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Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-08T17:46:45Z

Laura Carazo: /* Representación del campo y curvas de nivel */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas. A parte de los útiles resultados teóricos a los que nos lleva el presente estudio pormenorizado del flujo de Couette, éste modelo físico encuentra numerosas aplicaciones prácticas, sean:
* '''Deslizamientos de tierra''', donde una capa delgada de agua o arcilla saturada queda atrapada entre dos estratos, de modo que el estrato superior se desplaza mientras el inferior permanece casi fijo, generando un flujo dominado por la viscosidad que influye directamente en la estabilidad de taludes.
* También aparece en la '''lubricación de compuertas y elementos hidráulicos móviles''', donde grasas o películas de agua entre superficies metálicas fijas y móviles producen un flujo de Couette que permite estimar tensiones cortantes y fuerzas de fricción.
* Y en el '''contacto suelo–estructura durante la instalación de pilotes o muros pantalla''', cuando una capa de lodo bentonítico actúa como fluido viscoso entre el terreno y la estructura en movimiento, modelándose su comportamiento mediante este tipo de flujo para evaluar rozamiento y esfuerzos transmitidos.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi)</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de Matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

===Velocidad de las partículas del fluido y análisis de la ecuación===
La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

===Análisis de la solución conocida===

Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se desarrollan ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

===Obtención de <math>a</math>, <math>b</math> y <math>\vec{u}</math>===
Para determinar <math>a</math> y <math>b</math>, de manera que la velocidad lineal del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , por lo que la velocidad lineal de los puntos del cilindro es <math>\rho.\omega_e=2\omega_e</math>. El sentido de giro es contrario al creciente del parámetro <math>\theta</math>, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , por lo que la velocidad lineal de los puntos del cilindro es <math>\rho.\omega_i=1\omega_i</math> . El sentido de giro es el creciente del parámetro <math>\theta</math>, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre <math>a</math>, <math>b</math>, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -2\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -2\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -2\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar <math>a</math> y <math>b</math> en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.

De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>

A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -2\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -2\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-2\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{4}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{4}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>

Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

===Condición de incompresibilidad===
También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>

La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo velocidades 67.png|450px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear; clc;
% --------------------------
% PARÁMETROS
% --------------------------
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
omega_i = +1; % interior: antihorario
omega_e = -1; % exterior: horario
% --------------------------
% COEFICIENTES A y B
% --------------------------
B = (omega_i - omega_e) * (Ri^2 * Re^2) / (Re^2 - Ri^2);
A = omega_i - B / (Ri^2);
% --------------------------
% MALLA PARA FLECHAS
% --------------------------
Ntheta = 20;
Nr = 15;
thetas = linspace(0, 2*pi, Ntheta+1);
thetas(end) = [];
rhos = linspace(Ri, Re, Nr);
% --------------------------
% FIGURA
% --------------------------
figure('Color',[1 1 1]); hold on;
scale_quiver = 0.7;
for th = thetas

% velocidad tangencial u_theta en cada rho
u_theta = A .* rhos + B ./ rhos;

% componentes cartesianas
U = -u_theta .* sin(th);
V = u_theta .* cos(th);
% posiciones
X = rhos .* cos(th);
Y = rhos .* sin(th);
%Vectores
quiver(X, Y, U, V, scale_quiver, 'LineWidth', 1, ...
'MaxHeadSize', 1.6, 'Color',[0.85 0.45 0]);
end
% --------------------------
% CILINDROS
% --------------------------
tc = linspace(0,2*pi,500);
plot(Ri*cos(tc), Ri*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(tc), Re*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlim([-2.3 2.3]); ylim([-2.3 2.3]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de velocidades');
grid on;
}}

==Líneas de Corriente del campo==
===Campo <math>\vec{v}</math> ostogonal a <math>\vec{u}</math>===
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

===<math>\vec{v}</math> irrotacional===
Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

===Potencial escalar <math>\psi</math>===
El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}</math> y <math>v_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

===Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>===
Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|500px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<center><math>u(\rho)=-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}</math></center>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math>u(\rho)=-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}</math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

====Cálculo de la derivada====

<center><math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -\frac{5}{3} - \frac{8}{3\rho^{2}}. </math></center>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{8}{3\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<center><math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math></center>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<center><math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -\frac{5}{3}-\frac{8}{3\rho^{2}}=0 \Longrightarrow -5-\frac{8}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{8}{\rho^{2}}=-5 \Longrightarrow \rho^{2}=-\frac{8}{5}, </math></center>

que no tiene solución real.

====Valores en los extremos del intervalo====

<center><math> u(1)=-\frac{5}{3}\cdot 1+\frac{8}{3\cdot 1}=\frac{-5+8}{3}=1, \qquad
u(2)=-\frac{5}{3}\cdot 2+\frac{8}{3\cdot 2}=-\frac{10}{3}+\frac{4}{3}=-\frac{6}{3}=-2. </math></center>

====Análisis de resultados====

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-2</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<center><math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\frac{5}{3}\rho+\frac{8}{3\rho}=0 \Longrightarrow -5\rho^{2}+8=0 \Longrightarrow 5\rho^{2}=8 \Longrightarrow \rho^{2}=\frac{8}{5} \Longrightarrow \rho=\sqrt{\tfrac{8}{5}}\approx 1{,}2649. </math></center>

(Observación: <math>u(1)=1>0</math> y <math>u(2)=-2<0</math>, por lo que efectivamente existe tal <math>\rho_0\in(1,2)</math> y su valor aproximado es <math>\rho_0\approx1{,}2649.</math>)

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a dos.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Modulo velocidad 67.jpg|370px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-(5/3)*rho + 8./(3*rho));

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math> \vec{u}(\rho,\theta) =\left[ \left(-\tfrac{4}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i\right)\rho + \left(\tfrac{4}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i\right)\dfrac{1}{\rho} \right]\vec e_{\theta} </math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{4}{3}\omega_e-\tfrac{1}{3}\omega_i\right)\rho +\dfrac{\tfrac{4}{3}\omega_e+\tfrac{4}{3}\omega_i}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math> \vec e_{\theta} </math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math> :

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{4}{3}\omega_e-\tfrac{1}{3}\omega_i\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_e+\tfrac{4}{3}\omega_i\right) </math></center>

Se deriva con respecto a ρ:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{4}{3}\omega_e-\tfrac{1}{3}\omega_i\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec{u} = \left(-\tfrac{8}{3}\omega_e-\tfrac{2}{3}\omega_i\right)\vec e_{z} </math></center>

Por lo tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rot67recalc.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (módulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -4/3*omega_e - 1/3*omega_i; % coeficiente de rho en u_theta
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜ = ｜2*A｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;
title('｜∇×u｜');
axis equal;

%% Dibujar los cilindros
hold on;
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off;
}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad los puntos de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\) y su simétrico, es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Rep Temperatura 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTOS. MÁX
hold on;
plot(x_max1, y_max1, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8, 'LineWidth',2);
plot(x_max2, y_max2, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8, 'LineWidth',2);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente Temperatura 67.jpg|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Finalmente, el cálculo del caudal cuando <math>\theta = 0</math> se abordará integrando el módulo de la velocidad antes calculado y analizado, de tal manera que, como la sección resultante es un cuadrado de área 1 m2, y se supone que la velocidad viene expresada en m/s, dicho resultado es directamente el caudal <math>Q</math>, puesto <math>Q = v\cdot S</math>.

<center><math>\displaystyle
\int_{1}^{2} u(\rho)\,d\rho
=
\int_{1}^{2}\left(-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right)d\rho
=
\left[-\tfrac{5}{6}\rho^{2}+\tfrac{8}{3}\ln\rho\right]_{1}^{2}
=
\left(-\tfrac{5}{6}\cdot 2^{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2\right)
-
\left(-\tfrac{5}{6}\cdot 1^{2}+\tfrac{8}{3}\ln 1\right)
=
-\tfrac{5}{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2.
</math></center>

Cuya aproximación numérica es:

<center><math>\displaystyle \int_{1}^{2}\left(-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right)d\rho = -\tfrac{5}{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2 \approx -0.65176 \, m^{3}/s </math></center>

Así pues, atendiendo a los signos, el caudal compensado, entre la velocidad que avanza según <math>\vec{e}_{\theta}</math> y la que va en sentido contrario, queda en sentido -<math>\vec{e}_{\theta}</math>. Dicho resultado es coherente con el análisis sobre el módulo de la velocidad, ya que se aprecia que el área bajo la curva del módulo de <math>u</math> es mayor cuando <math>\rho > \sqrt{\tfrac{8}{5}}</math>. Queda a continuación el dibujo que representa la sección y la velocidad del fluido a través de éste.

[[Archivo:Caudal 67.png|500px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Flujo de Couette entre cilindros - sección theta = 0
clear; close all; clc;
%% Parámetros geométricos y físicos
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
h = 1; % altura (profundidad)

% Velocidades angulares (módulo 1).
% Ejemplo por defecto: interior -> horario (-1), exterior -> antihorario (+1)
wi = +1; % omega interior (rad/s)
we = -1; % omega exterior (rad/s)

%% Construcción de la solución analítica: v_theta(r) = A*r + B/r
% Condiciones: v_theta(Ri) = wi*Ri, v_theta(Re) = we*Re

% Resolvemos para A y B
A = [Ri, 1/Ri; Re, 1/Re] \ [wi*Ri; we*Re]; % sistema 2x2
A = A(1); B = A; % overwrite fix below

% Above line was a mistake: recompute properly
M = [Ri, 1/Ri; Re, 1/Re];
coeff = M \ [wi*Ri; we*Re];
A = coeff(1);
B = coeff(2);

%% Malla en (r,z) para representar la sección theta = 0
Nr = 10; Nz = 10;
r = linspace(Ri,Re,Nr);
z = linspace(0,h,Nz);
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r,z);

% Campo tangencial v_theta
v_theta = A .* R_grid + B ./ R_grid; % magnitud en dirección e_theta

% Convertir a componentes cartesianas (en theta = 0 -> e_theta = [0,1,0])

Ux = zeros(size(v_theta));
Uy = v_theta;
Uz = zeros(size(v_theta));

%% Figura 3D
figure('Color','w','Position',[200 100 900 700]);
hold on; axis equal;
view(35,18);

% Dibujar cilindros (superficies)
nCirc = 150;
[Xi,Yi,Zi] = cylinder(Ri,nCirc); Zi = Zi*h;
surf(Xi,Yi,Zi, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none', 'FaceColor',[0.85 0.8 0.6]);
[Xe,Ye,Ze] = cylinder(Re,nCirc); Ze = Ze*h;
surf(Xe,Ye,Ze, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none', 'FaceColor',[0.85 0.9 0.75]);

% Dibujar la sección theta = 0: es el plano y = 0 (mostramos solo la porción r∈[Ri,Re], z∈[0,h], x>=0)
% En coordenadas cartesianas, sobre theta=0 los puntos tienen (x = r, y = 0).
X_patch = [Ri Re Re Ri]; % x extents
Y_patch = [0 0 0 0]; % y = 0 (plano)
Z_patch = [0 0 h h];
patch(X_patch, Y_patch, Z_patch, 'r','FaceAlpha',0.12,'EdgeColor','r','LineWidth',1.8);

% Resaltar aristas de la sección en rojo
plot3([Ri Re],[0 0],[0 0],'r','LineWidth',2) % borde inferior de la sección
plot3([Ri Re],[0 0],[h h],'r','LineWidth',2) % borde superior
plot3([Ri Ri],[0 0],[0 h],'r','LineWidth',2) % arista interior
plot3([Re Re],[0 0],[0 h],'r','LineWidth',2) % arista exterior

% Dibujar campo de velocidades en el plano theta=0 (posiciones x=r, y=0)
[xq,zq] = meshgrid(r,z);
yq = zeros(size(xq));

% Aquí Ux = 0, Uy = v_theta
quiverScale = 2;
quiver3(xq, yq, zq, Ux, Uy, Uz, quiverScale, 'b', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize',0.5);
title('Sección \theta = 0 del flujo de Couette entre cilindros');
xlim([-0.1, Re+0.5]);
ylim([-Re-0.5, Re+0.5]);
zlim([0 h]);
axis off;

% Mejoras estéticas
camlight; lighting phong;
hold off;}}

== Póster ==
[[Archivo:posterflujo672.png|500px|miniaturadeimagen]]

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

White, F. M. (2016), Fluid Mechanics, McGraw-Hill (flujo de Couette entre placas y aplicaciones físicas)

Bear, J. (1972), Dynamics of Fluids in Porous Media, Dover (flujo en capas delgadas en medios geotécnicos)

Terzaghi, Peck & Mesri (1996), Soil Mechanics in Engineering Practice, Wiley (capas lubricadas en deslizamientos y suelo-estructura)

Apuntes proporcionados en la ETSI Caminos, Canales y Puertos de la Universidad Politécnica de Madrid.

ChatGPT (OpenAI, 2025) fue utilizado como herramienta de apoyo para la generación, revisión y explicación de código en MATLAB, así como para la elaboración de rutinas de representación gráfica. Los resultados finales fueron verificados y adaptados por los autores.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-07T22:14:02Z

Laura Carazo: /* Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas. A parte de los útiles resultados teóricos a los que nos lleva el presente estudio pormenorizado del flujo de Couette, éste modelo físico encuentra numerosas aplicaciones prácticas, sean:
* '''Deslizamientos de tierra''', donde una capa delgada de agua o arcilla saturada queda atrapada entre dos estratos, de modo que el estrato superior se desplaza mientras el inferior permanece casi fijo, generando un flujo dominado por la viscosidad que influye directamente en la estabilidad de taludes.
* También aparece en la '''lubricación de compuertas y elementos hidráulicos móviles''', donde grasas o películas de agua entre superficies metálicas fijas y móviles producen un flujo de Couette que permite estimar tensiones cortantes y fuerzas de fricción.
* Y en el '''contacto suelo–estructura durante la instalación de pilotes o muros pantalla''', cuando una capa de lodo bentonítico actúa como fluido viscoso entre el terreno y la estructura en movimiento, modelándose su comportamiento mediante este tipo de flujo para evaluar rozamiento y esfuerzos transmitidos.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi)</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de Matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

===Velocidad de las partículas del fluido y análisis de la ecuación===
La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

===Análisis de la solución conocida===

Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se desarrollan ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

===Obtención de <math>a</math>, <math>b</math> y <math>\vec{u}</math>===
Para determinar <math>a</math> y <math>b</math>, de manera que la velocidad lineal del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , por lo que la velocidad lineal de los puntos del cilindro es <math>\rho.\omega_e=2\omega_e</math>. El sentido de giro es contrario al creciente del parámetro <math>\theta</math>, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , por lo que la velocidad lineal de los puntos del cilindro es <math>\rho.\omega_i=1\omega_i</math> . El sentido de giro es el creciente del parámetro <math>\theta</math>, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre <math>a</math>, <math>b</math>, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -2\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -2\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -2\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar <math>a</math> y <math>b</math> en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.

De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>

A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -2\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -2\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-2\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{4}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{4}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>

Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

===Condición de incompresibilidad===
También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>

La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo velocidades 67.png|450px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear; clc;
% --------------------------
% PARÁMETROS
% --------------------------
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
omega_i = +1; % interior: antihorario
omega_e = -1; % exterior: horario
% --------------------------
% COEFICIENTES A y B
% --------------------------
B = (omega_i - omega_e) * (Ri^2 * Re^2) / (Re^2 - Ri^2);
A = omega_i - B / (Ri^2);
% --------------------------
% MALLA PARA FLECHAS
% --------------------------
Ntheta = 20;
Nr = 15;
thetas = linspace(0, 2*pi, Ntheta+1);
thetas(end) = [];
rhos = linspace(Ri, Re, Nr);
% --------------------------
% FIGURA
% --------------------------
figure('Color',[1 1 1]); hold on;
scale_quiver = 0.7;
for th = thetas

% velocidad tangencial u_theta en cada rho
u_theta = A .* rhos + B ./ rhos;

% componentes cartesianas
U = -u_theta .* sin(th);
V = u_theta .* cos(th);
% posiciones
X = rhos .* cos(th);
Y = rhos .* sin(th);
%Vectores
quiver(X, Y, U, V, scale_quiver, 'LineWidth', 1, ...
'MaxHeadSize', 1.6, 'Color',[0.85 0.45 0]);
end
% --------------------------
% CILINDROS
% --------------------------
tc = linspace(0,2*pi,500);
plot(Ri*cos(tc), Ri*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(tc), Re*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlim([-2.3 2.3]); ylim([-2.3 2.3]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de velocidades');
grid on;
}}

==Líneas de Corriente del campo==
===Campo <math>\vec{v}</math> ostogonal a <math>\vec{u}</math>===
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

===<math>\vec{v}</math> irrotacional===
Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

===Potencial escalar <math>\psi</math>===
El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}</math> y <math>v_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

===Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>===
Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|500px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<center><math>u(\rho)=-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}</math></center>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math>u(\rho)=-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}</math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

====Cálculo de la derivada====

<center><math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -\frac{5}{3} - \frac{8}{3\rho^{2}}. </math></center>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{8}{3\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<center><math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math></center>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<center><math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -\frac{5}{3}-\frac{8}{3\rho^{2}}=0 \Longrightarrow -5-\frac{8}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{8}{\rho^{2}}=-5 \Longrightarrow \rho^{2}=-\frac{8}{5}, </math></center>

que no tiene solución real.

====Valores en los extremos del intervalo====

<center><math> u(1)=-\frac{5}{3}\cdot 1+\frac{8}{3\cdot 1}=\frac{-5+8}{3}=1, \qquad
u(2)=-\frac{5}{3}\cdot 2+\frac{8}{3\cdot 2}=-\frac{10}{3}+\frac{4}{3}=-\frac{6}{3}=-2. </math></center>

====Análisis de resultados====

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-2</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<center><math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\frac{5}{3}\rho+\frac{8}{3\rho}=0 \Longrightarrow -5\rho^{2}+8=0 \Longrightarrow 5\rho^{2}=8 \Longrightarrow \rho^{2}=\frac{8}{5} \Longrightarrow \rho=\sqrt{\tfrac{8}{5}}\approx 1{,}2649. </math></center>

(Observación: <math>u(1)=1>0</math> y <math>u(2)=-2<0</math>, por lo que efectivamente existe tal <math>\rho_0\in(1,2)</math> y su valor aproximado es <math>\rho_0\approx1{,}2649.</math>)

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a dos.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Modulo velocidad 67.jpg|370px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-(5/3)*rho + 8./(3*rho));

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math> \vec{u}(\rho,\theta) =\left[ \left(-\tfrac{4}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i\right)\rho + \left(\tfrac{4}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i\right)\dfrac{1}{\rho} \right]\vec e_{\theta} </math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{4}{3}\omega_e-\tfrac{1}{3}\omega_i\right)\rho +\dfrac{\tfrac{4}{3}\omega_e+\tfrac{4}{3}\omega_i}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math> \vec e_{\theta} </math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math> :

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{4}{3}\omega_e-\tfrac{1}{3}\omega_i\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_e+\tfrac{4}{3}\omega_i\right) </math></center>

Se deriva con respecto a ρ:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{4}{3}\omega_e-\tfrac{1}{3}\omega_i\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec{u} = \left(-\tfrac{8}{3}\omega_e-\tfrac{2}{3}\omega_i\right)\vec e_{z} </math></center>

Por lo tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rot67recalc.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (módulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -4/3*omega_e - 1/3*omega_i; % coeficiente de rho en u_theta
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜ = ｜2*A｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;
title('｜∇×u｜');
axis equal;

%% Dibujar los cilindros
hold on;
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off;
}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Rep Temperatura 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTOS. MÁX
hold on;
plot(x_max1, y_max1, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8, 'LineWidth',2);
plot(x_max2, y_max2, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8, 'LineWidth',2);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente Temperatura 67.jpg|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Finalmente, el cálculo del caudal cuando <math>\theta = 0</math> se abordará integrando el módulo de la velocidad antes calculado y analizado, de tal manera que, como la sección resultante es un cuadrado de área 1 m2, y se supone que la velocidad viene expresada en m/s, dicho resultado es directamente el caudal <math>Q</math>, puesto <math>Q = v\cdot S</math>.

<center><math>\displaystyle
\int_{1}^{2} u(\rho)\,d\rho
=
\int_{1}^{2}\left(-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right)d\rho
=
\left[-\tfrac{5}{6}\rho^{2}+\tfrac{8}{3}\ln\rho\right]_{1}^{2}
=
\left(-\tfrac{5}{6}\cdot 2^{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2\right)
-
\left(-\tfrac{5}{6}\cdot 1^{2}+\tfrac{8}{3}\ln 1\right)
=
-\tfrac{5}{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2.
</math></center>

Cuya aproximación numérica es:

<center><math>\displaystyle \int_{1}^{2}\left(-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right)d\rho = -\tfrac{5}{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2 \approx -0.65176 \, m^{3}/s </math></center>

Así pues, atendiendo a los signos, el caudal compensado, entre la velocidad que avanza según <math>\vec{e}_{\theta}</math> y la que va en sentido contrario, queda en sentido -<math>\vec{e}_{\theta}</math>. Dicho resultado es coherente con el análisis sobre el módulo de la velocidad, ya que se aprecia que el área bajo la curva del módulo de <math>u</math> es mayor cuando <math>\rho > \sqrt{\tfrac{8}{5}}</math>. Queda a continuación el dibujo que representa la sección y la velocidad del fluido a través de éste.

[[Archivo:Caudal 67.png|500px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Flujo de Couette entre cilindros - sección theta = 0
clear; close all; clc;
%% Parámetros geométricos y físicos
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
h = 1; % altura (profundidad)

% Velocidades angulares (módulo 1).
% Ejemplo por defecto: interior -> horario (-1), exterior -> antihorario (+1)
wi = +1; % omega interior (rad/s)
we = -1; % omega exterior (rad/s)

%% Construcción de la solución analítica: v_theta(r) = A*r + B/r
% Condiciones: v_theta(Ri) = wi*Ri, v_theta(Re) = we*Re

% Resolvemos para A y B
A = [Ri, 1/Ri; Re, 1/Re] \ [wi*Ri; we*Re]; % sistema 2x2
A = A(1); B = A; % overwrite fix below

% Above line was a mistake: recompute properly
M = [Ri, 1/Ri; Re, 1/Re];
coeff = M \ [wi*Ri; we*Re];
A = coeff(1);
B = coeff(2);

%% Malla en (r,z) para representar la sección theta = 0
Nr = 10; Nz = 10;
r = linspace(Ri,Re,Nr);
z = linspace(0,h,Nz);
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r,z);

% Campo tangencial v_theta
v_theta = A .* R_grid + B ./ R_grid; % magnitud en dirección e_theta

% Convertir a componentes cartesianas (en theta = 0 -> e_theta = [0,1,0])

Ux = zeros(size(v_theta));
Uy = v_theta;
Uz = zeros(size(v_theta));

%% Figura 3D
figure('Color','w','Position',[200 100 900 700]);
hold on; axis equal;
view(35,18);

% Dibujar cilindros (superficies)
nCirc = 150;
[Xi,Yi,Zi] = cylinder(Ri,nCirc); Zi = Zi*h;
surf(Xi,Yi,Zi, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none', 'FaceColor',[0.85 0.8 0.6]);
[Xe,Ye,Ze] = cylinder(Re,nCirc); Ze = Ze*h;
surf(Xe,Ye,Ze, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none', 'FaceColor',[0.85 0.9 0.75]);

% Dibujar la sección theta = 0: es el plano y = 0 (mostramos solo la porción r∈[Ri,Re], z∈[0,h], x>=0)
% En coordenadas cartesianas, sobre theta=0 los puntos tienen (x = r, y = 0).
X_patch = [Ri Re Re Ri]; % x extents
Y_patch = [0 0 0 0]; % y = 0 (plano)
Z_patch = [0 0 h h];
patch(X_patch, Y_patch, Z_patch, 'r','FaceAlpha',0.12,'EdgeColor','r','LineWidth',1.8);

% Resaltar aristas de la sección en rojo
plot3([Ri Re],[0 0],[0 0],'r','LineWidth',2) % borde inferior de la sección
plot3([Ri Re],[0 0],[h h],'r','LineWidth',2) % borde superior
plot3([Ri Ri],[0 0],[0 h],'r','LineWidth',2) % arista interior
plot3([Re Re],[0 0],[0 h],'r','LineWidth',2) % arista exterior

% Dibujar campo de velocidades en el plano theta=0 (posiciones x=r, y=0)
[xq,zq] = meshgrid(r,z);
yq = zeros(size(xq));

% Aquí Ux = 0, Uy = v_theta
quiverScale = 2;
quiver3(xq, yq, zq, Ux, Uy, Uz, quiverScale, 'b', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize',0.5);
title('Sección \theta = 0 del flujo de Couette entre cilindros');
xlim([-0.1, Re+0.5]);
ylim([-Re-0.5, Re+0.5]);
zlim([0 h]);
axis off;

% Mejoras estéticas
camlight; lighting phong;
hold off;}}

== Póster ==
[[Archivo:posterflujo672.png|500px|miniaturadeimagen]]

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

White, F. M. (2016), Fluid Mechanics, McGraw-Hill (flujo de Couette entre placas y aplicaciones físicas)

Bear, J. (1972), Dynamics of Fluids in Porous Media, Dover (flujo en capas delgadas en medios geotécnicos)

Terzaghi, Peck & Mesri (1996), Soil Mechanics in Engineering Practice, Wiley (capas lubricadas en deslizamientos y suelo-estructura)

Apuntes proporcionados en la ETSI Caminos, Canales y Puertos de la Universidad Politécnica de Madrid.

ChatGPT (OpenAI, 2025) fue utilizado como herramienta de apoyo para la generación, revisión y explicación de código en MATLAB, así como para la elaboración de rutinas de representación gráfica. Los resultados finales fueron verificados y adaptados por los autores.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Gradiente Temperatura 67.jpg

2025-12-07T22:13:28Z

Laura Carazo:

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-07T22:10:46Z

Laura Carazo: /* Representación del campo y curvas de nivel */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas. A parte de los útiles resultados teóricos a los que nos lleva el presente estudio pormenorizado del flujo de Couette, éste modelo físico encuentra numerosas aplicaciones prácticas, sean:
* '''Deslizamientos de tierra''', donde una capa delgada de agua o arcilla saturada queda atrapada entre dos estratos, de modo que el estrato superior se desplaza mientras el inferior permanece casi fijo, generando un flujo dominado por la viscosidad que influye directamente en la estabilidad de taludes.
* También aparece en la '''lubricación de compuertas y elementos hidráulicos móviles''', donde grasas o películas de agua entre superficies metálicas fijas y móviles producen un flujo de Couette que permite estimar tensiones cortantes y fuerzas de fricción.
* Y en el '''contacto suelo–estructura durante la instalación de pilotes o muros pantalla''', cuando una capa de lodo bentonítico actúa como fluido viscoso entre el terreno y la estructura en movimiento, modelándose su comportamiento mediante este tipo de flujo para evaluar rozamiento y esfuerzos transmitidos.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi)</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de Matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

===Velocidad de las partículas del fluido y análisis de la ecuación===
La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

===Análisis de la solución conocida===

Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se desarrollan ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

===Obtención de <math>a</math>, <math>b</math> y <math>\vec{u}</math>===
Para determinar <math>a</math> y <math>b</math>, de manera que la velocidad lineal del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , por lo que la velocidad lineal de los puntos del cilindro es <math>\rho.\omega_e=2\omega_e</math>. El sentido de giro es contrario al creciente del parámetro <math>\theta</math>, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , por lo que la velocidad lineal de los puntos del cilindro es <math>\rho.\omega_i=1\omega_i</math> . El sentido de giro es el creciente del parámetro <math>\theta</math>, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre <math>a</math>, <math>b</math>, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -2\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -2\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -2\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar <math>a</math> y <math>b</math> en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.

De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>

A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -2\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -2\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-2\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{4}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{4}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>

Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

===Condición de incompresibilidad===
También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>

La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo velocidades 67.png|450px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear; clc;
% --------------------------
% PARÁMETROS
% --------------------------
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
omega_i = +1; % interior: antihorario
omega_e = -1; % exterior: horario
% --------------------------
% COEFICIENTES A y B
% --------------------------
B = (omega_i - omega_e) * (Ri^2 * Re^2) / (Re^2 - Ri^2);
A = omega_i - B / (Ri^2);
% --------------------------
% MALLA PARA FLECHAS
% --------------------------
Ntheta = 20;
Nr = 15;
thetas = linspace(0, 2*pi, Ntheta+1);
thetas(end) = [];
rhos = linspace(Ri, Re, Nr);
% --------------------------
% FIGURA
% --------------------------
figure('Color',[1 1 1]); hold on;
scale_quiver = 0.7;
for th = thetas

% velocidad tangencial u_theta en cada rho
u_theta = A .* rhos + B ./ rhos;

% componentes cartesianas
U = -u_theta .* sin(th);
V = u_theta .* cos(th);
% posiciones
X = rhos .* cos(th);
Y = rhos .* sin(th);
%Vectores
quiver(X, Y, U, V, scale_quiver, 'LineWidth', 1, ...
'MaxHeadSize', 1.6, 'Color',[0.85 0.45 0]);
end
% --------------------------
% CILINDROS
% --------------------------
tc = linspace(0,2*pi,500);
plot(Ri*cos(tc), Ri*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(tc), Re*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlim([-2.3 2.3]); ylim([-2.3 2.3]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de velocidades');
grid on;
}}

==Líneas de Corriente del campo==
===Campo <math>\vec{v}</math> ostogonal a <math>\vec{u}</math>===
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

===<math>\vec{v}</math> irrotacional===
Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

===Potencial escalar <math>\psi</math>===
El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}</math> y <math>v_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

===Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>===
Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|500px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<center><math>u(\rho)=-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}</math></center>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math>u(\rho)=-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}</math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

====Cálculo de la derivada====

<center><math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -\frac{5}{3} - \frac{8}{3\rho^{2}}. </math></center>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{8}{3\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<center><math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math></center>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<center><math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -\frac{5}{3}-\frac{8}{3\rho^{2}}=0 \Longrightarrow -5-\frac{8}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{8}{\rho^{2}}=-5 \Longrightarrow \rho^{2}=-\frac{8}{5}, </math></center>

que no tiene solución real.

====Valores en los extremos del intervalo====

<center><math> u(1)=-\frac{5}{3}\cdot 1+\frac{8}{3\cdot 1}=\frac{-5+8}{3}=1, \qquad
u(2)=-\frac{5}{3}\cdot 2+\frac{8}{3\cdot 2}=-\frac{10}{3}+\frac{4}{3}=-\frac{6}{3}=-2. </math></center>

====Análisis de resultados====

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-2</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<center><math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\frac{5}{3}\rho+\frac{8}{3\rho}=0 \Longrightarrow -5\rho^{2}+8=0 \Longrightarrow 5\rho^{2}=8 \Longrightarrow \rho^{2}=\frac{8}{5} \Longrightarrow \rho=\sqrt{\tfrac{8}{5}}\approx 1{,}2649. </math></center>

(Observación: <math>u(1)=1>0</math> y <math>u(2)=-2<0</math>, por lo que efectivamente existe tal <math>\rho_0\in(1,2)</math> y su valor aproximado es <math>\rho_0\approx1{,}2649.</math>)

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a dos.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Modulo velocidad 67.jpg|370px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-(5/3)*rho + 8./(3*rho));

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math> \vec{u}(\rho,\theta) =\left[ \left(-\tfrac{4}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i\right)\rho + \left(\tfrac{4}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i\right)\dfrac{1}{\rho} \right]\vec e_{\theta} </math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{4}{3}\omega_e-\tfrac{1}{3}\omega_i\right)\rho +\dfrac{\tfrac{4}{3}\omega_e+\tfrac{4}{3}\omega_i}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math> \vec e_{\theta} </math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math> :

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{4}{3}\omega_e-\tfrac{1}{3}\omega_i\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_e+\tfrac{4}{3}\omega_i\right) </math></center>

Se deriva con respecto a ρ:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{4}{3}\omega_e-\tfrac{1}{3}\omega_i\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec{u} = \left(-\tfrac{8}{3}\omega_e-\tfrac{2}{3}\omega_i\right)\vec e_{z} </math></center>

Por lo tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rot67recalc.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (módulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -4/3*omega_e - 1/3*omega_i; % coeficiente de rho en u_theta
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜ = ｜2*A｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;
title('｜∇×u｜');
axis equal;

%% Dibujar los cilindros
hold on;
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off;
}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Rep Temperatura 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTOS. MÁX
hold on;
plot(x_max1, y_max1, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8, 'LineWidth',2);
plot(x_max2, y_max2, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8, 'LineWidth',2);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente flujo 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Finalmente, el cálculo del caudal cuando <math>\theta = 0</math> se abordará integrando el módulo de la velocidad antes calculado y analizado, de tal manera que, como la sección resultante es un cuadrado de área 1 m2, y se supone que la velocidad viene expresada en m/s, dicho resultado es directamente el caudal <math>Q</math>, puesto <math>Q = v\cdot S</math>.

<center><math>\displaystyle
\int_{1}^{2} u(\rho)\,d\rho
=
\int_{1}^{2}\left(-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right)d\rho
=
\left[-\tfrac{5}{6}\rho^{2}+\tfrac{8}{3}\ln\rho\right]_{1}^{2}
=
\left(-\tfrac{5}{6}\cdot 2^{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2\right)
-
\left(-\tfrac{5}{6}\cdot 1^{2}+\tfrac{8}{3}\ln 1\right)
=
-\tfrac{5}{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2.
</math></center>

Cuya aproximación numérica es:

<center><math>\displaystyle \int_{1}^{2}\left(-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right)d\rho = -\tfrac{5}{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2 \approx -0.65176 \, m^{3}/s </math></center>

Así pues, atendiendo a los signos, el caudal compensado, entre la velocidad que avanza según <math>\vec{e}_{\theta}</math> y la que va en sentido contrario, queda en sentido -<math>\vec{e}_{\theta}</math>. Dicho resultado es coherente con el análisis sobre el módulo de la velocidad, ya que se aprecia que el área bajo la curva del módulo de <math>u</math> es mayor cuando <math>\rho > \sqrt{\tfrac{8}{5}}</math>. Queda a continuación el dibujo que representa la sección y la velocidad del fluido a través de éste.

[[Archivo:Caudal 67.png|500px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Flujo de Couette entre cilindros - sección theta = 0
clear; close all; clc;
%% Parámetros geométricos y físicos
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
h = 1; % altura (profundidad)

% Velocidades angulares (módulo 1).
% Ejemplo por defecto: interior -> horario (-1), exterior -> antihorario (+1)
wi = +1; % omega interior (rad/s)
we = -1; % omega exterior (rad/s)

%% Construcción de la solución analítica: v_theta(r) = A*r + B/r
% Condiciones: v_theta(Ri) = wi*Ri, v_theta(Re) = we*Re

% Resolvemos para A y B
A = [Ri, 1/Ri; Re, 1/Re] \ [wi*Ri; we*Re]; % sistema 2x2
A = A(1); B = A; % overwrite fix below

% Above line was a mistake: recompute properly
M = [Ri, 1/Ri; Re, 1/Re];
coeff = M \ [wi*Ri; we*Re];
A = coeff(1);
B = coeff(2);

%% Malla en (r,z) para representar la sección theta = 0
Nr = 10; Nz = 10;
r = linspace(Ri,Re,Nr);
z = linspace(0,h,Nz);
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r,z);

% Campo tangencial v_theta
v_theta = A .* R_grid + B ./ R_grid; % magnitud en dirección e_theta

% Convertir a componentes cartesianas (en theta = 0 -> e_theta = [0,1,0])

Ux = zeros(size(v_theta));
Uy = v_theta;
Uz = zeros(size(v_theta));

%% Figura 3D
figure('Color','w','Position',[200 100 900 700]);
hold on; axis equal;
view(35,18);

% Dibujar cilindros (superficies)
nCirc = 150;
[Xi,Yi,Zi] = cylinder(Ri,nCirc); Zi = Zi*h;
surf(Xi,Yi,Zi, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none', 'FaceColor',[0.85 0.8 0.6]);
[Xe,Ye,Ze] = cylinder(Re,nCirc); Ze = Ze*h;
surf(Xe,Ye,Ze, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none', 'FaceColor',[0.85 0.9 0.75]);

% Dibujar la sección theta = 0: es el plano y = 0 (mostramos solo la porción r∈[Ri,Re], z∈[0,h], x>=0)
% En coordenadas cartesianas, sobre theta=0 los puntos tienen (x = r, y = 0).
X_patch = [Ri Re Re Ri]; % x extents
Y_patch = [0 0 0 0]; % y = 0 (plano)
Z_patch = [0 0 h h];
patch(X_patch, Y_patch, Z_patch, 'r','FaceAlpha',0.12,'EdgeColor','r','LineWidth',1.8);

% Resaltar aristas de la sección en rojo
plot3([Ri Re],[0 0],[0 0],'r','LineWidth',2) % borde inferior de la sección
plot3([Ri Re],[0 0],[h h],'r','LineWidth',2) % borde superior
plot3([Ri Ri],[0 0],[0 h],'r','LineWidth',2) % arista interior
plot3([Re Re],[0 0],[0 h],'r','LineWidth',2) % arista exterior

% Dibujar campo de velocidades en el plano theta=0 (posiciones x=r, y=0)
[xq,zq] = meshgrid(r,z);
yq = zeros(size(xq));

% Aquí Ux = 0, Uy = v_theta
quiverScale = 2;
quiver3(xq, yq, zq, Ux, Uy, Uz, quiverScale, 'b', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize',0.5);
title('Sección \theta = 0 del flujo de Couette entre cilindros');
xlim([-0.1, Re+0.5]);
ylim([-Re-0.5, Re+0.5]);
zlim([0 h]);
axis off;

% Mejoras estéticas
camlight; lighting phong;
hold off;}}

== Póster ==
[[Archivo:posterflujo672.png|500px|miniaturadeimagen]]

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

White, F. M. (2016), Fluid Mechanics, McGraw-Hill (flujo de Couette entre placas y aplicaciones físicas)

Bear, J. (1972), Dynamics of Fluids in Porous Media, Dover (flujo en capas delgadas en medios geotécnicos)

Terzaghi, Peck & Mesri (1996), Soil Mechanics in Engineering Practice, Wiley (capas lubricadas en deslizamientos y suelo-estructura)

Apuntes proporcionados en la ETSI Caminos, Canales y Puertos de la Universidad Politécnica de Madrid.

ChatGPT (OpenAI, 2025) fue utilizado como herramienta de apoyo para la generación, revisión y explicación de código en MATLAB, así como para la elaboración de rutinas de representación gráfica. Los resultados finales fueron verificados y adaptados por los autores.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-07T22:09:05Z

Laura Carazo: /* Representación del campo y curvas de nivel */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas. A parte de los útiles resultados teóricos a los que nos lleva el presente estudio pormenorizado del flujo de Couette, éste modelo físico encuentra numerosas aplicaciones prácticas, sean:
* '''Deslizamientos de tierra''', donde una capa delgada de agua o arcilla saturada queda atrapada entre dos estratos, de modo que el estrato superior se desplaza mientras el inferior permanece casi fijo, generando un flujo dominado por la viscosidad que influye directamente en la estabilidad de taludes.
* También aparece en la '''lubricación de compuertas y elementos hidráulicos móviles''', donde grasas o películas de agua entre superficies metálicas fijas y móviles producen un flujo de Couette que permite estimar tensiones cortantes y fuerzas de fricción.
* Y en el '''contacto suelo–estructura durante la instalación de pilotes o muros pantalla''', cuando una capa de lodo bentonítico actúa como fluido viscoso entre el terreno y la estructura en movimiento, modelándose su comportamiento mediante este tipo de flujo para evaluar rozamiento y esfuerzos transmitidos.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi)</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de Matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

===Velocidad de las partículas del fluido y análisis de la ecuación===
La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

===Análisis de la solución conocida===

Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se desarrollan ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

===Obtención de <math>a</math>, <math>b</math> y <math>\vec{u}</math>===
Para determinar <math>a</math> y <math>b</math>, de manera que la velocidad lineal del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , por lo que la velocidad lineal de los puntos del cilindro es <math>\rho.\omega_e=2\omega_e</math>. El sentido de giro es contrario al creciente del parámetro <math>\theta</math>, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , por lo que la velocidad lineal de los puntos del cilindro es <math>\rho.\omega_i=1\omega_i</math> . El sentido de giro es el creciente del parámetro <math>\theta</math>, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre <math>a</math>, <math>b</math>, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -2\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -2\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -2\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar <math>a</math> y <math>b</math> en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.

De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>

A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -2\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -2\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-2\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{4}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{4}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>

Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

===Condición de incompresibilidad===
También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>

La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo velocidades 67.png|450px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear; clc;
% --------------------------
% PARÁMETROS
% --------------------------
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
omega_i = +1; % interior: antihorario
omega_e = -1; % exterior: horario
% --------------------------
% COEFICIENTES A y B
% --------------------------
B = (omega_i - omega_e) * (Ri^2 * Re^2) / (Re^2 - Ri^2);
A = omega_i - B / (Ri^2);
% --------------------------
% MALLA PARA FLECHAS
% --------------------------
Ntheta = 20;
Nr = 15;
thetas = linspace(0, 2*pi, Ntheta+1);
thetas(end) = [];
rhos = linspace(Ri, Re, Nr);
% --------------------------
% FIGURA
% --------------------------
figure('Color',[1 1 1]); hold on;
scale_quiver = 0.7;
for th = thetas

% velocidad tangencial u_theta en cada rho
u_theta = A .* rhos + B ./ rhos;

% componentes cartesianas
U = -u_theta .* sin(th);
V = u_theta .* cos(th);
% posiciones
X = rhos .* cos(th);
Y = rhos .* sin(th);
%Vectores
quiver(X, Y, U, V, scale_quiver, 'LineWidth', 1, ...
'MaxHeadSize', 1.6, 'Color',[0.85 0.45 0]);
end
% --------------------------
% CILINDROS
% --------------------------
tc = linspace(0,2*pi,500);
plot(Ri*cos(tc), Ri*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(tc), Re*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlim([-2.3 2.3]); ylim([-2.3 2.3]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de velocidades');
grid on;
}}

==Líneas de Corriente del campo==
===Campo <math>\vec{v}</math> ostogonal a <math>\vec{u}</math>===
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

===<math>\vec{v}</math> irrotacional===
Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

===Potencial escalar <math>\psi</math>===
El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}</math> y <math>v_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

===Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>===
Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|500px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<center><math>u(\rho)=-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}</math></center>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math>u(\rho)=-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}</math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

====Cálculo de la derivada====

<center><math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -\frac{5}{3} - \frac{8}{3\rho^{2}}. </math></center>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{8}{3\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<center><math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math></center>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<center><math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -\frac{5}{3}-\frac{8}{3\rho^{2}}=0 \Longrightarrow -5-\frac{8}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{8}{\rho^{2}}=-5 \Longrightarrow \rho^{2}=-\frac{8}{5}, </math></center>

que no tiene solución real.

====Valores en los extremos del intervalo====

<center><math> u(1)=-\frac{5}{3}\cdot 1+\frac{8}{3\cdot 1}=\frac{-5+8}{3}=1, \qquad
u(2)=-\frac{5}{3}\cdot 2+\frac{8}{3\cdot 2}=-\frac{10}{3}+\frac{4}{3}=-\frac{6}{3}=-2. </math></center>

====Análisis de resultados====

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-2</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<center><math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\frac{5}{3}\rho+\frac{8}{3\rho}=0 \Longrightarrow -5\rho^{2}+8=0 \Longrightarrow 5\rho^{2}=8 \Longrightarrow \rho^{2}=\frac{8}{5} \Longrightarrow \rho=\sqrt{\tfrac{8}{5}}\approx 1{,}2649. </math></center>

(Observación: <math>u(1)=1>0</math> y <math>u(2)=-2<0</math>, por lo que efectivamente existe tal <math>\rho_0\in(1,2)</math> y su valor aproximado es <math>\rho_0\approx1{,}2649.</math>)

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a dos.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Modulo velocidad 67.jpg|370px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-(5/3)*rho + 8./(3*rho));

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math> \vec{u}(\rho,\theta) =\left[ \left(-\tfrac{4}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i\right)\rho + \left(\tfrac{4}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i\right)\dfrac{1}{\rho} \right]\vec e_{\theta} </math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{4}{3}\omega_e-\tfrac{1}{3}\omega_i\right)\rho +\dfrac{\tfrac{4}{3}\omega_e+\tfrac{4}{3}\omega_i}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math> \vec e_{\theta} </math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math> :

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{4}{3}\omega_e-\tfrac{1}{3}\omega_i\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_e+\tfrac{4}{3}\omega_i\right) </math></center>

Se deriva con respecto a ρ:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{4}{3}\omega_e-\tfrac{1}{3}\omega_i\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec{u} = \left(-\tfrac{8}{3}\omega_e-\tfrac{2}{3}\omega_i\right)\vec e_{z} </math></center>

Por lo tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rot67recalc.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (módulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -4/3*omega_e - 1/3*omega_i; % coeficiente de rho en u_theta
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜ = ｜2*A｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;
title('｜∇×u｜');
axis equal;

%% Dibujar los cilindros
hold on;
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off;
}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Rep Temperatura 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente flujo 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Finalmente, el cálculo del caudal cuando <math>\theta = 0</math> se abordará integrando el módulo de la velocidad antes calculado y analizado, de tal manera que, como la sección resultante es un cuadrado de área 1 m2, y se supone que la velocidad viene expresada en m/s, dicho resultado es directamente el caudal <math>Q</math>, puesto <math>Q = v\cdot S</math>.

<center><math>\displaystyle
\int_{1}^{2} u(\rho)\,d\rho
=
\int_{1}^{2}\left(-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right)d\rho
=
\left[-\tfrac{5}{6}\rho^{2}+\tfrac{8}{3}\ln\rho\right]_{1}^{2}
=
\left(-\tfrac{5}{6}\cdot 2^{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2\right)
-
\left(-\tfrac{5}{6}\cdot 1^{2}+\tfrac{8}{3}\ln 1\right)
=
-\tfrac{5}{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2.
</math></center>

Cuya aproximación numérica es:

<center><math>\displaystyle \int_{1}^{2}\left(-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right)d\rho = -\tfrac{5}{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2 \approx -0.65176 \, m^{3}/s </math></center>

Así pues, atendiendo a los signos, el caudal compensado, entre la velocidad que avanza según <math>\vec{e}_{\theta}</math> y la que va en sentido contrario, queda en sentido -<math>\vec{e}_{\theta}</math>. Dicho resultado es coherente con el análisis sobre el módulo de la velocidad, ya que se aprecia que el área bajo la curva del módulo de <math>u</math> es mayor cuando <math>\rho > \sqrt{\tfrac{8}{5}}</math>. Queda a continuación el dibujo que representa la sección y la velocidad del fluido a través de éste.

