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Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-19T09:06:16Z

L.melgar: /* La tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo (Grupo 18) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\). El grupo hará un análisis de diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha placa.

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
* Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2.
* Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
[max_temp, i] = max(T(:)); % Máximo de la función de temperatura
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficación del resultado
hold on % Superposición de gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso la temperatura máxima es 0.9999 ºC y se alcanza en (0.9754,0.6990)
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula :<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math> en la función de temperatura dada:

<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Graficación en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica y Ley de Fourier==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica viaja mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura. En términos sencillos, la fórmula indica que la cantidad de calor transferido es proporcional a la constante de conductividad térmica y a la variación de temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Movimiento Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3mov.png|700px|Representación del movimiento de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa. Por tanto, a las coordenadas que se tenían del cuarto de anillo, se le han sumado el desplazamiento de cada una de ellas, obteniendo unas nuevas coordenadas para cada uno de los puntos. Se compara en este apartado la disposición de la placa antes y después de dicho movimiento.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Se agranda la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math>

Por tanto, en el caso del campo dado, la divergencia es:

<math> \nabla\cdot\vec u= \frac{e^{ρ-1}}{ρ}cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Graficación 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Graficación 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 
La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 
Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ u_ρ & \ ρu_θ & \ u_z \end{matrix}\right|</math>.

Por tanto, el rotacional del campo dado es:

<math> \nabla×\vec u = (1+ \frac{1}{ρ})\frac{e^{ρ-1}}{2}sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_z </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot_z=(1+1./RR)*(1/2).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot_z)
shading interp
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot_z)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot_z(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot_z), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

[min_rot, i] = min(Rot_z(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot_z), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)

disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)

}}

[[Archivo:Ej7 1.png|450px|Izquierda]]
[[Archivo:Ej7 2.png|450px|Derecha]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|500px|izquierda|Representaciones de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|500px|centro|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

==La tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: 

<math> σV M = sqrt (((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2)/ 2) </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Se utiliza en ingenería para predecir el punto de fallo de un material cuando está sujeto a cargas complejas. La fórmula de la tensión de Von Mises ayuda a sumar todas las diferentes formas de fuerza que afectan al material y ofrece un número que dice cuánto puede soportar el material antes de que se rompa.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Archivo:Ej10 1.png|600px|izquierda]]
[[Archivo:Ej10 2.png|600px|centro]]
 

El valor máximo de la tensión de Von Mises es de 3.3291

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-19T09:04:11Z

L.melgar: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo (Grupo 18) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\). El grupo hará un análisis de diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha placa.

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
* Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2.
* Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
[max_temp, i] = max(T(:)); % Máximo de la función de temperatura
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficación del resultado
hold on % Superposición de gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso la temperatura máxima es 0.9999 ºC y se alcanza en (0.9754,0.6990)
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula :<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math> en la función de temperatura dada:

<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Graficación en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica y Ley de Fourier==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica viaja mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura. En términos sencillos, la fórmula indica que la cantidad de calor transferido es proporcional a la constante de conductividad térmica y a la variación de temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Movimiento Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3mov.png|700px|Representación del movimiento de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa. Por tanto, a las coordenadas que se tenían del cuarto de anillo, se le han sumado el desplazamiento de cada una de ellas, obteniendo unas nuevas coordenadas para cada uno de los puntos. Se compara en este apartado la disposición de la placa antes y después de dicho movimiento.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Se agranda la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math>

Por tanto, en el caso del campo dado, la divergencia es:

<math> \nabla\cdot\vec u= \frac{e^{ρ-1}}{ρ}cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Graficación 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Graficación 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 
La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 
Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ u_ρ & \ ρu_θ & \ u_z \end{matrix}\right|</math>.

Por tanto, el rotacional del campo dado es:

<math> \nabla×\vec u = (1+ \frac{1}{ρ})\frac{e^{ρ-1}}{2}sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_z </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot_z=(1+1./RR)*(1/2).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot_z)
shading interp
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot_z)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot_z(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot_z), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

[min_rot, i] = min(Rot_z(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot_z), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)

disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)

}}

[[Archivo:Ej7 1.png|450px|Izquierda]]
[[Archivo:Ej7 2.png|450px|Derecha]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|500px|izquierda|Representaciones de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|500px|centro|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

==La tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: 

<math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Se utiliza en ingenería para predecir el punto de fallo de un material cuando está sujeto a cargas complejas. La fórmula de la tensión de Von Mises ayuda a sumar todas las diferentes formas de fuerza que afectan al material y ofrece un número que dice cuánto puede soportar el material antes de que se rompa.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Archivo:Ej10 1.png|600px|izquierda]]
[[Archivo:Ej10 2.png|600px|centro]]
 

El valor máximo de la tensión de Von Mises es de 3.3291

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-19T09:03:59Z

L.melgar: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo (Grupo 18) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\). El grupo hará un análisis de diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha placa.

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
* Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2.
* Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
[max_temp, i] = max(T(:)); % Máximo de la función de temperatura
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficación del resultado
hold on % Superposición de gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso la temperatura máxima es 0.9999 ºC y se alcanza en (0.9754,0.6990)
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula :<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math> en la función de temperatura dada:

<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Graficación en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica y Ley de Fourier==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica viaja mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura. En términos sencillos, la fórmula indica que la cantidad de calor transferido es proporcional a la constante de conductividad térmica y a la variación de temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Movimiento Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3mov.png|700px|Representación del movimiento de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa. Por tanto, a las coordenadas que se tenían del cuarto de anillo, se le han sumado el desplazamiento de cada una de ellas, obteniendo unas nuevas coordenadas para cada uno de los puntos. Se compara en este apartado la disposición de la placa antes y después de dicho movimiento.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Se agranda la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math>

Por tanto, en el caso del campo dado, la divergencia es:

<math> \nabla\cdot\vec u= \frac{e^{ρ-1}}{ρ}cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Graficación 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Graficación 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 
La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 
Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \u_ρ & \ ρu_θ & \ u_z \end{matrix}\right|</math>.

Por tanto, el rotacional del campo dado es:

<math> \nabla×\vec u = (1+ \frac{1}{ρ})\frac{e^{ρ-1}}{2}sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_z </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot_z=(1+1./RR)*(1/2).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot_z)
shading interp
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot_z)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot_z(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot_z), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

[min_rot, i] = min(Rot_z(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot_z), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)

disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)

}}

[[Archivo:Ej7 1.png|450px|Izquierda]]
[[Archivo:Ej7 2.png|450px|Derecha]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|500px|izquierda|Representaciones de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|500px|centro|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

==La tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: 

<math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Se utiliza en ingenería para predecir el punto de fallo de un material cuando está sujeto a cargas complejas. La fórmula de la tensión de Von Mises ayuda a sumar todas las diferentes formas de fuerza que afectan al material y ofrece un número que dice cuánto puede soportar el material antes de que se rompa.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Archivo:Ej10 1.png|600px|izquierda]]
[[Archivo:Ej10 2.png|600px|centro]]
 

El valor máximo de la tensión de Von Mises es de 3.3291

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-19T09:03:23Z

L.melgar: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo (Grupo 18) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\). El grupo hará un análisis de diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha placa.

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
* Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2.
* Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
[max_temp, i] = max(T(:)); % Máximo de la función de temperatura
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficación del resultado
hold on % Superposición de gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso la temperatura máxima es 0.9999 ºC y se alcanza en (0.9754,0.6990)
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula :<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math> en la función de temperatura dada:

<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Graficación en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica y Ley de Fourier==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica viaja mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura. En términos sencillos, la fórmula indica que la cantidad de calor transferido es proporcional a la constante de conductividad térmica y a la variación de temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Movimiento Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3mov.png|700px|Representación del movimiento de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa. Por tanto, a las coordenadas que se tenían del cuarto de anillo, se le han sumado el desplazamiento de cada una de ellas, obteniendo unas nuevas coordenadas para cada uno de los puntos. Se compara en este apartado la disposición de la placa antes y después de dicho movimiento.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Se agranda la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math>

Por tanto, en el caso del campo dado, la divergencia es:

<math> \nabla\cdot\vec u= \frac{e^{ρ-1}}{ρ}cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Graficación 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Graficación 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 
La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 
Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math>.

Por tanto, el rotacional del campo dado es:

<math> \nabla×\vec u = (1+ \frac{1}{ρ})\frac{e^{ρ-1}}{2}sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_z </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot_z=(1+1./RR)*(1/2).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot_z)
shading interp
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot_z)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot_z(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot_z), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

[min_rot, i] = min(Rot_z(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot_z), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)

disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)

}}

[[Archivo:Ej7 1.png|450px|Izquierda]]
[[Archivo:Ej7 2.png|450px|Derecha]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|500px|izquierda|Representaciones de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|500px|centro|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

==La tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: 

<math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Se utiliza en ingenería para predecir el punto de fallo de un material cuando está sujeto a cargas complejas. La fórmula de la tensión de Von Mises ayuda a sumar todas las diferentes formas de fuerza que afectan al material y ofrece un número que dice cuánto puede soportar el material antes de que se rompa.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Archivo:Ej10 1.png|600px|izquierda]]
[[Archivo:Ej10 2.png|600px|centro]]
 

El valor máximo de la tensión de Von Mises es de 3.3291

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-12T11:01:08Z

L.melgar: /* La tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo (Grupo 18) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\). El grupo hará un análisis de diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha placa.

