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La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-03T17:44:39Z

Laura.sangil: /* Centro y radio */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Grafica cicloide.png|400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% Parámetros
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Graficar la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Vectoresvelac.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad aceleración]]
{{matlab|codigo= % Parámetros dados
R = 3; % Radio de la cicloide
t = linspace(0, 2*pi, 50); % Valores de t

% Coordenadas de la curva
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Derivadas parciales para el cálculo del vector velocidad
vx = R * (1 - cos(t)); % Componente x de la velocidad
vy = R * sin(t); % Componente y de la velocidad

% Derivadas segundas para el cálculo del vector aceleración
ax = R * sin(t); % Componente x de la aceleración
ay = R * cos(t); % Componente y de la aceleración

% Grafica de la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5);
hold on;

% Grafica de los vectores velocidad y aceleración
quiver(x, y, vx, vy, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1); % Vectores de velocidad en rojo
quiver(x, y, ax, ay, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1); % Vectores de aceleración en verde

% Elementos de la gráfica
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva (t) con vectores velocidad y aceleración');
grid on;
axis equal;
hold off; }}
ylabel('y(t)');
title('Curva paramétrica (t)');
grid on;
axis equal; }}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 

Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}3\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 
Para lo cual se utilizará Matlab a través del siguiente código:
{{matlab|codigo= f = @(t) 3*sqrt(2)*sqrt(1 - cos(t)); %Módulo de la derivada de la parametrización
a = 0;
b = 2*pi;
n = 1000;
h = (b - a) / n; %Integral calculada con suma del área de 1000 rectángulos
x = a:h:b;
y = f(x);
integral_aproximada = sum(y(1:end-1)) * h; %Suma de cada una de las áreas
disp(integral_aproximada);}}
Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==

Calcularemos los vectores tangencial y normal a la curva a través de las fórmulas:

Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 
El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 
Y para ello necesitamos calcular el vector binomial, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 
Realizando las operaciones:
El vector binormal de la cicloide es: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Y el vector tangente: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

{{matlab|codigo= % Parámetros dados
t1 = linspace(0, 2*pi, 20);

x = 2*t1 - 2*sin(t1); % Componente x de la curva
y = 2 - 2*cos(t1); % Componente y de la curva

% Vectores tangente t(t)
u = (2 - 2*cos(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente x
v = (2*sin(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente y

%vectores normales n(t)
w=v %componente x
q=-u %componente y

% Gráfica de la curva y el campo vectorial
figure;
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;

% Grafica de los vectores tangentes y normales
quiver(x, y, u, v, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);
quiver(x, y, w, q, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);

axis equal;
grid on;
title('Campo Vectorial sobre la Curva');
xlabel('x');}}

==Curvatura de k(t) y su gráfica==
La curvatura '''k(t)''' es una función que representa el nivel de curvatura de la cicloide en cada P(t) de la misma.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>

{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz en P. Para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
{{matlab|codigo=
% Parámetro del generador de la cicloide
R = 3;

% Definición de la cicloide
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Valores de t para representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% Punto donde queremos la circunferencia osculatriz
t0 = 4;

% Coordenadas del punto
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% Derivadas
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% Curvatura
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % Radio de curvatura

% Vector tangente unitario
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% Vector normal unitario
N = [-T(2), T(1)];

% Centro de la circunferencia osculatriz
Q = P + rho * N;

% Representación de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% Dibujar
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
end
hold off;
}}

[[Archivo:circunferencia_osculatriz|miniaturadeimagen]].jpg

==Fenomenos que describe la cicloide==

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

[[Categoría:TC25/26]]

.

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-03T17:43:59Z

Laura.sangil: /* Centro y radio */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Grafica cicloide.png|400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% Parámetros
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Graficar la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Vectoresvelac.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad aceleración]]
{{matlab|codigo= % Parámetros dados
R = 3; % Radio de la cicloide
t = linspace(0, 2*pi, 50); % Valores de t

% Coordenadas de la curva
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Derivadas parciales para el cálculo del vector velocidad
vx = R * (1 - cos(t)); % Componente x de la velocidad
vy = R * sin(t); % Componente y de la velocidad

% Derivadas segundas para el cálculo del vector aceleración
ax = R * sin(t); % Componente x de la aceleración
ay = R * cos(t); % Componente y de la aceleración

% Grafica de la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5);
hold on;

% Grafica de los vectores velocidad y aceleración
quiver(x, y, vx, vy, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1); % Vectores de velocidad en rojo
quiver(x, y, ax, ay, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1); % Vectores de aceleración en verde

% Elementos de la gráfica
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva (t) con vectores velocidad y aceleración');
grid on;
axis equal;
hold off; }}
ylabel('y(t)');
title('Curva paramétrica (t)');
grid on;
axis equal; }}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 

Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}3\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 
Para lo cual se utilizará Matlab a través del siguiente código:
{{matlab|codigo= f = @(t) 3*sqrt(2)*sqrt(1 - cos(t)); %Módulo de la derivada de la parametrización
a = 0;
b = 2*pi;
n = 1000;
h = (b - a) / n; %Integral calculada con suma del área de 1000 rectángulos
x = a:h:b;
y = f(x);
integral_aproximada = sum(y(1:end-1)) * h; %Suma de cada una de las áreas
disp(integral_aproximada);}}
Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==

Calcularemos los vectores tangencial y normal a la curva a través de las fórmulas:

Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 
El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 
Y para ello necesitamos calcular el vector binomial, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 
Realizando las operaciones:
El vector binormal de la cicloide es: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Y el vector tangente: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

{{matlab|codigo= % Parámetros dados
t1 = linspace(0, 2*pi, 20);

x = 2*t1 - 2*sin(t1); % Componente x de la curva
y = 2 - 2*cos(t1); % Componente y de la curva

% Vectores tangente t(t)
u = (2 - 2*cos(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente x
v = (2*sin(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente y

%vectores normales n(t)
w=v %componente x
q=-u %componente y

% Gráfica de la curva y el campo vectorial
figure;
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;

% Grafica de los vectores tangentes y normales
quiver(x, y, u, v, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);
quiver(x, y, w, q, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);

axis equal;
grid on;
title('Campo Vectorial sobre la Curva');
xlabel('x');}}

==Curvatura de k(t) y su gráfica==
La curvatura '''k(t)''' es una función que representa el nivel de curvatura de la cicloide en cada P(t) de la misma.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>

{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz en P. Para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = \frac {1} {|\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}|}= 3,367</math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
{{matlab|codigo=
% Parámetro del generador de la cicloide
R = 3;

% Definición de la cicloide
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Valores de t para representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% Punto donde queremos la circunferencia osculatriz
t0 = 4;

% Coordenadas del punto
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% Derivadas
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% Curvatura
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % Radio de curvatura

% Vector tangente unitario
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% Vector normal unitario
N = [-T(2), T(1)];

% Centro de la circunferencia osculatriz
Q = P + rho * N;

% Representación de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% Dibujar
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
end
hold off;
}}

[[Archivo:circunferencia_osculatriz|miniaturadeimagen]].jpg

==Fenomenos que describe la cicloide==

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

[[Categoría:TC25/26]]

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La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-03T17:31:21Z