[[Archivo:Caudal 67.png|500px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Flujo de Couette entre cilindros - sección theta = 0
clear; close all; clc;
%% Parámetros geométricos y físicos
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
h = 1; % altura (profundidad)

% Velocidades angulares (módulo 1).
% Ejemplo por defecto: interior -> horario (-1), exterior -> antihorario (+1)
wi = +1; % omega interior (rad/s)
we = -1; % omega exterior (rad/s)

%% Construcción de la solución analítica: v_theta(r) = A*r + B/r
% Condiciones: v_theta(Ri) = wi*Ri, v_theta(Re) = we*Re

% Resolvemos para A y B
A = [Ri, 1/Ri; Re, 1/Re] \ [wi*Ri; we*Re]; % sistema 2x2
A = A(1); B = A; % overwrite fix below

% Above line was a mistake: recompute properly
M = [Ri, 1/Ri; Re, 1/Re];
coeff = M \ [wi*Ri; we*Re];
A = coeff(1);
B = coeff(2);

%% Malla en (r,z) para representar la sección theta = 0
Nr = 10; Nz = 10;
r = linspace(Ri,Re,Nr);
z = linspace(0,h,Nz);
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r,z);

% Campo tangencial v_theta
v_theta = A .* R_grid + B ./ R_grid; % magnitud en dirección e_theta

% Convertir a componentes cartesianas (en theta = 0 -> e_theta = [0,1,0])

Ux = zeros(size(v_theta));
Uy = v_theta;
Uz = zeros(size(v_theta));

%% Figura 3D
figure('Color','w','Position',[200 100 900 700]);
hold on; axis equal;
view(35,18);

% Dibujar cilindros (superficies)
nCirc = 150;
[Xi,Yi,Zi] = cylinder(Ri,nCirc); Zi = Zi*h;
surf(Xi,Yi,Zi, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none', 'FaceColor',[0.85 0.8 0.6]);
[Xe,Ye,Ze] = cylinder(Re,nCirc); Ze = Ze*h;
surf(Xe,Ye,Ze, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none', 'FaceColor',[0.85 0.9 0.75]);

% Dibujar la sección theta = 0: es el plano y = 0 (mostramos solo la porción r∈[Ri,Re], z∈[0,h], x>=0)
% En coordenadas cartesianas, sobre theta=0 los puntos tienen (x = r, y = 0).
X_patch = [Ri Re Re Ri]; % x extents
Y_patch = [0 0 0 0]; % y = 0 (plano)
Z_patch = [0 0 h h];
patch(X_patch, Y_patch, Z_patch, 'r','FaceAlpha',0.12,'EdgeColor','r','LineWidth',1.8);

% Resaltar aristas de la sección en rojo
plot3([Ri Re],[0 0],[0 0],'r','LineWidth',2) % borde inferior de la sección
plot3([Ri Re],[0 0],[h h],'r','LineWidth',2) % borde superior
plot3([Ri Ri],[0 0],[0 h],'r','LineWidth',2) % arista interior
plot3([Re Re],[0 0],[0 h],'r','LineWidth',2) % arista exterior

% Dibujar campo de velocidades en el plano theta=0 (posiciones x=r, y=0)
[xq,zq] = meshgrid(r,z);
yq = zeros(size(xq));

% Aquí Ux = 0, Uy = v_theta
quiverScale = 2;
quiver3(xq, yq, zq, Ux, Uy, Uz, quiverScale, 'b', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize',0.5);
title('Sección \theta = 0 del flujo de Couette entre cilindros');
xlim([-0.1, Re+0.5]);
ylim([-Re-0.5, Re+0.5]);
zlim([0 h]);
axis off;

% Mejoras estéticas
camlight; lighting phong;
hold off;}}

== Póster ==
[[Archivo:posterflujo672.png|500px|miniaturadeimagen]]

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

White, F. M. (2016), Fluid Mechanics, McGraw-Hill (flujo de Couette entre placas y aplicaciones físicas)

Bear, J. (1972), Dynamics of Fluids in Porous Media, Dover (flujo en capas delgadas en medios geotécnicos)

Terzaghi, Peck & Mesri (1996), Soil Mechanics in Engineering Practice, Wiley (capas lubricadas en deslizamientos y suelo-estructura)

Apuntes proporcionados en la ETSI Caminos, Canales y Puertos de la Universidad Politécnica de Madrid.

ChatGPT (OpenAI, 2025) fue utilizado como herramienta de apoyo para la generación, revisión y explicación de código en MATLAB, así como para la elaboración de rutinas de representación gráfica. Los resultados finales fueron verificados y adaptados por los autores.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Rep Temperatura 67.png

2025-12-07T22:08:39Z

Laura Carazo:

Archivo:Representación temperatura 67.jpg

2025-12-07T22:07:08Z

Laura Carazo:

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-06T14:35:58Z

Laura Carazo: /* Gráfica del comportamiento del módulo en función de \rho */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi)</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de Matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

===Velocidad de las partículas del fluido y análisis de la ecuación===
La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

===Análisis de la solución conocida===

Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se desarrollan ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

===Obtención de <math>a</math>, <math>b</math> y <math>\vec{u}</math>===
Para determinar <math>a</math> y <math>b</math>, de manera que la velocidad lineal del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , por lo que la velocidad lineal de los puntos del cilindro es <math>\rho.\omega_e=2\omega_e</math>. El sentido de giro es contrario al creciente del parámetro <math>\theta</math>, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , por lo que la velocidad lineal de los puntos del cilindro es <math>\rho.\omega_i=1\omega_i</math> . El sentido de giro es el creciente del parámetro <math>\theta</math>, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre <math>a</math>, <math>b</math>, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -2\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar <math>a</math> y <math>b</math> en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.

De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>

A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -2\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -2\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-2\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{4}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{4}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>

Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

===Condición de incompresibilidad===
También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>

La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo velocidades 67.png|450px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear; clc;
% --------------------------
% PARÁMETROS
% --------------------------
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
omega_i = +1; % interior: antihorario
omega_e = -1; % exterior: horario
% --------------------------
% COEFICIENTES A y B
% --------------------------
B = (omega_i - omega_e) * (Ri^2 * Re^2) / (Re^2 - Ri^2);
A = omega_i - B / (Ri^2);
% --------------------------
% MALLA PARA FLECHAS
% --------------------------
Ntheta = 20;
Nr = 15;
thetas = linspace(0, 2*pi, Ntheta+1);
thetas(end) = [];
rhos = linspace(Ri, Re, Nr);
% --------------------------
% FIGURA
% --------------------------
figure('Color',[1 1 1]); hold on;
scale_quiver = 0.7;
for th = thetas

% velocidad tangencial u_theta en cada rho
u_theta = A .* rhos + B ./ rhos;

% componentes cartesianas
U = -u_theta .* sin(th);
V = u_theta .* cos(th);
% posiciones
X = rhos .* cos(th);
Y = rhos .* sin(th);
%Vectores
quiver(X, Y, U, V, scale_quiver, 'LineWidth', 1, ...
'MaxHeadSize', 1.6, 'Color',[0.85 0.45 0]);
end
% --------------------------
% CILINDROS
% --------------------------
tc = linspace(0,2*pi,500);
plot(Ri*cos(tc), Ri*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(tc), Re*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlim([-2.3 2.3]); ylim([-2.3 2.3]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de velocidades');
grid on;
}}

==Líneas de Corriente del campo==
===Campo <math>\vec{v}</math> ostogonal a <math>\vec{u}</math>===
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

===<math>\vec{v}</math> irrotacional===
Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

===Potencial escalar <math>\psi</math>===
El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}\,\vec e_{\theta} </math> y <math>v_{z}\,\vec e_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

===Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>===
Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|500px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<center><math>u(\rho)=-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}</math></center>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math>u(\rho)=-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}</math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

* Cálculo de la derivada:

<center><math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -\frac{5}{3} - \frac{8}{3\rho^{2}}. </math></center>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{8}{3\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<center><math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math></center>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<center><math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -\frac{5}{3}-\frac{8}{3\rho^{2}}=0 \Longrightarrow -5-\frac{8}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{8}{\rho^{2}}=-5 \Longrightarrow \rho^{2}=-\frac{8}{5}, </math></center>

que no tiene solución real.

*Valores en los extremos del intervalo:

<center><math> u(1)=-\frac{5}{3}\cdot 1+\frac{8}{3\cdot 1}=\frac{-5+8}{3}=1, \qquad
u(2)=-\frac{5}{3}\cdot 2+\frac{8}{3\cdot 2}=-\frac{10}{3}+\frac{4}{3}=-\frac{6}{3}=-2. </math></center>

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-2</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<center><math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\frac{5}{3}\rho+\frac{8}{3\rho}=0 \Longrightarrow -5\rho^{2}+8=0 \Longrightarrow 5\rho^{2}=8 \Longrightarrow \rho^{2}=\frac{8}{5} \Longrightarrow \rho=\sqrt{\tfrac{8}{5}}\approx 1{,}2649. </math></center>

(Observación: <math>u(1)=1>0</math> y <math>u(2)=-2<0</math>, por lo que efectivamente existe tal <math>\rho_0\in(1,2)</math> y su valor aproximado es <math>\rho_0\approx1{,}2649.</math>)

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a dos.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Modulo velocidad 67.jpg|370px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-(5/3)*rho + 8./(3*rho));

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho +\frac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math> \vec e_{\theta} </math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math>:

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e\right) </math></center>

Se deriva con respecto a 𝜌:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec u = \left(-\tfrac{2}{3}\omega_i-\tfrac{4}{3}\omega_e\right)\vec e_{z} </math></center>

Por tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rotgrupo67.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (modulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -1/3*omega_i - 2/3*omega_e;
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;

title('｜∇×u｜ con ｜ω_i｜=｜ω_e｜=1');
axis equal;

%% (Opcional) Dibujar los cilindros
hold on
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Campo Temperaturas 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente flujo 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Finalmente, el cálculo del caudal cuando <math>\theta = 0</math> se abordará integrando el módulo de la velocidad antes calculado y analizado, de tal manera que, como la sección resultante es un cuadrado de área 1 m2, y se supone que la velocidad viene expresada en m/s, dicho resultado es directamente el caudal <math>Q</math>, puesto <math>Q = v\cdot S</math>.

<center><math>\displaystyle
\int_{1}^{2} u(\rho)\,d\rho
=
\int_{1}^{2}\left(-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right)d\rho
=
\left[-\tfrac{5}{6}\rho^{2}+\tfrac{8}{3}\ln\rho\right]_{1}^{2}
=
\left(-\tfrac{5}{6}\cdot 2^{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2\right)
-
\left(-\tfrac{5}{6}\cdot 1^{2}+\tfrac{8}{3}\ln 1\right)
=
-\tfrac{5}{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2.
</math></center>

Cuya aproximación numérica es:

<center><math>\displaystyle \int_{1}^{2}\left(-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right)d\rho = -\tfrac{5}{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2 \approx -0.65176 \, m^{3}/s </math></center>

Así pues, atendiendo a los signos, el caudal compensado, entre la velocidad que avanza según <math>\vec{e}_{\theta}</math> y la que va en sentido contrario, queda en sentido -<math>\vec{e}_{\theta}</math>. Dicho resultado es coherente con el análisis sobre el módulo de la velocidad, ya que se aprecia que el área bajo la curva del módulo de <math>u</math> es mayor cuando <math>\rho < \sqrt{\tfrac{8}{5}}</math>. Queda a continuación el dibujo que representa la sección y la velocidad del fluido a través de éste.

[[Archivo:Caudal 67.png|500px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Flujo de Couette entre cilindros - sección theta = 0
clear; close all; clc;
%% Parámetros geométricos y físicos
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
h = 1; % altura (profundidad)

% Velocidades angulares (módulo 1).
% Ejemplo por defecto: interior -> horario (-1), exterior -> antihorario (+1)
wi = +1; % omega interior (rad/s)
we = -1; % omega exterior (rad/s)

%% Construcción de la solución analítica: v_theta(r) = A*r + B/r
% Condiciones: v_theta(Ri) = wi*Ri, v_theta(Re) = we*Re

% Resolvemos para A y B
A = [Ri, 1/Ri; Re, 1/Re] \ [wi*Ri; we*Re]; % sistema 2x2
A = A(1); B = A; % overwrite fix below

% Above line was a mistake: recompute properly
M = [Ri, 1/Ri; Re, 1/Re];
coeff = M \ [wi*Ri; we*Re];
A = coeff(1);
B = coeff(2);

%% Malla en (r,z) para representar la sección theta = 0
Nr = 10; Nz = 10;
r = linspace(Ri,Re,Nr);
z = linspace(0,h,Nz);
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r,z);

% Campo tangencial v_theta
v_theta = A .* R_grid + B ./ R_grid; % magnitud en dirección e_theta

% Convertir a componentes cartesianas (en theta = 0 -> e_theta = [0,1,0])

Ux = zeros(size(v_theta));
Uy = v_theta;
Uz = zeros(size(v_theta));

%% Figura 3D
figure('Color','w','Position',[200 100 900 700]);
hold on; axis equal;
view(35,18);

% Dibujar cilindros (superficies)
nCirc = 150;
[Xi,Yi,Zi] = cylinder(Ri,nCirc); Zi = Zi*h;
surf(Xi,Yi,Zi, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none', 'FaceColor',[0.85 0.8 0.6]);
[Xe,Ye,Ze] = cylinder(Re,nCirc); Ze = Ze*h;
surf(Xe,Ye,Ze, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none', 'FaceColor',[0.85 0.9 0.75]);

% Dibujar la sección theta = 0: es el plano y = 0 (mostramos solo la porción r∈[Ri,Re], z∈[0,h], x>=0)
% En coordenadas cartesianas, sobre theta=0 los puntos tienen (x = r, y = 0).
X_patch = [Ri Re Re Ri]; % x extents
Y_patch = [0 0 0 0]; % y = 0 (plano)
Z_patch = [0 0 h h];
patch(X_patch, Y_patch, Z_patch, 'r','FaceAlpha',0.12,'EdgeColor','r','LineWidth',1.8);

% Resaltar aristas de la sección en rojo
plot3([Ri Re],[0 0],[0 0],'r','LineWidth',2) % borde inferior de la sección
plot3([Ri Re],[0 0],[h h],'r','LineWidth',2) % borde superior
plot3([Ri Ri],[0 0],[0 h],'r','LineWidth',2) % arista interior
plot3([Re Re],[0 0],[0 h],'r','LineWidth',2) % arista exterior

% Dibujar campo de velocidades en el plano theta=0 (posiciones x=r, y=0)
[xq,zq] = meshgrid(r,z);
yq = zeros(size(xq));

% Aquí Ux = 0, Uy = v_theta
quiverScale = 2;
quiver3(xq, yq, zq, Ux, Uy, Uz, quiverScale, 'b', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize',0.5);
title('Sección \theta = 0 del flujo de Couette entre cilindros');
xlim([-0.1, Re+0.5]);
ylim([-Re-0.5, Re+0.5]);
zlim([0 h]);
axis off;

% Mejoras estéticas
camlight; lighting phong;
hold off;}}

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Modulo velocidad 67.jpg

2025-12-06T14:35:32Z

Laura Carazo:

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-06T14:30:42Z

Laura Carazo: /* Campo de velocidades */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi)</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de Matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

===Velocidad de las partículas del fluido y análisis de la ecuación===
La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

===Análisis de la solución conocida===

Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se desarrollan ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

===Obtención de <math>a</math>, <math>b</math> y <math>\vec{u}</math>===
Para determinar <math>a</math> y <math>b</math>, de manera que la velocidad lineal del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , por lo que la velocidad lineal de los puntos del cilindro es <math>\rho.\omega_e=2\omega_e</math>. El sentido de giro es contrario al creciente del parámetro <math>\theta</math>, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , por lo que la velocidad lineal de los puntos del cilindro es <math>\rho.\omega_i=1\omega_i</math> . El sentido de giro es el creciente del parámetro <math>\theta</math>, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre <math>a</math>, <math>b</math>, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -2\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar <math>a</math> y <math>b</math> en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.

De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>

A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -2\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -2\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-2\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{4}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{4}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>

Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

===Condición de incompresibilidad===
También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>

La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo velocidades 67.png|450px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear; clc;
% --------------------------
% PARÁMETROS
% --------------------------
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
omega_i = +1; % interior: antihorario
omega_e = -1; % exterior: horario
% --------------------------
% COEFICIENTES A y B
% --------------------------
B = (omega_i - omega_e) * (Ri^2 * Re^2) / (Re^2 - Ri^2);
A = omega_i - B / (Ri^2);
% --------------------------
% MALLA PARA FLECHAS
% --------------------------
Ntheta = 20;
Nr = 15;
thetas = linspace(0, 2*pi, Ntheta+1);
thetas(end) = [];
rhos = linspace(Ri, Re, Nr);
% --------------------------
% FIGURA
% --------------------------
figure('Color',[1 1 1]); hold on;
scale_quiver = 0.7;
for th = thetas

% velocidad tangencial u_theta en cada rho
u_theta = A .* rhos + B ./ rhos;

% componentes cartesianas
U = -u_theta .* sin(th);
V = u_theta .* cos(th);
% posiciones
X = rhos .* cos(th);
Y = rhos .* sin(th);
%Vectores
quiver(X, Y, U, V, scale_quiver, 'LineWidth', 1, ...
'MaxHeadSize', 1.6, 'Color',[0.85 0.45 0]);
end
% --------------------------
% CILINDROS
% --------------------------
tc = linspace(0,2*pi,500);
plot(Ri*cos(tc), Ri*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(tc), Re*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlim([-2.3 2.3]); ylim([-2.3 2.3]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de velocidades');
grid on;
}}

==Líneas de Corriente del campo==
===Campo <math>\vec{v}</math> ostogonal a <math>\vec{u}</math>===
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

===<math>\vec{v}</math> irrotacional===
Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

===Potencial escalar <math>\psi</math>===
El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}\,\vec e_{\theta} </math> y <math>v_{z}\,\vec e_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

===Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>===
Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|500px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<center><math>u(\rho)=-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}</math></center>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math>u(\rho)=-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}</math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

* Cálculo de la derivada:

<center><math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -\frac{5}{3} - \frac{8}{3\rho^{2}}. </math></center>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{8}{3\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<center><math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math></center>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<center><math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -\frac{5}{3}-\frac{8}{3\rho^{2}}=0 \Longrightarrow -5-\frac{8}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{8}{\rho^{2}}=-5 \Longrightarrow \rho^{2}=-\frac{8}{5}, </math></center>

que no tiene solución real.

*Valores en los extremos del intervalo:

<center><math> u(1)=-\frac{5}{3}\cdot 1+\frac{8}{3\cdot 1}=\frac{-5+8}{3}=1, \qquad
u(2)=-\frac{5}{3}\cdot 2+\frac{8}{3\cdot 2}=-\frac{10}{3}+\frac{4}{3}=-\frac{6}{3}=-2. </math></center>

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-2</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<center><math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\frac{5}{3}\rho+\frac{8}{3\rho}=0 \Longrightarrow -5\rho^{2}+8=0 \Longrightarrow 5\rho^{2}=8 \Longrightarrow \rho^{2}=\frac{8}{5} \Longrightarrow \rho=\sqrt{\tfrac{8}{5}}\approx 1{,}2649. </math></center>

(Observación: <math>u(1)=1>0</math> y <math>u(2)=-2<0</math>, por lo que efectivamente existe tal <math>\rho_0\in(1,2)</math> y su valor aproximado es <math>\rho_0\approx1{,}2649.</math>)

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a dos.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Velocidad 67.jpeg|370px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-(5/3)*rho + 8./(3*rho));

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho +\frac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math> \vec e_{\theta} </math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math>:

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e\right) </math></center>

Se deriva con respecto a 𝜌:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec u = \left(-\tfrac{2}{3}\omega_i-\tfrac{4}{3}\omega_e\right)\vec e_{z} </math></center>

Por tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rotgrupo67.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (modulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -1/3*omega_i - 2/3*omega_e;
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;

title('｜∇×u｜ con ｜ω_i｜=｜ω_e｜=1');
axis equal;

%% (Opcional) Dibujar los cilindros
hold on
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Campo Temperaturas 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente flujo 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Finalmente, el cálculo del caudal cuando <math>\theta = 0</math> se abordará integrando el módulo de la velocidad antes calculado y analizado, de tal manera que, como la sección resultante es un cuadrado de área 1 m2, y se supone que la velocidad viene expresada en m/s, dicho resultado es directamente el caudal <math>Q</math>, puesto <math>Q = v\cdot S</math>.

<center><math>\displaystyle
\int_{1}^{2} u(\rho)\,d\rho
=
\int_{1}^{2}\left(-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right)d\rho
=
\left[-\tfrac{5}{6}\rho^{2}+\tfrac{8}{3}\ln\rho\right]_{1}^{2}
=
\left(-\tfrac{5}{6}\cdot 2^{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2\right)
-
\left(-\tfrac{5}{6}\cdot 1^{2}+\tfrac{8}{3}\ln 1\right)
=
-\tfrac{5}{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2.
</math></center>

Cuya aproximación numérica es:

<center><math>\displaystyle \int_{1}^{2}\left(-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right)d\rho = -\tfrac{5}{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2 \approx -0.65176 \, m^{3}/s </math></center>

Así pues, atendiendo a los signos, el caudal compensado, entre la velocidad que avanza según <math>\vec{e}_{\theta}</math> y la que va en sentido contrario, queda en sentido -<math>\vec{e}_{\theta}</math>. Dicho resultado es coherente con el análisis sobre el módulo de la velocidad, ya que se aprecia que el área bajo la curva del módulo de <math>u</math> es mayor cuando <math>\rho < \sqrt{\tfrac{8}{5}}</math>. Queda a continuación el dibujo que representa la sección y la velocidad del fluido a través de éste.

[[Archivo:Caudal 67.png|500px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Flujo de Couette entre cilindros - sección theta = 0
clear; close all; clc;
%% Parámetros geométricos y físicos
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
h = 1; % altura (profundidad)

% Velocidades angulares (módulo 1).
% Ejemplo por defecto: interior -> horario (-1), exterior -> antihorario (+1)
wi = +1; % omega interior (rad/s)
we = -1; % omega exterior (rad/s)

%% Construcción de la solución analítica: v_theta(r) = A*r + B/r
% Condiciones: v_theta(Ri) = wi*Ri, v_theta(Re) = we*Re

% Resolvemos para A y B
A = [Ri, 1/Ri; Re, 1/Re] \ [wi*Ri; we*Re]; % sistema 2x2
A = A(1); B = A; % overwrite fix below

% Above line was a mistake: recompute properly
M = [Ri, 1/Ri; Re, 1/Re];
coeff = M \ [wi*Ri; we*Re];
A = coeff(1);
B = coeff(2);

%% Malla en (r,z) para representar la sección theta = 0
Nr = 10; Nz = 10;
r = linspace(Ri,Re,Nr);
z = linspace(0,h,Nz);
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r,z);

% Campo tangencial v_theta
v_theta = A .* R_grid + B ./ R_grid; % magnitud en dirección e_theta

% Convertir a componentes cartesianas (en theta = 0 -> e_theta = [0,1,0])

Ux = zeros(size(v_theta));
Uy = v_theta;
Uz = zeros(size(v_theta));

%% Figura 3D
figure('Color','w','Position',[200 100 900 700]);
hold on; axis equal;
view(35,18);

% Dibujar cilindros (superficies)
nCirc = 150;
[Xi,Yi,Zi] = cylinder(Ri,nCirc); Zi = Zi*h;
surf(Xi,Yi,Zi, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none', 'FaceColor',[0.85 0.8 0.6]);
[Xe,Ye,Ze] = cylinder(Re,nCirc); Ze = Ze*h;
surf(Xe,Ye,Ze, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none', 'FaceColor',[0.85 0.9 0.75]);

% Dibujar la sección theta = 0: es el plano y = 0 (mostramos solo la porción r∈[Ri,Re], z∈[0,h], x>=0)
% En coordenadas cartesianas, sobre theta=0 los puntos tienen (x = r, y = 0).
X_patch = [Ri Re Re Ri]; % x extents
Y_patch = [0 0 0 0]; % y = 0 (plano)
Z_patch = [0 0 h h];
patch(X_patch, Y_patch, Z_patch, 'r','FaceAlpha',0.12,'EdgeColor','r','LineWidth',1.8);

% Resaltar aristas de la sección en rojo
plot3([Ri Re],[0 0],[0 0],'r','LineWidth',2) % borde inferior de la sección
plot3([Ri Re],[0 0],[h h],'r','LineWidth',2) % borde superior
plot3([Ri Ri],[0 0],[0 h],'r','LineWidth',2) % arista interior
plot3([Re Re],[0 0],[0 h],'r','LineWidth',2) % arista exterior

% Dibujar campo de velocidades en el plano theta=0 (posiciones x=r, y=0)
[xq,zq] = meshgrid(r,z);
yq = zeros(size(xq));

% Aquí Ux = 0, Uy = v_theta
quiverScale = 2;
quiver3(xq, yq, zq, Ux, Uy, Uz, quiverScale, 'b', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize',0.5);
title('Sección \theta = 0 del flujo de Couette entre cilindros');
xlim([-0.1, Re+0.5]);
ylim([-Re-0.5, Re+0.5]);
zlim([0 h]);
axis off;

% Mejoras estéticas
camlight; lighting phong;
hold off;}}

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-06T14:30:13Z

Laura Carazo: /* Líneas de corriente del campo \vec{u} */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi)</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de Matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

===Velocidad de las partículas del fluido y análisis de la ecuación===
La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

===Análisis de la solución conocida===

Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se desarrollan ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

===Obtención de <math>a</math>, <math>b</math> y <math>\vec{u}</math>===
Para determinar <math>a</math> y <math>b</math>, de manera que la velocidad lineal del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , por lo que la velocidad lineal de los puntos del cilindro es <math>\rho.\omega_e=2\omega_e</math>. El sentido de giro es contrario al creciente del parámetro <math>\theta</math>, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , por lo que la velocidad lineal de los puntos del cilindro es <math>\rho.\omega_i=1\omega_i</math> . El sentido de giro es el creciente del parámetro <math>\theta</math>, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre <math>a</math>, <math>b</math>, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -2\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar <math>a</math> y <math>b</math> en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.

De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>

A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -2\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -2\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-2\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{4}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{4}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>

Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

===Condición de incompresibilidad===
También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>

La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo velocidades 67.png|500px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear; clc;
% --------------------------
% PARÁMETROS
% --------------------------
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
omega_i = +1; % interior: antihorario
omega_e = -1; % exterior: horario
% --------------------------
% COEFICIENTES A y B
% --------------------------
B = (omega_i - omega_e) * (Ri^2 * Re^2) / (Re^2 - Ri^2);
A = omega_i - B / (Ri^2);
% --------------------------
% MALLA PARA FLECHAS
% --------------------------
Ntheta = 20;
Nr = 15;
thetas = linspace(0, 2*pi, Ntheta+1);
thetas(end) = [];
rhos = linspace(Ri, Re, Nr);
% --------------------------
% FIGURA
% --------------------------
figure('Color',[1 1 1]); hold on;
scale_quiver = 0.7;
for th = thetas

% velocidad tangencial u_theta en cada rho
u_theta = A .* rhos + B ./ rhos;

% componentes cartesianas
U = -u_theta .* sin(th);
V = u_theta .* cos(th);
% posiciones
X = rhos .* cos(th);
Y = rhos .* sin(th);
%Vectores
quiver(X, Y, U, V, scale_quiver, 'LineWidth', 1, ...
'MaxHeadSize', 1.6, 'Color',[0.85 0.45 0]);
end
% --------------------------
% CILINDROS
% --------------------------
tc = linspace(0,2*pi,500);
plot(Ri*cos(tc), Ri*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(tc), Re*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlim([-2.3 2.3]); ylim([-2.3 2.3]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de velocidades');
grid on;
}}

==Líneas de Corriente del campo==
===Campo <math>\vec{v}</math> ostogonal a <math>\vec{u}</math>===
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

===<math>\vec{v}</math> irrotacional===
Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

===Potencial escalar <math>\psi</math>===
El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}\,\vec e_{\theta} </math> y <math>v_{z}\,\vec e_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

===Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>===
Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|500px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<center><math>u(\rho)=-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}</math></center>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math>u(\rho)=-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}</math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

* Cálculo de la derivada:

<center><math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -\frac{5}{3} - \frac{8}{3\rho^{2}}. </math></center>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{8}{3\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<center><math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math></center>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<center><math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -\frac{5}{3}-\frac{8}{3\rho^{2}}=0 \Longrightarrow -5-\frac{8}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{8}{\rho^{2}}=-5 \Longrightarrow \rho^{2}=-\frac{8}{5}, </math></center>

que no tiene solución real.

*Valores en los extremos del intervalo:

<center><math> u(1)=-\frac{5}{3}\cdot 1+\frac{8}{3\cdot 1}=\frac{-5+8}{3}=1, \qquad
u(2)=-\frac{5}{3}\cdot 2+\frac{8}{3\cdot 2}=-\frac{10}{3}+\frac{4}{3}=-\frac{6}{3}=-2. </math></center>

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-2</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<center><math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\frac{5}{3}\rho+\frac{8}{3\rho}=0 \Longrightarrow -5\rho^{2}+8=0 \Longrightarrow 5\rho^{2}=8 \Longrightarrow \rho^{2}=\frac{8}{5} \Longrightarrow \rho=\sqrt{\tfrac{8}{5}}\approx 1{,}2649. </math></center>

(Observación: <math>u(1)=1>0</math> y <math>u(2)=-2<0</math>, por lo que efectivamente existe tal <math>\rho_0\in(1,2)</math> y su valor aproximado es <math>\rho_0\approx1{,}2649.</math>)

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a dos.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Velocidad 67.jpeg|370px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-(5/3)*rho + 8./(3*rho));

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho +\frac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math> \vec e_{\theta} </math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math>:

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e\right) </math></center>

Se deriva con respecto a 𝜌:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec u = \left(-\tfrac{2}{3}\omega_i-\tfrac{4}{3}\omega_e\right)\vec e_{z} </math></center>

Por tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rotgrupo67.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (modulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -1/3*omega_i - 2/3*omega_e;
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;

title('｜∇×u｜ con ｜ω_i｜=｜ω_e｜=1');
axis equal;

%% (Opcional) Dibujar los cilindros
hold on
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Campo Temperaturas 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente flujo 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Finalmente, el cálculo del caudal cuando <math>\theta = 0</math> se abordará integrando el módulo de la velocidad antes calculado y analizado, de tal manera que, como la sección resultante es un cuadrado de área 1 m2, y se supone que la velocidad viene expresada en m/s, dicho resultado es directamente el caudal <math>Q</math>, puesto <math>Q = v\cdot S</math>.

<center><math>\displaystyle
\int_{1}^{2} u(\rho)\,d\rho
=
\int_{1}^{2}\left(-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right)d\rho
=
\left[-\tfrac{5}{6}\rho^{2}+\tfrac{8}{3}\ln\rho\right]_{1}^{2}
=
\left(-\tfrac{5}{6}\cdot 2^{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2\right)
-
\left(-\tfrac{5}{6}\cdot 1^{2}+\tfrac{8}{3}\ln 1\right)
=
-\tfrac{5}{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2.
</math></center>

Cuya aproximación numérica es:

<center><math>\displaystyle \int_{1}^{2}\left(-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right)d\rho = -\tfrac{5}{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2 \approx -0.65176 \, m^{3}/s </math></center>

Así pues, atendiendo a los signos, el caudal compensado, entre la velocidad que avanza según <math>\vec{e}_{\theta}</math> y la que va en sentido contrario, queda en sentido -<math>\vec{e}_{\theta}</math>. Dicho resultado es coherente con el análisis sobre el módulo de la velocidad, ya que se aprecia que el área bajo la curva del módulo de <math>u</math> es mayor cuando <math>\rho < \sqrt{\tfrac{8}{5}}</math>. Queda a continuación el dibujo que representa la sección y la velocidad del fluido a través de éste.

[[Archivo:Caudal 67.png|500px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Flujo de Couette entre cilindros - sección theta = 0
clear; close all; clc;
%% Parámetros geométricos y físicos
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
h = 1; % altura (profundidad)

% Velocidades angulares (módulo 1).
% Ejemplo por defecto: interior -> horario (-1), exterior -> antihorario (+1)
wi = +1; % omega interior (rad/s)
we = -1; % omega exterior (rad/s)

%% Construcción de la solución analítica: v_theta(r) = A*r + B/r
% Condiciones: v_theta(Ri) = wi*Ri, v_theta(Re) = we*Re

% Resolvemos para A y B
A = [Ri, 1/Ri; Re, 1/Re] \ [wi*Ri; we*Re]; % sistema 2x2
A = A(1); B = A; % overwrite fix below

% Above line was a mistake: recompute properly
M = [Ri, 1/Ri; Re, 1/Re];
coeff = M \ [wi*Ri; we*Re];
A = coeff(1);
B = coeff(2);

%% Malla en (r,z) para representar la sección theta = 0
Nr = 10; Nz = 10;
r = linspace(Ri,Re,Nr);
z = linspace(0,h,Nz);
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r,z);

% Campo tangencial v_theta
v_theta = A .* R_grid + B ./ R_grid; % magnitud en dirección e_theta

% Convertir a componentes cartesianas (en theta = 0 -> e_theta = [0,1,0])

Ux = zeros(size(v_theta));
Uy = v_theta;
Uz = zeros(size(v_theta));

%% Figura 3D
figure('Color','w','Position',[200 100 900 700]);
hold on; axis equal;
view(35,18);

% Dibujar cilindros (superficies)
nCirc = 150;
[Xi,Yi,Zi] = cylinder(Ri,nCirc); Zi = Zi*h;
surf(Xi,Yi,Zi, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none', 'FaceColor',[0.85 0.8 0.6]);
[Xe,Ye,Ze] = cylinder(Re,nCirc); Ze = Ze*h;
surf(Xe,Ye,Ze, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none', 'FaceColor',[0.85 0.9 0.75]);

% Dibujar la sección theta = 0: es el plano y = 0 (mostramos solo la porción r∈[Ri,Re], z∈[0,h], x>=0)
% En coordenadas cartesianas, sobre theta=0 los puntos tienen (x = r, y = 0).
X_patch = [Ri Re Re Ri]; % x extents
Y_patch = [0 0 0 0]; % y = 0 (plano)
Z_patch = [0 0 h h];
patch(X_patch, Y_patch, Z_patch, 'r','FaceAlpha',0.12,'EdgeColor','r','LineWidth',1.8);

% Resaltar aristas de la sección en rojo
plot3([Ri Re],[0 0],[0 0],'r','LineWidth',2) % borde inferior de la sección
plot3([Ri Re],[0 0],[h h],'r','LineWidth',2) % borde superior
plot3([Ri Ri],[0 0],[0 h],'r','LineWidth',2) % arista interior
plot3([Re Re],[0 0],[0 h],'r','LineWidth',2) % arista exterior

% Dibujar campo de velocidades en el plano theta=0 (posiciones x=r, y=0)
[xq,zq] = meshgrid(r,z);
yq = zeros(size(xq));

% Aquí Ux = 0, Uy = v_theta
quiverScale = 2;
quiver3(xq, yq, zq, Ux, Uy, Uz, quiverScale, 'b', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize',0.5);
title('Sección \theta = 0 del flujo de Couette entre cilindros');
xlim([-0.1, Re+0.5]);
ylim([-Re-0.5, Re+0.5]);
zlim([0 h]);
axis off;

% Mejoras estéticas
camlight; lighting phong;
hold off;}}

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-06T14:29:43Z

Laura Carazo: /* Caudal circulante en la sección longitudinal */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi)</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de Matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

===Velocidad de las partículas del fluido y análisis de la ecuación===
La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

===Análisis de la solución conocida===

Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se desarrollan ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

===Obtención de <math>a</math>, <math>b</math> y <math>\vec{u}</math>===
Para determinar <math>a</math> y <math>b</math>, de manera que la velocidad lineal del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , por lo que la velocidad lineal de los puntos del cilindro es <math>\rho.\omega_e=2\omega_e</math>. El sentido de giro es contrario al creciente del parámetro <math>\theta</math>, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , por lo que la velocidad lineal de los puntos del cilindro es <math>\rho.\omega_i=1\omega_i</math> . El sentido de giro es el creciente del parámetro <math>\theta</math>, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre <math>a</math>, <math>b</math>, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -2\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar <math>a</math> y <math>b</math> en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.

De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>

A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -2\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -2\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-2\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{4}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{4}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>

Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

===Condición de incompresibilidad===
También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>

La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo velocidades 67.png|500px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear; clc;
% --------------------------
% PARÁMETROS
% --------------------------
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
omega_i = +1; % interior: antihorario
omega_e = -1; % exterior: horario
% --------------------------
% COEFICIENTES A y B
% --------------------------
B = (omega_i - omega_e) * (Ri^2 * Re^2) / (Re^2 - Ri^2);
A = omega_i - B / (Ri^2);
% --------------------------
% MALLA PARA FLECHAS
% --------------------------
Ntheta = 20;
Nr = 15;
thetas = linspace(0, 2*pi, Ntheta+1);
thetas(end) = [];
rhos = linspace(Ri, Re, Nr);
% --------------------------
% FIGURA
% --------------------------
figure('Color',[1 1 1]); hold on;
scale_quiver = 0.7;
for th = thetas

% velocidad tangencial u_theta en cada rho
u_theta = A .* rhos + B ./ rhos;

% componentes cartesianas
U = -u_theta .* sin(th);
V = u_theta .* cos(th);
% posiciones
X = rhos .* cos(th);
Y = rhos .* sin(th);
%Vectores
quiver(X, Y, U, V, scale_quiver, 'LineWidth', 1, ...
'MaxHeadSize', 1.6, 'Color',[0.85 0.45 0]);
end
% --------------------------
% CILINDROS
% --------------------------
tc = linspace(0,2*pi,500);
plot(Ri*cos(tc), Ri*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(tc), Re*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlim([-2.3 2.3]); ylim([-2.3 2.3]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de velocidades');
grid on;
}}

==Líneas de Corriente del campo==
===Campo <math>\vec{v}</math> ostogonal a <math>\vec{u}</math>===
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

===<math>\vec{v}</math> irrotacional===
Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

===Potencial escalar <math>\psi</math>===
El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}\,\vec e_{\theta} </math> y <math>v_{z}\,\vec e_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

===Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>===
Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<center><math>u(\rho)=-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}</math></center>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math>u(\rho)=-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}</math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

* Cálculo de la derivada:

<center><math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -\frac{5}{3} - \frac{8}{3\rho^{2}}. </math></center>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{8}{3\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<center><math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math></center>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<center><math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -\frac{5}{3}-\frac{8}{3\rho^{2}}=0 \Longrightarrow -5-\frac{8}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{8}{\rho^{2}}=-5 \Longrightarrow \rho^{2}=-\frac{8}{5}, </math></center>

que no tiene solución real.

*Valores en los extremos del intervalo:

<center><math> u(1)=-\frac{5}{3}\cdot 1+\frac{8}{3\cdot 1}=\frac{-5+8}{3}=1, \qquad
u(2)=-\frac{5}{3}\cdot 2+\frac{8}{3\cdot 2}=-\frac{10}{3}+\frac{4}{3}=-\frac{6}{3}=-2. </math></center>

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-2</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<center><math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\frac{5}{3}\rho+\frac{8}{3\rho}=0 \Longrightarrow -5\rho^{2}+8=0 \Longrightarrow 5\rho^{2}=8 \Longrightarrow \rho^{2}=\frac{8}{5} \Longrightarrow \rho=\sqrt{\tfrac{8}{5}}\approx 1{,}2649. </math></center>

(Observación: <math>u(1)=1>0</math> y <math>u(2)=-2<0</math>, por lo que efectivamente existe tal <math>\rho_0\in(1,2)</math> y su valor aproximado es <math>\rho_0\approx1{,}2649.</math>)

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a dos.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Velocidad 67.jpeg|370px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-(5/3)*rho + 8./(3*rho));

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho +\frac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math> \vec e_{\theta} </math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math>:

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e\right) </math></center>

Se deriva con respecto a 𝜌:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec u = \left(-\tfrac{2}{3}\omega_i-\tfrac{4}{3}\omega_e\right)\vec e_{z} </math></center>

Por tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rotgrupo67.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (modulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -1/3*omega_i - 2/3*omega_e;
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;

title('｜∇×u｜ con ｜ω_i｜=｜ω_e｜=1');
axis equal;

%% (Opcional) Dibujar los cilindros
hold on
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Campo Temperaturas 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente flujo 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Finalmente, el cálculo del caudal cuando <math>\theta = 0</math> se abordará integrando el módulo de la velocidad antes calculado y analizado, de tal manera que, como la sección resultante es un cuadrado de área 1 m2, y se supone que la velocidad viene expresada en m/s, dicho resultado es directamente el caudal <math>Q</math>, puesto <math>Q = v\cdot S</math>.

<center><math>\displaystyle
\int_{1}^{2} u(\rho)\,d\rho
=
\int_{1}^{2}\left(-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right)d\rho
=
\left[-\tfrac{5}{6}\rho^{2}+\tfrac{8}{3}\ln\rho\right]_{1}^{2}
=
\left(-\tfrac{5}{6}\cdot 2^{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2\right)
-
\left(-\tfrac{5}{6}\cdot 1^{2}+\tfrac{8}{3}\ln 1\right)
=
-\tfrac{5}{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2.
</math></center>

Cuya aproximación numérica es:

<center><math>\displaystyle \int_{1}^{2}\left(-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right)d\rho = -\tfrac{5}{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2 \approx -0.65176 \, m^{3}/s </math></center>

Así pues, atendiendo a los signos, el caudal compensado, entre la velocidad que avanza según <math>\vec{e}_{\theta}</math> y la que va en sentido contrario, queda en sentido -<math>\vec{e}_{\theta}</math>. Dicho resultado es coherente con el análisis sobre el módulo de la velocidad, ya que se aprecia que el área bajo la curva del módulo de <math>u</math> es mayor cuando <math>\rho < \sqrt{\tfrac{8}{5}}</math>. Queda a continuación el dibujo que representa la sección y la velocidad del fluido a través de éste.

[[Archivo:Caudal 67.png|500px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Flujo de Couette entre cilindros - sección theta = 0
clear; close all; clc;
%% Parámetros geométricos y físicos
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
h = 1; % altura (profundidad)

% Velocidades angulares (módulo 1).
% Ejemplo por defecto: interior -> horario (-1), exterior -> antihorario (+1)
wi = +1; % omega interior (rad/s)
we = -1; % omega exterior (rad/s)

%% Construcción de la solución analítica: v_theta(r) = A*r + B/r
% Condiciones: v_theta(Ri) = wi*Ri, v_theta(Re) = we*Re

% Resolvemos para A y B
A = [Ri, 1/Ri; Re, 1/Re] \ [wi*Ri; we*Re]; % sistema 2x2
A = A(1); B = A; % overwrite fix below

% Above line was a mistake: recompute properly
M = [Ri, 1/Ri; Re, 1/Re];
coeff = M \ [wi*Ri; we*Re];
A = coeff(1);
B = coeff(2);

%% Malla en (r,z) para representar la sección theta = 0
Nr = 10; Nz = 10;
r = linspace(Ri,Re,Nr);
z = linspace(0,h,Nz);
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r,z);

% Campo tangencial v_theta
v_theta = A .* R_grid + B ./ R_grid; % magnitud en dirección e_theta

% Convertir a componentes cartesianas (en theta = 0 -> e_theta = [0,1,0])

Ux = zeros(size(v_theta));
Uy = v_theta;
Uz = zeros(size(v_theta));

%% Figura 3D
figure('Color','w','Position',[200 100 900 700]);
hold on; axis equal;
view(35,18);

% Dibujar cilindros (superficies)
nCirc = 150;
[Xi,Yi,Zi] = cylinder(Ri,nCirc); Zi = Zi*h;
surf(Xi,Yi,Zi, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none', 'FaceColor',[0.85 0.8 0.6]);
[Xe,Ye,Ze] = cylinder(Re,nCirc); Ze = Ze*h;
surf(Xe,Ye,Ze, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none', 'FaceColor',[0.85 0.9 0.75]);

% Dibujar la sección theta = 0: es el plano y = 0 (mostramos solo la porción r∈[Ri,Re], z∈[0,h], x>=0)
% En coordenadas cartesianas, sobre theta=0 los puntos tienen (x = r, y = 0).
X_patch = [Ri Re Re Ri]; % x extents
Y_patch = [0 0 0 0]; % y = 0 (plano)
Z_patch = [0 0 h h];
patch(X_patch, Y_patch, Z_patch, 'r','FaceAlpha',0.12,'EdgeColor','r','LineWidth',1.8);

% Resaltar aristas de la sección en rojo
plot3([Ri Re],[0 0],[0 0],'r','LineWidth',2) % borde inferior de la sección
plot3([Ri Re],[0 0],[h h],'r','LineWidth',2) % borde superior
plot3([Ri Ri],[0 0],[0 h],'r','LineWidth',2) % arista interior
plot3([Re Re],[0 0],[0 h],'r','LineWidth',2) % arista exterior

% Dibujar campo de velocidades en el plano theta=0 (posiciones x=r, y=0)
[xq,zq] = meshgrid(r,z);
yq = zeros(size(xq));

% Aquí Ux = 0, Uy = v_theta
quiverScale = 2;
quiver3(xq, yq, zq, Ux, Uy, Uz, quiverScale, 'b', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize',0.5);
title('Sección \theta = 0 del flujo de Couette entre cilindros');
xlim([-0.1, Re+0.5]);
ylim([-Re-0.5, Re+0.5]);
zlim([0 h]);
axis off;

% Mejoras estéticas
camlight; lighting phong;
hold off;}}

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-06T14:28:40Z

Laura Carazo: /* Caudal circulante en la sección longitudinal */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi)</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de Matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

===Velocidad de las partículas del fluido y análisis de la ecuación===
La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

===Análisis de la solución conocida===

Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se desarrollan ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

===Obtención de <math>a</math>, <math>b</math> y <math>\vec{u}</math>===
Para determinar <math>a</math> y <math>b</math>, de manera que la velocidad lineal del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , por lo que la velocidad lineal de los puntos del cilindro es <math>\rho.\omega_e=2\omega_e</math>. El sentido de giro es contrario al creciente del parámetro <math>\theta</math>, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , por lo que la velocidad lineal de los puntos del cilindro es <math>\rho.\omega_i=1\omega_i</math> . El sentido de giro es el creciente del parámetro <math>\theta</math>, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre <math>a</math>, <math>b</math>, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -2\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar <math>a</math> y <math>b</math> en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.

