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Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-15T18:05:34Z

L.ldehoz: /* Curvas de nivel de la temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,4/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-15-18-38-47.jpg|800px|miniaturadeimagen|izquierda|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]] 
[[Archivo:Capturaera.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]] 
 
 
 
 
 
 
Obtenemos una temperatura máxima de 0.999912 ºC 
 

=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>. 
Observamos como es la gráfica de este campo vectorial <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en matlab:
{{matlab|codigo=
%Apartado 4

h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
hold on
mesh(x,y,0.*x);
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* -sin(T); %Campo vectorial
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T);
quiver(x,y,A,B)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de vectores')
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-15-17-59-25.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial]]

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* -sin(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-15-17-59-26.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Mediante la divergencia estudiamos el cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
La divergencia en cilíndricas se expresa tal que: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 
Calculamos la divergencia de nuestro campo: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]
La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
La divergencia mínima es de -1.35906 en el punto (-1.42186,1.40652) 
La divergencia máxima es de 1.35906 en el punto (1.42186,1.40652) 
La divergencia nula se da en el punto (0,1) 

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
En cilíndircas el rotacional se expresa como: 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>. 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de este campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación lo representamos: 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]
El máximo rotacional es de 2.03871 en el punto (0,2) 
El mínimo rotacional es de -1.22323 en el punto (1.78885,0.894427) 

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>{\sigma }_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>. 
Obtenemos un tensor de dreformaciones tal que: 
<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \ 0 \\
\frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})+\frac{2·e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}))
\end{pmatrix}</math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{-e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ}</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (-exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2))./(2.*R);
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161437.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Archivo:PHOTO-2023-12-15-18-38-47.jpg

2023-12-15T18:05:01Z

L.ldehoz: Curvas

Curvas

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-15T17:27:21Z

L.ldehoz: /* Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|izquierda|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]] 
[[Archivo:Capturaera.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]] 
 
 
 
 
 
 
Obtenemos una temperatura máxima de 0.999912 ºC 
 
=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>. 
Observamos como es la gráfica de este campo vectorial <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en matlab:
{{matlab|codigo=
%Apartado 4

h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
hold on
mesh(x,y,0.*x);
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* -sin(T); %Campo vectorial
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T);
quiver(x,y,A,B)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de vectores')
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-15-17-59-25.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial]]

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* -sin(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-15-17-59-26.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Mediante la divergencia estudiamos el cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
La divergencia en cilíndricas se expresa tal que: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 
Calculamos la divergencia de nuestro campo: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]
La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
La divergencia mínima es de -1.35906 en el punto (-1.42186,1.40652) 
La divergencia máxima es de 1.35906 en el punto (1.42186,1.40652) 
La divergencia nula se da en el punto (0,1) 

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
En cilíndircas el rotacional se expresa como: 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>. 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de este campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación lo representamos: 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]
El máximo rotacional es de 2.03871 en el punto (0,2) 
El mínimo rotacional es de -1.22323 en el punto (1.78885,0.894427) 

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>{\sigma }_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>. 
Obtenemos un tensor de dreformaciones tal que: 
<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \ 0 \\
\frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})+\frac{2·e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}))
\end{pmatrix}</math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{-e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ}</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (-exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2))./(2.*R);
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161437.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Archivo:PHOTO-2023-12-15-17-59-26.jpg

2023-12-15T17:25:55Z

L.ldehoz: Desplazada

Desplazada

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-15T17:25:10Z

L.ldehoz: /* Campo de vectores en el mallado del sólido */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|izquierda|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]] 
[[Archivo:Capturaera.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]] 
 
 
 
 
 
 
Obtenemos una temperatura máxima de 0.999912 ºC 
 
=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>. 
Observamos como es la gráfica de este campo vectorial <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en matlab:
{{matlab|codigo=
%Apartado 4

h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
hold on
mesh(x,y,0.*x);
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* -sin(T); %Campo vectorial
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T);
quiver(x,y,A,B)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de vectores')
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-15-17-59-25.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial]]

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Mediante la divergencia estudiamos el cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
La divergencia en cilíndricas se expresa tal que: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 
Calculamos la divergencia de nuestro campo: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]
La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
La divergencia mínima es de -1.35906 en el punto (-1.42186,1.40652) 
La divergencia máxima es de 1.35906 en el punto (1.42186,1.40652) 
La divergencia nula se da en el punto (0,1) 

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
En cilíndircas el rotacional se expresa como: 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>. 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de este campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación lo representamos: 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]
El máximo rotacional es de 2.03871 en el punto (0,2) 
El mínimo rotacional es de -1.22323 en el punto (1.78885,0.894427) 

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>{\sigma }_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>. 
Obtenemos un tensor de dreformaciones tal que: 
<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \ 0 \\
\frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})+\frac{2·e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}))
\end{pmatrix}</math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{-e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ}</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (-exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2))./(2.*R);
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161437.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Archivo:PHOTO-2023-12-15-17-59-25.jpg

2023-12-15T17:23:15Z

L.ldehoz: Campo vectorial

Campo vectorial

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-15T12:23:55Z

L.ldehoz: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|izquierda|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]] 
[[Archivo:Capturaera.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]] 
 
 
 
 
 
 
Obtenemos una temperatura máxima de 0.999912 ºC 
 
=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>. 
Observamos como es la gráfica de este campo vectorial <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en matlab:
{{matlab|codigo=
%Apartado 4

h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
hold on
mesh(x,y,0.*x);
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Campo vectorial
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
quiver(x,y,A,B)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de vectores')
hold off
}}
[[Archivo:Capturaafdfafa.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial]]

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Mediante la divergencia estudiamos el cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
La divergencia en cilíndricas se expresa tal que: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 
Calculamos la divergencia de nuestro campo: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]
La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
La divergencia mínima es de -1.35906 en el punto (-1.42186,1.40652) 
La divergencia máxima es de 1.35906 en el punto (1.42186,1.40652) 
La divergencia nula se da en el punto (0,1) 

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
En cilíndircas el rotacional se expresa como: 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>. 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de este campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación lo representamos: 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]
El máximo rotacional es de 2.03871 en el punto (0,2) 
El mínimo rotacional es de -1.22323 en el punto (1.78885,0.894427) 

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>{\sigma }_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>. 
Obtenemos un tensor de dreformaciones tal que: 
<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \ 0 \\
\frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})+\frac{2·e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}))
\end{pmatrix}</math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{-e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ}</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (-exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2))./(2.*R);
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161437.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-15T12:21:09Z

L.ldehoz: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|izquierda|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]] 
[[Archivo:Capturaera.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]] 
 
 
 
 
 
 
Obtenemos una temperatura máxima de 0.999912 ºC 
 
=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>. 
Observamos como es la gráfica de este campo vectorial <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en matlab:
{{matlab|codigo=
%Apartado 4

h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
hold on
mesh(x,y,0.*x);
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Campo vectorial
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
quiver(x,y,A,B)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de vectores')
hold off
}}
[[Archivo:Capturaafdfafa.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial]]