Laura.sangil: /* Centro y radio */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Grafica cicloide.png|400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% Parámetros
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Graficar la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Vectoresvelac.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad aceleración]]
{{matlab|codigo= % Parámetros dados
R = 3; % Radio de la cicloide
t = linspace(0, 2*pi, 50); % Valores de t

% Coordenadas de la curva
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Derivadas parciales para el cálculo del vector velocidad
vx = R * (1 - cos(t)); % Componente x de la velocidad
vy = R * sin(t); % Componente y de la velocidad

% Derivadas segundas para el cálculo del vector aceleración
ax = R * sin(t); % Componente x de la aceleración
ay = R * cos(t); % Componente y de la aceleración

% Grafica de la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5);
hold on;

% Grafica de los vectores velocidad y aceleración
quiver(x, y, vx, vy, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1); % Vectores de velocidad en rojo
quiver(x, y, ax, ay, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1); % Vectores de aceleración en verde

% Elementos de la gráfica
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva (t) con vectores velocidad y aceleración');
grid on;
axis equal;
hold off; }}
ylabel('y(t)');
title('Curva paramétrica (t)');
grid on;
axis equal; }}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 

Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}3\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 
Para lo cual se utilizará Matlab a través del siguiente código:
{{matlab|codigo= f = @(t) 3*sqrt(2)*sqrt(1 - cos(t)); %Módulo de la derivada de la parametrización
a = 0;
b = 2*pi;
n = 1000;
h = (b - a) / n; %Integral calculada con suma del área de 1000 rectángulos
x = a:h:b;
y = f(x);
integral_aproximada = sum(y(1:end-1)) * h; %Suma de cada una de las áreas
disp(integral_aproximada);}}
Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==

Calcularemos los vectores tangencial y normal a la curva a través de las fórmulas:

Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 
El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 
Y para ello necesitamos calcular el vector binomial, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 
Realizando las operaciones:
El vector binormal de la cicloide es: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Y el vector tangente: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

{{matlab|codigo= % Parámetros dados
t1 = linspace(0, 2*pi, 20);

x = 2*t1 - 2*sin(t1); % Componente x de la curva
y = 2 - 2*cos(t1); % Componente y de la curva

% Vectores tangente t(t)
u = (2 - 2*cos(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente x
v = (2*sin(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente y

%vectores normales n(t)
w=v %componente x
q=-u %componente y

% Gráfica de la curva y el campo vectorial
figure;
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;

% Grafica de los vectores tangentes y normales
quiver(x, y, u, v, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);
quiver(x, y, w, q, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);

axis equal;
grid on;
title('Campo Vectorial sobre la Curva');
xlabel('x');}}

==Curvatura de k(t) y su gráfica==
La curvatura '''k(t)''' es una función que representa el nivel de curvatura de la cicloide en cada P(t) de la misma.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>

{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz en P. Para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}(\frac{(-sent)\vec i+(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2-2cost)}} ) =4 \vec i </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = \frac {1} {|\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}|}= 3,367</math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
{{matlab|codigo=
% Parámetro del generador de la cicloide
R = 3;

% Definición de la cicloide
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Valores de t para representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% Punto donde queremos la circunferencia osculatriz
t0 = 4;

% Coordenadas del punto
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% Derivadas
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% Curvatura
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % Radio de curvatura

% Vector tangente unitario
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% Vector normal unitario
N = [-T(2), T(1)];

% Centro de la circunferencia osculatriz
Q = P + rho * N;

% Representación de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% Dibujar
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
end
hold off;
}}

[[Archivo:circunferencia_osculatriz|miniaturadeimagen]].jpg

==Fenomenos que describe la cicloide==

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

[[Categoría:TC25/26]]

.

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-03T17:29:47Z

Laura.sangil: /* Centro y radio */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Grafica cicloide.png|400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% Parámetros
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Graficar la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Vectoresvelac.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad aceleración]]
{{matlab|codigo= % Parámetros dados
R = 3; % Radio de la cicloide
t = linspace(0, 2*pi, 50); % Valores de t

% Coordenadas de la curva
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Derivadas parciales para el cálculo del vector velocidad
vx = R * (1 - cos(t)); % Componente x de la velocidad
vy = R * sin(t); % Componente y de la velocidad

% Derivadas segundas para el cálculo del vector aceleración
ax = R * sin(t); % Componente x de la aceleración
ay = R * cos(t); % Componente y de la aceleración

% Grafica de la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5);
hold on;

% Grafica de los vectores velocidad y aceleración
quiver(x, y, vx, vy, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1); % Vectores de velocidad en rojo
quiver(x, y, ax, ay, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1); % Vectores de aceleración en verde

% Elementos de la gráfica
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva (t) con vectores velocidad y aceleración');
grid on;
axis equal;
hold off; }}
ylabel('y(t)');
title('Curva paramétrica (t)');
grid on;
axis equal; }}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 

Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}3\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 
Para lo cual se utilizará Matlab a través del siguiente código:
{{matlab|codigo= f = @(t) 3*sqrt(2)*sqrt(1 - cos(t)); %Módulo de la derivada de la parametrización
a = 0;
b = 2*pi;
n = 1000;
h = (b - a) / n; %Integral calculada con suma del área de 1000 rectángulos
x = a:h:b;
y = f(x);
integral_aproximada = sum(y(1:end-1)) * h; %Suma de cada una de las áreas
disp(integral_aproximada);}}
Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==

Calcularemos los vectores tangencial y normal a la curva a través de las fórmulas:

Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 
El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 
Y para ello necesitamos calcular el vector binomial, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 
Realizando las operaciones:
El vector binormal de la cicloide es: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Y el vector tangente: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

{{matlab|codigo= % Parámetros dados
t1 = linspace(0, 2*pi, 20);

x = 2*t1 - 2*sin(t1); % Componente x de la curva
y = 2 - 2*cos(t1); % Componente y de la curva

% Vectores tangente t(t)
u = (2 - 2*cos(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente x
v = (2*sin(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente y

%vectores normales n(t)
w=v %componente x
q=-u %componente y

% Gráfica de la curva y el campo vectorial
figure;
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;

% Grafica de los vectores tangentes y normales
quiver(x, y, u, v, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);
quiver(x, y, w, q, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);

axis equal;
grid on;
title('Campo Vectorial sobre la Curva');
xlabel('x');}}

==Curvatura de k(t) y su gráfica==
La curvatura '''k(t)''' es una función que representa el nivel de curvatura de la cicloide en cada P(t) de la misma.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>

{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz en P. Para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}(\frac{(-sent)\vec i+(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2-2cost)}} ) =4 \vec i </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = \frac {1} {|\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}|}= 3,367</math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
{{matlab|codigo=
% Parámetro del generador de la cicloide
R = 3;

% Definición de la cicloide
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Valores de t para representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% Punto donde queremos la circunferencia osculatriz
t0 = 4;

% Coordenadas del punto
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% Derivadas
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% Curvatura
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % Radio de curvatura

% Vector tangente unitario
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% Vector normal unitario
N = [-T(2), T(1)];

% Centro de la circunferencia osculatriz
Q = P + rho * N;

% Representación de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% Dibujar
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
end
hold off;
}}

[[Archivo:circunferencia_osculatriz|miniaturadeimagen]].jpg

==Fenomenos que describe la cicloide==

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

[[Categoría:TC25/26]]

.