De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>

A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -2\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -2\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-2\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{4}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{4}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>

Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

===Condición de incompresibilidad===
También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>

La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo velocidades 67.png|500px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear; clc;
% --------------------------
% PARÁMETROS
% --------------------------
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
omega_i = +1; % interior: antihorario
omega_e = -1; % exterior: horario
% --------------------------
% COEFICIENTES A y B
% --------------------------
B = (omega_i - omega_e) * (Ri^2 * Re^2) / (Re^2 - Ri^2);
A = omega_i - B / (Ri^2);
% --------------------------
% MALLA PARA FLECHAS
% --------------------------
Ntheta = 20;
Nr = 15;
thetas = linspace(0, 2*pi, Ntheta+1);
thetas(end) = [];
rhos = linspace(Ri, Re, Nr);
% --------------------------
% FIGURA
% --------------------------
figure('Color',[1 1 1]); hold on;
scale_quiver = 0.7;
for th = thetas

% velocidad tangencial u_theta en cada rho
u_theta = A .* rhos + B ./ rhos;

% componentes cartesianas
U = -u_theta .* sin(th);
V = u_theta .* cos(th);
% posiciones
X = rhos .* cos(th);
Y = rhos .* sin(th);
%Vectores
quiver(X, Y, U, V, scale_quiver, 'LineWidth', 1, ...
'MaxHeadSize', 1.6, 'Color',[0.85 0.45 0]);
end
% --------------------------
% CILINDROS
% --------------------------
tc = linspace(0,2*pi,500);
plot(Ri*cos(tc), Ri*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(tc), Re*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlim([-2.3 2.3]); ylim([-2.3 2.3]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de velocidades');
grid on;
}}

==Líneas de Corriente del campo==
===Campo <math>\vec{v}</math> ostogonal a <math>\vec{u}</math>===
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

===<math>\vec{v}</math> irrotacional===
Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

===Potencial escalar <math>\psi</math>===
El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}\,\vec e_{\theta} </math> y <math>v_{z}\,\vec e_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

===Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>===
Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<center><math>u(\rho)=-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}</math></center>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math>u(\rho)=-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}</math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

* Cálculo de la derivada:

<center><math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -\frac{5}{3} - \frac{8}{3\rho^{2}}. </math></center>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{8}{3\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<center><math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math></center>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<center><math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -\frac{5}{3}-\frac{8}{3\rho^{2}}=0 \Longrightarrow -5-\frac{8}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{8}{\rho^{2}}=-5 \Longrightarrow \rho^{2}=-\frac{8}{5}, </math></center>

que no tiene solución real.

*Valores en los extremos del intervalo:

<center><math> u(1)=-\frac{5}{3}\cdot 1+\frac{8}{3\cdot 1}=\frac{-5+8}{3}=1, \qquad
u(2)=-\frac{5}{3}\cdot 2+\frac{8}{3\cdot 2}=-\frac{10}{3}+\frac{4}{3}=-\frac{6}{3}=-2. </math></center>

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-2</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<center><math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\frac{5}{3}\rho+\frac{8}{3\rho}=0 \Longrightarrow -5\rho^{2}+8=0 \Longrightarrow 5\rho^{2}=8 \Longrightarrow \rho^{2}=\frac{8}{5} \Longrightarrow \rho=\sqrt{\tfrac{8}{5}}\approx 1{,}2649. </math></center>

(Observación: <math>u(1)=1>0</math> y <math>u(2)=-2<0</math>, por lo que efectivamente existe tal <math>\rho_0\in(1,2)</math> y su valor aproximado es <math>\rho_0\approx1{,}2649.</math>)

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a dos.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Velocidad 67.jpeg|370px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-(5/3)*rho + 8./(3*rho));

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho +\frac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math> \vec e_{\theta} </math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math>:

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e\right) </math></center>

Se deriva con respecto a 𝜌:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec u = \left(-\tfrac{2}{3}\omega_i-\tfrac{4}{3}\omega_e\right)\vec e_{z} </math></center>

Por tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rotgrupo67.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (modulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -1/3*omega_i - 2/3*omega_e;
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;

title('｜∇×u｜ con ｜ω_i｜=｜ω_e｜=1');
axis equal;

%% (Opcional) Dibujar los cilindros
hold on
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Campo Temperaturas 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente flujo 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Finalmente, el cálculo del caudal cuando <math>\theta = 0</math> se abordará integrando el módulo de la velocidad antes calculado y analizado, de tal manera que, como la sección resultante es un cuadrado de área 1 m2, y se supone que la velocidad viene expresada en m/s, dicho resultado es directamente el caudal <math>Q</math>, puesto <math>Q = v\cdot S</math>.

<center><math>\displaystyle
\int_{1}^{2} u(\rho)\,d\rho
=
\int_{1}^{2}\left(-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right)d\rho
=
\left[-\tfrac{5}{6}\rho^{2}+\tfrac{8}{3}\ln\rho\right]_{1}^{2}
=
\left(-\tfrac{5}{6}\cdot 2^{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2\right)
-
\left(-\tfrac{5}{6}\cdot 1^{2}+\tfrac{8}{3}\ln 1\right)
=
-\tfrac{5}{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2.
</math></center>

Cuya aproximación numérica es:

<center><math>\displaystyle \int_{1}^{2}\left(-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right)d\rho = -\tfrac{5}{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2 \approx -0.65176 \, m^{3}/s </math></center>

Así pues, atendiendo a los signos, el caudal compensado, entre la velocidad que avanza según <math>\vec{e}_{\theta}</math> y la que va en sentido contrario, queda en sentido -<math>\vec{e}_{\theta}</math>. Dicho resultado es coherente con el análisis sobre el módulo de la velocidad, ya que se aprecia que el área bajo la curva del módulo de <math>u</math> es mayor cuando <math>\rho < \sqrt{\tfrac{8}{5}}</math>. Queda a continuación el dibujo que representa la sección y la velocidad del fluido a través de éste.

[[Archivo:Caudal 67.png|450px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Flujo de Couette entre cilindros - sección theta = 0
clear; close all; clc;
%% Parámetros geométricos y físicos
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
h = 1; % altura (profundidad)

% Velocidades angulares (módulo 1).
% Ejemplo por defecto: interior -> horario (-1), exterior -> antihorario (+1)
wi = +1; % omega interior (rad/s)
we = -1; % omega exterior (rad/s)

%% Construcción de la solución analítica: v_theta(r) = A*r + B/r
% Condiciones: v_theta(Ri) = wi*Ri, v_theta(Re) = we*Re

% Resolvemos para A y B
A = [Ri, 1/Ri; Re, 1/Re] \ [wi*Ri; we*Re]; % sistema 2x2
A = A(1); B = A; % overwrite fix below

% Above line was a mistake: recompute properly
M = [Ri, 1/Ri; Re, 1/Re];
coeff = M \ [wi*Ri; we*Re];
A = coeff(1);
B = coeff(2);

%% Malla en (r,z) para representar la sección theta = 0
Nr = 10; Nz = 10;
r = linspace(Ri,Re,Nr);
z = linspace(0,h,Nz);
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r,z);

% Campo tangencial v_theta
v_theta = A .* R_grid + B ./ R_grid; % magnitud en dirección e_theta

% Convertir a componentes cartesianas (en theta = 0 -> e_theta = [0,1,0])

Ux = zeros(size(v_theta));
Uy = v_theta;
Uz = zeros(size(v_theta));

%% Figura 3D
figure('Color','w','Position',[200 100 900 700]);
hold on; axis equal;
view(35,18);

% Dibujar cilindros (superficies)
nCirc = 150;
[Xi,Yi,Zi] = cylinder(Ri,nCirc); Zi = Zi*h;
surf(Xi,Yi,Zi, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none', 'FaceColor',[0.85 0.8 0.6]);
[Xe,Ye,Ze] = cylinder(Re,nCirc); Ze = Ze*h;
surf(Xe,Ye,Ze, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none', 'FaceColor',[0.85 0.9 0.75]);

% Dibujar la sección theta = 0: es el plano y = 0 (mostramos solo la porción r∈[Ri,Re], z∈[0,h], x>=0)
% En coordenadas cartesianas, sobre theta=0 los puntos tienen (x = r, y = 0).
X_patch = [Ri Re Re Ri]; % x extents
Y_patch = [0 0 0 0]; % y = 0 (plano)
Z_patch = [0 0 h h];
patch(X_patch, Y_patch, Z_patch, 'r','FaceAlpha',0.12,'EdgeColor','r','LineWidth',1.8);

% Resaltar aristas de la sección en rojo
plot3([Ri Re],[0 0],[0 0],'r','LineWidth',2) % borde inferior de la sección
plot3([Ri Re],[0 0],[h h],'r','LineWidth',2) % borde superior
plot3([Ri Ri],[0 0],[0 h],'r','LineWidth',2) % arista interior
plot3([Re Re],[0 0],[0 h],'r','LineWidth',2) % arista exterior

% Dibujar campo de velocidades en el plano theta=0 (posiciones x=r, y=0)
[xq,zq] = meshgrid(r,z);
yq = zeros(size(xq));

% Aquí Ux = 0, Uy = v_theta
quiverScale = 2;
quiver3(xq, yq, zq, Ux, Uy, Uz, quiverScale, 'b', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize',0.5);
title('Sección \theta = 0 del flujo de Couette entre cilindros');
xlim([-0.1, Re+0.5]);
ylim([-Re-0.5, Re+0.5]);
zlim([0 h]);
axis off;

% Mejoras estéticas
camlight; lighting phong;
hold off;}}

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-06T14:28:06Z

Laura Carazo: /* Caudal circulante en la sección longitudinal */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi)</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de Matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

===Velocidad de las partículas del fluido y análisis de la ecuación===
La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

===Análisis de la solución conocida===

Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se desarrollan ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

===Obtención de <math>a</math>, <math>b</math> y <math>\vec{u}</math>===
Para determinar <math>a</math> y <math>b</math>, de manera que la velocidad lineal del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , por lo que la velocidad lineal de los puntos del cilindro es <math>\rho.\omega_e=2\omega_e</math>. El sentido de giro es contrario al creciente del parámetro <math>\theta</math>, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , por lo que la velocidad lineal de los puntos del cilindro es <math>\rho.\omega_i=1\omega_i</math> . El sentido de giro es el creciente del parámetro <math>\theta</math>, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre <math>a</math>, <math>b</math>, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -2\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar <math>a</math> y <math>b</math> en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.

De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>

A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -2\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -2\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-2\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{4}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{4}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>

Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

===Condición de incompresibilidad===
También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>

La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo velocidades 67.png|500px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear; clc;
% --------------------------
% PARÁMETROS
% --------------------------
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
omega_i = +1; % interior: antihorario
omega_e = -1; % exterior: horario
% --------------------------
% COEFICIENTES A y B
% --------------------------
B = (omega_i - omega_e) * (Ri^2 * Re^2) / (Re^2 - Ri^2);
A = omega_i - B / (Ri^2);
% --------------------------
% MALLA PARA FLECHAS
% --------------------------
Ntheta = 20;
Nr = 15;
thetas = linspace(0, 2*pi, Ntheta+1);
thetas(end) = [];
rhos = linspace(Ri, Re, Nr);
% --------------------------
% FIGURA
% --------------------------
figure('Color',[1 1 1]); hold on;
scale_quiver = 0.7;
for th = thetas

% velocidad tangencial u_theta en cada rho
u_theta = A .* rhos + B ./ rhos;

% componentes cartesianas
U = -u_theta .* sin(th);
V = u_theta .* cos(th);
% posiciones
X = rhos .* cos(th);
Y = rhos .* sin(th);
%Vectores
quiver(X, Y, U, V, scale_quiver, 'LineWidth', 1, ...
'MaxHeadSize', 1.6, 'Color',[0.85 0.45 0]);
end
% --------------------------
% CILINDROS
% --------------------------
tc = linspace(0,2*pi,500);
plot(Ri*cos(tc), Ri*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(tc), Re*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlim([-2.3 2.3]); ylim([-2.3 2.3]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de velocidades');
grid on;
}}

==Líneas de Corriente del campo==
===Campo <math>\vec{v}</math> ostogonal a <math>\vec{u}</math>===
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

===<math>\vec{v}</math> irrotacional===
Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

===Potencial escalar <math>\psi</math>===
El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}\,\vec e_{\theta} </math> y <math>v_{z}\,\vec e_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

===Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>===
Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<center><math>u(\rho)=-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}</math></center>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math>u(\rho)=-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}</math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

* Cálculo de la derivada:

<center><math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -\frac{5}{3} - \frac{8}{3\rho^{2}}. </math></center>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{8}{3\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<center><math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math></center>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<center><math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -\frac{5}{3}-\frac{8}{3\rho^{2}}=0 \Longrightarrow -5-\frac{8}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{8}{\rho^{2}}=-5 \Longrightarrow \rho^{2}=-\frac{8}{5}, </math></center>

que no tiene solución real.

*Valores en los extremos del intervalo:

<center><math> u(1)=-\frac{5}{3}\cdot 1+\frac{8}{3\cdot 1}=\frac{-5+8}{3}=1, \qquad
u(2)=-\frac{5}{3}\cdot 2+\frac{8}{3\cdot 2}=-\frac{10}{3}+\frac{4}{3}=-\frac{6}{3}=-2. </math></center>

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-2</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<center><math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\frac{5}{3}\rho+\frac{8}{3\rho}=0 \Longrightarrow -5\rho^{2}+8=0 \Longrightarrow 5\rho^{2}=8 \Longrightarrow \rho^{2}=\frac{8}{5} \Longrightarrow \rho=\sqrt{\tfrac{8}{5}}\approx 1{,}2649. </math></center>

(Observación: <math>u(1)=1>0</math> y <math>u(2)=-2<0</math>, por lo que efectivamente existe tal <math>\rho_0\in(1,2)</math> y su valor aproximado es <math>\rho_0\approx1{,}2649.</math>)

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a dos.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Velocidad 67.jpeg|370px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-(5/3)*rho + 8./(3*rho));

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho +\frac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math> \vec e_{\theta} </math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math>:

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e\right) </math></center>

Se deriva con respecto a 𝜌:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec u = \left(-\tfrac{2}{3}\omega_i-\tfrac{4}{3}\omega_e\right)\vec e_{z} </math></center>

Por tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rotgrupo67.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (modulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -1/3*omega_i - 2/3*omega_e;
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;

title('｜∇×u｜ con ｜ω_i｜=｜ω_e｜=1');
axis equal;

%% (Opcional) Dibujar los cilindros
hold on
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Campo Temperaturas 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente flujo 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Finalmente, el cálculo del caudal cuando <math>\theta = 0</math> se abordará integrando el módulo de la velocidad antes calculado y analizado, de tal manera que, como la sección resultante es un cuadrado de área 1 m2, y se supone que la velocidad viene expresada en m/s, dicho resultado es directamente el caudal <math>Q</math>, puesto <math>Q = v\cdot S</math>.

<center><math>\displaystyle
\int_{1}^{2} u(\rho)\,d\rho
=
\int_{1}^{2}\left(-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right)d\rho
=
\left[-\tfrac{5}{6}\rho^{2}+\tfrac{8}{3}\ln\rho\right]_{1}^{2}
=
\left(-\tfrac{5}{6}\cdot 2^{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2\right)
-
\left(-\tfrac{5}{6}\cdot 1^{2}+\tfrac{8}{3}\ln 1\right)
=
-\tfrac{5}{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2.
</math></center>

Cuya aproximación numérica es:

<center><math>\displaystyle \int_{1}^{2}\left(-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right)d\rho = -\tfrac{5}{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2 \approx -0.65176 \, m^{3}/s </math></center>

Así pues, atendiendo a los signos, el caudal compensado, entre la velocidad que avanza según <math>\vec{e}_{\theta}</math> y la que va en sentido contrario, queda en sentido -<math>\vec{e}_{\theta}</math>. Dicho resultado es coherente con el análisis sobre el módulo de la velocidad, ya que se aprecia que el área bajo la curva del módulo de <math>u</math> es mayor cuando <math>\rho < \sqrt{\tfrac{8}{5}}</math>. Queda a continuación el dibujo que representa la sección y la velocidad del fluido a través de éste.

[[Archivo:Caudal 67.png|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Flujo de Couette entre cilindros - sección theta = 0
clear; close all; clc;
%% Parámetros geométricos y físicos
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
h = 1; % altura (profundidad)

% Velocidades angulares (módulo 1).
% Ejemplo por defecto: interior -> horario (-1), exterior -> antihorario (+1)
wi = +1; % omega interior (rad/s)
we = -1; % omega exterior (rad/s)

%% Construcción de la solución analítica: v_theta(r) = A*r + B/r
% Condiciones: v_theta(Ri) = wi*Ri, v_theta(Re) = we*Re

% Resolvemos para A y B
A = [Ri, 1/Ri; Re, 1/Re] \ [wi*Ri; we*Re]; % sistema 2x2
A = A(1); B = A; % overwrite fix below

% Above line was a mistake: recompute properly
M = [Ri, 1/Ri; Re, 1/Re];
coeff = M \ [wi*Ri; we*Re];
A = coeff(1);
B = coeff(2);

%% Malla en (r,z) para representar la sección theta = 0
Nr = 10; Nz = 10;
r = linspace(Ri,Re,Nr);
z = linspace(0,h,Nz);
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r,z);

% Campo tangencial v_theta
v_theta = A .* R_grid + B ./ R_grid; % magnitud en dirección e_theta

% Convertir a componentes cartesianas (en theta = 0 -> e_theta = [0,1,0])

Ux = zeros(size(v_theta));
Uy = v_theta;
Uz = zeros(size(v_theta));

%% Figura 3D
figure('Color','w','Position',[200 100 900 700]);
hold on; axis equal;
view(35,18);

% Dibujar cilindros (superficies)
nCirc = 150;
[Xi,Yi,Zi] = cylinder(Ri,nCirc); Zi = Zi*h;
surf(Xi,Yi,Zi, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none', 'FaceColor',[0.85 0.8 0.6]);
[Xe,Ye,Ze] = cylinder(Re,nCirc); Ze = Ze*h;
surf(Xe,Ye,Ze, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none', 'FaceColor',[0.85 0.9 0.75]);

% Dibujar la sección theta = 0: es el plano y = 0 (mostramos solo la porción r∈[Ri,Re], z∈[0,h], x>=0)
% En coordenadas cartesianas, sobre theta=0 los puntos tienen (x = r, y = 0).
X_patch = [Ri Re Re Ri]; % x extents
Y_patch = [0 0 0 0]; % y = 0 (plano)
Z_patch = [0 0 h h];
patch(X_patch, Y_patch, Z_patch, 'r','FaceAlpha',0.12,'EdgeColor','r','LineWidth',1.8);

% Resaltar aristas de la sección en rojo
plot3([Ri Re],[0 0],[0 0],'r','LineWidth',2) % borde inferior de la sección
plot3([Ri Re],[0 0],[h h],'r','LineWidth',2) % borde superior
plot3([Ri Ri],[0 0],[0 h],'r','LineWidth',2) % arista interior
plot3([Re Re],[0 0],[0 h],'r','LineWidth',2) % arista exterior

% Dibujar campo de velocidades en el plano theta=0 (posiciones x=r, y=0)
[xq,zq] = meshgrid(r,z);
yq = zeros(size(xq));

% Aquí Ux = 0, Uy = v_theta
quiverScale = 2;
quiver3(xq, yq, zq, Ux, Uy, Uz, quiverScale, 'b', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize',0.5);
title('Sección \theta = 0 del flujo de Couette entre cilindros');
xlim([-0.1, Re+0.5]);
ylim([-Re-0.5, Re+0.5]);
zlim([0 h]);
axis off;

% Mejoras estéticas
camlight; lighting phong;
hold off;}}

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Caudal 67.png

2025-12-06T14:27:29Z

Laura Carazo:

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-06T14:23:33Z

Laura Carazo: /* Caudal circulante en la sección longitudinal */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi)</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de Matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

===Velocidad de las partículas del fluido y análisis de la ecuación===
La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

===Análisis de la solución conocida===

Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se desarrollan ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

===Obtención de <math>a</math>, <math>b</math> y <math>\vec{u}</math>===
Para determinar <math>a</math> y <math>b</math>, de manera que la velocidad lineal del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , por lo que la velocidad lineal de los puntos del cilindro es <math>\rho.\omega_e=2\omega_e</math>. El sentido de giro es contrario al creciente del parámetro <math>\theta</math>, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , por lo que la velocidad lineal de los puntos del cilindro es <math>\rho.\omega_i=1\omega_i</math> . El sentido de giro es el creciente del parámetro <math>\theta</math>, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre <math>a</math>, <math>b</math>, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -2\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar <math>a</math> y <math>b</math> en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.

De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>

A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -2\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -2\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-2\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{4}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{4}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>

Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

===Condición de incompresibilidad===
También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>

La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo velocidades 67.png|500px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear; clc;
% --------------------------
% PARÁMETROS
% --------------------------
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
omega_i = +1; % interior: antihorario
omega_e = -1; % exterior: horario
% --------------------------
% COEFICIENTES A y B
% --------------------------
B = (omega_i - omega_e) * (Ri^2 * Re^2) / (Re^2 - Ri^2);
A = omega_i - B / (Ri^2);
% --------------------------
% MALLA PARA FLECHAS
% --------------------------
Ntheta = 20;
Nr = 15;
thetas = linspace(0, 2*pi, Ntheta+1);
thetas(end) = [];
rhos = linspace(Ri, Re, Nr);
% --------------------------
% FIGURA
% --------------------------
figure('Color',[1 1 1]); hold on;
scale_quiver = 0.7;
for th = thetas

% velocidad tangencial u_theta en cada rho
u_theta = A .* rhos + B ./ rhos;

% componentes cartesianas
U = -u_theta .* sin(th);
V = u_theta .* cos(th);
% posiciones
X = rhos .* cos(th);
Y = rhos .* sin(th);
%Vectores
quiver(X, Y, U, V, scale_quiver, 'LineWidth', 1, ...
'MaxHeadSize', 1.6, 'Color',[0.85 0.45 0]);
end
% --------------------------
% CILINDROS
% --------------------------
tc = linspace(0,2*pi,500);
plot(Ri*cos(tc), Ri*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(tc), Re*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlim([-2.3 2.3]); ylim([-2.3 2.3]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de velocidades');
grid on;
}}

==Líneas de Corriente del campo==
===Campo <math>\vec{v}</math> ostogonal a <math>\vec{u}</math>===
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

===<math>\vec{v}</math> irrotacional===
Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

===Potencial escalar <math>\psi</math>===
El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}\,\vec e_{\theta} </math> y <math>v_{z}\,\vec e_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

===Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>===
Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<center><math>u(\rho)=-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}</math></center>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math>u(\rho)=-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}</math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

* Cálculo de la derivada:

<center><math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -\frac{5}{3} - \frac{8}{3\rho^{2}}. </math></center>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{8}{3\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<center><math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math></center>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<center><math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -\frac{5}{3}-\frac{8}{3\rho^{2}}=0 \Longrightarrow -5-\frac{8}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{8}{\rho^{2}}=-5 \Longrightarrow \rho^{2}=-\frac{8}{5}, </math></center>

que no tiene solución real.

*Valores en los extremos del intervalo:

<center><math> u(1)=-\frac{5}{3}\cdot 1+\frac{8}{3\cdot 1}=\frac{-5+8}{3}=1, \qquad
u(2)=-\frac{5}{3}\cdot 2+\frac{8}{3\cdot 2}=-\frac{10}{3}+\frac{4}{3}=-\frac{6}{3}=-2. </math></center>

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-2</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<center><math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\frac{5}{3}\rho+\frac{8}{3\rho}=0 \Longrightarrow -5\rho^{2}+8=0 \Longrightarrow 5\rho^{2}=8 \Longrightarrow \rho^{2}=\frac{8}{5} \Longrightarrow \rho=\sqrt{\tfrac{8}{5}}\approx 1{,}2649. </math></center>

(Observación: <math>u(1)=1>0</math> y <math>u(2)=-2<0</math>, por lo que efectivamente existe tal <math>\rho_0\in(1,2)</math> y su valor aproximado es <math>\rho_0\approx1{,}2649.</math>)

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a dos.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Velocidad 67.jpeg|370px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-(5/3)*rho + 8./(3*rho));

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho +\frac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math> \vec e_{\theta} </math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math>:

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e\right) </math></center>

Se deriva con respecto a 𝜌:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec u = \left(-\tfrac{2}{3}\omega_i-\tfrac{4}{3}\omega_e\right)\vec e_{z} </math></center>

Por tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rotgrupo67.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (modulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -1/3*omega_i - 2/3*omega_e;
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;

title('｜∇×u｜ con ｜ω_i｜=｜ω_e｜=1');
axis equal;

%% (Opcional) Dibujar los cilindros
hold on
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Campo Temperaturas 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente flujo 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Finalmente, el cálculo del caudal cuando <math>\theta = 0</math> se abordará integrando el módulo de la velocidad antes calculado y analizado, de tal manera que, como la sección resultante es un cuadrado de área 1 m2, y se supone que la velocidad viene expresada en m/s, dicho resultado es directamente el caudal <math>Q</math>, puesto <math>Q = v\cdot S</math>.

<center><math>\displaystyle
\int_{1}^{2} u(\rho)\,d\rho
=
\int_{1}^{2}\left(-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right)d\rho
=
\left[-\tfrac{5}{6}\rho^{2}+\tfrac{8}{3}\ln\rho\right]_{1}^{2}
=
\left(-\tfrac{5}{6}\cdot 2^{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2\right)
-
\left(-\tfrac{5}{6}\cdot 1^{2}+\tfrac{8}{3}\ln 1\right)
=
-\tfrac{5}{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2.
</math></center>

Cuya aproximación numérica es:

<center><math>\displaystyle \int_{1}^{2}\left(-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right)d\rho = -\tfrac{5}{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2 \approx -0.65176 \, m^{3}/s </math></center>

Así pues, atendiendo a los signos, el caudal compensado, entre la velocidad que avanza según <math>\vec{e}_{\theta}</math> y la que va en sentido contrario, queda en sentido -<math>\vec{e}_{\theta}</math>. Dicho resultado es coherente con el análisis sobre el módulo de la velocidad, ya que se aprecia que el área bajo la curva del módulo de <math>u</math> es mayor cuando <math>\rho < \sqrt{\tfrac{8}{5}}</math>. Queda a continuación el dibujo que representa la sección y la velocidad del fluido a través de éste.

[[Archivo:Caudal flujo couette 67.png|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Flujo de Couette entre cilindros - sección theta = 0
clear; close all; clc;
%% Parámetros geométricos y físicos
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
h = 1; % altura (profundidad)

% Velocidades angulares (módulo 1).
% Ejemplo por defecto: interior -> horario (-1), exterior -> antihorario (+1)
wi = +1; % omega interior (rad/s)
we = -1; % omega exterior (rad/s)

%% Construcción de la solución analítica: v_theta(r) = A*r + B/r
% Condiciones: v_theta(Ri) = wi*Ri, v_theta(Re) = we*Re

% Resolvemos para A y B
A = [Ri, 1/Ri; Re, 1/Re] \ [wi*Ri; we*Re]; % sistema 2x2
A = A(1); B = A; % overwrite fix below

% Above line was a mistake: recompute properly
M = [Ri, 1/Ri; Re, 1/Re];
coeff = M \ [wi*Ri; we*Re];
A = coeff(1);
B = coeff(2);

%% Malla en (r,z) para representar la sección theta = 0
Nr = 10; Nz = 10;
r = linspace(Ri,Re,Nr);
z = linspace(0,h,Nz);
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r,z);

% Campo tangencial v_theta
v_theta = A .* R_grid + B ./ R_grid; % magnitud en dirección e_theta

% Convertir a componentes cartesianas (en theta = 0 -> e_theta = [0,1,0])

Ux = zeros(size(v_theta));
Uy = v_theta;
Uz = zeros(size(v_theta));

%% Figura 3D
figure('Color','w','Position',[200 100 900 700]);
hold on; axis equal;
view(35,18);

% Dibujar cilindros (superficies)
nCirc = 150;
[Xi,Yi,Zi] = cylinder(Ri,nCirc); Zi = Zi*h;
surf(Xi,Yi,Zi, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none', 'FaceColor',[0.85 0.8 0.6]);
[Xe,Ye,Ze] = cylinder(Re,nCirc); Ze = Ze*h;
surf(Xe,Ye,Ze, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none', 'FaceColor',[0.85 0.9 0.75]);

% Dibujar la sección theta = 0: es el plano y = 0 (mostramos solo la porción r∈[Ri,Re], z∈[0,h], x>=0)
% En coordenadas cartesianas, sobre theta=0 los puntos tienen (x = r, y = 0).
X_patch = [Ri Re Re Ri]; % x extents
Y_patch = [0 0 0 0]; % y = 0 (plano)
Z_patch = [0 0 h h];
patch(X_patch, Y_patch, Z_patch, 'r','FaceAlpha',0.12,'EdgeColor','r','LineWidth',1.8);

% Resaltar aristas de la sección en rojo
plot3([Ri Re],[0 0],[0 0],'r','LineWidth',2) % borde inferior de la sección
plot3([Ri Re],[0 0],[h h],'r','LineWidth',2) % borde superior
plot3([Ri Ri],[0 0],[0 h],'r','LineWidth',2) % arista interior
plot3([Re Re],[0 0],[0 h],'r','LineWidth',2) % arista exterior

% Dibujar campo de velocidades en el plano theta=0 (posiciones x=r, y=0)
[xq,zq] = meshgrid(r,z);
yq = zeros(size(xq));

% Aquí Ux = 0, Uy = v_theta
quiverScale = 2;
quiver3(xq, yq, zq, Ux, Uy, Uz, quiverScale, 'b', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize',0.5);
title('Sección \theta = 0 del flujo de Couette entre cilindros');
xlim([-0.1, Re+0.5]);
ylim([-Re-0.5, Re+0.5]);
zlim([0 h]);
axis off;

% Mejoras estéticas
camlight; lighting phong;
hold off;}}

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-06T14:20:58Z

Laura Carazo: /* Campo de velocidades */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi)</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de Matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

===Velocidad de las partículas del fluido y análisis de la ecuación===
La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

===Análisis de la solución conocida===

Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se desarrollan ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

===Obtención de <math>a</math>, <math>b</math> y <math>\vec{u}</math>===
Para determinar <math>a</math> y <math>b</math>, de manera que la velocidad lineal del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , por lo que la velocidad lineal de los puntos del cilindro es <math>\rho.\omega_e=2\omega_e</math>. El sentido de giro es contrario al creciente del parámetro <math>\theta</math>, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , por lo que la velocidad lineal de los puntos del cilindro es <math>\rho.\omega_i=1\omega_i</math> . El sentido de giro es el creciente del parámetro <math>\theta</math>, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre <math>a</math>, <math>b</math>, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -2\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar <math>a</math> y <math>b</math> en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.

De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>

A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -2\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -2\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-2\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{4}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{4}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>

Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

===Condición de incompresibilidad===
También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>

La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo velocidades 67.png|500px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear; clc;
% --------------------------
% PARÁMETROS
% --------------------------
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
omega_i = +1; % interior: antihorario
omega_e = -1; % exterior: horario
% --------------------------
% COEFICIENTES A y B
% --------------------------
B = (omega_i - omega_e) * (Ri^2 * Re^2) / (Re^2 - Ri^2);
A = omega_i - B / (Ri^2);
% --------------------------
% MALLA PARA FLECHAS
% --------------------------
Ntheta = 20;
Nr = 15;
thetas = linspace(0, 2*pi, Ntheta+1);
thetas(end) = [];
rhos = linspace(Ri, Re, Nr);
% --------------------------
% FIGURA
% --------------------------
figure('Color',[1 1 1]); hold on;
scale_quiver = 0.7;
for th = thetas

% velocidad tangencial u_theta en cada rho
u_theta = A .* rhos + B ./ rhos;

% componentes cartesianas
U = -u_theta .* sin(th);
V = u_theta .* cos(th);
% posiciones
X = rhos .* cos(th);
Y = rhos .* sin(th);
%Vectores
quiver(X, Y, U, V, scale_quiver, 'LineWidth', 1, ...
'MaxHeadSize', 1.6, 'Color',[0.85 0.45 0]);
end
% --------------------------
% CILINDROS
% --------------------------
tc = linspace(0,2*pi,500);
plot(Ri*cos(tc), Ri*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(tc), Re*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlim([-2.3 2.3]); ylim([-2.3 2.3]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de velocidades');
grid on;
}}

==Líneas de Corriente del campo==
===Campo <math>\vec{v}</math> ostogonal a <math>\vec{u}</math>===
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

===<math>\vec{v}</math> irrotacional===
Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

===Potencial escalar <math>\psi</math>===
El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}\,\vec e_{\theta} </math> y <math>v_{z}\,\vec e_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

===Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>===
Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<center><math>u(\rho)=-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}</math></center>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math>u(\rho)=-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}</math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

* Cálculo de la derivada:

<center><math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -\frac{5}{3} - \frac{8}{3\rho^{2}}. </math></center>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{8}{3\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<center><math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math></center>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<center><math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -\frac{5}{3}-\frac{8}{3\rho^{2}}=0 \Longrightarrow -5-\frac{8}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{8}{\rho^{2}}=-5 \Longrightarrow \rho^{2}=-\frac{8}{5}, </math></center>

que no tiene solución real.

*Valores en los extremos del intervalo:

<center><math> u(1)=-\frac{5}{3}\cdot 1+\frac{8}{3\cdot 1}=\frac{-5+8}{3}=1, \qquad
u(2)=-\frac{5}{3}\cdot 2+\frac{8}{3\cdot 2}=-\frac{10}{3}+\frac{4}{3}=-\frac{6}{3}=-2. </math></center>

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-2</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<center><math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\frac{5}{3}\rho+\frac{8}{3\rho}=0 \Longrightarrow -5\rho^{2}+8=0 \Longrightarrow 5\rho^{2}=8 \Longrightarrow \rho^{2}=\frac{8}{5} \Longrightarrow \rho=\sqrt{\tfrac{8}{5}}\approx 1{,}2649. </math></center>

(Observación: <math>u(1)=1>0</math> y <math>u(2)=-2<0</math>, por lo que efectivamente existe tal <math>\rho_0\in(1,2)</math> y su valor aproximado es <math>\rho_0\approx1{,}2649.</math>)

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a dos.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Velocidad 67.jpeg|370px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-(5/3)*rho + 8./(3*rho));

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho +\frac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math> \vec e_{\theta} </math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math>:

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e\right) </math></center>

Se deriva con respecto a 𝜌:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec u = \left(-\tfrac{2}{3}\omega_i-\tfrac{4}{3}\omega_e\right)\vec e_{z} </math></center>

Por tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rotgrupo67.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (modulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -1/3*omega_i - 2/3*omega_e;
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;

title('｜∇×u｜ con ｜ω_i｜=｜ω_e｜=1');
axis equal;

%% (Opcional) Dibujar los cilindros
hold on
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Campo Temperaturas 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente flujo 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Finalmente, el cálculo del caudal cuando <math>\theta = 0</math> se abordará integrando el módulo de la velocidad antes calculado y analizado, de tal manera que, como la sección resultante es un cuadrado de área 1 m2, y se supone que la velocidad viene expresada en m/s, dicho resultado es directamente el caudal <math>Q</math>, puesto <math>Q = v\cdot S</math>.

<center><math>\displaystyle
\int_{1}^{2} u(\rho)\,d\rho
=
\int_{1}^{2}\left(-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right)d\rho
=
\left[-\tfrac{5}{6}\rho^{2}+\tfrac{8}{3}\ln\rho\right]_{1}^{2}
=
\left(-\tfrac{5}{6}\cdot 2^{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2\right)
-
\left(-\tfrac{5}{6}\cdot 1^{2}+\tfrac{8}{3}\ln 1\right)
=
-\tfrac{5}{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2.
</math></center>

Cuya aproximación numérica es:

<center><math>\displaystyle \int_{1}^{2}\left(-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right)d\rho = -\tfrac{5}{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2 \approx -0.65176 \, m^{3}/s </math></center>

Así pues, atendiendo a los signos, el caudal compensado, entre la velocidad que avanza según <math>\vec{e}_{\theta}</math> y la que va en sentido contrario, queda en sentido -<math>\vec{e}_{\theta}</math>. Dicho resultado es coherente con el análisis sobre el módulo de la velocidad, ya que se aprecia que el área bajo la curva del módulo de <math>u</math> es mayor cuando <math>\rho < \sqrt{\tfrac{8}{5}}</math>. Queda a continuación el dibujo que representa la sección y la velocidad del fluido a través de éste.

[[Archivo:Caudal flujo couette 67.png|450px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Flujo de Couette entre cilindros - sección theta = 0
clear; close all; clc;
%% Parámetros geométricos y físicos
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
h = 1; % altura (profundidad)

% Velocidades angulares (módulo 1).
% Ejemplo por defecto: interior -> horario (-1), exterior -> antihorario (+1)
wi = +1; % omega interior (rad/s)
we = -1; % omega exterior (rad/s)

%% Construcción de la solución analítica: v_theta(r) = A*r + B/r
% Condiciones: v_theta(Ri) = wi*Ri, v_theta(Re) = we*Re

% Resolvemos para A y B
A = [Ri, 1/Ri; Re, 1/Re] \ [wi*Ri; we*Re]; % sistema 2x2
A = A(1); B = A; % overwrite fix below

% Above line was a mistake: recompute properly
M = [Ri, 1/Ri; Re, 1/Re];
coeff = M \ [wi*Ri; we*Re];
A = coeff(1);
B = coeff(2);

%% Malla en (r,z) para representar la sección theta = 0
Nr = 10; Nz = 10;
r = linspace(Ri,Re,Nr);
z = linspace(0,h,Nz);
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r,z);

% Campo tangencial v_theta
v_theta = A .* R_grid + B ./ R_grid; % magnitud en dirección e_theta

% Convertir a componentes cartesianas (en theta = 0 -> e_theta = [0,1,0])

Ux = zeros(size(v_theta));
Uy = v_theta;
Uz = zeros(size(v_theta));

%% Figura 3D
figure('Color','w','Position',[200 100 900 700]);
hold on; axis equal;
view(35,18);

% Dibujar cilindros (superficies)
nCirc = 150;
[Xi,Yi,Zi] = cylinder(Ri,nCirc); Zi = Zi*h;
surf(Xi,Yi,Zi, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none', 'FaceColor',[0.85 0.8 0.6]);
[Xe,Ye,Ze] = cylinder(Re,nCirc); Ze = Ze*h;
surf(Xe,Ye,Ze, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none', 'FaceColor',[0.85 0.9 0.75]);

% Dibujar la sección theta = 0: es el plano y = 0 (mostramos solo la porción r∈[Ri,Re], z∈[0,h], x>=0)
% En coordenadas cartesianas, sobre theta=0 los puntos tienen (x = r, y = 0).
X_patch = [Ri Re Re Ri]; % x extents
Y_patch = [0 0 0 0]; % y = 0 (plano)
Z_patch = [0 0 h h];
patch(X_patch, Y_patch, Z_patch, 'r','FaceAlpha',0.12,'EdgeColor','r','LineWidth',1.8);

% Resaltar aristas de la sección en rojo
plot3([Ri Re],[0 0],[0 0],'r','LineWidth',2) % borde inferior de la sección
plot3([Ri Re],[0 0],[h h],'r','LineWidth',2) % borde superior
plot3([Ri Ri],[0 0],[0 h],'r','LineWidth',2) % arista interior
plot3([Re Re],[0 0],[0 h],'r','LineWidth',2) % arista exterior

% Dibujar campo de velocidades en el plano theta=0 (posiciones x=r, y=0)
[xq,zq] = meshgrid(r,z);
yq = zeros(size(xq));

% Aquí Ux = 0, Uy = v_theta
quiverScale = 2;
quiver3(xq, yq, zq, Ux, Uy, Uz, quiverScale, 'b', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize',0.5);
title('Sección \theta = 0 del flujo de Couette entre cilindros');
xlim([-0.1, Re+0.5]);
ylim([-Re-0.5, Re+0.5]);
zlim([0 h]);
axis off;

% Mejoras estéticas
camlight; lighting phong;
hold off;}}

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Campo velocidades 67.png

2025-12-06T14:20:18Z

Laura Carazo:

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-06T14:18:29Z

Laura Carazo: /* Caudal circulante en la sección longitudinal */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi)</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de Matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

===Velocidad de las partículas del fluido y análisis de la ecuación===
La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

===Análisis de la solución conocida===

Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se desarrollan ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

===Obtención de <math>a</math>, <math>b</math> y <math>\vec{u}</math>===
Para determinar <math>a</math> y <math>b</math>, de manera que la velocidad lineal del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , por lo que la velocidad lineal de los puntos del cilindro es <math>\rho.\omega_e=2\omega_e</math>. El sentido de giro es contrario al creciente del parámetro <math>\theta</math>, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , por lo que la velocidad lineal de los puntos del cilindro es <math>\rho.\omega_i=1\omega_i</math> . El sentido de giro es el creciente del parámetro <math>\theta</math>, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre <math>a</math>, <math>b</math>, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -2\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar <math>a</math> y <math>b</math> en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.

De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>

A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -2\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -2\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-2\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{4}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{4}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>

Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

===Condición de incompresibilidad===
También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>

La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo Velocidades 67 Matewiki.png|500px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear; close all; clc;
% --------------------------
% PARÁMETROS
% --------------------------
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
omega_i = +1; % interior: antihorario
omega_e = -1; % exterior: horario
% --------------------------
% COEFICIENTES A y B
% --------------------------
B = (omega_i - omega_e) * (Ri^2 * Re^2) / (Re^2 - Ri^2);
A = omega_i - B / (Ri^2);
% --------------------------
% MALLA PARA FLECHAS
% --------------------------
Ntheta = 20;
Nr = 15;
thetas = linspace(0, 2*pi, Ntheta+1);
thetas(end) = [];
rhos = linspace(Ri, Re, Nr);
% --------------------------
% FIGURA
% --------------------------
figure('Color',[1 1 1]); hold on;
scale_quiver = 0.7;
for th = thetas

% velocidad tangencial u_theta en cada rho
u_theta = A .* rhos + B ./ rhos;

% componentes cartesianas
U = -u_theta .* sin(th);
V = u_theta .* cos(th);
% posiciones
X = rhos .* cos(th);
Y = rhos .* sin(th);
%Vectores
quiver(X, Y, U, V, scale_quiver, 'LineWidth', 1, ...
'MaxHeadSize', 1.6, 'Color',[0.85 0.45 0]);
end
% --------------------------
% CILINDROS
% --------------------------
tc = linspace(0,2*pi,500);
plot(Ri*cos(tc), Ri*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(tc), Re*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlim([-2.3 2.3]); ylim([-2.3 2.3]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de velocidades');
grid on;
}}

==Líneas de Corriente del campo==
===Campo <math>\vec{v}</math> ostogonal a <math>\vec{u}</math>===
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

===<math>\vec{v}</math> irrotacional===
Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

===Potencial escalar <math>\psi</math>===
El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}\,\vec e_{\theta} </math> y <math>v_{z}\,\vec e_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

===Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>===
Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<center><math>u(\rho)=-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}</math></center>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math>u(\rho)=-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}</math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

* Cálculo de la derivada:

<center><math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -\frac{5}{3} - \frac{8}{3\rho^{2}}. </math></center>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{8}{3\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<center><math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math></center>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<center><math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -\frac{5}{3}-\frac{8}{3\rho^{2}}=0 \Longrightarrow -5-\frac{8}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{8}{\rho^{2}}=-5 \Longrightarrow \rho^{2}=-\frac{8}{5}, </math></center>

que no tiene solución real.

*Valores en los extremos del intervalo:

<center><math> u(1)=-\frac{5}{3}\cdot 1+\frac{8}{3\cdot 1}=\frac{-5+8}{3}=1, \qquad
u(2)=-\frac{5}{3}\cdot 2+\frac{8}{3\cdot 2}=-\frac{10}{3}+\frac{4}{3}=-\frac{6}{3}=-2. </math></center>

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-2</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<center><math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\frac{5}{3}\rho+\frac{8}{3\rho}=0 \Longrightarrow -5\rho^{2}+8=0 \Longrightarrow 5\rho^{2}=8 \Longrightarrow \rho^{2}=\frac{8}{5} \Longrightarrow \rho=\sqrt{\tfrac{8}{5}}\approx 1{,}2649. </math></center>

(Observación: <math>u(1)=1>0</math> y <math>u(2)=-2<0</math>, por lo que efectivamente existe tal <math>\rho_0\in(1,2)</math> y su valor aproximado es <math>\rho_0\approx1{,}2649.</math>)

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a dos.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Velocidad 67.jpeg|370px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-(5/3)*rho + 8./(3*rho));

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho +\frac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math> \vec e_{\theta} </math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math>:

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e\right) </math></center>

Se deriva con respecto a 𝜌:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec u = \left(-\tfrac{2}{3}\omega_i-\tfrac{4}{3}\omega_e\right)\vec e_{z} </math></center>

Por tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rotgrupo67.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (modulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -1/3*omega_i - 2/3*omega_e;
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;

title('｜∇×u｜ con ｜ω_i｜=｜ω_e｜=1');
axis equal;

%% (Opcional) Dibujar los cilindros
hold on
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Campo Temperaturas 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente flujo 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Finalmente, el cálculo del caudal cuando <math>\theta = 0</math> se abordará integrando el módulo de la velocidad antes calculado y analizado, de tal manera que, como la sección resultante es un cuadrado de área 1 m2, y se supone que la velocidad viene expresada en m/s, dicho resultado es directamente el caudal <math>Q</math>, puesto <math>Q = v\cdot S</math>.

<center><math>\displaystyle
\int_{1}^{2} u(\rho)\,d\rho
=
\int_{1}^{2}\left(-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right)d\rho
=
\left[-\tfrac{5}{6}\rho^{2}+\tfrac{8}{3}\ln\rho\right]_{1}^{2}
=
\left(-\tfrac{5}{6}\cdot 2^{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2\right)
-
\left(-\tfrac{5}{6}\cdot 1^{2}+\tfrac{8}{3}\ln 1\right)
=
-\tfrac{5}{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2.
</math></center>

Cuya aproximación numérica es:

<center><math>\displaystyle \int_{1}^{2}\left(-\tfrac{5}{3}\rho+\tfrac{8}{3\rho}\right)d\rho = -\tfrac{5}{2}+\tfrac{8}{3}\ln 2 \approx -0.65176 \, m^{3}/s </math></center>

Así pues, atendiendo a los signos, el caudal compensado, entre la velocidad que avanza según <math>\vec{e}_{\theta}</math> y la que va en sentido contrario, queda en sentido -<math>\vec{e}_{\theta}</math>. Dicho resultado es coherente con el análisis sobre el módulo de la velocidad, ya que se aprecia que el área bajo la curva del módulo de <math>u</math> es mayor cuando <math>\rho < \sqrt{\tfrac{8}{5}}</math>. Queda a continuación el dibujo que representa la sección y la velocidad del fluido a través de éste.