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Mediante la divergencia estudiamos el cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
La divergencia en cilíndricas se expresa tal que: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 
Calculamos la divergencia de nuestro campo: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]
La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
La divergencia mínima es de -1.35906 en el punto (-1.42186,1.40652) 
La divergencia máxima es de 1.35906 en el punto (1.42186,1.40652) 
La divergencia nula se da en el punto (0,1) 

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
En cilíndircas el rotacional se expresa como: 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>. 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de este campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación lo representamos: 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]
El máximo rotacional es de 2.03871 en el punto (0,2) 
El mínimo rotacional es de -1.22323 en el punto (1.78885,0.894427) 

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>{\sigma }_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>. 
Obtenemos un tensor de dreformaciones tal que: 
<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \ 0 \\
\frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})+\frac{2·e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}))
\end{pmatrix}</math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{-e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ}</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (0.5*exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2));
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Capturaerasss.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-15T12:20:40Z

L.ldehoz: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|izquierda|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]] 
[[Archivo:Capturaera.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]] 
 
 
 
 
 
 
Obtenemos una temperatura máxima de 0.999912 ºC 
 
=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>. 
Observamos como es la gráfica de este campo vectorial <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en matlab:
{{matlab|codigo=
%Apartado 4

h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
hold on
mesh(x,y,0.*x);
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Campo vectorial
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
quiver(x,y,A,B)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de vectores')
hold off
}}
[[Archivo:Capturaafdfafa.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial]]

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Mediante la divergencia estudiamos el cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
La divergencia en cilíndricas se expresa tal que: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 
Calculamos la divergencia de nuestro campo: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]
La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
La divergencia mínima es de -1.35906 en el punto (-1.42186,1.40652) 
La divergencia máxima es de 1.35906 en el punto (1.42186,1.40652) 
La divergencia nula se da en el punto (0,1) 

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
En cilíndircas el rotacional se expresa como: 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>. 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de este campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación lo representamos: 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]
El máximo rotacional es de 2.03871 en el punto (0,2) 
El mínimo rotacional es de -1.22323 en el punto (1.78885,0.894427) 

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>{\sigma }_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>. 
Obtenemos un tensor de dreformaciones tal que: 
<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \ 0 \\
\frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})+\frac{2·e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}))
\end{pmatrix}</math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{-1}{2ρ}e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (0.5*exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2));
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Capturaerasss.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T23:10:32Z

L.ldehoz: /* Campo de vectores en el mallado del sólido */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|izquierda|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]] 
[[Archivo:Capturaera.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]] 
 
 
 
 
 
 
Obtenemos una temperatura máxima de 0.999912 ºC 
 
=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>. 
Observamos como es la gráfica de este campo vectorial <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en matlab:
{{matlab|codigo=
%Apartado 4

h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
hold on
mesh(x,y,0.*x);
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Campo vectorial
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
quiver(x,y,A,B)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de vectores')
hold off
}}
[[Archivo:Capturaafdfafa.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial]]

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Mediante la divergencia estudiamos el cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
La divergencia en cilíndricas se expresa tal que: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 
Calculamos la divergencia de nuestro campo: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]
La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
La divergencia mínima es de -1.35906 en el punto (-1.42186,1.40652) 
La divergencia máxima es de 1.35906 en el punto (1.42186,1.40652) 
La divergencia nula se da en el punto (0,1) 

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
En cilíndircas el rotacional se expresa como: 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>. 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de este campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación lo representamos: 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]
El máximo rotacional es de 2.03871 en el punto (0,2) 
El mínimo rotacional es de -1.22323 en el punto (1.78885,0.894427) 

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>{\sigma }_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>. 
Obtenemos un tensor de dreformaciones tal que: 
<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \ 0 \\
\frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})+\frac{2·e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}))
\end{pmatrix}</math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (0.5*exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2));
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Capturaerasss.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T23:10:08Z

L.ldehoz:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|izquierda|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]] 
[[Archivo:Capturaera.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]] 
 
 
 
 
 
 
Obtenemos una temperatura máxima de 0.999912 ºC 
 
=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>. 
Observamos como es la gráfica de este campo vectorial <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). en matlab:
{{matlab|codigo=
%Apartado 4

h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
hold on
mesh(x,y,0.*x);
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Campo vectorial
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
quiver(x,y,A,B)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de vectores')
hold off
}}
[[Archivo:Capturaafdfafa.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial]]

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Mediante la divergencia estudiamos el cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
La divergencia en cilíndricas se expresa tal que: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 
Calculamos la divergencia de nuestro campo: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]
La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
La divergencia mínima es de -1.35906 en el punto (-1.42186,1.40652) 
La divergencia máxima es de 1.35906 en el punto (1.42186,1.40652) 
La divergencia nula se da en el punto (0,1) 

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
En cilíndircas el rotacional se expresa como: 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>. 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de este campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación lo representamos: 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]
El máximo rotacional es de 2.03871 en el punto (0,2) 
El mínimo rotacional es de -1.22323 en el punto (1.78885,0.894427) 

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>{\sigma }_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>. 
Obtenemos un tensor de dreformaciones tal que: 
<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \ 0 \\
\frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})+\frac{2·e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}))
\end{pmatrix}</math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (0.5*exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2));
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Capturaerasss.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T23:09:41Z

L.ldehoz: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|izquierda|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]] 
[[Archivo:Capturaera.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]] 
 
 
 
 
 
 
Obtenemos una temperatura máxima de 0.999912 ºC 
 
=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>. 
Observamos como es la gráfica de este campo vectorial en matlab:
{{matlab|codigo=
%Apartado 4

h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
hold on
mesh(x,y,0.*x);
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Campo vectorial
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
quiver(x,y,A,B)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de vectores')
hold off
}}
[[Archivo:Capturaafdfafa.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial]]

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Mediante la divergencia estudiamos el cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
La divergencia en cilíndricas se expresa tal que: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 
Calculamos la divergencia de nuestro campo: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]
La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
La divergencia mínima es de -1.35906 en el punto (-1.42186,1.40652) 
La divergencia máxima es de 1.35906 en el punto (1.42186,1.40652) 
La divergencia nula se da en el punto (0,1) 

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
En cilíndircas el rotacional se expresa como: 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>. 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de este campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación lo representamos: 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]
El máximo rotacional es de 2.03871 en el punto (0,2) 
El mínimo rotacional es de -1.22323 en el punto (1.78885,0.894427) 

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>{\sigma }_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>. 
Obtenemos un tensor de dreformaciones tal que: 
<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \ 0 \\
\frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})+\frac{2·e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}))
\end{pmatrix}</math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (0.5*exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2));
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Capturaerasss.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Archivo:Capturaerasss.PNG

2023-12-14T23:08:50Z

L.ldehoz: Tensión tangencial

Tensión tangencial

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T23:07:49Z

L.ldehoz: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|izquierda|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]] 
[[Archivo:Capturaera.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]] 
 
 
 
 
 
 
Obtenemos una temperatura máxima de 0.999912 ºC 
 
=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>. 
Observamos como es la gráfica de este campo vectorial en matlab:
{{matlab|codigo=
%Apartado 4

h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
hold on
mesh(x,y,0.*x);
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Campo vectorial
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
quiver(x,y,A,B)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de vectores')
hold off
}}
[[Archivo:Capturaafdfafa.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial]]