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-03T17:22:45Z

Laura.sangil: /* Aplicación en la ingeniería de la Cicloide */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Grafica cicloide.png|400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% Parámetros
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Graficar la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Vectoresvelac.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad aceleración]]
{{matlab|codigo= % Parámetros dados
R = 3; % Radio de la cicloide
t = linspace(0, 2*pi, 50); % Valores de t

% Coordenadas de la curva
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Derivadas parciales para el cálculo del vector velocidad
vx = R * (1 - cos(t)); % Componente x de la velocidad
vy = R * sin(t); % Componente y de la velocidad

% Derivadas segundas para el cálculo del vector aceleración
ax = R * sin(t); % Componente x de la aceleración
ay = R * cos(t); % Componente y de la aceleración

% Grafica de la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5);
hold on;

% Grafica de los vectores velocidad y aceleración
quiver(x, y, vx, vy, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1); % Vectores de velocidad en rojo
quiver(x, y, ax, ay, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1); % Vectores de aceleración en verde

% Elementos de la gráfica
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva (t) con vectores velocidad y aceleración');
grid on;
axis equal;
hold off; }}
ylabel('y(t)');
title('Curva paramétrica (t)');
grid on;
axis equal; }}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 

Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}3\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 
Para lo cual se utilizará Matlab a través del siguiente código:
{{matlab|codigo= f = @(t) 3*sqrt(2)*sqrt(1 - cos(t)); %Módulo de la derivada de la parametrización
a = 0;
b = 2*pi;
n = 1000;
h = (b - a) / n; %Integral calculada con suma del área de 1000 rectángulos
x = a:h:b;
y = f(x);
integral_aproximada = sum(y(1:end-1)) * h; %Suma de cada una de las áreas
disp(integral_aproximada);}}
Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==

Calcularemos los vectores tangencial y normal a la curva a través de las fórmulas:

Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 
El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 
Y para ello necesitamos calcular el vector binomial, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 
Realizando las operaciones:
El vector binormal de la cicloide es: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Y el vector tangente: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

{{matlab|codigo= % Parámetros dados
t1 = linspace(0, 2*pi, 20);

x = 2*t1 - 2*sin(t1); % Componente x de la curva
y = 2 - 2*cos(t1); % Componente y de la curva

% Vectores tangente t(t)
u = (2 - 2*cos(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente x
v = (2*sin(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente y

%vectores normales n(t)
w=v %componente x
q=-u %componente y

% Gráfica de la curva y el campo vectorial
figure;
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;

% Grafica de los vectores tangentes y normales
quiver(x, y, u, v, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);
quiver(x, y, w, q, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);

axis equal;
grid on;
title('Campo Vectorial sobre la Curva');
xlabel('x');}}

==Curvatura de k(t) y su gráfica==
La curvatura '''k(t)''' es una función que representa el nivel de curvatura de la cicloide en cada P(t) de la misma.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>

{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz en P. Para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(2t-sint,2-2cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}(\frac{(-sent)\vec i+(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2-2cost)}} ) =4 \vec i </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = \frac {1} {|\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}|}= 3,367</math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
{{matlab|codigo=
% Parámetro del generador de la cicloide
R = 3;

% Definición de la cicloide
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Valores de t para representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% Punto donde queremos la circunferencia osculatriz
t0 = 4;

% Coordenadas del punto
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% Derivadas
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% Curvatura
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % Radio de curvatura

% Vector tangente unitario
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% Vector normal unitario
N = [-T(2), T(1)];

% Centro de la circunferencia osculatriz
Q = P + rho * N;

% Representación de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% Dibujar
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
end
hold off;
}}

[[Archivo:circunferencia_osculatriz|miniaturadeimagen]].jpg

==Fenomenos que describe la cicloide==

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

[[Categoría:TC25/26]]

.

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-03T17:21:10Z

Laura.sangil: /* Aplicación en la ingeniería de la Cicloide */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Grafica cicloide.png|400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% Parámetros
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Graficar la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Vectoresvelac.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad aceleración]]
{{matlab|codigo= % Parámetros dados
R = 3; % Radio de la cicloide
t = linspace(0, 2*pi, 50); % Valores de t

% Coordenadas de la curva
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Derivadas parciales para el cálculo del vector velocidad
vx = R * (1 - cos(t)); % Componente x de la velocidad
vy = R * sin(t); % Componente y de la velocidad

% Derivadas segundas para el cálculo del vector aceleración
ax = R * sin(t); % Componente x de la aceleración
ay = R * cos(t); % Componente y de la aceleración

% Grafica de la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5);
hold on;

% Grafica de los vectores velocidad y aceleración
quiver(x, y, vx, vy, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1); % Vectores de velocidad en rojo
quiver(x, y, ax, ay, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1); % Vectores de aceleración en verde

% Elementos de la gráfica
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva (t) con vectores velocidad y aceleración');
grid on;
axis equal;
hold off; }}
ylabel('y(t)');
title('Curva paramétrica (t)');
grid on;
axis equal; }}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 

Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}3\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 
Para lo cual se utilizará Matlab a través del siguiente código:
{{matlab|codigo= f = @(t) 3*sqrt(2)*sqrt(1 - cos(t)); %Módulo de la derivada de la parametrización
a = 0;
b = 2*pi;
n = 1000;
h = (b - a) / n; %Integral calculada con suma del área de 1000 rectángulos
x = a:h:b;
y = f(x);
integral_aproximada = sum(y(1:end-1)) * h; %Suma de cada una de las áreas
disp(integral_aproximada);}}
Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==

Calcularemos los vectores tangencial y normal a la curva a través de las fórmulas:

Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 
El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 
Y para ello necesitamos calcular el vector binomial, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 
Realizando las operaciones:
El vector binormal de la cicloide es: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Y el vector tangente: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

{{matlab|codigo= % Parámetros dados
t1 = linspace(0, 2*pi, 20);

x = 2*t1 - 2*sin(t1); % Componente x de la curva
y = 2 - 2*cos(t1); % Componente y de la curva

% Vectores tangente t(t)
u = (2 - 2*cos(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente x
v = (2*sin(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente y

%vectores normales n(t)
w=v %componente x
q=-u %componente y

% Gráfica de la curva y el campo vectorial
figure;
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;

% Grafica de los vectores tangentes y normales
quiver(x, y, u, v, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);
quiver(x, y, w, q, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);

axis equal;
grid on;
title('Campo Vectorial sobre la Curva');
xlabel('x');}}

==Curvatura de k(t) y su gráfica==
La curvatura '''k(t)''' es una función que representa el nivel de curvatura de la cicloide en cada P(t) de la misma.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>

{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz en P. Para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(2t-sint,2-2cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}(\frac{(-sent)\vec i+(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2-2cost)}} ) =4 \vec i </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = \frac {1} {|\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}|}= 3,367</math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
{{matlab|codigo=
% Parámetro del generador de la cicloide
R = 3;

% Definición de la cicloide
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Valores de t para representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% Punto donde queremos la circunferencia osculatriz
t0 = 4;

% Coordenadas del punto
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% Derivadas
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% Curvatura
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % Radio de curvatura

% Vector tangente unitario
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% Vector normal unitario
N = [-T(2), T(1)];

% Centro de la circunferencia osculatriz
Q = P + rho * N;

% Representación de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% Dibujar
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
end
hold off;
}}

[[Archivo:circunferencia_osculatriz|miniaturadeimagen]].jpg

==Fenomenos que describe la cicloide==

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
[[Archivo:Cicloide_3Dv2.jpg|miniaturadeimagen|500px|thumb|right|Figura 9. superficie de la cicloide]]
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

[[Categoría:TC25/26]]

.