[[Archivo:Caudal flujo couette 67.png|450px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Flujo de Couette entre cilindros - sección theta = 0
clear; close all; clc;
%% Parámetros geométricos y físicos
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
h = 1; % altura (profundidad)

% Velocidades angulares (módulo 1).
% Ejemplo por defecto: interior -> horario (-1), exterior -> antihorario (+1)
wi = +1; % omega interior (rad/s)
we = -1; % omega exterior (rad/s)

%% Construcción de la solución analítica: v_theta(r) = A*r + B/r
% Condiciones: v_theta(Ri) = wi*Ri, v_theta(Re) = we*Re

% Resolvemos para A y B
A = [Ri, 1/Ri; Re, 1/Re] \ [wi*Ri; we*Re]; % sistema 2x2
A = A(1); B = A; % overwrite fix below

% Above line was a mistake: recompute properly
M = [Ri, 1/Ri; Re, 1/Re];
coeff = M \ [wi*Ri; we*Re];
A = coeff(1);
B = coeff(2);

%% Malla en (r,z) para representar la sección theta = 0
Nr = 10; Nz = 10;
r = linspace(Ri,Re,Nr);
z = linspace(0,h,Nz);
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r,z);

% Campo tangencial v_theta
v_theta = A .* R_grid + B ./ R_grid; % magnitud en dirección e_theta

% Convertir a componentes cartesianas (en theta = 0 -> e_theta = [0,1,0])

Ux = zeros(size(v_theta));
Uy = v_theta;
Uz = zeros(size(v_theta));

%% Figura 3D
figure('Color','w','Position',[200 100 900 700]);
hold on; axis equal;
view(35,18);

% Dibujar cilindros (superficies)
nCirc = 150;
[Xi,Yi,Zi] = cylinder(Ri,nCirc); Zi = Zi*h;
surf(Xi,Yi,Zi, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none', 'FaceColor',[0.85 0.8 0.6]);
[Xe,Ye,Ze] = cylinder(Re,nCirc); Ze = Ze*h;
surf(Xe,Ye,Ze, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none', 'FaceColor',[0.85 0.9 0.75]);

% Dibujar la sección theta = 0: es el plano y = 0 (mostramos solo la porción r∈[Ri,Re], z∈[0,h], x>=0)
% En coordenadas cartesianas, sobre theta=0 los puntos tienen (x = r, y = 0).
X_patch = [Ri Re Re Ri]; % x extents
Y_patch = [0 0 0 0]; % y = 0 (plano)
Z_patch = [0 0 h h];
patch(X_patch, Y_patch, Z_patch, 'r','FaceAlpha',0.12,'EdgeColor','r','LineWidth',1.8);

% Resaltar aristas de la sección en rojo
plot3([Ri Re],[0 0],[0 0],'r','LineWidth',2) % borde inferior de la sección
plot3([Ri Re],[0 0],[h h],'r','LineWidth',2) % borde superior
plot3([Ri Ri],[0 0],[0 h],'r','LineWidth',2) % arista interior
plot3([Re Re],[0 0],[0 h],'r','LineWidth',2) % arista exterior

% Dibujar campo de velocidades en el plano theta=0 (posiciones x=r, y=0)
[xq,zq] = meshgrid(r,z);
yq = zeros(size(xq));

% Aquí Ux = 0, Uy = v_theta
quiverScale = 2;
quiver3(xq, yq, zq, Ux, Uy, Uz, quiverScale, 'b', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize',0.5);
title('Sección \theta = 0 del flujo de Couette entre cilindros');
xlim([-0.1, Re+0.5]);
ylim([-Re-0.5, Re+0.5]);
zlim([0 h]);
axis off;

% Mejoras estéticas
camlight; lighting phong;
hold off;}}

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Caudal flujo couette 67.png

2025-12-06T14:17:49Z

Laura Carazo:

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-05T21:59:34Z

Laura Carazo: /* Caudal circulante en la sección longitudinal */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi]</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

===Velocidad de las partículas del fluido y análisis de la ecuación===
La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

===Análisis de la solución conocida===

Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se calculan las expresiones de ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

===Obtención de <math>a</math>, <math>b</math> y <math>\vec{u}</math>===
Para determinar a y b, de manera que la velocidad del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , el sentido de giro es contrario al creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , el sentido de giro es el creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre a, b, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -2\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar a y b en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.

De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>

A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -2\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -2\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-2\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{4}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{4}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>

Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

===Condición de incompresibilidad===
También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>

La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo Velocidades 67 Matewiki.png|500px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear; close all; clc;
% --------------------------
% PARÁMETROS
% --------------------------
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
omega_i = -1; % interior: horario
omega_e = +1; % exterior: antihorario
% --------------------------
% COEFICIENTES A y B
% --------------------------
B = (omega_i - omega_e) * (Ri^2 * Re^2) / (Re^2 - Ri^2);
A = omega_i - B / (Ri^2);
% --------------------------
% MALLA PARA FLECHAS
% --------------------------
Ntheta = 20;
Nr = 15;
thetas = linspace(0, 2*pi, Ntheta+1);
thetas(end) = [];
rhos = linspace(Ri, Re, Nr);
% --------------------------
% FIGURA
% --------------------------
figure('Color',[1 1 1]); hold on;
scale_quiver = 0.7;
for th = thetas

% velocidad tangencial u_theta en cada rho
u_theta = A .* rhos + B ./ rhos;

% componentes cartesianas
U = -u_theta .* sin(th);
V = u_theta .* cos(th);
% posiciones
X = rhos .* cos(th);
Y = rhos .* sin(th);
%Vectores
quiver(X, Y, U, V, scale_quiver, 'LineWidth', 1, ...
'MaxHeadSize', 1.6, 'Color',[0.85 0.45 0]);
end
% --------------------------
% CILINDROS
% --------------------------
tc = linspace(0,2*pi,500);
plot(Ri*cos(tc), Ri*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(tc), Re*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlim([-2.3 2.3]); ylim([-2.3 2.3]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de velocidades');
grid on;
}}

==Líneas de Corriente del campo==
===Campo <math>\vec{v}</math> ostogonal a <math>\vec{u}</math>===
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

===<math>\vec{v}</math> irrotacional===
Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

===Potencial escalar <math>\psi</math>===
El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}\,\vec e_{\theta} </math> y <math>v_{z}\,\vec e_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

===Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>===
Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho + \tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} \right]\vec{e}_{\theta} \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho}, </math>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho} </math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

* Cálculo de la derivada:

<math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -1 - \frac{2}{\rho^{2}}. </math>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{2}{\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -1-\frac{2}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{2}{\rho^{2}}=-1 \Longrightarrow \rho^{2}=-2, </math>

que no tiene solución real.

*Valores en los extremos del intervalo:

<math> u(1)=-1+\frac{2}{1}=1, \qquad u(2)=-2+\frac{2}{2}=-1. </math>

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-1</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\rho+\frac{2}{\rho}=0 \Longrightarrow \rho=\frac{2}{\rho} \Longrightarrow \rho^{2}=2 \Longrightarrow \rho=\sqrt{2}\approx 1,41. </math>

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en dos ocasiones: en <math>\rho=1</math> y en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a uno.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\rho+\frac{2}{\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Velocidad 67.jpeg|370px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-rho + 2./rho);

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho +\frac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math> \vec e_{\theta} </math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math>:

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e\right) </math></center>

Se deriva con respecto a 𝜌:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec u = \left(-\tfrac{2}{3}\omega_i-\tfrac{4}{3}\omega_e\right)\vec e_{z} </math></center>

Por tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rotgrupo67.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (modulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -1/3*omega_i - 2/3*omega_e;
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;

title('｜∇×u｜ con ｜ω_i｜=｜ω_e｜=1');
axis equal;

%% (Opcional) Dibujar los cilindros
hold on
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Campo Temperaturas 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente flujo 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Finalmente, el cálculo del caudal cuando <math>\theta = 0</math> se abordará integrando el módulo de la velocidad antes calculado y analizado, de tal manera que, como la sección resultante es un cuadrado de área 1 m2, y se supone que la velocidad viene expresada en m/s, dicho resultado es directamente el caudal <math>Q</math>, puesto <math>Q = v\cdot S</math>.

<center><math>\displaystyle \int_{1}^{2} u(\rho)\,d\rho=\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho = \left[-\tfrac{1}{2}\rho^{2}+2\ln\rho\right]_{1}^{2} = \left(-\tfrac{1}{2}\cdot 2^{2}+2\ln 2\right)-\left(-\tfrac{1}{2}\cdot 1^{2}+2\ln 1\right) = -\tfrac{3}{2}+2\ln 2. </math></center>

Cuya aproximacióin numérica es:

<center><math>\displaystyle
\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho
= -\tfrac{3}{2}+2\ln 2
\approx -0.113706 \, m^3/s
</math></center>

Así pues, atendiendo a los signos, el caudal compensado, entre la velocidad que avanza según <math>\vec{e}_{\theta}</math> y la que va en sentido contrario, queda en sentido -<math>\vec{e}_{\theta}</math>. Dicho resultado es coherente con el análisis sobre el módulo de la velocidad, se aprecia que el área bajo la curva del módulo de u es mayor cuando <math>\rho < \sqrt{2}</math>. Queda a continuación el dibujo que representa la sección y la velocidad del fluido a través de éste.

[[Archivo:Caudal 67 Matewiki.png|450px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Flujo de Couette entre cilindros - sección theta = 0
clear; close all; clc;
%% Parámetros geométricos y físicos
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
h = 1; % altura (profundidad)

% Velocidades angulares (módulo 1).
% Ejemplo por defecto: interior -> horario (-1), exterior -> antihorario (+1)
wi = -1; % omega interior (rad/s)
we = +1; % omega exterior (rad/s)

%% Construcción de la solución analítica: v_theta(r) = A*r + B/r
% Condiciones: v_theta(Ri) = wi*Ri, v_theta(Re) = we*Re

% Resolvemos para A y B
A = [Ri, 1/Ri; Re, 1/Re] \ [wi*Ri; we*Re]; % sistema 2x2
A = A(1); B = A; % overwrite fix below

% Above line was a mistake: recompute properly
M = [Ri, 1/Ri; Re, 1/Re];
coeff = M \ [wi*Ri; we*Re];
A = coeff(1);
B = coeff(2);

%% Malla en (r,z) para representar la sección theta = 0
Nr = 10; Nz = 10;
r = linspace(Ri,Re,Nr);
z = linspace(0,h,Nz);
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r,z);

% Campo tangencial v_theta
v_theta = A .* R_grid + B ./ R_grid; % magnitud en dirección e_theta

% Convertir a componentes cartesianas (en theta = 0 -> e_theta = [0,1,0])

Ux = zeros(size(v_theta));
Uy = v_theta;
Uz = zeros(size(v_theta));

%% Figura 3D
figure('Color','w','Position',[200 100 900 700]);
hold on; axis equal;
view(35,18);

% Dibujar cilindros (superficies)
nCirc = 150;
[Xi,Yi,Zi] = cylinder(Ri,nCirc); Zi = Zi*h;
surf(Xi,Yi,Zi, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none', 'FaceColor',[0.85 0.8 0.6]);
[Xe,Ye,Ze] = cylinder(Re,nCirc); Ze = Ze*h;
surf(Xe,Ye,Ze, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none', 'FaceColor',[0.85 0.9 0.75]);

% Dibujar la sección theta = 0: es el plano y = 0 (mostramos solo la porción r∈[Ri,Re], z∈[0,h], x>=0)
% En coordenadas cartesianas, sobre theta=0 los puntos tienen (x = r, y = 0).
X_patch = [Ri Re Re Ri]; % x extents
Y_patch = [0 0 0 0]; % y = 0 (plano)
Z_patch = [0 0 h h];
patch(X_patch, Y_patch, Z_patch, 'r','FaceAlpha',0.12,'EdgeColor','r','LineWidth',1.8);

% Resaltar aristas de la sección en rojo
plot3([Ri Re],[0 0],[0 0],'r','LineWidth',2) % borde inferior de la sección
plot3([Ri Re],[0 0],[h h],'r','LineWidth',2) % borde superior
plot3([Ri Ri],[0 0],[0 h],'r','LineWidth',2) % arista interior
plot3([Re Re],[0 0],[0 h],'r','LineWidth',2) % arista exterior

% Dibujar campo de velocidades en el plano theta=0 (posiciones x=r, y=0)
[xq,zq] = meshgrid(r,z);
yq = zeros(size(xq));

% Aquí Ux = 0, Uy = v_theta
quiverScale = 2;
quiver3(xq, yq, zq, Ux, Uy, Uz, quiverScale, 'b', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize',0.5);
title('Sección \theta = 0 del flujo de Couette entre cilindros');
xlim([-0.1, Re+0.5]);
ylim([-Re-0.5, Re+0.5]);
zlim([0 h]);
axis off;

% Mejoras estéticas
camlight; lighting phong;
hold off;}}

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Caudal 67 Matewiki.png

2025-12-05T21:56:14Z

Laura Carazo:

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-05T21:55:23Z

Laura Carazo: /* Caudal circulante en la sección longitudinal */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi]</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

===Velocidad de las partículas del fluido y análisis de la ecuación===
La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

===Análisis de la solución conocida===

Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se calculan las expresiones de ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

===Obtención de <math>a</math>, <math>b</math> y <math>\vec{u}</math>===
Para determinar a y b, de manera que la velocidad del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , el sentido de giro es contrario al creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , el sentido de giro es el creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre a, b, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -2\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar a y b en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.

De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>

A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -2\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -2\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-2\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{4}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{4}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>

Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

===Condición de incompresibilidad===
También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>

La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo Velocidades 67 Matewiki.png|500px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear; close all; clc;
% --------------------------
% PARÁMETROS
% --------------------------
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
omega_i = -1; % interior: horario
omega_e = +1; % exterior: antihorario
% --------------------------
% COEFICIENTES A y B
% --------------------------
B = (omega_i - omega_e) * (Ri^2 * Re^2) / (Re^2 - Ri^2);
A = omega_i - B / (Ri^2);
% --------------------------
% MALLA PARA FLECHAS
% --------------------------
Ntheta = 20;
Nr = 15;
thetas = linspace(0, 2*pi, Ntheta+1);
thetas(end) = [];
rhos = linspace(Ri, Re, Nr);
% --------------------------
% FIGURA
% --------------------------
figure('Color',[1 1 1]); hold on;
scale_quiver = 0.7;
for th = thetas

% velocidad tangencial u_theta en cada rho
u_theta = A .* rhos + B ./ rhos;

% componentes cartesianas
U = -u_theta .* sin(th);
V = u_theta .* cos(th);
% posiciones
X = rhos .* cos(th);
Y = rhos .* sin(th);
%Vectores
quiver(X, Y, U, V, scale_quiver, 'LineWidth', 1, ...
'MaxHeadSize', 1.6, 'Color',[0.85 0.45 0]);
end
% --------------------------
% CILINDROS
% --------------------------
tc = linspace(0,2*pi,500);
plot(Ri*cos(tc), Ri*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(tc), Re*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlim([-2.3 2.3]); ylim([-2.3 2.3]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de velocidades');
grid on;
}}

==Líneas de Corriente del campo==
===Campo <math>\vec{v}</math> ostogonal a <math>\vec{u}</math>===
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

===<math>\vec{v}</math> irrotacional===
Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

===Potencial escalar <math>\psi</math>===
El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}\,\vec e_{\theta} </math> y <math>v_{z}\,\vec e_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

===Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>===
Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho + \tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} \right]\vec{e}_{\theta} \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho}, </math>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho} </math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

* Cálculo de la derivada:

<math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -1 - \frac{2}{\rho^{2}}. </math>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{2}{\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -1-\frac{2}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{2}{\rho^{2}}=-1 \Longrightarrow \rho^{2}=-2, </math>

que no tiene solución real.

*Valores en los extremos del intervalo:

<math> u(1)=-1+\frac{2}{1}=1, \qquad u(2)=-2+\frac{2}{2}=-1. </math>

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-1</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\rho+\frac{2}{\rho}=0 \Longrightarrow \rho=\frac{2}{\rho} \Longrightarrow \rho^{2}=2 \Longrightarrow \rho=\sqrt{2}\approx 1,41. </math>

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en dos ocasiones: en <math>\rho=1</math> y en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a uno.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\rho+\frac{2}{\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Velocidad 67.jpeg|370px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-rho + 2./rho);

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho +\frac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math> \vec e_{\theta} </math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math>:

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e\right) </math></center>

Se deriva con respecto a 𝜌:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec u = \left(-\tfrac{2}{3}\omega_i-\tfrac{4}{3}\omega_e\right)\vec e_{z} </math></center>

Por tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rotgrupo67.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (modulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -1/3*omega_i - 2/3*omega_e;
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;

title('｜∇×u｜ con ｜ω_i｜=｜ω_e｜=1');
axis equal;

%% (Opcional) Dibujar los cilindros
hold on
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Campo Temperaturas 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente flujo 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Finalmente, el cálculo del caudal cuando <math>\theta = 0</math> se abordará integrando el módulo de la velocidad antes calculado y analizado, de tal manera que, como la sección resultante es un cuadrado de área 1 m2, y se supone que la velocidad viene expresada en m/s, dicho resultado es directamente el caudal <math>Q</math>, puesto <math>Q = v\cdot S</math>.

<center><math>\displaystyle \int_{1}^{2} u(\rho)\,d\rho=\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho = \left[-\tfrac{1}{2}\rho^{2}+2\ln\rho\right]_{1}^{2} = \left(-\tfrac{1}{2}\cdot 2^{2}+2\ln 2\right)-\left(-\tfrac{1}{2}\cdot 1^{2}+2\ln 1\right) = -\tfrac{3}{2}+2\ln 2. </math></center>

Cuya aproximacióin numérica es:

<center><math>\displaystyle
\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho
= -\tfrac{3}{2}+2\ln 2
\approx -0.113706 \, m^3/s
</math></center>

Así pues, atendiendo a los signos, el caudal compensado, entre la velocidad que avanza según <math>\vec{e}_{\theta}</math> y la que va en sentido contrario, queda en sentido -<math>\vec{e}_{\theta}</math>. Dicho resultado es coherente con el análisis sobre el módulo de la velocidad, se aprecia que el área bajo la curva del módulo de u es mayor cuando <math>\rho < \sqrt{2}</math>. Queda a continuación el dibujo que representa la sección y la velocidad del fluido a través de éste.

[[Archivo:Caudal flujo 67.png|450px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Flujo de Couette entre cilindros - sección theta = 0
clear; close all; clc;
%% Parámetros geométricos y físicos
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
h = 1; % altura (profundidad)
% Velocidades angulares (módulo 1).
% Ejemplo por defecto: interior -> horario (-1), exterior -> antihorario (+1)
wi = -1; % omega interior (rad/s)
we = +1; % omega exterior (rad/s)
%% Construcción de la solución analítica: v_theta(r) = A*r + B/r
% Condiciones: v_theta(Ri) = wi*Ri, v_theta(Re) = we*Re
% Resolvemos para A y B
A = [Ri, 1/Ri; Re, 1/Re] \ [wi*Ri; we*Re]; % sistema 2x2
A = A(1); B = A; % overwrite fix below
% Above line was a mistake: recompute properly
M = [Ri, 1/Ri; Re, 1/Re];
coeff = M \ [wi*Ri; we*Re];
A = coeff(1);
B = coeff(2);
%% Malla en (r,z) para representar la sección theta = 0
Nr = 10; Nz = 10;
r = linspace(Ri,Re,Nr);
z = linspace(0,h,Nz);
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r,z);
% Campo tangencial v_theta
v_theta = A .* R_grid + B ./ R_grid; % magnitud en dirección e_theta
% Convertir a componentes cartesianas (en theta = 0 -> e_theta = [0,1,0])
Ux = zeros(size(v_theta));
Uy = v_theta;
Uz = zeros(size(v_theta));
%% Figura 3D
figure('Color','w','Position',[200 100 900 700]);
hold on; axis equal;
view(35,18);
% Dibujar cilindros (superficies)
nCirc = 150;
[Xi,Yi,Zi] = cylinder(Ri,nCirc); Zi = Zi*h;
surf(Xi,Yi,Zi, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none', 'FaceColor',[0.85 0.8 0.6]);
[Xe,Ye,Ze] = cylinder(Re,nCirc); Ze = Ze*h;
surf(Xe,Ye,Ze, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none', 'FaceColor',[0.85 0.9 0.75]);
% Dibujar la sección theta = 0: es el plano y = 0 (mostramos solo la porción r∈[Ri,Re], z∈[0,h], x>=0)
% En coordenadas cartesianas, sobre theta=0 los puntos tienen (x = r, y = 0).
X_patch = [Ri Re Re Ri]; % x extents
Y_patch = [0 0 0 0]; % y = 0 (plano)
Z_patch = [0 0 h h];
patch(X_patch, Y_patch, Z_patch, 'r','FaceAlpha',0.12,'EdgeColor','r','LineWidth',1.8);
% Resaltar aristas de la sección en rojo
plot3([Ri Re],[0 0],[0 0],'r','LineWidth',2) % borde inferior de la sección
plot3([Ri Re],[0 0],[h h],'r','LineWidth',2) % borde superior
plot3([Ri Ri],[0 0],[0 h],'r','LineWidth',2) % arista interior
plot3([Re Re],[0 0],[0 h],'r','LineWidth',2) % arista exterior
% Dibujar campo de velocidades en el plano theta=0 (posiciones x=r, y=0)
[xq,zq] = meshgrid(r,z);
yq = zeros(size(xq));
% Aquí Ux = 0, Uy = v_theta
quiverScale = 2;
quiver3(xq, yq, zq, Ux, Uy, Uz, quiverScale, 'b', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize',0.5);
title('Sección \theta = 0 del flujo de Couette entre cilindros');
xlim([-0.1, Re+0.5]);
ylim([-Re-0.5, Re+0.5]);
zlim([0 h]);
axis off;
% Mejoras estéticas
camlight; lighting phong;
hold off;}}

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-05T21:54:51Z

Laura Carazo: /* Caudal circulante en la sección longitudinal */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi]</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

===Velocidad de las partículas del fluido y análisis de la ecuación===
La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

===Análisis de la solución conocida===

Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se calculan las expresiones de ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

===Obtención de <math>a</math>, <math>b</math> y <math>\vec{u}</math>===
Para determinar a y b, de manera que la velocidad del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , el sentido de giro es contrario al creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , el sentido de giro es el creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre a, b, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -2\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar a y b en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.

De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>

A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -2\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -2\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-2\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{4}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{4}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>

Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

===Condición de incompresibilidad===
También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>

La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo Velocidades 67 Matewiki.png|500px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear; close all; clc;
% --------------------------
% PARÁMETROS
% --------------------------
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
omega_i = -1; % interior: horario
omega_e = +1; % exterior: antihorario
% --------------------------
% COEFICIENTES A y B
% --------------------------
B = (omega_i - omega_e) * (Ri^2 * Re^2) / (Re^2 - Ri^2);
A = omega_i - B / (Ri^2);
% --------------------------
% MALLA PARA FLECHAS
% --------------------------
Ntheta = 20;
Nr = 15;
thetas = linspace(0, 2*pi, Ntheta+1);
thetas(end) = [];
rhos = linspace(Ri, Re, Nr);
% --------------------------
% FIGURA
% --------------------------
figure('Color',[1 1 1]); hold on;
scale_quiver = 0.7;
for th = thetas

% velocidad tangencial u_theta en cada rho
u_theta = A .* rhos + B ./ rhos;

% componentes cartesianas
U = -u_theta .* sin(th);
V = u_theta .* cos(th);
% posiciones
X = rhos .* cos(th);
Y = rhos .* sin(th);
%Vectores
quiver(X, Y, U, V, scale_quiver, 'LineWidth', 1, ...
'MaxHeadSize', 1.6, 'Color',[0.85 0.45 0]);
end
% --------------------------
% CILINDROS
% --------------------------
tc = linspace(0,2*pi,500);
plot(Ri*cos(tc), Ri*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(tc), Re*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlim([-2.3 2.3]); ylim([-2.3 2.3]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de velocidades');
grid on;
}}

==Líneas de Corriente del campo==
===Campo <math>\vec{v}</math> ostogonal a <math>\vec{u}</math>===
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

===<math>\vec{v}</math> irrotacional===
Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

===Potencial escalar <math>\psi</math>===
El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}\,\vec e_{\theta} </math> y <math>v_{z}\,\vec e_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

===Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>===
Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho + \tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} \right]\vec{e}_{\theta} \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho}, </math>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho} </math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

* Cálculo de la derivada:

<math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -1 - \frac{2}{\rho^{2}}. </math>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{2}{\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -1-\frac{2}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{2}{\rho^{2}}=-1 \Longrightarrow \rho^{2}=-2, </math>

que no tiene solución real.

*Valores en los extremos del intervalo:

<math> u(1)=-1+\frac{2}{1}=1, \qquad u(2)=-2+\frac{2}{2}=-1. </math>

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-1</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\rho+\frac{2}{\rho}=0 \Longrightarrow \rho=\frac{2}{\rho} \Longrightarrow \rho^{2}=2 \Longrightarrow \rho=\sqrt{2}\approx 1,41. </math>

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en dos ocasiones: en <math>\rho=1</math> y en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a uno.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\rho+\frac{2}{\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Velocidad 67.jpeg|370px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-rho + 2./rho);

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho +\frac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math> \vec e_{\theta} </math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math>:

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e\right) </math></center>

Se deriva con respecto a 𝜌:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec u = \left(-\tfrac{2}{3}\omega_i-\tfrac{4}{3}\omega_e\right)\vec e_{z} </math></center>

Por tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rotgrupo67.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (modulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -1/3*omega_i - 2/3*omega_e;
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;

title('｜∇×u｜ con ｜ω_i｜=｜ω_e｜=1');
axis equal;

%% (Opcional) Dibujar los cilindros
hold on
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Campo Temperaturas 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente flujo 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Finalmente, el cálculo del caudal cuando <math>\theta = 0</math> se abordará integrando el módulo de la velocidad antes calculado y analizado, de tal manera que, como la sección resultante es un cuadrado de área 1 m2, y se supone que la velocidad viene expresada en m/s, dicho resultado es directamente el caudal <math>Q</math>, puesto <math>Q = v\cdot S</math>.

<center><math>\displaystyle \int_{1}^{2} u(\rho)\,d\rho=\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho = \left[-\tfrac{1}{2}\rho^{2}+2\ln\rho\right]_{1}^{2} = \left(-\tfrac{1}{2}\cdot 2^{2}+2\ln 2\right)-\left(-\tfrac{1}{2}\cdot 1^{2}+2\ln 1\right) = -\tfrac{3}{2}+2\ln 2. </math></center>

Cuya aproximacióin numérica es:

<center><math>\displaystyle
\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho
= -\tfrac{3}{2}+2\ln 2
\approx -0.113706 \, m^3/s
</math></center>

Así pues, atendiendo a los signos, el caudal compensado, entre la velocidad que avanza según <math>\vec{e}_{\theta}</math> y la que va en sentido contrario, queda en sentido -<math>\vec{e}_{\theta}</math>. Dicho resultado es coherente con el análisis sobre el módulo de la velocidad, se aprecia que el área bajo la curva del módulo de u es mayor cuando <math>\rho < \sqrt{2}</math>. Queda a continuación el dibujo que representa la sección y la velocidad del fluido a través de éste.

[[Archivo:Caudal flujo 67.png|450px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=<nowiki>
% Flujo de Couette entre cilindros - sección theta = 0
clear; close all; clc;
%% Parámetros geométricos y físicos
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
h = 1; % altura (profundidad)
% Velocidades angulares (módulo 1).
% Ejemplo por defecto: interior -> horario (-1), exterior -> antihorario (+1)
wi = -1; % omega interior (rad/s)
we = +1; % omega exterior (rad/s)
%% Construcción de la solución analítica: v_theta(r) = A*r + B/r
% Condiciones: v_theta(Ri) = wi*Ri, v_theta(Re) = we*Re
% Resolvemos para A y B
A = [Ri, 1/Ri; Re, 1/Re] \ [wi*Ri; we*Re]; % sistema 2x2
A = A(1); B = A; % overwrite fix below
% Above line was a mistake: recompute properly
M = [Ri, 1/Ri; Re, 1/Re];
coeff = M \ [wi*Ri; we*Re];
A = coeff(1);
B = coeff(2);
%% Malla en (r,z) para representar la sección theta = 0
Nr = 10; Nz = 10;
r = linspace(Ri,Re,Nr);
z = linspace(0,h,Nz);
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r,z);
% Campo tangencial v_theta
v_theta = A .* R_grid + B ./ R_grid; % magnitud en dirección e_theta
% Convertir a componentes cartesianas (en theta = 0 -> e_theta = [0,1,0])
Ux = zeros(size(v_theta));
Uy = v_theta;
Uz = zeros(size(v_theta));
%% Figura 3D
figure('Color','w','Position',[200 100 900 700]);
hold on; axis equal;
view(35,18);
% Dibujar cilindros (superficies)
nCirc = 150;
[Xi,Yi,Zi] = cylinder(Ri,nCirc); Zi = Zi*h;
surf(Xi,Yi,Zi, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none', 'FaceColor',[0.85 0.8 0.6]);
[Xe,Ye,Ze] = cylinder(Re,nCirc); Ze = Ze*h;
surf(Xe,Ye,Ze, 'FaceAlpha',0.25, 'EdgeColor','none', 'FaceColor',[0.85 0.9 0.75]);
% Dibujar la sección theta = 0: es el plano y = 0 (mostramos solo la porción r∈[Ri,Re], z∈[0,h], x>=0)
% En coordenadas cartesianas, sobre theta=0 los puntos tienen (x = r, y = 0).
X_patch = [Ri Re Re Ri]; % x extents
Y_patch = [0 0 0 0]; % y = 0 (plano)
Z_patch = [0 0 h h];
patch(X_patch, Y_patch, Z_patch, 'r','FaceAlpha',0.12,'EdgeColor','r','LineWidth',1.8);
% Resaltar aristas de la sección en rojo
plot3([Ri Re],[0 0],[0 0],'r','LineWidth',2) % borde inferior de la sección
plot3([Ri Re],[0 0],[h h],'r','LineWidth',2) % borde superior
plot3([Ri Ri],[0 0],[0 h],'r','LineWidth',2) % arista interior
plot3([Re Re],[0 0],[0 h],'r','LineWidth',2) % arista exterior
% Dibujar campo de velocidades en el plano theta=0 (posiciones x=r, y=0)
[xq,zq] = meshgrid(r,z);
yq = zeros(size(xq));
% Aquí Ux = 0, Uy = v_theta
quiverScale = 2;
quiver3(xq, yq, zq, Ux, Uy, Uz, quiverScale, 'b', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize',0.5);
title('Sección \theta = 0 del flujo de Couette entre cilindros');
xlim([-0.1, Re+0.5]);
ylim([-Re-0.5, Re+0.5]);
zlim([0 h]);
axis off;
% Mejoras estéticas
camlight; lighting phong;
hold off;}}

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-05T21:51:56Z

Laura Carazo: /* Campo de velocidades */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi]</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

===Velocidad de las partículas del fluido y análisis de la ecuación===
La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

===Análisis de la solución conocida===

Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se calculan las expresiones de ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

===Obtención de <math>a</math>, <math>b</math> y <math>\vec{u}</math>===
Para determinar a y b, de manera que la velocidad del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , el sentido de giro es contrario al creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , el sentido de giro es el creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre a, b, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -2\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar a y b en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.

De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>

A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -2\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -2\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-2\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{4}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{4}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>

Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

===Condición de incompresibilidad===
También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>

La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo Velocidades 67 Matewiki.png|500px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear; close all; clc;
% --------------------------
% PARÁMETROS
% --------------------------
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
omega_i = -1; % interior: horario
omega_e = +1; % exterior: antihorario
% --------------------------
% COEFICIENTES A y B
% --------------------------
B = (omega_i - omega_e) * (Ri^2 * Re^2) / (Re^2 - Ri^2);
A = omega_i - B / (Ri^2);
% --------------------------
% MALLA PARA FLECHAS
% --------------------------
Ntheta = 20;
Nr = 15;
thetas = linspace(0, 2*pi, Ntheta+1);
thetas(end) = [];
rhos = linspace(Ri, Re, Nr);
% --------------------------
% FIGURA
% --------------------------
figure('Color',[1 1 1]); hold on;
scale_quiver = 0.7;
for th = thetas

% velocidad tangencial u_theta en cada rho
u_theta = A .* rhos + B ./ rhos;

% componentes cartesianas
U = -u_theta .* sin(th);
V = u_theta .* cos(th);
% posiciones
X = rhos .* cos(th);
Y = rhos .* sin(th);
%Vectores
quiver(X, Y, U, V, scale_quiver, 'LineWidth', 1, ...
'MaxHeadSize', 1.6, 'Color',[0.85 0.45 0]);
end
% --------------------------
% CILINDROS
% --------------------------
tc = linspace(0,2*pi,500);
plot(Ri*cos(tc), Ri*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(tc), Re*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlim([-2.3 2.3]); ylim([-2.3 2.3]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de velocidades');
grid on;
}}

==Líneas de Corriente del campo==
===Campo <math>\vec{v}</math> ostogonal a <math>\vec{u}</math>===
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

===<math>\vec{v}</math> irrotacional===
Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

===Potencial escalar <math>\psi</math>===
El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}\,\vec e_{\theta} </math> y <math>v_{z}\,\vec e_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

===Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>===
Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho + \tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} \right]\vec{e}_{\theta} \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho}, </math>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho} </math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

* Cálculo de la derivada:

<math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -1 - \frac{2}{\rho^{2}}. </math>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{2}{\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -1-\frac{2}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{2}{\rho^{2}}=-1 \Longrightarrow \rho^{2}=-2, </math>

que no tiene solución real.

*Valores en los extremos del intervalo:

<math> u(1)=-1+\frac{2}{1}=1, \qquad u(2)=-2+\frac{2}{2}=-1. </math>

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-1</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\rho+\frac{2}{\rho}=0 \Longrightarrow \rho=\frac{2}{\rho} \Longrightarrow \rho^{2}=2 \Longrightarrow \rho=\sqrt{2}\approx 1,41. </math>

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en dos ocasiones: en <math>\rho=1</math> y en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a uno.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\rho+\frac{2}{\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Velocidad 67.jpeg|370px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-rho + 2./rho);

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho +\frac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math> \vec e_{\theta} </math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math>:

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e\right) </math></center>

Se deriva con respecto a 𝜌:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec u = \left(-\tfrac{2}{3}\omega_i-\tfrac{4}{3}\omega_e\right)\vec e_{z} </math></center>

Por tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rotgrupo67.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (modulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -1/3*omega_i - 2/3*omega_e;
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;

title('｜∇×u｜ con ｜ω_i｜=｜ω_e｜=1');
axis equal;

%% (Opcional) Dibujar los cilindros
hold on
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Campo Temperaturas 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente flujo 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Finalmente, el cálculo del caudal cuando <math>\theta = 0</math> se abordará integrando el módulo de la velocidad antes calculado y analizado, de tal manera que, como la sección resultante es un cuadrado de área 1 m2, y se supone que la velocidad viene expresada en m/s, dicho resultado es directamente el caudal <math>Q</math>, puesto <math>Q = v\cdot S</math>.

<center><math>\displaystyle \int_{1}^{2} u(\rho)\,d\rho=\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho = \left[-\tfrac{1}{2}\rho^{2}+2\ln\rho\right]_{1}^{2} = \left(-\tfrac{1}{2}\cdot 2^{2}+2\ln 2\right)-\left(-\tfrac{1}{2}\cdot 1^{2}+2\ln 1\right) = -\tfrac{3}{2}+2\ln 2. </math></center>

Cuya aproximacióin numérica es:

<center><math>\displaystyle
\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho
= -\tfrac{3}{2}+2\ln 2
\approx -0.113706 \, m^3/s
</math></center>

Así pues, atendiendo a los signos, el caudal compensado, entre la velocidad que avanza según <math>\vec{e}_{\theta}</math> y la que va en sentido contrario, queda en sentido -<math>\vec{e}_{\theta}</math>. Dicho resultado es coherente con el análisis sobre el módulo de la velocidad, se aprecia que el área bajo la curva del módulo de u es mayor cuando <math>\rho < \sqrt{2}</math>. Queda a continuación el dibujo que representa la sección y la velocidad del fluido a través de éste.

[[Archivo:Caudal flujo 67.png|450px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=<nowiki>
%% Flujo entre dos cilindros concéntricos — Flechas SOLO en θ = 0
clear; close all; clc

% Parámetros geométricos
R1 = 1;
R2 = 2;
H = 1;

% Radio donde la velocidad tangencial es nula
r0 = 1.41;

% Velocidad tangencial en los cilindros (igual magnitud)
w = 1; % magnitud (sentido se ajusta con signo)

% Resolver A y B para que U_theta(R1) = w, U_theta(R2) = -w y U_theta(r0) = 0
% Sistema:
% U_theta(r) = A*r + B/r
% 1) A*R1 + B/R1 = w
% 2) A*R2 + B/R2 = -w
% 3) A*r0 + B/r0 = 0 <-- condición redundante pero podemos ajustar B/A

% Usaremos la condición U_theta(r0) = 0 para relacionar B y A:
A = w / (R1 - R1^2/r0^2);
B = -A * r0^2;

%% Sección θ = 0 (solo flechas en x>0, y=0)
r = linspace(R1, R2, 8); % Pocas flechas en radial
z = linspace(0, H, 12); % Pocas flechas en altura

[R, Z] = meshgrid(r, z);

% Coordenadas
X = R;
Y = zeros(size(R));

% Velocidad tangencial
U_theta = A.*R + B./R;

U_x = 0*U_theta;
U_y = U_theta; % dirección tangencial en θ=0
U_z = 0*U_theta;

%% FIGURA 3D
figure('Position',[100 100 1200 900])
hold on
axis equal
%grid on
%xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Flujo entre los cilindros ','FontSize',14)

%% Cilindro exterior
theta = linspace(0,2*pi,200);
[THc, Zc] = meshgrid(theta, linspace(0,H,60));
surf(R2*cos(THc), R2*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.7 0.7 0.35], 'FaceAlpha',0.3, 'EdgeColor','none')

%% Cilindro interior
surf(R1*cos(THc), R1*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.5 0.5 0.25], 'FaceAlpha',0.4, 'EdgeColor','none')

%% Plano θ = 0
patch([R1 R2 R2 R1],[0 0 0 0],[0 0 H H], ...
'r','FaceAlpha',0.15,'EdgeColor','r','LineWidth',2)
text(R2,0,H/2,'\theta = 0','Color','r','FontSize',14)

%% FLECHAS GRANDES Y POCAS
quiver3(X, Y, Z, U_x, U_y, U_z, ...
1.5,... % ESCALA → flechas mucho más grandes
'b', ...
'LineWidth',1.5); % flecha gruesa y clara
axis off
view(45,25)
</nowiki>}}

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-05T21:51:04Z

Laura Carazo: /* Campo de velocidades */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi]</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

===Velocidad de las partículas del fluido y análisis de la ecuación===
La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

===Análisis de la solución conocida===

Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se calculan las expresiones de ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

===Obtención de <math>a</math>, <math>b</math> y <math>\vec{u}</math>===
Para determinar a y b, de manera que la velocidad del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , el sentido de giro es contrario al creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , el sentido de giro es el creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre a, b, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -2\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar a y b en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.

De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>

A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -2\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -2\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-2\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{4}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{4}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>

Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

===Condición de incompresibilidad===
También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>

La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo Velocidades 67 Matewiki.png|400px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear; close all; clc;
% --------------------------
% PARÁMETROS
% --------------------------
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
omega_i = -1; % interior: horario
omega_e = +1; % exterior: antihorario
% --------------------------
% COEFICIENTES A y B
% --------------------------
B = (omega_i - omega_e) * (Ri^2 * Re^2) / (Re^2 - Ri^2);
A = omega_i - B / (Ri^2);
% --------------------------
% MALLA PARA FLECHAS
% --------------------------
Ntheta = 20;
Nr = 15;
thetas = linspace(0, 2*pi, Ntheta+1);
thetas(end) = [];
rhos = linspace(Ri, Re, Nr);
% --------------------------
% FIGURA
% --------------------------
figure('Color',[1 1 1]); hold on;
scale_quiver = 0.7;
for th = thetas

% velocidad tangencial u_theta en cada rho
u_theta = A .* rhos + B ./ rhos;

% componentes cartesianas
U = -u_theta .* sin(th);
V = u_theta .* cos(th);
% posiciones
X = rhos .* cos(th);
Y = rhos .* sin(th);
%Vectores
quiver(X, Y, U, V, scale_quiver, 'LineWidth', 1, ...
'MaxHeadSize', 1.6, 'Color',[0.85 0.45 0]);
end
% --------------------------
% CILINDROS
% --------------------------
tc = linspace(0,2*pi,500);
plot(Ri*cos(tc), Ri*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(tc), Re*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlim([-2.3 2.3]); ylim([-2.3 2.3]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de velocidades');
grid on;
}}

==Líneas de Corriente del campo==
===Campo <math>\vec{v}</math> ostogonal a <math>\vec{u}</math>===
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

===<math>\vec{v}</math> irrotacional===
Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

===Potencial escalar <math>\psi</math>===
El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}\,\vec e_{\theta} </math> y <math>v_{z}\,\vec e_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

===Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>===
Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho + \tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} \right]\vec{e}_{\theta} \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho}, </math>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho} </math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

* Cálculo de la derivada:

<math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -1 - \frac{2}{\rho^{2}}. </math>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{2}{\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -1-\frac{2}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{2}{\rho^{2}}=-1 \Longrightarrow \rho^{2}=-2, </math>

que no tiene solución real.

*Valores en los extremos del intervalo:

<math> u(1)=-1+\frac{2}{1}=1, \qquad u(2)=-2+\frac{2}{2}=-1. </math>

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-1</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\rho+\frac{2}{\rho}=0 \Longrightarrow \rho=\frac{2}{\rho} \Longrightarrow \rho^{2}=2 \Longrightarrow \rho=\sqrt{2}\approx 1,41. </math>

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en dos ocasiones: en <math>\rho=1</math> y en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a uno.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\rho+\frac{2}{\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Velocidad 67.jpeg|370px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-rho + 2./rho);

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho +\frac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math> \vec e_{\theta} </math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math>:

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e\right) </math></center>

Se deriva con respecto a 𝜌:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec u = \left(-\tfrac{2}{3}\omega_i-\tfrac{4}{3}\omega_e\right)\vec e_{z} </math></center>

Por tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rotgrupo67.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (modulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -1/3*omega_i - 2/3*omega_e;
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;

title('｜∇×u｜ con ｜ω_i｜=｜ω_e｜=1');
axis equal;

%% (Opcional) Dibujar los cilindros
hold on
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Campo Temperaturas 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente flujo 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Finalmente, el cálculo del caudal cuando <math>\theta = 0</math> se abordará integrando el módulo de la velocidad antes calculado y analizado, de tal manera que, como la sección resultante es un cuadrado de área 1 m2, y se supone que la velocidad viene expresada en m/s, dicho resultado es directamente el caudal <math>Q</math>, puesto <math>Q = v\cdot S</math>.

<center><math>\displaystyle \int_{1}^{2} u(\rho)\,d\rho=\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho = \left[-\tfrac{1}{2}\rho^{2}+2\ln\rho\right]_{1}^{2} = \left(-\tfrac{1}{2}\cdot 2^{2}+2\ln 2\right)-\left(-\tfrac{1}{2}\cdot 1^{2}+2\ln 1\right) = -\tfrac{3}{2}+2\ln 2. </math></center>

Cuya aproximacióin numérica es:

<center><math>\displaystyle
\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho
= -\tfrac{3}{2}+2\ln 2
\approx -0.113706 \, m^3/s
</math></center>

Así pues, atendiendo a los signos, el caudal compensado, entre la velocidad que avanza según <math>\vec{e}_{\theta}</math> y la que va en sentido contrario, queda en sentido -<math>\vec{e}_{\theta}</math>. Dicho resultado es coherente con el análisis sobre el módulo de la velocidad, se aprecia que el área bajo la curva del módulo de u es mayor cuando <math>\rho < \sqrt{2}</math>. Queda a continuación el dibujo que representa la sección y la velocidad del fluido a través de éste.

[[Archivo:Caudal flujo 67.png|450px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=<nowiki>
%% Flujo entre dos cilindros concéntricos — Flechas SOLO en θ = 0
clear; close all; clc

% Parámetros geométricos
R1 = 1;
R2 = 2;
H = 1;

% Radio donde la velocidad tangencial es nula
r0 = 1.41;

% Velocidad tangencial en los cilindros (igual magnitud)
w = 1; % magnitud (sentido se ajusta con signo)

% Resolver A y B para que U_theta(R1) = w, U_theta(R2) = -w y U_theta(r0) = 0
% Sistema:
% U_theta(r) = A*r + B/r
% 1) A*R1 + B/R1 = w
% 2) A*R2 + B/R2 = -w
% 3) A*r0 + B/r0 = 0 <-- condición redundante pero podemos ajustar B/A

% Usaremos la condición U_theta(r0) = 0 para relacionar B y A:
A = w / (R1 - R1^2/r0^2);
B = -A * r0^2;

%% Sección θ = 0 (solo flechas en x>0, y=0)
r = linspace(R1, R2, 8); % Pocas flechas en radial
z = linspace(0, H, 12); % Pocas flechas en altura

[R, Z] = meshgrid(r, z);

% Coordenadas
X = R;
Y = zeros(size(R));

% Velocidad tangencial
U_theta = A.*R + B./R;

U_x = 0*U_theta;
U_y = U_theta; % dirección tangencial en θ=0
U_z = 0*U_theta;

%% FIGURA 3D
figure('Position',[100 100 1200 900])
hold on
axis equal
%grid on
%xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Flujo entre los cilindros ','FontSize',14)

%% Cilindro exterior
theta = linspace(0,2*pi,200);
[THc, Zc] = meshgrid(theta, linspace(0,H,60));
surf(R2*cos(THc), R2*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.7 0.7 0.35], 'FaceAlpha',0.3, 'EdgeColor','none')

%% Cilindro interior
surf(R1*cos(THc), R1*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.5 0.5 0.25], 'FaceAlpha',0.4, 'EdgeColor','none')

%% Plano θ = 0
patch([R1 R2 R2 R1],[0 0 0 0],[0 0 H H], ...
'r','FaceAlpha',0.15,'EdgeColor','r','LineWidth',2)
text(R2,0,H/2,'\theta = 0','Color','r','FontSize',14)

%% FLECHAS GRANDES Y POCAS
quiver3(X, Y, Z, U_x, U_y, U_z, ...
1.5,... % ESCALA → flechas mucho más grandes
'b', ...
'LineWidth',1.5); % flecha gruesa y clara
axis off
view(45,25)
</nowiki>}}

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-05T21:50:48Z

Laura Carazo: /* Campo de velocidades */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi]</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

===Velocidad de las partículas del fluido y análisis de la ecuación===
La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

===Análisis de la solución conocida===

Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se calculan las expresiones de ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

===Obtención de <math>a</math>, <math>b</math> y <math>\vec{u}</math>===
Para determinar a y b, de manera que la velocidad del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , el sentido de giro es contrario al creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , el sentido de giro es el creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre a, b, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -2\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar a y b en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.

De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>

A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -2\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -2\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-2\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{4}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{4}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>

Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

===Condición de incompresibilidad===
También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>

La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo Velocidades 67 Matewiki.png|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear; close all; clc;
% --------------------------
% PARÁMETROS
% --------------------------
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
omega_i = -1; % interior: horario
omega_e = +1; % exterior: antihorario
% --------------------------
% COEFICIENTES A y B
% --------------------------
B = (omega_i - omega_e) * (Ri^2 * Re^2) / (Re^2 - Ri^2);
A = omega_i - B / (Ri^2);
% --------------------------
% MALLA PARA FLECHAS
% --------------------------
Ntheta = 20;
Nr = 15;
thetas = linspace(0, 2*pi, Ntheta+1);
thetas(end) = [];
rhos = linspace(Ri, Re, Nr);
% --------------------------
% FIGURA
% --------------------------
figure('Color',[1 1 1]); hold on;
scale_quiver = 0.7;
for th = thetas

% velocidad tangencial u_theta en cada rho
u_theta = A .* rhos + B ./ rhos;

% componentes cartesianas
U = -u_theta .* sin(th);
V = u_theta .* cos(th);
% posiciones
X = rhos .* cos(th);
Y = rhos .* sin(th);
%Vectores
quiver(X, Y, U, V, scale_quiver, 'LineWidth', 1, ...
'MaxHeadSize', 1.6, 'Color',[0.85 0.45 0]);
end
% --------------------------
% CILINDROS
% --------------------------
tc = linspace(0,2*pi,500);
plot(Ri*cos(tc), Ri*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(tc), Re*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlim([-2.3 2.3]); ylim([-2.3 2.3]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de velocidades');
grid on;
}}

==Líneas de Corriente del campo==
===Campo <math>\vec{v}</math> ostogonal a <math>\vec{u}</math>===
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

===<math>\vec{v}</math> irrotacional===
Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

===Potencial escalar <math>\psi</math>===
El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}\,\vec e_{\theta} </math> y <math>v_{z}\,\vec e_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

===Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>===
Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho + \tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} \right]\vec{e}_{\theta} \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho}, </math>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho} </math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

* Cálculo de la derivada:

<math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -1 - \frac{2}{\rho^{2}}. </math>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{2}{\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -1-\frac{2}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{2}{\rho^{2}}=-1 \Longrightarrow \rho^{2}=-2, </math>

que no tiene solución real.