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Mediante la divergencia estudiamos el cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
La divergencia en cilíndricas se expresa tal que: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 
Calculamos la divergencia de nuestro campo: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]
La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
La divergencia mínima es de -1.35906 en el punto (-1.42186,1.40652) 
La divergencia máxima es de 1.35906 en el punto (1.42186,1.40652) 
La divergencia nula se da en el punto (0,1) 

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
En cilíndircas el rotacional se expresa como: 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>. 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de este campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación lo representamos: 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]
El máximo rotacional es de 2.03871 en el punto (0,2) 
El mínimo rotacional es de -1.22323 en el punto (1.78885,0.894427) 

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>{\sigma }_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>. 
Obtenemos un tensor de dreformaciones tal que: 
<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \ 0 \\
\frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})+\frac{2·e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}))
\end{pmatrix}</math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (0.5*exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2));
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Capturaeras.PNG|450px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T23:07:28Z

L.ldehoz: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|izquierda|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]] 
[[Archivo:Capturaera.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]] 
 
 
 
 
 
 
Obtenemos una temperatura máxima de 0.999912 ºC 
 
=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>. 
Observamos como es la gráfica de este campo vectorial en matlab:
{{matlab|codigo=
%Apartado 4

h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
hold on
mesh(x,y,0.*x);
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Campo vectorial
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
quiver(x,y,A,B)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de vectores')
hold off
}}
[[Archivo:Capturaafdfafa.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial]]

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Mediante la divergencia estudiamos el cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
La divergencia en cilíndricas se expresa tal que: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 
Calculamos la divergencia de nuestro campo: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]
La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
La divergencia mínima es de -1.35906 en el punto (-1.42186,1.40652) 
La divergencia máxima es de 1.35906 en el punto (1.42186,1.40652) 
La divergencia nula se da en el punto (0,1) 

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
En cilíndircas el rotacional se expresa como: 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>. 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de este campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación lo representamos: 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]
El máximo rotacional es de 2.03871 en el punto (0,2) 
El mínimo rotacional es de -1.22323 en el punto (1.78885,0.894427) 

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>{\sigma }_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>. 
Obtenemos un tensor de dreformaciones tal que: 
<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \ 0 \\
\frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})+\frac{2·e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}))
\end{pmatrix}</math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (0.5*exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2));
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Capturaeras.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Archivo:Capturaeras.PNG

2023-12-14T23:06:36Z

L.ldehoz: Tensión tangencial

Tensión tangencial

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T22:54:49Z

L.ldehoz: /* Tensor de deformaciones */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|izquierda|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]] 
[[Archivo:Capturaera.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]] 
 
 
 
 
 
 
Obtenemos una temperatura máxima de 0.999912 ºC 
 
=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>. 
Observamos como es la gráfica de este campo vectorial en matlab:
{{matlab|codigo=
%Apartado 4

h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
hold on
mesh(x,y,0.*x);
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Campo vectorial
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
quiver(x,y,A,B)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de vectores')
hold off
}}
[[Archivo:Capturaafdfafa.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial]]

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Mediante la divergencia estudiamos el cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
La divergencia en cilíndricas se expresa tal que: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 
Calculamos la divergencia de nuestro campo: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]
La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
La divergencia mínima es de -1.35906 en el punto (-1.42186,1.40652) 
La divergencia máxima es de 1.35906 en el punto (1.42186,1.40652) 
La divergencia nula se da en el punto (0,1) 

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
En cilíndircas el rotacional se expresa como: 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>. 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de este campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación lo representamos: 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]
El máximo rotacional es de 2.03871 en el punto (0,2) 
El mínimo rotacional es de -1.22323 en el punto (1.78885,0.894427) 

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>{\sigma }_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>. 
Obtenemos un tensor de dreformaciones tal que: 
<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \ 0 \\
\frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})+\frac{2·e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}))
\end{pmatrix}</math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (-exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2))./(2.*R);
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161437.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T22:53:55Z

L.ldehoz: /* Tensor de deformaciones */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|izquierda|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]] 
[[Archivo:Capturaera.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]] 
 
 
 
 
 
 
Obtenemos una temperatura máxima de 0.999912 ºC 
 
=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>. 
Observamos como es la gráfica de este campo vectorial en matlab:
{{matlab|codigo=
%Apartado 4

h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
hold on
mesh(x,y,0.*x);
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Campo vectorial
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
quiver(x,y,A,B)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de vectores')
hold off
}}
[[Archivo:Capturaafdfafa.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial]]

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Mediante la divergencia estudiamos el cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
La divergencia en cilíndricas se expresa tal que: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 
Calculamos la divergencia de nuestro campo: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]
La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
La divergencia mínima es de -1.35906 en el punto (-1.42186,1.40652) 
La divergencia máxima es de 1.35906 en el punto (1.42186,1.40652) 
La divergencia nula se da en el punto (0,1) 

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
En cilíndircas el rotacional se expresa como: 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>. 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de este campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación lo representamos: 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]
El máximo rotacional es de 2.03871 en el punto (0,2) 
El mínimo rotacional es de -1.22323 en el punto (1.78885,0.894427) 

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σij</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>. 
Obtenemos un tensor de dreformaciones tal que: 
<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \ 0 \\
\frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})+\frac{2·e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}))
\end{pmatrix}</math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (-exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2))./(2.*R);
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161437.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T22:53:39Z

L.ldehoz: /* Tensor de deformaciones */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|izquierda|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]] 
[[Archivo:Capturaera.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]] 
 
 
 
 
 
 
Obtenemos una temperatura máxima de 0.999912 ºC 
 
=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>. 
Observamos como es la gráfica de este campo vectorial en matlab:
{{matlab|codigo=
%Apartado 4

h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
hold on
mesh(x,y,0.*x);
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Campo vectorial
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
quiver(x,y,A,B)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de vectores')
hold off
}}
[[Archivo:Capturaafdfafa.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial]]

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Mediante la divergencia estudiamos el cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
La divergencia en cilíndricas se expresa tal que: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 
Calculamos la divergencia de nuestro campo: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]
La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
La divergencia mínima es de -1.35906 en el punto (-1.42186,1.40652) 
La divergencia máxima es de 1.35906 en el punto (1.42186,1.40652) 
La divergencia nula se da en el punto (0,1) 

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
En cilíndircas el rotacional se expresa como: 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>. 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de este campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación lo representamos: 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]
El máximo rotacional es de 2.03871 en el punto (0,2) 
El mínimo rotacional es de -1.22323 en el punto (1.78885,0.894427) 

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σij</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>. 
Obteneros un tensor de dreformaciones tal que: 
<math> σ = \begin{pmatrix}
\frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \ 0 \\
\frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})+\frac{2·e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}))
\end{pmatrix}</math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (-exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2))./(2.*R);
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161437.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T22:52:43Z

L.ldehoz: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|izquierda|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]] 
[[Archivo:Capturaera.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]] 
 
