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Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-04T12:49:47Z

Laura93: /* Estudio de la temperatura del fluido */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Sarah Boufounas, Laura García Pedraz, Isabel Roselló Colom, Ignacio Riesco Fernández , Larisa Elena Suta, Álvaro Valbuena Pámpanas }}

El trabajo que nos ocupa es el del estudio de la visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. La consideración a tomar como fluido ha sido la de un fluido incompresible a traves de un canal con pareces rectas.
La variación del volumen del fluido va a ser por tanto nula.
El canal está compuesto por dos paneles rectos.
Las coordenadas en la que refiramos los apartados serán cartesianas.

==Breve introducción a la incompresibilidad de un fluido==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. De hecho, todos los fluidos son compresibles, algunos más que otros. La compresión de un fluido mide el cambio en el volumen de una cierta cantidad de líquido cuando se somete a una presión exterior.

Por esta razón, para simplificar las ecuaciones de la mecánica de fluidos, se considera que los líquidos son incompresibles. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante.
Se debe prestar atención a todas las propiedades del fluido (aire, agua) para definir las condiciones de flujo. Esto se debe a que todas las propiedades están conectadas entre sí. Si la presión o la temperatura de un fluido cambia, su densidad generalmente también cambia (a menos que se trate de un fluido incompresible, como en el ejercicio que ahora estudiamos).
[[Archivo:Awa.jpg.jpg|marco|centro]]

==Mallado ocupado por el fluido==

==Comprobación ecuación Navier-Stokes==
Partimos de las ecuaciones de la velocidad y la presión de las partículas del fluido, respectivamente:
[[Archivo:Camp1.jpg|marco|centro]]
Con ello se pide verificar la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp3.jpg|marco|centro]]
Para ello vamos a ir parte por parte. En primer lugar, tenemos:
[[Archivo:Camp4.jpg|marco|centro]]
Desarrollamos este primer término:
[[Archivo:Camp5.jpg|marco|centro]] donde todos los términos son nulos, excepto la derivada parcial de u1 con respecto a y, y esto se debe a que:
-Se ha de cumplir la expresión que nos dan como resultado del primer sumando de la ecuación, lo que implica que la primera y la tercera derivada parcial del desarrollo anterior sean nulos.

-u2,u3 son 0, ya que la ecuación velocidad que se proporciona está representada en i.
De esta forma nos queda:
[[Archivo:Camp6.jpg|marco|centro]]
[[Archivo:Camp10.jpg|marco|centro]]
Por otro lado, vamos con otro término de la ecuación:
[[Archivo:Camp7.jpg|marco|centro]]
Desarrollando, se tiene:
[[Archivo:Camp8.jpg|marco|centro]]
Por último, vamos con el segundo sumando de la ecuación a demostrar:
[[Archivo:Camp9.jpg|marco|centro]]
Finalmente, basta con sustituir cada uno de estos términos en la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp11.jpg|marco|centro]]
Por lo tanto, queda así demostrado.

Por otro lado, vamos a comprobar la condición de incompresibilidad de un fluido, para lo cual partimos de la expresión facilitada y desarrollamos:
[[Archivo:Camp12.jpg|marco|centro]]
Para terminar, comprobamos que la velocidad del fluido en las paredes y=0, y=1 es nula, para lo cual simplemente sustituimos en la expresión de la velocidad dada:
[[Archivo:Camp0.jpg|marco|centro]]

==Estudio de la velocidad del fluido==
===Método de estudio===
El campo de velocidades realizado en el apartado anterior ha dejado de forma gráfica patente, dónde se desarrollan las velocidades máximas de nuestro fluido; sin embargo y a nivel matemático, para desarrollarlo de forma analítica bastaría con realizar la derivada del campo de velocidades con respecto a Y llegando a la conclusión de que las mayores velocidades se dan en la céntrica línea de Y=1/2
En la siguiente imagen podemos observar las operaciones realizadas para llegar a nuestra conclusión.
[[Archivo:Roti.png|marco|centro]]
===¿Esta solución tiene un sentido físico? ¿Es razonable?===
Sí, en efecto podríamos hablar de un sentido físico dado que en la circulación de fluidos por conductos o tuberías la velocidad máxima siempre tiende a localizarse en el centro. Los extremos siempre conllevan perdidas de carga continuas y fuerzas de rozamiento. Es por el centro donde la circulación es más libre y por tanto la velocidad se incrementa.
[[Archivo:Centri.jpg|marco|centro]]

==Representacion del campo de presiones==
Para representar el campo de velocidades y presiones vamos a suponer que p1=2 y p2=1 , con mu=1.
Para ello usaremos el programa de Matlab.

El codigo para el campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Porgramapresion.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Reprpresion.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Representacion3D.png|marco|centro]]

En el campo de presiones podemos apreciar que la presion es más alta en las zonas más cálidas (colores como rojo, naranja, amarillo y verde), y en las zonas más frías (colores como verde,celeste y azul), la presión es más baja. Esto significa que a medida que el fluido va avanzando en el canal la presión va bajando.

==Representacion del campo de velocidades==

El codigo para el campo de velocidades es el siguiente:
[[Archivo:Programavelocidad.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Representacion2Dvel.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Repres3D.png|marco|centro]]

En el campo de velocidades podemos observar que todos los vectores apuntan hacia la misma dirección, en sentido paralelo al eje x. También que la velocidad es mayor en el centro del canal que en las paredes porque los vectores tienen mayor módulo ahí, esto ocurre porque no hay barreras en el centro que pueda provocar una disminución en la velocidad.

==Lineas de corriente==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente des campo u, es decir, las líneas que son tangentes a este en cada punto. Para esto calculamos un campo v, que es ortogonal a u.

[[Archivo:1s.jpg|marco|centro]]

Vamos a calcular el potencial escalar ψ, que se conoce como función de corriente de u :

[[Archivo:2s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:3s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:4s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:5s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:6s.jpg|marco|centro]]

Calculamos el rotacional:

[[Archivo:7s.jpg|marco|centro]]

Se comprueba que es irrotacional (por ser u de divergencia nula)

[[Archivo:8s.jpg|marco|centro]]

Se mostrara a continuacion la representacion de las lineas de corriente de u (ψ=cte) que el enunciado pide.

Usando el siguiente programa de matlab :

[[Archivo:Helloprogr.png|marco|centro]]

El grafico resultante es el siguiente:

[[Archivo:Helloo.png|marco|centro]]

Las dos conclusiones fundamentales que se pueden apreciar en la representación gráfica son que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además que el campo \( \vec v \) es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Estudio del rotacional de campo==
Usamos el concepto de rotacional de campo en el cálculo vectorial, el rotacional o también denominado a veces rotor es un operador vectorial para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto.
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto, es decir:
[[Archivo:Plapo.png|marco|centro]]
Sin embargo se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:
[[Archivo:Deteret.png|marco|centro]]
y relacionando el operador nabla con nuestro campo,
[[Archivo:Rotixx.png|marco|centro]]

{{matlab|codigo=

x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

rotabs=abs(Y-(1/2)); %Rotacional

surf(X,Y,rotabs)

axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:16C-rotabs.png|marco|centro|Representación del rotacional en valor absoluto]]
El dibujo del mallado en Matlab deja patente que el rotacional crece en valor absoluto a medida que nos acercamos a las paredes de la sección. Eso quiere decir que a medida que el rotacional crece, decrecen la velocidad de las partículas.
El rotacional es mayor en los puntos cercanos a las paredes porque estos son más propensos a generar rotación alrededor de puntos en concreto al tener una velocidad más pequeña y una trayectoria menos libre.

== Estudio de la temperatura del fluido ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente expresión:
[[Archivo:Temperatura16c.png|marco|ninguna]]

Como esta función está expresada en coordenadas cilíndricas, para el estudio de la temperatura trabajaremos en estas coordenadas. Para ello se debe establecer el dominio de ro y theta teniendo en cuenta su relación con x e y:
[[Archivo:Cilcar.png|marco|centro]]
[[Archivo:Maxmin16c.png|marco|centro]]

Por lo tanto el dominio con el que trabajaremos en coordenadas cilíndricas ser el siguiente:
[[Archivo:domcil.png|marco|ninguna]]
=== Campo de temperaturas ===

El campo de temperaturas asocia una temperatura a cada punto del fluido. Para su representación gráfica se utilizará el siguiente programa de matlab:
{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,pi/2,10);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
%Superficie
figure(1)
surface(RO,THETA,T)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [pi/2,pi/2];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel
figure(2)
contour(RO,THETA,T,30)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [pi/2,pi/2];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel y superficie 3D
figure (3)
surf(RO,THETA,T)
hold on
contour(RO,THETA,T,30)
grid on
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')
zlabel('Temperatura')
colorbar

}}

[[Archivo:Superficie16cff.jpg|marco|centro|Representación gráfica del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvas16cff.jpg||marco|centro|Curvas de nivel del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvasysuperficie16cff.jpg|marco|centro|Representación del campo de temperaturas y sus curvas de nivel de manera conjunta]]

===Temperatura máxima===

Para el cálculo de la temperatura máxima del fluido, así como la deteterminación del punto donde esta se alcanza se utilizará el sguiente programa de MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Temperatura máxima
Tmax=max(max(T))
%Coordenadas para Tmax
[theta,ro]=find(T==Tmax);
rom=(4.1231/41)*ro
thetam=((pi/2)/10)*theta
}}

La temperatura máxima es T=0.9998 y se alcanza en ro=0.6034 y theta=0.1571. Al fijarse en los gráficos anteriores, que representaban el campo de temperaturas, se observa que este resultado es completamente coherente, pues ese punto claramente está en el entorno en el que se observan las temperaturas más altas.

=== Gradiente de temperatura ===
La temperatura es una magnitud intensiva que adopta un valor distinto para cada punto del espacio, por lo que puede ser descrito como un campo escalar.
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar '''f''' es un campo vectorial. El vector gradiente de '''f''' evaluado en un punto genérico '''x''' del dominio de '''f''' , '''f(x)''', indica la dirección en la cual el campo '''f''' varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de '''f''' en la dirección de dicho vector gradiente.

Si suponemos que '''c : R → R''' n es una curva parametrizada con la propiedad de que '''c(t)''' pertenece al k conjunto de nivel de '''f''' para cualquier '''t ∈ R'''. Esto significa simplemente que '''f ◦ c''' es constantemente igual a k. Por lo tanto: '''d(f ◦ c) dt = 0''', porque es la derivada de una constante. Pero como, por otra parte, tenemos: '''d(f ◦ c) dt = grad f(p) · c’(t)''' , concluimos que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

Por tanto, el gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia.
Siendo esto así, para cada punto del fluido, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido aumenta la temperatura en esa dirección.

Mediante Matlab obtenemos la representación gráfica de las curvas de nivel de la temperatura y el gradiente térmico, y podemos comprobar gráficamente que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,pi/2,10);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
Tro=(-2*RO+1).*cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Componente ro
Ttheta=-sin(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Componente theta
hold on
quiver(RO,THETA,Tro,Ttheta); %Representación del gradiente
contour(RO,THETA,T,30); %Representación de la temperatura

grid on
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [pi/2,pi/2];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)
}}

[[Archivo:gradienteff16c.jpg|marco|centro|Representación gráfica de las curvas de nivel y el gradiente de temperatura.]]

[[Archivo:gradienteff16czoom.jpg|marco|miniaturadeimagen|centro|Ampliación del gradiente y las curvas de nivel, donde se puede observar con más detalle que son perpendiculares entre sí. ]]

==Estudio de la presión media de los puntos del fluido==

La presión de los puntos del fluido viene dada por el campo escalar. Particularizando en los valores que nos dan para p1 y p2:

[[Archivo:Campo_escalar1.png|marco|centro]]

Una vez tenemos la expresión del campo escalar de las presiones calculamos la integral definida en los limites x[0,4] e y[0,1] y el área de nuestro canal. La presión media de los puntos del fluido será la división entre la integral y el área del canal.

[[Archivo:Integral_campo.png|marco|centro]]

==Caudal==

El caudal es la cantidad flujo volumétrico o volumen que pasa por un área dada en la unidad de tiempo.
Para calcular el caudal, lo hacemos mediante una integral de línea:

[[Archivo:16C-10-1.png|sinmarco|centro]]
En nuestro caso,

[[Archivo:16C-10-2.png|marco|centro]]

donde p1=2, p2=1 y μ=1.
Por tanto

[[Archivo:16C-10-3.png|marco|centro]]

El ancho del canal es 1 y por tanto los límites de nuestra integral serán 0 y 1.

[[Archivo:16C-10-4.png|marco|centro]]

El caudal que lleva el canal es de 0.083 m3/s
=== Porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal===

Para calcular el caudal que pasa por la mitad central del canal lo hacemos con la misma integral empleada para el caudal total, pero en el intervalo 0.25 y 0.75, teniendo el valor medio de y, en el centro de dicho intervalo.

[[Archivo:16C-10.2-1.png|marco|centro]]

Y el porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal es:

[[Archivo:16C-10.2-2.png|marco|centro]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-04T12:49:13Z

Laura93: /* Estudio de la temperatura del fluido */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Sarah Boufounas, Laura García Pedraz, Isabel Roselló Colom, Ignacio Riesco Fernández , Larisa Elena Suta, Álvaro Valbuena Pámpanas }}

El trabajo que nos ocupa es el del estudio de la visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. La consideración a tomar como fluido ha sido la de un fluido incompresible a traves de un canal con pareces rectas.
La variación del volumen del fluido va a ser por tanto nula.
El canal está compuesto por dos paneles rectos.
Las coordenadas en la que refiramos los apartados serán cartesianas.

==Breve introducción a la incompresibilidad de un fluido==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. De hecho, todos los fluidos son compresibles, algunos más que otros. La compresión de un fluido mide el cambio en el volumen de una cierta cantidad de líquido cuando se somete a una presión exterior.

Por esta razón, para simplificar las ecuaciones de la mecánica de fluidos, se considera que los líquidos son incompresibles. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante.
Se debe prestar atención a todas las propiedades del fluido (aire, agua) para definir las condiciones de flujo. Esto se debe a que todas las propiedades están conectadas entre sí. Si la presión o la temperatura de un fluido cambia, su densidad generalmente también cambia (a menos que se trate de un fluido incompresible, como en el ejercicio que ahora estudiamos).
[[Archivo:Awa.jpg.jpg|marco|centro]]

==Mallado ocupado por el fluido==

==Comprobación ecuación Navier-Stokes==
Partimos de las ecuaciones de la velocidad y la presión de las partículas del fluido, respectivamente:
[[Archivo:Camp1.jpg|marco|centro]]
Con ello se pide verificar la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp3.jpg|marco|centro]]
Para ello vamos a ir parte por parte. En primer lugar, tenemos:
[[Archivo:Camp4.jpg|marco|centro]]
Desarrollamos este primer término:
[[Archivo:Camp5.jpg|marco|centro]] donde todos los términos son nulos, excepto la derivada parcial de u1 con respecto a y, y esto se debe a que:
-Se ha de cumplir la expresión que nos dan como resultado del primer sumando de la ecuación, lo que implica que la primera y la tercera derivada parcial del desarrollo anterior sean nulos.

-u2,u3 son 0, ya que la ecuación velocidad que se proporciona está representada en i.
De esta forma nos queda:
[[Archivo:Camp6.jpg|marco|centro]]
[[Archivo:Camp10.jpg|marco|centro]]
Por otro lado, vamos con otro término de la ecuación:
[[Archivo:Camp7.jpg|marco|centro]]
Desarrollando, se tiene:
[[Archivo:Camp8.jpg|marco|centro]]
Por último, vamos con el segundo sumando de la ecuación a demostrar:
[[Archivo:Camp9.jpg|marco|centro]]
Finalmente, basta con sustituir cada uno de estos términos en la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp11.jpg|marco|centro]]
Por lo tanto, queda así demostrado.

Por otro lado, vamos a comprobar la condición de incompresibilidad de un fluido, para lo cual partimos de la expresión facilitada y desarrollamos:
[[Archivo:Camp12.jpg|marco|centro]]
Para terminar, comprobamos que la velocidad del fluido en las paredes y=0, y=1 es nula, para lo cual simplemente sustituimos en la expresión de la velocidad dada:
[[Archivo:Camp0.jpg|marco|centro]]

==Estudio de la velocidad del fluido==
===Método de estudio===
El campo de velocidades realizado en el apartado anterior ha dejado de forma gráfica patente, dónde se desarrollan las velocidades máximas de nuestro fluido; sin embargo y a nivel matemático, para desarrollarlo de forma analítica bastaría con realizar la derivada del campo de velocidades con respecto a Y llegando a la conclusión de que las mayores velocidades se dan en la céntrica línea de Y=1/2
En la siguiente imagen podemos observar las operaciones realizadas para llegar a nuestra conclusión.
[[Archivo:Roti.png|marco|centro]]
===¿Esta solución tiene un sentido físico? ¿Es razonable?===
Sí, en efecto podríamos hablar de un sentido físico dado que en la circulación de fluidos por conductos o tuberías la velocidad máxima siempre tiende a localizarse en el centro. Los extremos siempre conllevan perdidas de carga continuas y fuerzas de rozamiento. Es por el centro donde la circulación es más libre y por tanto la velocidad se incrementa.
[[Archivo:Centri.jpg|marco|centro]]

==Representacion del campo de presiones==
Para representar el campo de velocidades y presiones vamos a suponer que p1=2 y p2=1 , con mu=1.
Para ello usaremos el programa de Matlab.

El codigo para el campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Porgramapresion.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Reprpresion.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Representacion3D.png|marco|centro]]

En el campo de presiones podemos apreciar que la presion es más alta en las zonas más cálidas (colores como rojo, naranja, amarillo y verde), y en las zonas más frías (colores como verde,celeste y azul), la presión es más baja. Esto significa que a medida que el fluido va avanzando en el canal la presión va bajando.

==Representacion del campo de velocidades==

El codigo para el campo de velocidades es el siguiente:
[[Archivo:Programavelocidad.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Representacion2Dvel.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Repres3D.png|marco|centro]]

En el campo de velocidades podemos observar que todos los vectores apuntan hacia la misma dirección, en sentido paralelo al eje x. También que la velocidad es mayor en el centro del canal que en las paredes porque los vectores tienen mayor módulo ahí, esto ocurre porque no hay barreras en el centro que pueda provocar una disminución en la velocidad.

==Lineas de corriente==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente des campo u, es decir, las líneas que son tangentes a este en cada punto. Para esto calculamos un campo v, que es ortogonal a u.

[[Archivo:1s.jpg|marco|centro]]

Vamos a calcular el potencial escalar ψ, que se conoce como función de corriente de u :

[[Archivo:2s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:3s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:4s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:5s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:6s.jpg|marco|centro]]

Calculamos el rotacional:

[[Archivo:7s.jpg|marco|centro]]

Se comprueba que es irrotacional (por ser u de divergencia nula)

[[Archivo:8s.jpg|marco|centro]]

Se mostrara a continuacion la representacion de las lineas de corriente de u (ψ=cte) que el enunciado pide.

Usando el siguiente programa de matlab :

[[Archivo:Helloprogr.png|marco|centro]]

El grafico resultante es el siguiente:

[[Archivo:Helloo.png|marco|centro]]

Las dos conclusiones fundamentales que se pueden apreciar en la representación gráfica son que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además que el campo \( \vec v \) es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Estudio del rotacional de campo==
Usamos el concepto de rotacional de campo en el cálculo vectorial, el rotacional o también denominado a veces rotor es un operador vectorial para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto.
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto, es decir:
[[Archivo:Plapo.png|marco|centro]]
Sin embargo se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:
[[Archivo:Deteret.png|marco|centro]]
y relacionando el operador nabla con nuestro campo,
[[Archivo:Rotixx.png|marco|centro]]

{{matlab|codigo=

x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

rotabs=abs(Y-(1/2)); %Rotacional

surf(X,Y,rotabs)

axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:16C-rotabs.png|marco|centro|Representación del rotacional en valor absoluto]]
El dibujo del mallado en Matlab deja patente que el rotacional crece en valor absoluto a medida que nos acercamos a las paredes de la sección. Eso quiere decir que a medida que el rotacional crece, decrecen la velocidad de las partículas.
El rotacional es mayor en los puntos cercanos a las paredes porque estos son más propensos a generar rotación alrededor de puntos en concreto al tener una velocidad más pequeña y una trayectoria menos libre.