*Valores en los extremos del intervalo:

<math> u(1)=-1+\frac{2}{1}=1, \qquad u(2)=-2+\frac{2}{2}=-1. </math>

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-1</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\rho+\frac{2}{\rho}=0 \Longrightarrow \rho=\frac{2}{\rho} \Longrightarrow \rho^{2}=2 \Longrightarrow \rho=\sqrt{2}\approx 1,41. </math>

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en dos ocasiones: en <math>\rho=1</math> y en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a uno.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\rho+\frac{2}{\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Velocidad 67.jpeg|370px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-rho + 2./rho);

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho +\frac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math> \vec e_{\theta} </math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math>:

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e\right) </math></center>

Se deriva con respecto a 𝜌:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec u = \left(-\tfrac{2}{3}\omega_i-\tfrac{4}{3}\omega_e\right)\vec e_{z} </math></center>

Por tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rotgrupo67.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (modulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -1/3*omega_i - 2/3*omega_e;
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;

title('｜∇×u｜ con ｜ω_i｜=｜ω_e｜=1');
axis equal;

%% (Opcional) Dibujar los cilindros
hold on
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Campo Temperaturas 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente flujo 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Finalmente, el cálculo del caudal cuando <math>\theta = 0</math> se abordará integrando el módulo de la velocidad antes calculado y analizado, de tal manera que, como la sección resultante es un cuadrado de área 1 m2, y se supone que la velocidad viene expresada en m/s, dicho resultado es directamente el caudal <math>Q</math>, puesto <math>Q = v\cdot S</math>.

<center><math>\displaystyle \int_{1}^{2} u(\rho)\,d\rho=\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho = \left[-\tfrac{1}{2}\rho^{2}+2\ln\rho\right]_{1}^{2} = \left(-\tfrac{1}{2}\cdot 2^{2}+2\ln 2\right)-\left(-\tfrac{1}{2}\cdot 1^{2}+2\ln 1\right) = -\tfrac{3}{2}+2\ln 2. </math></center>

Cuya aproximacióin numérica es:

<center><math>\displaystyle
\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho
= -\tfrac{3}{2}+2\ln 2
\approx -0.113706 \, m^3/s
</math></center>

Así pues, atendiendo a los signos, el caudal compensado, entre la velocidad que avanza según <math>\vec{e}_{\theta}</math> y la que va en sentido contrario, queda en sentido -<math>\vec{e}_{\theta}</math>. Dicho resultado es coherente con el análisis sobre el módulo de la velocidad, se aprecia que el área bajo la curva del módulo de u es mayor cuando <math>\rho < \sqrt{2}</math>. Queda a continuación el dibujo que representa la sección y la velocidad del fluido a través de éste.

[[Archivo:Caudal flujo 67.png|450px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=<nowiki>
%% Flujo entre dos cilindros concéntricos — Flechas SOLO en θ = 0
clear; close all; clc

% Parámetros geométricos
R1 = 1;
R2 = 2;
H = 1;

% Radio donde la velocidad tangencial es nula
r0 = 1.41;

% Velocidad tangencial en los cilindros (igual magnitud)
w = 1; % magnitud (sentido se ajusta con signo)

% Resolver A y B para que U_theta(R1) = w, U_theta(R2) = -w y U_theta(r0) = 0
% Sistema:
% U_theta(r) = A*r + B/r
% 1) A*R1 + B/R1 = w
% 2) A*R2 + B/R2 = -w
% 3) A*r0 + B/r0 = 0 <-- condición redundante pero podemos ajustar B/A

% Usaremos la condición U_theta(r0) = 0 para relacionar B y A:
A = w / (R1 - R1^2/r0^2);
B = -A * r0^2;

%% Sección θ = 0 (solo flechas en x>0, y=0)
r = linspace(R1, R2, 8); % Pocas flechas en radial
z = linspace(0, H, 12); % Pocas flechas en altura

[R, Z] = meshgrid(r, z);

% Coordenadas
X = R;
Y = zeros(size(R));

% Velocidad tangencial
U_theta = A.*R + B./R;

U_x = 0*U_theta;
U_y = U_theta; % dirección tangencial en θ=0
U_z = 0*U_theta;

%% FIGURA 3D
figure('Position',[100 100 1200 900])
hold on
axis equal
%grid on
%xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Flujo entre los cilindros ','FontSize',14)

%% Cilindro exterior
theta = linspace(0,2*pi,200);
[THc, Zc] = meshgrid(theta, linspace(0,H,60));
surf(R2*cos(THc), R2*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.7 0.7 0.35], 'FaceAlpha',0.3, 'EdgeColor','none')

%% Cilindro interior
surf(R1*cos(THc), R1*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.5 0.5 0.25], 'FaceAlpha',0.4, 'EdgeColor','none')

%% Plano θ = 0
patch([R1 R2 R2 R1],[0 0 0 0],[0 0 H H], ...
'r','FaceAlpha',0.15,'EdgeColor','r','LineWidth',2)
text(R2,0,H/2,'\theta = 0','Color','r','FontSize',14)

%% FLECHAS GRANDES Y POCAS
quiver3(X, Y, Z, U_x, U_y, U_z, ...
1.5,... % ESCALA → flechas mucho más grandes
'b', ...
'LineWidth',1.5); % flecha gruesa y clara
axis off
view(45,25)
</nowiki>}}

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-05T21:49:33Z

Laura Carazo: /* Campo de velocidades */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi]</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

===Velocidad de las partículas del fluido y análisis de la ecuación===
La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

===Análisis de la solución conocida===

Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se calculan las expresiones de ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

===Obtención de <math>a</math>, <math>b</math> y <math>\vec{u}</math>===
Para determinar a y b, de manera que la velocidad del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , el sentido de giro es contrario al creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , el sentido de giro es el creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre a, b, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -2\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar a y b en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.

De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>

A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -2\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -2\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-2\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{4}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{4}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>

Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

===Condición de incompresibilidad===
También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>

La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo Velocidades 67 Matewiki.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear; close all; clc;
% --------------------------
% PARÁMETROS
% --------------------------
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
omega_i = -1; % interior: horario
omega_e = +1; % exterior: antihorario
% --------------------------
% COEFICIENTES A y B
% --------------------------
B = (omega_i - omega_e) * (Ri^2 * Re^2) / (Re^2 - Ri^2);
A = omega_i - B / (Ri^2);
% --------------------------
% MALLA PARA FLECHAS
% --------------------------
Ntheta = 20;
Nr = 15;
thetas = linspace(0, 2*pi, Ntheta+1);
thetas(end) = [];
rhos = linspace(Ri, Re, Nr);
% --------------------------
% FIGURA
% --------------------------
figure('Color',[1 1 1]); hold on;
scale_quiver = 0.7;
for th = thetas

% velocidad tangencial u_theta en cada rho
u_theta = A .* rhos + B ./ rhos;

% componentes cartesianas
U = -u_theta .* sin(th);
V = u_theta .* cos(th);
% posiciones
X = rhos .* cos(th);
Y = rhos .* sin(th);
%Vectores
quiver(X, Y, U, V, scale_quiver, 'LineWidth', 1, ...
'MaxHeadSize', 1.6, 'Color',[0.85 0.45 0]);
end
% --------------------------
% CILINDROS
% --------------------------
tc = linspace(0,2*pi,500);
plot(Ri*cos(tc), Ri*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(tc), Re*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlim([-2.3 2.3]); ylim([-2.3 2.3]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de velocidades');
grid on;
}}

==Líneas de Corriente del campo==
===Campo <math>\vec{v}</math> ostogonal a <math>\vec{u}</math>===
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

===<math>\vec{v}</math> irrotacional===
Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

===Potencial escalar <math>\psi</math>===
El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}\,\vec e_{\theta} </math> y <math>v_{z}\,\vec e_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

===Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>===
Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho + \tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} \right]\vec{e}_{\theta} \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho}, </math>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho} </math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

* Cálculo de la derivada:

<math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -1 - \frac{2}{\rho^{2}}. </math>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{2}{\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -1-\frac{2}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{2}{\rho^{2}}=-1 \Longrightarrow \rho^{2}=-2, </math>

que no tiene solución real.

*Valores en los extremos del intervalo:

<math> u(1)=-1+\frac{2}{1}=1, \qquad u(2)=-2+\frac{2}{2}=-1. </math>

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-1</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\rho+\frac{2}{\rho}=0 \Longrightarrow \rho=\frac{2}{\rho} \Longrightarrow \rho^{2}=2 \Longrightarrow \rho=\sqrt{2}\approx 1,41. </math>

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en dos ocasiones: en <math>\rho=1</math> y en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a uno.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\rho+\frac{2}{\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Velocidad 67.jpeg|370px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-rho + 2./rho);

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho +\frac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math> \vec e_{\theta} </math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math>:

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e\right) </math></center>

Se deriva con respecto a 𝜌:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec u = \left(-\tfrac{2}{3}\omega_i-\tfrac{4}{3}\omega_e\right)\vec e_{z} </math></center>

Por tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rotgrupo67.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (modulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -1/3*omega_i - 2/3*omega_e;
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;

title('｜∇×u｜ con ｜ω_i｜=｜ω_e｜=1');
axis equal;

%% (Opcional) Dibujar los cilindros
hold on
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Campo Temperaturas 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente flujo 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Finalmente, el cálculo del caudal cuando <math>\theta = 0</math> se abordará integrando el módulo de la velocidad antes calculado y analizado, de tal manera que, como la sección resultante es un cuadrado de área 1 m2, y se supone que la velocidad viene expresada en m/s, dicho resultado es directamente el caudal <math>Q</math>, puesto <math>Q = v\cdot S</math>.

<center><math>\displaystyle \int_{1}^{2} u(\rho)\,d\rho=\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho = \left[-\tfrac{1}{2}\rho^{2}+2\ln\rho\right]_{1}^{2} = \left(-\tfrac{1}{2}\cdot 2^{2}+2\ln 2\right)-\left(-\tfrac{1}{2}\cdot 1^{2}+2\ln 1\right) = -\tfrac{3}{2}+2\ln 2. </math></center>

Cuya aproximacióin numérica es:

<center><math>\displaystyle
\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho
= -\tfrac{3}{2}+2\ln 2
\approx -0.113706 \, m^3/s
</math></center>

Así pues, atendiendo a los signos, el caudal compensado, entre la velocidad que avanza según <math>\vec{e}_{\theta}</math> y la que va en sentido contrario, queda en sentido -<math>\vec{e}_{\theta}</math>. Dicho resultado es coherente con el análisis sobre el módulo de la velocidad, se aprecia que el área bajo la curva del módulo de u es mayor cuando <math>\rho < \sqrt{2}</math>. Queda a continuación el dibujo que representa la sección y la velocidad del fluido a través de éste.

[[Archivo:Caudal flujo 67.png|450px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=<nowiki>
%% Flujo entre dos cilindros concéntricos — Flechas SOLO en θ = 0
clear; close all; clc

% Parámetros geométricos
R1 = 1;
R2 = 2;
H = 1;

% Radio donde la velocidad tangencial es nula
r0 = 1.41;

% Velocidad tangencial en los cilindros (igual magnitud)
w = 1; % magnitud (sentido se ajusta con signo)

% Resolver A y B para que U_theta(R1) = w, U_theta(R2) = -w y U_theta(r0) = 0
% Sistema:
% U_theta(r) = A*r + B/r
% 1) A*R1 + B/R1 = w
% 2) A*R2 + B/R2 = -w
% 3) A*r0 + B/r0 = 0 <-- condición redundante pero podemos ajustar B/A

% Usaremos la condición U_theta(r0) = 0 para relacionar B y A:
A = w / (R1 - R1^2/r0^2);
B = -A * r0^2;

%% Sección θ = 0 (solo flechas en x>0, y=0)
r = linspace(R1, R2, 8); % Pocas flechas en radial
z = linspace(0, H, 12); % Pocas flechas en altura

[R, Z] = meshgrid(r, z);

% Coordenadas
X = R;
Y = zeros(size(R));

% Velocidad tangencial
U_theta = A.*R + B./R;

U_x = 0*U_theta;
U_y = U_theta; % dirección tangencial en θ=0
U_z = 0*U_theta;

%% FIGURA 3D
figure('Position',[100 100 1200 900])
hold on
axis equal
%grid on
%xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Flujo entre los cilindros ','FontSize',14)

%% Cilindro exterior
theta = linspace(0,2*pi,200);
[THc, Zc] = meshgrid(theta, linspace(0,H,60));
surf(R2*cos(THc), R2*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.7 0.7 0.35], 'FaceAlpha',0.3, 'EdgeColor','none')

%% Cilindro interior
surf(R1*cos(THc), R1*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.5 0.5 0.25], 'FaceAlpha',0.4, 'EdgeColor','none')

%% Plano θ = 0
patch([R1 R2 R2 R1],[0 0 0 0],[0 0 H H], ...
'r','FaceAlpha',0.15,'EdgeColor','r','LineWidth',2)
text(R2,0,H/2,'\theta = 0','Color','r','FontSize',14)

%% FLECHAS GRANDES Y POCAS
quiver3(X, Y, Z, U_x, U_y, U_z, ...
1.5,... % ESCALA → flechas mucho más grandes
'b', ...
'LineWidth',1.5); % flecha gruesa y clara
axis off
view(45,25)
</nowiki>}}

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Campo Velocidades 67 Matewiki.png

2025-12-05T21:48:30Z

Laura Carazo:

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-05T21:42:54Z

Laura Carazo: /* Campo de velocidades */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi]</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

===Velocidad de las partículas del fluido y análisis de la ecuación===
La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

===Análisis de la solución conocida===

Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se calculan las expresiones de ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

===Obtención de <math>a</math>, <math>b</math> y <math>\vec{u}</math>===
Para determinar a y b, de manera que la velocidad del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , el sentido de giro es contrario al creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , el sentido de giro es el creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre a, b, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -2\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar a y b en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.

De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>

A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -2\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -2\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-2\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{4}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{4}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{4}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>

Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

===Condición de incompresibilidad===
También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>

La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo de velocidades 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear; close all; clc;
% --------------------------
% PARÁMETROS
% --------------------------
Ri = 1; % radio interior
Re = 2; % radio exterior
omega_i = -1; % interior: horario
omega_e = +1; % exterior: antihorario
% --------------------------
% COEFICIENTES A y B
% --------------------------
B = (omega_i - omega_e) * (Ri^2 * Re^2) / (Re^2 - Ri^2);
A = omega_i - B / (Ri^2);
% --------------------------
% MALLA PARA FLECHAS
% --------------------------
Ntheta = 20;
Nr = 15;
thetas = linspace(0, 2*pi, Ntheta+1);
thetas(end) = [];
rhos = linspace(Ri, Re, Nr);
% --------------------------
% FIGURA
% --------------------------
figure('Color',[1 1 1]); hold on;
scale_quiver = 0.7;
for th = thetas

% velocidad tangencial u_theta en cada rho
u_theta = A .* rhos + B ./ rhos;

% componentes cartesianas
U = -u_theta .* sin(th);
V = u_theta .* cos(th);
% posiciones
X = rhos .* cos(th);
Y = rhos .* sin(th);
%Vectores
quiver(X, Y, U, V, scale_quiver, 'LineWidth', 1, ...
'MaxHeadSize', 1.6, 'Color',[0.85 0.45 0]);
end
% --------------------------
% CILINDROS
% --------------------------
tc = linspace(0,2*pi,500);
plot(Ri*cos(tc), Ri*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(tc), Re*sin(tc), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlim([-2.3 2.3]); ylim([-2.3 2.3]);
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo de velocidades');
grid on;
}}

==Líneas de Corriente del campo==
===Campo <math>\vec{v}</math> ostogonal a <math>\vec{u}</math>===
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{4}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

===<math>\vec{v}</math> irrotacional===
Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

===Potencial escalar <math>\psi</math>===
El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{4}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}\,\vec e_{\theta} </math> y <math>v_{z}\,\vec e_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{4}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

===Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>===
Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho + \tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} \right]\vec{e}_{\theta} \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho}, </math>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho} </math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

* Cálculo de la derivada:

<math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -1 - \frac{2}{\rho^{2}}. </math>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{2}{\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -1-\frac{2}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{2}{\rho^{2}}=-1 \Longrightarrow \rho^{2}=-2, </math>

que no tiene solución real.

*Valores en los extremos del intervalo:

<math> u(1)=-1+\frac{2}{1}=1, \qquad u(2)=-2+\frac{2}{2}=-1. </math>

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-1</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\rho+\frac{2}{\rho}=0 \Longrightarrow \rho=\frac{2}{\rho} \Longrightarrow \rho^{2}=2 \Longrightarrow \rho=\sqrt{2}\approx 1,41. </math>

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en dos ocasiones: en <math>\rho=1</math> y en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a uno.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\rho+\frac{2}{\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Velocidad 67.jpeg|370px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-rho + 2./rho);

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho +\frac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math> \vec e_{\theta} </math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math>:

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e\right) </math></center>

Se deriva con respecto a 𝜌:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec u = \left(-\tfrac{2}{3}\omega_i-\tfrac{4}{3}\omega_e\right)\vec e_{z} </math></center>

Por tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rotgrupo67.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (modulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -1/3*omega_i - 2/3*omega_e;
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;

title('｜∇×u｜ con ｜ω_i｜=｜ω_e｜=1');
axis equal;

%% (Opcional) Dibujar los cilindros
hold on
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Campo Temperaturas 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente flujo 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Finalmente, el cálculo del caudal cuando <math>\theta = 0</math> se abordará integrando el módulo de la velocidad antes calculado y analizado, de tal manera que, como la sección resultante es un cuadrado de área 1 m2, y se supone que la velocidad viene expresada en m/s, dicho resultado es directamente el caudal <math>Q</math>, puesto <math>Q = v\cdot S</math>.

<center><math>\displaystyle \int_{1}^{2} u(\rho)\,d\rho=\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho = \left[-\tfrac{1}{2}\rho^{2}+2\ln\rho\right]_{1}^{2} = \left(-\tfrac{1}{2}\cdot 2^{2}+2\ln 2\right)-\left(-\tfrac{1}{2}\cdot 1^{2}+2\ln 1\right) = -\tfrac{3}{2}+2\ln 2. </math></center>

Cuya aproximacióin numérica es:

<center><math>\displaystyle
\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho
= -\tfrac{3}{2}+2\ln 2
\approx -0.113706 \, m^3/s
</math></center>

Así pues, atendiendo a los signos, el caudal compensado, entre la velocidad que avanza según <math>\vec{e}_{\theta}</math> y la que va en sentido contrario, queda en sentido -<math>\vec{e}_{\theta}</math>. Dicho resultado es coherente con el análisis sobre el módulo de la velocidad, se aprecia que el área bajo la curva del módulo de u es mayor cuando <math>\rho < \sqrt{2}</math>. Queda a continuación el dibujo que representa la sección y la velocidad del fluido a través de éste.

[[Archivo:Caudal flujo 67.png|450px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=<nowiki>
%% Flujo entre dos cilindros concéntricos — Flechas SOLO en θ = 0
clear; close all; clc

% Parámetros geométricos
R1 = 1;
R2 = 2;
H = 1;

% Radio donde la velocidad tangencial es nula
r0 = 1.41;

% Velocidad tangencial en los cilindros (igual magnitud)
w = 1; % magnitud (sentido se ajusta con signo)

% Resolver A y B para que U_theta(R1) = w, U_theta(R2) = -w y U_theta(r0) = 0
% Sistema:
% U_theta(r) = A*r + B/r
% 1) A*R1 + B/R1 = w
% 2) A*R2 + B/R2 = -w
% 3) A*r0 + B/r0 = 0 <-- condición redundante pero podemos ajustar B/A

% Usaremos la condición U_theta(r0) = 0 para relacionar B y A:
A = w / (R1 - R1^2/r0^2);
B = -A * r0^2;

%% Sección θ = 0 (solo flechas en x>0, y=0)
r = linspace(R1, R2, 8); % Pocas flechas en radial
z = linspace(0, H, 12); % Pocas flechas en altura

[R, Z] = meshgrid(r, z);

% Coordenadas
X = R;
Y = zeros(size(R));

% Velocidad tangencial
U_theta = A.*R + B./R;

U_x = 0*U_theta;
U_y = U_theta; % dirección tangencial en θ=0
U_z = 0*U_theta;

%% FIGURA 3D
figure('Position',[100 100 1200 900])
hold on
axis equal
%grid on
%xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Flujo entre los cilindros ','FontSize',14)

%% Cilindro exterior
theta = linspace(0,2*pi,200);
[THc, Zc] = meshgrid(theta, linspace(0,H,60));
surf(R2*cos(THc), R2*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.7 0.7 0.35], 'FaceAlpha',0.3, 'EdgeColor','none')

%% Cilindro interior
surf(R1*cos(THc), R1*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.5 0.5 0.25], 'FaceAlpha',0.4, 'EdgeColor','none')

%% Plano θ = 0
patch([R1 R2 R2 R1],[0 0 0 0],[0 0 H H], ...
'r','FaceAlpha',0.15,'EdgeColor','r','LineWidth',2)
text(R2,0,H/2,'\theta = 0','Color','r','FontSize',14)

%% FLECHAS GRANDES Y POCAS
quiver3(X, Y, Z, U_x, U_y, U_z, ...
1.5,... % ESCALA → flechas mucho más grandes
'b', ...
'LineWidth',1.5); % flecha gruesa y clara
axis off
view(45,25)
</nowiki>}}

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Flujo de Couette entre dos tubos cocéntricos. Grupo 14

2025-12-05T08:57:01Z

Laura Carazo: /* Ecuación Navier-Stokes */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 14| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
Oscar García Caballero
Daniel García-Alcaide Presa
Eduardo Juarranz del Valle
Juan Holgado Sánchez

Jose Antonio Calvo de las Heras }}

El '''flujo de Couette''' es un fenómeno fundamental en la mecánica de fluidos que describe el comportamiento de un fluido entre dos superficies paralelas, una de las cuales se mueve en relación con la otra mientras el fluido permanece confinado en el espacio intermedio. Este flujo, caracterizado por su sencillez y su amplia aplicabilidad, ha sido estudiado extensamente debido a su relevancia en la modelización de sistemas mecánicos.

En este artículo se va a proceder al análisis del flujo de un fluido incomprensible a través de dos cilíndros concéntricos de manera que el cilindro exterior se mueve con velocidad angular constante en sentido horario, mientras que el cilindro interior está fijo.

==Mallado de la sección transversal==
Primeramente vamos a representar una sección transversal del fluido respecto a los parámetros <math> \rho=2 </math> para el tubo exterior, <math> \rho=1 </math> para el tubo interior y <math> \theta ∈ [0,2\pi]</math> . Seccionamos ambos tubos según el plano <math>x_3=0</math>, representamos los ejes mediante los <math> (x,y) ∈ [-4,4] × [-4,4]</math>.

Para poder representar la sección seguimos el siguiente código en MatLab:
[[Archivo:Mallado3.jpeg|400px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% MALLADO DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL
rho=1:0.08:2; % INTERVALO DE RHO [1,2]
theta=0:0.08:2*pi; % INTERVALO DE THETA [0,2*PI]
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta); % MATRIZ DE PARAMETROS
rho1=1;
rho2=2;
[RHO1,THETA1]=meshgrid(rho1,theta);
[RHO2,THETA2]=meshgrid(rho2,theta);
hold on
grid on % MALLADO EJES
x=RHO.*cos(THETA); % PARAM DE X
y=RHO.*sin(THETA); % PARAM DE Y
mesh(x,y,0*x,'EdgeColor','b') % DIBUJO DE LA FIGURA
t=rho1.*cos(theta); % CREACION CILINDRO INTERIOR
s=rho1.*sin(theta);
plot(t,s,'k','LineWidth',2)
t=rho2.*cos(theta); % CREACION CILINDRO EXTERIOR
s=rho2.*sin(theta);
plot(t,s,'k','LineWidth',2)
axis([-4,4,-4,4]) % EJES DEL DIBUJO
title('MALLADO DE LA SECCION TRANSVERSAL') % TITULO DE LA GÁFICA
hold off
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Análisis de la solución conocida====

A continuación, vamos a comprobar si la ecuación diferencial que hemos obtenido satisface la solución conocida, que viene dada por:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para realizar la comprobación, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Una vez halladas las derivadas, sustituimos en la ecuación y comprobamos que:

<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Por último, para hallar el campo de velocidades concreto, tenemos que imponer las condiciones que conocemos, ya que al resolver la ecuación diferencial de segundo orden han aparecido dos constantes desconocidas.

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\vec{0} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow
a+b=0 </math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \omega \vec{e_z} \Longrightarrow f(2)\vec{e_z}=\omega \vec{e_z} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=2\omega\vec{e_θ} \Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}=2\omega </math>

Una vez impuestas estas dos condiciones, resulta un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas donde

<center><math> a = \frac{4}{3}\omega </math></center> <center><math> b = -\frac{4}{3}\omega</math></center>

concluyendo por lo tanto que:
<center><math>f(ρ) = \frac{4}{3}\omega ρ -\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Campo de velocidades==
Para el cálculo del campo de velocidades suponemos que ω = 1 y μ = 1, y por lo tanto las constantes serán:
<center><math>a = \frac{4}{3} </math> y <math> b = -\frac{4}{3}</math></center>
Sustituimos en la función:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right ) </math></center>
De tal forma que nuestro campo de velocidades quedaría expresado por:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right )\cdot\vec{e}_\theta </math></center>

A continuación, representamos este campo mediante una gráfica de mathlab:
[[Archivo:campovelocities2.jpg|375px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
% CAMPO DE VELOCIDADES
u=1:0.15:2; % INTERVALO DE U
v=0:0.3:2*pi; % INTERVALO DE V
[U,V]=meshgrid(u,v); % MATRIZ DE PARAMETROS
x=U.*cos(V); % PARAMETRIZACIÓN
y=U.*sin(V);
X=sin(V).*((4/3)*(U-1./U)); % FUNCION
Y=cos(V).*(-(4/3)*(U-1./U)); % FUNCION
hold on
grid on
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
axis([-3,3,-3,3])
quiver(x,y,X,Y); % DIBUJO CAMPO VECTORIAL
hold off
}}
En la imagen del campo de velocidades podemos apreciar lo siguiente: las flechas indican que las partículas del fluido se mueven en trayectorias cerradas; el tamaño de las flechas puede ser proporcional a la magnitud de la velocidad en cada punto, las flechas son más grandes en regiones exteriores lo que indica que la velocidad aumenta al alejarse del centro y el centro muestra una zona con flechas pequeñas o ausentes que indica una baja velocidad, al alejarnos del eje la velocidad aumenta.

==Líneas de Corriente del campo==
Las líneas de corriente son tangentes al campo <math> \vec u </math> en cada punto, de modo que vamos a buscar el campo <math> \vec v </math> que es perpendicular al campo <math> \vec u </math>.
<center><math> \vec{v} = {e_z}\times\vec{u} \Longrightarrow \vec{v} = \frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right ) (\vec{e_z}\times\vec{e_\theta}) \Longrightarrow \vec{v} = \frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right ) (-\vec{e_\rho}) \Longrightarrow \vec{v} = -\frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right )\cdot\vec{e_\rho} </math></center>
===Irrotacionalidad de <math> \vec v </math>===
Vamos a comprobar si el campo <math> \vec v </math> es irrotacional, el campo seguramente lo sea ya que la divergencia de <math> \vec u </math> es nula. Esto se comprueba al calcular el rotacional del campo <math> \vec v </math>.
<center><math> \nabla\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{e_\rho} & \rho\vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ -\frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right ) & 0 & 0 \end{vmatrix} \Longrightarrow \nabla\times\vec{v} = \vec{0} </math></center>
Efectivamente el campo <math> \vec v </math> es irrotacional.

===Cálculo de la función de corriente de <math> \vec u </math> y de <math> \psi </math>===
Sabemos que el vector <math> \vec v </math> es:

<center><math> \vec{v} = \nabla\psi \Longrightarrow -\frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right )\cdot\vec{e}_\rho = \frac{\partial\psi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta + \frac{\partial\psi}{\partial z}\vec{e}_z </math></center>

De esta igualdad despejamos <math> \psi </math>:

<center><math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho} = -\frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right ) \Longrightarrow \psi = \int -\frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right ) \partial\rho =-\frac{4}{3}\int-\frac{1}\rho {\partial\rho} - \frac{4}{3}\int\rho {\partial\rho}=\frac{4}{3}[ln(\rho)-\frac{\rho^2}{2}] </math></center>

===Representación de las líneas <math> \psi=cte </math> ===

Las líneas del potencial se van a representar con el siguiente código:

[[Archivo:Lineasdecorriente14.jpg|375px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
% LINEAS DE CORRIENTE
h=90; % NÚMERO DE PARTES DEL INTERVALO
rho=linspace(1,2,h); % PARAMERTO RHO [1,2]
theta=linspace(0,2*pi,h); % PARAMETRO THETA [0,2*pi]
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta); % MATRIZ DE PARAMETROS
fv=((4*log(RHO)/3)-((4*RHO)/3)); % CAMPO ESCALAR
X=RHO.*cos(THETA); % PARAMETRIZACIÓN
Y=RHO.*sin(THETA);
hold on
grid on
title('LINEAS DE CORRIENTE')
axis([-3,3,-3,3]) % EJES
view(2)
contour(X,Y,fv,20);colorbar % LÍNEAS DE NIVEL
colormap("default")
hold off
}}

En cuanto a la gráfica, podemos interpretar que el flujo es estacionario, dado que las líneas de corriente son cerradas y regulares; el color de las líneas corresponde a un campo escalar donde los colores más cálidos indican mayor magnitud relativa, y los fríos menor magnitud; la región interior podría representar una zona de baja velocidad y el gradiente de colores sugiere que la magnitud de la velocidad disminuye hacia el centro.

==Velocidad máxima del fluido==
Se obtiene la velocidad máxima del fluido con el módulo del campo vectorial:

<center><math>\ \left | \vec u (\rho ) \right | = \left | \left ( \frac{4}{3}\rho w - \frac{4w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{4}{3} w \left ( \rho -\frac{1}{\rho } \right ) </math></center>

A continuación se deriva e iguala a 0, teniendo en cuenta que la velocidad angular es <math>\ w=1 </math>

<center><math>\ \frac{\partial \left | \vec u (\rho ) \right | }{\partial \rho } = \frac{4}{3} \left ( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right ) = 0 </math></center>

Esta solución sería: <math>\ \sqrt{-1} </math>; por lo que no es Real

Por ello, hay que analizarlo en los extremos del intervalo, nuestros extremos están en <math>\ \rho \in (1,2) </math>

El resultado del campo en estos dos extremos es:

<center><math>\
\left\{\begin{matrix}
\left | \vec u (1) \right | = \left | \left ( \frac{4}{3} \rho w - \frac{4w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{4}{3} \left ( 1 -\frac{1}{1 } \right ) = 0 \\

\left | \vec u (2) \right | = \left | \left ( \frac{4}{3} \rho w - \frac{4w}{3\rho } \right ) \vec e_\theta \right | = \frac{4}{3} \left ( 2 -\frac{1}{2 } \right ) = 1

\end{matrix}\right. </math></center>

Por lo tanto se comprueba <math>\ \rho = 2 </math> y su valor es de 1
[[Archivo:Modulovelocidad.1|400px|miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
clear, close all
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
Modulo=2/3.*RHO-2/3./RHO;
mesh(x,y,Modulo)
axis([-3,3,-3,3]);
surf(x,y,Modulo);
view(2);
colorbar;
title('Variación del módulo de la velocidad en función de RHO');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

En la anterior figura 4 se demuestra el comportamiento del módulo. Se puede observar, como ya se ha explicado, que el máximo obtenido se encuentra en <math>\ \rho = 2 </math> y su valor es de 1. Además el comportamiento del fluido muestra un decrecimiento de velocidad hasta llegar a <math>\ \rho = 1 </math> dónde la velocidad es nula.

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==

Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<center><math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math></center>

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math></center>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{4}{3} w\rho - \frac{4w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{4}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{4}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{4}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{8}{3} \vec e_z </math></center>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{8}{3} \right )^2} = \frac{8}{3} </math>

Este es el código con el que se representa el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

[[Archivo:Rotacionalymodulo.png|900px|miniaturadeimagen|derecha]]

{{matlab|codigo=
%MÓDULO ROTACIONAL

rho=1:0.08:2;
theta=0:0.08:2*pi;

%se genera una retícula rectangular donde se representan rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

%Pasamos a cartesianas
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
z=ones(size(y)).*(8/3);

%Representación del módulo del rotacional
subplot(1,2,1)
surf(x,y,z);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Módulo del Rotacional');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');

%Representación del rotacional
rho=1:0.5:2;
theta=0:0.5:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
z=zeros(size(x));
xx=zeros(size(x));
yy=zeros(size(x));
zz=ones(size(y)).*4/3;

subplot(1,2,2)
quiver3(x,y,z,xx,yy,zz);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación del rotacional');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');
}}

El módulo del rotacional es constante e igual a <math> \frac{8}{3} </math> para cualquier <math> \rho </math> y <math> \theta </math>. Además en la gráfica se puede ver que el rotacional es igual en todos los puntos en dirección <math> \vec e_z </math>.

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sabiendo que la temperatura del fluido viene dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta\ e^{−\left ( \rho − \frac{5}{2} \right ) ^2} </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel:

=== Representación del campo y curvas de nivel ===
Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

[[Archivo:vamosracing.jpeg|850px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
%MALLADO DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL
rho=1:0.08:2;
theta=0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
z=log(1+RHO.^2).*cos(THETA).*exp(-(RHO-(5/2)).^2);
%Representación del campo en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,z);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación de la temperatura en 3D')
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
zlabel('Eje X3');
%REPRESENTACIÓN DEL CAMPO EN 2D
colorbar;
subplot(1,3,2)
pcolor(x,y,z);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Representación de la temperatura en 2D')
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
colorbar;

%REPRESENTACIÓN DE LAS LÍNEAS DE NIVEL
subplot(1,3,3);
pcolor(x,y,z);
%axis([-3,3,-3,3]);
contour(x,y,z,"LineWidth",2)
axis([-3,3,-3,3]);
colorbar;
title('Representación de las lineas de nivel de la temperatura')
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta + \frac{\partial T}{\partial z}\vec{e}_z </math></center>

De manera que:

<center><math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \cos^{2}\theta \ e^{-\left(\rho-\frac{5}{2}\right)^{2}} \left (\frac{( 2\rho +(2\rho ^3 -5\rho^2+2\rho-5)\left (\log(1+\rho^2) \right) }{(1+\rho^2)} \right )\vec e_\rho - \frac{1}{\rho}\log(1+\rho^2) 2\sin \theta \cos \theta \ e^{-\left(\rho-\frac{5}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math></center>

[[Archivo:elbuenoperomalo.jpeg|400px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
rho=1:0.13:2;
theta=0:0.13:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
z=log(1+RHO.^2).*cos(THETA).^2.*exp(-(RHO-(5/2)).^2);
[DX,DY]=gradient(z);
hold on;
quiver(x,y,DX,DY);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Gradiente de la temperatura');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
hold off
}}

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===
Para ello, se ha utilizado el siguiente código de Matlab, donde se pueden ver las líneas de nivel en colores y el campo gradiente.

[[Archivo:elbuenoelfeoyelmalo.jpeg|400px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
rho=1:0.13:2;
theta=0:0.13:2*pi;
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
x=RHO.*cos(THETA);
y=RHO.*sin(THETA);
z=log(1+RHO.^2).*cos(THETA).^2.*exp(-(RHO-(5/2)).^2);
[DX,DY]=gradient(z);
figure;
quiver(x,y,DX,DY);
axis([-3,3,-3,3]);
title('Comprobación ortogonalidad del gradiente');
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
%curvas de nivel
hold on
contour(x,y,z,"LineWidth",2)
hold off

}}

El gradiente, por definición, es la dirección de máximo crecimiento de la función. Las líneas de nivel de la temperatura representan donde la función es constante.
Por lo tanto, si recorres una línea de nivel el valor de la función no cambia, por lo que el movimiento está siendo ortogonal a la dirección en la que más cambia ,que es el gradiente.

==Caudal circulante en la sección longitudinal==

[[Archivo:ladeljj.jpeg|500px|miniaturadeimagen]]

Partiendo del campo de velocidades hallado anteriormente,

<center><math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{4}{3}\ (\rho-\frac{1}{\rho})\vec{e_{\theta }}</math></center>

Introducimos la siguiente fórmula para el cálculo del caudal del campo a través de una superficie <math>\ S </math> (la sección longitudinal):

<center><math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math></center>

Como se puede ver en la figura, la superficie <math>\ S </math> está compuesta por la suma de dos superficies rectangulares <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. En primer lugar, debemos orientar dicha superficie y parametrizarla consecuentemente. La orientación decidida es aquella que coincide con el sentido de crecimiento del campo de velocidades.

La parametrización de <math>\ S_1 </math> sería:

<center><math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (v,\pi/2,u) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (0,1) \\
v\in (1,2)
\end{matrix}\right. </math></center>

Procedemos al cálculo del vector normal a la superficie:

<center><math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = \vec e_\theta </math></center>

Esta orientación no sirve ya que va al contrario a la que se tomó, por lo que en el cálculo de la integral habrá que poner un menos para cambiar el sentido.

Y la parametrización de <math>\ S_2 </math> sería:

<center><math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (v,3\pi/2,u) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (0,1) \\
v\in (1,2)
\end{matrix}\right. </math></center>

Procedemos al cálculo del vector normal a la superficie:

<center><math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = \vec e_\theta </math></center>

Finalmente, el caudal se calcula como la integral de la sección longitudinal, que se puede poner como la suma de las integrales de las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>.

<center><math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 + \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math>

<math>\ = \int_{1}^{2}\int_{0}^{1} \vec u (\rho,\theta,z)\cdot (\vec e_\theta)dudv + \int_{1}^{2}\int_{0}^{1} \vec u (\rho,\theta,z)\cdot (\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = \frac{4}{3} \int_{1}^{2}\int_{0}^{1}\left ( v-\frac{1}{v} \right )dudv + \frac{4}{3} \int_{1}^{2}\int_{0}^{1}\left ( v-\frac{1}{v} \right )dudv
= </math>

<math>\ = \frac{8}{3} \int_{1}^{2}\int_{0}^{1}\left ( v-\frac{1}{v} \right )dudv =
</math>

<math>\ = \frac{8}{3} \int_{1}^{2} \left [vu-\frac{1}{v}u\right]^1_0 dv = \frac{8}{3}\int_{1}^{2}\left (v-\frac{1}{v}\right)dv = \frac{8}{3}\left [(\frac{v^2}{2})-lnv\right]^2_1 = 4-\frac{8}{3}ln2 = 2.15 </math></center>

Este resultado es coherente, ya que el valor obtenido es mayor que cero, lo cual concuerda con la hipótesis inicial de orientar la superficie en el sentido del crecimiento de la velocidad.

==Ejemplos prácticos==

A continuación podemos observar algunos ejemplos de este flujo de couette entre tubos cocéntricos:

===Medición de viscosidad en reómetros===
Un reómetro con geometría de cilindros concéntricos se utiliza para medir la viscosidad de fluidos como el asfalto modificado, utilizado en carreteras.

===Sistemas de lubricación===
El lubricante entre cojinetes cilíndricos concéntricos experimenta un flujo de Couette. Este diseño reduce el desgaste por fricción y mejora la eficiencia mecánica del sistema.

===Diseño de sistemas de drenaje===
En túneles largos, el agua se transporta a través de sistemas de drenaje diseñados con tubos concéntricos. El flujo de Couette modela el comportamiento del agua en espacios anulares cuando hay un gradiente de velocidad entre el flujo en la pared del tubo interno y el externo. Este análisis asegura un drenaje eficiente y evita acumulación de agua.

===Revestimiento protectores en tuberías===
Cuando se aplican recubrimientos líquidos o plásticos en la superficie interna de tuberías, el flujo generado en el espacio entre el cilindro aplicador y la tubería sigue patrones similares al flujo de Couette. Esto asegura un espesor uniforme del revestimiento.

==Bibliografía==

Wikipedia. (s.f.). Flujo de Couette: https://es.wikipedia.org/wiki/Flujo_de_Couette#:~:text=En%20Din%C3%A1mica%20de%20fluidos%2C%20Flujo,relativo%20con%20respecto%20al%20otro.

StudySmarter. (s.f.). Flujo de Couette:
https://www.studysmarter.es/resumenes/ingenieria/mecanica-de-fluidos-en-ingenieria/flujo-de-couette/

Wikipedia. (s.f.). Flujo Taylor-Couette:
https://es.wikipedia.org/wiki/Flujo_Taylor-Couette

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-05T08:50:12Z

Laura Carazo: /* Líneas de Corriente del campo */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi]</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

===Velocidad de las partículas del fluido y análisis de la ecuación===
La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Análisis de la solución conocida====

Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se calculan las expresiones de ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

Para determinar a y b, de manera que la velocidad del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , el sentido de giro es contrario al creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , el sentido de giro es el creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre a, b, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar a y b en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.

De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>

A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{2}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función \vec{u} queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{2}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>

Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>

La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo de velocidades 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 20; % nodos radiales
Ntheta = 40; % nodos angulares
omega1 = 1; % velocidad angular cilindro
interior
omega2 = -1; % velocidad angular cilindro
exterior
% Mallado polar
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);

% Campo de velocidades (Couette)
A = (omega2*Ro - omega1*Ri) / (Ro - Ri);
B = (omega1*Ri*Ro - omega2*Ro^2) * Ri / (Ro - Ri);
Vtheta = A * R + B ./ R;
Vx = -Vtheta .* sin(Theta);
Vy = Vtheta .* cos(Theta);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 0.6, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.3); % naranja

% Encadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri);
xlim([-Ro-padding, Ro+padding]);
ylim([-Ro-padding, Ro+padding]);
axis equal;

title('CAMPO DE VELOCIDADES');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Líneas de Corriente del campo==
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{2}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{2}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{2}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{2}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{2}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{2}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}\,\vec e_{\theta} </math> y <math>v_{z}\,\vec e_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho + \tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} \right]\vec{e}_{\theta} \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho}, </math>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho} </math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

* Cálculo de la derivada:

<math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -1 - \frac{2}{\rho^{2}}. </math>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{2}{\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -1-\frac{2}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{2}{\rho^{2}}=-1 \Longrightarrow \rho^{2}=-2, </math>

que no tiene solución real.

*Valores en los extremos del intervalo:

<math> u(1)=-1+\frac{2}{1}=1, \qquad u(2)=-2+\frac{2}{2}=-1. </math>

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-1</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\rho+\frac{2}{\rho}=0 \Longrightarrow \rho=\frac{2}{\rho} \Longrightarrow \rho^{2}=2 \Longrightarrow \rho=\sqrt{2}\approx 1,41. </math>

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en dos ocasiones: en <math>\rho=1</math> y en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a uno.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\rho+\frac{2}{\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Velocidad 67.jpeg|370px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-rho + 2./rho);

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho +\frac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math> \vec e_{\theta} </math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math>:

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e\right) </math></center>

Se deriva con respecto a 𝜌:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec u = \left(-\tfrac{2}{3}\omega_i-\tfrac{4}{3}\omega_e\right)\vec e_{z} </math></center>

Por tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rotgrupo67.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (modulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -1/3*omega_i - 2/3*omega_e;
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;

title('｜∇×u｜ con ｜ω_i｜=｜ω_e｜=1');
axis equal;

%% (Opcional) Dibujar los cilindros
hold on
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Campo Temperaturas 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente flujo 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Finalmente, el cálculo del caudal cuando <math>\theta = 0</math> se abordará integrando el módulo de la velocidad antes calculado y analizado, de tal manera que, como la sección resultante es un cuadrado de área 1 m2, y se supone que la velocidad viene expresada en m/s, dicho resultado es directamente el caudal <math>Q</math>, puesto <math>Q = v\cdot S</math>.

<center><math>\displaystyle \int_{1}^{2} u(\rho)\,d\rho=\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho = \left[-\tfrac{1}{2}\rho^{2}+2\ln\rho\right]_{1}^{2} = \left(-\tfrac{1}{2}\cdot 2^{2}+2\ln 2\right)-\left(-\tfrac{1}{2}\cdot 1^{2}+2\ln 1\right) = -\tfrac{3}{2}+2\ln 2. </math></center>

Cuya aproximacióin numérica es:

<center><math>\displaystyle
\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho
= -\tfrac{3}{2}+2\ln 2
\approx -0.113706 \, m^3/s
</math></center>

Así pues, atendiendo a los signos, el caudal compensado, entre la velocidad que avanza según <math>\vec{e}_{\theta}</math> y la que va en sentido contrario, queda en sentido -<math>\vec{e}_{\theta}</math>. Dicho resultado es coherente con el análisis sobre el módulo de la velocidad, puesto se aprecia que el área bajo la curva del módulo de u es mayor cuando <math>\rho < \sqrt{2}</math>. Queda a contunuación el dibujo que representa la sección y la velocidad del fluido a través de éste.

