la Quintana Zubiría Liam O'Hea Kith}}

==Dibujo del Mallado==
<big> Mallado del arco realizado a través de Matlab:</big>
{{matlab|codigo=
% Paso de muestreo
h = 0.1;

% Valor de u (radios)
u = 1:h:2;

% Calculamos cuántos puntos caben aproximadamente
puntos = round(pi/h) + 1;

% Vector v (ángulos) de 0 a pi
v = linspace(0, pi, puntos);

% Matrices de coordenadas polares
[rho, theta] = meshgrid(u, v);

% Conversión a Cartesianas
xx = rho .* cos(theta);
yy = rho .* sin(theta);

plot(xx, yy, 'r');

hold on % Mantenemos el gráfico para añadir las líneas radiales

plot(xx', yy', 'r');

hold off

% Ajustes finales visuales
axis equal
axis([-3, 3, -0.5, 2.5]);
title('Arco II');
}}

==Dibujo de la temperatura==

==Cálculo y dibujo del gradiente de la Temperatura==

==Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

==Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento==

==Divergencia de u==

==Rotacional de u==

==Tensiones normales==

==Tensiones tangenciales respecto a i==

==Tensiones tangenciales respecto a j==

==Masa aproximando la integral numéricamente==

==Apartado 12==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]