== Estudio de la temperatura del fluido ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente expresión:
[[Archivo:Temperatura16c.png|marco|ninguna]]

Como esta función está expresada en coordenadas cilíndricas, para el estudio de la temperatura trabajaremos en estas coordenadas. Para ello se debe establecer el dominio de ro y theta teniendo en cuenta su relación con x e y:
[[Archivo:Cilcar.png|marco|centro]]
[[Archivo:Maxmin16c.png|marco|centro]]

Por lo tanto el dominio con el que trabajaremos en coordenadas cilíndricas ser el siguiente:
[[Archivo:domcil.png|marco|centro]]
=== Campo de temperaturas ===

El campo de temperaturas asocia una temperatura a cada punto del fluido. Para su representación gráfica se utilizará el siguiente programa de matlab:
{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,pi/2,10);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
%Superficie
figure(1)
surface(RO,THETA,T)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [pi/2,pi/2];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel
figure(2)
contour(RO,THETA,T,30)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [pi/2,pi/2];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel y superficie 3D
figure (3)
surf(RO,THETA,T)
hold on
contour(RO,THETA,T,30)
grid on
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')
zlabel('Temperatura')
colorbar

}}

[[Archivo:Superficie16cff.jpg|marco|centro|Representación gráfica del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvas16cff.jpg||marco|centro|Curvas de nivel del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvasysuperficie16cff.jpg|marco|centro|Representación del campo de temperaturas y sus curvas de nivel de manera conjunta]]

===Temperatura máxima===

Para el cálculo de la temperatura máxima del fluido, así como la deteterminación del punto donde esta se alcanza se utilizará el sguiente programa de MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Temperatura máxima
Tmax=max(max(T))
%Coordenadas para Tmax
[theta,ro]=find(T==Tmax);
rom=(4.1231/41)*ro
thetam=((pi/2)/10)*theta
}}

La temperatura máxima es T=0.9998 y se alcanza en ro=0.6034 y theta=0.1571. Al fijarse en los gráficos anteriores, que representaban el campo de temperaturas, se observa que este resultado es completamente coherente, pues ese punto claramente está en el entorno en el que se observan las temperaturas más altas.

=== Gradiente de temperatura ===
La temperatura es una magnitud intensiva que adopta un valor distinto para cada punto del espacio, por lo que puede ser descrito como un campo escalar.
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar '''f''' es un campo vectorial. El vector gradiente de '''f''' evaluado en un punto genérico '''x''' del dominio de '''f''' , '''f(x)''', indica la dirección en la cual el campo '''f''' varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de '''f''' en la dirección de dicho vector gradiente.

Si suponemos que '''c : R → R''' n es una curva parametrizada con la propiedad de que '''c(t)''' pertenece al k conjunto de nivel de '''f''' para cualquier '''t ∈ R'''. Esto significa simplemente que '''f ◦ c''' es constantemente igual a k. Por lo tanto: '''d(f ◦ c) dt = 0''', porque es la derivada de una constante. Pero como, por otra parte, tenemos: '''d(f ◦ c) dt = grad f(p) · c’(t)''' , concluimos que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

Por tanto, el gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia.
Siendo esto así, para cada punto del fluido, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido aumenta la temperatura en esa dirección.

Mediante Matlab obtenemos la representación gráfica de las curvas de nivel de la temperatura y el gradiente térmico, y podemos comprobar gráficamente que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,pi/2,10);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
Tro=(-2*RO+1).*cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Componente ro
Ttheta=-sin(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Componente theta
hold on
quiver(RO,THETA,Tro,Ttheta); %Representación del gradiente
contour(RO,THETA,T,30); %Representación de la temperatura

grid on
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [pi/2,pi/2];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)
}}

[[Archivo:gradienteff16c.jpg|marco|centro|Representación gráfica de las curvas de nivel y el gradiente de temperatura.]]

[[Archivo:gradienteff16czoom.jpg|marco|miniaturadeimagen|centro|Ampliación del gradiente y las curvas de nivel, donde se puede observar con más detalle que son perpendiculares entre sí. ]]

==Estudio de la presión media de los puntos del fluido==

La presión de los puntos del fluido viene dada por el campo escalar. Particularizando en los valores que nos dan para p1 y p2:

[[Archivo:Campo_escalar1.png|marco|centro]]

Una vez tenemos la expresión del campo escalar de las presiones calculamos la integral definida en los limites x[0,4] e y[0,1] y el área de nuestro canal. La presión media de los puntos del fluido será la división entre la integral y el área del canal.

[[Archivo:Integral_campo.png|marco|centro]]

==Caudal==

El caudal es la cantidad flujo volumétrico o volumen que pasa por un área dada en la unidad de tiempo.
Para calcular el caudal, lo hacemos mediante una integral de línea:

[[Archivo:16C-10-1.png|sinmarco|centro]]
En nuestro caso,

[[Archivo:16C-10-2.png|marco|centro]]

donde p1=2, p2=1 y μ=1.
Por tanto

[[Archivo:16C-10-3.png|marco|centro]]

El ancho del canal es 1 y por tanto los límites de nuestra integral serán 0 y 1.

[[Archivo:16C-10-4.png|marco|centro]]

El caudal que lleva el canal es de 0.083 m3/s
=== Porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal===

Para calcular el caudal que pasa por la mitad central del canal lo hacemos con la misma integral empleada para el caudal total, pero en el intervalo 0.25 y 0.75, teniendo el valor medio de y, en el centro de dicho intervalo.

[[Archivo:16C-10.2-1.png|marco|centro]]

Y el porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal es:

[[Archivo:16C-10.2-2.png|marco|centro]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-04T12:48:09Z

Laura93: /* Estudio de la temperatura del fluido */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Sarah Boufounas, Laura García Pedraz, Isabel Roselló Colom, Ignacio Riesco Fernández , Larisa Elena Suta, Álvaro Valbuena Pámpanas }}

El trabajo que nos ocupa es el del estudio de la visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. La consideración a tomar como fluido ha sido la de un fluido incompresible a traves de un canal con pareces rectas.
La variación del volumen del fluido va a ser por tanto nula.
El canal está compuesto por dos paneles rectos.
Las coordenadas en la que refiramos los apartados serán cartesianas.

==Breve introducción a la incompresibilidad de un fluido==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. De hecho, todos los fluidos son compresibles, algunos más que otros. La compresión de un fluido mide el cambio en el volumen de una cierta cantidad de líquido cuando se somete a una presión exterior.

Por esta razón, para simplificar las ecuaciones de la mecánica de fluidos, se considera que los líquidos son incompresibles. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante.
Se debe prestar atención a todas las propiedades del fluido (aire, agua) para definir las condiciones de flujo. Esto se debe a que todas las propiedades están conectadas entre sí. Si la presión o la temperatura de un fluido cambia, su densidad generalmente también cambia (a menos que se trate de un fluido incompresible, como en el ejercicio que ahora estudiamos).
[[Archivo:Awa.jpg.jpg|marco|centro]]

==Mallado ocupado por el fluido==

==Comprobación ecuación Navier-Stokes==
Partimos de las ecuaciones de la velocidad y la presión de las partículas del fluido, respectivamente:
[[Archivo:Camp1.jpg|marco|centro]]
Con ello se pide verificar la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp3.jpg|marco|centro]]
Para ello vamos a ir parte por parte. En primer lugar, tenemos:
[[Archivo:Camp4.jpg|marco|centro]]
Desarrollamos este primer término:
[[Archivo:Camp5.jpg|marco|centro]] donde todos los términos son nulos, excepto la derivada parcial de u1 con respecto a y, y esto se debe a que:
-Se ha de cumplir la expresión que nos dan como resultado del primer sumando de la ecuación, lo que implica que la primera y la tercera derivada parcial del desarrollo anterior sean nulos.

-u2,u3 son 0, ya que la ecuación velocidad que se proporciona está representada en i.
De esta forma nos queda:
[[Archivo:Camp6.jpg|marco|centro]]
[[Archivo:Camp10.jpg|marco|centro]]
Por otro lado, vamos con otro término de la ecuación:
[[Archivo:Camp7.jpg|marco|centro]]
Desarrollando, se tiene:
[[Archivo:Camp8.jpg|marco|centro]]
Por último, vamos con el segundo sumando de la ecuación a demostrar:
[[Archivo:Camp9.jpg|marco|centro]]
Finalmente, basta con sustituir cada uno de estos términos en la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp11.jpg|marco|centro]]
Por lo tanto, queda así demostrado.

Por otro lado, vamos a comprobar la condición de incompresibilidad de un fluido, para lo cual partimos de la expresión facilitada y desarrollamos:
[[Archivo:Camp12.jpg|marco|centro]]
Para terminar, comprobamos que la velocidad del fluido en las paredes y=0, y=1 es nula, para lo cual simplemente sustituimos en la expresión de la velocidad dada:
[[Archivo:Camp0.jpg|marco|centro]]

==Estudio de la velocidad del fluido==
===Método de estudio===
El campo de velocidades realizado en el apartado anterior ha dejado de forma gráfica patente, dónde se desarrollan las velocidades máximas de nuestro fluido; sin embargo y a nivel matemático, para desarrollarlo de forma analítica bastaría con realizar la derivada del campo de velocidades con respecto a Y llegando a la conclusión de que las mayores velocidades se dan en la céntrica línea de Y=1/2
En la siguiente imagen podemos observar las operaciones realizadas para llegar a nuestra conclusión.
[[Archivo:Roti.png|marco|centro]]
===¿Esta solución tiene un sentido físico? ¿Es razonable?===
Sí, en efecto podríamos hablar de un sentido físico dado que en la circulación de fluidos por conductos o tuberías la velocidad máxima siempre tiende a localizarse en el centro. Los extremos siempre conllevan perdidas de carga continuas y fuerzas de rozamiento. Es por el centro donde la circulación es más libre y por tanto la velocidad se incrementa.
[[Archivo:Centri.jpg|marco|centro]]

==Representacion del campo de presiones==
Para representar el campo de velocidades y presiones vamos a suponer que p1=2 y p2=1 , con mu=1.
Para ello usaremos el programa de Matlab.

El codigo para el campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Porgramapresion.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Reprpresion.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Representacion3D.png|marco|centro]]

En el campo de presiones podemos apreciar que la presion es más alta en las zonas más cálidas (colores como rojo, naranja, amarillo y verde), y en las zonas más frías (colores como verde,celeste y azul), la presión es más baja. Esto significa que a medida que el fluido va avanzando en el canal la presión va bajando.

==Representacion del campo de velocidades==

El codigo para el campo de velocidades es el siguiente:
[[Archivo:Programavelocidad.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Representacion2Dvel.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Repres3D.png|marco|centro]]

En el campo de velocidades podemos observar que todos los vectores apuntan hacia la misma dirección, en sentido paralelo al eje x. También que la velocidad es mayor en el centro del canal que en las paredes porque los vectores tienen mayor módulo ahí, esto ocurre porque no hay barreras en el centro que pueda provocar una disminución en la velocidad.

==Lineas de corriente==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente des campo u, es decir, las líneas que son tangentes a este en cada punto. Para esto calculamos un campo v, que es ortogonal a u.

[[Archivo:1s.jpg|marco|centro]]

Vamos a calcular el potencial escalar ψ, que se conoce como función de corriente de u :

[[Archivo:2s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:3s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:4s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:5s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:6s.jpg|marco|centro]]

Calculamos el rotacional:

[[Archivo:7s.jpg|marco|centro]]

Se comprueba que es irrotacional (por ser u de divergencia nula)

[[Archivo:8s.jpg|marco|centro]]

Se mostrara a continuacion la representacion de las lineas de corriente de u (ψ=cte) que el enunciado pide.

Usando el siguiente programa de matlab :

[[Archivo:Helloprogr.png|marco|centro]]

El grafico resultante es el siguiente:

[[Archivo:Helloo.png|marco|centro]]

Las dos conclusiones fundamentales que se pueden apreciar en la representación gráfica son que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además que el campo \( \vec v \) es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Estudio del rotacional de campo==
Usamos el concepto de rotacional de campo en el cálculo vectorial, el rotacional o también denominado a veces rotor es un operador vectorial para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto.
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto, es decir:
[[Archivo:Plapo.png|marco|centro]]
Sin embargo se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:
[[Archivo:Deteret.png|marco|centro]]
y relacionando el operador nabla con nuestro campo,
[[Archivo:Rotixx.png|marco|centro]]

{{matlab|codigo=

x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

rotabs=abs(Y-(1/2)); %Rotacional

surf(X,Y,rotabs)

axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:16C-rotabs.png|marco|centro|Representación del rotacional en valor absoluto]]
El dibujo del mallado en Matlab deja patente que el rotacional crece en valor absoluto a medida que nos acercamos a las paredes de la sección. Eso quiere decir que a medida que el rotacional crece, decrecen la velocidad de las partículas.
El rotacional es mayor en los puntos cercanos a las paredes porque estos son más propensos a generar rotación alrededor de puntos en concreto al tener una velocidad más pequeña y una trayectoria menos libre.

== Estudio de la temperatura del fluido ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente expresión:
[[Archivo:Temperatura16c.png|marco|ninguna]]

Como esta función está expresada en coordenadas cilíndricas, para el estudio de la temperatura trabajaremos en estas coordenadas. Para ello se debe establecer el dominio de ro y theta teniendo en cuenta su relación con x e y:
[[Archivo:Cilcar.png|marco|centro]]
[[Archivo:Maxmin16c.png|marco|centro]]
[[Archivo:domcil.png|marco|centro]]
=== Campo de temperaturas ===

El campo de temperaturas asocia una temperatura a cada punto del fluido. Para su representación gráfica se utilizará el siguiente programa de matlab:
{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,pi/2,10);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
%Superficie
figure(1)
surface(RO,THETA,T)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [pi/2,pi/2];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel
figure(2)
contour(RO,THETA,T,30)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [pi/2,pi/2];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel y superficie 3D
figure (3)
surf(RO,THETA,T)
hold on
contour(RO,THETA,T,30)
grid on
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')
zlabel('Temperatura')
colorbar

}}

[[Archivo:Superficie16cff.jpg|marco|centro|Representación gráfica del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvas16cff.jpg||marco|centro|Curvas de nivel del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvasysuperficie16cff.jpg|marco|centro|Representación del campo de temperaturas y sus curvas de nivel de manera conjunta]]

===Temperatura máxima===

Para el cálculo de la temperatura máxima del fluido, así como la deteterminación del punto donde esta se alcanza se utilizará el sguiente programa de MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Temperatura máxima
Tmax=max(max(T))
%Coordenadas para Tmax
[theta,ro]=find(T==Tmax);
rom=(4.1231/41)*ro
thetam=((pi/2)/10)*theta
}}

La temperatura máxima es T=0.9998 y se alcanza en ro=0.6034 y theta=0.1571. Al fijarse en los gráficos anteriores, que representaban el campo de temperaturas, se observa que este resultado es completamente coherente, pues ese punto claramente está en el entorno en el que se observan las temperaturas más altas.

=== Gradiente de temperatura ===
La temperatura es una magnitud intensiva que adopta un valor distinto para cada punto del espacio, por lo que puede ser descrito como un campo escalar.
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar '''f''' es un campo vectorial. El vector gradiente de '''f''' evaluado en un punto genérico '''x''' del dominio de '''f''' , '''f(x)''', indica la dirección en la cual el campo '''f''' varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de '''f''' en la dirección de dicho vector gradiente.

Si suponemos que '''c : R → R''' n es una curva parametrizada con la propiedad de que '''c(t)''' pertenece al k conjunto de nivel de '''f''' para cualquier '''t ∈ R'''. Esto significa simplemente que '''f ◦ c''' es constantemente igual a k. Por lo tanto: '''d(f ◦ c) dt = 0''', porque es la derivada de una constante. Pero como, por otra parte, tenemos: '''d(f ◦ c) dt = grad f(p) · c’(t)''' , concluimos que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

Por tanto, el gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia.
Siendo esto así, para cada punto del fluido, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido aumenta la temperatura en esa dirección.

Mediante Matlab obtenemos la representación gráfica de las curvas de nivel de la temperatura y el gradiente térmico, y podemos comprobar gráficamente que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,pi/2,10);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
Tro=(-2*RO+1).*cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Componente ro
Ttheta=-sin(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Componente theta
hold on
quiver(RO,THETA,Tro,Ttheta); %Representación del gradiente
contour(RO,THETA,T,30); %Representación de la temperatura

grid on
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [pi/2,pi/2];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)
}}

[[Archivo:gradienteff16c.jpg|marco|centro|Representación gráfica de las curvas de nivel y el gradiente de temperatura.]]

[[Archivo:gradienteff16czoom.jpg|marco|miniaturadeimagen|centro|Ampliación del gradiente y las curvas de nivel, donde se puede observar con más detalle que son perpendiculares entre sí. ]]

==Estudio de la presión media de los puntos del fluido==

La presión de los puntos del fluido viene dada por el campo escalar. Particularizando en los valores que nos dan para p1 y p2:

[[Archivo:Campo_escalar1.png|marco|centro]]

Una vez tenemos la expresión del campo escalar de las presiones calculamos la integral definida en los limites x[0,4] e y[0,1] y el área de nuestro canal. La presión media de los puntos del fluido será la división entre la integral y el área del canal.

[[Archivo:Integral_campo.png|marco|centro]]

==Caudal==

El caudal es la cantidad flujo volumétrico o volumen que pasa por un área dada en la unidad de tiempo.
Para calcular el caudal, lo hacemos mediante una integral de línea:

[[Archivo:16C-10-1.png|sinmarco|centro]]
En nuestro caso,

[[Archivo:16C-10-2.png|marco|centro]]

donde p1=2, p2=1 y μ=1.
Por tanto

[[Archivo:16C-10-3.png|marco|centro]]

El ancho del canal es 1 y por tanto los límites de nuestra integral serán 0 y 1.

[[Archivo:16C-10-4.png|marco|centro]]

El caudal que lleva el canal es de 0.083 m3/s
=== Porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal===

Para calcular el caudal que pasa por la mitad central del canal lo hacemos con la misma integral empleada para el caudal total, pero en el intervalo 0.25 y 0.75, teniendo el valor medio de y, en el centro de dicho intervalo.

[[Archivo:16C-10.2-1.png|marco|centro]]

Y el porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal es:

[[Archivo:16C-10.2-2.png|marco|centro]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Archivo:Temperatura16c.png

2015-12-04T12:47:07Z

Laura93:

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-04T12:45:53Z

Laura93: /* Estudio de la temperatura del fluido */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Sarah Boufounas, Laura García Pedraz, Isabel Roselló Colom, Ignacio Riesco Fernández , Larisa Elena Suta, Álvaro Valbuena Pámpanas }}

El trabajo que nos ocupa es el del estudio de la visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. La consideración a tomar como fluido ha sido la de un fluido incompresible a traves de un canal con pareces rectas.
La variación del volumen del fluido va a ser por tanto nula.
El canal está compuesto por dos paneles rectos.
Las coordenadas en la que refiramos los apartados serán cartesianas.

==Breve introducción a la incompresibilidad de un fluido==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. De hecho, todos los fluidos son compresibles, algunos más que otros. La compresión de un fluido mide el cambio en el volumen de una cierta cantidad de líquido cuando se somete a una presión exterior.

Por esta razón, para simplificar las ecuaciones de la mecánica de fluidos, se considera que los líquidos son incompresibles. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante.
Se debe prestar atención a todas las propiedades del fluido (aire, agua) para definir las condiciones de flujo. Esto se debe a que todas las propiedades están conectadas entre sí. Si la presión o la temperatura de un fluido cambia, su densidad generalmente también cambia (a menos que se trate de un fluido incompresible, como en el ejercicio que ahora estudiamos).
[[Archivo:Awa.jpg.jpg|marco|centro]]

==Mallado ocupado por el fluido==

==Comprobación ecuación Navier-Stokes==
Partimos de las ecuaciones de la velocidad y la presión de las partículas del fluido, respectivamente:
[[Archivo:Camp1.jpg|marco|centro]]
Con ello se pide verificar la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp3.jpg|marco|centro]]
Para ello vamos a ir parte por parte. En primer lugar, tenemos:
[[Archivo:Camp4.jpg|marco|centro]]
Desarrollamos este primer término:
[[Archivo:Camp5.jpg|marco|centro]] donde todos los términos son nulos, excepto la derivada parcial de u1 con respecto a y, y esto se debe a que:
-Se ha de cumplir la expresión que nos dan como resultado del primer sumando de la ecuación, lo que implica que la primera y la tercera derivada parcial del desarrollo anterior sean nulos.

-u2,u3 son 0, ya que la ecuación velocidad que se proporciona está representada en i.
De esta forma nos queda:
[[Archivo:Camp6.jpg|marco|centro]]
[[Archivo:Camp10.jpg|marco|centro]]
Por otro lado, vamos con otro término de la ecuación:
[[Archivo:Camp7.jpg|marco|centro]]
Desarrollando, se tiene:
[[Archivo:Camp8.jpg|marco|centro]]
Por último, vamos con el segundo sumando de la ecuación a demostrar:
[[Archivo:Camp9.jpg|marco|centro]]
Finalmente, basta con sustituir cada uno de estos términos en la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp11.jpg|marco|centro]]
Por lo tanto, queda así demostrado.