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
* Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2.
* Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
[max_temp, i] = max(T(:)); % Máximo de la función de temperatura
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficación del resultado
hold on % Superposición de gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso la temperatura máxima es 0.9999 ºC y se alcanza en (0.9754,0.6990)
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula :<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math> en la función de temperatura dada:

<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Graficación en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica y Ley de Fourier==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica viaja mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura. En términos sencillos, la fórmula indica que la cantidad de calor transferido es proporcional a la constante de conductividad térmica y a la variación de temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Movimiento Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3mov.png|700px|Representación del movimiento de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa. Por tanto, a las coordenadas que se tenían del cuarto de anillo, se le han sumado el desplazamiento de cada una de ellas, obteniendo unas nuevas coordenadas para cada uno de los puntos. Se compara en este apartado la disposición de la placa antes y después de dicho movimiento.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Se agranda la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math>

Por tanto, en el caso del campo dado, la divergencia es:

<math> \nabla\cdot\vec u= \frac{e^{ρ-1}}{ρ}cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Graficación 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Graficación 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 
La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 
Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Por tanto, el rotacional del campo dado es:

<math> \nabla×\vec u = (1+ \frac{1}{ρ})\frac{e^{ρ-1}}{2}sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_z </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot_z=(1+1./RR)*(1/2).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot_z)
shading interp
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot_z)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot_z(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot_z), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

[min_rot, i] = min(Rot_z(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot_z), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)

disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)

}}

[[Archivo:Ej7 1.png|450px|Izquierda]]
[[Archivo:Ej7 2.png|450px|Derecha]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|500px|izquierda|Representaciones de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|500px|centro|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

==La tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: 

<math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Se utiliza en ingenería para predecir el punto de fallo de un material cuando está sujeto a cargas complejas. La fórmula de la tensión de Von Mises ayuda a sumar todas las diferentes formas de fuerza que afectan al material y ofrece un número que dice cuánto puede soportar el material antes de que se rompa.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Archivo:Ej10 1.png|600px|izquierda]]
[[Archivo:Ej10 2.png|600px|centro]]
 

El valor máximo de la tensión de Von Mises es de 3.3291

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-12T08:58:58Z

L.melgar: /* La tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo (Grupo 18) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\). El grupo hará un análisis de diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha placa.

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
* Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2.
* Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
[max_temp, i] = max(T(:)); % Máximo de la función de temperatura
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficación del resultado
hold on % Superposición de gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso la temperatura máxima es 0.9999 ºC y se alcanza en (0.9754,0.6990)
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula :<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math> en la función de temperatura dada:

<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Graficación en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica y Ley de Fourier==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica viaja mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura. En términos sencillos, la fórmula indica que la cantidad de calor transferido es proporcional a la constante de conductividad térmica y a la variación de temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Movimiento Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3mov.png|700px|Representación del movimiento de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa. Por tanto, a las coordenadas que se tenían del cuarto de anillo, se le han sumado el desplazamiento de cada una de ellas, obteniendo unas nuevas coordenadas para cada uno de los puntos. Se compara en este apartado la disposición de la placa antes y después de dicho movimiento.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Se agranda la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math>

Por tanto, en el caso del campo dado, la divergencia es:

<math> \nabla\cdot\vec u= \frac{e^{ρ-1}}{ρ}cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Graficación 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Graficación 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 
La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 
Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Por tanto, el rotacional del campo dado es:

<math> \nabla×\vec u = (1+ \frac{1}{ρ})\frac{e^{ρ-1}}{2}sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_z </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot_z=(1+1./RR)*(1/2).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot_z)
shading interp
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot_z)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot_z(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot_z), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

[min_rot, i] = min(Rot_z(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot_z), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)

disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)

}}

[[Archivo:Ej7 1.png|450px|Izquierda]]
[[Archivo:Ej7 2.png|450px|Derecha]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|500px|izquierda|Representaciones de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|500px|centro|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

==La tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: 

<math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Se utiliza en ingenería para predecir el punto de fallo de un material cuando está sujeto a cargas complejas. La fórmula de la tensión de Von Mises ayuda a sumar todas las diferentes formas de fuerza que afectan al material y ofrece un número que dice cuánto puede soportar el material antes de que se rompa.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Archivo:Ej10 1.png|600px|izquierda]]
[[Archivo:Ej10 2.png|600px|derecha]]

El valor máximo de la tensión de Von Mises es de 3.3291

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-12T08:58:31Z

L.melgar: /* La tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo (Grupo 18) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\). El grupo hará un análisis de diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha placa.

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
* Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2.
* Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
[max_temp, i] = max(T(:)); % Máximo de la función de temperatura
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficación del resultado
hold on % Superposición de gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso la temperatura máxima es 0.9999 ºC y se alcanza en (0.9754,0.6990)
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula :<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math> en la función de temperatura dada:

<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Graficación en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica y Ley de Fourier==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica viaja mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura. En términos sencillos, la fórmula indica que la cantidad de calor transferido es proporcional a la constante de conductividad térmica y a la variación de temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Movimiento Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3mov.png|700px|Representación del movimiento de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa. Por tanto, a las coordenadas que se tenían del cuarto de anillo, se le han sumado el desplazamiento de cada una de ellas, obteniendo unas nuevas coordenadas para cada uno de los puntos. Se compara en este apartado la disposición de la placa antes y después de dicho movimiento.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Se agranda la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math>

Por tanto, en el caso del campo dado, la divergencia es:

<math> \nabla\cdot\vec u= \frac{e^{ρ-1}}{ρ}cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Graficación 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Graficación 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 
La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 
Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Por tanto, el rotacional del campo dado es:

<math> \nabla×\vec u = (1+ \frac{1}{ρ})\frac{e^{ρ-1}}{2}sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_z </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot_z=(1+1./RR)*(1/2).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot_z)
shading interp
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot_z)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot_z(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot_z), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

[min_rot, i] = min(Rot_z(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot_z), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)

disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)

}}

[[Archivo:Ej7 1.png|450px|Izquierda]]
[[Archivo:Ej7 2.png|450px|Derecha]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|500px|izquierda|Representaciones de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|500px|centro|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

==La tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: 

<math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Se utiliza en ingenería para predecir el punto de fallo de un material cuando está sujeto a cargas complejas. La fórmula de la tensión de Von Mises ayuda a sumar todas las diferentes formas de fuerza que afectan al material y ofrece un número que dice cuánto puede soportar el material antes de que se rompa.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Archivo:Ej10 1.png|600px|izquierda]] 
[[Archivo:Ej10 2.png|600px|derecha]] 

El valor máximo de la tensión de Von Mises es de 3.3291

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-12T08:57:59Z

L.melgar: /* La tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo (Grupo 18) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\). El grupo hará un análisis de diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha placa.

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
* Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2.
* Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
[max_temp, i] = max(T(:)); % Máximo de la función de temperatura
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficación del resultado
hold on % Superposición de gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso la temperatura máxima es 0.9999 ºC y se alcanza en (0.9754,0.6990)
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula :<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math> en la función de temperatura dada:

<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Graficación en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica y Ley de Fourier==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica viaja mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura. En términos sencillos, la fórmula indica que la cantidad de calor transferido es proporcional a la constante de conductividad térmica y a la variación de temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Movimiento Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3mov.png|700px|Representación del movimiento de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa. Por tanto, a las coordenadas que se tenían del cuarto de anillo, se le han sumado el desplazamiento de cada una de ellas, obteniendo unas nuevas coordenadas para cada uno de los puntos. Se compara en este apartado la disposición de la placa antes y después de dicho movimiento.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Se agranda la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math>

Por tanto, en el caso del campo dado, la divergencia es:

<math> \nabla\cdot\vec u= \frac{e^{ρ-1}}{ρ}cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Graficación 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Graficación 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 
La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 
Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Por tanto, el rotacional del campo dado es:

<math> \nabla×\vec u = (1+ \frac{1}{ρ})\frac{e^{ρ-1}}{2}sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_z </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot_z=(1+1./RR)*(1/2).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot_z)
shading interp
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot_z)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot_z(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot_z), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

[min_rot, i] = min(Rot_z(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot_z), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)

disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)

}}

[[Archivo:Ej7 1.png|450px|Izquierda]]
[[Archivo:Ej7 2.png|450px|Derecha]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|500px|izquierda|Representaciones de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|500px|centro|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

==La tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: 

<math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Se utiliza en ingenería para predecir el punto de fallo de un material cuando está sujeto a cargas complejas. La fórmula de la tensión de Von Mises ayuda a sumar todas las diferentes formas de fuerza que afectan al material y ofrece un número que dice cuánto puede soportar el material antes de que se rompa.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Archivo:Ej10 1.png|600px|izquierda]]
[[Archivo:Ej10 2.png|600px|derecha]]

El valor máximo de la tensión de Von Mises es de 3.3291

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-12T08:57:27Z

L.melgar: /* La tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo (Grupo 18) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\). El grupo hará un análisis de diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha placa.