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-03T17:15:45Z

Laura.sangil: /* Centro y radio */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Grafica cicloide.png|400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% Parámetros
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Graficar la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Vectoresvelac.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad aceleración]]
{{matlab|codigo= % Parámetros dados
R = 3; % Radio de la cicloide
t = linspace(0, 2*pi, 50); % Valores de t

% Coordenadas de la curva
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Derivadas parciales para el cálculo del vector velocidad
vx = R * (1 - cos(t)); % Componente x de la velocidad
vy = R * sin(t); % Componente y de la velocidad

% Derivadas segundas para el cálculo del vector aceleración
ax = R * sin(t); % Componente x de la aceleración
ay = R * cos(t); % Componente y de la aceleración

% Grafica de la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5);
hold on;

% Grafica de los vectores velocidad y aceleración
quiver(x, y, vx, vy, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1); % Vectores de velocidad en rojo
quiver(x, y, ax, ay, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1); % Vectores de aceleración en verde

% Elementos de la gráfica
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva (t) con vectores velocidad y aceleración');
grid on;
axis equal;
hold off; }}
ylabel('y(t)');
title('Curva paramétrica (t)');
grid on;
axis equal; }}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 

Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}3\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 
Para lo cual se utilizará Matlab a través del siguiente código:
{{matlab|codigo= f = @(t) 3*sqrt(2)*sqrt(1 - cos(t)); %Módulo de la derivada de la parametrización
a = 0;
b = 2*pi;
n = 1000;
h = (b - a) / n; %Integral calculada con suma del área de 1000 rectángulos
x = a:h:b;
y = f(x);
integral_aproximada = sum(y(1:end-1)) * h; %Suma de cada una de las áreas
disp(integral_aproximada);}}
Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==

Calcularemos los vectores tangencial y normal a la curva a través de las fórmulas:

Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 
El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 
Y para ello necesitamos calcular el vector binomial, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 
Realizando las operaciones:
El vector binormal de la cicloide es: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Y el vector tangente: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

{{matlab|codigo= % Parámetros dados
t1 = linspace(0, 2*pi, 20);

x = 2*t1 - 2*sin(t1); % Componente x de la curva
y = 2 - 2*cos(t1); % Componente y de la curva

% Vectores tangente t(t)
u = (2 - 2*cos(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente x
v = (2*sin(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente y

%vectores normales n(t)
w=v %componente x
q=-u %componente y

% Gráfica de la curva y el campo vectorial
figure;
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;

% Grafica de los vectores tangentes y normales
quiver(x, y, u, v, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);
quiver(x, y, w, q, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);

axis equal;
grid on;
title('Campo Vectorial sobre la Curva');
xlabel('x');}}

==Curvatura de k(t) y su gráfica==
La curvatura '''k(t)''' es una función que representa el nivel de curvatura de la cicloide en cada P(t) de la misma.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>

{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz en P. Para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(2t-sint,2-2cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}(\frac{(-sent)\vec i+(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2-2cost)}} ) =4 \vec i </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = \frac {1} {|\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}|}= 3,367</math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
{{matlab|codigo=
% Parámetro del generador de la cicloide
R = 3;

% Definición de la cicloide
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Valores de t para representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% Punto donde queremos la circunferencia osculatriz
t0 = 4;

% Coordenadas del punto
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% Derivadas
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% Curvatura
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % Radio de curvatura

% Vector tangente unitario
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% Vector normal unitario
N = [-T(2), T(1)];

% Centro de la circunferencia osculatriz
Q = P + rho * N;

% Representación de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% Dibujar
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
end
hold off;
}}

[[Archivo:circunferencia_osculatriz|miniaturadeimagen]].jpg

==Fenomenos que describe la cicloide==

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

[[Categoría:TC25/26]]

.

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-03T17:15:23Z

Laura.sangil: /* Centro y radio */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Grafica cicloide.png|400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% Parámetros
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Graficar la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Vectoresvelac.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad aceleración]]
{{matlab|codigo= % Parámetros dados
R = 3; % Radio de la cicloide
t = linspace(0, 2*pi, 50); % Valores de t

% Coordenadas de la curva
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Derivadas parciales para el cálculo del vector velocidad
vx = R * (1 - cos(t)); % Componente x de la velocidad
vy = R * sin(t); % Componente y de la velocidad

% Derivadas segundas para el cálculo del vector aceleración
ax = R * sin(t); % Componente x de la aceleración
ay = R * cos(t); % Componente y de la aceleración

% Grafica de la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5);
hold on;

% Grafica de los vectores velocidad y aceleración
quiver(x, y, vx, vy, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1); % Vectores de velocidad en rojo
quiver(x, y, ax, ay, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1); % Vectores de aceleración en verde

% Elementos de la gráfica
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva (t) con vectores velocidad y aceleración');
grid on;
axis equal;
hold off; }}
ylabel('y(t)');
title('Curva paramétrica (t)');
grid on;
axis equal; }}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 

Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}3\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 
Para lo cual se utilizará Matlab a través del siguiente código:
{{matlab|codigo= f = @(t) 3*sqrt(2)*sqrt(1 - cos(t)); %Módulo de la derivada de la parametrización
a = 0;
b = 2*pi;
n = 1000;
h = (b - a) / n; %Integral calculada con suma del área de 1000 rectángulos
x = a:h:b;
y = f(x);
integral_aproximada = sum(y(1:end-1)) * h; %Suma de cada una de las áreas
disp(integral_aproximada);}}
Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==

Calcularemos los vectores tangencial y normal a la curva a través de las fórmulas:

Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 
El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 
Y para ello necesitamos calcular el vector binomial, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 
Realizando las operaciones:
El vector binormal de la cicloide es: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Y el vector tangente: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

{{matlab|codigo= % Parámetros dados
t1 = linspace(0, 2*pi, 20);

x = 2*t1 - 2*sin(t1); % Componente x de la curva
y = 2 - 2*cos(t1); % Componente y de la curva

% Vectores tangente t(t)
u = (2 - 2*cos(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente x
v = (2*sin(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente y

%vectores normales n(t)
w=v %componente x
q=-u %componente y

% Gráfica de la curva y el campo vectorial
figure;
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;

% Grafica de los vectores tangentes y normales
quiver(x, y, u, v, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);
quiver(x, y, w, q, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);

axis equal;
grid on;
title('Campo Vectorial sobre la Curva');
xlabel('x');}}

==Curvatura de k(t) y su gráfica==
La curvatura '''k(t)''' es una función que representa el nivel de curvatura de la cicloide en cada P(t) de la misma.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>

{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
=Centro y radio=
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz en P. Para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(2t-sint,2-2cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}(\frac{(-sent)\vec i+(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2-2cost)}} ) =4 \vec i </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = \frac {1} {|\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}|}= 3,367</math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
{{matlab|codigo=
% Parámetro del generador de la cicloide
R = 3;

% Definición de la cicloide
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Valores de t para representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% Punto donde queremos la circunferencia osculatriz
t0 = 4;

% Coordenadas del punto
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% Derivadas
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% Curvatura
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % Radio de curvatura

% Vector tangente unitario
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% Vector normal unitario
N = [-T(2), T(1)];

% Centro de la circunferencia osculatriz
Q = P + rho * N;

% Representación de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% Dibujar
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
end
hold off;
}}

[[Archivo:circunferencia_osculatriz|miniaturadeimagen]].jpg

==Fenomenos que describe la cicloide==

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

[[Categoría:TC25/26]]

.