 
 
 
 
 
Obtenemos una temperatura máxima de 0.999912 ºC 
 
=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>. 
Observamos como es la gráfica de este campo vectorial en matlab:
{{matlab|codigo=
%Apartado 4

h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
hold on
mesh(x,y,0.*x);
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Campo vectorial
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
quiver(x,y,A,B)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de vectores')
hold off
}}
[[Archivo:Capturaafdfafa.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial]]

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Mediante la divergencia estudiamos el cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
La divergencia en cilíndricas se expresa tal que: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 
Calculamos la divergencia de nuestro campo: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]
La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
La divergencia mínima es de -1.35906 en el punto (-1.42186,1.40652) 
La divergencia máxima es de 1.35906 en el punto (1.42186,1.40652) 
La divergencia nula se da en el punto (0,1) 

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
En cilíndircas el rotacional se expresa como: 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>. 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de este campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación lo representamos: 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]
El máximo rotacional es de 2.03871 en el punto (0,2) 
El mínimo rotacional es de -1.22323 en el punto (1.78885,0.894427) 

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σij</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>. 
Obteneros un tensor de dreformaciones tal que: 
<math> ∇ = \begin{pmatrix}
\frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \ 0 \\
\frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})+\frac{2·e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}))
\end{pmatrix}</math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (-exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2))./(2.*R);
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161437.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T22:52:11Z

L.ldehoz: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|izquierda|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]] 
[[Archivo:Capturaera.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]] 
 
 
 
 
 
 
Obtenemos una temperatura máxima de 0.999912 ºC 
 
=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>. 
Observamos como es la gráfica de este campo vectorial en matlab:
{{matlab|codigo=
%Apartado 4

h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
hold on
mesh(x,y,0.*x);
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Campo vectorial
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
quiver(x,y,A,B)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de vectores')
hold off
}}
[[Archivo:Capturaafdfafa.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial]]

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Mediante la divergencia estudiamos el cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
La divergencia en cilíndricas se expresa tal que: 
<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ)] </math> 
Calculamos la divergencia de nuestro campo, tal que: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]
La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
La divergencia mínima es de -1.35906 en el punto (-1.42186,1.40652) 
La divergencia máxima es de 1.35906 en el punto (1.42186,1.40652) 
La divergencia nula se da en el punto (0,1) 

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
En cilíndircas el rotacional se expresa como: 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>. 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de este campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación lo representamos: 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]
El máximo rotacional es de 2.03871 en el punto (0,2) 
El mínimo rotacional es de -1.22323 en el punto (1.78885,0.894427) 

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σij</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>. 
Obteneros un tensor de dreformaciones tal que: 
<math> ∇ = \begin{pmatrix}
\frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \ 0 \\
\frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})+\frac{2·e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}))
\end{pmatrix}</math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (-exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2))./(2.*R);
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161437.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T22:48:38Z

L.ldehoz: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|izquierda|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]] 
[[Archivo:Capturaera.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]] 
 
 
 
 
 
 
Obtenemos una temperatura máxima de 0.999912 ºC 
 
=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>. 
Observamos como es la gráfica de este campo vectorial en matlab:
{{matlab|codigo=
%Apartado 4

h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
hold on
mesh(x,y,0.*x);
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Campo vectorial
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
quiver(x,y,A,B)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de vectores')
hold off
}}
[[Archivo:Capturaafdfafa.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial]]

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Estudio del cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
Calculamos la divergencia de nuestro campo, tal que: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]
La divergencia mínima es de -1.35906 en el punto (-1.42186,1.40652) 
La divergencia máxima es de 1.35906 en el punto (1.42186,1.40652) 
La divergencia nula se da en el punto (0,1) 

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
En cilíndircas el rotacional se expresa como: 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>. 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de este campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación lo representamos: 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]
El máximo rotacional es de 2.03871 en el punto (0,2) 
El mínimo rotacional es de -1.22323 en el punto (1.78885,0.894427) 

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σij</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>. 
Obteneros un tensor de dreformaciones tal que: 
<math> ∇ = \begin{pmatrix}
\frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \ 0 \\
\frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})+\frac{2·e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}))
\end{pmatrix}</math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (-exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2))./(2.*R);
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161437.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T22:48:06Z

L.ldehoz: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|izquierda|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]] 
[[Archivo:Capturaera.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]] 
 
 
 
 
 
 
Obtenemos una temperatura máxima de 0.999912 ºC 
 
=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>. 
Observamos como es la gráfica de este campo vectorial en matlab:
{{matlab|codigo=
%Apartado 4

h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
hold on
mesh(x,y,0.*x);
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Campo vectorial
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
quiver(x,y,A,B)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de vectores')
hold off
}}
[[Archivo:Capturaafdfafa.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial]]

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Estudio del cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
Calculamos la divergencia de nuestro campo, tal que: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]
La divergencia mínima es de -1.35906 en el punto (-1.42186,1.40652) 
La divergencia máxima es de 1.35906 en el punto (1.42186,1.40652) 
La divergencia nula se da en el punto (0,1) 

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
En cilíndircas el rotacional se expresa como: 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>. 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de este campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]
El máximo rotacional es de 2.03871 en el punto (0,2) 
El mínimo rotacional es de -1.22323 en el punto (1.78885,0.894427) 

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σij</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>. 
Obteneros un tensor de dreformaciones tal que: 
<math> ∇ = \begin{pmatrix}
\frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \ 0 \\
\frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})+\frac{2·e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}))
\end{pmatrix}</math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (-exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2))./(2.*R);
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161437.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T22:47:21Z

L.ldehoz: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|izquierda|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]] 
[[Archivo:Capturaera.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]] 
 
 
 
 
 
 
Obtenemos una temperatura máxima de 0.999912 ºC 
 
=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>. 
Observamos como es la gráfica de este campo vectorial en matlab:
{{matlab|codigo=
%Apartado 4

h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
hold on
mesh(x,y,0.*x);
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Campo vectorial
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
quiver(x,y,A,B)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de vectores')
hold off
}}
[[Archivo:Capturaafdfafa.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial]]

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Estudio del cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
Calculamos la divergencia de nuestro campo, tal que: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]
La divergencia mínima es de -1.35906 en el punto (-1.42186,1.40652) 
La divergencia máxima es de 1.35906 en el punto (1.42186,1.40652) 
La divergencia nula se da en el punto (0,1) 

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
En cilíndircas el rotacional se expresa como: 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de nuestro campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]
El máximo rotacional es de 2.03871 en el punto (0,2) 
El mínimo rotacional es de -1.22323 en el punto (1.78885,0.894427) 

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σij</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>. 
Obteneros un tensor de dreformaciones tal que: 
<math> ∇ = \begin{pmatrix}
\frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \ 0 \\
\frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})+\frac{2·e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}))
\end{pmatrix}</math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (-exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2))./(2.*R);
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161437.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T22:46:22Z

L.ldehoz: /* Tensor de deformaciones */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|izquierda|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]] 
[[Archivo:Capturaera.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]] 
 
 
 
 
 