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
* Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2.
* Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
[max_temp, i] = max(T(:)); % Máximo de la función de temperatura
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficación del resultado
hold on % Superposición de gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso la temperatura máxima es 0.9999 ºC y se alcanza en (0.9754,0.6990)
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula :<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math> en la función de temperatura dada:

<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Graficación en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica y Ley de Fourier==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica viaja mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura. En términos sencillos, la fórmula indica que la cantidad de calor transferido es proporcional a la constante de conductividad térmica y a la variación de temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Movimiento Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3mov.png|700px|Representación del movimiento de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa. Por tanto, a las coordenadas que se tenían del cuarto de anillo, se le han sumado el desplazamiento de cada una de ellas, obteniendo unas nuevas coordenadas para cada uno de los puntos. Se compara en este apartado la disposición de la placa antes y después de dicho movimiento.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Se agranda la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math>

Por tanto, en el caso del campo dado, la divergencia es:

<math> \nabla\cdot\vec u= \frac{e^{ρ-1}}{ρ}cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Graficación 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Graficación 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 
La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 
Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Por tanto, el rotacional del campo dado es:

<math> \nabla×\vec u = (1+ \frac{1}{ρ})\frac{e^{ρ-1}}{2}sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_z </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot_z=(1+1./RR)*(1/2).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot_z)
shading interp
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot_z)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot_z(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot_z), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

[min_rot, i] = min(Rot_z(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot_z), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)

disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)

}}

[[Archivo:Ej7 1.png|450px|Izquierda]]
[[Archivo:Ej7 2.png|450px|Derecha]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|500px|izquierda|Representaciones de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|500px|centro|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

==La tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: 

<math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Se utiliza en ingenería para predecir el punto de fallo de un material cuando está sujeto a cargas complejas. La fórmula de la tensión de Von Mises ayuda a sumar todas las diferentes formas de fuerza que afectan al material y ofrece un número que dice cuánto puede soportar el material antes de que se rompa.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Archivo:Ej10 1.png|600px|izquierda]]
[[Archivo:Ej10 2.png|600px|derecha]]

El valor máximo de la tensión de Von Mises es de 3.3291

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-12T08:56:27Z

L.melgar: /* La tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo (Grupo 18) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\). El grupo hará un análisis de diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha placa.

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
* Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2.
* Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
[max_temp, i] = max(T(:)); % Máximo de la función de temperatura
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficación del resultado
hold on % Superposición de gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso la temperatura máxima es 0.9999 ºC y se alcanza en (0.9754,0.6990)
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula :<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math> en la función de temperatura dada:

<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Graficación en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica y Ley de Fourier==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica viaja mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura. En términos sencillos, la fórmula indica que la cantidad de calor transferido es proporcional a la constante de conductividad térmica y a la variación de temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Movimiento Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3mov.png|700px|Representación del movimiento de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa. Por tanto, a las coordenadas que se tenían del cuarto de anillo, se le han sumado el desplazamiento de cada una de ellas, obteniendo unas nuevas coordenadas para cada uno de los puntos. Se compara en este apartado la disposición de la placa antes y después de dicho movimiento.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Se agranda la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math>

Por tanto, en el caso del campo dado, la divergencia es:

<math> \nabla\cdot\vec u= \frac{e^{ρ-1}}{ρ}cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Graficación 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Graficación 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 
La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 
Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Por tanto, el rotacional del campo dado es:

<math> \nabla×\vec u = (1+ \frac{1}{ρ})\frac{e^{ρ-1}}{2}sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_z </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot_z=(1+1./RR)*(1/2).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot_z)
shading interp
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot_z)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot_z(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot_z), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

[min_rot, i] = min(Rot_z(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot_z), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)

disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)

}}

[[Archivo:Ej7 1.png|450px|Izquierda]]
[[Archivo:Ej7 2.png|450px|Derecha]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|500px|izquierda|Representaciones de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|500px|centro|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

==La tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: 

<math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Se utiliza en ingenería para predecir el punto de fallo de un material cuando está sujeto a cargas complejas. La fórmula de la tensión de Von Mises ayuda a sumar todas las diferentes formas de fuerza que afectan al material y ofrece un número que dice cuánto puede soportar el material antes de que se rompa.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Archivo:Ej10 1.png|600px|izquierda]]
[[Archivo:Ej10 2.png|600px|derecha]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

El valor máximo de la tensión de Von Mises es de 3.3291

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-12T08:49:38Z

L.melgar: /* La tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo (Grupo 18) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\). El grupo hará un análisis de diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha placa.

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
* Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2.
* Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
[max_temp, i] = max(T(:)); % Máximo de la función de temperatura
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficación del resultado
hold on % Superposición de gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso la temperatura máxima es 0.9999 ºC y se alcanza en (0.9754,0.6990)
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula :<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math> en la función de temperatura dada:

<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Graficación en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica y Ley de Fourier==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica viaja mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura. En términos sencillos, la fórmula indica que la cantidad de calor transferido es proporcional a la constante de conductividad térmica y a la variación de temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Movimiento Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3mov.png|700px|Representación del movimiento de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa. Por tanto, a las coordenadas que se tenían del cuarto de anillo, se le han sumado el desplazamiento de cada una de ellas, obteniendo unas nuevas coordenadas para cada uno de los puntos. Se compara en este apartado la disposición de la placa antes y después de dicho movimiento.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Se agranda la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math>

Por tanto, en el caso del campo dado, la divergencia es:

<math> \nabla\cdot\vec u= \frac{e^{ρ-1}}{ρ}cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Graficación 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Graficación 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 
La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 
Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Por tanto, el rotacional del campo dado es:

<math> \nabla×\vec u = (1+ \frac{1}{ρ})\frac{e^{ρ-1}}{2}sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_z </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot_z=(1+1./RR)*(1/2).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot_z)
shading interp
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot_z)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot_z(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot_z), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

[min_rot, i] = min(Rot_z(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot_z), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)

disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)

}}

[[Archivo:Ej7 1.png|450px|Izquierda]]
[[Archivo:Ej7 2.png|450px|Derecha]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|500px|izquierda|Representaciones de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|500px|centro|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

==La tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: 

<math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Se utiliza en ingenería para predecir el punto de fallo de un material cuando está sujeto a cargas complejas. La fórmula de la tensión de Von Mises ayuda a sumar todas las diferentes formas de fuerza que afectan al material y ofrece un número que dice cuánto puede soportar el material antes de que se rompa.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Archivo:Ej10 1.png|600px|izquierda]]
[[Archivo:Ej10 2.png|600px|derecha]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-10T08:49:27Z

L.melgar:

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo (Grupo 18) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\). El grupo hará un análisis de diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha placa.

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
* Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2.
* Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
[max_temp, i] = max(T(:)); % Máximo de la función de temperatura
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficación del resultado
hold on % Superposición de gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso la temperatura máxima es 0.9999 ºC y se alcanza en (0.9754,0.6990)
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula :<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math> en la función de temperatura dada:

<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Graficación en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica y Ley de Fourier==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica viaja mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura. En términos sencillos, la fórmula indica que la cantidad de calor transferido es proporcional a la constante de conductividad térmica y a la variación de temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Movimiento Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3mov.png|700px|Representación del movimiento de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa. Por tanto, a las coordenadas que se tenían del cuarto de anillo, se le han sumado el desplazamiento de cada una de ellas, obteniendo unas nuevas coordenadas para cada uno de los puntos. Se compara en este apartado la disposición de la placa antes y después de dicho movimiento.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Se agranda la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math>

Por tanto, en el caso del campo dado, la divergencia es:

<math> \nabla\cdot\vec u= \frac{e^{ρ-1}}{ρ}cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Graficación 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Graficación 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 
La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 
Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Por tanto, el rotacional del campo dado es:

<math> \nabla×\vec u = (1+ \frac{1}{ρ})\frac{e^{ρ-1}}{2}sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_z </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot_z=(1+1./RR)*(1/2).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot_z)
shading interp
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot_z)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot_z(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot_z), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

[min_rot, i] = min(Rot_z(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot_z), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)

disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)

}}

[[Archivo:Ej7 1.png|450px|Izquierda]]
[[Archivo:Ej7 2.png|450px|Derecha]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|500px|izquierda|Representaciones de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|500px|centro|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

==La tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: 

<math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Se utiliza en ingenería para predecir el punto de fallo de un material cuando está sujeto a cargas complejas. La fórmula de la tensión de Von Mises ayuda a sumar todas las diferentes formas de fuerza que afectan al material y oferece un número que dice cuánto puede soportar el material antes de que se rompa.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Archivo:Ej10 1.png|600px|izquierda]]
[[Archivo:Ej10 2.png|600px|derecha]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-10T08:49:11Z

L.melgar:

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo (Grupo 18) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\). El grupo hrá un análisis de diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha placa.

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
* Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2.
* Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
[max_temp, i] = max(T(:)); % Máximo de la función de temperatura
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficación del resultado
hold on % Superposición de gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso la temperatura máxima es 0.9999 ºC y se alcanza en (0.9754,0.6990)
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula :<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math> en la función de temperatura dada:

<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Graficación en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica y Ley de Fourier==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica viaja mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura. En términos sencillos, la fórmula indica que la cantidad de calor transferido es proporcional a la constante de conductividad térmica y a la variación de temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Movimiento Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3mov.png|700px|Representación del movimiento de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa. Por tanto, a las coordenadas que se tenían del cuarto de anillo, se le han sumado el desplazamiento de cada una de ellas, obteniendo unas nuevas coordenadas para cada uno de los puntos. Se compara en este apartado la disposición de la placa antes y después de dicho movimiento.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Se agranda la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math>

Por tanto, en el caso del campo dado, la divergencia es:

<math> \nabla\cdot\vec u= \frac{e^{ρ-1}}{ρ}cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Graficación 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Graficación 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 
La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 
Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Por tanto, el rotacional del campo dado es:

<math> \nabla×\vec u = (1+ \frac{1}{ρ})\frac{e^{ρ-1}}{2}sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_z </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot_z=(1+1./RR)*(1/2).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot_z)
shading interp
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot_z)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot_z(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot_z), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

[min_rot, i] = min(Rot_z(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot_z), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)

disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)

}}

[[Archivo:Ej7 1.png|450px|Izquierda]]
[[Archivo:Ej7 2.png|450px|Derecha]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|500px|izquierda|Representaciones de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|500px|centro|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

==La tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: 

<math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Se utiliza en ingenería para predecir el punto de fallo de un material cuando está sujeto a cargas complejas. La fórmula de la tensión de Von Mises ayuda a sumar todas las diferentes formas de fuerza que afectan al material y oferece un número que dice cuánto puede soportar el material antes de que se rompa.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Archivo:Ej10 1.png|600px|izquierda]]
[[Archivo:Ej10 2.png|600px|derecha]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-09T17:13:47Z

L.melgar: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo . | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\). El grupo hrá un análisis de diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha placa.