[[Archivo:Caudal flujo 67.png|450px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=<nowiki>
%% Flujo entre dos cilindros concéntricos — Flechas SOLO en θ = 0
clear; close all; clc

% Parámetros geométricos
R1 = 1;
R2 = 2;
H = 1;

% Radio donde la velocidad tangencial es nula
r0 = 1.41;

% Velocidad tangencial en los cilindros (igual magnitud)
w = 1; % magnitud (sentido se ajusta con signo)

% Resolver A y B para que U_theta(R1) = w, U_theta(R2) = -w y U_theta(r0) = 0
% Sistema:
% U_theta(r) = A*r + B/r
% 1) A*R1 + B/R1 = w
% 2) A*R2 + B/R2 = -w
% 3) A*r0 + B/r0 = 0 <-- condición redundante pero podemos ajustar B/A

% Usaremos la condición U_theta(r0) = 0 para relacionar B y A:
A = w / (R1 - R1^2/r0^2);
B = -A * r0^2;

%% Sección θ = 0 (solo flechas en x>0, y=0)
r = linspace(R1, R2, 8); % Pocas flechas en radial
z = linspace(0, H, 12); % Pocas flechas en altura

[R, Z] = meshgrid(r, z);

% Coordenadas
X = R;
Y = zeros(size(R));

% Velocidad tangencial
U_theta = A.*R + B./R;

U_x = 0*U_theta;
U_y = U_theta; % dirección tangencial en θ=0
U_z = 0*U_theta;

%% FIGURA 3D
figure('Position',[100 100 1200 900])
hold on
axis equal
%grid on
%xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Flujo entre los cilindros ','FontSize',14)

%% Cilindro exterior
theta = linspace(0,2*pi,200);
[THc, Zc] = meshgrid(theta, linspace(0,H,60));
surf(R2*cos(THc), R2*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.7 0.7 0.35], 'FaceAlpha',0.3, 'EdgeColor','none')

%% Cilindro interior
surf(R1*cos(THc), R1*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.5 0.5 0.25], 'FaceAlpha',0.4, 'EdgeColor','none')

%% Plano θ = 0
patch([R1 R2 R2 R1],[0 0 0 0],[0 0 H H], ...
'r','FaceAlpha',0.15,'EdgeColor','r','LineWidth',2)
text(R2,0,H/2,'\theta = 0','Color','r','FontSize',14)

%% FLECHAS GRANDES Y POCAS
quiver3(X, Y, Z, U_x, U_y, U_z, ...
1.5,... % ESCALA → flechas mucho más grandes
'b', ...
'LineWidth',1.5); % flecha gruesa y clara
axis off
view(45,25)
</nowiki>}}

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-05T08:48:54Z

Laura Carazo: /* Gráfica del comportamiento del módulo en función de \rho */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi]</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

===Velocidad de las partículas del fluido y análisis de la ecuación===
La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Análisis de la solución conocida====

Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se calculan las expresiones de ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

Para determinar a y b, de manera que la velocidad del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , el sentido de giro es contrario al creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , el sentido de giro es el creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre a, b, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar a y b en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.

De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>

A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{2}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función \vec{u} queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{2}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>

Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>

La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo de velocidades 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 20; % nodos radiales
Ntheta = 40; % nodos angulares
omega1 = 1; % velocidad angular cilindro
interior
omega2 = -1; % velocidad angular cilindro
exterior
% Mallado polar
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);

% Campo de velocidades (Couette)
A = (omega2*Ro - omega1*Ri) / (Ro - Ri);
B = (omega1*Ri*Ro - omega2*Ro^2) * Ri / (Ro - Ri);
Vtheta = A * R + B ./ R;
Vx = -Vtheta .* sin(Theta);
Vy = Vtheta .* cos(Theta);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 0.6, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.3); % naranja

% Encadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri);
xlim([-Ro-padding, Ro+padding]);
ylim([-Ro-padding, Ro+padding]);
axis equal;

title('CAMPO DE VELOCIDADES');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Líneas de Corriente del campo==
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{2}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{2}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{2}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{2}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{2}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{2}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}\,\vec e_{\theta} </math> y <math>v_{z}\,\vec e_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|1000px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho + \tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} \right]\vec{e}_{\theta} \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho}, </math>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho} </math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

* Cálculo de la derivada:

<math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -1 - \frac{2}{\rho^{2}}. </math>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{2}{\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -1-\frac{2}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{2}{\rho^{2}}=-1 \Longrightarrow \rho^{2}=-2, </math>

que no tiene solución real.

*Valores en los extremos del intervalo:

<math> u(1)=-1+\frac{2}{1}=1, \qquad u(2)=-2+\frac{2}{2}=-1. </math>

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-1</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\rho+\frac{2}{\rho}=0 \Longrightarrow \rho=\frac{2}{\rho} \Longrightarrow \rho^{2}=2 \Longrightarrow \rho=\sqrt{2}\approx 1,41. </math>

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en dos ocasiones: en <math>\rho=1</math> y en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a uno.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\rho+\frac{2}{\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Velocidad 67.jpeg|370px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-rho + 2./rho);

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho +\frac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math> \vec e_{\theta} </math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math>:

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e\right) </math></center>

Se deriva con respecto a 𝜌:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec u = \left(-\tfrac{2}{3}\omega_i-\tfrac{4}{3}\omega_e\right)\vec e_{z} </math></center>

Por tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rotgrupo67.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (modulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -1/3*omega_i - 2/3*omega_e;
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;

title('｜∇×u｜ con ｜ω_i｜=｜ω_e｜=1');
axis equal;

%% (Opcional) Dibujar los cilindros
hold on
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Campo Temperaturas 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente flujo 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Finalmente, el cálculo del caudal cuando <math>\theta = 0</math> se abordará integrando el módulo de la velocidad antes calculado y analizado, de tal manera que, como la sección resultante es un cuadrado de área 1 m2, y se supone que la velocidad viene expresada en m/s, dicho resultado es directamente el caudal <math>Q</math>, puesto <math>Q = v\cdot S</math>.

<center><math>\displaystyle \int_{1}^{2} u(\rho)\,d\rho=\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho = \left[-\tfrac{1}{2}\rho^{2}+2\ln\rho\right]_{1}^{2} = \left(-\tfrac{1}{2}\cdot 2^{2}+2\ln 2\right)-\left(-\tfrac{1}{2}\cdot 1^{2}+2\ln 1\right) = -\tfrac{3}{2}+2\ln 2. </math></center>

Cuya aproximacióin numérica es:

<center><math>\displaystyle
\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho
= -\tfrac{3}{2}+2\ln 2
\approx -0.113706 \, m^3/s
</math></center>

Así pues, atendiendo a los signos, el caudal compensado, entre la velocidad que avanza según <math>\vec{e}_{\theta}</math> y la que va en sentido contrario, queda en sentido -<math>\vec{e}_{\theta}</math>. Dicho resultado es coherente con el análisis sobre el módulo de la velocidad, puesto se aprecia que el área bajo la curva del módulo de u es mayor cuando <math>\rho < \sqrt{2}</math>. Queda a contunuación el dibujo que representa la sección y la velocidad del fluido a través de éste.

[[Archivo:Caudal flujo 67.png|450px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=<nowiki>
%% Flujo entre dos cilindros concéntricos — Flechas SOLO en θ = 0
clear; close all; clc

% Parámetros geométricos
R1 = 1;
R2 = 2;
H = 1;

% Radio donde la velocidad tangencial es nula
r0 = 1.41;

% Velocidad tangencial en los cilindros (igual magnitud)
w = 1; % magnitud (sentido se ajusta con signo)

% Resolver A y B para que U_theta(R1) = w, U_theta(R2) = -w y U_theta(r0) = 0
% Sistema:
% U_theta(r) = A*r + B/r
% 1) A*R1 + B/R1 = w
% 2) A*R2 + B/R2 = -w
% 3) A*r0 + B/r0 = 0 <-- condición redundante pero podemos ajustar B/A

% Usaremos la condición U_theta(r0) = 0 para relacionar B y A:
A = w / (R1 - R1^2/r0^2);
B = -A * r0^2;

%% Sección θ = 0 (solo flechas en x>0, y=0)
r = linspace(R1, R2, 8); % Pocas flechas en radial
z = linspace(0, H, 12); % Pocas flechas en altura

[R, Z] = meshgrid(r, z);

% Coordenadas
X = R;
Y = zeros(size(R));

% Velocidad tangencial
U_theta = A.*R + B./R;

U_x = 0*U_theta;
U_y = U_theta; % dirección tangencial en θ=0
U_z = 0*U_theta;

%% FIGURA 3D
figure('Position',[100 100 1200 900])
hold on
axis equal
%grid on
%xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Flujo entre los cilindros ','FontSize',14)

%% Cilindro exterior
theta = linspace(0,2*pi,200);
[THc, Zc] = meshgrid(theta, linspace(0,H,60));
surf(R2*cos(THc), R2*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.7 0.7 0.35], 'FaceAlpha',0.3, 'EdgeColor','none')

%% Cilindro interior
surf(R1*cos(THc), R1*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.5 0.5 0.25], 'FaceAlpha',0.4, 'EdgeColor','none')

%% Plano θ = 0
patch([R1 R2 R2 R1],[0 0 0 0],[0 0 H H], ...
'r','FaceAlpha',0.15,'EdgeColor','r','LineWidth',2)
text(R2,0,H/2,'\theta = 0','Color','r','FontSize',14)

%% FLECHAS GRANDES Y POCAS
quiver3(X, Y, Z, U_x, U_y, U_z, ...
1.5,... % ESCALA → flechas mucho más grandes
'b', ...
'LineWidth',1.5); % flecha gruesa y clara
axis off
view(45,25)
</nowiki>}}

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-05T08:48:33Z

Laura Carazo: /* Gráfica del comportamiento del módulo en función de \rho */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi]</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

===Velocidad de las partículas del fluido y análisis de la ecuación===
La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Análisis de la solución conocida====

Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se calculan las expresiones de ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

Para determinar a y b, de manera que la velocidad del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , el sentido de giro es contrario al creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , el sentido de giro es el creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre a, b, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar a y b en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.

De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>

A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{2}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función \vec{u} queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{2}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>

Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>

La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo de velocidades 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 20; % nodos radiales
Ntheta = 40; % nodos angulares
omega1 = 1; % velocidad angular cilindro
interior
omega2 = -1; % velocidad angular cilindro
exterior
% Mallado polar
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);

% Campo de velocidades (Couette)
A = (omega2*Ro - omega1*Ri) / (Ro - Ri);
B = (omega1*Ri*Ro - omega2*Ro^2) * Ri / (Ro - Ri);
Vtheta = A * R + B ./ R;
Vx = -Vtheta .* sin(Theta);
Vy = Vtheta .* cos(Theta);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 0.6, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.3); % naranja

% Encadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri);
xlim([-Ro-padding, Ro+padding]);
ylim([-Ro-padding, Ro+padding]);
axis equal;

title('CAMPO DE VELOCIDADES');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Líneas de Corriente del campo==
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{2}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{2}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{2}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{2}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{2}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{2}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}\,\vec e_{\theta} </math> y <math>v_{z}\,\vec e_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|1000px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho + \tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} \right]\vec{e}_{\theta} \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho}, </math>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho} </math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

* Cálculo de la derivada:

<math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -1 - \frac{2}{\rho^{2}}. </math>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{2}{\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -1-\frac{2}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{2}{\rho^{2}}=-1 \Longrightarrow \rho^{2}=-2, </math>

que no tiene solución real.

*Valores en los extremos del intervalo:

<math> u(1)=-1+\frac{2}{1}=1, \qquad u(2)=-2+\frac{2}{2}=-1. </math>

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-1</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\rho+\frac{2}{\rho}=0 \Longrightarrow \rho=\frac{2}{\rho} \Longrightarrow \rho^{2}=2 \Longrightarrow \rho=\sqrt{2}\approx 1,41. </math>

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en dos ocasiones: en <math>\rho=1</math> y en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a uno.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\rho+\frac{2}{\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Velocidad 67.jpeg|365px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-rho + 2./rho);

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho +\frac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math> \vec e_{\theta} </math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math>:

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e\right) </math></center>

Se deriva con respecto a 𝜌:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec u = \left(-\tfrac{2}{3}\omega_i-\tfrac{4}{3}\omega_e\right)\vec e_{z} </math></center>

Por tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rotgrupo67.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (modulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -1/3*omega_i - 2/3*omega_e;
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;

title('｜∇×u｜ con ｜ω_i｜=｜ω_e｜=1');
axis equal;

%% (Opcional) Dibujar los cilindros
hold on
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Campo Temperaturas 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente flujo 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Finalmente, el cálculo del caudal cuando <math>\theta = 0</math> se abordará integrando el módulo de la velocidad antes calculado y analizado, de tal manera que, como la sección resultante es un cuadrado de área 1 m2, y se supone que la velocidad viene expresada en m/s, dicho resultado es directamente el caudal <math>Q</math>, puesto <math>Q = v\cdot S</math>.

<center><math>\displaystyle \int_{1}^{2} u(\rho)\,d\rho=\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho = \left[-\tfrac{1}{2}\rho^{2}+2\ln\rho\right]_{1}^{2} = \left(-\tfrac{1}{2}\cdot 2^{2}+2\ln 2\right)-\left(-\tfrac{1}{2}\cdot 1^{2}+2\ln 1\right) = -\tfrac{3}{2}+2\ln 2. </math></center>

Cuya aproximacióin numérica es:

<center><math>\displaystyle
\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho
= -\tfrac{3}{2}+2\ln 2
\approx -0.113706 \, m^3/s
</math></center>

Así pues, atendiendo a los signos, el caudal compensado, entre la velocidad que avanza según <math>\vec{e}_{\theta}</math> y la que va en sentido contrario, queda en sentido -<math>\vec{e}_{\theta}</math>. Dicho resultado es coherente con el análisis sobre el módulo de la velocidad, puesto se aprecia que el área bajo la curva del módulo de u es mayor cuando <math>\rho < \sqrt{2}</math>. Queda a contunuación el dibujo que representa la sección y la velocidad del fluido a través de éste.

[[Archivo:Caudal flujo 67.png|450px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=<nowiki>
%% Flujo entre dos cilindros concéntricos — Flechas SOLO en θ = 0
clear; close all; clc

% Parámetros geométricos
R1 = 1;
R2 = 2;
H = 1;

% Radio donde la velocidad tangencial es nula
r0 = 1.41;

% Velocidad tangencial en los cilindros (igual magnitud)
w = 1; % magnitud (sentido se ajusta con signo)

% Resolver A y B para que U_theta(R1) = w, U_theta(R2) = -w y U_theta(r0) = 0
% Sistema:
% U_theta(r) = A*r + B/r
% 1) A*R1 + B/R1 = w
% 2) A*R2 + B/R2 = -w
% 3) A*r0 + B/r0 = 0 <-- condición redundante pero podemos ajustar B/A

% Usaremos la condición U_theta(r0) = 0 para relacionar B y A:
A = w / (R1 - R1^2/r0^2);
B = -A * r0^2;

%% Sección θ = 0 (solo flechas en x>0, y=0)
r = linspace(R1, R2, 8); % Pocas flechas en radial
z = linspace(0, H, 12); % Pocas flechas en altura

[R, Z] = meshgrid(r, z);

% Coordenadas
X = R;
Y = zeros(size(R));

% Velocidad tangencial
U_theta = A.*R + B./R;

U_x = 0*U_theta;
U_y = U_theta; % dirección tangencial en θ=0
U_z = 0*U_theta;

%% FIGURA 3D
figure('Position',[100 100 1200 900])
hold on
axis equal
%grid on
%xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Flujo entre los cilindros ','FontSize',14)

%% Cilindro exterior
theta = linspace(0,2*pi,200);
[THc, Zc] = meshgrid(theta, linspace(0,H,60));
surf(R2*cos(THc), R2*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.7 0.7 0.35], 'FaceAlpha',0.3, 'EdgeColor','none')

%% Cilindro interior
surf(R1*cos(THc), R1*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.5 0.5 0.25], 'FaceAlpha',0.4, 'EdgeColor','none')

%% Plano θ = 0
patch([R1 R2 R2 R1],[0 0 0 0],[0 0 H H], ...
'r','FaceAlpha',0.15,'EdgeColor','r','LineWidth',2)
text(R2,0,H/2,'\theta = 0','Color','r','FontSize',14)

%% FLECHAS GRANDES Y POCAS
quiver3(X, Y, Z, U_x, U_y, U_z, ...
1.5,... % ESCALA → flechas mucho más grandes
'b', ...
'LineWidth',1.5); % flecha gruesa y clara
axis off
view(45,25)
</nowiki>}}

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-05T08:48:11Z

Laura Carazo: /* Gráfica del comportamiento del módulo en función de \rho */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi]</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

===Velocidad de las partículas del fluido y análisis de la ecuación===
La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Análisis de la solución conocida====

Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se calculan las expresiones de ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

Para determinar a y b, de manera que la velocidad del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , el sentido de giro es contrario al creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , el sentido de giro es el creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre a, b, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar a y b en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.

De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>

A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{2}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función \vec{u} queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{2}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>

Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>

La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo de velocidades 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 20; % nodos radiales
Ntheta = 40; % nodos angulares
omega1 = 1; % velocidad angular cilindro
interior
omega2 = -1; % velocidad angular cilindro
exterior
% Mallado polar
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);

% Campo de velocidades (Couette)
A = (omega2*Ro - omega1*Ri) / (Ro - Ri);
B = (omega1*Ri*Ro - omega2*Ro^2) * Ri / (Ro - Ri);
Vtheta = A * R + B ./ R;
Vx = -Vtheta .* sin(Theta);
Vy = Vtheta .* cos(Theta);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 0.6, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.3); % naranja

% Encadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri);
xlim([-Ro-padding, Ro+padding]);
ylim([-Ro-padding, Ro+padding]);
axis equal;

title('CAMPO DE VELOCIDADES');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Líneas de Corriente del campo==
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{2}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{2}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{2}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{2}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{2}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{2}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}\,\vec e_{\theta} </math> y <math>v_{z}\,\vec e_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|1000px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho + \tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} \right]\vec{e}_{\theta} \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho}, </math>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho} </math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

* Cálculo de la derivada:

<math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -1 - \frac{2}{\rho^{2}}. </math>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{2}{\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -1-\frac{2}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{2}{\rho^{2}}=-1 \Longrightarrow \rho^{2}=-2, </math>

que no tiene solución real.

*Valores en los extremos del intervalo:

<math> u(1)=-1+\frac{2}{1}=1, \qquad u(2)=-2+\frac{2}{2}=-1. </math>

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-1</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\rho+\frac{2}{\rho}=0 \Longrightarrow \rho=\frac{2}{\rho} \Longrightarrow \rho^{2}=2 \Longrightarrow \rho=\sqrt{2}\approx 1,41. </math>

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en dos ocasiones: en <math>\rho=1</math> y en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a uno.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\rho+\frac{2}{\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Velocidad 67.jpeg|350px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-rho + 2./rho);

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho +\frac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math> \vec e_{\theta} </math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math>:

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e\right) </math></center>

Se deriva con respecto a 𝜌:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec u = \left(-\tfrac{2}{3}\omega_i-\tfrac{4}{3}\omega_e\right)\vec e_{z} </math></center>

Por tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rotgrupo67.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (modulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -1/3*omega_i - 2/3*omega_e;
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;

title('｜∇×u｜ con ｜ω_i｜=｜ω_e｜=1');
axis equal;

%% (Opcional) Dibujar los cilindros
hold on
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Campo Temperaturas 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente flujo 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Finalmente, el cálculo del caudal cuando <math>\theta = 0</math> se abordará integrando el módulo de la velocidad antes calculado y analizado, de tal manera que, como la sección resultante es un cuadrado de área 1 m2, y se supone que la velocidad viene expresada en m/s, dicho resultado es directamente el caudal <math>Q</math>, puesto <math>Q = v\cdot S</math>.

<center><math>\displaystyle \int_{1}^{2} u(\rho)\,d\rho=\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho = \left[-\tfrac{1}{2}\rho^{2}+2\ln\rho\right]_{1}^{2} = \left(-\tfrac{1}{2}\cdot 2^{2}+2\ln 2\right)-\left(-\tfrac{1}{2}\cdot 1^{2}+2\ln 1\right) = -\tfrac{3}{2}+2\ln 2. </math></center>

Cuya aproximacióin numérica es:

<center><math>\displaystyle
\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho
= -\tfrac{3}{2}+2\ln 2
\approx -0.113706 \, m^3/s
</math></center>

Así pues, atendiendo a los signos, el caudal compensado, entre la velocidad que avanza según <math>\vec{e}_{\theta}</math> y la que va en sentido contrario, queda en sentido -<math>\vec{e}_{\theta}</math>. Dicho resultado es coherente con el análisis sobre el módulo de la velocidad, puesto se aprecia que el área bajo la curva del módulo de u es mayor cuando <math>\rho < \sqrt{2}</math>. Queda a contunuación el dibujo que representa la sección y la velocidad del fluido a través de éste.

[[Archivo:Caudal flujo 67.png|450px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=<nowiki>
%% Flujo entre dos cilindros concéntricos — Flechas SOLO en θ = 0
clear; close all; clc

% Parámetros geométricos
R1 = 1;
R2 = 2;
H = 1;

% Radio donde la velocidad tangencial es nula
r0 = 1.41;

% Velocidad tangencial en los cilindros (igual magnitud)
w = 1; % magnitud (sentido se ajusta con signo)

% Resolver A y B para que U_theta(R1) = w, U_theta(R2) = -w y U_theta(r0) = 0
% Sistema:
% U_theta(r) = A*r + B/r
% 1) A*R1 + B/R1 = w
% 2) A*R2 + B/R2 = -w
% 3) A*r0 + B/r0 = 0 <-- condición redundante pero podemos ajustar B/A

% Usaremos la condición U_theta(r0) = 0 para relacionar B y A:
A = w / (R1 - R1^2/r0^2);
B = -A * r0^2;

%% Sección θ = 0 (solo flechas en x>0, y=0)
r = linspace(R1, R2, 8); % Pocas flechas en radial
z = linspace(0, H, 12); % Pocas flechas en altura

[R, Z] = meshgrid(r, z);

% Coordenadas
X = R;
Y = zeros(size(R));

% Velocidad tangencial
U_theta = A.*R + B./R;

U_x = 0*U_theta;
U_y = U_theta; % dirección tangencial en θ=0
U_z = 0*U_theta;

%% FIGURA 3D
figure('Position',[100 100 1200 900])
hold on
axis equal
%grid on
%xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Flujo entre los cilindros ','FontSize',14)

%% Cilindro exterior
theta = linspace(0,2*pi,200);
[THc, Zc] = meshgrid(theta, linspace(0,H,60));
surf(R2*cos(THc), R2*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.7 0.7 0.35], 'FaceAlpha',0.3, 'EdgeColor','none')

%% Cilindro interior
surf(R1*cos(THc), R1*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.5 0.5 0.25], 'FaceAlpha',0.4, 'EdgeColor','none')

%% Plano θ = 0
patch([R1 R2 R2 R1],[0 0 0 0],[0 0 H H], ...
'r','FaceAlpha',0.15,'EdgeColor','r','LineWidth',2)
text(R2,0,H/2,'\theta = 0','Color','r','FontSize',14)

%% FLECHAS GRANDES Y POCAS
quiver3(X, Y, Z, U_x, U_y, U_z, ...
1.5,... % ESCALA → flechas mucho más grandes
'b', ...
'LineWidth',1.5); % flecha gruesa y clara
axis off
view(45,25)
</nowiki>}}

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-05T08:47:46Z

Laura Carazo: /* Gráfica del comportamiento del módulo en función de \rho */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi]</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

===Velocidad de las partículas del fluido y análisis de la ecuación===
La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Análisis de la solución conocida====

Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se calculan las expresiones de ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

Para determinar a y b, de manera que la velocidad del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , el sentido de giro es contrario al creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , el sentido de giro es el creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre a, b, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar a y b en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.

De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>

A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{2}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función \vec{u} queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{2}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>

Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>

La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo de velocidades 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 20; % nodos radiales
Ntheta = 40; % nodos angulares
omega1 = 1; % velocidad angular cilindro
interior
omega2 = -1; % velocidad angular cilindro
exterior
% Mallado polar
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);

% Campo de velocidades (Couette)
A = (omega2*Ro - omega1*Ri) / (Ro - Ri);
B = (omega1*Ri*Ro - omega2*Ro^2) * Ri / (Ro - Ri);
Vtheta = A * R + B ./ R;
Vx = -Vtheta .* sin(Theta);
Vy = Vtheta .* cos(Theta);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 0.6, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.3); % naranja

% Encadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri);
xlim([-Ro-padding, Ro+padding]);
ylim([-Ro-padding, Ro+padding]);
axis equal;

title('CAMPO DE VELOCIDADES');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Líneas de Corriente del campo==
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{2}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{2}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{2}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{2}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{2}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{2}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}\,\vec e_{\theta} </math> y <math>v_{z}\,\vec e_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|1000px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho + \tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} \right]\vec{e}_{\theta} \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho}, </math>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho} </math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

* Cálculo de la derivada:

<math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -1 - \frac{2}{\rho^{2}}. </math>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{2}{\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -1-\frac{2}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{2}{\rho^{2}}=-1 \Longrightarrow \rho^{2}=-2, </math>

que no tiene solución real.

*Valores en los extremos del intervalo:

<math> u(1)=-1+\frac{2}{1}=1, \qquad u(2)=-2+\frac{2}{2}=-1. </math>

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-1</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\rho+\frac{2}{\rho}=0 \Longrightarrow \rho=\frac{2}{\rho} \Longrightarrow \rho^{2}=2 \Longrightarrow \rho=\sqrt{2}\approx 1,41. </math>

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en dos ocasiones: en <math>\rho=1</math> y en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a uno.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\rho+\frac{2}{\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Velocidad 67.jpeg|380px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-rho + 2./rho);

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho +\frac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math> \vec e_{\theta} </math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math>:

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e\right) </math></center>

Se deriva con respecto a 𝜌:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec u = \left(-\tfrac{2}{3}\omega_i-\tfrac{4}{3}\omega_e\right)\vec e_{z} </math></center>

Por tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rotgrupo67.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (modulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -1/3*omega_i - 2/3*omega_e;
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;

title('｜∇×u｜ con ｜ω_i｜=｜ω_e｜=1');
axis equal;

%% (Opcional) Dibujar los cilindros
hold on
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Campo Temperaturas 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente flujo 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Finalmente, el cálculo del caudal cuando <math>\theta = 0</math> se abordará integrando el módulo de la velocidad antes calculado y analizado, de tal manera que, como la sección resultante es un cuadrado de área 1 m2, y se supone que la velocidad viene expresada en m/s, dicho resultado es directamente el caudal <math>Q</math>, puesto <math>Q = v\cdot S</math>.

<center><math>\displaystyle \int_{1}^{2} u(\rho)\,d\rho=\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho = \left[-\tfrac{1}{2}\rho^{2}+2\ln\rho\right]_{1}^{2} = \left(-\tfrac{1}{2}\cdot 2^{2}+2\ln 2\right)-\left(-\tfrac{1}{2}\cdot 1^{2}+2\ln 1\right) = -\tfrac{3}{2}+2\ln 2. </math></center>

Cuya aproximacióin numérica es:

<center><math>\displaystyle
\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho
= -\tfrac{3}{2}+2\ln 2
\approx -0.113706 \, m^3/s
</math></center>

Así pues, atendiendo a los signos, el caudal compensado, entre la velocidad que avanza según <math>\vec{e}_{\theta}</math> y la que va en sentido contrario, queda en sentido -<math>\vec{e}_{\theta}</math>. Dicho resultado es coherente con el análisis sobre el módulo de la velocidad, puesto se aprecia que el área bajo la curva del módulo de u es mayor cuando <math>\rho < \sqrt{2}</math>. Queda a contunuación el dibujo que representa la sección y la velocidad del fluido a través de éste.

[[Archivo:Caudal flujo 67.png|450px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=<nowiki>
%% Flujo entre dos cilindros concéntricos — Flechas SOLO en θ = 0
clear; close all; clc

% Parámetros geométricos
R1 = 1;
R2 = 2;
H = 1;

% Radio donde la velocidad tangencial es nula
r0 = 1.41;

% Velocidad tangencial en los cilindros (igual magnitud)
w = 1; % magnitud (sentido se ajusta con signo)

% Resolver A y B para que U_theta(R1) = w, U_theta(R2) = -w y U_theta(r0) = 0
% Sistema:
% U_theta(r) = A*r + B/r
% 1) A*R1 + B/R1 = w
% 2) A*R2 + B/R2 = -w
% 3) A*r0 + B/r0 = 0 <-- condición redundante pero podemos ajustar B/A

% Usaremos la condición U_theta(r0) = 0 para relacionar B y A:
A = w / (R1 - R1^2/r0^2);
B = -A * r0^2;

%% Sección θ = 0 (solo flechas en x>0, y=0)
r = linspace(R1, R2, 8); % Pocas flechas en radial
z = linspace(0, H, 12); % Pocas flechas en altura

[R, Z] = meshgrid(r, z);

% Coordenadas
X = R;
Y = zeros(size(R));

% Velocidad tangencial
U_theta = A.*R + B./R;

U_x = 0*U_theta;
U_y = U_theta; % dirección tangencial en θ=0
U_z = 0*U_theta;

%% FIGURA 3D
figure('Position',[100 100 1200 900])
hold on
axis equal
%grid on
%xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Flujo entre los cilindros ','FontSize',14)

%% Cilindro exterior
theta = linspace(0,2*pi,200);
[THc, Zc] = meshgrid(theta, linspace(0,H,60));
surf(R2*cos(THc), R2*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.7 0.7 0.35], 'FaceAlpha',0.3, 'EdgeColor','none')

%% Cilindro interior
surf(R1*cos(THc), R1*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.5 0.5 0.25], 'FaceAlpha',0.4, 'EdgeColor','none')

%% Plano θ = 0
patch([R1 R2 R2 R1],[0 0 0 0],[0 0 H H], ...
'r','FaceAlpha',0.15,'EdgeColor','r','LineWidth',2)
text(R2,0,H/2,'\theta = 0','Color','r','FontSize',14)

%% FLECHAS GRANDES Y POCAS
quiver3(X, Y, Z, U_x, U_y, U_z, ...
1.5,... % ESCALA → flechas mucho más grandes
'b', ...
'LineWidth',1.5); % flecha gruesa y clara
axis off
view(45,25)
</nowiki>}}

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-05T08:47:22Z

Laura Carazo: /* Gráfica del comportamiento del módulo en función de \rho */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi]</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

===Velocidad de las partículas del fluido y análisis de la ecuación===
La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Análisis de la solución conocida====

Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se calculan las expresiones de ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

Para determinar a y b, de manera que la velocidad del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , el sentido de giro es contrario al creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , el sentido de giro es el creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre a, b, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar a y b en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.

De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>

A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{2}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función \vec{u} queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{2}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>

Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>

La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo de velocidades 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 20; % nodos radiales
Ntheta = 40; % nodos angulares
omega1 = 1; % velocidad angular cilindro
interior
omega2 = -1; % velocidad angular cilindro
exterior
% Mallado polar
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);

% Campo de velocidades (Couette)
A = (omega2*Ro - omega1*Ri) / (Ro - Ri);
B = (omega1*Ri*Ro - omega2*Ro^2) * Ri / (Ro - Ri);
Vtheta = A * R + B ./ R;
Vx = -Vtheta .* sin(Theta);
Vy = Vtheta .* cos(Theta);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 0.6, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.3); % naranja

% Encadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri);
xlim([-Ro-padding, Ro+padding]);
ylim([-Ro-padding, Ro+padding]);
axis equal;

title('CAMPO DE VELOCIDADES');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Líneas de Corriente del campo==
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{2}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{2}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{2}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{2}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{2}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{2}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}\,\vec e_{\theta} </math> y <math>v_{z}\,\vec e_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|1000px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho + \tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} \right]\vec{e}_{\theta} \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho}, </math>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho} </math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

* Cálculo de la derivada:

<math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -1 - \frac{2}{\rho^{2}}. </math>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{2}{\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -1-\frac{2}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{2}{\rho^{2}}=-1 \Longrightarrow \rho^{2}=-2, </math>

que no tiene solución real.

*Valores en los extremos del intervalo:

<math> u(1)=-1+\frac{2}{1}=1, \qquad u(2)=-2+\frac{2}{2}=-1. </math>

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-1</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\rho+\frac{2}{\rho}=0 \Longrightarrow \rho=\frac{2}{\rho} \Longrightarrow \rho^{2}=2 \Longrightarrow \rho=\sqrt{2}\approx 1,41. </math>

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en dos ocasiones: en <math>\rho=1</math> y en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a uno.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\rho+\frac{2}{\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Velocidad 67.jpeg|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-rho + 2./rho);

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho +\frac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math> \vec e_{\theta} </math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math>:

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e\right) </math></center>

Se deriva con respecto a 𝜌:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec u = \left(-\tfrac{2}{3}\omega_i-\tfrac{4}{3}\omega_e\right)\vec e_{z} </math></center>

Por tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rotgrupo67.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (modulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -1/3*omega_i - 2/3*omega_e;
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;

title('｜∇×u｜ con ｜ω_i｜=｜ω_e｜=1');
axis equal;

%% (Opcional) Dibujar los cilindros
hold on
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Campo Temperaturas 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente flujo 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Finalmente, el cálculo del caudal cuando <math>\theta = 0</math> se abordará integrando el módulo de la velocidad antes calculado y analizado, de tal manera que, como la sección resultante es un cuadrado de área 1 m2, y se supone que la velocidad viene expresada en m/s, dicho resultado es directamente el caudal <math>Q</math>, puesto <math>Q = v\cdot S</math>.

<center><math>\displaystyle \int_{1}^{2} u(\rho)\,d\rho=\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho = \left[-\tfrac{1}{2}\rho^{2}+2\ln\rho\right]_{1}^{2} = \left(-\tfrac{1}{2}\cdot 2^{2}+2\ln 2\right)-\left(-\tfrac{1}{2}\cdot 1^{2}+2\ln 1\right) = -\tfrac{3}{2}+2\ln 2. </math></center>

Cuya aproximacióin numérica es:

<center><math>\displaystyle
\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho
= -\tfrac{3}{2}+2\ln 2
\approx -0.113706 \, m^3/s
</math></center>

Así pues, atendiendo a los signos, el caudal compensado, entre la velocidad que avanza según <math>\vec{e}_{\theta}</math> y la que va en sentido contrario, queda en sentido -<math>\vec{e}_{\theta}</math>. Dicho resultado es coherente con el análisis sobre el módulo de la velocidad, puesto se aprecia que el área bajo la curva del módulo de u es mayor cuando <math>\rho < \sqrt{2}</math>. Queda a contunuación el dibujo que representa la sección y la velocidad del fluido a través de éste.

[[Archivo:Caudal flujo 67.png|450px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=<nowiki>
%% Flujo entre dos cilindros concéntricos — Flechas SOLO en θ = 0
clear; close all; clc

% Parámetros geométricos
R1 = 1;
R2 = 2;
H = 1;

% Radio donde la velocidad tangencial es nula
r0 = 1.41;

% Velocidad tangencial en los cilindros (igual magnitud)
w = 1; % magnitud (sentido se ajusta con signo)

% Resolver A y B para que U_theta(R1) = w, U_theta(R2) = -w y U_theta(r0) = 0
% Sistema:
% U_theta(r) = A*r + B/r
% 1) A*R1 + B/R1 = w
% 2) A*R2 + B/R2 = -w
% 3) A*r0 + B/r0 = 0 <-- condición redundante pero podemos ajustar B/A

% Usaremos la condición U_theta(r0) = 0 para relacionar B y A:
A = w / (R1 - R1^2/r0^2);
B = -A * r0^2;

%% Sección θ = 0 (solo flechas en x>0, y=0)
r = linspace(R1, R2, 8); % Pocas flechas en radial
z = linspace(0, H, 12); % Pocas flechas en altura

[R, Z] = meshgrid(r, z);

% Coordenadas
X = R;
Y = zeros(size(R));

% Velocidad tangencial
U_theta = A.*R + B./R;

U_x = 0*U_theta;
U_y = U_theta; % dirección tangencial en θ=0
U_z = 0*U_theta;

%% FIGURA 3D
figure('Position',[100 100 1200 900])
hold on
axis equal
%grid on
%xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Flujo entre los cilindros ','FontSize',14)

%% Cilindro exterior
theta = linspace(0,2*pi,200);
[THc, Zc] = meshgrid(theta, linspace(0,H,60));
surf(R2*cos(THc), R2*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.7 0.7 0.35], 'FaceAlpha',0.3, 'EdgeColor','none')

%% Cilindro interior
surf(R1*cos(THc), R1*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.5 0.5 0.25], 'FaceAlpha',0.4, 'EdgeColor','none')

%% Plano θ = 0
patch([R1 R2 R2 R1],[0 0 0 0],[0 0 H H], ...
'r','FaceAlpha',0.15,'EdgeColor','r','LineWidth',2)
text(R2,0,H/2,'\theta = 0','Color','r','FontSize',14)

%% FLECHAS GRANDES Y POCAS
quiver3(X, Y, Z, U_x, U_y, U_z, ...
1.5,... % ESCALA → flechas mucho más grandes
'b', ...
'LineWidth',1.5); % flecha gruesa y clara
axis off
view(45,25)
</nowiki>}}

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-05T08:46:41Z

Laura Carazo: /* Gráfica del comportamiento del módulo en función de \rho */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi]</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

===Velocidad de las partículas del fluido y análisis de la ecuación===
La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Análisis de la solución conocida====

Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se calculan las expresiones de ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

Para determinar a y b, de manera que la velocidad del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , el sentido de giro es contrario al creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , el sentido de giro es el creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre a, b, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar a y b en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.

De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>

A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{2}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función \vec{u} queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{2}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>

Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>

La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo de velocidades 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 20; % nodos radiales
Ntheta = 40; % nodos angulares
omega1 = 1; % velocidad angular cilindro
interior
omega2 = -1; % velocidad angular cilindro
exterior
% Mallado polar
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);

% Campo de velocidades (Couette)
A = (omega2*Ro - omega1*Ri) / (Ro - Ri);
B = (omega1*Ri*Ro - omega2*Ro^2) * Ri / (Ro - Ri);
Vtheta = A * R + B ./ R;
Vx = -Vtheta .* sin(Theta);
Vy = Vtheta .* cos(Theta);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 0.6, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.3); % naranja

% Encadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri);
xlim([-Ro-padding, Ro+padding]);
ylim([-Ro-padding, Ro+padding]);
axis equal;

title('CAMPO DE VELOCIDADES');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Líneas de Corriente del campo==
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{2}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{2}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{2}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{2}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{2}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{2}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}\,\vec e_{\theta} </math> y <math>v_{z}\,\vec e_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|1000px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho + \tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} \right]\vec{e}_{\theta} \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho}, </math>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho} </math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

* Cálculo de la derivada:

<math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -1 - \frac{2}{\rho^{2}}. </math>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{2}{\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -1-\frac{2}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{2}{\rho^{2}}=-1 \Longrightarrow \rho^{2}=-2, </math>

que no tiene solución real.

*Valores en los extremos del intervalo:

<math> u(1)=-1+\frac{2}{1}=1, \qquad u(2)=-2+\frac{2}{2}=-1. </math>

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-1</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\rho+\frac{2}{\rho}=0 \Longrightarrow \rho=\frac{2}{\rho} \Longrightarrow \rho^{2}=2 \Longrightarrow \rho=\sqrt{2}\approx 1,41. </math>

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en dos ocasiones: en <math>\rho=1</math> y en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a uno.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\rho+\frac{2}{\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Velocidad 67.jpeg|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-rho + 2./rho);

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho +\frac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math> \vec e_{\theta} </math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math>:

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e\right) </math></center>

Se deriva con respecto a 𝜌:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec u = \left(-\tfrac{2}{3}\omega_i-\tfrac{4}{3}\omega_e\right)\vec e_{z} </math></center>

Por tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rotgrupo67.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (modulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -1/3*omega_i - 2/3*omega_e;
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;

title('｜∇×u｜ con ｜ω_i｜=｜ω_e｜=1');
axis equal;

%% (Opcional) Dibujar los cilindros
hold on
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Campo Temperaturas 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente flujo 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Finalmente, el cálculo del caudal cuando <math>\theta = 0</math> se abordará integrando el módulo de la velocidad antes calculado y analizado, de tal manera que, como la sección resultante es un cuadrado de área 1 m2, y se supone que la velocidad viene expresada en m/s, dicho resultado es directamente el caudal <math>Q</math>, puesto <math>Q = v\cdot S</math>.

<center><math>\displaystyle \int_{1}^{2} u(\rho)\,d\rho=\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho = \left[-\tfrac{1}{2}\rho^{2}+2\ln\rho\right]_{1}^{2} = \left(-\tfrac{1}{2}\cdot 2^{2}+2\ln 2\right)-\left(-\tfrac{1}{2}\cdot 1^{2}+2\ln 1\right) = -\tfrac{3}{2}+2\ln 2. </math></center>

Cuya aproximacióin numérica es:

<center><math>\displaystyle
\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho
= -\tfrac{3}{2}+2\ln 2
\approx -0.113706 \, m^3/s
</math></center>

Así pues, atendiendo a los signos, el caudal compensado, entre la velocidad que avanza según <math>\vec{e}_{\theta}</math> y la que va en sentido contrario, queda en sentido -<math>\vec{e}_{\theta}</math>. Dicho resultado es coherente con el análisis sobre el módulo de la velocidad, puesto se aprecia que el área bajo la curva del módulo de u es mayor cuando <math>\rho < \sqrt{2}</math>. Queda a contunuación el dibujo que representa la sección y la velocidad del fluido a través de éste.

[[Archivo:Caudal flujo 67.png|450px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=<nowiki>
%% Flujo entre dos cilindros concéntricos — Flechas SOLO en θ = 0
clear; close all; clc

% Parámetros geométricos
R1 = 1;
R2 = 2;
H = 1;

% Radio donde la velocidad tangencial es nula
r0 = 1.41;

% Velocidad tangencial en los cilindros (igual magnitud)
w = 1; % magnitud (sentido se ajusta con signo)

% Resolver A y B para que U_theta(R1) = w, U_theta(R2) = -w y U_theta(r0) = 0
% Sistema:
% U_theta(r) = A*r + B/r
% 1) A*R1 + B/R1 = w
% 2) A*R2 + B/R2 = -w
% 3) A*r0 + B/r0 = 0 <-- condición redundante pero podemos ajustar B/A

% Usaremos la condición U_theta(r0) = 0 para relacionar B y A:
A = w / (R1 - R1^2/r0^2);
B = -A * r0^2;

%% Sección θ = 0 (solo flechas en x>0, y=0)
r = linspace(R1, R2, 8); % Pocas flechas en radial
z = linspace(0, H, 12); % Pocas flechas en altura

[R, Z] = meshgrid(r, z);

% Coordenadas
X = R;
Y = zeros(size(R));

% Velocidad tangencial
U_theta = A.*R + B./R;

U_x = 0*U_theta;
U_y = U_theta; % dirección tangencial en θ=0
U_z = 0*U_theta;

%% FIGURA 3D
figure('Position',[100 100 1200 900])
hold on
axis equal
%grid on
%xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Flujo entre los cilindros ','FontSize',14)

%% Cilindro exterior
theta = linspace(0,2*pi,200);
[THc, Zc] = meshgrid(theta, linspace(0,H,60));
surf(R2*cos(THc), R2*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.7 0.7 0.35], 'FaceAlpha',0.3, 'EdgeColor','none')

%% Cilindro interior
surf(R1*cos(THc), R1*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.5 0.5 0.25], 'FaceAlpha',0.4, 'EdgeColor','none')

%% Plano θ = 0
patch([R1 R2 R2 R1],[0 0 0 0],[0 0 H H], ...
'r','FaceAlpha',0.15,'EdgeColor','r','LineWidth',2)
text(R2,0,H/2,'\theta = 0','Color','r','FontSize',14)

%% FLECHAS GRANDES Y POCAS
quiver3(X, Y, Z, U_x, U_y, U_z, ...
1.5,... % ESCALA → flechas mucho más grandes
'b', ...
'LineWidth',1.5); % flecha gruesa y clara
axis off
view(45,25)
</nowiki>}}

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-05T08:45:14Z

Laura Carazo: /* Caudal circulante en la sección longitudinal */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi]</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

===Velocidad de las partículas del fluido y análisis de la ecuación===
La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Análisis de la solución conocida====

Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se calculan las expresiones de ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

Para determinar a y b, de manera que la velocidad del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , el sentido de giro es contrario al creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , el sentido de giro es el creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre a, b, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar a y b en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.

De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>

A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{2}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función \vec{u} queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{2}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>

Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>

La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo de velocidades 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 20; % nodos radiales
Ntheta = 40; % nodos angulares
omega1 = 1; % velocidad angular cilindro
interior
omega2 = -1; % velocidad angular cilindro
exterior
% Mallado polar
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);

% Campo de velocidades (Couette)
A = (omega2*Ro - omega1*Ri) / (Ro - Ri);
B = (omega1*Ri*Ro - omega2*Ro^2) * Ri / (Ro - Ri);
Vtheta = A * R + B ./ R;
Vx = -Vtheta .* sin(Theta);
Vy = Vtheta .* cos(Theta);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 0.6, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.3); % naranja

% Encadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri);
xlim([-Ro-padding, Ro+padding]);
ylim([-Ro-padding, Ro+padding]);
axis equal;

title('CAMPO DE VELOCIDADES');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Líneas de Corriente del campo==
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{2}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{2}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{2}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{2}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{2}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{2}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}\,\vec e_{\theta} </math> y <math>v_{z}\,\vec e_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|1000px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho + \tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} \right]\vec{e}_{\theta} \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho}, </math>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho} </math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

* Cálculo de la derivada:

<math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -1 - \frac{2}{\rho^{2}}. </math>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{2}{\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -1-\frac{2}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{2}{\rho^{2}}=-1 \Longrightarrow \rho^{2}=-2, </math>

que no tiene solución real.

*Valores en los extremos del intervalo:

<math> u(1)=-1+\frac{2}{1}=1, \qquad u(2)=-2+\frac{2}{2}=-1. </math>

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-1</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\rho+\frac{2}{\rho}=0 \Longrightarrow \rho=\frac{2}{\rho} \Longrightarrow \rho^{2}=2 \Longrightarrow \rho=\sqrt{2}\approx 1,41. </math>

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en dos ocasiones: en <math>\rho=1</math> y en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a uno.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\rho+\frac{2}{\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Velocidad 67.jpeg|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-rho + 2./rho);

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho +\frac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math> \vec e_{\theta} </math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math>:

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e\right) </math></center>

Se deriva con respecto a 𝜌:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec u = \left(-\tfrac{2}{3}\omega_i-\tfrac{4}{3}\omega_e\right)\vec e_{z} </math></center>

Por tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rotgrupo67.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (modulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -1/3*omega_i - 2/3*omega_e;
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;

title('｜∇×u｜ con ｜ω_i｜=｜ω_e｜=1');
axis equal;

%% (Opcional) Dibujar los cilindros
hold on
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Campo Temperaturas 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente flujo 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Finalmente, el cálculo del caudal cuando <math>\theta = 0</math> se abordará integrando el módulo de la velocidad antes calculado y analizado, de tal manera que, como la sección resultante es un cuadrado de área 1 m2, y se supone que la velocidad viene expresada en m/s, dicho resultado es directamente el caudal <math>Q</math>, puesto <math>Q = v\cdot S</math>.

<center><math>\displaystyle \int_{1}^{2} u(\rho)\,d\rho=\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho = \left[-\tfrac{1}{2}\rho^{2}+2\ln\rho\right]_{1}^{2} = \left(-\tfrac{1}{2}\cdot 2^{2}+2\ln 2\right)-\left(-\tfrac{1}{2}\cdot 1^{2}+2\ln 1\right) = -\tfrac{3}{2}+2\ln 2. </math></center>

Cuya aproximacióin numérica es:

<center><math>\displaystyle
\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho
= -\tfrac{3}{2}+2\ln 2
\approx -0.113706 \, m^3/s
</math></center>

Así pues, atendiendo a los signos, el caudal compensado, entre la velocidad que avanza según <math>\vec{e}_{\theta}</math> y la que va en sentido contrario, queda en sentido -<math>\vec{e}_{\theta}</math>. Dicho resultado es coherente con el análisis sobre el módulo de la velocidad, puesto se aprecia que el área bajo la curva del módulo de u es mayor cuando <math>\rho < \sqrt{2}</math>. Queda a contunuación el dibujo que representa la sección y la velocidad del fluido a través de éste.