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-03T17:14:06Z

Laura.sangil: /* Aplicación en la ingeniería de la Cicloide */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Grafica cicloide.png|400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% Parámetros
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Graficar la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Vectoresvelac.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad aceleración]]
{{matlab|codigo= % Parámetros dados
R = 3; % Radio de la cicloide
t = linspace(0, 2*pi, 50); % Valores de t

% Coordenadas de la curva
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Derivadas parciales para el cálculo del vector velocidad
vx = R * (1 - cos(t)); % Componente x de la velocidad
vy = R * sin(t); % Componente y de la velocidad

% Derivadas segundas para el cálculo del vector aceleración
ax = R * sin(t); % Componente x de la aceleración
ay = R * cos(t); % Componente y de la aceleración

% Grafica de la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5);
hold on;

% Grafica de los vectores velocidad y aceleración
quiver(x, y, vx, vy, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1); % Vectores de velocidad en rojo
quiver(x, y, ax, ay, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1); % Vectores de aceleración en verde

% Elementos de la gráfica
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva (t) con vectores velocidad y aceleración');
grid on;
axis equal;
hold off; }}
ylabel('y(t)');
title('Curva paramétrica (t)');
grid on;
axis equal; }}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 

Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}3\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 
Para lo cual se utilizará Matlab a través del siguiente código:
{{matlab|codigo= f = @(t) 3*sqrt(2)*sqrt(1 - cos(t)); %Módulo de la derivada de la parametrización
a = 0;
b = 2*pi;
n = 1000;
h = (b - a) / n; %Integral calculada con suma del área de 1000 rectángulos
x = a:h:b;
y = f(x);
integral_aproximada = sum(y(1:end-1)) * h; %Suma de cada una de las áreas
disp(integral_aproximada);}}
Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==

Calcularemos los vectores tangencial y normal a la curva a través de las fórmulas:

Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 
El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 
Y para ello necesitamos calcular el vector binomial, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 
Realizando las operaciones:
El vector binormal de la cicloide es: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Y el vector tangente: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

{{matlab|codigo= % Parámetros dados
t1 = linspace(0, 2*pi, 20);

x = 2*t1 - 2*sin(t1); % Componente x de la curva
y = 2 - 2*cos(t1); % Componente y de la curva

% Vectores tangente t(t)
u = (2 - 2*cos(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente x
v = (2*sin(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente y

%vectores normales n(t)
w=v %componente x
q=-u %componente y

% Gráfica de la curva y el campo vectorial
figure;
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;

% Grafica de los vectores tangentes y normales
quiver(x, y, u, v, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);
quiver(x, y, w, q, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);

axis equal;
grid on;
title('Campo Vectorial sobre la Curva');
xlabel('x');}}

==Curvatura de k(t) y su gráfica==
La curvatura '''k(t)''' es una función que representa el nivel de curvatura de la cicloide en cada P(t) de la misma.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>

{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz en P. Para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(2t-sint,2-2cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}(\frac{(-sent)\vec i+(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2-2cost)}} ) =4 \vec i </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = \frac {1} {|\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}|}= 3,367</math>
=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
{{matlab|codigo=
% Parámetro del generador de la cicloide
R = 3;

% Definición de la cicloide
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Valores de t para representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% Punto donde queremos la circunferencia osculatriz
t0 = 4;

% Coordenadas del punto
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% Derivadas
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% Curvatura
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % Radio de curvatura

% Vector tangente unitario
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% Vector normal unitario
N = [-T(2), T(1)];

% Centro de la circunferencia osculatriz
Q = P + rho * N;

% Representación de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% Dibujar
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
end
hold off;
}}

[[Archivo:circunferencia_osculatriz|miniaturadeimagen]].jpg

==Fenomenos que describe la cicloide==

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

[[Categoría:TC25/26]]

.

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-03T17:13:22Z

Laura.sangil:

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Grafica cicloide.png|400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% Parámetros
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Graficar la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Vectoresvelac.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad aceleración]]
{{matlab|codigo= % Parámetros dados
R = 3; % Radio de la cicloide
t = linspace(0, 2*pi, 50); % Valores de t

% Coordenadas de la curva
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Derivadas parciales para el cálculo del vector velocidad
vx = R * (1 - cos(t)); % Componente x de la velocidad
vy = R * sin(t); % Componente y de la velocidad

% Derivadas segundas para el cálculo del vector aceleración
ax = R * sin(t); % Componente x de la aceleración
ay = R * cos(t); % Componente y de la aceleración

% Grafica de la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5);
hold on;

% Grafica de los vectores velocidad y aceleración
quiver(x, y, vx, vy, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1); % Vectores de velocidad en rojo
quiver(x, y, ax, ay, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1); % Vectores de aceleración en verde

% Elementos de la gráfica
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva (t) con vectores velocidad y aceleración');
grid on;
axis equal;
hold off; }}
ylabel('y(t)');
title('Curva paramétrica (t)');
grid on;
axis equal; }}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 

Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}3\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 
Para lo cual se utilizará Matlab a través del siguiente código:
{{matlab|codigo= f = @(t) 3*sqrt(2)*sqrt(1 - cos(t)); %Módulo de la derivada de la parametrización
a = 0;
b = 2*pi;
n = 1000;
h = (b - a) / n; %Integral calculada con suma del área de 1000 rectángulos
x = a:h:b;
y = f(x);
integral_aproximada = sum(y(1:end-1)) * h; %Suma de cada una de las áreas
disp(integral_aproximada);}}
Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==

Calcularemos los vectores tangencial y normal a la curva a través de las fórmulas:

Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 
El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 
Y para ello necesitamos calcular el vector binomial, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 
Realizando las operaciones:
El vector binormal de la cicloide es: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Y el vector tangente: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

{{matlab|codigo= % Parámetros dados
t1 = linspace(0, 2*pi, 20);

x = 2*t1 - 2*sin(t1); % Componente x de la curva
y = 2 - 2*cos(t1); % Componente y de la curva

% Vectores tangente t(t)
u = (2 - 2*cos(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente x
v = (2*sin(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente y

%vectores normales n(t)
w=v %componente x
q=-u %componente y

% Gráfica de la curva y el campo vectorial
figure;
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;

% Grafica de los vectores tangentes y normales
quiver(x, y, u, v, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);
quiver(x, y, w, q, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);

axis equal;
grid on;
title('Campo Vectorial sobre la Curva');
xlabel('x');}}

==Curvatura de k(t) y su gráfica==
La curvatura '''k(t)''' es una función que representa el nivel de curvatura de la cicloide en cada P(t) de la misma.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>

{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz en P. Para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(2t-sint,2-2cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}(\frac{(-sent)\vec i+(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2-2cost)}} ) =4 \vec i </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = \frac {1} {|\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}|}= 3,367</math>
=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
{{matlab|codigo=
% Parámetro del generador de la cicloide
R = 3;

% Definición de la cicloide
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Valores de t para representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% Punto donde queremos la circunferencia osculatriz
t0 = 4;

% Coordenadas del punto
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% Derivadas
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% Curvatura
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % Radio de curvatura

% Vector tangente unitario
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% Vector normal unitario
N = [-T(2), T(1)];

% Centro de la circunferencia osculatriz
Q = P + rho * N;

% Representación de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% Dibujar
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
end
hold off;
}}

[[Archivo:circunferencia_osculatriz|miniaturadeimagen]].jpg

==Fenomenos que describe la cicloide==

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
Karmsund Bridge.
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
[[Categoría:TC25/26]]

.