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
* Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2.
* Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
[max_temp, i] = max(T(:)); % Máximo de la función de temperatura
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficación del resultado
hold on % Superposición de gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso la temperatura máxima es 0.9999 ºC y se alcanza en (0.9754,0.6990)
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula :<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math> en la función de temperatura dada:

<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Graficación en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica y Ley de Fourier==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica viaja mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura. En términos sencillos, la fórmula indica que la cantidad de calor transferido es proporcional a la constante de conductividad térmica y a la variación de temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Movimiento Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3mov.png|700px|Representación del movimiento de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa. Por tanto, a las coordenadas que se tenían del cuarto de anillo, se le han sumado el desplazamiento de cada una de ellas, obteniendo unas nuevas coordenadas para cada uno de los puntos. Se compara en este apartado la disposición de la placa antes y después de dicho movimiento.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Se agranda la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math>

Por tanto, en el caso del campo dado, la divergencia es:

<math> \nabla\cdot\vec u= \frac{e^{ρ-1}}{ρ}cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Graficación 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Graficación 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 
La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 
Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Por tanto, el rotacional del campo dado es:

<math> \nabla×\vec u = (1+ \frac{1}{ρ})\frac{e^{ρ-1}}{2}sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_z </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot_z=(1+1./RR)*(1/2).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot_z)
shading interp
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot_z)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot_z(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot_z), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

[min_rot, i] = min(Rot_z(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot_z), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)

disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)

}}

[[Archivo:Ej7 1.png|450px|Izquierda]]
[[Archivo:Ej7 2.png|450px|Derecha]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|500px|izquierda|Representaciones de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|500px|centro|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

==La tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: 

<math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Se utiliza en ingenería para predecir el punto de fallo de un material cuando está sujeto a cargas complejas. La fórmula de la tensión de Von Mises ayuda a sumar todas las diferentes formas de fuerza que afectan al material y oferece un número que dice cuánto puede soportar el material antes de que se rompa.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Archivo:Ej10 1.png|600px|izquierda]]
[[Archivo:Ej10 2.png|600px|derecha]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-09T17:13:01Z

L.melgar: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo . | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\). El grupo hrá un análisis de diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha placa.

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
* Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2.
* Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
[max_temp, i] = max(T(:)); % Máximo de la función de temperatura
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficación del resultado
hold on % Superposición de gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso la temperatura máxima es 0.9999 ºC y se alcanza en (0.9754,0.6990)
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula :<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math> en la función de temperatura dada:

<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Graficación en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica y Ley de Fourier==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica viaja mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura. En términos sencillos, la fórmula indica que la cantidad de calor transferido es proporcional a la constante de conductividad térmica y a la variación de temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Movimiento Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3mov.png|700px|Representación del movimiento de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa. Por tanto, a las coordenadas que se tenían del cuarto de anillo, se le han sumado el desplazamiento de cada una de ellas, obteniendo unas nuevas coordenadas para cada uno de los puntos. Se compara en este apartado la disposición de la placa antes y después de dicho movimiento.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Se agranda la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math>

Por tanto, en el caso del campo dado, la divergencia es:

<math> \nabla\cdot\vec u= \frac{e^{ρ-1}}{ρ}cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Graficación 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Graficación 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 
La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 
Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Por tanto, el rotacional del campo dado es:

<math> \nabla×\vec u = (1+ \frac{1}{ρ})\frac{e^{ρ-1}}{2}sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_z </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot=(1/2*RR).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_rot, i] = min(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)
}}

[[Archivo:Ej7 1.png|450px|Izquierda]]
[[Archivo:Ej7 2.png|450px|Derecha]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|500px|izquierda|Representaciones de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|500px|centro|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

==La tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: 

<math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Se utiliza en ingenería para predecir el punto de fallo de un material cuando está sujeto a cargas complejas. La fórmula de la tensión de Von Mises ayuda a sumar todas las diferentes formas de fuerza que afectan al material y oferece un número que dice cuánto puede soportar el material antes de que se rompa.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Archivo:Ej10 1.png|600px|izquierda]]
[[Archivo:Ej10 2.png|600px|derecha]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Archivo:Ej7 2.png

2023-12-09T17:11:52Z

L.melgar:

Archivo:Ej7 1.png

2023-12-09T17:11:04Z

L.melgar:

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-09T17:06:38Z

L.melgar: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo . | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\). El grupo hrá un análisis de diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha placa.

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
* Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2.
* Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
[max_temp, i] = max(T(:)); % Máximo de la función de temperatura
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficación del resultado
hold on % Superposición de gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso la temperatura máxima es 0.9999 ºC y se alcanza en (0.9754,0.6990)
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula :<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math> en la función de temperatura dada:

<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Graficación en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica y Ley de Fourier==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica viaja mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura. En términos sencillos, la fórmula indica que la cantidad de calor transferido es proporcional a la constante de conductividad térmica y a la variación de temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Movimiento Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3mov.png|700px|Representación del movimiento de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa. Por tanto, a las coordenadas que se tenían del cuarto de anillo, se le han sumado el desplazamiento de cada una de ellas, obteniendo unas nuevas coordenadas para cada uno de los puntos. Se compara en este apartado la disposición de la placa antes y después de dicho movimiento.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Se agranda la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math>

Por tanto, en el caso del campo dado, la divergencia es:

<math> \nabla\cdot\vec u= \frac{e^{ρ-1}}{ρ}cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Graficación 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Graficación 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 
La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 
Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Por tanto, el rotacional del campo dado es:

<math> \nabla×\vec u = (1+ \frac{1}{ρ})\frac{e^{ρ-1}}{2}sen(2θ-\frac{π}{2}) \vec e_z </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot=(1/2*RR).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_rot, i] = min(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)
}}

[[Archivo:Ej7(AyV).jpg|750px|Rotacional en 2D y 3D]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|500px|izquierda|Representaciones de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|500px|centro|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

==La tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: 

<math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Se utiliza en ingenería para predecir el punto de fallo de un material cuando está sujeto a cargas complejas. La fórmula de la tensión de Von Mises ayuda a sumar todas las diferentes formas de fuerza que afectan al material y oferece un número que dice cuánto puede soportar el material antes de que se rompa.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Archivo:Ej10 1.png|600px|izquierda]]
[[Archivo:Ej10 2.png|600px|derecha]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-09T16:54:45Z

L.melgar: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo . | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\). El grupo hrá un análisis de diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha placa.

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
* Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2.
* Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
[max_temp, i] = max(T(:)); % Máximo de la función de temperatura
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficación del resultado
hold on % Superposición de gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso la temperatura máxima es 0.9999 ºC y se alcanza en (0.9754,0.6990)
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula :<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math> en la función de temperatura dada:

<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Graficación en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica y Ley de Fourier==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica viaja mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura. En términos sencillos, la fórmula indica que la cantidad de calor transferido es proporcional a la constante de conductividad térmica y a la variación de temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Movimiento Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3mov.png|700px|Representación del movimiento de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa. Por tanto, a las coordenadas que se tenían del cuarto de anillo, se le han sumado el desplazamiento de cada una de ellas, obteniendo unas nuevas coordenadas para cada uno de los puntos. Se compara en este apartado la disposición de la placa antes y después de dicho movimiento.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Se agranda la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math>

Por tanto, en el caso del campo dado, la divergencia es:

<math> \nabla\cdot\vec u= \frac{e^{ρ-1}}{ρ}cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Graficación 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Graficación 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 
La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 
Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot=(1/2*RR).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_rot, i] = min(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)
}}

[[Archivo:Ej7(AyV).jpg|750px|Rotacional en 2D y 3D]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|500px|izquierda|Representaciones de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|500px|centro|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

==La tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: 

<math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Se utiliza en ingenería para predecir el punto de fallo de un material cuando está sujeto a cargas complejas. La fórmula de la tensión de Von Mises ayuda a sumar todas las diferentes formas de fuerza que afectan al material y oferece un número que dice cuánto puede soportar el material antes de que se rompa.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Archivo:Ej10 1.png|600px|izquierda]]
[[Archivo:Ej10 2.png|600px|derecha]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-09T16:53:30Z

L.melgar: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo . | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\). El grupo hrá un análisis de diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha placa.