Por otro lado, vamos a comprobar la condición de incompresibilidad de un fluido, para lo cual partimos de la expresión facilitada y desarrollamos:
[[Archivo:Camp12.jpg|marco|centro]]
Para terminar, comprobamos que la velocidad del fluido en las paredes y=0, y=1 es nula, para lo cual simplemente sustituimos en la expresión de la velocidad dada:
[[Archivo:Camp0.jpg|marco|centro]]

==Estudio de la velocidad del fluido==
===Método de estudio===
El campo de velocidades realizado en el apartado anterior ha dejado de forma gráfica patente, dónde se desarrollan las velocidades máximas de nuestro fluido; sin embargo y a nivel matemático, para desarrollarlo de forma analítica bastaría con realizar la derivada del campo de velocidades con respecto a Y llegando a la conclusión de que las mayores velocidades se dan en la céntrica línea de Y=1/2
En la siguiente imagen podemos observar las operaciones realizadas para llegar a nuestra conclusión.
[[Archivo:Roti.png|marco|centro]]
===¿Esta solución tiene un sentido físico? ¿Es razonable?===
Sí, en efecto podríamos hablar de un sentido físico dado que en la circulación de fluidos por conductos o tuberías la velocidad máxima siempre tiende a localizarse en el centro. Los extremos siempre conllevan perdidas de carga continuas y fuerzas de rozamiento. Es por el centro donde la circulación es más libre y por tanto la velocidad se incrementa.
[[Archivo:Centri.jpg|marco|centro]]

==Representacion del campo de presiones==
Para representar el campo de velocidades y presiones vamos a suponer que p1=2 y p2=1 , con mu=1.
Para ello usaremos el programa de Matlab.

El codigo para el campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Porgramapresion.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Reprpresion.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Representacion3D.png|marco|centro]]

En el campo de presiones podemos apreciar que la presion es más alta en las zonas más cálidas (colores como rojo, naranja, amarillo y verde), y en las zonas más frías (colores como verde,celeste y azul), la presión es más baja. Esto significa que a medida que el fluido va avanzando en el canal la presión va bajando.

==Representacion del campo de velocidades==

El codigo para el campo de velocidades es el siguiente:
[[Archivo:Programavelocidad.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Representacion2Dvel.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Repres3D.png|marco|centro]]

En el campo de velocidades podemos observar que todos los vectores apuntan hacia la misma dirección, en sentido paralelo al eje x. También que la velocidad es mayor en el centro del canal que en las paredes porque los vectores tienen mayor módulo ahí, esto ocurre porque no hay barreras en el centro que pueda provocar una disminución en la velocidad.

==Lineas de corriente==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente des campo u, es decir, las líneas que son tangentes a este en cada punto. Para esto calculamos un campo v, que es ortogonal a u.

[[Archivo:1s.jpg|marco|centro]]

Vamos a calcular el potencial escalar ψ, que se conoce como función de corriente de u :

[[Archivo:2s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:3s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:4s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:5s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:6s.jpg|marco|centro]]

Calculamos el rotacional:

[[Archivo:7s.jpg|marco|centro]]

Se comprueba que es irrotacional (por ser u de divergencia nula)

[[Archivo:8s.jpg|marco|centro]]

Se mostrara a continuacion la representacion de las lineas de corriente de u (ψ=cte) que el enunciado pide.

Usando el siguiente programa de matlab :

[[Archivo:Helloprogr.png|marco|centro]]

El grafico resultante es el siguiente:

[[Archivo:Helloo.png|marco|centro]]

Las dos conclusiones fundamentales que se pueden apreciar en la representación gráfica son que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además que el campo \( \vec v \) es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Estudio del rotacional de campo==
Usamos el concepto de rotacional de campo en el cálculo vectorial, el rotacional o también denominado a veces rotor es un operador vectorial para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto.
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto, es decir:
[[Archivo:Plapo.png|marco|centro]]
Sin embargo se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:
[[Archivo:Deteret.png|marco|centro]]
y relacionando el operador nabla con nuestro campo,
[[Archivo:Rotixx.png|marco|centro]]

{{matlab|codigo=

x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

rotabs=abs(Y-(1/2)); %Rotacional

surf(X,Y,rotabs)

axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:16C-rotabs.png|marco|centro|Representación del rotacional en valor absoluto]]
El dibujo del mallado en Matlab deja patente que el rotacional crece en valor absoluto a medida que nos acercamos a las paredes de la sección. Eso quiere decir que a medida que el rotacional crece, decrecen la velocidad de las partículas.
El rotacional es mayor en los puntos cercanos a las paredes porque estos son más propensos a generar rotación alrededor de puntos en concreto al tener una velocidad más pequeña y una trayectoria menos libre.

== Estudio de la temperatura del fluido ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente expresión:
[[Archivo:Temperatura16c.png|sinmarco|ninguna]]

Como esta función está expresada en coordenadas cilíndricas, para el estudio de la temperatura trabajaremos en estas coordenadas. Para ello se debe establecer el dominio de ro y theta teniendo en cuenta su relación con x e y:
[[Archivo:Cilcar.png|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Maxmin16c.png|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Coorcil.png|sinmarco|centro]]
=== Campo de temperaturas ===

El campo de temperaturas asocia una temperatura a cada punto del fluido. Para su representación gráfica se utilizará el siguiente programa de matlab:
{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,pi/2,10);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
%Superficie
figure(1)
surface(RO,THETA,T)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [pi/2,pi/2];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel
figure(2)
contour(RO,THETA,T,30)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [pi/2,pi/2];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel y superficie 3D
figure (3)
surf(RO,THETA,T)
hold on
contour(RO,THETA,T,30)
grid on
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')
zlabel('Temperatura')
colorbar

}}

[[Archivo:Superficie16cff.jpg|marco|centro|Representación gráfica del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvas16cff.jpg||marco|centro|Curvas de nivel del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvasysuperficie16cff.jpg|marco|centro|Representación del campo de temperaturas y sus curvas de nivel de manera conjunta]]

===Temperatura máxima===

Para el cálculo de la temperatura máxima del fluido, así como la deteterminación del punto donde esta se alcanza se utilizará el sguiente programa de MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Temperatura máxima
Tmax=max(max(T))
%Coordenadas para Tmax
[theta,ro]=find(T==Tmax);
rom=(4.1231/41)*ro
thetam=((pi/2)/10)*theta
}}

La temperatura máxima es T=0.9998 y se alcanza en ro=0.6034 y theta=0.1571. Al fijarse en los gráficos anteriores, que representaban el campo de temperaturas, se observa que este resultado es completamente coherente, pues ese punto claramente está en el entorno en el que se observan las temperaturas más altas.

=== Gradiente de temperatura ===
La temperatura es una magnitud intensiva que adopta un valor distinto para cada punto del espacio, por lo que puede ser descrito como un campo escalar.
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar '''f''' es un campo vectorial. El vector gradiente de '''f''' evaluado en un punto genérico '''x''' del dominio de '''f''' , '''f(x)''', indica la dirección en la cual el campo '''f''' varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de '''f''' en la dirección de dicho vector gradiente.

Si suponemos que '''c : R → R''' n es una curva parametrizada con la propiedad de que '''c(t)''' pertenece al k conjunto de nivel de '''f''' para cualquier '''t ∈ R'''. Esto significa simplemente que '''f ◦ c''' es constantemente igual a k. Por lo tanto: '''d(f ◦ c) dt = 0''', porque es la derivada de una constante. Pero como, por otra parte, tenemos: '''d(f ◦ c) dt = grad f(p) · c’(t)''' , concluimos que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

Por tanto, el gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia.
Siendo esto así, para cada punto del fluido, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido aumenta la temperatura en esa dirección.

Mediante Matlab obtenemos la representación gráfica de las curvas de nivel de la temperatura y el gradiente térmico, y podemos comprobar gráficamente que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,pi/2,10);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
Tro=(-2*RO+1).*cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Componente ro
Ttheta=-sin(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Componente theta
hold on
quiver(RO,THETA,Tro,Ttheta); %Representación del gradiente
contour(RO,THETA,T,30); %Representación de la temperatura

grid on
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [pi/2,pi/2];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)
}}

[[Archivo:gradienteff16c.jpg|marco|centro|Representación gráfica de las curvas de nivel y el gradiente de temperatura.]]

[[Archivo:gradienteff16czoom.jpg|marco|miniaturadeimagen|centro|Ampliación del gradiente y las curvas de nivel, donde se puede observar con más detalle que son perpendiculares entre sí. ]]

==Estudio de la presión media de los puntos del fluido==

La presión de los puntos del fluido viene dada por el campo escalar. Particularizando en los valores que nos dan para p1 y p2:

[[Archivo:Campo_escalar1.png|marco|centro]]

Una vez tenemos la expresión del campo escalar de las presiones calculamos la integral definida en los limites x[0,4] e y[0,1] y el área de nuestro canal. La presión media de los puntos del fluido será la división entre la integral y el área del canal.

[[Archivo:Integral_campo.png|marco|centro]]

==Caudal==

El caudal es la cantidad flujo volumétrico o volumen que pasa por un área dada en la unidad de tiempo.
Para calcular el caudal, lo hacemos mediante una integral de línea:

[[Archivo:16C-10-1.png|sinmarco|centro]]
En nuestro caso,

[[Archivo:16C-10-2.png|marco|centro]]

donde p1=2, p2=1 y μ=1.
Por tanto

[[Archivo:16C-10-3.png|marco|centro]]

El ancho del canal es 1 y por tanto los límites de nuestra integral serán 0 y 1.

[[Archivo:16C-10-4.png|marco|centro]]

El caudal que lleva el canal es de 0.083 m3/s
=== Porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal===

Para calcular el caudal que pasa por la mitad central del canal lo hacemos con la misma integral empleada para el caudal total, pero en el intervalo 0.25 y 0.75, teniendo el valor medio de y, en el centro de dicho intervalo.

[[Archivo:16C-10.2-1.png|marco|centro]]

Y el porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal es:

[[Archivo:16C-10.2-2.png|marco|centro]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-04T12:43:30Z

Laura93: /* Gradiente de temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Sarah Boufounas, Laura García Pedraz, Isabel Roselló Colom, Ignacio Riesco Fernández , Larisa Elena Suta, Álvaro Valbuena Pámpanas }}

El trabajo que nos ocupa es el del estudio de la visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. La consideración a tomar como fluido ha sido la de un fluido incompresible a traves de un canal con pareces rectas.
La variación del volumen del fluido va a ser por tanto nula.
El canal está compuesto por dos paneles rectos.
Las coordenadas en la que refiramos los apartados serán cartesianas.

==Breve introducción a la incompresibilidad de un fluido==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. De hecho, todos los fluidos son compresibles, algunos más que otros. La compresión de un fluido mide el cambio en el volumen de una cierta cantidad de líquido cuando se somete a una presión exterior.

Por esta razón, para simplificar las ecuaciones de la mecánica de fluidos, se considera que los líquidos son incompresibles. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante.
Se debe prestar atención a todas las propiedades del fluido (aire, agua) para definir las condiciones de flujo. Esto se debe a que todas las propiedades están conectadas entre sí. Si la presión o la temperatura de un fluido cambia, su densidad generalmente también cambia (a menos que se trate de un fluido incompresible, como en el ejercicio que ahora estudiamos).
[[Archivo:Awa.jpg.jpg|marco|centro]]

==Mallado ocupado por el fluido==

==Comprobación ecuación Navier-Stokes==
Partimos de las ecuaciones de la velocidad y la presión de las partículas del fluido, respectivamente:
[[Archivo:Camp1.jpg|marco|centro]]
Con ello se pide verificar la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp3.jpg|marco|centro]]
Para ello vamos a ir parte por parte. En primer lugar, tenemos:
[[Archivo:Camp4.jpg|marco|centro]]
Desarrollamos este primer término:
[[Archivo:Camp5.jpg|marco|centro]] donde todos los términos son nulos, excepto la derivada parcial de u1 con respecto a y, y esto se debe a que:
-Se ha de cumplir la expresión que nos dan como resultado del primer sumando de la ecuación, lo que implica que la primera y la tercera derivada parcial del desarrollo anterior sean nulos.

-u2,u3 son 0, ya que la ecuación velocidad que se proporciona está representada en i.
De esta forma nos queda:
[[Archivo:Camp6.jpg|marco|centro]]
[[Archivo:Camp10.jpg|marco|centro]]
Por otro lado, vamos con otro término de la ecuación:
[[Archivo:Camp7.jpg|marco|centro]]
Desarrollando, se tiene:
[[Archivo:Camp8.jpg|marco|centro]]
Por último, vamos con el segundo sumando de la ecuación a demostrar:
[[Archivo:Camp9.jpg|marco|centro]]
Finalmente, basta con sustituir cada uno de estos términos en la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp11.jpg|marco|centro]]
Por lo tanto, queda así demostrado.

Por otro lado, vamos a comprobar la condición de incompresibilidad de un fluido, para lo cual partimos de la expresión facilitada y desarrollamos:
[[Archivo:Camp12.jpg|marco|centro]]
Para terminar, comprobamos que la velocidad del fluido en las paredes y=0, y=1 es nula, para lo cual simplemente sustituimos en la expresión de la velocidad dada:
[[Archivo:Camp0.jpg|marco|centro]]

==Estudio de la velocidad del fluido==
===Método de estudio===
El campo de velocidades realizado en el apartado anterior ha dejado de forma gráfica patente, dónde se desarrollan las velocidades máximas de nuestro fluido; sin embargo y a nivel matemático, para desarrollarlo de forma analítica bastaría con realizar la derivada del campo de velocidades con respecto a Y llegando a la conclusión de que las mayores velocidades se dan en la céntrica línea de Y=1/2
En la siguiente imagen podemos observar las operaciones realizadas para llegar a nuestra conclusión.
[[Archivo:Roti.png|marco|centro]]
===¿Esta solución tiene un sentido físico? ¿Es razonable?===
Sí, en efecto podríamos hablar de un sentido físico dado que en la circulación de fluidos por conductos o tuberías la velocidad máxima siempre tiende a localizarse en el centro. Los extremos siempre conllevan perdidas de carga continuas y fuerzas de rozamiento. Es por el centro donde la circulación es más libre y por tanto la velocidad se incrementa.
[[Archivo:Centri.jpg|marco|centro]]

==Representacion del campo de presiones==
Para representar el campo de velocidades y presiones vamos a suponer que p1=2 y p2=1 , con mu=1.
Para ello usaremos el programa de Matlab.

El codigo para el campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Porgramapresion.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Reprpresion.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Representacion3D.png|marco|centro]]

En el campo de presiones podemos apreciar que la presion es más alta en las zonas más cálidas (colores como rojo, naranja, amarillo y verde), y en las zonas más frías (colores como verde,celeste y azul), la presión es más baja. Esto significa que a medida que el fluido va avanzando en el canal la presión va bajando.

==Representacion del campo de velocidades==

El codigo para el campo de velocidades es el siguiente:
[[Archivo:Programavelocidad.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Representacion2Dvel.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Repres3D.png|marco|centro]]

En el campo de velocidades podemos observar que todos los vectores apuntan hacia la misma dirección, en sentido paralelo al eje x. También que la velocidad es mayor en el centro del canal que en las paredes porque los vectores tienen mayor módulo ahí, esto ocurre porque no hay barreras en el centro que pueda provocar una disminución en la velocidad.

==Lineas de corriente==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente des campo u, es decir, las líneas que son tangentes a este en cada punto. Para esto calculamos un campo v, que es ortogonal a u.

[[Archivo:1s.jpg|marco|centro]]

Vamos a calcular el potencial escalar ψ, que se conoce como función de corriente de u :

[[Archivo:2s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:3s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:4s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:5s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:6s.jpg|marco|centro]]

Calculamos el rotacional:

[[Archivo:7s.jpg|marco|centro]]

Se comprueba que es irrotacional (por ser u de divergencia nula)

[[Archivo:8s.jpg|marco|centro]]

Se mostrara a continuacion la representacion de las lineas de corriente de u (ψ=cte) que el enunciado pide.

Usando el siguiente programa de matlab :

[[Archivo:Helloprogr.png|marco|centro]]

El grafico resultante es el siguiente:

[[Archivo:Helloo.png|marco|centro]]

Las dos conclusiones fundamentales que se pueden apreciar en la representación gráfica son que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además que el campo \( \vec v \) es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Estudio del rotacional de campo==
Usamos el concepto de rotacional de campo en el cálculo vectorial, el rotacional o también denominado a veces rotor es un operador vectorial para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto.
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto, es decir:
[[Archivo:Plapo.png|marco|centro]]
Sin embargo se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:
[[Archivo:Deteret.png|marco|centro]]
y relacionando el operador nabla con nuestro campo,
[[Archivo:Rotixx.png|marco|centro]]

{{matlab|codigo=

x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

rotabs=abs(Y-(1/2)); %Rotacional

surf(X,Y,rotabs)

axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:16C-rotabs.png|marco|centro|Representación del rotacional en valor absoluto]]
El dibujo del mallado en Matlab deja patente que el rotacional crece en valor absoluto a medida que nos acercamos a las paredes de la sección. Eso quiere decir que a medida que el rotacional crece, decrecen la velocidad de las partículas.
El rotacional es mayor en los puntos cercanos a las paredes porque estos son más propensos a generar rotación alrededor de puntos en concreto al tener una velocidad más pequeña y una trayectoria menos libre.

== Estudio de la temperatura del fluido ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente expresión:

Como esta función está expresada en coordenadas cilíndricas, para el estudio de la temperatura trabajaremos en estas coordenadas. Para ello se debe establecer el dominio de ro y theta teniendo en cuenta su relación con x e y:

=== Campo de temperaturas ===

El campo de temperaturas asocia una temperatura a cada punto del fluido. Para su representación gráfica se utilizará el siguiente programa de matlab:
{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,pi/2,10);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
%Superficie
figure(1)
surface(RO,THETA,T)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [pi/2,pi/2];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel
figure(2)
contour(RO,THETA,T,30)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [pi/2,pi/2];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel y superficie 3D
figure (3)
surf(RO,THETA,T)
hold on
contour(RO,THETA,T,30)
grid on
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')
zlabel('Temperatura')
colorbar

}}

[[Archivo:Superficie16cff.jpg|marco|centro|Representación gráfica del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvas16cff.jpg||marco|centro|Curvas de nivel del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvasysuperficie16cff.jpg|marco|centro|Representación del campo de temperaturas y sus curvas de nivel de manera conjunta]]

===Temperatura máxima===

Para el cálculo de la temperatura máxima del fluido, así como la deteterminación del punto donde esta se alcanza se utilizará el sguiente programa de MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Temperatura máxima
Tmax=max(max(T))
%Coordenadas para Tmax
[theta,ro]=find(T==Tmax);
rom=(4.1231/41)*ro
thetam=((pi/2)/10)*theta
}}

La temperatura máxima es T=0.9998 y se alcanza en ro=0.6034 y theta=0.1571. Al fijarse en los gráficos anteriores, que representaban el campo de temperaturas, se observa que este resultado es completamente coherente, pues ese punto claramente está en el entorno en el que se observan las temperaturas más altas.

=== Gradiente de temperatura ===
La temperatura es una magnitud intensiva que adopta un valor distinto para cada punto del espacio, por lo que puede ser descrito como un campo escalar.
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar '''f''' es un campo vectorial. El vector gradiente de '''f''' evaluado en un punto genérico '''x''' del dominio de '''f''' , '''f(x)''', indica la dirección en la cual el campo '''f''' varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de '''f''' en la dirección de dicho vector gradiente.

Si suponemos que '''c : R → R''' n es una curva parametrizada con la propiedad de que '''c(t)''' pertenece al k conjunto de nivel de '''f''' para cualquier '''t ∈ R'''. Esto significa simplemente que '''f ◦ c''' es constantemente igual a k. Por lo tanto: '''d(f ◦ c) dt = 0''', porque es la derivada de una constante. Pero como, por otra parte, tenemos: '''d(f ◦ c) dt = grad f(p) · c’(t)''' , concluimos que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

Por tanto, el gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia.
Siendo esto así, para cada punto del fluido, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido aumenta la temperatura en esa dirección.

Mediante Matlab obtenemos la representación gráfica de las curvas de nivel de la temperatura y el gradiente térmico, y podemos comprobar gráficamente que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,pi/2,10);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
Tro=(-2*RO+1).*cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Componente ro
Ttheta=-sin(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Componente theta
hold on
quiver(RO,THETA,Tro,Ttheta); %Representación del gradiente
contour(RO,THETA,T,30); %Representación de la temperatura

grid on
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [pi/2,pi/2];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)
}}

[[Archivo:gradienteff16c.jpg|marco|centro|Representación gráfica de las curvas de nivel y el gradiente de temperatura.]]

[[Archivo:gradienteff16czoom.jpg|marco|miniaturadeimagen|centro|Ampliación del gradiente y las curvas de nivel, donde se puede observar con más detalle que son perpendiculares entre sí. ]]

==Estudio de la presión media de los puntos del fluido==

La presión de los puntos del fluido viene dada por el campo escalar. Particularizando en los valores que nos dan para p1 y p2:

[[Archivo:Campo_escalar1.png|marco|centro]]

Una vez tenemos la expresión del campo escalar de las presiones calculamos la integral definida en los limites x[0,4] e y[0,1] y el área de nuestro canal. La presión media de los puntos del fluido será la división entre la integral y el área del canal.