Archivo:Circunferencia osculatriz.jpeg

2025-12-03T16:57:48Z

Laura.sangil:

Archivo:Circunferencia osculatrizz.jpeg

2025-12-03T16:55:31Z

Laura.sangil:

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-03T16:54:42Z

Laura.sangil: /* Representación de la circunferencia osculatriz */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Grafica cicloide.png|400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% Parámetros
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Graficar la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Vectoresvelac.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad aceleración]]
{{matlab|codigo= % Parámetros dados
R = 3; % Radio de la cicloide
t = linspace(0, 2*pi, 50); % Valores de t

% Coordenadas de la curva
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Derivadas parciales para el cálculo del vector velocidad
vx = R * (1 - cos(t)); % Componente x de la velocidad
vy = R * sin(t); % Componente y de la velocidad

% Derivadas segundas para el cálculo del vector aceleración
ax = R * sin(t); % Componente x de la aceleración
ay = R * cos(t); % Componente y de la aceleración

% Grafica de la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5);
hold on;

% Grafica de los vectores velocidad y aceleración
quiver(x, y, vx, vy, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1); % Vectores de velocidad en rojo
quiver(x, y, ax, ay, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1); % Vectores de aceleración en verde

% Elementos de la gráfica
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva (t) con vectores velocidad y aceleración');
grid on;
axis equal;
hold off; }}
ylabel('y(t)');
title('Curva paramétrica (t)');
grid on;
axis equal; }}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 

Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}3\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 
Para lo cual se utilizará Matlab a través del siguiente código:
{{matlab|codigo= f = @(t) 3*sqrt(2)*sqrt(1 - cos(t)); %Módulo de la derivada de la parametrización
a = 0;
b = 2*pi;
n = 1000;
h = (b - a) / n; %Integral calculada con suma del área de 1000 rectángulos
x = a:h:b;
y = f(x);
integral_aproximada = sum(y(1:end-1)) * h; %Suma de cada una de las áreas
disp(integral_aproximada);}}
Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==

Calcularemos los vectores tangencial y normal a la curva a través de las fórmulas:

Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 
El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 
Y para ello necesitamos calcular el vector binomial, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 
Realizando las operaciones:
El vector binormal de la cicloide es: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Y el vector tangente: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

{{matlab|codigo= % Parámetros dados
t1 = linspace(0, 2*pi, 20);

x = 2*t1 - 2*sin(t1); % Componente x de la curva
y = 2 - 2*cos(t1); % Componente y de la curva

% Vectores tangente t(t)
u = (2 - 2*cos(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente x
v = (2*sin(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente y

%vectores normales n(t)
w=v %componente x
q=-u %componente y

% Gráfica de la curva y el campo vectorial
figure;
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;

% Grafica de los vectores tangentes y normales
quiver(x, y, u, v, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);
quiver(x, y, w, q, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);

axis equal;
grid on;
title('Campo Vectorial sobre la Curva');
xlabel('x');}}

==Curvatura de k(t) y su gráfica==
La curvatura '''k(t)''' es una función que representa el nivel de curvatura de la cicloide en cada P(t) de la misma.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>

{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz en P. Para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(2t-sint,2-2cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}(\frac{(-sent)\vec i+(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2-2cost)}} ) =4 \vec i </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = \frac {1} {|\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}|}= 3,367</math>
=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
{{matlab|codigo=
% Parámetro del generador de la cicloide
R = 3;

% Definición de la cicloide
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Valores de t para representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% Punto donde queremos la circunferencia osculatriz
t0 = 4;

% Coordenadas del punto
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% Derivadas
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% Curvatura
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % Radio de curvatura

% Vector tangente unitario
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% Vector normal unitario
N = [-T(2), T(1)];

% Centro de la circunferencia osculatriz
Q = P + rho * N;

% Representación de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% Dibujar
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
end
hold off;
}}

[[Archivo:circunferencia_osculatriz|miniaturadeimagen]].jpg

==Fenomenos que describe la cicloide==

[[Categoría:TC25/26]]

.

Archivo:Circunferencia osculatrizº1.jpeg

2025-12-03T16:52:58Z

Laura.sangil:

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-03T16:50:04Z

Laura.sangil: /* Representación de la circunferencia osculatriz */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Grafica cicloide.png|400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% Parámetros
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Graficar la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Vectoresvelac.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad aceleración]]
{{matlab|codigo= % Parámetros dados
R = 3; % Radio de la cicloide
t = linspace(0, 2*pi, 50); % Valores de t

% Coordenadas de la curva
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Derivadas parciales para el cálculo del vector velocidad
vx = R * (1 - cos(t)); % Componente x de la velocidad
vy = R * sin(t); % Componente y de la velocidad

% Derivadas segundas para el cálculo del vector aceleración
ax = R * sin(t); % Componente x de la aceleración
ay = R * cos(t); % Componente y de la aceleración

% Grafica de la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5);
hold on;

% Grafica de los vectores velocidad y aceleración
quiver(x, y, vx, vy, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1); % Vectores de velocidad en rojo
quiver(x, y, ax, ay, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1); % Vectores de aceleración en verde

% Elementos de la gráfica
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva (t) con vectores velocidad y aceleración');
grid on;
axis equal;
hold off; }}
ylabel('y(t)');
title('Curva paramétrica (t)');
grid on;
axis equal; }}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 

Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}3\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 
Para lo cual se utilizará Matlab a través del siguiente código:
{{matlab|codigo= f = @(t) 3*sqrt(2)*sqrt(1 - cos(t)); %Módulo de la derivada de la parametrización
a = 0;
b = 2*pi;
n = 1000;
h = (b - a) / n; %Integral calculada con suma del área de 1000 rectángulos
x = a:h:b;
y = f(x);
integral_aproximada = sum(y(1:end-1)) * h; %Suma de cada una de las áreas
disp(integral_aproximada);}}
Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==

Calcularemos los vectores tangencial y normal a la curva a través de las fórmulas:

Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 
El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 
Y para ello necesitamos calcular el vector binomial, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 
Realizando las operaciones:
El vector binormal de la cicloide es: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Y el vector tangente: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

{{matlab|codigo= % Parámetros dados
t1 = linspace(0, 2*pi, 20);

x = 2*t1 - 2*sin(t1); % Componente x de la curva
y = 2 - 2*cos(t1); % Componente y de la curva

% Vectores tangente t(t)
u = (2 - 2*cos(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente x
v = (2*sin(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente y

%vectores normales n(t)
w=v %componente x
q=-u %componente y

% Gráfica de la curva y el campo vectorial
figure;
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;