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
* Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2.
* Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
[max_temp, i] = max(T(:)); % Máximo de la función de temperatura
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficación del resultado
hold on % Superposición de gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso la temperatura máxima es 0.9999 ºC y se alcanza en (0.9754,0.6990)
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula :<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math> en la función de temperatura dada:

<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Graficación en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica y Ley de Fourier==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica viaja mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura. En términos sencillos, la fórmula indica que la cantidad de calor transferido es proporcional a la constante de conductividad térmica y a la variación de temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Movimiento Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3mov.png|700px|Representación del movimiento de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa. Por tanto, a las coordenadas que se tenían del cuarto de anillo, se le han sumado el desplazamiento de cada una de ellas, obteniendo unas nuevas coordenadas para cada uno de los puntos. Se compara en este apartado la disposición de la placa antes y después de dicho movimiento.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Se agranda la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math>

Por tanto, en el caso del campo dado, la divergencia es:

<math> \nabla\cdot\vec u= \frac{e^{ρ-1}}{ρ}cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 

La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 

Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot=(1/2*RR).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_rot, i] = min(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)
}}

[[Archivo:Ej7(AyV).jpg|750px|Rotacional en 2D y 3D]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|500px|izquierda|Representaciones de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|500px|centro|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

==La tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: 

<math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Se utiliza en ingenería para predecir el punto de fallo de un material cuando está sujeto a cargas complejas. La fórmula de la tensión de Von Mises ayuda a sumar todas las diferentes formas de fuerza que afectan al material y oferece un número que dice cuánto puede soportar el material antes de que se rompa.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Archivo:Ej10 1.png|600px|izquierda]]
[[Archivo:Ej10 2.png|600px|derecha]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-09T16:46:36Z

L.melgar: /* Desplazamiento dado el campo de vectores */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo . | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\). El grupo hrá un análisis de diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha placa.

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
* Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2.
* Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
[max_temp, i] = max(T(:)); % Máximo de la función de temperatura
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficación del resultado
hold on % Superposición de gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso la temperatura máxima es 0.9999 ºC y se alcanza en (0.9754,0.6990)
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula :<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math> en la función de temperatura dada:

<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Graficación en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica y Ley de Fourier==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica viaja mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura. En términos sencillos, la fórmula indica que la cantidad de calor transferido es proporcional a la constante de conductividad térmica y a la variación de temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Movimiento Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3mov.png|700px|Representación del movimiento de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa. Por tanto, a las coordenadas que se tenían del cuarto de anillo, se le han sumado el desplazamiento de cada una de ellas, obteniendo unas nuevas coordenadas para cada uno de los puntos. Se compara en este apartado la disposición de la placa antes y después de dicho movimiento.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Se agranda la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 

La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 

Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot=(1/2*RR).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_rot, i] = min(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)
}}

[[Archivo:Ej7(AyV).jpg|750px|Rotacional en 2D y 3D]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|500px|izquierda|Representaciones de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|500px|centro|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

==La tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: 

<math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Se utiliza en ingenería para predecir el punto de fallo de un material cuando está sujeto a cargas complejas. La fórmula de la tensión de Von Mises ayuda a sumar todas las diferentes formas de fuerza que afectan al material y oferece un número que dice cuánto puede soportar el material antes de que se rompa.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Archivo:Ej10 1.png|600px|izquierda]]
[[Archivo:Ej10 2.png|600px|derecha]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-09T16:43:40Z

L.melgar: /* Energía Calorífica y Ley de Fourier */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo . | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\). El grupo hrá un análisis de diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha placa.

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
* Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2.
* Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
[max_temp, i] = max(T(:)); % Máximo de la función de temperatura
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficación del resultado
hold on % Superposición de gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso la temperatura máxima es 0.9999 ºC y se alcanza en (0.9754,0.6990)
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula :<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math> en la función de temperatura dada:

<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Graficación en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica y Ley de Fourier==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica viaja mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura. En términos sencillos, la fórmula indica que la cantidad de calor transferido es proporcional a la constante de conductividad térmica y a la variación de temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Movimiento Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3mov.png|700px|Representación del movimiento de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Agrandamos la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 

La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 

Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot=(1/2*RR).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_rot, i] = min(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)
}}

[[Archivo:Ej7(AyV).jpg|750px|Rotacional en 2D y 3D]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|500px|izquierda|Representaciones de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|500px|centro|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

==La tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: 

<math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Se utiliza en ingenería para predecir el punto de fallo de un material cuando está sujeto a cargas complejas. La fórmula de la tensión de Von Mises ayuda a sumar todas las diferentes formas de fuerza que afectan al material y oferece un número que dice cuánto puede soportar el material antes de que se rompa.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Archivo:Ej10 1.png|600px|izquierda]]
[[Archivo:Ej10 2.png|600px|derecha]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Archivo:Ej3mov.png

2023-12-09T16:43:11Z

L.melgar:

Archivo:Ej3ayv.png

2023-12-09T16:40:09Z

L.melgar:

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-09T16:37:33Z

L.melgar: /* Energía Calorífica */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo . | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\). El grupo hrá un análisis de diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha placa.

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
* Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2.
* Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
[max_temp, i] = max(T(:)); % Máximo de la función de temperatura
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficación del resultado
hold on % Superposición de gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso la temperatura máxima es 0.9999 ºC y se alcanza en (0.9754,0.6990)
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula :<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math> en la función de temperatura dada:

<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Graficación en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica y Ley de Fourier==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica viaja mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura. En términos sencillos, la fórmula indica que la cantidad de calor transferido es proporcional a la constante de conductividad térmica y a la variación de temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Movimiento Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3(AyV).png|700px|Representación de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Agrandamos la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 

La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 

Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot=(1/2*RR).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_rot, i] = min(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)
}}

[[Archivo:Ej7(AyV).jpg|750px|Rotacional en 2D y 3D]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|500px|izquierda|Representaciones de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|500px|centro|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

==La tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: 

<math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Se utiliza en ingenería para predecir el punto de fallo de un material cuando está sujeto a cargas complejas. La fórmula de la tensión de Von Mises ayuda a sumar todas las diferentes formas de fuerza que afectan al material y oferece un número que dice cuánto puede soportar el material antes de que se rompa.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Archivo:Ej10 1.png|600px|izquierda]]
[[Archivo:Ej10 2.png|600px|derecha]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-09T16:37:13Z

L.melgar: /* Energía Calorífica */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo . | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\). El grupo hrá un análisis de diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha placa.

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
* Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2.
* Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
[max_temp, i] = max(T(:)); % Máximo de la función de temperatura
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficación del resultado
hold on % Superposición de gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso la temperatura máxima es 0.9999 ºC y se alcanza en (0.9754,0.6990)
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula :<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math> en la función de temperatura dada:

<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Graficación en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica viaja mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura. En términos sencillos, la fórmula indica que la cantidad de calor transferido es proporcional a la constante de conductividad térmica y a la variación de temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Movimiento Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3(AyV).png|700px|Representación de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Agrandamos la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 

La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 

Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot=(1/2*RR).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_rot, i] = min(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)
}}

[[Archivo:Ej7(AyV).jpg|750px|Rotacional en 2D y 3D]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|500px|izquierda|Representaciones de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|500px|centro|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

==La tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: 

<math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Se utiliza en ingenería para predecir el punto de fallo de un material cuando está sujeto a cargas complejas. La fórmula de la tensión de Von Mises ayuda a sumar todas las diferentes formas de fuerza que afectan al material y oferece un número que dice cuánto puede soportar el material antes de que se rompa.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Archivo:Ej10 1.png|600px|izquierda]]
[[Archivo:Ej10 2.png|600px|derecha]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-09T16:31:26Z

L.melgar: /* Visualización del gradiente de temperatura */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo . | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\). El grupo hrá un análisis de diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha placa.

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
* Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2.
* Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
[max_temp, i] = max(T(:)); % Máximo de la función de temperatura
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficación del resultado
hold on % Superposición de gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso la temperatura máxima es 0.9999 ºC y se alcanza en (0.9754,0.6990)
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula :<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math> en la función de temperatura dada:

<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Graficación en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica se obtiene mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3(AyV).png|700px|Representación de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Agrandamos la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 

La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 

Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot=(1/2*RR).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_rot, i] = min(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)
}}

[[Archivo:Ej7(AyV).jpg|750px|Rotacional en 2D y 3D]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|500px|izquierda|Representaciones de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|500px|centro|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

==La tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: 

<math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Se utiliza en ingenería para predecir el punto de fallo de un material cuando está sujeto a cargas complejas. La fórmula de la tensión de Von Mises ayuda a sumar todas las diferentes formas de fuerza que afectan al material y oferece un número que dice cuánto puede soportar el material antes de que se rompa.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Archivo:Ej10 1.png|600px|izquierda]]
[[Archivo:Ej10 2.png|600px|derecha]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-09T16:29:56Z

L.melgar: /* Visualización curvas de nivel */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo . | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\). El grupo hrá un análisis de diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha placa.

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
* Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2.
* Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
[max_temp, i] = max(T(:)); % Máximo de la función de temperatura
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficación del resultado
hold on % Superposición de gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso la temperatura máxima es 0.9999 ºC y se alcanza en (0.9754,0.6990)
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula :<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math> en la función de temperatura dada:

<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)%color
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T) %flechas derecha
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica se obtiene mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3(AyV).png|700px|Representación de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Agrandamos la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 

La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 

Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot=(1/2*RR).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_rot, i] = min(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)
}}

[[Archivo:Ej7(AyV).jpg|750px|Rotacional en 2D y 3D]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|500px|izquierda|Representaciones de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|500px|centro|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

==La tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: 

<math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Se utiliza en ingenería para predecir el punto de fallo de un material cuando está sujeto a cargas complejas. La fórmula de la tensión de Von Mises ayuda a sumar todas las diferentes formas de fuerza que afectan al material y oferece un número que dice cuánto puede soportar el material antes de que se rompa.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Archivo:Ej10 1.png|600px|izquierda]]
[[Archivo:Ej10 2.png|600px|derecha]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-09T16:26:17Z

L.melgar:

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo . | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\). El grupo hrá un análisis de diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha placa.