[[Archivo:Integral_campo.png|marco|centro]]

==Caudal==

El caudal es la cantidad flujo volumétrico o volumen que pasa por un área dada en la unidad de tiempo.
Para calcular el caudal, lo hacemos mediante una integral de línea:

[[Archivo:16C-10-1.png|sinmarco|centro]]
En nuestro caso,

[[Archivo:16C-10-2.png|marco|centro]]

donde p1=2, p2=1 y μ=1.
Por tanto

[[Archivo:16C-10-3.png|marco|centro]]

El ancho del canal es 1 y por tanto los límites de nuestra integral serán 0 y 1.

[[Archivo:16C-10-4.png|marco|centro]]

El caudal que lleva el canal es de 0.083 m3/s
=== Porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal===

Para calcular el caudal que pasa por la mitad central del canal lo hacemos con la misma integral empleada para el caudal total, pero en el intervalo 0.25 y 0.75, teniendo el valor medio de y, en el centro de dicho intervalo.

[[Archivo:16C-10.2-1.png|marco|centro]]

Y el porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal es:

[[Archivo:16C-10.2-2.png|marco|centro]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-04T12:42:36Z

Laura93: /* Temperatura máxima */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Sarah Boufounas, Laura García Pedraz, Isabel Roselló Colom, Ignacio Riesco Fernández , Larisa Elena Suta, Álvaro Valbuena Pámpanas }}

El trabajo que nos ocupa es el del estudio de la visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. La consideración a tomar como fluido ha sido la de un fluido incompresible a traves de un canal con pareces rectas.
La variación del volumen del fluido va a ser por tanto nula.
El canal está compuesto por dos paneles rectos.
Las coordenadas en la que refiramos los apartados serán cartesianas.

==Breve introducción a la incompresibilidad de un fluido==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. De hecho, todos los fluidos son compresibles, algunos más que otros. La compresión de un fluido mide el cambio en el volumen de una cierta cantidad de líquido cuando se somete a una presión exterior.

Por esta razón, para simplificar las ecuaciones de la mecánica de fluidos, se considera que los líquidos son incompresibles. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante.
Se debe prestar atención a todas las propiedades del fluido (aire, agua) para definir las condiciones de flujo. Esto se debe a que todas las propiedades están conectadas entre sí. Si la presión o la temperatura de un fluido cambia, su densidad generalmente también cambia (a menos que se trate de un fluido incompresible, como en el ejercicio que ahora estudiamos).
[[Archivo:Awa.jpg.jpg|marco|centro]]

==Mallado ocupado por el fluido==

==Comprobación ecuación Navier-Stokes==
Partimos de las ecuaciones de la velocidad y la presión de las partículas del fluido, respectivamente:
[[Archivo:Camp1.jpg|marco|centro]]
Con ello se pide verificar la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp3.jpg|marco|centro]]
Para ello vamos a ir parte por parte. En primer lugar, tenemos:
[[Archivo:Camp4.jpg|marco|centro]]
Desarrollamos este primer término:
[[Archivo:Camp5.jpg|marco|centro]] donde todos los términos son nulos, excepto la derivada parcial de u1 con respecto a y, y esto se debe a que:
-Se ha de cumplir la expresión que nos dan como resultado del primer sumando de la ecuación, lo que implica que la primera y la tercera derivada parcial del desarrollo anterior sean nulos.

-u2,u3 son 0, ya que la ecuación velocidad que se proporciona está representada en i.
De esta forma nos queda:
[[Archivo:Camp6.jpg|marco|centro]]
[[Archivo:Camp10.jpg|marco|centro]]
Por otro lado, vamos con otro término de la ecuación:
[[Archivo:Camp7.jpg|marco|centro]]
Desarrollando, se tiene:
[[Archivo:Camp8.jpg|marco|centro]]
Por último, vamos con el segundo sumando de la ecuación a demostrar:
[[Archivo:Camp9.jpg|marco|centro]]
Finalmente, basta con sustituir cada uno de estos términos en la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp11.jpg|marco|centro]]
Por lo tanto, queda así demostrado.

Por otro lado, vamos a comprobar la condición de incompresibilidad de un fluido, para lo cual partimos de la expresión facilitada y desarrollamos:
[[Archivo:Camp12.jpg|marco|centro]]
Para terminar, comprobamos que la velocidad del fluido en las paredes y=0, y=1 es nula, para lo cual simplemente sustituimos en la expresión de la velocidad dada:
[[Archivo:Camp0.jpg|marco|centro]]

==Estudio de la velocidad del fluido==
===Método de estudio===
El campo de velocidades realizado en el apartado anterior ha dejado de forma gráfica patente, dónde se desarrollan las velocidades máximas de nuestro fluido; sin embargo y a nivel matemático, para desarrollarlo de forma analítica bastaría con realizar la derivada del campo de velocidades con respecto a Y llegando a la conclusión de que las mayores velocidades se dan en la céntrica línea de Y=1/2
En la siguiente imagen podemos observar las operaciones realizadas para llegar a nuestra conclusión.
[[Archivo:Roti.png|marco|centro]]
===¿Esta solución tiene un sentido físico? ¿Es razonable?===
Sí, en efecto podríamos hablar de un sentido físico dado que en la circulación de fluidos por conductos o tuberías la velocidad máxima siempre tiende a localizarse en el centro. Los extremos siempre conllevan perdidas de carga continuas y fuerzas de rozamiento. Es por el centro donde la circulación es más libre y por tanto la velocidad se incrementa.
[[Archivo:Centri.jpg|marco|centro]]

==Representacion del campo de presiones==
Para representar el campo de velocidades y presiones vamos a suponer que p1=2 y p2=1 , con mu=1.
Para ello usaremos el programa de Matlab.

El codigo para el campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Porgramapresion.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Reprpresion.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Representacion3D.png|marco|centro]]

En el campo de presiones podemos apreciar que la presion es más alta en las zonas más cálidas (colores como rojo, naranja, amarillo y verde), y en las zonas más frías (colores como verde,celeste y azul), la presión es más baja. Esto significa que a medida que el fluido va avanzando en el canal la presión va bajando.

==Representacion del campo de velocidades==

El codigo para el campo de velocidades es el siguiente:
[[Archivo:Programavelocidad.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Representacion2Dvel.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Repres3D.png|marco|centro]]

En el campo de velocidades podemos observar que todos los vectores apuntan hacia la misma dirección, en sentido paralelo al eje x. También que la velocidad es mayor en el centro del canal que en las paredes porque los vectores tienen mayor módulo ahí, esto ocurre porque no hay barreras en el centro que pueda provocar una disminución en la velocidad.

==Lineas de corriente==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente des campo u, es decir, las líneas que son tangentes a este en cada punto. Para esto calculamos un campo v, que es ortogonal a u.

[[Archivo:1s.jpg|marco|centro]]

Vamos a calcular el potencial escalar ψ, que se conoce como función de corriente de u :

[[Archivo:2s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:3s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:4s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:5s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:6s.jpg|marco|centro]]

Calculamos el rotacional:

[[Archivo:7s.jpg|marco|centro]]

Se comprueba que es irrotacional (por ser u de divergencia nula)

[[Archivo:8s.jpg|marco|centro]]

Se mostrara a continuacion la representacion de las lineas de corriente de u (ψ=cte) que el enunciado pide.

Usando el siguiente programa de matlab :

[[Archivo:Helloprogr.png|marco|centro]]

El grafico resultante es el siguiente:

[[Archivo:Helloo.png|marco|centro]]

Las dos conclusiones fundamentales que se pueden apreciar en la representación gráfica son que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además que el campo \( \vec v \) es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Estudio del rotacional de campo==
Usamos el concepto de rotacional de campo en el cálculo vectorial, el rotacional o también denominado a veces rotor es un operador vectorial para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto.
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto, es decir:
[[Archivo:Plapo.png|marco|centro]]
Sin embargo se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:
[[Archivo:Deteret.png|marco|centro]]
y relacionando el operador nabla con nuestro campo,
[[Archivo:Rotixx.png|marco|centro]]

{{matlab|codigo=

x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

rotabs=abs(Y-(1/2)); %Rotacional

surf(X,Y,rotabs)

axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:16C-rotabs.png|marco|centro|Representación del rotacional en valor absoluto]]
El dibujo del mallado en Matlab deja patente que el rotacional crece en valor absoluto a medida que nos acercamos a las paredes de la sección. Eso quiere decir que a medida que el rotacional crece, decrecen la velocidad de las partículas.
El rotacional es mayor en los puntos cercanos a las paredes porque estos son más propensos a generar rotación alrededor de puntos en concreto al tener una velocidad más pequeña y una trayectoria menos libre.

== Estudio de la temperatura del fluido ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente expresión:

Como esta función está expresada en coordenadas cilíndricas, para el estudio de la temperatura trabajaremos en estas coordenadas. Para ello se debe establecer el dominio de ro y theta teniendo en cuenta su relación con x e y:

=== Campo de temperaturas ===

El campo de temperaturas asocia una temperatura a cada punto del fluido. Para su representación gráfica se utilizará el siguiente programa de matlab:
{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,pi/2,10);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
%Superficie
figure(1)
surface(RO,THETA,T)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [pi/2,pi/2];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel
figure(2)
contour(RO,THETA,T,30)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [pi/2,pi/2];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel y superficie 3D
figure (3)
surf(RO,THETA,T)
hold on
contour(RO,THETA,T,30)
grid on
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')
zlabel('Temperatura')
colorbar

}}

[[Archivo:Superficie16cff.jpg|marco|centro|Representación gráfica del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvas16cff.jpg||marco|centro|Curvas de nivel del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvasysuperficie16cff.jpg|marco|centro|Representación del campo de temperaturas y sus curvas de nivel de manera conjunta]]

===Temperatura máxima===

Para el cálculo de la temperatura máxima del fluido, así como la deteterminación del punto donde esta se alcanza se utilizará el sguiente programa de MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Temperatura máxima
Tmax=max(max(T))
%Coordenadas para Tmax
[theta,ro]=find(T==Tmax);
rom=(4.1231/41)*ro
thetam=((pi/2)/10)*theta
}}

La temperatura máxima es T=0.9998 y se alcanza en ro=0.6034 y theta=0.1571. Al fijarse en los gráficos anteriores, que representaban el campo de temperaturas, se observa que este resultado es completamente coherente, pues ese punto claramente está en el entorno en el que se observan las temperaturas más altas.

=== Gradiente de temperatura ===
La temperatura es una magnitud intensiva que adopta un valor distinto para cada punto del espacio, por lo que puede ser descrito como un campo escalar.
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar '''f''' es un campo vectorial. El vector gradiente de '''f''' evaluado en un punto genérico '''x''' del dominio de '''f''' , '''f(x)''', indica la dirección en la cual el campo '''f''' varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de '''f''' en la dirección de dicho vector gradiente.

Si suponemos que '''c : R → R''' n es una curva parametrizada con la propiedad de que '''c(t)''' pertenece al k conjunto de nivel de '''f''' para cualquier '''t ∈ R'''. Esto significa simplemente que '''f ◦ c''' es constantemente igual a k. Por lo tanto: '''d(f ◦ c) dt = 0''', porque es la derivada de una constante. Pero como, por otra parte, tenemos: '''d(f ◦ c) dt = grad f(p) · c’(t)''' , concluimos que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

Por tanto, el gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia.
Siendo esto así, para cada punto del fluido, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido aumenta la temperatura en esa dirección.

Mediante Matlab obtenemos la representación gráfica de las curvas de nivel de la temperatura y el gradiente térmico, y podemos comprobar gráficamente que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,0.2450,3);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
Tro=(-2*RO+1).*cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Componente ro
Ttheta=-sin(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Componente theta
hold on
quiver(RO,THETA,Tro,Ttheta); %Representación del gradiente
contour(RO,THETA,T,30); %Representación de la temperatura

grid on
axis([0,4.,-0.5,1.5])
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)
}}

[[Archivo:gradientef16c.jpg|marco|centro|Representación gráfica de las curvas de nivel y el gradiente de temperatura.]]

[[Archivo:gradientef16czoom.jpg|marco|miniaturadeimagen|centro|Ampliación del gradiente y las curvas de nivel, donde se puede observar con más detalle que son perpendiculares entre sí. ]]

==Estudio de la presión media de los puntos del fluido==

La presión de los puntos del fluido viene dada por el campo escalar. Particularizando en los valores que nos dan para p1 y p2:

[[Archivo:Campo_escalar1.png|marco|centro]]

Una vez tenemos la expresión del campo escalar de las presiones calculamos la integral definida en los limites x[0,4] e y[0,1] y el área de nuestro canal. La presión media de los puntos del fluido será la división entre la integral y el área del canal.

[[Archivo:Integral_campo.png|marco|centro]]

==Caudal==

El caudal es la cantidad flujo volumétrico o volumen que pasa por un área dada en la unidad de tiempo.
Para calcular el caudal, lo hacemos mediante una integral de línea:

[[Archivo:16C-10-1.png|sinmarco|centro]]
En nuestro caso,

[[Archivo:16C-10-2.png|marco|centro]]

donde p1=2, p2=1 y μ=1.
Por tanto

[[Archivo:16C-10-3.png|marco|centro]]

El ancho del canal es 1 y por tanto los límites de nuestra integral serán 0 y 1.

[[Archivo:16C-10-4.png|marco|centro]]

El caudal que lleva el canal es de 0.083 m3/s
=== Porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal===

Para calcular el caudal que pasa por la mitad central del canal lo hacemos con la misma integral empleada para el caudal total, pero en el intervalo 0.25 y 0.75, teniendo el valor medio de y, en el centro de dicho intervalo.

[[Archivo:16C-10.2-1.png|marco|centro]]

Y el porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal es:

[[Archivo:16C-10.2-2.png|marco|centro]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-04T12:40:52Z

Laura93: /* Campo de temperaturas */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Sarah Boufounas, Laura García Pedraz, Isabel Roselló Colom, Ignacio Riesco Fernández , Larisa Elena Suta, Álvaro Valbuena Pámpanas }}

El trabajo que nos ocupa es el del estudio de la visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. La consideración a tomar como fluido ha sido la de un fluido incompresible a traves de un canal con pareces rectas.
La variación del volumen del fluido va a ser por tanto nula.
El canal está compuesto por dos paneles rectos.
Las coordenadas en la que refiramos los apartados serán cartesianas.

==Breve introducción a la incompresibilidad de un fluido==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. De hecho, todos los fluidos son compresibles, algunos más que otros. La compresión de un fluido mide el cambio en el volumen de una cierta cantidad de líquido cuando se somete a una presión exterior.

Por esta razón, para simplificar las ecuaciones de la mecánica de fluidos, se considera que los líquidos son incompresibles. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante.
Se debe prestar atención a todas las propiedades del fluido (aire, agua) para definir las condiciones de flujo. Esto se debe a que todas las propiedades están conectadas entre sí. Si la presión o la temperatura de un fluido cambia, su densidad generalmente también cambia (a menos que se trate de un fluido incompresible, como en el ejercicio que ahora estudiamos).
[[Archivo:Awa.jpg.jpg|marco|centro]]

==Mallado ocupado por el fluido==

==Comprobación ecuación Navier-Stokes==
Partimos de las ecuaciones de la velocidad y la presión de las partículas del fluido, respectivamente:
[[Archivo:Camp1.jpg|marco|centro]]
Con ello se pide verificar la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp3.jpg|marco|centro]]
Para ello vamos a ir parte por parte. En primer lugar, tenemos:
[[Archivo:Camp4.jpg|marco|centro]]
Desarrollamos este primer término:
[[Archivo:Camp5.jpg|marco|centro]] donde todos los términos son nulos, excepto la derivada parcial de u1 con respecto a y, y esto se debe a que:
-Se ha de cumplir la expresión que nos dan como resultado del primer sumando de la ecuación, lo que implica que la primera y la tercera derivada parcial del desarrollo anterior sean nulos.

-u2,u3 son 0, ya que la ecuación velocidad que se proporciona está representada en i.
De esta forma nos queda:
[[Archivo:Camp6.jpg|marco|centro]]
[[Archivo:Camp10.jpg|marco|centro]]
Por otro lado, vamos con otro término de la ecuación:
[[Archivo:Camp7.jpg|marco|centro]]
Desarrollando, se tiene:
[[Archivo:Camp8.jpg|marco|centro]]
Por último, vamos con el segundo sumando de la ecuación a demostrar:
[[Archivo:Camp9.jpg|marco|centro]]
Finalmente, basta con sustituir cada uno de estos términos en la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp11.jpg|marco|centro]]
Por lo tanto, queda así demostrado.

Por otro lado, vamos a comprobar la condición de incompresibilidad de un fluido, para lo cual partimos de la expresión facilitada y desarrollamos:
[[Archivo:Camp12.jpg|marco|centro]]
Para terminar, comprobamos que la velocidad del fluido en las paredes y=0, y=1 es nula, para lo cual simplemente sustituimos en la expresión de la velocidad dada:
[[Archivo:Camp0.jpg|marco|centro]]

==Estudio de la velocidad del fluido==
===Método de estudio===
El campo de velocidades realizado en el apartado anterior ha dejado de forma gráfica patente, dónde se desarrollan las velocidades máximas de nuestro fluido; sin embargo y a nivel matemático, para desarrollarlo de forma analítica bastaría con realizar la derivada del campo de velocidades con respecto a Y llegando a la conclusión de que las mayores velocidades se dan en la céntrica línea de Y=1/2
En la siguiente imagen podemos observar las operaciones realizadas para llegar a nuestra conclusión.
[[Archivo:Roti.png|marco|centro]]
===¿Esta solución tiene un sentido físico? ¿Es razonable?===
Sí, en efecto podríamos hablar de un sentido físico dado que en la circulación de fluidos por conductos o tuberías la velocidad máxima siempre tiende a localizarse en el centro. Los extremos siempre conllevan perdidas de carga continuas y fuerzas de rozamiento. Es por el centro donde la circulación es más libre y por tanto la velocidad se incrementa.
[[Archivo:Centri.jpg|marco|centro]]

==Representacion del campo de presiones==
Para representar el campo de velocidades y presiones vamos a suponer que p1=2 y p2=1 , con mu=1.
Para ello usaremos el programa de Matlab.

El codigo para el campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Porgramapresion.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Reprpresion.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Representacion3D.png|marco|centro]]

En el campo de presiones podemos apreciar que la presion es más alta en las zonas más cálidas (colores como rojo, naranja, amarillo y verde), y en las zonas más frías (colores como verde,celeste y azul), la presión es más baja. Esto significa que a medida que el fluido va avanzando en el canal la presión va bajando.

==Representacion del campo de velocidades==

El codigo para el campo de velocidades es el siguiente:
[[Archivo:Programavelocidad.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Representacion2Dvel.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Repres3D.png|marco|centro]]

En el campo de velocidades podemos observar que todos los vectores apuntan hacia la misma dirección, en sentido paralelo al eje x. También que la velocidad es mayor en el centro del canal que en las paredes porque los vectores tienen mayor módulo ahí, esto ocurre porque no hay barreras en el centro que pueda provocar una disminución en la velocidad.

==Lineas de corriente==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente des campo u, es decir, las líneas que son tangentes a este en cada punto. Para esto calculamos un campo v, que es ortogonal a u.

[[Archivo:1s.jpg|marco|centro]]

Vamos a calcular el potencial escalar ψ, que se conoce como función de corriente de u :

[[Archivo:2s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:3s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:4s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:5s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:6s.jpg|marco|centro]]

Calculamos el rotacional:

[[Archivo:7s.jpg|marco|centro]]

Se comprueba que es irrotacional (por ser u de divergencia nula)

[[Archivo:8s.jpg|marco|centro]]

Se mostrara a continuacion la representacion de las lineas de corriente de u (ψ=cte) que el enunciado pide.

Usando el siguiente programa de matlab :

[[Archivo:Helloprogr.png|marco|centro]]

El grafico resultante es el siguiente:

[[Archivo:Helloo.png|marco|centro]]

Las dos conclusiones fundamentales que se pueden apreciar en la representación gráfica son que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además que el campo \( \vec v \) es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Estudio del rotacional de campo==
Usamos el concepto de rotacional de campo en el cálculo vectorial, el rotacional o también denominado a veces rotor es un operador vectorial para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto.
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto, es decir:
[[Archivo:Plapo.png|marco|centro]]
Sin embargo se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:
[[Archivo:Deteret.png|marco|centro]]
y relacionando el operador nabla con nuestro campo,
[[Archivo:Rotixx.png|marco|centro]]

{{matlab|codigo=

x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

rotabs=abs(Y-(1/2)); %Rotacional

surf(X,Y,rotabs)

axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:16C-rotabs.png|marco|centro|Representación del rotacional en valor absoluto]]
El dibujo del mallado en Matlab deja patente que el rotacional crece en valor absoluto a medida que nos acercamos a las paredes de la sección. Eso quiere decir que a medida que el rotacional crece, decrecen la velocidad de las partículas.
El rotacional es mayor en los puntos cercanos a las paredes porque estos son más propensos a generar rotación alrededor de puntos en concreto al tener una velocidad más pequeña y una trayectoria menos libre.