 
Obtenemos una temperatura máxima de 0.999912 ºC 
 
=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>. 
Observamos como es la gráfica de este campo vectorial en matlab:
{{matlab|codigo=
%Apartado 4

h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
hold on
mesh(x,y,0.*x);
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Campo vectorial
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
quiver(x,y,A,B)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de vectores')
hold off
}}
[[Archivo:Capturaafdfafa.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial]]

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Estudio del cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
Calculamos la divergencia de nuestro campo, tal que: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]
La divergencia mínima es de -1.35906 en el punto (-1.42186,1.40652) 
La divergencia máxima es de 1.35906 en el punto (1.42186,1.40652) 
La divergencia nula se da en el punto (0,1) 

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de nuestro campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]
El máximo rotacional es de 2.03871 en el punto (0,2) 
El mínimo rotacional es de -1.22323 en el punto (1.78885,0.894427) 

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σij</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>. 
Obteneros un tensor de dreformaciones tal que: 
<math> ∇ = \begin{pmatrix}
\frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}) & \frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \ 0 \\
\frac{-e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2})}{2ρ} & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})+\frac{2·e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2})}{ρ} & \ 0 \\
\ 0 &\ 0 & \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ-\frac{π}{2}))
\end{pmatrix}</math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (-exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2))./(2.*R);
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161437.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T22:22:59Z

L.ldehoz: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|izquierda|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]] 
[[Archivo:Capturaera.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]] 
 
 
 
 
 
 
Obtenemos una temperatura máxima de 0.999912 ºC 
 
=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>. 
Observamos como es la gráfica de este campo vectorial en matlab:
{{matlab|codigo=
%Apartado 4

h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
hold on
mesh(x,y,0.*x);
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Campo vectorial
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
quiver(x,y,A,B)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de vectores')
hold off
}}
[[Archivo:Capturaafdfafa.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial]]

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Estudio del cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
Calculamos la divergencia de nuestro campo, tal que: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]
La divergencia mínima es de -1.35906 en el punto (-1.42186,1.40652) 
La divergencia máxima es de 1.35906 en el punto (1.42186,1.40652) 
La divergencia nula se da en el punto (0,1) 

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de nuestro campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]
El máximo rotacional es de 2.03871 en el punto (0,2) 
El mínimo rotacional es de -1.22323 en el punto (1.78885,0.894427) 

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σij</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.
{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (-exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2))./(2.*R);
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161437.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T22:22:34Z

L.ldehoz: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|izquierda|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]] 
[[Archivo:Capturaera.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]] 
 
 
 
 
 
 
Obtenemos una temperatura máxima de 0.999912 ºC 
 
=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>. 
Observamos como es la gráfica de este campo vectorial en matlab:
{{matlab|codigo=
%Apartado 4

h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
hold on
mesh(x,y,0.*x);
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Campo vectorial
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
quiver(x,y,A,B)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de vectores')
hold off
}}
[[Archivo:Capturaafdfafa.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial]]

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Estudio del cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
Calculamos la divergencia de nuestro campo, tal que: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]
La divergencia mínima es de -1.35906 en el punto (-1.42186,1.40652) 
La divergencia máxima es de 1.35906 en el punto (1.42186,1.40652) 
La divergencia nula se da en el punto (0,1) 

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de nuestro campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]
El máximo rotacional es de 2.03871 en el punto (0,2)
El mínimo rotacional es de -1.22323 en el punto (1.78885,0.894427)
== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σij</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.
{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (-exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2))./(2.*R);
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161437.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T22:21:28Z

L.ldehoz:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|izquierda|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]] 
[[Archivo:Capturaera.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]] 
 
 
 
 
 
 
Obtenemos una temperatura máxima de 0.999912 ºC 
 
=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>. 
Observamos como es la gráfica de este campo vectorial en matlab:
{{matlab|codigo=
%Apartado 4

h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
hold on
mesh(x,y,0.*x);
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Campo vectorial
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
quiver(x,y,A,B)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de vectores')
hold off
}}
[[Archivo:Capturaafdfafa.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial]]

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Estudio del cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
Calculamos la divergencia de nuestro campo, tal que: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]
La divergencia mínima es de -1.35906 en el punto (-1.42186,1.40652)
La divergencia máxima es de 1.35906 en el punto (1.42186,1.40652)
La divergencia nula se da en el punto (0,1)

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de nuestro campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]
El máximo rotacional es de 2.03871 en el punto (0,2)
El mínimo rotacional es de -1.22323 en el punto (1.78885,0.894427)
== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σij</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.
{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (-exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2))./(2.*R);
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161437.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T22:00:40Z

L.ldehoz:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|izquierda|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]] 
[[Archivo:Capturaera.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]] 
Obtenemos una temperatura máxima de 0.999912 ºC 
 
 
 
 
=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>. 
Observamos como es la gráfica de este campo vectorial en matlab:
{{matlab|codigo=
%Apartado 4

h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
hold on
mesh(x,y,0.*x);
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Campo vectorial
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
quiver(x,y,A,B)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de vectores')
hold off
}}
[[Archivo:Capturaafdfafa.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial]]

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Estudio del cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
Calculamos la divergencia de nuestro campo, tal que: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de nuestro campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σij</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.
{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (-exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2))./(2.*R);
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161437.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T21:59:54Z

L.ldehoz:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|izquierda|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]] 
[[Archivo:Capturaera.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]] 
Obtenemos una temperatura máxima de 0.999912 ºC 
 
=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>. 
Observamos como es la gráfica de este campo vectorial en matlab:
{{matlab|codigo=
%Apartado 4

h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
hold on
mesh(x,y,0.*x);
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Campo vectorial
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
quiver(x,y,A,B)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de vectores')
hold off
}}
[[Archivo:Capturaafdfafa.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial]]

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Estudio del cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
Calculamos la divergencia de nuestro campo, tal que: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de nuestro campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σij</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.
{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (-exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2))./(2.*R);
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161437.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T21:59:06Z

L.ldehoz: /* Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|izquierda|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]]
[[Archivo:Capturaera.PNG|800px|miniaturadeimagen|derecha|Punto objeto]]
Obtenemos una temperatura máxima de 0.999912 ºC
=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>. 
Observamos como es la gráfica de este campo vectorial en matlab:
{{matlab|codigo=
%Apartado 4

h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
hold on
mesh(x,y,0.*x);
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Campo vectorial
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
quiver(x,y,A,B)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de vectores')
hold off
}}
[[Archivo:Capturaafdfafa.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial]]

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Estudio del cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
Calculamos la divergencia de nuestro campo, tal que: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de nuestro campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σij</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.
{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (-exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2))./(2.*R);
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161437.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T21:58:28Z

L.ldehoz:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]]
[[Archivo:Capturaera.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]]
Obtenemos una temperatura máxima de 0.999912 ºC
=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>. 
Observamos como es la gráfica de este campo vectorial en matlab:
{{matlab|codigo=
%Apartado 4

h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
hold on
mesh(x,y,0.*x);
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Campo vectorial
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
quiver(x,y,A,B)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de vectores')
hold off
}}
[[Archivo:Capturaafdfafa.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial]]