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
* Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2.
* Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.
{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
% Encontramos el máximo de la función de temperatura
[max_temp, i] = max(T(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficamos el resultado
hold on % Superponer gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso la temperatura máxima es 0.9999 ºC y se alcanza en (0.9754,0.6990)
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula :<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math> en la función de temperatura dada:

<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)%color
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T) %flechas derecha
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica se obtiene mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3(AyV).png|700px|Representación de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Agrandamos la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 

La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 

Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot=(1/2*RR).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_rot, i] = min(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)
}}

[[Archivo:Ej7(AyV).jpg|750px|Rotacional en 2D y 3D]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|500px|izquierda|Representaciones de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|500px|centro|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

==La tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: 

<math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Se utiliza en ingenería para predecir el punto de fallo de un material cuando está sujeto a cargas complejas. La fórmula de la tensión de Von Mises ayuda a sumar todas las diferentes formas de fuerza que afectan al material y oferece un número que dice cuánto puede soportar el material antes de que se rompa.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Archivo:Ej10 1.png|600px|izquierda]]
[[Archivo:Ej10 2.png|600px|derecha]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-09T16:25:17Z

L.melgar: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo . | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\). El grupo hrá un análisis de diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha placa.

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
* Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2.
* Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.
{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
% Encontramos el máximo de la función de temperatura
[max_temp, i] = max(T(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficamos el resultado
hold on % Superponer gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso la temperatura máxima es 0.9999 ºC y se alcanza en (0.9754,0.6990)
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula :<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math> en la función de temperatura dada:

<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)%color
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T) %flechas derecha
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica se obtiene mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3(AyV).png|700px|Representación de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Agrandamos la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 

La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 

Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot=(1/2*RR).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_rot, i] = min(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)
}}

[[Archivo:Ej7(AyV).jpg|750px|Rotacional en 2D y 3D]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|500px|izquierda|Representaciones de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|500px|derecha|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

==La tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: 

<math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Se utiliza en ingenería para predecir el punto de fallo de un material cuando está sujeto a cargas complejas. La fórmula de la tensión de Von Mises ayuda a sumar todas las diferentes formas de fuerza que afectan al material y oferece un número que dice cuánto puede soportar el material antes de que se rompa.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Archivo:Ej10 1.png|600px|izquierda]]
[[Archivo:Ej10 2.png|600px|derecha]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-09T16:23:42Z

L.melgar: /* Curvas de nivel de la temperatura */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo . | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\). El grupo hrá un análisis de diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha placa.

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
* Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2.
* Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.
{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
% Encontramos el máximo de la función de temperatura
[max_temp, i] = max(T(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficamos el resultado
hold on % Superponer gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso la temperatura máxima es 0.9999 ºC y se alcanza en (0.9754,0.6990)
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula :<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math> en la función de temperatura dada:

<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)%color
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T) %flechas derecha
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica se obtiene mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3(AyV).png|700px|Representación de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Agrandamos la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 

La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 

Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot=(1/2*RR).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_rot, i] = min(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)
}}

[[Archivo:Ej7(AyV).jpg|750px|Rotacional en 2D y 3D]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|300px|miniatura|derecha|Representaciones de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|300px|miniatura|derecha|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

==La tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: 

<math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Se utiliza en ingenería para predecir el punto de fallo de un material cuando está sujeto a cargas complejas. La fórmula de la tensión de Von Mises ayuda a sumar todas las diferentes formas de fuerza que afectan al material y oferece un número que dice cuánto puede soportar el material antes de que se rompa.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Archivo:Ej10 1.png|600px|izquierda]]
[[Archivo:Ej10 2.png|600px|derecha]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-09T16:20:44Z

L.melgar:

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo . | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\). El grupo hrá un análisis de diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha placa.

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
* Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2.
* Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.
{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
% Encontramos el máximo de la función de temperatura
[max_temp, i] = max(T(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficamos el resultado
hold on % Superponer gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso: 
Temperatura máxima: 0.9999 ºC en (0.9754,0.6990) 
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula de gradiente
<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>
en la función de temperatura dada:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)%color
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T) %flechas derecha
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica se obtiene mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3(AyV).png|700px|Representación de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Agrandamos la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 

La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 

Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot=(1/2*RR).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_rot, i] = min(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)
}}

[[Archivo:Ej7(AyV).jpg|750px|Rotacional en 2D y 3D]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|300px|miniatura|derecha|Representaciones de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|300px|miniatura|derecha|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

==La tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: 

<math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Se utiliza en ingenería para predecir el punto de fallo de un material cuando está sujeto a cargas complejas. La fórmula de la tensión de Von Mises ayuda a sumar todas las diferentes formas de fuerza que afectan al material y oferece un número que dice cuánto puede soportar el material antes de que se rompa.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Archivo:Ej10 1.png|600px|izquierda]]
[[Archivo:Ej10 2.png|600px|derecha]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-09T16:14:25Z

L.melgar: /* La tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo . | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\).

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
- Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2. 
- Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] 

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.
{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
% Encontramos el máximo de la función de temperatura
[max_temp, i] = max(T(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficamos el resultado
hold on % Superponer gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso: 
Temperatura máxima: 0.9999 ºC en (0.9754,0.6990) 
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula de gradiente
<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>
en la función de temperatura dada:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)%color
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T) %flechas derecha
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica se obtiene mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3(AyV).png|700px|Representación de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Agrandamos la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 

La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 

Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot=(1/2*RR).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_rot, i] = min(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)
}}

[[Archivo:Ej7(AyV).jpg|750px|Rotacional en 2D y 3D]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|300px|miniatura|derecha|Representaciones de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|300px|miniatura|derecha|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

==La tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: 

<math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Se utiliza en ingenería para predecir el punto de fallo de un material cuando está sujeto a cargas complejas. La fórmula de la tensión de Von Mises ayuda a sumar todas las diferentes formas de fuerza que afectan al material y oferece un número que dice cuánto puede soportar el material antes de que se rompa.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Archivo:Ej10 1.png|600px|izquierda]]
[[Archivo:Ej10 2.png|600px|derecha]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Archivo:Ej10 2.png

2023-12-09T16:12:49Z

L.melgar:

Archivo:Ej10 1.png

2023-12-09T16:12:13Z

L.melgar:

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-09T16:09:52Z

L.melgar: /* La tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo . | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\).

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
- Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2. 
- Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] 

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.
{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
% Encontramos el máximo de la función de temperatura
[max_temp, i] = max(T(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficamos el resultado
hold on % Superponer gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso: 
Temperatura máxima: 0.9999 ºC en (0.9754,0.6990) 
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula de gradiente
<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>
en la función de temperatura dada:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)%color
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T) %flechas derecha
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica se obtiene mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3(AyV).png|700px|Representación de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Agrandamos la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 

La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 

Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot=(1/2*RR).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_rot, i] = min(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)
}}

[[Archivo:Ej7(AyV).jpg|750px|Rotacional en 2D y 3D]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|300px|miniatura|derecha|Representaciones de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|300px|miniatura|derecha|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

==La tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula: 

<math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico. Se utiliza en ingenería para predecir el punto de fallo de un material cuando está sujeto a cargas complejas. La fórmula de la tensión de Von Mises ayuda a sumar todas las diferentes formas de fuerza que afectan al material y oferece un número que dice cuánto puede soportar el material antes de que se rompa.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-09T10:10:30Z

L.melgar: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo . | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\).

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
- Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2. 
- Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] 

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.
{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
% Encontramos el máximo de la función de temperatura
[max_temp, i] = max(T(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficamos el resultado
hold on % Superponer gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso: 
Temperatura máxima: 0.9999 ºC en (0.9754,0.6990) 
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula de gradiente
<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>
en la función de temperatura dada:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)%color
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T) %flechas derecha
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica se obtiene mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3(AyV).png|700px|Representación de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Agrandamos la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 

La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 

Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot=(1/2*RR).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_rot, i] = min(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)
}}

[[Archivo:Ej7(AyV).jpg|750px|Rotacional en 2D y 3D]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|300px|miniatura|derecha|Representaciones de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|300px|miniatura|derecha|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

==La tensión de Von Mises==
Se define por la fórmula <math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>, donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-09T10:10:07Z

L.melgar: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo . | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\).

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
- Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2. 
- Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] 

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.
{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
% Encontramos el máximo de la función de temperatura
[max_temp, i] = max(T(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficamos el resultado
hold on % Superponer gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso: 
Temperatura máxima: 0.9999 ºC en (0.9754,0.6990) 
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula de gradiente
<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>
en la función de temperatura dada:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)%color
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T) %flechas derecha
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica se obtiene mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3(AyV).png|700px|Representación de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Agrandamos la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 

La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 

Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot=(1/2*RR).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_rot, i] = min(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)
}}

[[Archivo:Ej7(AyV).jpg|750px|Rotacional en 2D y 3D]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|400px|miniatura|derecha|Representaciones de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|300px|miniatura|derecha|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

==La tensión de Von Mises==
Se define por la fórmula <math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>, donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-09T10:09:25Z

L.melgar: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo . | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\).