== Estudio de la temperatura del fluido ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente expresión:

Como esta función está expresada en coordenadas cilíndricas, para el estudio de la temperatura trabajaremos en estas coordenadas. Para ello se debe establecer el dominio de ro y theta teniendo en cuenta su relación con x e y:

=== Campo de temperaturas ===

El campo de temperaturas asocia una temperatura a cada punto del fluido. Para su representación gráfica se utilizará el siguiente programa de matlab:
{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,pi/2,10);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
%Superficie
figure(1)
surface(RO,THETA,T)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [pi/2,pi/2];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel
figure(2)
contour(RO,THETA,T,30)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [pi/2,pi/2];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel y superficie 3D
figure (3)
surf(RO,THETA,T)
hold on
contour(RO,THETA,T,30)
grid on
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')
zlabel('Temperatura')
colorbar

}}

[[Archivo:Superficie16cff.jpg|marco|centro|Representación gráfica del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvas16cff.jpg||marco|centro|Curvas de nivel del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvasysuperficie16cff.jpg|marco|centro|Representación del campo de temperaturas y sus curvas de nivel de manera conjunta]]

===Temperatura máxima===

Para el cálculo de la temperatura máxima del fluido, así como la deteterminación del punto donde esta se alcanza se utilizará el sguiente programa de MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Temperatura máxima
Tmax=max(max(T))
%Coordenadas para Tmax
[ro,theta]=find(T==Tmax);
rom=(4.1231/41)*ro
thetam=(0.245/3)*theta
}}

La temperatura máxima es T=0.9998 y se alcanza en ro=0.6034 y theta=0.0817. Al fijarse en los gráficos anteriores, que representaban el campo de temperaturas, se observa que este resultado es completamente coherente, pues ese punto claramente está en el entorno en el que se observan las temperaturas más altas.

=== Gradiente de temperatura ===
La temperatura es una magnitud intensiva que adopta un valor distinto para cada punto del espacio, por lo que puede ser descrito como un campo escalar.
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar '''f''' es un campo vectorial. El vector gradiente de '''f''' evaluado en un punto genérico '''x''' del dominio de '''f''' , '''f(x)''', indica la dirección en la cual el campo '''f''' varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de '''f''' en la dirección de dicho vector gradiente.

Si suponemos que '''c : R → R''' n es una curva parametrizada con la propiedad de que '''c(t)''' pertenece al k conjunto de nivel de '''f''' para cualquier '''t ∈ R'''. Esto significa simplemente que '''f ◦ c''' es constantemente igual a k. Por lo tanto: '''d(f ◦ c) dt = 0''', porque es la derivada de una constante. Pero como, por otra parte, tenemos: '''d(f ◦ c) dt = grad f(p) · c’(t)''' , concluimos que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

Por tanto, el gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia.
Siendo esto así, para cada punto del fluido, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido aumenta la temperatura en esa dirección.

Mediante Matlab obtenemos la representación gráfica de las curvas de nivel de la temperatura y el gradiente térmico, y podemos comprobar gráficamente que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,0.2450,3);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
Tro=(-2*RO+1).*cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Componente ro
Ttheta=-sin(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Componente theta
hold on
quiver(RO,THETA,Tro,Ttheta); %Representación del gradiente
contour(RO,THETA,T,30); %Representación de la temperatura

grid on
axis([0,4.,-0.5,1.5])
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)
}}

[[Archivo:gradientef16c.jpg|marco|centro|Representación gráfica de las curvas de nivel y el gradiente de temperatura.]]

[[Archivo:gradientef16czoom.jpg|marco|miniaturadeimagen|centro|Ampliación del gradiente y las curvas de nivel, donde se puede observar con más detalle que son perpendiculares entre sí. ]]

==Estudio de la presión media de los puntos del fluido==

La presión de los puntos del fluido viene dada por el campo escalar. Particularizando en los valores que nos dan para p1 y p2:

[[Archivo:Campo_escalar1.png|marco|centro]]

Una vez tenemos la expresión del campo escalar de las presiones calculamos la integral definida en los limites x[0,4] e y[0,1] y el área de nuestro canal. La presión media de los puntos del fluido será la división entre la integral y el área del canal.

[[Archivo:Integral_campo.png|marco|centro]]

==Caudal==

El caudal es la cantidad flujo volumétrico o volumen que pasa por un área dada en la unidad de tiempo.
Para calcular el caudal, lo hacemos mediante una integral de línea:

[[Archivo:16C-10-1.png|sinmarco|centro]]
En nuestro caso,

[[Archivo:16C-10-2.png|marco|centro]]

donde p1=2, p2=1 y μ=1.
Por tanto

[[Archivo:16C-10-3.png|marco|centro]]

El ancho del canal es 1 y por tanto los límites de nuestra integral serán 0 y 1.

[[Archivo:16C-10-4.png|marco|centro]]

El caudal que lleva el canal es de 0.083 m3/s
=== Porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal===

Para calcular el caudal que pasa por la mitad central del canal lo hacemos con la misma integral empleada para el caudal total, pero en el intervalo 0.25 y 0.75, teniendo el valor medio de y, en el centro de dicho intervalo.

[[Archivo:16C-10.2-1.png|marco|centro]]

Y el porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal es:

[[Archivo:16C-10.2-2.png|marco|centro]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Archivo:Domcil.png

2015-12-04T12:39:35Z

Laura93:

Archivo:Cilcar.png

2015-12-04T12:39:18Z

Laura93:

Archivo:Maxmin16c.png

2015-12-04T12:39:03Z

Laura93:

Archivo:Gradienteff16czoom.jpg

2015-12-04T12:38:31Z

Laura93:

Archivo:Superficie16cff.jpg

2015-12-04T12:38:06Z

Laura93:

Archivo:Gradienteff16c.jpg

2015-12-04T12:37:40Z

Laura93:

Archivo:Curvas16cff.jpg

2015-12-04T12:37:18Z

Laura93:

Archivo:Curvasysuperficie16cff.jpg

2015-12-04T12:36:49Z

Laura93:

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-04T11:18:01Z

Laura93: /* Temperatura máxima */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Sarah Boufounas, Laura García Pedraz, Isabel Roselló Colom, Ignacio Riesco Fernández , Larisa Elena Suta, Álvaro Valbuena Pámpanas }}

El trabajo que nos ocupa es el del estudio de la visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. La consideración a tomar como fluido ha sido la de un fluido incompresible a traves de un canal con pareces rectas.
La variación del volumen del fluido va a ser por tanto nula.
El canal está compuesto por dos paneles rectos.
Las coordenadas en la que refiramos los apartados serán cartesianas.

==Breve introducción a la incompresibilidad de un fluido==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. De hecho, todos los fluidos son compresibles, algunos más que otros. La compresión de un fluido mide el cambio en el volumen de una cierta cantidad de líquido cuando se somete a una presión exterior.

Por esta razón, para simplificar las ecuaciones de la mecánica de fluidos, se considera que los líquidos son incompresibles. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante.
Se debe prestar atención a todas las propiedades del fluido (aire, agua) para definir las condiciones de flujo. Esto se debe a que todas las propiedades están conectadas entre sí. Si la presión o la temperatura de un fluido cambia, su densidad generalmente también cambia (a menos que se trate de un fluido incompresible, como en el ejercicio que ahora estudiamos).
[[Archivo:Awa.jpg.jpg|marco|centro]]

==Mallado ocupado por el fluido==

==Comprobación ecuación Navier-Stokes==
Partimos de las ecuaciones de la velocidad y la presión de las partículas del fluido, respectivamente:
[[Archivo:Camp1.jpg|marco|centro]]
Con ello se pide verificar la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp3.jpg|marco|centro]]
Para ello vamos a ir parte por parte. En primer lugar, tenemos:
[[Archivo:Camp4.jpg|marco|centro]]
Desarrollamos este primer término:
[[Archivo:Camp5.jpg|marco|centro]] donde todos los términos son nulos, excepto la derivada parcial de u1 con respecto a y, y esto se debe a que:
-Se ha de cumplir la expresión que nos dan como resultado del primer sumando de la ecuación, lo que implica que la primera y la tercera derivada parcial del desarrollo anterior sean nulos.

-u2,u3 son 0, ya que la ecuación velocidad que se proporciona está representada en i.
De esta forma nos queda:
[[Archivo:Camp6.jpg|marco|centro]]
[[Archivo:Camp10.jpg|marco|centro]]
Por otro lado, vamos con otro término de la ecuación:
[[Archivo:Camp7.jpg|marco|centro]]
Desarrollando, se tiene:
[[Archivo:Camp8.jpg|marco|centro]]
Por último, vamos con el segundo sumando de la ecuación a demostrar:
[[Archivo:Camp9.jpg|marco|centro]]
Finalmente, basta con sustituir cada uno de estos términos en la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp11.jpg|marco|centro]]
Por lo tanto, queda así demostrado.

Por otro lado, vamos a comprobar la condición de incompresibilidad de un fluido, para lo cual partimos de la expresión facilitada y desarrollamos:
[[Archivo:Camp12.jpg|marco|centro]]
Para terminar, comprobamos que la velocidad del fluido en las paredes y=0, y=1 es nula, para lo cual simplemente sustituimos en la expresión de la velocidad dada:
[[Archivo:Camp0.jpg|marco|centro]]

==Estudio de la velocidad del fluido==
===Método de estudio===
El campo de velocidades realizado en el apartado anterior ha dejado de forma gráfica patente, dónde se desarrollan las velocidades máximas de nuestro fluido; sin embargo y a nivel matemático, para desarrollarlo de forma analítica bastaría con realizar la derivada del campo de velocidades con respecto a Y llegando a la conclusión de que las mayores velocidades se dan en la céntrica línea de Y=1/2
En la siguiente imagen podemos observar las operaciones realizadas para llegar a nuestra conclusión.
[[Archivo:Roti.png|marco|centro]]
===¿Esta solución tiene un sentido físico? ¿Es razonable?===
Sí, en efecto podríamos hablar de un sentido físico dado que en la circulación de fluidos por conductos o tuberías la velocidad máxima siempre tiende a localizarse en el centro. Los extremos siempre conllevan perdidas de carga continuas y fuerzas de rozamiento. Es por el centro donde la circulación es más libre y por tanto la velocidad se incrementa.
[[Archivo:Centri.jpg|marco|centro]]

==Representacion del campo de presiones==
Para representar el campo de velocidades y presiones vamos a suponer que p1=2 y p2=1 , con mu=1.
Para ello usaremos el programa de Matlab.

El codigo para el campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Porgramapresion.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Reprpresion.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Representacion3D.png|marco|centro]]

En el campo de presiones podemos apreciar que la presion es más alta en las zonas más cálidas (colores como rojo, naranja, amarillo y verde), y en las zonas más frías (colores como verde,celeste y azul), la presión es más baja. Esto significa que a medida que el fluido va avanzando en el canal la presión va bajando.

==Representacion del campo de velocidades==

El codigo para el campo de velocidades es el siguiente:
[[Archivo:Programavelocidad.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Representacion2Dvel.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Repres3D.png|marco|centro]]

En el campo de velocidades podemos observar que todos los vectores apuntan hacia la misma dirección, en sentido paralelo al eje x. También que la velocidad es mayor en el centro del canal que en las paredes porque los vectores tienen mayor módulo ahí, esto ocurre porque no hay barreras en el centro que pueda provocar una disminución en la velocidad.

==Lineas de corriente==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente des campo u, es decir, las líneas que son tangentes a este en cada punto. Para esto calculamos un campo v, que es ortogonal a u.

[[Archivo:1s.jpg|marco|centro]]

Vamos a calcular el potencial escalar ψ, que se conoce como función de corriente de u :

[[Archivo:2s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:3s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:4s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:5s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:6s.jpg|marco|centro]]

Calculamos el rotacional:

[[Archivo:7s.jpg|marco|centro]]

Se comprueba que es irrotacional (por ser u de divergencia nula)

[[Archivo:8s.jpg|marco|centro]]

Se mostrara a continuacion la representacion de las lineas de corriente de u (ψ=cte) que el enunciado pide.

Usando el siguiente programa de matlab :

[[Archivo:Helloprogr.png|marco|centro]]

El grafico resultante es el siguiente:

[[Archivo:Helloo.png|marco|centro]]

Las dos conclusiones fundamentales que se pueden apreciar en la representación gráfica son que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además que el campo \( \vec v \) es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Estudio del rotacional de campo==
Usamos el concepto de rotacional de campo en el cálculo vectorial, el rotacional o también denominado a veces rotor es un operador vectorial para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto.
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto, es decir:
[[Archivo:Plapo.png|marco|centro]]
Sin embargo se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:
[[Archivo:Deteret.png|marco|centro]]
y relacionando el operador nabla con nuestro campo,
[[Archivo:Rotixx.png|marco|centro]]

{{matlab|codigo=

x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

rotabs=abs(Y-(1/2)); %Rotacional

surf(X,Y,rotabs)

axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:16C-rotabs.png|marco|centro|Representación del rotacional en valor absoluto]]
El dibujo del mallado en Matlab deja patente que el rotacional crece en valor absoluto a medida que nos acercamos a las paredes de la sección. Eso quiere decir que a medida que el rotacional crece, decrecen la velocidad de las partículas.
El rotacional es mayor en los puntos cercanos a las paredes porque estos son más propensos a generar rotación alrededor de puntos en concreto al tener una velocidad más pequeña y una trayectoria menos libre.

== Estudio de la temperatura del fluido ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente expresión:

Como esta función está expresada en coordenadas cilíndricas, para el estudio de la temperatura trabajaremos en estas coordenadas. Para ello se debe establecer el dominio de ro y theta teniendo en cuenta su relación con x e y:

=== Campo de temperaturas ===

El campo de temperaturas asocia una temperatura a cada punto del fluido. Para su representación gráfica se utilizará el siguiente programa de matlab:
{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,0.2450,3);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
%Superficie
figure(1)
surface(RO,THETA,T)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel
figure(2)
contour(RO,THETA,T,30)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel y superficie 3D
figure (3)
surf(RO,THETA,T)
hold on
contour(RO,THETA,T,30)
grid on
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')
zlabel('Temperatura')
colorbar

}}

[[Archivo:Superficie16cf.jpg|marco|centro|Representación gráfica del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvas16cf.jpg||marco|centro|Curvas de nivel del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvasysuperficie16cf.jpg|marco|centro|Representación del campo de temperaturas y sus curvas de nivel de manera conjunta]]

===Temperatura máxima===

Para el cálculo de la temperatura máxima del fluido, así como la deteterminación del punto donde esta se alcanza se utilizará el sguiente programa de MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Temperatura máxima
Tmax=max(max(T))
%Coordenadas para Tmax
[ro,theta]=find(T==Tmax);
rom=(4.1231/41)*ro
thetam=(0.245/3)*theta
}}

La temperatura máxima es T=0.9998 y se alcanza en ro=0.6034 y theta=0.0817. Al fijarse en los gráficos anteriores, que representaban el campo de temperaturas, se observa que este resultado es completamente coherente, pues ese punto claramente está en el entorno en el que se observan las temperaturas más altas.

=== Gradiente de temperatura ===
La temperatura es una magnitud intensiva que adopta un valor distinto para cada punto del espacio, por lo que puede ser descrito como un campo escalar.
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar '''f''' es un campo vectorial. El vector gradiente de '''f''' evaluado en un punto genérico '''x''' del dominio de '''f''' , '''f(x)''', indica la dirección en la cual el campo '''f''' varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de '''f''' en la dirección de dicho vector gradiente.

Si suponemos que '''c : R → R''' n es una curva parametrizada con la propiedad de que '''c(t)''' pertenece al k conjunto de nivel de '''f''' para cualquier '''t ∈ R'''. Esto significa simplemente que '''f ◦ c''' es constantemente igual a k. Por lo tanto: '''d(f ◦ c) dt = 0''', porque es la derivada de una constante. Pero como, por otra parte, tenemos: '''d(f ◦ c) dt = grad f(p) · c’(t)''' , concluimos que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

Por tanto, el gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia.
Siendo esto así, para cada punto del fluido, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido aumenta la temperatura en esa dirección.

Mediante Matlab obtenemos la representación gráfica de las curvas de nivel de la temperatura y el gradiente térmico, y podemos comprobar gráficamente que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,0.2450,3);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
Tro=(-2*RO+1).*cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Componente ro
Ttheta=-sin(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Componente theta
hold on
quiver(RO,THETA,Tro,Ttheta); %Representación del gradiente
contour(RO,THETA,T,30); %Representación de la temperatura

grid on
axis([0,4.,-0.5,1.5])
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)
}}

[[Archivo:gradientef16c.jpg|marco|centro|Representación gráfica de las curvas de nivel y el gradiente de temperatura.]]

[[Archivo:gradientef16czoom.jpg|marco|miniaturadeimagen|centro|Ampliación del gradiente y las curvas de nivel, donde se puede observar con más detalle que son perpendiculares entre sí. ]]

==Estudio de la presión media de los puntos del fluido==

La presión de los puntos del fluido viene dada por el campo escalar. Particularizando en los valores que nos dan para p1 y p2:

[[Archivo:Campo_escalar1.png|marco|centro]]

Una vez tenemos la expresión del campo escalar de las presiones calculamos la integral definida en los limites x[0,4] e y[0,1] y el área de nuestro canal. La presión media de los puntos del fluido será la división entre la integral y el área del canal.

[[Archivo:Integral_campo.png|marco|centro]]

==Caudal==

El caudal es la cantidad flujo volumétrico o volumen que pasa por un área dada en la unidad de tiempo.
Para calcular el caudal, lo hacemos mediante una integral de línea:

[[Archivo:16C-10-1.png|sinmarco|centro]]
En nuestro caso,

[[Archivo:16C-10-2.png|marco|centro]]

donde p1=2, p2=1 y μ=1.
Por tanto

[[Archivo:16C-10-3.png|marco|centro]]

El ancho del canal es 1 y por tanto los límites de nuestra integral serán 0 y 1.

[[Archivo:16C-10-4.png|marco|centro]]

El caudal que lleva el canal es de 0.083 m3/s
=== Porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal===

Para calcular el caudal que pasa por la mitad central del canal lo hacemos con la misma integral empleada para el caudal total, pero en el intervalo 0.25 y 0.75, teniendo el valor medio de y, en el centro de dicho intervalo.

[[Archivo:16C-10.2-1.png|marco|centro]]

Y el porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal es:

[[Archivo:16C-10.2-2.png|marco|centro]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-04T11:16:18Z

Laura93: /* Temperatura máxima */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Sarah Boufounas, Laura García Pedraz, Isabel Roselló Colom, Ignacio Riesco Fernández , Larisa Elena Suta, Álvaro Valbuena Pámpanas }}

El trabajo que nos ocupa es el del estudio de la visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. La consideración a tomar como fluido ha sido la de un fluido incompresible a traves de un canal con pareces rectas.
La variación del volumen del fluido va a ser por tanto nula.
El canal está compuesto por dos paneles rectos.
Las coordenadas en la que refiramos los apartados serán cartesianas.

==Breve introducción a la incompresibilidad de un fluido==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. De hecho, todos los fluidos son compresibles, algunos más que otros. La compresión de un fluido mide el cambio en el volumen de una cierta cantidad de líquido cuando se somete a una presión exterior.

Por esta razón, para simplificar las ecuaciones de la mecánica de fluidos, se considera que los líquidos son incompresibles. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante.
Se debe prestar atención a todas las propiedades del fluido (aire, agua) para definir las condiciones de flujo. Esto se debe a que todas las propiedades están conectadas entre sí. Si la presión o la temperatura de un fluido cambia, su densidad generalmente también cambia (a menos que se trate de un fluido incompresible, como en el ejercicio que ahora estudiamos).
[[Archivo:Awa.jpg.jpg|marco|centro]]

==Mallado ocupado por el fluido==

==Comprobación ecuación Navier-Stokes==
Partimos de las ecuaciones de la velocidad y la presión de las partículas del fluido, respectivamente:
[[Archivo:Camp1.jpg|marco|centro]]
Con ello se pide verificar la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp3.jpg|marco|centro]]
Para ello vamos a ir parte por parte. En primer lugar, tenemos:
[[Archivo:Camp4.jpg|marco|centro]]
Desarrollamos este primer término:
[[Archivo:Camp5.jpg|marco|centro]] donde todos los términos son nulos, excepto la derivada parcial de u1 con respecto a y, y esto se debe a que:
-Se ha de cumplir la expresión que nos dan como resultado del primer sumando de la ecuación, lo que implica que la primera y la tercera derivada parcial del desarrollo anterior sean nulos.