% Grafica de los vectores tangentes y normales
quiver(x, y, u, v, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);
quiver(x, y, w, q, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);

axis equal;
grid on;
title('Campo Vectorial sobre la Curva');
xlabel('x');}}

==Curvatura de k(t) y su gráfica==
La curvatura '''k(t)''' es una función que representa el nivel de curvatura de la cicloide en cada P(t) de la misma.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>

{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz en P. Para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(2t-sint,2-2cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}(\frac{(-sent)\vec i+(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2-2cost)}} ) =4 \vec i </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = \frac {1} {|\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}|}= 3,367</math>
=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
{{matlab|codigo=
% Parámetro del generador de la cicloide
R = 3;

% Definición de la cicloide
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Valores de t para representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% Punto donde queremos la circunferencia osculatriz
t0 = 4;

% Coordenadas del punto
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% Derivadas
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% Curvatura
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % Radio de curvatura

% Vector tangente unitario
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% Vector normal unitario
N = [-T(2), T(1)];

% Centro de la circunferencia osculatriz
Q = P + rho * N;

% Representación de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% Dibujar
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
end
hold off;
}}

[[Archivo:Figura1|miniaturadeimagen]]
igura1.jpg|600px|centro]]

==Fenomenos que describe la cicloide==

[[Categoría:TC25/26]]

.

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-03T16:20:04Z

Laura.sangil: /* Representación de la circunferencia osculatriz */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Grafica cicloide.png|400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% Parámetros
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Graficar la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Vectoresvelac.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad aceleración]]
{{matlab|codigo= % Parámetros dados
R = 3; % Radio de la cicloide
t = linspace(0, 2*pi, 50); % Valores de t

% Coordenadas de la curva
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Derivadas parciales para el cálculo del vector velocidad
vx = R * (1 - cos(t)); % Componente x de la velocidad
vy = R * sin(t); % Componente y de la velocidad

% Derivadas segundas para el cálculo del vector aceleración
ax = R * sin(t); % Componente x de la aceleración
ay = R * cos(t); % Componente y de la aceleración

% Grafica de la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5);
hold on;

% Grafica de los vectores velocidad y aceleración
quiver(x, y, vx, vy, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1); % Vectores de velocidad en rojo
quiver(x, y, ax, ay, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1); % Vectores de aceleración en verde

% Elementos de la gráfica
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva (t) con vectores velocidad y aceleración');
grid on;
axis equal;
hold off; }}
ylabel('y(t)');
title('Curva paramétrica (t)');
grid on;
axis equal; }}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 

Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}3\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 
Para lo cual se utilizará Matlab a través del siguiente código:
{{matlab|codigo= f = @(t) 3*sqrt(2)*sqrt(1 - cos(t)); %Módulo de la derivada de la parametrización
a = 0;
b = 2*pi;
n = 1000;
h = (b - a) / n; %Integral calculada con suma del área de 1000 rectángulos
x = a:h:b;
y = f(x);
integral_aproximada = sum(y(1:end-1)) * h; %Suma de cada una de las áreas
disp(integral_aproximada);}}
Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==

Calcularemos los vectores tangencial y normal a la curva a través de las fórmulas:

Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 
El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 
Y para ello necesitamos calcular el vector binomial, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 
Realizando las operaciones:
El vector binormal de la cicloide es: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Y el vector tangente: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

{{matlab|codigo= % Parámetros dados
t1 = linspace(0, 2*pi, 20);

x = 2*t1 - 2*sin(t1); % Componente x de la curva
y = 2 - 2*cos(t1); % Componente y de la curva

% Vectores tangente t(t)
u = (2 - 2*cos(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente x
v = (2*sin(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente y

%vectores normales n(t)
w=v %componente x
q=-u %componente y

% Gráfica de la curva y el campo vectorial
figure;
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;

% Grafica de los vectores tangentes y normales
quiver(x, y, u, v, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);
quiver(x, y, w, q, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);

axis equal;
grid on;
title('Campo Vectorial sobre la Curva');
xlabel('x');}}

==Curvatura de k(t) y su gráfica==
La curvatura '''k(t)''' es una función que representa el nivel de curvatura de la cicloide en cada P(t) de la misma.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>

{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz en P. Para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(2t-sint,2-2cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}(\frac{(-sent)\vec i+(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2-2cost)}} ) =4 \vec i </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = \frac {1} {|\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}|}= 3,367</math>
=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
{{matlab|codigo=
% Parámetro del generador de la cicloide
R = 3;

% Definición de la cicloide
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Valores de t para representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% Punto donde queremos la circunferencia osculatriz
t0 = 4;

% Coordenadas del punto
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% Derivadas
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% Curvatura
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % Radio de curvatura

% Vector tangente unitario
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% Vector normal unitario
N = [-T(2), T(1)];

% Centro de la circunferencia osculatriz
Q = P + rho * N;

% Representación de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% Dibujar
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
end
hold off;
}}

==Fenomenos que describe la cicloide==

[[Categoría:TC25/26]]

.

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-03T16:18:57Z

Laura.sangil: /* Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Grafica cicloide.png|400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% Parámetros
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Graficar la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Vectoresvelac.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad aceleración]]
{{matlab|codigo= % Parámetros dados
R = 3; % Radio de la cicloide
t = linspace(0, 2*pi, 50); % Valores de t

% Coordenadas de la curva
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Derivadas parciales para el cálculo del vector velocidad
vx = R * (1 - cos(t)); % Componente x de la velocidad
vy = R * sin(t); % Componente y de la velocidad

% Derivadas segundas para el cálculo del vector aceleración
ax = R * sin(t); % Componente x de la aceleración
ay = R * cos(t); % Componente y de la aceleración

% Grafica de la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5);
hold on;

% Grafica de los vectores velocidad y aceleración
quiver(x, y, vx, vy, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1); % Vectores de velocidad en rojo
quiver(x, y, ax, ay, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1); % Vectores de aceleración en verde

% Elementos de la gráfica
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva (t) con vectores velocidad y aceleración');
grid on;
axis equal;
hold off; }}
ylabel('y(t)');
title('Curva paramétrica (t)');
grid on;
axis equal; }}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 

Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}3\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 
Para lo cual se utilizará Matlab a través del siguiente código:
{{matlab|codigo= f = @(t) 3*sqrt(2)*sqrt(1 - cos(t)); %Módulo de la derivada de la parametrización
a = 0;
b = 2*pi;
n = 1000;
h = (b - a) / n; %Integral calculada con suma del área de 1000 rectángulos
x = a:h:b;
y = f(x);
integral_aproximada = sum(y(1:end-1)) * h; %Suma de cada una de las áreas
disp(integral_aproximada);}}
Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==

Calcularemos los vectores tangencial y normal a la curva a través de las fórmulas:

Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 
El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 
Y para ello necesitamos calcular el vector binomial, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 
Realizando las operaciones:
El vector binormal de la cicloide es: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Y el vector tangente: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

{{matlab|codigo= % Parámetros dados
t1 = linspace(0, 2*pi, 20);

x = 2*t1 - 2*sin(t1); % Componente x de la curva
y = 2 - 2*cos(t1); % Componente y de la curva

% Vectores tangente t(t)
u = (2 - 2*cos(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente x
v = (2*sin(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente y

%vectores normales n(t)
w=v %componente x
q=-u %componente y

% Gráfica de la curva y el campo vectorial
figure;
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;