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
- Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2. 
- Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] 

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.
{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
% Encontramos el máximo de la función de temperatura
[max_temp, i] = max(T(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficamos el resultado
hold on % Superponer gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso: 
Temperatura máxima: 0.9999 ºC en (0.9754,0.6990) 
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula de gradiente
<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>
en la función de temperatura dada:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)%color
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T) %flechas derecha
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica se obtiene mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3(AyV).png|700px|Representación de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Agrandamos la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 

La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 

Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot=(1/2*RR).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_rot, i] = min(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)
}}

[[Archivo:Ej7(AyV).jpg|750px|Rotacional en 2D y 3D]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|400px|miniatura|derecha|Representaciones de las tensiones tangenciales]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|400px|miniatura|derecha|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

==La tensión de Von Mises==
Se define por la fórmula <math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>, donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-09T10:08:06Z

L.melgar: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo . | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\).

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
- Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2. 
- Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] 

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.
{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
% Encontramos el máximo de la función de temperatura
[max_temp, i] = max(T(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficamos el resultado
hold on % Superponer gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso: 
Temperatura máxima: 0.9999 ºC en (0.9754,0.6990) 
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula de gradiente
<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>
en la función de temperatura dada:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)%color
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T) %flechas derecha
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica se obtiene mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3(AyV).png|700px|Representación de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Agrandamos la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 

La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 

Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot=(1/2*RR).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_rot, i] = min(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)
}}

[[Archivo:Ej7(AyV).jpg|750px|Rotacional en 2D y 3D]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|derecha|450px]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|derecha|350px]]

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

==La tensión de Von Mises==
Se define por la fórmula <math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>, donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-09T10:07:42Z

L.melgar: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo . | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\).

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
- Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2. 
- Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] 

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.
{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
% Encontramos el máximo de la función de temperatura
[max_temp, i] = max(T(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficamos el resultado
hold on % Superponer gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso: 
Temperatura máxima: 0.9999 ºC en (0.9754,0.6990) 
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula de gradiente
<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>
en la función de temperatura dada:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)%color
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T) %flechas derecha
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica se obtiene mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3(AyV).png|700px|Representación de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Agrandamos la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 

La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 

Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot=(1/2*RR).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_rot, i] = min(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)
}}

[[Archivo:Ej7(AyV).jpg|750px|Rotacional en 2D y 3D]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|derecha|450px]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|derecha|400px]]

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

==La tensión de Von Mises==
Se define por la fórmula <math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>, donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-09T10:07:16Z

L.melgar: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo . | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\).

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
- Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2. 
- Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] 

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.
{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
% Encontramos el máximo de la función de temperatura
[max_temp, i] = max(T(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficamos el resultado
hold on % Superponer gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso: 
Temperatura máxima: 0.9999 ºC en (0.9754,0.6990) 
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula de gradiente
<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>
en la función de temperatura dada:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)%color
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T) %flechas derecha
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica se obtiene mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3(AyV).png|700px|Representación de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Agrandamos la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 

La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 

Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot=(1/2*RR).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_rot, i] = min(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)
}}

[[Archivo:Ej7(AyV).jpg|750px|Rotacional en 2D y 3D]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|derecha|550px]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|derecha|450px]]

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

==La tensión de Von Mises==
Se define por la fórmula <math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>, donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-09T10:06:38Z

L.melgar: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo . | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\).

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
- Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2. 
- Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] 

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.
{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
% Encontramos el máximo de la función de temperatura
[max_temp, i] = max(T(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficamos el resultado
hold on % Superponer gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso: 
Temperatura máxima: 0.9999 ºC en (0.9754,0.6990) 
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula de gradiente
<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>
en la función de temperatura dada:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)%color
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T) %flechas derecha
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica se obtiene mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3(AyV).png|700px|Representación de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Agrandamos la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 

La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 

Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot=(1/2*RR).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_rot, i] = min(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)
}}

[[Archivo:Ej7(AyV).jpg|750px|Rotacional en 2D y 3D]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|derecha|550px]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|izquierda|450px]]

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

==La tensión de Von Mises==
Se define por la fórmula <math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>, donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-09T10:04:56Z

L.melgar: /* La tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo . | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\).

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
- Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2. 
- Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] 

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.
{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
% Encontramos el máximo de la función de temperatura
[max_temp, i] = max(T(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficamos el resultado
hold on % Superponer gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso: 
Temperatura máxima: 0.9999 ºC en (0.9754,0.6990) 
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula de gradiente
<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>
en la función de temperatura dada:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)%color
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T) %flechas derecha
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica se obtiene mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3(AyV).png|700px|Representación de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Agrandamos la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 

La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 

Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot=(1/2*RR).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_rot, i] = min(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)
}}

[[Archivo:Ej7(AyV).jpg|750px|Rotacional en 2D y 3D]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}
[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|derecha|550px]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|izquierda|450px]]

==La tensión de Von Mises==
Se define por la fórmula <math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>, donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-09T10:04:21Z

L.melgar: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo . | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\).

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
- Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2. 
- Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] 

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.
{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
% Encontramos el máximo de la función de temperatura
[max_temp, i] = max(T(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficamos el resultado
hold on % Superponer gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso: 
Temperatura máxima: 0.9999 ºC en (0.9754,0.6990) 
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula de gradiente
<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>
en la función de temperatura dada:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)%color
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T) %flechas derecha
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica se obtiene mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3(AyV).png|700px|Representación de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Agrandamos la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 

La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 

Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot=(1/2*RR).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_rot, i] = min(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)
}}

[[Archivo:Ej7(AyV).jpg|750px|Rotacional en 2D y 3D]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}
[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|derecha|550px]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|izquierda|450px]]

==La tensión de Von Mises==
Se define por la fórmula <math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>., donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-09T10:03:58Z

L.melgar: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo . | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\).

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
- Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2. 
- Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] 

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.
{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
% Encontramos el máximo de la función de temperatura
[max_temp, i] = max(T(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficamos el resultado
hold on % Superponer gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso: 
Temperatura máxima: 0.9999 ºC en (0.9754,0.6990) 
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula de gradiente
<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>
en la función de temperatura dada:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)%color
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T) %flechas derecha
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica se obtiene mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3(AyV).png|700px|Representación de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Agrandamos la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 

La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 

Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot=(1/2*RR).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_rot, i] = min(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)
}}

[[Archivo:Ej7(AyV).jpg|750px|Rotacional en 2D y 3D]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|derecha|550px]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|izquierda|450px]]
}}

==La tensión de Von Mises==
Se define por la fórmula <math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>., donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-09T10:03:28Z

L.melgar: /* La tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo . | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\).

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
- Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2. 
- Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] 

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.
{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
% Encontramos el máximo de la función de temperatura
[max_temp, i] = max(T(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficamos el resultado
hold on % Superponer gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso: 
Temperatura máxima: 0.9999 ºC en (0.9754,0.6990) 
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula de gradiente
<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>
en la función de temperatura dada:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)%color
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T) %flechas derecha
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica se obtiene mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3(AyV).png|700px|Representación de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Agrandamos la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 

La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 

Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot=(1/2*RR).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_rot, i] = min(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)
}}

[[Archivo:Ej7(AyV).jpg|750px|Rotacional en 2D y 3D]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|derecha|550px]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|izquierda|450px]]
.

==La tensión de Von Mises==
Se define por la fórmula <math> σV M = (sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>., donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-09T10:03:08Z

L.melgar: /* La tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo . | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\).

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
- Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2. 
- Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] 

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.
{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
% Encontramos el máximo de la función de temperatura
[max_temp, i] = max(T(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficamos el resultado
hold on % Superponer gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso: 
Temperatura máxima: 0.9999 ºC en (0.9754,0.6990) 
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula de gradiente
<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>
en la función de temperatura dada:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)%color
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T) %flechas derecha
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica se obtiene mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3(AyV).png|700px|Representación de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Agrandamos la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 

La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 

Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot=(1/2*RR).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_rot, i] = min(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)
}}

[[Archivo:Ej7(AyV).jpg|750px|Rotacional en 2D y 3D]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|derecha|550px]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|izquierda|450px]]
.

==La tensión de Von Mises==
Se define por la fórmula <math> σV M = (r ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>., donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-09T10:02:41Z

L.melgar:

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo . | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\).

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
- Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2. 
- Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] 

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.
{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
% Encontramos el máximo de la función de temperatura
[max_temp, i] = max(T(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficamos el resultado
hold on % Superponer gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso: 
Temperatura máxima: 0.9999 ºC en (0.9754,0.6990) 
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula de gradiente
<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>
en la función de temperatura dada:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)%color
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T) %flechas derecha
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica se obtiene mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3(AyV).png|700px|Representación de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Agrandamos la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 

La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 

Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot=(1/2*RR).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_rot, i] = min(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)
}}

[[Archivo:Ej7(AyV).jpg|750px|Rotacional en 2D y 3D]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|derecha|550px]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|izquierda|450px]]
.

== La tensión de Von Mises ==
Se define por la fórmula <math> σV M = (r ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2))/ 2 </math>., donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo

2023-12-09T10:01:06Z

L.melgar:

{{ TrabajoED | Análisis y visualización de transformaciones en un cuarto de anillo . | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara López Caro Luis Melgar Beltrán Pablo Sancho González Mª Eugenia Sanz de Ojeda Clara Sanz Riomoros}}

Se considera una placa plana definida por un cuarto de un anillo centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|/2\).