[[Archivo:Caudal flujo 67.png|450px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=<nowiki>
%% Flujo entre dos cilindros concéntricos — Flechas SOLO en θ = 0
clear; close all; clc

% Parámetros geométricos
R1 = 1;
R2 = 2;
H = 1;

% Radio donde la velocidad tangencial es nula
r0 = 1.41;

% Velocidad tangencial en los cilindros (igual magnitud)
w = 1; % magnitud (sentido se ajusta con signo)

% Resolver A y B para que U_theta(R1) = w, U_theta(R2) = -w y U_theta(r0) = 0
% Sistema:
% U_theta(r) = A*r + B/r
% 1) A*R1 + B/R1 = w
% 2) A*R2 + B/R2 = -w
% 3) A*r0 + B/r0 = 0 <-- condición redundante pero podemos ajustar B/A

% Usaremos la condición U_theta(r0) = 0 para relacionar B y A:
A = w / (R1 - R1^2/r0^2);
B = -A * r0^2;

%% Sección θ = 0 (solo flechas en x>0, y=0)
r = linspace(R1, R2, 8); % Pocas flechas en radial
z = linspace(0, H, 12); % Pocas flechas en altura

[R, Z] = meshgrid(r, z);

% Coordenadas
X = R;
Y = zeros(size(R));

% Velocidad tangencial
U_theta = A.*R + B./R;

U_x = 0*U_theta;
U_y = U_theta; % dirección tangencial en θ=0
U_z = 0*U_theta;

%% FIGURA 3D
figure('Position',[100 100 1200 900])
hold on
axis equal
%grid on
%xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Flujo entre los cilindros ','FontSize',14)

%% Cilindro exterior
theta = linspace(0,2*pi,200);
[THc, Zc] = meshgrid(theta, linspace(0,H,60));
surf(R2*cos(THc), R2*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.7 0.7 0.35], 'FaceAlpha',0.3, 'EdgeColor','none')

%% Cilindro interior
surf(R1*cos(THc), R1*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.5 0.5 0.25], 'FaceAlpha',0.4, 'EdgeColor','none')

%% Plano θ = 0
patch([R1 R2 R2 R1],[0 0 0 0],[0 0 H H], ...
'r','FaceAlpha',0.15,'EdgeColor','r','LineWidth',2)
text(R2,0,H/2,'\theta = 0','Color','r','FontSize',14)

%% FLECHAS GRANDES Y POCAS
quiver3(X, Y, Z, U_x, U_y, U_z, ...
1.5,... % ESCALA → flechas mucho más grandes
'b', ...
'LineWidth',1.5); % flecha gruesa y clara
axis off
view(45,25)
</nowiki>}}

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-05T08:44:46Z

Laura Carazo: /* Caudal circulante en la sección longitudinal */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi]</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

===Velocidad de las partículas del fluido y análisis de la ecuación===
La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Análisis de la solución conocida====

Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se calculan las expresiones de ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

Para determinar a y b, de manera que la velocidad del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , el sentido de giro es contrario al creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , el sentido de giro es el creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre a, b, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar a y b en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.

De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>

A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{2}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función \vec{u} queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{2}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>

Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>

La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo de velocidades 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 20; % nodos radiales
Ntheta = 40; % nodos angulares
omega1 = 1; % velocidad angular cilindro
interior
omega2 = -1; % velocidad angular cilindro
exterior
% Mallado polar
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);

% Campo de velocidades (Couette)
A = (omega2*Ro - omega1*Ri) / (Ro - Ri);
B = (omega1*Ri*Ro - omega2*Ro^2) * Ri / (Ro - Ri);
Vtheta = A * R + B ./ R;
Vx = -Vtheta .* sin(Theta);
Vy = Vtheta .* cos(Theta);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 0.6, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.3); % naranja

% Encadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri);
xlim([-Ro-padding, Ro+padding]);
ylim([-Ro-padding, Ro+padding]);
axis equal;

title('CAMPO DE VELOCIDADES');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Líneas de Corriente del campo==
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{2}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{2}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{2}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{2}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{2}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{2}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}\,\vec e_{\theta} </math> y <math>v_{z}\,\vec e_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|1000px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho + \tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} \right]\vec{e}_{\theta} \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho}, </math>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho} </math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

* Cálculo de la derivada:

<math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -1 - \frac{2}{\rho^{2}}. </math>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{2}{\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -1-\frac{2}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{2}{\rho^{2}}=-1 \Longrightarrow \rho^{2}=-2, </math>

que no tiene solución real.

*Valores en los extremos del intervalo:

<math> u(1)=-1+\frac{2}{1}=1, \qquad u(2)=-2+\frac{2}{2}=-1. </math>

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-1</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\rho+\frac{2}{\rho}=0 \Longrightarrow \rho=\frac{2}{\rho} \Longrightarrow \rho^{2}=2 \Longrightarrow \rho=\sqrt{2}\approx 1,41. </math>

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en dos ocasiones: en <math>\rho=1</math> y en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a uno.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\rho+\frac{2}{\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Velocidad 67.jpeg|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-rho + 2./rho);

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho +\frac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math> \vec e_{\theta} </math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math>:

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e\right) </math></center>

Se deriva con respecto a 𝜌:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec u = \left(-\tfrac{2}{3}\omega_i-\tfrac{4}{3}\omega_e\right)\vec e_{z} </math></center>

Por tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rotgrupo67.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (modulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -1/3*omega_i - 2/3*omega_e;
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;

title('｜∇×u｜ con ｜ω_i｜=｜ω_e｜=1');
axis equal;

%% (Opcional) Dibujar los cilindros
hold on
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Campo Temperaturas 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente flujo 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Finalmente, el cálculo del caudal cuando <math>\theta = 0</math> se abordará integrando el módulo de la velocidad antes calculado y analizado, de tal manera que, como la sección resultante es un cuadrado de área 1 m2, y se supone que la velocidad viene expresada en m/s, dicho resultado es directamente el caudal <math>Q</math>, puesto <math>Q = v\cdot S</math>.

<center><math>\displaystyle \int_{1}^{2} u(\rho)\,d\rho=\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho = \left[-\tfrac{1}{2}\rho^{2}+2\ln\rho\right]_{1}^{2} = \left(-\tfrac{1}{2}\cdot 2^{2}+2\ln 2\right)-\left(-\tfrac{1}{2}\cdot 1^{2}+2\ln 1\right) = -\tfrac{3}{2}+2\ln 2. </math></center>

Cuya aproximacióin numérica es:

<center><math>\displaystyle
\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho
= -\tfrac{3}{2}+2\ln 2
\approx -0.113706 \, m^3/s
</math></center>

Así pues, atendiendo a los signos, el caudal compensado, entre la velocidad que avanza según <math>\vec{e}_{\theta}</math> y la que va en sentido contrario, queda en sentido -<math>\vec{e}_{\theta}</math>. Dicho resultado es coherente con el análisis sobre el módulo de la velocidad, puesto se aprecia que el área bajo la curva del módulo de u es mayor cuando <math>\rho < \sqrt{2}</math>. Queda a contunuación el dibujo que representa la sección y la velocidad del fluido a través de éste.

[[Archivo:Caudal flujo 67.png|500px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=<nowiki>
%% Flujo entre dos cilindros concéntricos — Flechas SOLO en θ = 0
clear; close all; clc

% Parámetros geométricos
R1 = 1;
R2 = 2;
H = 1;

% Radio donde la velocidad tangencial es nula
r0 = 1.41;

% Velocidad tangencial en los cilindros (igual magnitud)
w = 1; % magnitud (sentido se ajusta con signo)

% Resolver A y B para que U_theta(R1) = w, U_theta(R2) = -w y U_theta(r0) = 0
% Sistema:
% U_theta(r) = A*r + B/r
% 1) A*R1 + B/R1 = w
% 2) A*R2 + B/R2 = -w
% 3) A*r0 + B/r0 = 0 <-- condición redundante pero podemos ajustar B/A

% Usaremos la condición U_theta(r0) = 0 para relacionar B y A:
A = w / (R1 - R1^2/r0^2);
B = -A * r0^2;

%% Sección θ = 0 (solo flechas en x>0, y=0)
r = linspace(R1, R2, 8); % Pocas flechas en radial
z = linspace(0, H, 12); % Pocas flechas en altura

[R, Z] = meshgrid(r, z);

% Coordenadas
X = R;
Y = zeros(size(R));

% Velocidad tangencial
U_theta = A.*R + B./R;

U_x = 0*U_theta;
U_y = U_theta; % dirección tangencial en θ=0
U_z = 0*U_theta;

%% FIGURA 3D
figure('Position',[100 100 1200 900])
hold on
axis equal
%grid on
%xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Flujo entre los cilindros ','FontSize',14)

%% Cilindro exterior
theta = linspace(0,2*pi,200);
[THc, Zc] = meshgrid(theta, linspace(0,H,60));
surf(R2*cos(THc), R2*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.7 0.7 0.35], 'FaceAlpha',0.3, 'EdgeColor','none')

%% Cilindro interior
surf(R1*cos(THc), R1*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.5 0.5 0.25], 'FaceAlpha',0.4, 'EdgeColor','none')

%% Plano θ = 0
patch([R1 R2 R2 R1],[0 0 0 0],[0 0 H H], ...
'r','FaceAlpha',0.15,'EdgeColor','r','LineWidth',2)
text(R2,0,H/2,'\theta = 0','Color','r','FontSize',14)

%% FLECHAS GRANDES Y POCAS
quiver3(X, Y, Z, U_x, U_y, U_z, ...
1.5,... % ESCALA → flechas mucho más grandes
'b', ...
'LineWidth',1.5); % flecha gruesa y clara
axis off
view(45,25)
</nowiki>}}

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-05T08:43:35Z

Laura Carazo: /* Caudal circulante en la sección longitudinal */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi]</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

===Velocidad de las partículas del fluido y análisis de la ecuación===
La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Análisis de la solución conocida====

Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se calculan las expresiones de ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

Para determinar a y b, de manera que la velocidad del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , el sentido de giro es contrario al creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , el sentido de giro es el creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre a, b, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar a y b en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.

De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>

A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{2}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función \vec{u} queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{2}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>

Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>

La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo de velocidades 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 20; % nodos radiales
Ntheta = 40; % nodos angulares
omega1 = 1; % velocidad angular cilindro
interior
omega2 = -1; % velocidad angular cilindro
exterior
% Mallado polar
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);

% Campo de velocidades (Couette)
A = (omega2*Ro - omega1*Ri) / (Ro - Ri);
B = (omega1*Ri*Ro - omega2*Ro^2) * Ri / (Ro - Ri);
Vtheta = A * R + B ./ R;
Vx = -Vtheta .* sin(Theta);
Vy = Vtheta .* cos(Theta);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 0.6, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.3); % naranja

% Encadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri);
xlim([-Ro-padding, Ro+padding]);
ylim([-Ro-padding, Ro+padding]);
axis equal;

title('CAMPO DE VELOCIDADES');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Líneas de Corriente del campo==
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{2}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{2}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{2}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{2}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{2}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{2}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}\,\vec e_{\theta} </math> y <math>v_{z}\,\vec e_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|1000px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho + \tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} \right]\vec{e}_{\theta} \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho}, </math>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho} </math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

* Cálculo de la derivada:

<math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -1 - \frac{2}{\rho^{2}}. </math>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{2}{\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -1-\frac{2}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{2}{\rho^{2}}=-1 \Longrightarrow \rho^{2}=-2, </math>

que no tiene solución real.

*Valores en los extremos del intervalo:

<math> u(1)=-1+\frac{2}{1}=1, \qquad u(2)=-2+\frac{2}{2}=-1. </math>

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-1</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\rho+\frac{2}{\rho}=0 \Longrightarrow \rho=\frac{2}{\rho} \Longrightarrow \rho^{2}=2 \Longrightarrow \rho=\sqrt{2}\approx 1,41. </math>

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en dos ocasiones: en <math>\rho=1</math> y en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a uno.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\rho+\frac{2}{\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Velocidad 67.jpeg|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-rho + 2./rho);

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho +\frac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math> \vec e_{\theta} </math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math>:

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e\right) </math></center>

Se deriva con respecto a 𝜌:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec u = \left(-\tfrac{2}{3}\omega_i-\tfrac{4}{3}\omega_e\right)\vec e_{z} </math></center>

Por tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rotgrupo67.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (modulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -1/3*omega_i - 2/3*omega_e;
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;

title('｜∇×u｜ con ｜ω_i｜=｜ω_e｜=1');
axis equal;

%% (Opcional) Dibujar los cilindros
hold on
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Campo Temperaturas 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente flujo 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Finalmente, el cálculo del caudal cuando <math>\theta = 0</math> se abordará integrando el módulo de la velocidad antes calculado y analizado, de tal manera que, como la sección resultante es un cuadrado de área 1 m2, y se supone que la velocidad viene expresada en m/s, dicho resultado es directamente el caudal <math>Q</math>, puesto <math>Q = v\cdot S</math>.

<center><math>\displaystyle \int_{1}^{2} u(\rho)\,d\rho=\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho = \left[-\tfrac{1}{2}\rho^{2}+2\ln\rho\right]_{1}^{2} = \left(-\tfrac{1}{2}\cdot 2^{2}+2\ln 2\right)-\left(-\tfrac{1}{2}\cdot 1^{2}+2\ln 1\right) = -\tfrac{3}{2}+2\ln 2. </math></center>

Cuya aproximacióin numérica es:

<center><math>\displaystyle
\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho
= -\tfrac{3}{2}+2\ln 2
\approx -0.113706 \, m^3/s
</math></center>

Así pues, atendiendo a los signos, el caudal compensado, entre la velocidad que avanza según <math>\vec{e}_{\theta}</math> y la que va en sentido contrario, queda en sentido -<math>\vec{e}_{\theta}</math>. Dicho resultado es coherente con el análisis sobre el módulo de la velocidad, puesto se aprecia que el área bajo la curva del módulo de u es mayor cuando <math>\rho < \sqrt{2}</math>. Queda a contunuación el dibujo que representa la sección y la velocidad del fluido a través de éste.

Caudal flujo 67
{{matlab|codigo=<nowiki>
%% Flujo entre dos cilindros concéntricos — Flechas SOLO en θ = 0
clear; close all; clc

% Parámetros geométricos
R1 = 1;
R2 = 2;
H = 1;

% Radio donde la velocidad tangencial es nula
r0 = 1.41;

% Velocidad tangencial en los cilindros (igual magnitud)
w = 1; % magnitud (sentido se ajusta con signo)

% Resolver A y B para que U_theta(R1) = w, U_theta(R2) = -w y U_theta(r0) = 0
% Sistema:
% U_theta(r) = A*r + B/r
% 1) A*R1 + B/R1 = w
% 2) A*R2 + B/R2 = -w
% 3) A*r0 + B/r0 = 0 <-- condición redundante pero podemos ajustar B/A

% Usaremos la condición U_theta(r0) = 0 para relacionar B y A:
A = w / (R1 - R1^2/r0^2);
B = -A * r0^2;

%% Sección θ = 0 (solo flechas en x>0, y=0)
r = linspace(R1, R2, 8); % Pocas flechas en radial
z = linspace(0, H, 12); % Pocas flechas en altura

[R, Z] = meshgrid(r, z);

% Coordenadas
X = R;
Y = zeros(size(R));

% Velocidad tangencial
U_theta = A.*R + B./R;

U_x = 0*U_theta;
U_y = U_theta; % dirección tangencial en θ=0
U_z = 0*U_theta;

%% FIGURA 3D
figure('Position',[100 100 1200 900])
hold on
axis equal
%grid on
%xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Flujo entre los cilindros ','FontSize',14)

%% Cilindro exterior
theta = linspace(0,2*pi,200);
[THc, Zc] = meshgrid(theta, linspace(0,H,60));
surf(R2*cos(THc), R2*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.7 0.7 0.35], 'FaceAlpha',0.3, 'EdgeColor','none')

%% Cilindro interior
surf(R1*cos(THc), R1*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.5 0.5 0.25], 'FaceAlpha',0.4, 'EdgeColor','none')

%% Plano θ = 0
patch([R1 R2 R2 R1],[0 0 0 0],[0 0 H H], ...
'r','FaceAlpha',0.15,'EdgeColor','r','LineWidth',2)
text(R2,0,H/2,'\theta = 0','Color','r','FontSize',14)

%% FLECHAS GRANDES Y POCAS
quiver3(X, Y, Z, U_x, U_y, U_z, ...
1.5,... % ESCALA → flechas mucho más grandes
'b', ...
'LineWidth',1.5); % flecha gruesa y clara
axis off
view(45,25)
</nowiki>}}

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Caudal flujo 67.png

2025-12-05T08:42:40Z

Laura Carazo:

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-04T09:32:53Z

Laura Carazo: /* Análisis de la solución conocida */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi]</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

===Velocidad de las partículas del fluido y análisis de la ecuación===
La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Análisis de la solución conocida====

Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se calculan las expresiones de ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

Para determinar a y b, de manera que la velocidad del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , el sentido de giro es contrario al creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , el sentido de giro es el creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre a, b, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar a y b en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.

De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>

A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{2}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función \vec{u} queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{2}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>

Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>

La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo de velocidades 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 20; % nodos radiales
Ntheta = 40; % nodos angulares
omega1 = 1; % velocidad angular cilindro
interior
omega2 = -1; % velocidad angular cilindro
exterior
% Mallado polar
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);

% Campo de velocidades (Couette)
A = (omega2*Ro - omega1*Ri) / (Ro - Ri);
B = (omega1*Ri*Ro - omega2*Ro^2) * Ri / (Ro - Ri);
Vtheta = A * R + B ./ R;
Vx = -Vtheta .* sin(Theta);
Vy = Vtheta .* cos(Theta);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 0.6, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.3); % naranja

% Encadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri);
xlim([-Ro-padding, Ro+padding]);
ylim([-Ro-padding, Ro+padding]);
axis equal;

title('CAMPO DE VELOCIDADES');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Líneas de Corriente del campo==
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{2}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{2}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{2}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{2}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{2}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{2}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}\,\vec e_{\theta} </math> y <math>v_{z}\,\vec e_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|1000px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho + \tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} \right]\vec{e}_{\theta} \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho}, </math>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho} </math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

* Cálculo de la derivada:

<math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -1 - \frac{2}{\rho^{2}}. </math>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{2}{\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -1-\frac{2}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{2}{\rho^{2}}=-1 \Longrightarrow \rho^{2}=-2, </math>

que no tiene solución real.

*Valores en los extremos del intervalo:

<math> u(1)=-1+\frac{2}{1}=1, \qquad u(2)=-2+\frac{2}{2}=-1. </math>

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-1</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\rho+\frac{2}{\rho}=0 \Longrightarrow \rho=\frac{2}{\rho} \Longrightarrow \rho^{2}=2 \Longrightarrow \rho=\sqrt{2}\approx 1,41. </math>

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en dos ocasiones: en <math>\rho=1</math> y en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a uno.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\rho+\frac{2}{\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Velocidad 67.jpeg|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-rho + 2./rho);

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho +\frac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math> \vec e_{\theta} </math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math>:

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e\right) </math></center>

Se deriva con respecto a 𝜌:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec u = \left(-\tfrac{2}{3}\omega_i-\tfrac{4}{3}\omega_e\right)\vec e_{z} </math></center>

Por tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rotgrupo67.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (modulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -1/3*omega_i - 2/3*omega_e;
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;

title('｜∇×u｜ con ｜ω_i｜=｜ω_e｜=1');
axis equal;

%% (Opcional) Dibujar los cilindros
hold on
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Campo Temperaturas 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente flujo 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Finalmente, el cálculo del caudal cuando <math>\theta = 0</math> se abordará integrando el módulo de la velocidad antes calculado y analizado, de tal manera que, como la sección resultante es un cuadrado de área 1 m2, y se supone que la velocidad viene expresada en m/s, dicho resultado es directamente el caudal <math>Q</math>, puesto <math>Q = v\cdot S</math>.

<center><math>\displaystyle \int_{1}^{2} u(\rho)\,d\rho=\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho = \left[-\tfrac{1}{2}\rho^{2}+2\ln\rho\right]_{1}^{2} = \left(-\tfrac{1}{2}\cdot 2^{2}+2\ln 2\right)-\left(-\tfrac{1}{2}\cdot 1^{2}+2\ln 1\right) = -\tfrac{3}{2}+2\ln 2. </math></center>

Cuya aproximacióin numérica es:

<center><math>\displaystyle
\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho
= -\tfrac{3}{2}+2\ln 2
\approx -0.113706 \, m^3/s
</math></center>

Así pues, atendiendo a los signos, el caudal compensado, entre la velocidad que avanza según <math>\vec{e}_{\theta}</math> y la que va en sentido contrario, queda en sentido -<math>\vec{e}_{\theta}</math>. Dicho resultado es coherente con el análisis sobre el módulo de la velocidad, puesto se aprecia que el área bajo la curva del módulo de u es mayor cuando <math>\rho < \sqrt{2}</math>. Queda a contunuación el dibujo que representa la sección y la velocidad del fluido a través de éste.

{{matlab|codigo=<nowiki>
%% Flujo entre dos cilindros concéntricos — Flechas SOLO en θ = 0
clear; close all; clc

% Parámetros geométricos
R1 = 1;
R2 = 2;
H = 1;

% Radio donde la velocidad tangencial es nula
r0 = 1.41;

% Velocidad tangencial en los cilindros (igual magnitud)
w = 1; % magnitud (sentido se ajusta con signo)

% Resolver A y B para que U_theta(R1) = w, U_theta(R2) = -w y U_theta(r0) = 0
% Sistema:
% U_theta(r) = A*r + B/r
% 1) A*R1 + B/R1 = w
% 2) A*R2 + B/R2 = -w
% 3) A*r0 + B/r0 = 0 <-- condición redundante pero podemos ajustar B/A

% Usaremos la condición U_theta(r0) = 0 para relacionar B y A:
A = w / (R1 - R1^2/r0^2);
B = -A * r0^2;

%% Sección θ = 0 (solo flechas en x>0, y=0)
r = linspace(R1, R2, 8); % Pocas flechas en radial
z = linspace(0, H, 12); % Pocas flechas en altura

[R, Z] = meshgrid(r, z);

% Coordenadas
X = R;
Y = zeros(size(R));

% Velocidad tangencial
U_theta = A.*R + B./R;

U_x = 0*U_theta;
U_y = U_theta; % dirección tangencial en θ=0
U_z = 0*U_theta;

%% FIGURA 3D
figure('Position',[100 100 1200 900])
hold on
axis equal
%grid on
%xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Flujo entre los cilindros ','FontSize',14)

%% Cilindro exterior
theta = linspace(0,2*pi,200);
[THc, Zc] = meshgrid(theta, linspace(0,H,60));
surf(R2*cos(THc), R2*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.7 0.7 0.35], 'FaceAlpha',0.3, 'EdgeColor','none')

%% Cilindro interior
surf(R1*cos(THc), R1*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.5 0.5 0.25], 'FaceAlpha',0.4, 'EdgeColor','none')

%% Plano θ = 0
patch([R1 R2 R2 R1],[0 0 0 0],[0 0 H H], ...
'r','FaceAlpha',0.15,'EdgeColor','r','LineWidth',2)
text(R2,0,H/2,'\theta = 0','Color','r','FontSize',14)

%% FLECHAS GRANDES Y POCAS
quiver3(X, Y, Z, U_x, U_y, U_z, ...
1.5,... % ESCALA → flechas mucho más grandes
'b', ...
'LineWidth',1.5); % flecha gruesa y clara
axis off
view(45,25)
</nowiki>}}

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-04T09:30:13Z

Laura Carazo: /* Ecuación Navier-Stokes */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi]</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

===Velocidad de las partículas del fluido y análisis de la ecuación===
La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Análisis de la solución conocida====

Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se calculan las expresiones de ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

Para determinar a y b, de manera que la velocidad del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , el sentido de giro es contrario al creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , el sentido de giro es el creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre a, b, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar a y b en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.

De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>

A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{2}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función \vec{u} queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{2}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>

Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>

La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo de velocidades 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 20; % nodos radiales
Ntheta = 40; % nodos angulares
omega1 = 1; % velocidad angular cilindro
interior
omega2 = -1; % velocidad angular cilindro
exterior
% Mallado polar
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);

% Campo de velocidades (Couette)
A = (omega2*Ro - omega1*Ri) / (Ro - Ri);
B = (omega1*Ri*Ro - omega2*Ro^2) * Ri / (Ro - Ri);
Vtheta = A * R + B ./ R;
Vx = -Vtheta .* sin(Theta);
Vy = Vtheta .* cos(Theta);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 0.6, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.3); % naranja

% Encadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri);
xlim([-Ro-padding, Ro+padding]);
ylim([-Ro-padding, Ro+padding]);
axis equal;

title('CAMPO DE VELOCIDADES');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Líneas de Corriente del campo==
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{2}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{2}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{2}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{2}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{2}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{2}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}\,\vec e_{\theta} </math> y <math>v_{z}\,\vec e_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|1000px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho + \tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} \right]\vec{e}_{\theta} \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho}, </math>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho} </math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

* Cálculo de la derivada:

<math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -1 - \frac{2}{\rho^{2}}. </math>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{2}{\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -1-\frac{2}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{2}{\rho^{2}}=-1 \Longrightarrow \rho^{2}=-2, </math>

que no tiene solución real.

*Valores en los extremos del intervalo:

<math> u(1)=-1+\frac{2}{1}=1, \qquad u(2)=-2+\frac{2}{2}=-1. </math>

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-1</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\rho+\frac{2}{\rho}=0 \Longrightarrow \rho=\frac{2}{\rho} \Longrightarrow \rho^{2}=2 \Longrightarrow \rho=\sqrt{2}\approx 1,41. </math>

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en dos ocasiones: en <math>\rho=1</math> y en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a uno.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\rho+\frac{2}{\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Velocidad 67.jpeg|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-rho + 2./rho);

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho +\frac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math> \vec e_{\theta} </math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math>:

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e\right) </math></center>

Se deriva con respecto a 𝜌:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec u = \left(-\tfrac{2}{3}\omega_i-\tfrac{4}{3}\omega_e\right)\vec e_{z} </math></center>

Por tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rotgrupo67.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (modulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -1/3*omega_i - 2/3*omega_e;
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;

title('｜∇×u｜ con ｜ω_i｜=｜ω_e｜=1');
axis equal;

%% (Opcional) Dibujar los cilindros
hold on
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Campo Temperaturas 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente flujo 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Finalmente, el cálculo del caudal cuando <math>\theta = 0</math> se abordará integrando el módulo de la velocidad antes calculado y analizado, de tal manera que, como la sección resultante es un cuadrado de área 1 m2, y se supone que la velocidad viene expresada en m/s, dicho resultado es directamente el caudal <math>Q</math>, puesto <math>Q = v\cdot S</math>.

<center><math>\displaystyle \int_{1}^{2} u(\rho)\,d\rho=\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho = \left[-\tfrac{1}{2}\rho^{2}+2\ln\rho\right]_{1}^{2} = \left(-\tfrac{1}{2}\cdot 2^{2}+2\ln 2\right)-\left(-\tfrac{1}{2}\cdot 1^{2}+2\ln 1\right) = -\tfrac{3}{2}+2\ln 2. </math></center>

Cuya aproximacióin numérica es:

<center><math>\displaystyle
\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho
= -\tfrac{3}{2}+2\ln 2
\approx -0.113706 \, m^3/s
</math></center>

Así pues, atendiendo a los signos, el caudal compensado, entre la velocidad que avanza según <math>\vec{e}_{\theta}</math> y la que va en sentido contrario, queda en sentido -<math>\vec{e}_{\theta}</math>. Dicho resultado es coherente con el análisis sobre el módulo de la velocidad, puesto se aprecia que el área bajo la curva del módulo de u es mayor cuando <math>\rho < \sqrt{2}</math>. Queda a contunuación el dibujo que representa la sección y la velocidad del fluido a través de éste.

{{matlab|codigo=<nowiki>
%% Flujo entre dos cilindros concéntricos — Flechas SOLO en θ = 0
clear; close all; clc

% Parámetros geométricos
R1 = 1;
R2 = 2;
H = 1;

% Radio donde la velocidad tangencial es nula
r0 = 1.41;

% Velocidad tangencial en los cilindros (igual magnitud)
w = 1; % magnitud (sentido se ajusta con signo)

% Resolver A y B para que U_theta(R1) = w, U_theta(R2) = -w y U_theta(r0) = 0
% Sistema:
% U_theta(r) = A*r + B/r
% 1) A*R1 + B/R1 = w
% 2) A*R2 + B/R2 = -w
% 3) A*r0 + B/r0 = 0 <-- condición redundante pero podemos ajustar B/A

% Usaremos la condición U_theta(r0) = 0 para relacionar B y A:
A = w / (R1 - R1^2/r0^2);
B = -A * r0^2;

%% Sección θ = 0 (solo flechas en x>0, y=0)
r = linspace(R1, R2, 8); % Pocas flechas en radial
z = linspace(0, H, 12); % Pocas flechas en altura

[R, Z] = meshgrid(r, z);

% Coordenadas
X = R;
Y = zeros(size(R));

% Velocidad tangencial
U_theta = A.*R + B./R;

U_x = 0*U_theta;
U_y = U_theta; % dirección tangencial en θ=0
U_z = 0*U_theta;

%% FIGURA 3D
figure('Position',[100 100 1200 900])
hold on
axis equal
%grid on
%xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Flujo entre los cilindros ','FontSize',14)

%% Cilindro exterior
theta = linspace(0,2*pi,200);
[THc, Zc] = meshgrid(theta, linspace(0,H,60));
surf(R2*cos(THc), R2*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.7 0.7 0.35], 'FaceAlpha',0.3, 'EdgeColor','none')

%% Cilindro interior
surf(R1*cos(THc), R1*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.5 0.5 0.25], 'FaceAlpha',0.4, 'EdgeColor','none')

%% Plano θ = 0
patch([R1 R2 R2 R1],[0 0 0 0],[0 0 H H], ...
'r','FaceAlpha',0.15,'EdgeColor','r','LineWidth',2)
text(R2,0,H/2,'\theta = 0','Color','r','FontSize',14)

%% FLECHAS GRANDES Y POCAS
quiver3(X, Y, Z, U_x, U_y, U_z, ...
1.5,... % ESCALA → flechas mucho más grandes
'b', ...
'LineWidth',1.5); % flecha gruesa y clara
axis off
view(45,25)
</nowiki>}}

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-04T09:28:25Z

Laura Carazo: /* Análisis de la solución conocida */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi]</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

===Velocidad de las partículas del fluido y análisis de la ecuación===
La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Análisis de la solución conocida====

Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se calculan las expresiones de ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

Para determinar a y b, de manera que la velocidad del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , el sentido de giro es contrario al creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , el sentido de giro es el creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre a, b, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar a y b en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.
De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>
A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{2}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función \vec{u} queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{2}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>
Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>
La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo de velocidades 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 20; % nodos radiales
Ntheta = 40; % nodos angulares
omega1 = 1; % velocidad angular cilindro
interior
omega2 = -1; % velocidad angular cilindro
exterior
% Mallado polar
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);

% Campo de velocidades (Couette)
A = (omega2*Ro - omega1*Ri) / (Ro - Ri);
B = (omega1*Ri*Ro - omega2*Ro^2) * Ri / (Ro - Ri);
Vtheta = A * R + B ./ R;
Vx = -Vtheta .* sin(Theta);
Vy = Vtheta .* cos(Theta);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 0.6, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.3); % naranja

% Encadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri);
xlim([-Ro-padding, Ro+padding]);
ylim([-Ro-padding, Ro+padding]);
axis equal;

title('CAMPO DE VELOCIDADES');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Líneas de Corriente del campo==
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{2}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{2}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{2}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{2}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{2}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{2}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}\,\vec e_{\theta} </math> y <math>v_{z}\,\vec e_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|1000px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho + \tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} \right]\vec{e}_{\theta} \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho}, </math>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho} </math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

* Cálculo de la derivada:

<math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -1 - \frac{2}{\rho^{2}}. </math>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{2}{\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -1-\frac{2}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{2}{\rho^{2}}=-1 \Longrightarrow \rho^{2}=-2, </math>

que no tiene solución real.

*Valores en los extremos del intervalo:

<math> u(1)=-1+\frac{2}{1}=1, \qquad u(2)=-2+\frac{2}{2}=-1. </math>

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-1</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\rho+\frac{2}{\rho}=0 \Longrightarrow \rho=\frac{2}{\rho} \Longrightarrow \rho^{2}=2 \Longrightarrow \rho=\sqrt{2}\approx 1,41. </math>

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en dos ocasiones: en <math>\rho=1</math> y en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a uno.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\rho+\frac{2}{\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Velocidad 67.jpeg|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-rho + 2./rho);

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho +\frac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math> \vec e_{\theta} </math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math>:

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e\right) </math></center>

Se deriva con respecto a 𝜌:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec u = \left(-\tfrac{2}{3}\omega_i-\tfrac{4}{3}\omega_e\right)\vec e_{z} </math></center>

Por tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rotgrupo67.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (modulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -1/3*omega_i - 2/3*omega_e;
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;

title('｜∇×u｜ con ｜ω_i｜=｜ω_e｜=1');
axis equal;

%% (Opcional) Dibujar los cilindros
hold on
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Campo Temperaturas 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente flujo 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Finalmente, el cálculo del caudal cuando <math>\theta = 0</math> se abordará integrando el módulo de la velocidad antes calculado y analizado, de tal manera que, como la sección resultante es un cuadrado de área 1 m2, y se supone que la velocidad viene expresada en m/s, dicho resultado es directamente el caudal <math>Q</math>, puesto <math>Q = v\cdot S</math>.

<center><math>\displaystyle \int_{1}^{2} u(\rho)\,d\rho=\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho = \left[-\tfrac{1}{2}\rho^{2}+2\ln\rho\right]_{1}^{2} = \left(-\tfrac{1}{2}\cdot 2^{2}+2\ln 2\right)-\left(-\tfrac{1}{2}\cdot 1^{2}+2\ln 1\right) = -\tfrac{3}{2}+2\ln 2. </math></center>

Cuya aproximacióin numérica es:

<center><math>\displaystyle
\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho
= -\tfrac{3}{2}+2\ln 2
\approx -0.113706 \, m^3/s
</math></center>

Así pues, atendiendo a los signos, el caudal compensado, entre la velocidad que avanza según <math>\vec{e}_{\theta}</math> y la que va en sentido contrario, queda en sentido -<math>\vec{e}_{\theta}</math>. Dicho resultado es coherente con el análisis sobre el módulo de la velocidad, puesto se aprecia que el área bajo la curva del módulo de u es mayor cuando <math>\rho < \sqrt{2}</math>. Queda a contunuación el dibujo que representa la sección y la velocidad del fluido a través de éste.

{{matlab|codigo=<nowiki>
%% Flujo entre dos cilindros concéntricos — Flechas SOLO en θ = 0
clear; close all; clc

% Parámetros geométricos
R1 = 1;
R2 = 2;
H = 1;

% Radio donde la velocidad tangencial es nula
r0 = 1.41;

% Velocidad tangencial en los cilindros (igual magnitud)
w = 1; % magnitud (sentido se ajusta con signo)

% Resolver A y B para que U_theta(R1) = w, U_theta(R2) = -w y U_theta(r0) = 0
% Sistema:
% U_theta(r) = A*r + B/r
% 1) A*R1 + B/R1 = w
% 2) A*R2 + B/R2 = -w
% 3) A*r0 + B/r0 = 0 <-- condición redundante pero podemos ajustar B/A

% Usaremos la condición U_theta(r0) = 0 para relacionar B y A:
A = w / (R1 - R1^2/r0^2);
B = -A * r0^2;

%% Sección θ = 0 (solo flechas en x>0, y=0)
r = linspace(R1, R2, 8); % Pocas flechas en radial
z = linspace(0, H, 12); % Pocas flechas en altura

[R, Z] = meshgrid(r, z);

% Coordenadas
X = R;
Y = zeros(size(R));

% Velocidad tangencial
U_theta = A.*R + B./R;

U_x = 0*U_theta;
U_y = U_theta; % dirección tangencial en θ=0
U_z = 0*U_theta;

%% FIGURA 3D
figure('Position',[100 100 1200 900])
hold on
axis equal
%grid on
%xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Flujo entre los cilindros ','FontSize',14)

%% Cilindro exterior
theta = linspace(0,2*pi,200);
[THc, Zc] = meshgrid(theta, linspace(0,H,60));
surf(R2*cos(THc), R2*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.7 0.7 0.35], 'FaceAlpha',0.3, 'EdgeColor','none')

%% Cilindro interior
surf(R1*cos(THc), R1*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.5 0.5 0.25], 'FaceAlpha',0.4, 'EdgeColor','none')

%% Plano θ = 0
patch([R1 R2 R2 R1],[0 0 0 0],[0 0 H H], ...
'r','FaceAlpha',0.15,'EdgeColor','r','LineWidth',2)
text(R2,0,H/2,'\theta = 0','Color','r','FontSize',14)

%% FLECHAS GRANDES Y POCAS
quiver3(X, Y, Z, U_x, U_y, U_z, ...
1.5,... % ESCALA → flechas mucho más grandes
'b', ...
'LineWidth',1.5); % flecha gruesa y clara
axis off
view(45,25)
</nowiki>}}

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-04T09:27:07Z

Laura Carazo: /* Ecuación Navier-Stokes */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi]</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

===Velocidad de las partículas del fluido y análisis de la ecuación===
La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, donde la presión (<math>p</math>) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

''Nota: El valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.''

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( <math>∇p = 0</math> ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

''Nota: <math>∆\vec{u} </math> representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.''

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

=== Laplaciano del campo vectorial <math>\vec{u} </math> ===
Por definición tenemos que el laplaciano de un campo vectorial viene dado por la siguiente ecuación:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Debido a que el campo de velocidades está proporcionado en coordenadas cilíndricas, resulta más sencillo calcularlo con dichas coordenadas y por lo tanto la ecuación pasaría a ser la siguiente:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

Como podemos apreciar, debemos calcular el gradiente de la divergencia. De modo que primeramente realizaremos el cálculo de la divergencia.

Por otro lado, al tratarse de un fluido incomprensible, dicha divergencia debe ser nula.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Tras realizar los cálculos, observamos que como hemos deducido, la divergencia es nula y por lo tanto:
<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

Finalmente tras los cálculos realizados, aseguramos que el primer término del laplaciano es nulo, simplificándose así la ecuación y quedando de la siguiente forma:

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
Realizamos los cálculos aplicando la fórmula para el rotacional definido en coordenadas cilíndricas.

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez realizado el rotacional del campo de velocidades, proseguimos con el cálculo del rotacional sobre el vector hallado anteriormente:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Resultado del Laplaciano vectorial====
Sustituimos en la ecuación obtenida del laplaciano vectorial.

<center><math>\Delta\vec{u} = - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Resultado de la ecuación de Navier-Stokes===
Una vez calculado el laplaciano, procedemos a sustituir el valor en la ecuación analizada previamente de Navier-Stokes obteniendo:

<center><math> µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Ecuación diferencial====

Analizando y simplificando la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente expresión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

Podemos ver que la simplificación está bien realizada debido a que al operar la derivada propuesta, obtendríamos la expresión de partida.

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Reordenamos la ecuación para la obtención de una ecuación diferencial de segundo orden:
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Análisis de la solución conocida====

A continuación, vamos a comprobar si la ecuación diferencial que hemos obtenido satisface la solución conocida, que viene dada por:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se calculan las expresiones de ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

Para determinar a y b, de manera que la velocidad del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , el sentido de giro es contrario al creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , el sentido de giro es el creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre a, b, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar a y b en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.
De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>
A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{2}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función \vec{u} queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{2}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>
Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>
La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo de velocidades 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 20; % nodos radiales
Ntheta = 40; % nodos angulares
omega1 = 1; % velocidad angular cilindro
interior
omega2 = -1; % velocidad angular cilindro
exterior
% Mallado polar
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);

% Campo de velocidades (Couette)
A = (omega2*Ro - omega1*Ri) / (Ro - Ri);
B = (omega1*Ri*Ro - omega2*Ro^2) * Ri / (Ro - Ri);
Vtheta = A * R + B ./ R;
Vx = -Vtheta .* sin(Theta);
Vy = Vtheta .* cos(Theta);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 0.6, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.3); % naranja

% Encadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri);
xlim([-Ro-padding, Ro+padding]);
ylim([-Ro-padding, Ro+padding]);
axis equal;

title('CAMPO DE VELOCIDADES');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Líneas de Corriente del campo==
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{2}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{2}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{2}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{2}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{2}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{2}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}\,\vec e_{\theta} </math> y <math>v_{z}\,\vec e_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|1000px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho + \tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} \right]\vec{e}_{\theta} \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho}, </math>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho} </math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

* Cálculo de la derivada:

<math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -1 - \frac{2}{\rho^{2}}. </math>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{2}{\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -1-\frac{2}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{2}{\rho^{2}}=-1 \Longrightarrow \rho^{2}=-2, </math>

que no tiene solución real.

*Valores en los extremos del intervalo:

<math> u(1)=-1+\frac{2}{1}=1, \qquad u(2)=-2+\frac{2}{2}=-1. </math>

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-1</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\rho+\frac{2}{\rho}=0 \Longrightarrow \rho=\frac{2}{\rho} \Longrightarrow \rho^{2}=2 \Longrightarrow \rho=\sqrt{2}\approx 1,41. </math>

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en dos ocasiones: en <math>\rho=1</math> y en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a uno.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\rho+\frac{2}{\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Velocidad 67.jpeg|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-rho + 2./rho);

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho +\frac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math> \vec e_{\theta} </math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math>:

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e\right) </math></center>

Se deriva con respecto a 𝜌:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec u = \left(-\tfrac{2}{3}\omega_i-\tfrac{4}{3}\omega_e\right)\vec e_{z} </math></center>

Por tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rotgrupo67.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (modulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -1/3*omega_i - 2/3*omega_e;
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;

title('｜∇×u｜ con ｜ω_i｜=｜ω_e｜=1');
axis equal;

%% (Opcional) Dibujar los cilindros
hold on
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Campo Temperaturas 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente flujo 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Finalmente, el cálculo del caudal cuando <math>\theta = 0</math> se abordará integrando el módulo de la velocidad antes calculado y analizado, de tal manera que, como la sección resultante es un cuadrado de área 1 m2, y se supone que la velocidad viene expresada en m/s, dicho resultado es directamente el caudal <math>Q</math>, puesto <math>Q = v\cdot S</math>.

<center><math>\displaystyle \int_{1}^{2} u(\rho)\,d\rho=\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho = \left[-\tfrac{1}{2}\rho^{2}+2\ln\rho\right]_{1}^{2} = \left(-\tfrac{1}{2}\cdot 2^{2}+2\ln 2\right)-\left(-\tfrac{1}{2}\cdot 1^{2}+2\ln 1\right) = -\tfrac{3}{2}+2\ln 2. </math></center>

Cuya aproximacióin numérica es:

<center><math>\displaystyle
\int_{1}^{2}\left(-\rho+\tfrac{2}{\rho}\right)d\rho
= -\tfrac{3}{2}+2\ln 2
\approx -0.113706 \, m^3/s
</math></center>

Así pues, atendiendo a los signos, el caudal compensado, entre la velocidad que avanza según <math>\vec{e}_{\theta}</math> y la que va en sentido contrario, queda en sentido -<math>\vec{e}_{\theta}</math>. Dicho resultado es coherente con el análisis sobre el módulo de la velocidad, puesto se aprecia que el área bajo la curva del módulo de u es mayor cuando <math>\rho < \sqrt{2}</math>. Queda a contunuación el dibujo que representa la sección y la velocidad del fluido a través de éste.

{{matlab|codigo=<nowiki>
%% Flujo entre dos cilindros concéntricos — Flechas SOLO en θ = 0
clear; close all; clc

% Parámetros geométricos
R1 = 1;
R2 = 2;
H = 1;

% Radio donde la velocidad tangencial es nula
r0 = 1.41;

% Velocidad tangencial en los cilindros (igual magnitud)
w = 1; % magnitud (sentido se ajusta con signo)

% Resolver A y B para que U_theta(R1) = w, U_theta(R2) = -w y U_theta(r0) = 0
% Sistema:
% U_theta(r) = A*r + B/r
% 1) A*R1 + B/R1 = w
% 2) A*R2 + B/R2 = -w
% 3) A*r0 + B/r0 = 0 <-- condición redundante pero podemos ajustar B/A

% Usaremos la condición U_theta(r0) = 0 para relacionar B y A:
A = w / (R1 - R1^2/r0^2);
B = -A * r0^2;

%% Sección θ = 0 (solo flechas en x>0, y=0)
r = linspace(R1, R2, 8); % Pocas flechas en radial
z = linspace(0, H, 12); % Pocas flechas en altura

[R, Z] = meshgrid(r, z);

% Coordenadas
X = R;
Y = zeros(size(R));

% Velocidad tangencial
U_theta = A.*R + B./R;

U_x = 0*U_theta;
U_y = U_theta; % dirección tangencial en θ=0
U_z = 0*U_theta;

%% FIGURA 3D
figure('Position',[100 100 1200 900])
hold on
axis equal
%grid on
%xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Flujo entre los cilindros ','FontSize',14)

%% Cilindro exterior
theta = linspace(0,2*pi,200);
[THc, Zc] = meshgrid(theta, linspace(0,H,60));
surf(R2*cos(THc), R2*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.7 0.7 0.35], 'FaceAlpha',0.3, 'EdgeColor','none')

%% Cilindro interior
surf(R1*cos(THc), R1*sin(THc), Zc, ...
'FaceColor',[0.5 0.5 0.25], 'FaceAlpha',0.4, 'EdgeColor','none')

%% Plano θ = 0
patch([R1 R2 R2 R1],[0 0 0 0],[0 0 H H], ...
'r','FaceAlpha',0.15,'EdgeColor','r','LineWidth',2)
text(R2,0,H/2,'\theta = 0','Color','r','FontSize',14)

%% FLECHAS GRANDES Y POCAS
quiver3(X, Y, Z, U_x, U_y, U_z, ...
1.5,... % ESCALA → flechas mucho más grandes
'b', ...
'LineWidth',1.5); % flecha gruesa y clara
axis off
view(45,25)
</nowiki>}}

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-03T10:53:18Z

Laura Carazo: /* Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi]</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo de velocidades 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 20; % nodos radiales
Ntheta = 40; % nodos angulares
omega1 = 1; % velocidad angular cilindro
interior
omega2 = -1; % velocidad angular cilindro
exterior
% Mallado polar
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);

% Campo de velocidades (Couette)
A = (omega2*Ro - omega1*Ri) / (Ro - Ri);
B = (omega1*Ri*Ro - omega2*Ro^2) * Ri / (Ro - Ri);
Vtheta = A * R + B ./ R;
Vx = -Vtheta .* sin(Theta);
Vy = Vtheta .* cos(Theta);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 0.6, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.3); % naranja

% Encadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri);
xlim([-Ro-padding, Ro+padding]);
ylim([-Ro-padding, Ro+padding]);
axis equal;

title('CAMPO DE VELOCIDADES');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}
Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se calculan las expresiones de ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

Para determinar a y b, de manera que la velocidad del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , el sentido de giro es contrario al creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , el sentido de giro es el creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre a, b, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar a y b en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.
De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>
A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{2}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función \vec{u} queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{2}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>
Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>
La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Líneas de Corriente del campo==
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{2}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{2}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{2}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{2}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{2}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{2}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}\,\vec e_{\theta} </math> y <math>v_{z}\,\vec e_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|1000px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho + \tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} \right]\vec{e}_{\theta} \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho}, </math>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho} </math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

* Cálculo de la derivada:

<math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -1 - \frac{2}{\rho^{2}}. </math>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{2}{\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -1-\frac{2}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{2}{\rho^{2}}=-1 \Longrightarrow \rho^{2}=-2, </math>

que no tiene solución real.