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Estudio del cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
Calculamos la divergencia de nuestro campo, tal que: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de nuestro campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σij</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.
{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (-exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2))./(2.*R);
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161437.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Archivo:Capturaera.PNG

2023-12-14T21:56:47Z

L.ldehoz: Punto objeto

Punto objeto

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T21:50:26Z

L.ldehoz: /* Campo de vectores en el mallado del sólido */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]]
Obtenemos una temperatura máxima de 0.9999 ºC en el punto (1.7889,2)

=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>.
Observamos como es la gráfica de este campo vectorial en matlab:
{{matlab|codigo=
%Apartado 4

h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
hold on
mesh(x,y,0.*x);
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Campo vectorial
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
quiver(x,y,A,B)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de vectores')
hold off
}}
[[Archivo:Capturaafdfafa.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial]]

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Estudio del cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
Calculamos la divergencia de nuestro campo, tal que: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de nuestro campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σij</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.
{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (-exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2))./(2.*R);
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161437.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T21:50:09Z

L.ldehoz: /* Campo de vectores en el mallado del sólido */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]]
Obtenemos una temperatura máxima de 0.9999 ºC en el punto (1.7889,2)

=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>.
Observamos como es la gráfica de este campo vectorial en matlab:
{{matlab|codigo=
%Apartado 4

h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
hold on
mesh(x,y,0.*x);
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Campo de vectores
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
quiver(x,y,A,B)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de vectores')
hold off
}}
[[Archivo:Capturaafdfafa.PNG|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial]]
[[Archivo:Capturaer.PNG|450px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial]]

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Estudio del cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
Calculamos la divergencia de nuestro campo, tal que: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de nuestro campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σij</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.
{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (-exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2))./(2.*R);
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161437.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T21:49:44Z

L.ldehoz: /* Campo de vectores en el mallado del sólido */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]]
Obtenemos una temperatura máxima de 0.9999 ºC en el punto (1.7889,2)

=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>.
Observamos como es la gráfica de este campo vectorial en matlab:
{{matlab|codigo=
%Apartado 4

h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
hold on
mesh(x,y,0.*x);
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Campo de vectores
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
quiver(x,y,A,B)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de vectores')
hold off
}}
[[Archivo:Capturaafdfafa.PNG|450px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial]]
[[Archivo:Capturaer.PNG|450px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial]]

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Estudio del cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
Calculamos la divergencia de nuestro campo, tal que: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de nuestro campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σij</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.
{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (-exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2))./(2.*R);
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161437.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Archivo:Capturaer.PNG

2023-12-14T21:49:07Z

L.ldehoz: Campo vectorial

Campo vectorial

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T21:47:51Z

L.ldehoz: /* Campo de vectores en el mallado del sólido */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]]
Obtenemos una temperatura máxima de 0.9999 ºC en el punto (1.7889,2)

=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>.
Observamos como es la gráfica de este campo vectorial en matlab:
{{matlab|codigo=
%Apartado 4

h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
hold on
mesh(x,y,0.*x);
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Campo de vectores
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
quiver(x,y,A,B)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de vectores')
hold off
}}
[[Archivo:Capturaafdfafa.PNG|450px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial]]

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Estudio del cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
Calculamos la divergencia de nuestro campo, tal que: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de nuestro campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σij</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.
{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (-exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2))./(2.*R);
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161437.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Archivo:Capturaafdfafa.PNG

2023-12-14T21:47:00Z

L.ldehoz: Campo vectorial

Campo vectorial

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T21:34:37Z

L.ldehoz: /* Campo de vectores en el mallado del sólido */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]]
Obtenemos una temperatura máxima de 0.9999 ºC en el punto (1.7889,2)

=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>.
Observamos como es la gráfica de este campo vectorial en matlab:

h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Estudio del cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
Calculamos la divergencia de nuestro campo, tal que: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de nuestro campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σij</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.
{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (-exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2))./(2.*R);
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161437.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T21:32:41Z

L.ldehoz: /* Campo de vectores en el mallado del sólido */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]]
Obtenemos una temperatura máxima de 0.9999 ºC en el punto (1.7889,2)

=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>.
Observamos como es la gráfica de este campo vectorial en matlab:

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Estudio del cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
Calculamos la divergencia de nuestro campo, tal que: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de nuestro campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σij</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.
{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (-exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2))./(2.*R);
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161437.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T21:32:19Z

L.ldehoz: /* Campo de vectores en el mallado del sólido */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]]
Obtenemos una temperatura máxima de 0.9999 ºC en el punto (1.7889,2)

=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>.
Observamos como es la gráfica de este campo en matlab:

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Estudio del cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
Calculamos la divergencia de nuestro campo, tal que: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de nuestro campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σij</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.
{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (-exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2))./(2.*R);
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161437.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T21:29:59Z

L.ldehoz: /* Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]]
Obtenemos una temperatura máxima de 0.9999 ºC en el punto (1.7889,2)

=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>.

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Estudio del cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
Calculamos la divergencia de nuestro campo, tal que: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de nuestro campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σij</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.
{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (-exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2))./(2.*R);
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161437.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T19:04:53Z

L.ldehoz: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
Maximoy = max(max(y)) %2
Maximox = max(max(x)) %1.7889
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]]
Obtenemos una temperatura máxima de 0.9999 ºC en el punto (1.7889,2)

=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>.

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Estudio del cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
Calculamos la divergencia de nuestro campo, tal que: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de nuestro campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σij</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.
{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es: <math>\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sin(2θ-\frac{π}{2})</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (-exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2))./(2.*R);
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161437.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T19:03:54Z

L.ldehoz: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
Maximoy = max(max(y)) %2
Maximox = max(max(x)) %1.7889
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]]
Obtenemos una temperatura máxima de 0.9999 ºC en el punto (1.7889,2)

=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>.

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Estudio del cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
Calculamos la divergencia de nuestro campo, tal que: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de nuestro campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σij</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.
{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==
La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 
Así, el tensor de tensiones tangenciales particularizado es:
{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (-exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2))./(2.*R);
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161437.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T19:00:08Z

L.ldehoz: /* Campo de fuerzas */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
Maximoy = max(max(y)) %2
Maximox = max(max(x)) %1.7889
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]]
Obtenemos una temperatura máxima de 0.9999 ºC en el punto (1.7889,2)

=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>.

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Estudio del cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
Calculamos la divergencia de nuestro campo, tal que: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de nuestro campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σij</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.
{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==

{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (-exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2))./(2.*R);
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161437.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T18:59:34Z

L.ldehoz: /* Campo de vectores en el mallado del sólido */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
Maximoy = max(max(y)) %2
Maximox = max(max(x)) %1.7889
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]]
Obtenemos una temperatura máxima de 0.9999 ºC en el punto (1.7889,2)

=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>.

== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Estudio del cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
Calculamos la divergencia de nuestro campo, tal que: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de nuestro campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σij</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.
{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==

{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (-exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2))./(2.*R);
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161437.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

{{matlab|codigo=
%Apartado 11

h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

i = (exp(R-1) .* cos(2.*T -pi/2)) .* (1./R - 1./R.^2); %Fórmulas de la Fuerza en i, j
j = (exp(R-1) .* sin(2.*T -pi/2)) .* (-1./(2.* R) - 2./R.^2 - 4./R.^2);

hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,i,j)
axis ([-2,2,-0,3])
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 162229.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de fuerzas]]

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T18:53:50Z

L.ldehoz: /* Tensor de deformaciones */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
Maximoy = max(max(y)) %2
Maximox = max(max(x)) %1.7889
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]]
Obtenemos una temperatura máxima de 0.9999 ºC en el punto (1.7889,2)

=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>.

Aún así hemos graficado el campo de fuerzas asociado a este.
{{matlab|codigo=
%Apartado 4

h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

i = (exp(R-1) .* cos(2.*T -pi/2)) .* (1./R - 1./R.^2); %Fórmulas de la Fuerza en i, j
j = (exp(R-1) .* sin(2.*T -pi/2)) .* (-1./(2.* R) - 2./R.^2 - 4./R.^2);

hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,i,j)
axis ([-2,2,-0,3])
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 162229.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de fuerzas]]
== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Estudio del cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
Calculamos la divergencia de nuestro campo, tal que: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de nuestro campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]

== Tensor de deformaciones ==
Tomamos <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σij</math> a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.
{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==

{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (-exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2))./(2.*R);
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161437.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

{{matlab|codigo=
%Apartado 11

h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

i = (exp(R-1) .* cos(2.*T -pi/2)) .* (1./R - 1./R.^2); %Fórmulas de la Fuerza en i, j
j = (exp(R-1) .* sin(2.*T -pi/2)) .* (-1./(2.* R) - 2./R.^2 - 4./R.^2);

hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,i,j)
axis ([-2,2,-0,3])
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 162229.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de fuerzas]]

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T18:48:48Z

L.ldehoz:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
Maximoy = max(max(y)) %2
Maximox = max(max(x)) %1.7889
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]]
Obtenemos una temperatura máxima de 0.9999 ºC en el punto (1.7889,2)

=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>.

Aún así hemos graficado el campo de fuerzas asociado a este.
{{matlab|codigo=
%Apartado 4

h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

i = (exp(R-1) .* cos(2.*T -pi/2)) .* (1./R - 1./R.^2); %Fórmulas de la Fuerza en i, j
j = (exp(R-1) .* sin(2.*T -pi/2)) .* (-1./(2.* R) - 2./R.^2 - 4./R.^2);

hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,i,j)
axis ([-2,2,-0,3])
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 162229.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de fuerzas]]
== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
Analizamos el desplazamiento producido por el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\) en el cuarto de anillo, y comparamos ambas graficas para poder observarlo bien. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Estudio del cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
Calculamos la divergencia de nuestro campo, tal que: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de nuestro campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]

== Tensor de deformaciones ==

{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==

{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (-exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2))./(2.*R);
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161437.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

{{matlab|codigo=
%Apartado 11

h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

i = (exp(R-1) .* cos(2.*T -pi/2)) .* (1./R - 1./R.^2); %Fórmulas de la Fuerza en i, j
j = (exp(R-1) .* sin(2.*T -pi/2)) .* (-1./(2.* R) - 2./R.^2 - 4./R.^2);

hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,i,j)
axis ([-2,2,-0,3])
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 162229.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de fuerzas]]

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5)

2023-12-14T18:42:16Z

L.ldehoz: /* Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. (Grupo 5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Laura León de Hoz Julia García Pérez Álvaro Sedano Hueso Eduardo Serrano Icarán Jaime Navalón Gómez }}
Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano \(y≥|x|/2\). En esta placa tendremos definidas dos cantidades físicas: 
* La temperatura <math> T(x,y) </math>, que en nuestro caso depende tanto de la variable espacial y como de la variable x. <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>. 
* Los desplazamientos <math>\overrightarrow { u } (x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada, tal que: 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
A continuación, estudiaremos el efecto que producen ambas cantidades físicas sobre la placa y las tensiones que éstas generan. 
== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Las condiciones que debe cumplir el anillo representado son:
* El radio debe estar contenido entre 1 y 2
* El anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|/2\)
* Los ejes en el cuadrado son: \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\)
* El paso de muestreo empleado es <math>h=\frac{2}{10}</math> en las variables x e y que permitirá representar exactamente la placa en el espacio 2-D.
En coordenadas cilíndricas obtenemos: <math>(ρ,θ)</math> ∈ [1,2]×[arctg(1/2),<math>\pi</math>-arctg(1/2)]

{{matlab|codigo=
%Apartado 1

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Visualicizacion del mallado
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title ('Mallado')
axis equal
view(2)
}}
[[Archivo:Captura_de_pantalla_2023-12-14_151744.png|450px|miniaturadeimagen|centro|Mallado de la placa]]

== Curvas de nivel de la temperatura y gradiente de temperatura ==
=== Curvas de nivel de la temperatura ===
La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: <math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>
{{matlab|codigo=
%Apartado 2.1
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);

%Temperatura
x = R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y = R.*sin(T);
T = cos((y-3).^2+x); %Función de temperaturas

%Representación el campo escalar de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

Maximo = max(max(T)) %0.9999
Maximoy = max(max(y)) %2
Maximox = max(max(x)) %1.7889
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 153210.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo escalar de temperaturas y curvas de nivel]]
Obtenemos una temperatura máxima de 0.9999 ºC en el punto (1.7889,2)

=== Gradiente de temperatura ===
Al tener las curvas de nivel de nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma, <math>∇T</math>. 

La fórmula general del cálculo de <math>∇T</math> en coordenadas cartesianas: 
<math>\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } </math>. 
Particularizándolo a nuestra temperatura:
<math> ∇T=-sin((y-3)^2+x)\vec i-(2y-6)·sin((y-3)^2+x)\vec j </math> 

{{matlab|codigo=
%Apartado 2.2

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = -sin((y-3).^2 + x);
Ty = -sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-50-29.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]

Como podemos observar el <math>∇T</math> es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

== Ley de Fourier y energía calorífica ==

La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Tal que k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-∇T</math></center>
{{matlab|codigo=
%Apartado 3

%Mallado
%Gradiente
h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x= R.*cos(T); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y= R.*sin(T);

%Función de temperatura
T = cos((y-3).^2+x);
Tx = sin((y-3).^2 + x);
Ty = sin((y-3).^2 + x).*(2*y-6)

%Representación del gradiente en 3D
figure(1)
subplot(1,2,1) %Graficación en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,Tx,Ty,0*T)
view([75 25])
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Energía calorífica 3D')
hold off

%Representacion del gradiente en 2D
subplot(1,2,2)
mesh(x,y,0*x);
contour(x,y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Energía calorífica en 2D');
hold off
}}
[[Archivo:PHOTO-2023-12-14-18-51-57.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente en 2D y 3D]]
== Campo de vectores en el mallado del sólido ==
Este apartado no es objeto del trabajo al ser dato el campo <math>\vec u</math>.