Para la realización del estudio, se dispone de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Y de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado del sólido==

En primer lugar, se visualizará la placa considerada. Con las características descritas en el enunciado: 
- Una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|/2. 
- Dibujado con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] 

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta); %Mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la placa')

}}
[[Archivo:Ej1(AyV).png|450px|Mallado de la placa]]

==Curvas de nivel de la temperatura==

El enunciado ofrece una función de temperatura, en la que los valores de dicha temperatura varían según el punto que se estudie. La función de temperatura dada es, en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.
==== Visualización curvas de nivel ====
Se dibujarán sobre la placa las distintas curvas de nivel que representan los lugares de la placa que comparten temperatura. Para esto se utilizará el comando de Matlab: ''Contour''.
{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
T = cos((y-3).^2 + x); % Función de temperaturas T(x, y) = cos((y − 3)2 + x)
% Encontramos el máximo de la función de temperatura
[max_temp, i] = max(T(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(T), i);
coord_max_temp = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
% Graficamos el resultado
hold on % Superponer gráficas
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,15/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
disp(coord_max_temp)
disp(max_temp)
colorbar;

}}

Matlab ofrece, con este código, las coordenadas del punto donde la temperatura es máxima y su temperatura. En este caso: 
Temperatura máxima: 0.9999 ºC en (0.9754,0.6990) 
[[Archivo:Ej2 page-00001.jpg|900px|Representación del campo escalar de temperaturas y sus curvas de nivel]]

==== Visualización del gradiente de temperatura ====
El gradiente de una función de temperatura representa la tasa de cambio espacial de la temperatura en un punto específico, indicando la dirección y magnitud en la que la temperatura aumenta con mayor rapidez. Se visualizarán los vectores que describen esto.
El gradiente de la temperatura se obtiene aplicando la fórmula de gradiente
<math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>
en la función de temperatura dada:
 
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Obteniéndose así la siguiente función:
 
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)sin((y-3)^2+x)\vec j </math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); %Gradiente de la temperatura
T = cos((y-3).^2 + x); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)%color
quiver3(x,y,T,Gi,Gj,0*T) %flechas derecha
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti = @(x, y) -sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj = @(x, y) -(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off

}}

[[Archivo:Ej2_2_page-0001.jpg|900px|Representación del gradiente de temperatura sobre la placa en dos y tres dimensiones.]]

==Energía Calorífica==
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica se obtiene mediante la siguiente fórmula: 

<math>Q=-k∇T</math>
 
Donde k corresponde a la constante de conductividad térmica, que en este caso será igual a 1, y ∇T es el gradiente de la temperatura.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
ro=1:h:2; % Asignación de las variables ro y zeta
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]= meshgrid(ro,zeta); %Creación del mallado
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
Gi=-sin(y.^2-6.*y+9+x);
Gj=-(2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x); % Gradiente de la temperatura
T=cos((y-3).^2 + x); % Función de temperatura
hold on
mesh(x,y,0.*x)
ti= @(x,y) sin(y.^2-6.*y+9+x);
tj= @(x,y) (2.*y-6).*sin(y.^2-6.*y+9+x);
Qx=ti(x,y);
Qy=tj(x,y);
quiver(x,y,Qx,Qy)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off
title('Energía Calorífica')

}}

[[Archivo:Ej3(AyV).png|700px|Representación de la energía calorífica.]]

==Campo de vectores==
Para realizar el campo de vectores en los puntos de mallado del sólido, se dispone de la función de campo:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
mesh(x,y,y*0); % Mallado del sólido
title('CAMPO DE VECTORES')
xlabel ('EJE X')
ylabel ('EJE Y')
view(2)
hold on
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Campo de vectores
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
quiver(x,y,mx,my);
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

[[Archivo:Ej4(AyV).png|700px|]]

==Desplazamiento dado el campo de vectores==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
% Principio
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('SITUACIÓN INICIAL')
% final
subplot(2,2,2)
mx=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*cos(Z); %Cambio a cartesianas
my=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)).*sin(Z);
rx=x+mx;
ry=y+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]); %Agrandamos la cuadrícula hacia arriba para que se pueda percibir la transformación
view(2)
title('SITUACIÓN FINAL')
% comparación
subplot(2,2,3)
plot3(x,y,y*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off

}}

[[Archivo:Ej5(AyV).jpg|850px]]

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa la cantidad por la cual el campo "se aleja" o "converge" en un punto dado. Con el campo:

<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia en cilíndricas se calcula: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
DIVu=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2*Z-pi/2); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
colorbar
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
[max_div, i] = max(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_max_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_div, i] = min(DIVu(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_min_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[nulo_div, i] = min(abs(DIVu(:)));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(DIVu), i);
coord_nulo_div = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('La máxima divergencia es :')
disp(max_div)
disp(coord_max_div)
disp('La miníma divergencia es: ')
disp(min_div)
disp(coord_min_div)
disp(coord_nulo_div)
}}

[[Archivo:Ej6(AyV).jpg|800px]]

La divergencia es máxima en el punto (1.4219,1.4065) con un valor de 1.3591. 

La divergencia mínima se encuentra en (-1.4219,1.4065) con un valor de -1.3591. 

Por último, la divergencia nula está en el punto ( 0.0000,1.0000). 

En la gráfica en 3D se observa cómo cada punto cambia de ubicación y, por tanto, algunos de los diferenciales de área varían. Además, los puntos calculados anteriormente se pueden estudiar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
ro=1:h:2;
zeta=linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[RR,Z]=meshgrid(ro,zeta);
x=RR.*cos(Z);
y=RR.*sin(Z);
Rot=(1/2*RR).*exp(RR-1).*sin(2*Z-pi/2);
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,Rot)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Rotacional 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
surf(x,y,Rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(195,10)
title('Rotacional 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontramos el máximo, mínimo y nulo del rotacional
[max_rot, i] = max(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_max_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
[min_rot, i] = min(Rot(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(Rot), i);
coord_min_rot = [x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];

disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
disp('Mínimo rotacional: ')
disp(min_rot)
disp(coord_min_rot)
}}

[[Archivo:Ej7(AyV).jpg|750px|Rotacional en 2D y 3D]]

El punto con máximo rotacional es (0.0000,2.0000) con un valor de 2.7183. 
El punto con mínimo rotacional es (1.7889,0.8944) con un valor de -1.6310.

== Tensor de deformaciones ==
Si definimos el tensor deformaciones como:

<math> ε(ū)=(∇ū+∇ūt)/2 </math>.

Entendemos el tensor de tensiones σij:

<math> σ = λ∇·ū 1 + 2µε </math>.

λ, µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material, tomaremos λ = µ = 1. 
Por tanto:
<math> σ = λ∇·ū + ∇ū + ∇ūt </math>.

∇ū =
* <math> ∇ū*\vec e_ρ = e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>
* <math> ∇ū*\vec e_θ =\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ+\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2})(-\vec e_ρ)</math>
* <math> ∇ū*\vec e_z = 0*\vec e_θ + 0*\frac{∂\vec e_θ}{∂\vec e_z} = 0 </math>

<math> ∇ū = \begin{pmatrix}
\ 0 & \frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> ∇ūt = \begin{pmatrix}
\ 0 & \ e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{-1}{2}*e^{ρ-1}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 & \ 0 & \ 0
\end{pmatrix}</math>

<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{3*e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2}) & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{e^{ρ-1}}{ρ}*cos(2θ-\frac{π}{2})
\end{pmatrix}</math>

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
a=(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=3.*a; %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_r_o')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,c)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z_e_t_a')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

}}

[[Archivo:Ej8.1 page-0001.jpg|700px]]
[[Archivo:Ej8.2 page-0001.jpg|700px]]

== Tensiones tangenciales ==
Para calcular las tensiones tangenciales respecto a el plano otrogonal a i se aplica la siguiente fórmula:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| </math>.

Por tanto, en el caso del tensor de tensiones con el que se está trabajando:

<math> |σ ·~i − (~i · σ ·~i)~i| = \frac{e^{ρ-1}}{2}*sen(2θ-\frac{π}{2}) </math>.

{{matlab|codigo=

h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
x = RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y = RR.*sin(Z);
ti=(1/2)*exp(RR-1).*sin(2*Z-(pi/2)); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ti)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial respecto al plano ortogonal a i')

}}

[[Archivo:Ej9 1(AyV).png|derecha|550px]]
[[Archivo:Ej9 2(ayV).png|izquierda|450px]]

== La tensión de Von Mises ==
Se define por la fórmula <math> σV M = sqrt ((σ1 − σ2)^2 + (σ2 − σ3)^2 + (σ3 − σ1)^2)/ 2 </math>., donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico.

{{matlab|codigo=
h = 2/10; % Paso de muestreo
ro = 1:h:2; % Asignación de las variables rho y theta
zeta = linspace(atan(1/2), pi-atan(1/2), pi/h);
[RR, Z] = meshgrid(ro, zeta); % Mallado
lro=length(ro);
lzeta=length(zeta);
%creamos las componentes de la matriz sigma
a=@(RR,Z) (1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=@(RR,Z) (1/2).*exp(RR-1).*sin(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=@(RR,Z) 3.*(1./RR).*exp(RR-1).*cos(2.*Z-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lzeta
for j=1:lro
A=a(RR(i,j),Z(i,j));
B=b(RR(i,j),Z(i,j));
C=c(RR(i,j),Z(i,j));
Msig=[A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)- ...
autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
x=RR.*cos(Z); % Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(Z);
%dibujamos la tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(x,y,G);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G));
disp(max)

}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]