-u2,u3 son 0, ya que la ecuación velocidad que se proporciona está representada en i.
De esta forma nos queda:
[[Archivo:Camp6.jpg|marco|centro]]
[[Archivo:Camp10.jpg|marco|centro]]
Por otro lado, vamos con otro término de la ecuación:
[[Archivo:Camp7.jpg|marco|centro]]
Desarrollando, se tiene:
[[Archivo:Camp8.jpg|marco|centro]]
Por último, vamos con el segundo sumando de la ecuación a demostrar:
[[Archivo:Camp9.jpg|marco|centro]]
Finalmente, basta con sustituir cada uno de estos términos en la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp11.jpg|marco|centro]]
Por lo tanto, queda así demostrado.

Por otro lado, vamos a comprobar la condición de incompresibilidad de un fluido, para lo cual partimos de la expresión facilitada y desarrollamos:
[[Archivo:Camp12.jpg|marco|centro]]
Para terminar, comprobamos que la velocidad del fluido en las paredes y=0, y=1 es nula, para lo cual simplemente sustituimos en la expresión de la velocidad dada:
[[Archivo:Camp0.jpg|marco|centro]]

==Estudio de la velocidad del fluido==
===Método de estudio===
El campo de velocidades realizado en el apartado anterior ha dejado de forma gráfica patente, dónde se desarrollan las velocidades máximas de nuestro fluido; sin embargo y a nivel matemático, para desarrollarlo de forma analítica bastaría con realizar la derivada del campo de velocidades con respecto a Y llegando a la conclusión de que las mayores velocidades se dan en la céntrica línea de Y=1/2
En la siguiente imagen podemos observar las operaciones realizadas para llegar a nuestra conclusión.
[[Archivo:Roti.png|marco|centro]]
===¿Esta solución tiene un sentido físico? ¿Es razonable?===
Sí, en efecto podríamos hablar de un sentido físico dado que en la circulación de fluidos por conductos o tuberías la velocidad máxima siempre tiende a localizarse en el centro. Los extremos siempre conllevan perdidas de carga continuas y fuerzas de rozamiento. Es por el centro donde la circulación es más libre y por tanto la velocidad se incrementa.
[[Archivo:Centri.jpg|marco|centro]]

==Representacion del campo de presiones==
Para representar el campo de velocidades y presiones vamos a suponer que p1=2 y p2=1 , con mu=1.
Para ello usaremos el programa de Matlab.

El codigo para el campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Porgramapresion.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Reprpresion.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Representacion3D.png|marco|centro]]

En el campo de presiones podemos apreciar que la presion es más alta en las zonas más cálidas (colores como rojo, naranja, amarillo y verde), y en las zonas más frías (colores como verde,celeste y azul), la presión es más baja. Esto significa que a medida que el fluido va avanzando en el canal la presión va bajando.

==Representacion del campo de velocidades==

El codigo para el campo de velocidades es el siguiente:
[[Archivo:Programavelocidad.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Representacion2Dvel.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Repres3D.png|marco|centro]]

En el campo de velocidades podemos observar que todos los vectores apuntan hacia la misma dirección, en sentido paralelo al eje x. También que la velocidad es mayor en el centro del canal que en las paredes porque los vectores tienen mayor módulo ahí, esto ocurre porque no hay barreras en el centro que pueda provocar una disminución en la velocidad.

==Lineas de corriente==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente des campo u, es decir, las líneas que son tangentes a este en cada punto. Para esto calculamos un campo v, que es ortogonal a u.

[[Archivo:1s.jpg|marco|centro]]

Vamos a calcular el potencial escalar ψ, que se conoce como función de corriente de u :

[[Archivo:2s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:3s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:4s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:5s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:6s.jpg|marco|centro]]

Calculamos el rotacional:

[[Archivo:7s.jpg|marco|centro]]

Se comprueba que es irrotacional (por ser u de divergencia nula)

[[Archivo:8s.jpg|marco|centro]]

Se mostrara a continuacion la representacion de las lineas de corriente de u (ψ=cte) que el enunciado pide.

Usando el siguiente programa de matlab :

[[Archivo:Helloprogr.png|marco|centro]]

El grafico resultante es el siguiente:

[[Archivo:Helloo.png|marco|centro]]

Las dos conclusiones fundamentales que se pueden apreciar en la representación gráfica son que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además que el campo \( \vec v \) es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Estudio del rotacional de campo==
Usamos el concepto de rotacional de campo en el cálculo vectorial, el rotacional o también denominado a veces rotor es un operador vectorial para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto.
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto, es decir:
[[Archivo:Plapo.png|marco|centro]]
Sin embargo se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:
[[Archivo:Deteret.png|marco|centro]]
y relacionando el operador nabla con nuestro campo,
[[Archivo:Rotixx.png|marco|centro]]

{{matlab|codigo=

x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

rotabs=abs(Y-(1/2)); %Rotacional

surf(X,Y,rotabs)

axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:16C-rotabs.png|marco|centro|Representación del rotacional en valor absoluto]]
El dibujo del mallado en Matlab deja patente que el rotacional crece en valor absoluto a medida que nos acercamos a las paredes de la sección. Eso quiere decir que a medida que el rotacional crece, decrecen la velocidad de las partículas.
El rotacional es mayor en los puntos cercanos a las paredes porque estos son más propensos a generar rotación alrededor de puntos en concreto al tener una velocidad más pequeña y una trayectoria menos libre.

== Estudio de la temperatura del fluido ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente expresión:

Como esta función está expresada en coordenadas cilíndricas, para el estudio de la temperatura trabajaremos en estas coordenadas. Para ello se debe establecer el dominio de ro y theta teniendo en cuenta su relación con x e y:

=== Campo de temperaturas ===

El campo de temperaturas asocia una temperatura a cada punto del fluido. Para su representación gráfica se utilizará el siguiente programa de matlab:
{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,0.2450,3);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
%Superficie
figure(1)
surface(RO,THETA,T)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel
figure(2)
contour(RO,THETA,T,30)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel y superficie 3D
figure (3)
surf(RO,THETA,T)
hold on
contour(RO,THETA,T,30)
grid on
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')
zlabel('Temperatura')
colorbar

}}

[[Archivo:Superficie16cf.jpg|marco|centro|Representación gráfica del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvas16cf.jpg||marco|centro|Curvas de nivel del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvasysuperficie16cf.jpg|marco|centro|Representación del campo de temperaturas y sus curvas de nivel de manera conjunta]]

===Temperatura máxima===

Para el cálculo de la temperatura máxima del fluido, así como la deteterminación del punto donde esta se alcanza se utilizará el sguiente programa de MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Temperatura máxima
Tmax=max(max(T))
%Coordenadas para Tmax
[ro,theta]=find(T==Tmax);
rom=(4.1231/41)*ro
thetam=(0.245/3)*theta
}}

La temperatura máxima es T=0.9998 y se alcanza en ro=0.6034 y theta=0.0817

=== Gradiente de temperatura ===
La temperatura es una magnitud intensiva que adopta un valor distinto para cada punto del espacio, por lo que puede ser descrito como un campo escalar.
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar '''f''' es un campo vectorial. El vector gradiente de '''f''' evaluado en un punto genérico '''x''' del dominio de '''f''' , '''f(x)''', indica la dirección en la cual el campo '''f''' varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de '''f''' en la dirección de dicho vector gradiente.

Si suponemos que '''c : R → R''' n es una curva parametrizada con la propiedad de que '''c(t)''' pertenece al k conjunto de nivel de '''f''' para cualquier '''t ∈ R'''. Esto significa simplemente que '''f ◦ c''' es constantemente igual a k. Por lo tanto: '''d(f ◦ c) dt = 0''', porque es la derivada de una constante. Pero como, por otra parte, tenemos: '''d(f ◦ c) dt = grad f(p) · c’(t)''' , concluimos que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

Por tanto, el gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia.
Siendo esto así, para cada punto del fluido, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido aumenta la temperatura en esa dirección.

Mediante Matlab obtenemos la representación gráfica de las curvas de nivel de la temperatura y el gradiente térmico, y podemos comprobar gráficamente que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,0.2450,3);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
Tro=(-2*RO+1).*cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Componente ro
Ttheta=-sin(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Componente theta
hold on
quiver(RO,THETA,Tro,Ttheta); %Representación del gradiente
contour(RO,THETA,T,30); %Representación de la temperatura

grid on
axis([0,4.,-0.5,1.5])
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)
}}

[[Archivo:gradientef16c.jpg|marco|centro|Representación gráfica de las curvas de nivel y el gradiente de temperatura.]]

[[Archivo:gradientef16czoom.jpg|marco|miniaturadeimagen|centro|Ampliación del gradiente y las curvas de nivel, donde se puede observar con más detalle que son perpendiculares entre sí. ]]

==Estudio de la presión media de los puntos del fluido==

La presión de los puntos del fluido viene dada por el campo escalar. Particularizando en los valores que nos dan para p1 y p2:

[[Archivo:Campo_escalar1.png|marco|centro]]

Una vez tenemos la expresión del campo escalar de las presiones calculamos la integral definida en los limites x[0,4] e y[0,1] y el área de nuestro canal. La presión media de los puntos del fluido será la división entre la integral y el área del canal.

[[Archivo:Integral_campo.png|marco|centro]]

==Caudal==

El caudal es la cantidad flujo volumétrico o volumen que pasa por un área dada en la unidad de tiempo.
Para calcular el caudal, lo hacemos mediante una integral de línea:

[[Archivo:16C-10-1.png|sinmarco|centro]]
En nuestro caso,

[[Archivo:16C-10-2.png|marco|centro]]

donde p1=2, p2=1 y μ=1.
Por tanto

[[Archivo:16C-10-3.png|marco|centro]]

El ancho del canal es 1 y por tanto los límites de nuestra integral serán 0 y 1.

[[Archivo:16C-10-4.png|marco|centro]]

El caudal que lleva el canal es de 0.083 m3/s
=== Porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal===

Para calcular el caudal que pasa por la mitad central del canal lo hacemos con la misma integral empleada para el caudal total, pero en el intervalo 0.25 y 0.75, teniendo el valor medio de y, en el centro de dicho intervalo.

[[Archivo:16C-10.2-1.png|marco|centro]]

Y el porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal es:

[[Archivo:16C-10.2-2.png|marco|centro]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-04T11:13:44Z

Laura93: /* Estudio de la temperatura del fluido */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Sarah Boufounas, Laura García Pedraz, Isabel Roselló Colom, Ignacio Riesco Fernández , Larisa Elena Suta, Álvaro Valbuena Pámpanas }}

El trabajo que nos ocupa es el del estudio de la visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. La consideración a tomar como fluido ha sido la de un fluido incompresible a traves de un canal con pareces rectas.
La variación del volumen del fluido va a ser por tanto nula.
El canal está compuesto por dos paneles rectos.
Las coordenadas en la que refiramos los apartados serán cartesianas.

==Breve introducción a la incompresibilidad de un fluido==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. De hecho, todos los fluidos son compresibles, algunos más que otros. La compresión de un fluido mide el cambio en el volumen de una cierta cantidad de líquido cuando se somete a una presión exterior.

Por esta razón, para simplificar las ecuaciones de la mecánica de fluidos, se considera que los líquidos son incompresibles. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante.
Se debe prestar atención a todas las propiedades del fluido (aire, agua) para definir las condiciones de flujo. Esto se debe a que todas las propiedades están conectadas entre sí. Si la presión o la temperatura de un fluido cambia, su densidad generalmente también cambia (a menos que se trate de un fluido incompresible, como en el ejercicio que ahora estudiamos).
[[Archivo:Awa.jpg.jpg|marco|centro]]

==Mallado ocupado por el fluido==

==Comprobación ecuación Navier-Stokes==
Partimos de las ecuaciones de la velocidad y la presión de las partículas del fluido, respectivamente:
[[Archivo:Camp1.jpg|marco|centro]]
Con ello se pide verificar la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp3.jpg|marco|centro]]
Para ello vamos a ir parte por parte. En primer lugar, tenemos:
[[Archivo:Camp4.jpg|marco|centro]]
Desarrollamos este primer término:
[[Archivo:Camp5.jpg|marco|centro]] donde todos los términos son nulos, excepto la derivada parcial de u1 con respecto a y, y esto se debe a que:
-Se ha de cumplir la expresión que nos dan como resultado del primer sumando de la ecuación, lo que implica que la primera y la tercera derivada parcial del desarrollo anterior sean nulos.

-u2,u3 son 0, ya que la ecuación velocidad que se proporciona está representada en i.
De esta forma nos queda:
[[Archivo:Camp6.jpg|marco|centro]]
[[Archivo:Camp10.jpg|marco|centro]]
Por otro lado, vamos con otro término de la ecuación:
[[Archivo:Camp7.jpg|marco|centro]]
Desarrollando, se tiene:
[[Archivo:Camp8.jpg|marco|centro]]
Por último, vamos con el segundo sumando de la ecuación a demostrar:
[[Archivo:Camp9.jpg|marco|centro]]
Finalmente, basta con sustituir cada uno de estos términos en la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp11.jpg|marco|centro]]
Por lo tanto, queda así demostrado.

Por otro lado, vamos a comprobar la condición de incompresibilidad de un fluido, para lo cual partimos de la expresión facilitada y desarrollamos:
[[Archivo:Camp12.jpg|marco|centro]]
Para terminar, comprobamos que la velocidad del fluido en las paredes y=0, y=1 es nula, para lo cual simplemente sustituimos en la expresión de la velocidad dada:
[[Archivo:Camp0.jpg|marco|centro]]

==Estudio de la velocidad del fluido==
===Método de estudio===
El campo de velocidades realizado en el apartado anterior ha dejado de forma gráfica patente, dónde se desarrollan las velocidades máximas de nuestro fluido; sin embargo y a nivel matemático, para desarrollarlo de forma analítica bastaría con realizar la derivada del campo de velocidades con respecto a Y llegando a la conclusión de que las mayores velocidades se dan en la céntrica línea de Y=1/2
En la siguiente imagen podemos observar las operaciones realizadas para llegar a nuestra conclusión.
[[Archivo:Roti.png|marco|centro]]
===¿Esta solución tiene un sentido físico? ¿Es razonable?===
Sí, en efecto podríamos hablar de un sentido físico dado que en la circulación de fluidos por conductos o tuberías la velocidad máxima siempre tiende a localizarse en el centro. Los extremos siempre conllevan perdidas de carga continuas y fuerzas de rozamiento. Es por el centro donde la circulación es más libre y por tanto la velocidad se incrementa.
[[Archivo:Centri.jpg|marco|centro]]

==Representacion del campo de presiones==
Para representar el campo de velocidades y presiones vamos a suponer que p1=2 y p2=1 , con mu=1.
Para ello usaremos el programa de Matlab.

El codigo para el campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Porgramapresion.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Reprpresion.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Representacion3D.png|marco|centro]]

En el campo de presiones podemos apreciar que la presion es más alta en las zonas más cálidas (colores como rojo, naranja, amarillo y verde), y en las zonas más frías (colores como verde,celeste y azul), la presión es más baja. Esto significa que a medida que el fluido va avanzando en el canal la presión va bajando.

==Representacion del campo de velocidades==

El codigo para el campo de velocidades es el siguiente:
[[Archivo:Programavelocidad.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Representacion2Dvel.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Repres3D.png|marco|centro]]

En el campo de velocidades podemos observar que todos los vectores apuntan hacia la misma dirección, en sentido paralelo al eje x. También que la velocidad es mayor en el centro del canal que en las paredes porque los vectores tienen mayor módulo ahí, esto ocurre porque no hay barreras en el centro que pueda provocar una disminución en la velocidad.

==Lineas de corriente==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente des campo u, es decir, las líneas que son tangentes a este en cada punto. Para esto calculamos un campo v, que es ortogonal a u.

[[Archivo:1s.jpg|marco|centro]]

Vamos a calcular el potencial escalar ψ, que se conoce como función de corriente de u :

[[Archivo:2s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:3s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:4s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:5s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:6s.jpg|marco|centro]]

Calculamos el rotacional:

[[Archivo:7s.jpg|marco|centro]]

Se comprueba que es irrotacional (por ser u de divergencia nula)

[[Archivo:8s.jpg|marco|centro]]

Se mostrara a continuacion la representacion de las lineas de corriente de u (ψ=cte) que el enunciado pide.

Usando el siguiente programa de matlab :

[[Archivo:Helloprogr.png|marco|centro]]

El grafico resultante es el siguiente:

[[Archivo:Helloo.png|marco|centro]]

Las dos conclusiones fundamentales que se pueden apreciar en la representación gráfica son que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además que el campo \( \vec v \) es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Estudio del rotacional de campo==
Usamos el concepto de rotacional de campo en el cálculo vectorial, el rotacional o también denominado a veces rotor es un operador vectorial para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto.
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto, es decir:
[[Archivo:Plapo.png|marco|centro]]
Sin embargo se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:
[[Archivo:Deteret.png|marco|centro]]
y relacionando el operador nabla con nuestro campo,
[[Archivo:Rotixx.png|marco|centro]]

{{matlab|codigo=

x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

rotabs=abs(Y-(1/2)); %Rotacional

surf(X,Y,rotabs)

axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:16C-rotabs.png|marco|centro|Representación del rotacional en valor absoluto]]
El dibujo del mallado en Matlab deja patente que el rotacional crece en valor absoluto a medida que nos acercamos a las paredes de la sección. Eso quiere decir que a medida que el rotacional crece, decrecen la velocidad de las partículas.
El rotacional es mayor en los puntos cercanos a las paredes porque estos son más propensos a generar rotación alrededor de puntos en concreto al tener una velocidad más pequeña y una trayectoria menos libre.

== Estudio de la temperatura del fluido ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente expresión:

Como esta función está expresada en coordenadas cilíndricas, para el estudio de la temperatura trabajaremos en estas coordenadas. Para ello se debe establecer el dominio de ro y theta teniendo en cuenta su relación con x e y:

=== Campo de temperaturas ===

El campo de temperaturas asocia una temperatura a cada punto del fluido. Para su representación gráfica se utilizará el siguiente programa de matlab:
{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,0.2450,3);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
%Superficie
figure(1)
surface(RO,THETA,T)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel
figure(2)
contour(RO,THETA,T,30)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel y superficie 3D
figure (3)
surf(RO,THETA,T)
hold on
contour(RO,THETA,T,30)
grid on
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')
zlabel('Temperatura')
colorbar

}}

[[Archivo:Superficie16cf.jpg|marco|centro|Representación gráfica del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvas16cf.jpg||marco|centro|Curvas de nivel del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvasysuperficie16cf.jpg|marco|centro|Representación del campo de temperaturas y sus curvas de nivel de manera conjunta]]

===Temperatura máxima===
{{matlab|codigo=
%Temperatura máxima
Tmax=max(max(T))
%Coordenadas para Tmax
[ro,theta]=find(T==Tmax);
rom=(4.1231/41)*ro
thetam=(0.245/3)*theta
}}

La temperatura máxima es T=0.9998 y se alcanza en ro=0.6034 y theta=0.0817

=== Gradiente de temperatura ===
La temperatura es una magnitud intensiva que adopta un valor distinto para cada punto del espacio, por lo que puede ser descrito como un campo escalar.
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar '''f''' es un campo vectorial. El vector gradiente de '''f''' evaluado en un punto genérico '''x''' del dominio de '''f''' , '''f(x)''', indica la dirección en la cual el campo '''f''' varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de '''f''' en la dirección de dicho vector gradiente.

Si suponemos que '''c : R → R''' n es una curva parametrizada con la propiedad de que '''c(t)''' pertenece al k conjunto de nivel de '''f''' para cualquier '''t ∈ R'''. Esto significa simplemente que '''f ◦ c''' es constantemente igual a k. Por lo tanto: '''d(f ◦ c) dt = 0''', porque es la derivada de una constante. Pero como, por otra parte, tenemos: '''d(f ◦ c) dt = grad f(p) · c’(t)''' , concluimos que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

Por tanto, el gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia.
Siendo esto así, para cada punto del fluido, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido aumenta la temperatura en esa dirección.

Mediante Matlab obtenemos la representación gráfica de las curvas de nivel de la temperatura y el gradiente térmico, y podemos comprobar gráficamente que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,0.2450,3);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
Tro=(-2*RO+1).*cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Componente ro
Ttheta=-sin(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Componente theta
hold on
quiver(RO,THETA,Tro,Ttheta); %Representación del gradiente
contour(RO,THETA,T,30); %Representación de la temperatura

grid on
axis([0,4.,-0.5,1.5])
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)
}}

[[Archivo:gradientef16c.jpg|marco|centro|Representación gráfica de las curvas de nivel y el gradiente de temperatura.]]