*Valores en los extremos del intervalo:

<math> u(1)=-1+\frac{2}{1}=1, \qquad u(2)=-2+\frac{2}{2}=-1. </math>

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-1</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\rho+\frac{2}{\rho}=0 \Longrightarrow \rho=\frac{2}{\rho} \Longrightarrow \rho^{2}=2 \Longrightarrow \rho=\sqrt{2}\approx 1,41. </math>

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en dos ocasiones: en <math>\rho=1</math> y en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a uno.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\rho+\frac{2}{\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Velocidad 67.jpeg|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-rho + 2./rho);

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente <math> e_{\theta} </math>, siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho +\frac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math>u_{\theta}</math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math>:

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e\right) </math></center>

Se deriva con respecto a 𝜌:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec u = \left(-\tfrac{2}{3}\omega_i-\tfrac{4}{3}\omega_e\right)\vec e_{z} </math></center>

Por tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rotgrupo67.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (modulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -1/3*omega_i - 2/3*omega_e;
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;

title('｜∇×u｜ con ｜ω_i｜=｜ω_e｜=1');
axis equal;

%% (Opcional) Dibujar los cilindros
hold on
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Campo Temperaturas 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente flujo 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Suponiendo que las velocidades calculadas están expresadas en m/s, y que los cilindros tienen una profundidad de 1 metro; el caudal por la sección <math>\theta=0</math> se calculará de la siguiente mnera:

El caudal se interpreta físicamente como el flujo del campo <math>\vec{u}</math> a través de la sección de estudio <math>\theta=0</math>; por lo que queda, en forma genérica, de la siguiente manera: <math>Q = \int_{S} \vec{u}\cdot \vec{N}\, dS</math>.
Donde <math>\vec{u}</math> es el campo de velocidades del fluido en cada punto, <math>\vec{N}</math> es el vector normal a la sección (que en este caso es <math>\vec e_{\theta}</math>) y <math>S</math> es la sección de estudio.

Particularizando en los vectores y la sección de estudio:
<center><math>Q = \int_{S} \vec{u}\cdot \vec{N}\, dS= \int_{S} \vec{u}\cdot \vec{e}_{\theta}\, dS
= \int_{0}^{z} \int_{\rho_{1}}^{\rho_{2}} \vec{u}\cdot \vec{e}_{\theta}\, d\rho\, dz</math></center>

Sustituyendo finalmente los valores, la expresión queda de la siguiente manera:

<center><math>Q=\int_{S}\left[\left(-\tfrac13 w_i-\tfrac23 w_e\right)\rho+
\left(\tfrac43 w_i+\tfrac23 w_e\right)\frac{1}{\rho}\right]
\, \vec e_\theta\cdot\vec e_\theta \, ds
=\int_{S}\left[\left(-\tfrac13 w_i-\tfrac23 w_e\right)\rho+
\left(\tfrac43 w_i+\tfrac23 w_e\right)\frac{1}{\rho}\right] ds.</math></center>

<center><math>Q=\int_{0}^{1}\int_{1}^{2}
\left[\left(-\tfrac13 w_i-\tfrac23 w_e\right)\rho+
\left(\tfrac43 w_i+\tfrac23 w_e\right)\frac{1}{\rho}\right]
\, d\rho\, dz
=\int_{0}^{1}\left[\left(-\tfrac13 w_i-\tfrac23 w_e\right)
\int_{1}^{2}\rho\, d\rho+
\left(\tfrac43 w_i+\tfrac23 w_e\right)
\int_{1}^{2}\frac{1}{\rho}\, d\rho\right] dz.</math></center>

<center><math>Q=\int_0^1 \left[
\tfrac32\left(-\tfrac13 w_i-\tfrac23 w_e\right)
+\ln 2\left(\tfrac43 w_i+\tfrac23 w_e\right)
\right] dz
= \int_0^1 \left[
w_i\left(-\tfrac12+\tfrac43\ln 2\right)
+w_e\left(-1+\tfrac23\ln 2\right)
\right] dz.</math></center>

<center><math>Q=\left(-\tfrac12+\tfrac43\ln 2\right) w_i
+\left(-1+\tfrac23\ln 2\right) w_e.</math></center>

Es importante comentar que el flujo es constante para cualquier sección definida de la manera <math>\theta=\alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}</math>, ya que la velocidad del fluido es constante para <math>\theta=cte</math> y <math>\rho=cte</math>, y el vector normal a las secciones siempre va a ser <math>\vec e_{\theta}</math>. Ergo, el flujo calculado para la sección <math>\theta=0</math> es, en realidad, el flujo del fluido a través de cualquier sección vertical (que comprenda todo el espacio entre los cilindros y <math>\theta=cte</math>).

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Gradiente flujo 67.png

2025-12-03T10:52:52Z

Laura Carazo:

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-03T10:52:09Z

Laura Carazo: /* Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi]</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo de velocidades 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 20; % nodos radiales
Ntheta = 40; % nodos angulares
omega1 = 1; % velocidad angular cilindro
interior
omega2 = -1; % velocidad angular cilindro
exterior
% Mallado polar
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);

% Campo de velocidades (Couette)
A = (omega2*Ro - omega1*Ri) / (Ro - Ri);
B = (omega1*Ri*Ro - omega2*Ro^2) * Ri / (Ro - Ri);
Vtheta = A * R + B ./ R;
Vx = -Vtheta .* sin(Theta);
Vy = Vtheta .* cos(Theta);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 0.6, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.3); % naranja

% Encadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri);
xlim([-Ro-padding, Ro+padding]);
ylim([-Ro-padding, Ro+padding]);
axis equal;

title('CAMPO DE VELOCIDADES');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}
Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se calculan las expresiones de ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

Para determinar a y b, de manera que la velocidad del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , el sentido de giro es contrario al creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , el sentido de giro es el creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre a, b, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar a y b en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.
De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>
A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{2}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función \vec{u} queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{2}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>
Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>
La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Líneas de Corriente del campo==
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{2}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{2}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{2}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{2}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{2}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{2}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}\,\vec e_{\theta} </math> y <math>v_{z}\,\vec e_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|1000px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, se transforma la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho + \tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} \right]\vec{e}_{\theta} \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si se continúa con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho}, </math>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho} </math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

* Cálculo de la derivada:

<math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -1 - \frac{2}{\rho^{2}}. </math>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{2}{\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -1-\frac{2}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{2}{\rho^{2}}=-1 \Longrightarrow \rho^{2}=-2, </math>

que no tiene solución real.

*Valores en los extremos del intervalo:

<math> u(1)=-1+\frac{2}{1}=1, \qquad u(2)=-2+\frac{2}{2}=-1. </math>

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-1</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\rho+\frac{2}{\rho}=0 \Longrightarrow \rho=\frac{2}{\rho} \Longrightarrow \rho^{2}=2 \Longrightarrow \rho=\sqrt{2}\approx 1,41. </math>

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en dos ocasiones: en <math>\rho=1</math> y en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a uno.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===

A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\rho+\frac{2}{\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
[[Archivo:Velocidad 67.jpeg|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=

% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-rho + 2./rho);

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, se utiliza la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo <math> \vec{u} </math> :

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math></center>

Se puede determinar que depende únicamente de la componente ēθ , siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho +\frac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, se obtiene:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math>u_{\theta}</math> no depende de z, queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Se sustituye la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math>:

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e\right) </math></center>

Se deriva con respecto a 𝜌:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec u = \left(-\tfrac{2}{3}\omega_i-\tfrac{4}{3}\omega_e\right)\vec e_{z} </math></center>

Por tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Véase una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supóngase que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde se puede apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:rotgrupo67.jpeg|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (modulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 2; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -1/3*omega_i - 2/3*omega_e;
curl_value = abs(2*A); % ｜∇×u｜

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colormap winter;

title('｜∇×u｜ con ｜ω_i｜=｜ω_e｜=1');
axis equal;

%% (Opcional) Dibujar los cilindros
hold on
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off

}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Campo Temperaturas 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente Temp 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc

% Mallado cilíndrico
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);

% Campo de temperatura T(rho,theta)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

% Derivadas en coordenadas cilíndricas
Tr = (2 ./ (1 + 2*RHO)) .* (cos(THETA).^2); % dT/drho
Ttheta = -log(1 + 2*RHO) .* sin(2*THETA); % dT/dtheta

% Componentes del gradiente (e_rho, e_theta)
Grad_rho = Tr;
Grad_theta = Ttheta ./ RHO;

% Paso a cartesianas
X = RHO .* cos(THETA);
Y = RHO .* sin(THETA);

Ux = Grad_rho .* cos(THETA) - Grad_theta .* sin(THETA);
Uy = Grad_rho .* sin(THETA) + Grad_theta .* cos(THETA);

step = 2; % densidad de flechas
scale = 0.45; % un poco más grandes

figure;

%% Subplot 1: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 1.2);
colormap('winter');
colorbar;
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Curvas de nivel de T y gradiente \nabla T');
hold on;
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
hold off;

%% Subplot 2: solo gradiente de temperatura
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:step:end,1:step:end), ...
Y(1:step:end,1:step:end), ...
Ux(1:step:end,1:step:end), ...
Uy(1:step:end,1:step:end), ...
scale, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.1);
axis equal tight;
grid on;
xlabel('Eje X1');
ylabel('Eje X2');
title('Campo del gradiente de temperatura \nabla T');
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Suponiendo que las velocidades calculadas están expresadas en m/s, y que los cilindros tienen una profundidad de 1 metro; el caudal por la sección <math>\theta=0</math> se calculará de la siguiente mnera:

El caudal se interpreta físicamente como el flujo del campo <math>\vec{u}</math> a través de la sección de estudio <math>\theta=0</math>; por lo que queda, en forma genérica, de la siguiente manera: <math>Q = \int_{S} \vec{u}\cdot \vec{N}\, dS</math>.
Donde <math>\vec{u}</math> es el campo de velocidades del fluido en cada punto, <math>\vec{N}</math> es el vector normal a la sección (que en este caso es <math>\vec e_{\theta}</math>) y <math>S</math> es la sección de estudio.

Particularizando en los vectores y la sección de estudio:
<center><math>Q = \int_{S} \vec{u}\cdot \vec{N}\, dS= \int_{S} \vec{u}\cdot \vec{e}_{\theta}\, dS
= \int_{0}^{z} \int_{\rho_{1}}^{\rho_{2}} \vec{u}\cdot \vec{e}_{\theta}\, d\rho\, dz</math></center>

Sustituyendo finalmente los valores, la expresión queda de la siguiente manera:

<center><math>Q=\int_{S}\left[\left(-\tfrac13 w_i-\tfrac23 w_e\right)\rho+
\left(\tfrac43 w_i+\tfrac23 w_e\right)\frac{1}{\rho}\right]
\, \vec e_\theta\cdot\vec e_\theta \, ds
=\int_{S}\left[\left(-\tfrac13 w_i-\tfrac23 w_e\right)\rho+
\left(\tfrac43 w_i+\tfrac23 w_e\right)\frac{1}{\rho}\right] ds.</math></center>

<center><math>Q=\int_{0}^{1}\int_{1}^{2}
\left[\left(-\tfrac13 w_i-\tfrac23 w_e\right)\rho+
\left(\tfrac43 w_i+\tfrac23 w_e\right)\frac{1}{\rho}\right]
\, d\rho\, dz
=\int_{0}^{1}\left[\left(-\tfrac13 w_i-\tfrac23 w_e\right)
\int_{1}^{2}\rho\, d\rho+
\left(\tfrac43 w_i+\tfrac23 w_e\right)
\int_{1}^{2}\frac{1}{\rho}\, d\rho\right] dz.</math></center>

<center><math>Q=\int_0^1 \left[
\tfrac32\left(-\tfrac13 w_i-\tfrac23 w_e\right)
+\ln 2\left(\tfrac43 w_i+\tfrac23 w_e\right)
\right] dz
= \int_0^1 \left[
w_i\left(-\tfrac12+\tfrac43\ln 2\right)
+w_e\left(-1+\tfrac23\ln 2\right)
\right] dz.</math></center>

<center><math>Q=\left(-\tfrac12+\tfrac43\ln 2\right) w_i
+\left(-1+\tfrac23\ln 2\right) w_e.</math></center>

Es importante comentar que el flujo es constante para cualquier sección definida de la manera <math>\theta=\alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}</math>, ya que la velocidad del fluido es constante para <math>\theta=cte</math> y <math>\rho=cte</math>, y el vector normal a las secciones siempre va a ser <math>\vec e_{\theta}</math>. Ergo, el flujo calculado para la sección <math>\theta=0</math> es, en realidad, el flujo del fluido a través de cualquier sección vertical (que comprenda todo el espacio entre los cilindros y <math>\theta=cte</math>).

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 67)

2025-12-03T09:34:47Z

Laura Carazo: /* Representación gráfica del rotacional */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 67 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Carazo Ureña, Laura
*García de veas González, Marcos
*Molina Amigo, Pablo
*Ronchas Martin, Luis Alfonso }}

El '''flujo de Couette''' describe el movimiento de un fluido viscoso confinado entre dos superficies que se desplazan tangencialmente una respecto de la otra. En geometría cilíndrica, este fenómeno aparece cuando el fluido ocupa el espacio entre dos cilindros concéntricos de gran longitud y el movimiento está dominado por la rotación alrededor del eje común. Esta configuración se utiliza con frecuencia como modelo sencillo para estudiar cómo se transmiten los esfuerzos cortantes en lubricantes, rodamientos y dispositivos de medida de propiedades reológicas.

En el problema que se aborda en este trabajo, el fluido se encuentra entre dos tubos concéntricos que giran con velocidades angulares constantes y de sentido opuesto. Bajo la hipótesis de fluido incompresible, régimen laminar y simetría axial, el campo de velocidades resultante es puramente azimutal y depende únicamente del radio, determinado por la condición de no deslizamiento en ambas paredes cilíndricas. Estas condiciones de contorno contrapuestas generan un gradiente de velocidad más intenso en el espesor del anillo, lo que hace especialmente interesante analizar la distribución de temperatura, las curvas de nivel del campo escalar y el comportamiento del gradiente, así como discutir el significado físico de las magnitudes obtenidas y su posible relación con regímenes más complejos de tipo Taylor–Couette a mayores velocidades de rotación.

==Mallado de la sección transversal==

En primer lugar se representa la sección transversal del fluido correspondiente a los parámetros <math>\rho = 2</math> para el tubo exterior, <math>\rho = 1</math> para el tubo interior y <math>\theta \in [0,2\pi]</math>. Seccionamos ambos cilindros con el plano <math>x_3 = 0</math> y describimos la región resultante en coordenadas cartesianas como <math>(x,y) \in [-2,2] \times [-2,2]</math>.

La sección se representa mediante el siguiente código de matlab.

[[Archivo:Mallado del dominio 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 50; % Número de nodos en dirección radial
Ntheta = 100; % Número de nodos en dirección angular

% Vectores de coordenadas en polares
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
% Construir el mallado con coordenadas polares
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Graficar la malla interna en azul
figure;
plot(X, Y, 'b');
hold on;
plot(X', Y', 'b');

plot(Ro * cos(theta), Ro * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Exterior
plot(Ri * cos(theta), Ri * sin(theta), 'k', 'LineWidth', 3); % Interior
% Encuadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri); % Margen extra
xlim([-Ro - padding, Ro + padding]);
ylim([-Ro - padding, Ro + padding]);
axis equal;
set(gca, 'Position', [0.13 0.13 0.75 0.75]); % Centrar y ampliar

title('Mallado del dominio entre tubos concéntricos');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}

==Ecuación Navier-Stokes==

==Campo de velocidades==

[[Archivo:Campo de velocidades 67.jpeg|600px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros
Ri = 1; % Radio interior
Ro = 2; % Radio exterior
Nr = 20; % nodos radiales
Ntheta = 40; % nodos angulares
omega1 = 1; % velocidad angular cilindro
interior
omega2 = -1; % velocidad angular cilindro
exterior
% Mallado polar
r = linspace(Ri, Ro, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);

% Campo de velocidades (Couette)
A = (omega2*Ro - omega1*Ri) / (Ro - Ri);
B = (omega1*Ri*Ro - omega2*Ro^2) * Ri / (Ro - Ri);
Vtheta = A * R + B ./ R;
Vx = -Vtheta .* sin(Theta);
Vy = Vtheta .* cos(Theta);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 0.6, 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1.3); % naranja

% Encadrar y ampliar espacio en los ejes
padding = 0.25 * (Ro - Ri);
xlim([-Ro-padding, Ro+padding]);
ylim([-Ro-padding, Ro+padding]);
axis equal;

title('CAMPO DE VELOCIDADES');
xlabel('x');
ylabel('y');
hold off;
}}
Para comprobar que la función
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a,b \in \mathbb{R}
</math>,
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}
</math>,
se calculan las expresiones de ambos miembros con el fin de llegar a una expresión común:

El miembro de la izquierda es:

<center><math>
\frac{f(\rho)}{\rho} = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Por otro lado, el miembro de la derecha es el siguiente:

<center><math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho(a - \frac{b}{\rho^2}) \Big) = \frac{\partial}{\partial \rho} (a \rho - \frac{b}{\rho}) = a + \frac{b}{\rho^2}
</math></center>

Como puede comprobarse, en ambos miembros se obtiene la misma expresión, por lo que se puede afirmar que
<math>
f(\rho) = a \rho + \frac{b}{\rho}, \quad a, b \in \mathbb{R}
</math>
es solución de la ecuación diferencial
<math>
\frac{\partial}{\partial \rho} \Big( \rho \frac{\partial f(\rho)}{\partial \rho} \Big) = \frac{f(\rho)}{\rho}.
</math>

Para determinar a y b, de manera que la velocidad del fluido en la frontera coincida con la de los cilindros interior y exterior es necesario introducir una serie de condiciones sobre los parámetros:

El cilindro exterior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=2</math> y gira en sentido horario con una velocidad angular constante <math>\omega_e</math> , el sentido de giro es contrario al creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>-\vec{e}_\theta</math>.

En cambio, el cilindro interior queda proyectado en <math>z=0</math> sobre <math>\rho=1</math> y gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante <math>\omega_i</math> , el sentido de giro es el creciente del parámetro θ, por lo que en la velocidad se considerará <math>\vec{e}_\theta</math>.

Una vez impuestas las condiciones sobre los parámetros, se obtiene, para cada valor de <math>\rho</math> una relación entre a, b, <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>:

<center><math>\rho = 1 \to
\vec u = \omega_i \,\vec e_\theta
= f(\rho)\,\vec e_\theta
= f(1)\,\vec e_\theta
= (a\cdot 1 + \tfrac{b}{1})\,\vec e_\theta
= \omega_i \,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
a + b = \omega_i</math></center>

<center><math>\rho = 2 \to
\vec u = -\omega_e \,\vec e_\theta
= -f(\rho)\,\vec e_\theta
= -f(2)\,\vec e_\theta
= -(2a + \tfrac{b}{2})\,\vec e_\theta
= -\omega_e\,\vec e_\theta
\;\;\Rightarrow\;\;
2a + \frac{b}{2} = -\omega_e</math></center>

Una vez obtenidas ambas relaciones, se resuelve el sistema de manera trivial buscando dejar a y b en función de <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>.
De la primera relación de despeja <math>a</math> de la siguiente manera:
<center><math>
a = \omega_i - b
</math></center>
A continuación, se introduce en la segunda relación y se despeja <math>b</math>:
<center><math>2(\omega_i - b) + \frac{b}{2} = -\omega_e </math></center>

<center><math>b(-2 + \tfrac{1}{2}) = -\omega_e - 2\omega_i </math></center>

<center><math>b = -\tfrac{2}{3}\,(-\omega_e - 2\omega_i) \to b = \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i
</math></center>

Una vez obtenida <math>b</math>, se sustituye en la primera relación para obtener <math>a</math>:
<center><math>a = \omega_i - \left( \tfrac{2}{3}\,\omega_e + \tfrac{4}{3}\,\omega_i \right) \to a = -\tfrac{2}{3}\,\omega_e - \tfrac{1}{3}\,\omega_i </math></center>

Tras hallar ambas constantes <math>a</math> y <math>b</math>, la función \vec{u} queda de la siguiente manera:
<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\, \vec{e}_\theta
= \left(a \rho + \frac{b}{\rho}\right) \vec{e}_\theta</math></center>

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta) = \left[ \left(-\frac{2}{3} w_e - \frac{1}{3} w_i \right)\rho + \left(\frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right)\frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\theta</math></center>
Es importante comentar que el campo solo depende de <math>\rho</math> y las velocidades <math>\omega_i</math> y <math>\omega_e</math>; y no de <math>\theta</math> o <math>z</math>. Este suceso era de esperar ya que el flujo es constante en cualquier altura de los cilindros y en cualquier ángulo <math>\theta</math>.

También es interesante comprobar la condición de incompresibilidad o divergente nulo; para ello es necesario introducir la forma en la que se calcula la divergencia de un campo vectorial en la base cilíndrica: <math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right)</math>.

A continuación, se calcula la divergencia del campo de velocidades del fluido entre los cilindros coaxiales:
<center><math>
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left( 0 + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + 0 \right) = 0
</math></center>
La divergencia es nula porque la componente <math>u_\theta</math>, que en este caso es el campo en su totalidad, no depende de <math>\theta</math> y por lo tanto, la derivada parcial / total es nula.

==Líneas de Corriente del campo==
Para trazar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> es necesario calcular y dibujar las líneas <math>\psi = \text{cte}</math> del potencial escalar <math>\psi</math> de un campo ortogonal, <math>\vec{v}</math>, a <math>\vec{u}</math>; que se conocen como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular un campo <math>\vec{v}</math> ortogonal a <math>\vec{u}</math> es necesario conocer cómo es el campo <math>\vec{u}</math>; éste es un campo que, en la base cilíndrica, no tiene ninguna componente radial, solo tangencial a la velocidad (en cada punto). Por lo que cualquier campo que solo tenga componentes radiales / perpendiculares a la velocidad en cada punto ya es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. En este caso, para simplificar los cálculos, como el campo de velocidades (en la base cartesiana con el eje z coincidente con el eje de los cilindros) solo tiene componentes <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math>, el campo <math>\vec{v}</math> puede considerarse como: <math>\vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}</math>.

Por lo tanto, el campo <math>\vec{v}</math> se obtiene de la siguiente manera:

<center><math>\vec{v} =
\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
0 & u_\theta & 0
\end{vmatrix}
= -u_\theta \, \vec{e}_\rho
\to \vec{v} = \left[ \left(\frac{2}{3} \omega_e + \frac{1}{3} \omega_i \right) \rho - \left(\frac{2}{3} \omega_e + \frac{4}{3} \omega_i \right) \frac{1}{\rho} \right] \vec{e}_\rho</math></center>

Como ya se ha demostrado, <math>\vec{u}</math> tiene divergencia nula; por lo que el rotacional de <math>\vec{v}</math> también será nulo. Para comprobarlo es necesario exponer previamente la fórmula del rotacional de un campo vectorial en la base cilíndrica:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso el rotacional de campo <math>\vec{v}</math> es el siguiente:

<center><math>
\nabla \times \vec{v}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & 0 & 0
\end{vmatrix}
= 0
</math></center>

Se observa que <math>u_{\rho}</math> solo depende de <math>\rho</math>, como cabría esperar ya que el flujo es constante <math>\forall \theta \in [0,2\pi),\ \forall z > 0</math>, por lo que todas las derivadas cruzadas son nulas. Esto permite afirmar que el campo <math>\vec{v}</math> es conservativo, por lo que tiene un potencial escalar <math>\psi</math> tal que <math>\vec{v} = \nabla \psi</math>.

El cálculo del potencial escalar <math>\psi</math> de <math>\vec{v}</math> debe abordarse como la igualación de componentes de dos campos. El primero de ellos es <math>\nabla \psi</math> que se expresa, en componentes, de la siguiente manera: <math>\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho} + \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta} + \psi'_{z}\,\vec e_{z}</math>; mientras que el campo <math>\vec{v}</math> se escribe: <math>v_{\rho}\,\vec e_{\rho} + v_{\theta}\,\vec e_{\theta} + v_{z}\,\vec e_{z}</math>. De esta forma, y sabiendo que están en la misma base, se igualan las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ \rho\,\psi'_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ \psi'_{z}\,\vec e_{z}
=
v_{\rho}\,\vec e_{\rho}
+ v_{\theta}\,\vec e_{\theta}
+ v_{z}\,\vec e_{z}
</math></center>

En este caso, el vector <math>\vec{v}</math> solo tiene componente <math>\vec e_{\rho}</math> por lo que la igualdad queda de la siguiente manera:
<center><math>
\psi'_{\rho}\,\vec e_{\rho}
=
\left[
\left(\frac{2}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}\right)\rho
-
\left(\frac{2}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}\right)\frac{1}{\rho}
\right]\vec e_{\rho}
</math></center>

Igualando las componentes:
<center><math>
\psi'_{\rho}
=
\left(
\frac{2}{3}w_{e}+\frac{1}{3}w_{i}
\right)\rho
-
\left(
\frac{2}{3}w_{e}+\frac{4}{3}w_{i}
\right)\frac{1}{\rho}
</math></center>

Como se observa, y se ha comentado anteriormente, las componentes <math>v_{\theta}\,\vec e_{\theta} </math> y <math>v_{z}\,\vec e_{z}</math> son ambas nulas, por lo que el potencial escalar es <math>\psi = \psi(\rho)</math>. Entonces se debe afirmar la siguiente igualdad:
<center><math>
\psi = \int v_{\rho} \, d\rho
</math></center>
Donde la constante de integración no será <math>f(\theta, z)</math> sino una constante escalar arbitraria <math>\alpha</math>.

De esta manera, <math>\psi</math> se obtiene de la siguiente forma:
<center><math>
\psi = \int \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \rho \, d\rho
- \int \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \frac{1}{\rho} \, d\rho
=
\left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \int \rho \, d\rho
- \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \int \frac{1}{\rho} \, d\rho
</math></center>

Y el potencial escalar <math>\psi</math> queda:
<center><math>
\psi = \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{1}{3} w_i \right) \frac{\rho^2}{2}
- \left( \frac{2}{3} w_e + \frac{4}{3} w_i \right) \ln \rho
+ \alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}
</math></center>

Finalmente, al representar las líneas <math>\psi=cte</math> ; como <math>\psi = \psi(\rho)</math>, en realidad se estarían representando las líneas <math>\rho=cte</math>. Y éstas son directamente las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>.

Para la visualización gráfica es necesario apoyarse en el siguiente código de MATLAB:

[[Archivo:Potencial_Cte_flujo_campo_67.jpg|1000px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros geométricos
Ri = 1;
Re = 2;
% Valores de rotación, ambos módulos de we y wi = 1
% Sentido horario , signo negativo
% Sentido antihorario , signo positivo
we = -1; % cilindro exterior
wi = +1; % cilindro interior
% Coeficientes de la función de corriente (según tu fórmula)
A = (2/3)*we + (1/3)*wi;
B = (2/3)*we + (4/3)*wi;
% Mallado polar
N = 300;
rho = linspace(0,3,N);
theta = linspace(0,2*pi,N);
[R,T] = meshgrid(rho,theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
% Función de corriente
Psi = A*(R.^2)/2 - B*log(R);
% Enmascaramos zona que NO es fluido
mask = (R < Ri / R > Re);
Psi(mask) = NaN;
% Dibujar líneas psi = cte
figure; hold on;
contour(X, Y, Psi, 20, 'LineWidth', 1.3);
% Dibujar los cilindros
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(Ri*cos(th), Ri*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(Re*cos(th), Re*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
axis equal;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('\psi(\rho) = cte . Líneas de corriente del campo U');
hold off;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
El estudio de los puntos donde el módulo del campo de velocidades
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math>
, es máximo, se abordará mediante dos condiciones simplificadoras, que agilizan el problema:

Primera, puesto que en la expresión de <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> solo aparece la variable <math>\rho</math>, puede tratarse el campo de velocidades como un campo vectorial dependiente de una única variable, así:
<math>\vec{u}(\rho,\theta)=\vec{u}(\rho)</math>.

Segunda, como la función vectorial devuelve vectores dirigidos únicamente según la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>, el resultado numérico del campo resulta ser el módulo de la velocidad.

Así pues, transformamos la expresión vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta)</math> en una función escalar:
<math> u(\rho) = \left| \left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho + \tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} \right]\vec{e}_{\theta} \right| </math> de <math>\mathbb{R}</math> en <math>\mathbb{R}</math>.
Si además continuamos con el supuesto de que <math>|\omega_i|=|\omega_e|=1</math>, queda finalmente como:

<math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho}, </math>

y representa el módulo del campo de velocidades, incluyendo en su signo información sobre el sentido de la velocidad.

===Estudio de la función <math> u(\rho)=-\,\rho+\frac{2}{\rho} </math> ===
Para encontrar los puntos de máxima velocidad, puede estudiarse analíticamente hallando los valores de <math>\rho</math> tales que su derivada se anule, y analizar ahí, junto con los valores en los extremos del dominio, cuál de ellos proporciona los valores máximos. Procedamos a su estudio en el intervalo <math>\rho\in[1,2]</math>.

* Cálculo de la derivada:

<math> \frac{\partial u(\rho)}{\partial\rho} = u'(\rho) = -1 - \frac{2}{\rho^{2}}. </math>

Para <math>\rho>0</math>, el término <math>\tfrac{2}{\rho^{2}}>0</math>, luego <math>u'(\rho)</math> es la suma de dos términos negativos; por tanto:

<math> u'(\rho)<0,\qquad \forall\rho\in[1,2]. </math>

La función es estrictamente decreciente en ese intervalo, característica que se confirma ante la inexistencia de puntos críticos, como demuestra:

<math> u'(\rho)=0 \Longrightarrow -1-\frac{2}{\rho^{2}}=0 \Longrightarrow \frac{2}{\rho^{2}}=-1 \Longrightarrow \rho^{2}=-2, </math>

que no tiene solución real.

*Valores en los extremos del intervalo:

<math> u(1)=-1+\frac{2}{1}=1, \qquad u(2)=-2+\frac{2}{2}=-1. </math>

Se concluye así que, como <math>u'(\rho)<0</math> en todo <math>\rho\in[1,2]</math>, el módulo de la velocidad es estrictamente decreciente en el espacio entre sendos tubos; así pues, el máximo se alcanza en <math>\rho=1</math> con <math>u(1)=1</math>, y el mínimo en <math>\rho=2</math> con <math>u(2)=-1</math>.

Por otro lado, si la función cambia su signo entre un extremo y otro, y es continua en <math>[1,2]</math>, el Teorema de Bolzano garantiza la existencia de un <math>\rho_0</math> tal que:
<math> u(\rho_0)=0. </math>

Resolviendo:

<math> u(\rho)=0 \Longrightarrow -\rho+\frac{2}{\rho}=0 \Longrightarrow \rho=\frac{2}{\rho} \Longrightarrow \rho^{2}=2 \Longrightarrow \rho=\sqrt{2}\approx 1,41. </math>

=== Interpretación física del resultado===
No obstante, no hay que olvidar que el resultado obtenido es puramente matemático, y es necesario verlo desde un punto de vista físico para no interpretarlo erróneamente. La función estudiada analíticamente representa el módulo del campo de velocidades del fluido que se encuentra entre los dos tubos, de radios uno y dos, y proviene de calcular el módulo de su expresión vectorial. Así pues, el signo de la función indica si el fluido se mueve en dirección del vector <math>\vec{e}_{\theta}</math> si es positivo, o, por el contrario, en sentido opuesto si es negativo. Así, no hay que entender el signo como una longitud literal (puesto que no existen longitudes negativas), sino como información relativa al sentido de circulación del fluido respecto a la dirección <math>\vec{e}_{\theta}</math>.

Con ello, el módulo, entendido como la longitud del vector, es máximo en dos ocasiones: en <math>\rho=1</math> y en <math>\rho=2</math> (si tomamos el valor absoluto), siendo ésta igual a uno.

===Gráfica del comportamiento del módulo en función de <math>\rho</math>===
[[Archivo:Velocidad 67.jpeg|400px|miniaturadeimagen]]
A continuación, se presenta el dibujo de las longitudes del vector, tomando solamente los valores absolutos de la función <math>u(\rho)</math>, que queda entonces como:

<math> |u(\rho)|=\left|-\rho+\frac{2}{\rho}\right|. </math>

El código empleado para el dibujo de la gráfica se presenta a continuación.
{{matlab|codigo=
% Intervalo de trabajo
rho = linspace(1, 2, 500);

% Definimos la función en valor absoluto
u = abs(-rho + 2./rho);

% Dibujar la función
figure;
plot(rho, u, 'LineWidth', 2);
grid on;

% Etiquetas y título
xlabel('\rho');
ylabel('｜u(\rho)｜');
title('Módulo de la velocidad');

}}

==Rotacional de <math> \vec{u} </math>==
=== Cálculo del rotacional ===

Para calcular el rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas, podemos utilizar la siguiente expresión:

<center><math>
\nabla \times \vec{u}
= \frac{1}{\rho}
\begin{vmatrix}
\vec e_{\rho} & (\rho \vec e_{\theta}) & \vec e_{z} \\
\dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial \theta} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
u_{\rho} & {\rho}u_{\theta} & u_{z}
\end{vmatrix}
</math></center>

En este caso, conociendo ‘u’ :

<center><math>\vec{u}(\rho,\theta)=\left[\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho+\tfrac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho}\right]\vec{e}_{\theta}</math></center>

Podemos determinar que depende únicamente de la componente ēθ , siendo las otras dos componentes nulas.

<center><math> u_{\rho}=0,\qquad u_{z}=0,\qquad u_{\theta}=\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho +\frac{\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e}{\rho} </math></center>

Aplicando en el determinante alguna de las fórmulas para su resolución se obtendrá el resultado. Se trabajará en este caso con menores, para facilitar los cálculos sabiendo que dos de las tres componentes son nulas. Se calculará desarrollando por la fila de abajo, pasando ⍴ al otro lado, multiplicando, quedará:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

Aplicando el determinante y desarrollando por la fila inferior, obtenemos:

<center><math> \rho(\nabla\times\vec{u}) = -\,\rho u_{\theta} \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} </math></center>

El determinante 2×2 anterior es:

<center><math> \begin{vmatrix} \vec e_{\rho} & \vec e_{z} \\ \dfrac{\partial}{\partial \rho} & \dfrac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} = \vec e_{\rho}\,\dfrac{\partial}{\partial z} - \vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial \rho} </math></center>

Por lo que, como <math>u_{\theta}</math> no depende de z, nos queda únicamente

<center><math> \rho(\nabla\times\vec u)=\vec e_{z}\,\dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Volviendo a dividir entre
𝜌:

<center><math> \nabla\times\vec u = \vec e_{z}\, \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) </math></center>

Sustituimos la expresión explícita de <math>u_{\theta}</math>:

<center><math> \rho u_{\theta} = \left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho^{2} +\left(\tfrac{4}{3}\omega_i+\tfrac{2}{3}\omega_e\right) </math></center>

Derivamos con respecto a 𝜌:

<center><math> \dfrac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_{\theta}) = 2\left(-\tfrac{1}{3}\omega_i-\tfrac{2}{3}\omega_e\right)\rho </math></center>

Finalmente, sustituyendo:

<center><math> \nabla\times\vec u = \left(-\tfrac{2}{3}\omega_i-\tfrac{4}{3}\omega_e\right)\vec e_{z} </math></center>

Por tanto, el rotacional es constante en todo el dominio.
No existen puntos con mayor rotacional: el flujo de Couette presenta una vorticidad uniforme.

=== Representación gráfica del rotacional ===
Veamos una representación gráfica realizada con MATLAB:
(Supondremos que tanto ωi como ωe son unitarios)

Donde podemos apreciar que es constante.
A continuación el código empleado para su representación:
[[Archivo:Figurarot6.png|500px|thumb|left|Rotacional = cte]]

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema (módulo = 1)
omega_i = 1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro interior
omega_e = -1; % +1 o -1 según el sentido del cilindro exterior

a = 1; % radio interior
b = 3; % radio exterior

%% Cálculo del rotacional (constante)
A = -1/3*omega_i - 2/3*omega_e;
curl_value = abs(2*A);

%% Mallado para representación
Nr = 200;
Ntheta = 300;

rho = linspace(a, b, Nr);
theta = linspace(0, 2*pi, Ntheta);
[RR, TT] = meshgrid(rho, theta);

% El rotacional es constante → matriz uniforme
CURL = curl_value * ones(size(RR));

%% Conversión a cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);

%% Gráfica
figure;
pcolor(X, Y, CURL);
shading interp;
colorbar;
colormap turbo;

xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;

%% Dibujar los cilindros
hold on;
th = linspace(0, 2*pi, 400);
plot(a*cos(th), a*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
plot(b*cos(th), b*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
hold off;

}}

==Representación del Campo de Temperaturas==

Sea la temperatura del fluido dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = log(1+ \rho^2)\cos^2 \theta </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

A partir del siguiente código de MATLAB se obtiene una representación gráfica del campo escalar que describe la temperatura del fluido. Se muestran dos vistas, una tridimensional y otra bidimensional, ambas con una escala de colores que indica el valor de la temperatura en cada punto de la región considerada.

Las figuras obtenidas muestran el campo de temperatura del fluido en la sección transversal comprendida entre los dos tubos concéntricos de radio máximo \(\rho = 2\), representado en coordenadas cartesianas mediante un mapa de colores. Las zonas más claras dentro de la escala empleada corresponden a temperaturas más altas, mientras que las regiones más oscuras indican valores más bajos de la función \(T(\rho,\theta) = \log(1+\rho^{2})\cos^{2}\theta\). Las curvas de nivel recogen líneas de igual temperatura y permiten identificar con claridad el punto de máximo absoluto, marcado en rojo, situado en \(\rho = 2\), \(\theta = 0\), es decir, sobre el cilindro exterior en la dirección horizontal positiva, donde se combinan el mayor valor radial de \(\log(1+\rho^{2})\) con el máximo de \(\cos^{2}\theta\).

[[Archivo:Campo Temperaturas 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
% Mallado
rho = 1:0.08:2;
theta = 0:0.08:2*pi;
[RHO,THETA] = meshgrid(rho,theta);
x = RHO .* cos(THETA);
y = RHO .* sin(THETA);

% Tu campo de temperatura (sustituye por el correcto si es otro)
T = log(1 + 2*RHO) .* (cos(THETA).^2);

figure;

%% 1) Temperatura en 3D
subplot(1,3,1)
surf(x,y,T);
shading faceted % intermedio
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2'); zlabel('Temperatura; Eje X3');
title('Representación de la temperatura en 3D');
axis tight
colorbar;

%% 2) Temperatura en 2D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T);
shading faceted
view(2)
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de la temperatura en 2D');
axis equal tight
colorbar;

%% 3) Líneas de nivel de la temperatura
subplot(1,3,3)
contour(x,y,T,20,'LineWidth',1.0); % solo curvas de nivel
colormap(gca,'winter');
grid on
xlabel('Eje X1'); ylabel('Eje X2');
title('Representación de las líneas de nivel de la temperatura');
axis equal tight
colorbar;

% + PTO. MÁX
hold on;
plot(x_max, y_max, 'ro', 'MarkerFaceColor','r', 'MarkerSize',8);
hold off;
}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente fórmula:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta </math></center>

De manera que:

<center><math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = \frac{2\rho}{1 + \rho^2} \cos^2 \theta </math></center>

<center><math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} = -\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\rho} \log(1 + \rho^2) </math></center>

<center><math>
\nabla T(\rho, \theta) = \cos^{2}\theta \cdot \frac{2\rho}{1 + \rho^{2}} \vec{e}_\rho - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\rho} \log(1 + \rho^{2}) \vec{e}_\theta </math></center>

===Demostración gráfica de la ortogonalidad del gradiente de la temperatura y las curvas de nivel===

El gradiente de una función escalar indica, en cada punto, la dirección en la que dicha función crece más rápidamente y su módulo mide la rapidez de ese incremento. Las líneas de nivel de la temperatura son curvas sobre las que el valor de la función permanece constante, de modo que al desplazarse a lo largo de ellas no hay variación de temperatura. Esto implica que el movimiento tangencial a una línea de nivel es siempre perpendicular a la dirección de máximo aumento, es decir, el vector gradiente es ortogonal a las curvas de nivel en todos los puntos del dominio.

Esto se visualiza gráficamente mediante el siguiente código de MATLAB.

[[Archivo:Gradiente Temp 67.png|1030px|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
% Definir el rango de rho y theta
rho = linspace(0, 2, 300);
theta = linspace(0, 2*pi, 300);

% Crear malla para rho y theta
[R, T] = meshgrid(rho, theta);

% Calcular temperatura T
Temperature = log(1 + R.^2) .* cos(T).^2;

% Calcular el gradiente analítico en coordenadas polares
dT_drho = (2 .* R) ./ (1 + R.^2) .* cos(T).^2;
dT_dtheta = -2 .* log(1 + R.^2) .* cos(T) .* sin(T);

% Evitar división por cero en rho=0
epsilon = 1e-10;
R_mod = R + epsilon;

% Convertir gradiente a coordenadas cartesianas
grad_x = cos(T) .* dT_drho - (1 ./ R_mod) .* sin(T) .* dT_dtheta;
grad_y = sin(T) .* dT_drho + (1 ./ R_mod) .* cos(T) .* dT_dtheta;

% Convertir coordenadas polares a cartesianas para graficar
X = R .* cos(T);
Y = R .* sin(T);

% Crear figura con dos subplots
figure;

% Primer subplot: curvas de nivel + gradiente
subplot(1,2,1);
contour(X, Y, Temperature, 30, 'LineWidth', 1.5);
colormap('winter');
colorbar;
hold on;
quiver(X(1:10:end, 1:10:end), Y(1:10:end, 1:10:end), grad_x(1:10:end, 1:10:end), grad_y(1:10:end, 1:10:end), 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1);
title('Curvas de nivel y gradiente');
axis equal;
grid on;
hold off;

% Segundo subplot: solo gradiente
subplot(1,2,2);
quiver(X(1:10:end, 1:10:end), Y(1:10:end, 1:10:end), grad_x(1:10:end, 1:10:end), grad_y(1:10:end, 1:10:end), 'Color', [1 0.5 0], 'LineWidth', 1);
title('Gradiente de temperatura');
axis equal;
grid on;
axis equal;
hold off;
}}

==Caudal circulante en la sección longitudinal==
Suponiendo que las velocidades calculadas están expresadas en m/s, y que los cilindros tienen una profundidad de 1 metro; el caudal por la sección <math>\theta=0</math> se calculará de la siguiente mnera:

El caudal se interpreta físicamente como el flujo del campo <math>\vec{u}</math> a través de la sección de estudio <math>\theta=0</math>; por lo que queda, en forma genérica, de la siguiente manera: <math>Q = \int_{S} \vec{u}\cdot \vec{N}\, dS</math>.
Donde <math>\vec{u}</math> es el campo de velocidades del fluido en cada punto, <math>\vec{N}</math> es el vector normal a la sección (que en este caso es <math>\vec e_{\theta}</math>) y <math>S</math> es la sección de estudio.

Particularizando en los vectores y la sección de estudio:
<center><math>Q = \int_{S} \vec{u}\cdot \vec{N}\, dS= \int_{S} \vec{u}\cdot \vec{e}_{\theta}\, dS
= \int_{0}^{z} \int_{\rho_{1}}^{\rho_{2}} \vec{u}\cdot \vec{e}_{\theta}\, d\rho\, dz</math></center>

Sustituyendo finalmente los valores, la expresión queda de la siguiente manera:

<center><math>Q=\int_{S}\left[\left(-\tfrac13 w_i-\tfrac23 w_e\right)\rho+
\left(\tfrac43 w_i+\tfrac23 w_e\right)\frac{1}{\rho}\right]
\, \vec e_\theta\cdot\vec e_\theta \, ds
=\int_{S}\left[\left(-\tfrac13 w_i-\tfrac23 w_e\right)\rho+
\left(\tfrac43 w_i+\tfrac23 w_e\right)\frac{1}{\rho}\right] ds.</math></center>

<center><math>Q=\int_{0}^{1}\int_{1}^{2}
\left[\left(-\tfrac13 w_i-\tfrac23 w_e\right)\rho+
\left(\tfrac43 w_i+\tfrac23 w_e\right)\frac{1}{\rho}\right]
\, d\rho\, dz
=\int_{0}^{1}\left[\left(-\tfrac13 w_i-\tfrac23 w_e\right)
\int_{1}^{2}\rho\, d\rho+
\left(\tfrac43 w_i+\tfrac23 w_e\right)
\int_{1}^{2}\frac{1}{\rho}\, d\rho\right] dz.</math></center>

<center><math>Q=\int_0^1 \left[
\tfrac32\left(-\tfrac13 w_i-\tfrac23 w_e\right)
+\ln 2\left(\tfrac43 w_i+\tfrac23 w_e\right)
\right] dz
= \int_0^1 \left[
w_i\left(-\tfrac12+\tfrac43\ln 2\right)
+w_e\left(-1+\tfrac23\ln 2\right)
\right] dz.</math></center>

<center><math>Q=\left(-\tfrac12+\tfrac43\ln 2\right) w_i
+\left(-1+\tfrac23\ln 2\right) w_e.</math></center>

Es importante comentar que el flujo es constante para cualquier sección definida de la manera <math>\theta=\alpha, \quad \alpha \in \mathbb{R}</math>, ya que la velocidad del fluido es constante para <math>\theta=cte</math> y <math>\rho=cte</math>, y el vector normal a las secciones siempre va a ser <math>\vec e_{\theta}</math>. Ergo, el flujo calculado para la sección <math>\theta=0</math> es, en realidad, el flujo del fluido a través de cualquier sección vertical (que comprenda todo el espacio entre los cilindros y <math>\theta=cte</math>).

==Bibliografía==

A low-cost, open-source cylindrical couette rheometer. (2024). En Scientific Reports (N.o 30187). https://www.nature.com/articles/s41598-024-76494-8

Couette flow. (2018). En Science Direct. https://www.sciencedirect.com/topics/physics-and-astronomy/couette-flow

Wikipedia contributors. (2025, 15 noviembre). Taylor–Couette flow. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2%80%93Couette_flow

Apuntes proporcionados en ETSI Caminos, Canales y Puertos, de la Universidad Politécnica de Madrid

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]