Aún así hemos graficado el campo de fuerzas asociado a este.
{{matlab|codigo=
%Apartado 4

h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

i = (exp(R-1) .* cos(2.*T -pi/2)) .* (1./R - 1./R.^2); %Fórmulas de la Fuerza en i, j
j = (exp(R-1) .* sin(2.*T -pi/2)) .* (-1./(2.* R) - 2./R.^2 - 4./R.^2);

hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,i,j)
axis ([-2,2,-0,3])
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 162229.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de fuerzas]]
== Desplazamiento del sólido debido al campo de vectores ==
El desplazamiento producido por el campo
{{matlab|codigo=
%Apartado 5

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

% Situación inicial
subplot(2,2,1)
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('NO DESPLAZADA')

% Situación final
subplot(2,2,2)
A = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* cos(T); %Cambio a cartesianas
B = (1/2) .* exp(R-1) .* sin(2.*T-(pi/2)) .* sin(T);
X = x+A;
Y = y+B;
surf(X,Y,Y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('DESPLAZADA')

% Comparación de las 2 situaciones
subplot(2,2,3)
surf(X,Y,Y*0);
hold on
surf(x,y,y*0);
axis([-3,3,-1,4]);
view(2)
title('COMPARACIÓN')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155002.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Desplazamiento debido al campo de vectores]]

== Divergencia ==
Estudio del cambio de volumen local provocado por el campo de desplazamientos. Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\).

La divergencia (∇·<math>\overrightarrow {u})</math> nos permite conocer en que puntos la sección se comprime (tonos fríos) y en cuales se expande (tonos cálidos). 
Calculamos la divergencia de nuestro campo, tal que: <math> \nabla\cdot\vec u= \frac{1}{ρ}e^{ρ-1}·cos(2θ- \frac{π}{2}) </math>
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 6

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Divergencia
div = (exp(R -1) .* cos(2.*T-pi/2)) ./ R;
subplot(1,2,1)

%Gráfica 2D
surf(x,y,div)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Gráfica 3D
subplot(1,2,2)
view(2)
surf(x,y,div)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

% Encontrar el máximo, mínimo y nulo de la divergencia
Maximo_div = max(max(div)) %1.3591
Minimo_div = min(min(div)) %-1.3591
Nulo_div = find(div == 0)
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 155608.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Divergencia en 2D y 3D]]

== Rotacional ==
El rotacional representa el giro de la superficie cuando aplicamos el campo de desplazamientos <math>\overrightarrow { u }</math> 
Tomaremos el campo <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>\(\vec e_θ\). 
Calculamos el rotacional de nuestro campo, tal que: <math> \nabla×\vec u = [(\frac{1}{2}e^{ρ-1}·sen(2θ-\frac{π}{2}))·(1+ \frac{1}{ρ})] \vec e_z </math> 
y a continuación la representamos. 
{{matlab|codigo=
%Apartado 7

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T]=meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Rotacional
rot = (0.5 * exp(R -1) .* sin(2.*T - pi/2)) .* (1./R + 1);

%Representación en 2D
subplot(1,2,1)
surf(x,y,rot)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(x,y,rot)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161207.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional en 2D y 3D]]

== Tensor de deformaciones ==

{{matlab|codigo=
%Apartado 8

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x);

%Definimos la matriz
a = (exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2)) ./R; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = (-exp(R - 1) .* sin(2.*T - pi./2)) ./ 2.*R; %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = (2 .*(exp(R - 1) .* cos(2.*T - pi./2))) ./ R;
d = a+c %Elemento (2,2) de la matriz

%Representación 2D
%Tensión normal en e_rho
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

%Representación 3D
%Tensión normal en e_rho
figure
subplot(1,3,1)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')

%Tensión normal en e_theta
subplot(1,3,2)
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')

%Tensión normal en e_z
subplot(1,3,3)
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 163135.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 2D]]
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161353.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión normal 3D]]

== Tensiones tangenciales ==

{{matlab|codigo=
%Apartado 9

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);
m = mesh(x,y,0.*x);

%Cambio a coordenadas cilíndricas
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

%Función de la tensión tangencial
tang = (-exp(R-1).*sin(2.*T-pi/2))./(2.*R);
tantan = 0;

%Eliminamos los ceros
for i=1:15
for j=1:6
ii= tang(i,j);
if ii~=0
tantan(i,j)=[tang(i,j)];
end
end
end

%Representación en 2D
hold on
subplot(2,1,1)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')

%Representación en 3D
subplot(2,1,2)
surf(x,y,tantan)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161437.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Tensión tangencial]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define como:
<math>{ \sigma }_{ VM }=\sqrt { \frac { { \left( { \sigma }_{ 1 }-{ \sigma }_{ 2 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 2 }-{ \sigma }_{ 3 } \right) }^{ 2 }+{ \left( { \sigma }_{ 3 }-{ \sigma }_{ 1 } \right) }^{ 2 } }{ 2 } } </math>.
Sabemos que <math>{ \sigma }_{ 1 } ,{ \sigma }_{ 2 }, { \sigma }_{ 3 }</math> son las tensiones principales, conocidas como los autovalores de <math>\sigma</math>. 
La tensión de von Mises es una magnitud escalar que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico.
{{matlab|codigo=
%Aprtado 10

%Mallado
h = 2/10;
rho = 1:h:2;
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha);
LR = length(rho);
LT = length(thetha);
X = R.*cos(T); % Cambio a coordenadas cilíndricas
Y = R.*sin(T);

%Componentes de nuestra matriz
a = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b = @(R,T) (1/2).*exp(R-1).*sin(2.*T-(pi/2)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c = @(R,T) 3.*(1./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2)); %Elemento (2,2) de la matriz
sig=[];

%Autovalores
for i=1:LT
for j=1:LR
A = a(R(i,j),T(i,j));
B = b(R(i,j),T(i,j));
C = c(R(i,j),T(i,j));
sig = [A,B,0;B,C,0;0,0,A];
autovalores = eig(sig);
V = sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
W(i,j) = V;
end
end

%Tensión de Von Mises
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,W);
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
shading interp
%Máximo tensión de Von Mises
Maximo = max(max(W))

%El maximo es 3.3291
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 161517.png|750px|miniaturadeimagen|izquierda|Tensión de Von Mises]]
[[Archivo:Maximos apartado 10 .png|450px|miniaturadeimagen|centro|Punto objeto]]

== Campo de fuerzas ==

{{matlab|codigo=
%Apartado 11

h = 2/10; %Paso de Muestreo
rho = 1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
thetha = linspace(atan(1/2),pi-atan(1/2),pi/h);
[R,T] = meshgrid(rho,thetha); %Creación del mallado
x = R.*cos(T);
y = R.*sin(T);

i = (exp(R-1) .* cos(2.*T -pi/2)) .* (1./R - 1./R.^2); %Fórmulas de la Fuerza en i, j
j = (exp(R-1) .* sin(2.*T -pi/2)) .* (-1./(2.* R) - 2./R.^2 - 4./R.^2);

hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,i,j)
axis ([-2,2,-0,3])
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}
[[Archivo:Captura de pantalla 2023-12-14 162229.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Campo de fuerzas]]

== Módulo del desplazamiento transversal ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]