[[Archivo:gradientef16czoom.jpg|marco|miniaturadeimagen|centro|Ampliación del gradiente y las curvas de nivel, donde se puede observar con más detalle que son perpendiculares entre sí. ]]

==Estudio de la presión media de los puntos del fluido==

La presión de los puntos del fluido viene dada por el campo escalar. Particularizando en los valores que nos dan para p1 y p2:

[[Archivo:Campo_escalar1.png|marco|centro]]

Una vez tenemos la expresión del campo escalar de las presiones calculamos la integral definida en los limites x[0,4] e y[0,1] y el área de nuestro canal. La presión media de los puntos del fluido será la división entre la integral y el área del canal.

[[Archivo:Integral_campo.png|marco|centro]]

==Caudal==

El caudal es la cantidad flujo volumétrico o volumen que pasa por un área dada en la unidad de tiempo.
Para calcular el caudal, lo hacemos mediante una integral de línea:

[[Archivo:16C-10-1.png|sinmarco|centro]]
En nuestro caso,

[[Archivo:16C-10-2.png|marco|centro]]

donde p1=2, p2=1 y μ=1.
Por tanto

[[Archivo:16C-10-3.png|marco|centro]]

El ancho del canal es 1 y por tanto los límites de nuestra integral serán 0 y 1.

[[Archivo:16C-10-4.png|marco|centro]]

El caudal que lleva el canal es de 0.083 m3/s
=== Porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal===

Para calcular el caudal que pasa por la mitad central del canal lo hacemos con la misma integral empleada para el caudal total, pero en el intervalo 0.25 y 0.75, teniendo el valor medio de y, en el centro de dicho intervalo.

[[Archivo:16C-10.2-1.png|marco|centro]]

Y el porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal es:

[[Archivo:16C-10.2-2.png|marco|centro]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-04T11:10:51Z

Laura93: /* Campo de temperaturas */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Sarah Boufounas, Laura García Pedraz, Isabel Roselló Colom, Ignacio Riesco Fernández , Larisa Elena Suta, Álvaro Valbuena Pámpanas }}

El trabajo que nos ocupa es el del estudio de la visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. La consideración a tomar como fluido ha sido la de un fluido incompresible a traves de un canal con pareces rectas.
La variación del volumen del fluido va a ser por tanto nula.
El canal está compuesto por dos paneles rectos.
Las coordenadas en la que refiramos los apartados serán cartesianas.

==Breve introducción a la incompresibilidad de un fluido==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. De hecho, todos los fluidos son compresibles, algunos más que otros. La compresión de un fluido mide el cambio en el volumen de una cierta cantidad de líquido cuando se somete a una presión exterior.

Por esta razón, para simplificar las ecuaciones de la mecánica de fluidos, se considera que los líquidos son incompresibles. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante.
Se debe prestar atención a todas las propiedades del fluido (aire, agua) para definir las condiciones de flujo. Esto se debe a que todas las propiedades están conectadas entre sí. Si la presión o la temperatura de un fluido cambia, su densidad generalmente también cambia (a menos que se trate de un fluido incompresible, como en el ejercicio que ahora estudiamos).
[[Archivo:Awa.jpg.jpg|marco|centro]]

==Mallado ocupado por el fluido==

==Comprobación ecuación Navier-Stokes==
Partimos de las ecuaciones de la velocidad y la presión de las partículas del fluido, respectivamente:
[[Archivo:Camp1.jpg|marco|centro]]
Con ello se pide verificar la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp3.jpg|marco|centro]]
Para ello vamos a ir parte por parte. En primer lugar, tenemos:
[[Archivo:Camp4.jpg|marco|centro]]
Desarrollamos este primer término:
[[Archivo:Camp5.jpg|marco|centro]] donde todos los términos son nulos, excepto la derivada parcial de u1 con respecto a y, y esto se debe a que:
-Se ha de cumplir la expresión que nos dan como resultado del primer sumando de la ecuación, lo que implica que la primera y la tercera derivada parcial del desarrollo anterior sean nulos.

-u2,u3 son 0, ya que la ecuación velocidad que se proporciona está representada en i.
De esta forma nos queda:
[[Archivo:Camp6.jpg|marco|centro]]
[[Archivo:Camp10.jpg|marco|centro]]
Por otro lado, vamos con otro término de la ecuación:
[[Archivo:Camp7.jpg|marco|centro]]
Desarrollando, se tiene:
[[Archivo:Camp8.jpg|marco|centro]]
Por último, vamos con el segundo sumando de la ecuación a demostrar:
[[Archivo:Camp9.jpg|marco|centro]]
Finalmente, basta con sustituir cada uno de estos términos en la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp11.jpg|marco|centro]]
Por lo tanto, queda así demostrado.

Por otro lado, vamos a comprobar la condición de incompresibilidad de un fluido, para lo cual partimos de la expresión facilitada y desarrollamos:
[[Archivo:Camp12.jpg|marco|centro]]
Para terminar, comprobamos que la velocidad del fluido en las paredes y=0, y=1 es nula, para lo cual simplemente sustituimos en la expresión de la velocidad dada:
[[Archivo:Camp0.jpg|marco|centro]]

==Estudio de la velocidad del fluido==
===Método de estudio===
El campo de velocidades realizado en el apartado anterior ha dejado de forma gráfica patente, dónde se desarrollan las velocidades máximas de nuestro fluido; sin embargo y a nivel matemático, para desarrollarlo de forma analítica bastaría con realizar la derivada del campo de velocidades con respecto a Y llegando a la conclusión de que las mayores velocidades se dan en la céntrica línea de Y=1/2
En la siguiente imagen podemos observar las operaciones realizadas para llegar a nuestra conclusión.
[[Archivo:Roti.png|marco|centro]]
===¿Esta solución tiene un sentido físico? ¿Es razonable?===
Sí, en efecto podríamos hablar de un sentido físico dado que en la circulación de fluidos por conductos o tuberías la velocidad máxima siempre tiende a localizarse en el centro. Los extremos siempre conllevan perdidas de carga continuas y fuerzas de rozamiento. Es por el centro donde la circulación es más libre y por tanto la velocidad se incrementa.
[[Archivo:Centri.jpg|marco|centro]]

==Representacion del campo de presiones==
Para representar el campo de velocidades y presiones vamos a suponer que p1=2 y p2=1 , con mu=1.
Para ello usaremos el programa de Matlab.

El codigo para el campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Porgramapresion.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Reprpresion.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Representacion3D.png|marco|centro]]

En el campo de presiones podemos apreciar que la presion es más alta en las zonas más cálidas (colores como rojo, naranja, amarillo y verde), y en las zonas más frías (colores como verde,celeste y azul), la presión es más baja. Esto significa que a medida que el fluido va avanzando en el canal la presión va bajando.

==Representacion del campo de velocidades==

El codigo para el campo de velocidades es el siguiente:
[[Archivo:Programavelocidad.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Representacion2Dvel.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Repres3D.png|marco|centro]]

En el campo de velocidades podemos observar que todos los vectores apuntan hacia la misma dirección, en sentido paralelo al eje x. También que la velocidad es mayor en el centro del canal que en las paredes porque los vectores tienen mayor módulo ahí, esto ocurre porque no hay barreras en el centro que pueda provocar una disminución en la velocidad.

==Lineas de corriente==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente des campo u, es decir, las líneas que son tangentes a este en cada punto. Para esto calculamos un campo v, que es ortogonal a u.

[[Archivo:1s.jpg|marco|centro]]

Vamos a calcular el potencial escalar ψ, que se conoce como función de corriente de u :

[[Archivo:2s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:3s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:4s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:5s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:6s.jpg|marco|centro]]

Calculamos el rotacional:

[[Archivo:7s.jpg|marco|centro]]

Se comprueba que es irrotacional (por ser u de divergencia nula)

[[Archivo:8s.jpg|marco|centro]]

Se mostrara a continuacion la representacion de las lineas de corriente de u (ψ=cte) que el enunciado pide.

Usando el siguiente programa de matlab :

[[Archivo:Helloprogr.png|marco|centro]]

El grafico resultante es el siguiente:

[[Archivo:Helloo.png|marco|centro]]

Las dos conclusiones fundamentales que se pueden apreciar en la representación gráfica son que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además que el campo \( \vec v \) es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Estudio del rotacional de campo==
Usamos el concepto de rotacional de campo en el cálculo vectorial, el rotacional o también denominado a veces rotor es un operador vectorial para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto.
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto, es decir:
[[Archivo:Plapo.png|marco|centro]]
Sin embargo se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:
[[Archivo:Deteret.png|marco|centro]]
y relacionando el operador nabla con nuestro campo,
[[Archivo:Rotixx.png|marco|centro]]

{{matlab|codigo=

x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

rotabs=abs(Y-(1/2)); %Rotacional

surf(X,Y,rotabs)

axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:16C-rotabs.png|marco|centro|Representación del rotacional en valor absoluto]]
El dibujo del mallado en Matlab deja patente que el rotacional crece en valor absoluto a medida que nos acercamos a las paredes de la sección. Eso quiere decir que a medida que el rotacional crece, decrecen la velocidad de las partículas.
El rotacional es mayor en los puntos cercanos a las paredes porque estos son más propensos a generar rotación alrededor de puntos en concreto al tener una velocidad más pequeña y una trayectoria menos libre.

== Estudio de la temperatura del fluido ==
=== Campo de temperaturas ===

El campo de temperaturas asocia una temperatura a cada punto del fluido. Para su representación gráfica se utilizará el siguiente programa de matlab:
{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,0.2450,3);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
%Superficie
figure(1)
surface(RO,THETA,T)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel
figure(2)
contour(RO,THETA,T,30)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel y superficie 3D
figure (3)
surf(RO,THETA,T)
hold on
contour(RO,THETA,T,30)
grid on
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')
zlabel('Temperatura')
colorbar

}}

[[Archivo:Superficie16cf.jpg|marco|centro|Representación gráfica del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvas16cf.jpg||marco|centro|Curvas de nivel del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvasysuperficie16cf.jpg|marco|centro|Representación del campo de temperaturas y sus curvas de nivel de manera conjunta]]

===Temperatura máxima===
{{matlab|codigo=
%Temperatura máxima
Tmax=max(max(T))
%Coordenadas para Tmax
[ro,theta]=find(T==Tmax);
rom=(4.1231/41)*ro
thetam=(0.245/3)*theta
}}

La temperatura máxima es T=0.9998 y se alcanza en ro=0.6034 y theta=0.0817

=== Gradiente de temperatura ===
La temperatura es una magnitud intensiva que adopta un valor distinto para cada punto del espacio, por lo que puede ser descrito como un campo escalar.
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar '''f''' es un campo vectorial. El vector gradiente de '''f''' evaluado en un punto genérico '''x''' del dominio de '''f''' , '''f(x)''', indica la dirección en la cual el campo '''f''' varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de '''f''' en la dirección de dicho vector gradiente.

Si suponemos que '''c : R → R''' n es una curva parametrizada con la propiedad de que '''c(t)''' pertenece al k conjunto de nivel de '''f''' para cualquier '''t ∈ R'''. Esto significa simplemente que '''f ◦ c''' es constantemente igual a k. Por lo tanto: '''d(f ◦ c) dt = 0''', porque es la derivada de una constante. Pero como, por otra parte, tenemos: '''d(f ◦ c) dt = grad f(p) · c’(t)''' , concluimos que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

Por tanto, el gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia.
Siendo esto así, para cada punto del fluido, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido aumenta la temperatura en esa dirección.

Mediante Matlab obtenemos la representación gráfica de las curvas de nivel de la temperatura y el gradiente térmico, y podemos comprobar gráficamente que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,0.2450,3);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
Tro=(-2*RO+1).*cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Componente ro
Ttheta=-sin(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Componente theta
hold on
quiver(RO,THETA,Tro,Ttheta); %Representación del gradiente
contour(RO,THETA,T,30); %Representación de la temperatura

grid on
axis([0,4.,-0.5,1.5])
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)
}}

[[Archivo:gradientef16c.jpg|marco|centro|Representación gráfica de las curvas de nivel y el gradiente de temperatura.]]

[[Archivo:gradientef16czoom.jpg|marco|miniaturadeimagen|centro|Ampliación del gradiente y las curvas de nivel, donde se puede observar con más detalle que son perpendiculares entre sí. ]]

==Estudio de la presión media de los puntos del fluido==

La presión de los puntos del fluido viene dada por el campo escalar. Particularizando en los valores que nos dan para p1 y p2:

[[Archivo:Campo_escalar1.png|marco|centro]]

Una vez tenemos la expresión del campo escalar de las presiones calculamos la integral definida en los limites x[0,4] e y[0,1] y el área de nuestro canal. La presión media de los puntos del fluido será la división entre la integral y el área del canal.

[[Archivo:Integral_campo.png|marco|centro]]

==Caudal==

El caudal es la cantidad flujo volumétrico o volumen que pasa por un área dada en la unidad de tiempo.
Para calcular el caudal, lo hacemos mediante una integral de línea:

[[Archivo:16C-10-1.png|sinmarco|centro]]
En nuestro caso,

[[Archivo:16C-10-2.png|marco|centro]]

donde p1=2, p2=1 y μ=1.
Por tanto

[[Archivo:16C-10-3.png|marco|centro]]

El ancho del canal es 1 y por tanto los límites de nuestra integral serán 0 y 1.

[[Archivo:16C-10-4.png|marco|centro]]

El caudal que lleva el canal es de 0.083 m3/s
=== Porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal===

Para calcular el caudal que pasa por la mitad central del canal lo hacemos con la misma integral empleada para el caudal total, pero en el intervalo 0.25 y 0.75, teniendo el valor medio de y, en el centro de dicho intervalo.

[[Archivo:16C-10.2-1.png|marco|centro]]

Y el porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal es:

[[Archivo:16C-10.2-2.png|marco|centro]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-04T11:08:35Z

Laura93: /* Gradiente de temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Sarah Boufounas, Laura García Pedraz, Isabel Roselló Colom, Ignacio Riesco Fernández , Larisa Elena Suta, Álvaro Valbuena Pámpanas }}

El trabajo que nos ocupa es el del estudio de la visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. La consideración a tomar como fluido ha sido la de un fluido incompresible a traves de un canal con pareces rectas.
La variación del volumen del fluido va a ser por tanto nula.
El canal está compuesto por dos paneles rectos.
Las coordenadas en la que refiramos los apartados serán cartesianas.

==Breve introducción a la incompresibilidad de un fluido==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. De hecho, todos los fluidos son compresibles, algunos más que otros. La compresión de un fluido mide el cambio en el volumen de una cierta cantidad de líquido cuando se somete a una presión exterior.

Por esta razón, para simplificar las ecuaciones de la mecánica de fluidos, se considera que los líquidos son incompresibles. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante.
Se debe prestar atención a todas las propiedades del fluido (aire, agua) para definir las condiciones de flujo. Esto se debe a que todas las propiedades están conectadas entre sí. Si la presión o la temperatura de un fluido cambia, su densidad generalmente también cambia (a menos que se trate de un fluido incompresible, como en el ejercicio que ahora estudiamos).
[[Archivo:Awa.jpg.jpg|marco|centro]]

==Mallado ocupado por el fluido==

==Comprobación ecuación Navier-Stokes==
Partimos de las ecuaciones de la velocidad y la presión de las partículas del fluido, respectivamente:
[[Archivo:Camp1.jpg|marco|centro]]
Con ello se pide verificar la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp3.jpg|marco|centro]]
Para ello vamos a ir parte por parte. En primer lugar, tenemos:
[[Archivo:Camp4.jpg|marco|centro]]
Desarrollamos este primer término:
[[Archivo:Camp5.jpg|marco|centro]] donde todos los términos son nulos, excepto la derivada parcial de u1 con respecto a y, y esto se debe a que:
-Se ha de cumplir la expresión que nos dan como resultado del primer sumando de la ecuación, lo que implica que la primera y la tercera derivada parcial del desarrollo anterior sean nulos.

-u2,u3 son 0, ya que la ecuación velocidad que se proporciona está representada en i.
De esta forma nos queda:
[[Archivo:Camp6.jpg|marco|centro]]
[[Archivo:Camp10.jpg|marco|centro]]
Por otro lado, vamos con otro término de la ecuación:
[[Archivo:Camp7.jpg|marco|centro]]
Desarrollando, se tiene:
[[Archivo:Camp8.jpg|marco|centro]]
Por último, vamos con el segundo sumando de la ecuación a demostrar:
[[Archivo:Camp9.jpg|marco|centro]]
Finalmente, basta con sustituir cada uno de estos términos en la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp11.jpg|marco|centro]]
Por lo tanto, queda así demostrado.

Por otro lado, vamos a comprobar la condición de incompresibilidad de un fluido, para lo cual partimos de la expresión facilitada y desarrollamos:
[[Archivo:Camp12.jpg|marco|centro]]
Para terminar, comprobamos que la velocidad del fluido en las paredes y=0, y=1 es nula, para lo cual simplemente sustituimos en la expresión de la velocidad dada:
[[Archivo:Camp0.jpg|marco|centro]]

==Estudio de la velocidad del fluido==
===Método de estudio===
El campo de velocidades realizado en el apartado anterior ha dejado de forma gráfica patente, dónde se desarrollan las velocidades máximas de nuestro fluido; sin embargo y a nivel matemático, para desarrollarlo de forma analítica bastaría con realizar la derivada del campo de velocidades con respecto a Y llegando a la conclusión de que las mayores velocidades se dan en la céntrica línea de Y=1/2
En la siguiente imagen podemos observar las operaciones realizadas para llegar a nuestra conclusión.
[[Archivo:Roti.png|marco|centro]]
===¿Esta solución tiene un sentido físico? ¿Es razonable?===
Sí, en efecto podríamos hablar de un sentido físico dado que en la circulación de fluidos por conductos o tuberías la velocidad máxima siempre tiende a localizarse en el centro. Los extremos siempre conllevan perdidas de carga continuas y fuerzas de rozamiento. Es por el centro donde la circulación es más libre y por tanto la velocidad se incrementa.
[[Archivo:Centri.jpg|marco|centro]]

==Representacion del campo de presiones==
Para representar el campo de velocidades y presiones vamos a suponer que p1=2 y p2=1 , con mu=1.
Para ello usaremos el programa de Matlab.

El codigo para el campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Porgramapresion.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Reprpresion.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Representacion3D.png|marco|centro]]

En el campo de presiones podemos apreciar que la presion es más alta en las zonas más cálidas (colores como rojo, naranja, amarillo y verde), y en las zonas más frías (colores como verde,celeste y azul), la presión es más baja. Esto significa que a medida que el fluido va avanzando en el canal la presión va bajando.

==Representacion del campo de velocidades==

El codigo para el campo de velocidades es el siguiente:
[[Archivo:Programavelocidad.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Representacion2Dvel.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Repres3D.png|marco|centro]]

En el campo de velocidades podemos observar que todos los vectores apuntan hacia la misma dirección, en sentido paralelo al eje x. También que la velocidad es mayor en el centro del canal que en las paredes porque los vectores tienen mayor módulo ahí, esto ocurre porque no hay barreras en el centro que pueda provocar una disminución en la velocidad.

==Lineas de corriente==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente des campo u, es decir, las líneas que son tangentes a este en cada punto. Para esto calculamos un campo v, que es ortogonal a u.

[[Archivo:1s.jpg|marco|centro]]

Vamos a calcular el potencial escalar ψ, que se conoce como función de corriente de u :

[[Archivo:2s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:3s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:4s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:5s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:6s.jpg|marco|centro]]

Calculamos el rotacional:

[[Archivo:7s.jpg|marco|centro]]

Se comprueba que es irrotacional (por ser u de divergencia nula)

[[Archivo:8s.jpg|marco|centro]]

Se mostrara a continuacion la representacion de las lineas de corriente de u (ψ=cte) que el enunciado pide.

Usando el siguiente programa de matlab :

[[Archivo:Helloprogr.png|marco|centro]]

El grafico resultante es el siguiente:

[[Archivo:Helloo.png|marco|centro]]

Las dos conclusiones fundamentales que se pueden apreciar en la representación gráfica son que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además que el campo \( \vec v \) es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Estudio del rotacional de campo==
Usamos el concepto de rotacional de campo en el cálculo vectorial, el rotacional o también denominado a veces rotor es un operador vectorial para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto.
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto, es decir:
[[Archivo:Plapo.png|marco|centro]]
Sin embargo se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:
[[Archivo:Deteret.png|marco|centro]]
y relacionando el operador nabla con nuestro campo,
[[Archivo:Rotixx.png|marco|centro]]

{{matlab|codigo=

x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

rotabs=abs(Y-(1/2)); %Rotacional

surf(X,Y,rotabs)

axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:16C-rotabs.png|marco|centro|Representación del rotacional en valor absoluto]]
El dibujo del mallado en Matlab deja patente que el rotacional crece en valor absoluto a medida que nos acercamos a las paredes de la sección. Eso quiere decir que a medida que el rotacional crece, decrecen la velocidad de las partículas.
El rotacional es mayor en los puntos cercanos a las paredes porque estos son más propensos a generar rotación alrededor de puntos en concreto al tener una velocidad más pequeña y una trayectoria menos libre.