% Grafica de los vectores tangentes y normales
quiver(x, y, u, v, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);
quiver(x, y, w, q, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);

axis equal;
grid on;
title('Campo Vectorial sobre la Curva');
xlabel('x');}}

==Curvatura de k(t) y su gráfica==
La curvatura '''k(t)''' es una función que representa el nivel de curvatura de la cicloide en cada P(t) de la misma.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>

{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz en P. Para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(2t-sint,2-2cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}(\frac{(-sent)\vec i+(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2-2cost)}} ) =4 \vec i </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = \frac {1} {|\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}|}= 3,367</math>
=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
{{matlab|codigo=
% Parámetro del generador de la cicloide
R = 3;

% Definición de la cicloide
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Valores de t para representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% Punto donde queremos la circunferencia osculatriz
t0 = 4;

% Coordenadas del punto
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% Derivadas
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% Curvatura
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % Radio de curvatura

% Vector tangente unitario
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% Vector normal unitario
N = [-T(2), T(1)];

% Centro de la circunferencia osculatriz
Q = P + rho * N;

% Representación de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% Dibujar
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');

hold off;

==Fenomenos que describe la cicloide==

[[Categoría:TC25/26]]

.

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-03T16:11:45Z

Laura.sangil: /* Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Grafica cicloide.png|400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% Parámetros
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Graficar la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Vectoresvelac.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad aceleración]]
{{matlab|codigo= % Parámetros dados
R = 3; % Radio de la cicloide
t = linspace(0, 2*pi, 50); % Valores de t

% Coordenadas de la curva
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Derivadas parciales para el cálculo del vector velocidad
vx = R * (1 - cos(t)); % Componente x de la velocidad
vy = R * sin(t); % Componente y de la velocidad

% Derivadas segundas para el cálculo del vector aceleración
ax = R * sin(t); % Componente x de la aceleración
ay = R * cos(t); % Componente y de la aceleración

% Grafica de la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5);
hold on;

% Grafica de los vectores velocidad y aceleración
quiver(x, y, vx, vy, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1); % Vectores de velocidad en rojo
quiver(x, y, ax, ay, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1); % Vectores de aceleración en verde

% Elementos de la gráfica
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva (t) con vectores velocidad y aceleración');
grid on;
axis equal;
hold off; }}
ylabel('y(t)');
title('Curva paramétrica (t)');
grid on;
axis equal; }}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 

Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}3\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 
Para lo cual se utilizará Matlab a través del siguiente código:
{{matlab|codigo= f = @(t) 3*sqrt(2)*sqrt(1 - cos(t)); %Módulo de la derivada de la parametrización
a = 0;
b = 2*pi;
n = 1000;
h = (b - a) / n; %Integral calculada con suma del área de 1000 rectángulos
x = a:h:b;
y = f(x);
integral_aproximada = sum(y(1:end-1)) * h; %Suma de cada una de las áreas
disp(integral_aproximada);}}
Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==

Calcularemos los vectores tangencial y normal a la curva a través de las fórmulas:

Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 
El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 
Y para ello necesitamos calcular el vector binomial, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 
Realizando las operaciones:
El vector binormal de la cicloide es: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Y el vector tangente: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

{{matlab|codigo= % Parámetros dados
t1 = linspace(0, 2*pi, 20);

x = 2*t1 - 2*sin(t1); % Componente x de la curva
y = 2 - 2*cos(t1); % Componente y de la curva

% Vectores tangente t(t)
u = (2 - 2*cos(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente x
v = (2*sin(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente y

%vectores normales n(t)
w=v %componente x
q=-u %componente y

% Gráfica de la curva y el campo vectorial
figure;
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;

% Grafica de los vectores tangentes y normales
quiver(x, y, u, v, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);
quiver(x, y, w, q, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);

axis equal;
grid on;
title('Campo Vectorial sobre la Curva');
xlabel('x');}}

==Curvatura de k(t) y su gráfica==
La curvatura '''k(t)''' es una función que representa el nivel de curvatura de la cicloide en cada P(t) de la misma.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>

{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz en P. Para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(2t-sint,2-2cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}(\frac{(-sent)\vec i+(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2-2cost)}} ) =4 \vec i </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = \frac {1} {|\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}|}= 3,367</math>

==Fenomenos que describe la cicloide==

[[Categoría:TC25/26]]

.

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-03T16:07:49Z

Laura.sangil: /* Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Grafica cicloide.png|400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% Parámetros
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Graficar la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Vectoresvelac.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad aceleración]]
{{matlab|codigo= % Parámetros dados
R = 3; % Radio de la cicloide
t = linspace(0, 2*pi, 50); % Valores de t

% Coordenadas de la curva
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Derivadas parciales para el cálculo del vector velocidad
vx = R * (1 - cos(t)); % Componente x de la velocidad
vy = R * sin(t); % Componente y de la velocidad

% Derivadas segundas para el cálculo del vector aceleración
ax = R * sin(t); % Componente x de la aceleración
ay = R * cos(t); % Componente y de la aceleración

% Grafica de la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5);
hold on;

% Grafica de los vectores velocidad y aceleración
quiver(x, y, vx, vy, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1); % Vectores de velocidad en rojo
quiver(x, y, ax, ay, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1); % Vectores de aceleración en verde

% Elementos de la gráfica
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva (t) con vectores velocidad y aceleración');
grid on;
axis equal;
hold off; }}
ylabel('y(t)');
title('Curva paramétrica (t)');
grid on;
axis equal; }}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 

Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}3\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 
Para lo cual se utilizará Matlab a través del siguiente código:
{{matlab|codigo= f = @(t) 3*sqrt(2)*sqrt(1 - cos(t)); %Módulo de la derivada de la parametrización
a = 0;
b = 2*pi;
n = 1000;
h = (b - a) / n; %Integral calculada con suma del área de 1000 rectángulos
x = a:h:b;
y = f(x);
integral_aproximada = sum(y(1:end-1)) * h; %Suma de cada una de las áreas
disp(integral_aproximada);}}
Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==

Calcularemos los vectores tangencial y normal a la curva a través de las fórmulas:

Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 
El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 
Y para ello necesitamos calcular el vector binomial, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 
Realizando las operaciones:
El vector binormal de la cicloide es: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Y el vector tangente: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

{{matlab|codigo= % Parámetros dados
t1 = linspace(0, 2*pi, 20);

x = 2*t1 - 2*sin(t1); % Componente x de la curva
y = 2 - 2*cos(t1); % Componente y de la curva

% Vectores tangente t(t)
u = (2 - 2*cos(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente x
v = (2*sin(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente y

%vectores normales n(t)
w=v %componente x
q=-u %componente y

% Gráfica de la curva y el campo vectorial
figure;
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;

% Grafica de los vectores tangentes y normales
quiver(x, y, u, v, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);
quiver(x, y, w, q, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);

axis equal;
grid on;
title('Campo Vectorial sobre la Curva');
xlabel('x');}}

==Curvatura de k(t) y su gráfica==
La curvatura '''k(t)''' es una función que representa el nivel de curvatura de la cicloide en cada P(t) de la misma.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>

{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 2</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz en P. Para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(2t-sint,2-2cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}(\frac{(-sent)\vec i+(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2-2cost)}} ) =4 \vec i </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = \frac {1} {|\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}|}= 3,367</math>

==Fenomenos que describe la cicloide==

[[Categoría:TC25/26]]

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