== Estudio de la temperatura del fluido ==
=== Campo de temperaturas ===
{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,0.2450,3);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
%Superficie
figure(1)
surface(RO,THETA,T)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel
figure(2)
contour(RO,THETA,T,30)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel y superficie 3D
figure (3)
surf(RO,THETA,T)
hold on
contour(RO,THETA,T,30)
grid on
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')
zlabel('Temperatura')
colorbar

}}

[[Archivo:Superficie16cf.jpg|marco|centro|Representación gráfica del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvas16cf.jpg||marco|centro|Curvas de nivel del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvasysuperficie16cf.jpg|marco|centro|Representación del campo de temperaturas y sus curvas de nivel de manera conjunta]]

===Temperatura máxima===
{{matlab|codigo=
%Temperatura máxima
Tmax=max(max(T))
%Coordenadas para Tmax
[ro,theta]=find(T==Tmax);
rom=(4.1231/41)*ro
thetam=(0.245/3)*theta
}}

La temperatura máxima es T=0.9998 y se alcanza en ro=0.6034 y theta=0.0817

=== Gradiente de temperatura ===
La temperatura es una magnitud intensiva que adopta un valor distinto para cada punto del espacio, por lo que puede ser descrito como un campo escalar.
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar '''f''' es un campo vectorial. El vector gradiente de '''f''' evaluado en un punto genérico '''x''' del dominio de '''f''' , '''f(x)''', indica la dirección en la cual el campo '''f''' varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de '''f''' en la dirección de dicho vector gradiente.

Si suponemos que '''c : R → R''' n es una curva parametrizada con la propiedad de que '''c(t)''' pertenece al k conjunto de nivel de '''f''' para cualquier '''t ∈ R'''. Esto significa simplemente que '''f ◦ c''' es constantemente igual a k. Por lo tanto: '''d(f ◦ c) dt = 0''', porque es la derivada de una constante. Pero como, por otra parte, tenemos: '''d(f ◦ c) dt = grad f(p) · c’(t)''' , concluimos que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

Por tanto, el gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia.
Siendo esto así, para cada punto del fluido, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido aumenta la temperatura en esa dirección.

Mediante Matlab obtenemos la representación gráfica de las curvas de nivel de la temperatura y el gradiente térmico, y podemos comprobar gráficamente que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,0.2450,3);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
Tro=(-2*RO+1).*cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Componente ro
Ttheta=-sin(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Componente theta
hold on
quiver(RO,THETA,Tro,Ttheta); %Representación del gradiente
contour(RO,THETA,T,30); %Representación de la temperatura

grid on
axis([0,4.,-0.5,1.5])
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)
}}

[[Archivo:gradientef16c.jpg|marco|centro|Representación gráfica de las curvas de nivel y el gradiente de temperatura.]]

[[Archivo:gradientef16czoom.jpg|marco|miniaturadeimagen|centro|Ampliación del gradiente y las curvas de nivel, donde se puede observar con más detalle que son perpendiculares entre sí. ]]

==Estudio de la presión media de los puntos del fluido==

La presión de los puntos del fluido viene dada por el campo escalar. Particularizando en los valores que nos dan para p1 y p2:

[[Archivo:Campo_escalar1.png|marco|centro]]

Una vez tenemos la expresión del campo escalar de las presiones calculamos la integral definida en los limites x[0,4] e y[0,1] y el área de nuestro canal. La presión media de los puntos del fluido será la división entre la integral y el área del canal.

[[Archivo:Integral_campo.png|marco|centro]]

==Caudal==

El caudal es la cantidad flujo volumétrico o volumen que pasa por un área dada en la unidad de tiempo.
Para calcular el caudal, lo hacemos mediante una integral de línea:

[[Archivo:16C-10-1.png|sinmarco|centro]]
En nuestro caso,

[[Archivo:16C-10-2.png|marco|centro]]

donde p1=2, p2=1 y μ=1.
Por tanto

[[Archivo:16C-10-3.png|marco|centro]]

El ancho del canal es 1 y por tanto los límites de nuestra integral serán 0 y 1.

[[Archivo:16C-10-4.png|marco|centro]]

El caudal que lleva el canal es de 0.083 m3/s
=== Porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal===

Para calcular el caudal que pasa por la mitad central del canal lo hacemos con la misma integral empleada para el caudal total, pero en el intervalo 0.25 y 0.75, teniendo el valor medio de y, en el centro de dicho intervalo.

[[Archivo:16C-10.2-1.png|marco|centro]]

Y el porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal es:

[[Archivo:16C-10.2-2.png|marco|centro]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-03T13:26:24Z

Laura93: /* Temperatura máxima */

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-03T13:22:10Z

Laura93: /* Estudio de la temperatura del fluido */

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-03T13:08:12Z

Laura93: /* Estudio de la temperatura del fluido */

Archivo:Gradientef16czoom.jpg

2015-12-03T13:04:13Z

Laura93:

Archivo:Gradientef16c.jpg

2015-12-03T13:03:51Z

Laura93:

Archivo:Curvas16cf.jpg

2015-12-03T13:03:04Z

Laura93:

Archivo:Superficie16cf.jpg

2015-12-03T13:02:47Z

Laura93:

Archivo:Curvasysuperficie16cf.jpg

2015-12-03T13:02:21Z

Laura93:

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-03T13:01:44Z

Laura93: /* Campo de temperaturas */

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-02T14:21:12Z

Laura93: /* Campo de temperaturas */

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-02T14:20:22Z

Laura93: /* Campo de temperaturas */

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-02T14:19:32Z

Laura93: /* Campo de temperaturas */

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-02T14:18:14Z

Laura93: /* Campo de temperaturas */

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-02T14:03:45Z

Laura93: /* Campo de temperaturas */

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-02T14:02:18Z

Laura93: /* Campo de temperaturas */

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-02T14:01:12Z

Laura93: /* Campo de temperaturas */

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-02T14:00:29Z

Laura93: /* Campo de temperaturas */

Archivo:Curvas16c.jpg

2015-12-02T13:56:52Z

Laura93:

Archivo:Curvasysuperficie.jpg

2015-12-02T13:56:34Z

Laura93:

Archivo:Superficie16c.jpg

2015-12-02T13:56:13Z

Laura93:

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-02T13:55:19Z

Laura93: /* Campo de temperaturas */

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-02T12:23:57Z

Laura93:

Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A)

2015-05-19T16:08:07Z

Laura93:

{{ TrabajoED | Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

==Introducción==
El presente trabajo trata de estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de una viga de 10 metros de longitud y sección rectangular, al someterla a la acción de diferentes esfuerzos y variar las dimensiones de su sección transversal, así como se estudiará la respuesta de esta misma viga al cambiar sus condiciones de apoyo.
[[Archivo:area-rectangulo.png|miniaturadeimagen|izquierda|Sección transversal de la viga]]
[[Archivo:Viga13a.gif|marco|centro]]
Supondremos que la viga ocupa el intervalo x∈[0,L] y denotamos el desplazamiento vertical de su eje por y(x). Para desplazamientos pequeños, y(x) satisface la ecuación de la curva elástica que proviene del equilibrio de momentos:

:<math>y'''=\frac{M(x)}{E I(x)}</math>

donde E es el módulo de elasticidad lineal (o módulo de Young) que depende de las propiedades
elásticas del material, y que supondremos constante, mientras que I(x) es el momento de inercia de la
sección transversal respecto al centro. La función M(x) se conoce como momento flector y representa
el momento de las fuerzas aplicadas sobre la viga.

==Viga biapoyada sometida a la acción de momentos flectores==

En este apartado se estudiará una viga biapoyada de la que en cada caso conoceremos distintos datos.

[[Archivo:Viga_apoyada.gif|marco|centro]]

===<math> \ E=5x10^4 ; a=0.6 ; b=0.3 ; M(x)=L/2−|x−L/2|\ </math>===
Sabiendo que <math> \ E=5x10^4 , a=0.6 , b=0.3 , M(x)=L/2−|x−L/2|\ </math>, plantaremos un problema de contorno, con objeto de conocer la deformada de la viga al serle aplicado este momento flector.Una vez calculada la deformada estudiaremos sus puntos y encontraremos el de mayor deflexión (mayor y). Para realizar estos cálculos empleamos el siguiente código de matlab.
{{matlab|codigo=

% datos
L=10; % longitud de la viga
E=5e4; % módulo de Young
a=0.6; % alto sección
b=0.3; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia

%discretización
x0=0;
xN=L;
N=50;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);
% f(x)
y0=0;yL=0;
M=L/2-abs(xx-L/2);
f=(M/(E*I))';
f(1)=f(1)-y0/(h^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(h^2);
% matriz K
K=(1/h^2)*(-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1));

%solución
y=K\f;

%valores del contorno
y=[y0;y;yL];

%deflexión máxima
fmax=min(y)

% dibujamos
plot(x,y)}}

A continuación se muestra la gráfica que representa la ley de deflexiones de la viga
[[Archivo:Apartado113a.png|marco|centro|Ley de deflexiones de la viga]]

El valor de la deflexión máxima es -0.1544 que como podemos observar en la gráfica, se produce en el centro de vano.

===<math> \ E=5x10^4 ; a∈[0,1;0,9] ; b=1−a ; V_[viga]=cte \ </math>===
En esta ocasión, nuestra viga tendrá canto y ancho variable a lo largo de su longitud. Sabiendo que el volumen de esta permanecerá constante con respecto al caso anterior <math> \ (a=0.6 ; b=0.3 ; M(x)= L/2−|x−L/2|)\ </math>,procederemos a calcular la ley de deformadas de esta nueva viga. Para realizar estos cálculos volveremos a utilizar matlab.

{{matlab|codigo=

% datos
L=10; % longitud viga
E=5e4; % módulo de Young
y0=0;
yL=0;

% discretización
x0=0;
xN=L;
N=50;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);
M=L/2-abs(xx-L/2);
% matriz K
K=(1/h^2)*(-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1));
n=0;
fmax=zeros(1,9);
for a=0.1:0.1:0.9 % alto sección
n=n+1;
b=1-a; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia
% f(x)
f=(M/(E*I))';
f(1)=f(1)-y0/(h^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(h^2);

%solución
y=K\f;
%valores del contorno
y=[y0;y;yL];
fmax(n)=min(y);

% dibujamos
figure(1)
hold on
plot(x,y)
end
fmax(n)=min(y)
hold off
figure(2)
plot(0.1:0.1:0.9,fmax,'-g')}}

:De esta forma obtenemos que la menor deflexión máxima, con un valor de 0.0973, se produce cuando la sección tiene un canto de 0.7 y un ancho de 0.3

A continuación se muestran las gráficas que representan las deflexiones sufridas por cada sección de la viga y el gráfico que representa las máximas deflexiones para cada canto en esta misma viga.

[[Archivo:Apartado2-113A.png|marco|centro|Ley de deflexiones en cada sección]]
[[Archivo:Apartado2-213A.png|marco|centro]]

===Viga con sección variable respecto de x===
En este apartado supondremos que la viga tiene seccion cuadrada con el lado a(x) variable:
:<math> a(x)=cos(c*(x-L/2)) +d </math>
Con '''c''' y '''d''' como variables pero que siempre cumplan que el volumen total de la viga sea igual al de la viga de sección cuadrada y lado '''a=0,5''' . Por tanto esta condición nos permite sacar la relación entre '''c''' y '''d'''.
:<math> L*a^2=\int_{0}^{L} [cos(c(x-L/2))+d]^2 dx</math>
Operando llegamos a la siguiente relación:
:<math> d=\frac{\frac{-4}{c}*sen(\frac{c*L}{2}) ± \sqrt{\frac{16}{c^2}*sen^2(c*L/2)-\frac{2*L}{c}*sen(c*L)-4*L^2(1/2-a^2)}}{2*L} </math>
Tomando solo el valor positivo y hallando el intervalo de '''c''' haciendo que el discriminante de la raiz sea mayor que cero, planteamos el siguiente código.

{{matlab|codigo=
% Partición espacial
L=10; % longitud de la viga
x0=0;xN=L;
N=50;dx=(xN-x0)/N;
x=x0:dx:xN;
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);

% Matriz K
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*KK;

% Datos
E=5E4;
y0=0;yL=0;
M=L/2-abs(xi-L/2);

n=0;
c0=-0.4354;cf=0.4354;
dc=0.02;
for c=c0:dc:cf
n=n+1;
d=-4/c*sin(c*L/2)+sqrt((16*sin(5*c)^2)/(c*c)-(20*sin(10*c))/c-100);
a=cos(c*(xi-L/2))+d;
I=(1/12).*a.^4;

% f(x)
f=(M./(E*I))';
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);

%solución
y=K\f;

y=[y0;y;yL];
fle_max(n)=-max(abs(y));

figure(1)
hold on
plot(x,y)
hold on
end
hold off
figure(2)
plot(c0:dc:cf ,fle_max,'-ok')}}

[[Archivo:grrafvigas.JPG|marco|izquierda]]
[[Archivo:parameters.JPG|marco|centro]]
:La primera gráfica representa los distintos perfiles de las vigas para cada parametro de '''c''' y '''d'''.
:La segunda las flechas según el valor de '''c'''.
:Gracias a la ecuación obtenemos el valor óptimo y pésimo. La viga con '''menor deflexión''' (en rojo en la figura) se produce cuando <math> c=-0,0046 </math> y <math> d=-9,9982 </math> dando una flecha máxima en el centro de vano de <math> -1,5264·10^-6 </math> '''m'''. La viga con '''mayor deflexión''' (en azul en la figura) se produce cuando <math> c=-0,3745 </math> y <math> d=-4,3407 </math> y una flecha máxima en el centro de vano de <math> -6,85·10^-5 </math> '''m'''.
[[Archivo:viggaoppes.JPG|marco|centro]]

==Viga biempotrada sometida a la acción de una carga==

[[Archivo:Viga empotrada.gif|marco|centro]]
En el presente apartado se realizará un estudio homólogo al del apartado anterior con la diferencia de que en este caso en lugar de estar los extremos apoyados, estarán encastrados. La sección transversal tendrá el mismo valor para el canto y el ancho, es decir, nos encontramos ante una sección cuadrada con a=b=0.5. Con respecto a la acción que actúa sobre la viga nos encontramos ante otra diferencia con los casos anteriores: en esta ocasión en lugar de actuar momentos flectores actúa una carga de valor <math> \ w(x)= L/2−|x−L/2| \ </math>.
Para resolver este problema deberemos resolver la siguiente ecuación:
:<math>y''''=\frac{-w(x)}{E I(x)}</math>
Esta ecuación resulta ser de orden cuatro por lo que necesitaremos cuatro condiciones de contorno, que sacaremos de las condiciones de sustentación de la viga (empotramientos en los dos extremos). Las condiciones de contorno que resultan son las siguientes:
\[\left\{\begin{matrix} y(0)=0 \ & \\ y'(0)=0\ \end{matrix}\right.\]
\[\left\{\begin{matrix} y(L)=0\ & \\ y'(L)=0\ \end{matrix}\right.\]
Para resolver el problema de contorno que tenemos planteado será necesario que planteemos el método de diferencias finitas, nos ayudará a calcular la solución mediante una aproximación. Utilizaremos las siguientes aproximaciones:
:<math> y''''(x_j)=\frac{y(x_j-2)-4y(x_j-1)+6y(x_j)-4y(x_j+1)+y(x_j+2)}{h^4}+\theta(h^2)</math>
:<math> y'(x_0)=\frac{y(x_1)-y(x_-1)}{2h}+\theta(h^2)</math>
:<math> y'(x_N)=\frac{y(x_N+1)-y(x_N-1)}{2h}+\theta(h^2)</math>

Para resolver el problema anterior y calcular el valor de mayor deflexión y el punto en el que se
alcanza desarrollamos el siguiente programa de matlab:
{{matlab|codigo=
% datos generales
L=10; % longitud de la viga
E=5e4; % módulo de Young
a=0.5; % altura sección
b=1-a; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia

%discretización
x0=0;
xN=L;
N=10;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xx=x(2:N);

% f(x)
w=L/2-abs(xx-L/2);
f=-(w/(E*I))'; % vector columna

% matriz K
K=(1/h^4)*(6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2));
K(1,1)=7;
K(N-1,N-1)=7;

%solución
y=K\f;

y=[0;y;0]; % añadimos los valores del contorno
fmax=min(y)

W=L/2-abs(x-L/2);

% dibujamos
plot(x,W,x,y)}}

De esta manera obtenemos que la deflexión máxima se produce en la mitad del vano, es decir, en L/2=5, y con un valor de 0.3806
[[Archivo:Apartado4-13a.png|marco|centro|Representación de la carga (en rojo) y de la deflexión de la viga (en azul)

==Problema dinámico en el que la flexión de una viga apoyada en sus extremos depende del tiempo.==

En el siguiente problema dinámico la deflexión de la viga depende del tiempo y(x,t) por lo que la ecuación queda de la siguiente manera:

:<math>ρy_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math>

Siendo "p" la densidad de la viga que mantendremos constante y de valor la unidad. De esta forma nuestra ecuación final será:

<math> y_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math>

Como se trata de un problema dependiente de 2 variables necesitamos dos condiciones iniciales :

<math> y(x,0)=y_0(x) \ ; \ y_t(x,0)=y_(x) </math>

De esta manera planteamos el sistema de ecuaciones completo y su aproximación de diferencias finitas considerando el método del trapecio para resolver el problema en tiempo.

\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\ ky + b(t)\ , & \\ y(0)=y_0 \ , \\ y'(0)=z_0\ & \end{matrix}\right.\]

Tras realizar las derivaciones respecto al tiempo y respecto a x y despejando los valores conocidos nuestro sistema queda definido por:

:<math> vec{y''}=k*vec{y} +vec{b(1)} </math>
donde si tenemos en cuenta las condiciones iniciales resultaria:
\[\left\{\begin{matrix}\vec{y''}=k*\vec{y} +\vec{b(1)} \ , & \\\vec{y(0)}=\vec{y_0} \ , \\ \vec{y'(0)}=\vec{z_0}\ & \end{matrix}\right.\]
Realizando el cambio de variable:
:<math> \vec{y'}=\vec{z} </math>
:<math> \vec{z'}=k*\vec{y} +\vec{b} </math>
Nuestro sistema final sobre el cual aplicaremos el método del trapecio es:

\[\left\{\begin{matrix} \vec{W'}= K*\vec{W} + \vec{B} \ , & \\ \vec{W(0)}=\vec{W_0} \ & \end{matrix}\right.\]

El código que a continuación mostramos nos permite calcular el sistema anteriomente mostrado siendo:

:<math> y(0,t)=1/3*sin(\frac{16pix}{L}) </math>
:<math> y_t(0,t)=0 </math>

Además nos permitirá obtener el comportamiento de y(x,t) en el punto x=0.7 en un intervalo de t [0,5]:

{{matlab|codigo=

% Datos
L=10; % longitud viga
E=5E4; % módulo de Young
a=0.5;
b=1-a;
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia

% partición espacial
x0=0;xN=L;
N=100;dx=(xN-x0)/N;
x=x0:dx:xN;
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);

% condiciones iniciales
y0=((1/3)*sin(16*pi*xi/L))'; % y(0,t)
z0=zeros(1,length(xi))'; % yt(0,t)
W0=[y0;z0];

% f(x)=-w(x)/ro
w=1*(L/2-abs(xi-L/2));
f=-(w)';

% matriz K
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;
K=-(E*I)*(1/dx^4)*KK;

% Matriz Q=[O,I;K,O]
I=eye(N-1);O=zeros(N-1);
Q=[O,I;K,O];

% Partición temporal
tM=5;M=100;dt=tM/M;t=0:dt:tM;

theta=1/2; % theta=0.5(trapecio)

% Matriz P=inv(L)*R
I2=eye(2*(N-1));
L=I2-dt*theta*Q;
R=I2+dt*(1-theta)*Q;

% Término B
B=[zeros(length(f),1);f];

W=zeros(2*(N-1),M+1);
W(:,1)=W0;

for n=1:M
W(:,n+1)=L\(R*W(:,n)+dt*B);
end

Y=W(1:N-1,1:M+1);
Y0=zeros(1,M+1);
YN=zeros(1,M+1);
Y=[Y0;Y;YN];

% Grafico y(x,t)
figure(1)
[X,T]=meshgrid(x,t);
figure(1)
surf(X,T,Y')

figure(2)
xc=0.7;
plot(t,Y(round(xc/dx+1),:))}}

[[Archivo:caa.JPG|marco|izquierda]]
[[Archivo:caaa.JPG|marco|centro]]

:La primera gráfica representa el comportamiento de y(x,t) entre los intervalos dados. La segunda representa el comportamiento frente al tiempo para '''x=0,7'''

Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A)

2015-05-06T10:49:24Z

Laura93:

Archivo:Apartado113a.png

2015-05-06T10:49:02Z

Laura93:

Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A)

2015-04-30T17:45:26Z

Laura93:

Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A)

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Laura93:

Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A)

2015-04-30T17:43:29Z

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Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A)

2015-04-30T17:41:33Z

Laura93: