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Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-14T08:13:04Z

Julián Lavandero: /* Rotacional y divergencia */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Iniciaremos el estudio realizando un mallado.

=Mallado=
Vamos a comenzar dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido. Este será el exterior del círculo unidad. Para la realización de este tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y, centro, el origen. Para ilustrar que el fluido ocupa la parte exterior de un círculo, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=\left ( 1-\frac{1}{\rho^2} \right )\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho\left [ \sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2 \right ]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
[[Archivo:Zoom campo de velocidades.jpg|Campo de velocidades (Zoom)]]

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operador que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, el rotacional al ser nulo implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Comenzamos calculando el vector <math>\vec{v}</math>

<math>\overrightarrow{v}=\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{u}=\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_\rho }& \overrightarrow{e_\theta } & \overrightarrow{e_z}\\
0& 0& 1\\
\cos \left ( \theta \right )\left [ 1-\frac{1}{\rho ^2} \right ] & \frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right )+\sqrt{2}\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\left ( \frac{1}{\rho } \sin \left ( \theta \right ) \left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right )-\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right )\overrightarrow{e_\rho }+\cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\overrightarrow{e_\theta }</math>

Resolvemos por tanto las siguientes ecuaciones:

<math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

<math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi }{\partial \theta }=V_\theta </math>

<math>\frac{\partial \psi }{\partial z }=V_z</math>

Finalmente, obtenemos la línea de corriente cuyo valor es:

<math> \psi= sin (\theta)\cdot(\rho-\frac{1}{\rho}) - \sqrt 2 \cdot \ln \rho </math>

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido. Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de superior se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

En las imágenes inferiores se pueden observar las líneas de corriente de <math> \vec u </math>, las flechas naranjas representan el gradiente de <math> \varphi </math>, que a su vez es tangente a las líneas de corriente, y las flechas azules representan el gradiente de <math> \psi </math>, que a su vez es tangente a las curvas equipotenciales de <math> \varphi </math>.

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente.jpg|Líneas de corriente]]

Zoom de la gráfica superior

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
hold on
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,15); %Dibujamos las líneas de corriente

%dibujamos el campo de velocidades (gradiente de psi)

CX=(1+(1./U^2)).*cos(V).*sin(V) - (sqrt(2)./U).*cos(V) - (1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V);
CY=(1+(1./U^2)).*sin(V).^2 -(sqrt(2)./U).*sin(V) + (1-(1./U.^2)).*cos(V).^2;

quiver(X,Y,CX,CY);

%Dibujamos el campo de velocidades ( gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad en S.jpg|thumb|right|Representación de como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

[[Archivo:PresionBorde.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(2.*sin(tt)+sqrt(2)).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa. En el gráfico se ha rotado media vuelta los valores de la presión para mejor visualización.

[[Archivo:Presionyvelocidad.jpg|thumb|right|Módulo de la velocidad (azul) y presión desplazada media vuelta (naranja) en la frontera del obstáculo]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) + sqrt(2);
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)+sqrt(2)).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

B=valor del trinomio de Bernoulli

p= presión

z= altura

v=velocidad que lleva el fluido en determinado punto

g=valor de la gravedad

γ=valor del peso específico

<math> B=z+p/γ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ </math>

Al ser una integral, es lineal por lo que se puede descomponer en suma de varias integrales.

<math> \int_{0}^{2π} 10cosθdθ - \int_{0}^{2π} 2cosθdθ - \int_{0}^{2π} 4sen{^2}θcosθdθ + \int_{0}^{2π} 4\sqrt{2}senθcosθdθ </math>

Todas provienen de primitivas del seno y al estar acotadas de 0 a 2π,

<math> \int_{0}^{2π} 10cosθdθ - \int_{0}^{2π} 2cosθdθ - \int_{0}^{2π} 4sen{^2}θcosθdθ + \int_{0}^{2π} 4\sqrt{2}senθcosθdθ = 0 </math>

Esto es lo que se conoce como la paradoja de D’Alembert.

=Curvas de nivel=

Las curvas de nivel muestran un mínimo absoluto en el punto en coordenadas cilindricas (1, 3π/2, 0), y tres máximos en los puntos (1, π/4, 0), (1, 3π/4, 0) y en un punto por encima del obstáculo. Basándonos únicamente en las lineas de nivel resulta muy difícil hallar cuales de ellos son máximos absolutos y cuales máximos locales. Con un análisis más general, vemos que las presiones en la zona superior son mayores a las que se dan en la parte inferior.

[[Archivo:Curvaspresion.jpg|thumb|right|Curvas de nivel de la presión]]

{{matlab|codigo=

tt=0:pi/30:2*pi
rho=1:0.1:2
[R,T]=meshgrid(rho,tt)
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
p=10-((R.^2-1).^2./R.^4.*(cos(T)).^2+1./R.^2.*(sqrt(2)-sin(T).*((R.^2+1)./R.^2)).^2);
contour(X,Y,p,500)
axis equal
xlabel('EjeX')
ylabel('EjeY')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-14T06:44:03Z

Julián Lavandero: /* Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Iniciaremos el estudio realizando un mallado.

=Mallado=
Vamos a comenzar dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido. Este será el exterior del círculo unidad. Para la realización de este tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y, centro, el origen. Para ilustrar que el fluido ocupa la parte exterior de un círculo, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=\left ( 1-\frac{1}{\rho^2} \right )\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho\left [ \sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2 \right ]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
[[Archivo:Zoom campo de velocidades.jpg|Campo de velocidades (Zoom)]]

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, el rotacional al ser nulo implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Comenzamos calculando el vector <math>\vec{v}</math>

<math>\overrightarrow{v}=\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{u}=\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_\rho }& \overrightarrow{e_\theta } & \overrightarrow{e_z}\\
0& 0& 1\\
\cos \left ( \theta \right )\left [ 1-\frac{1}{\rho ^2} \right ] & \frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right )+\sqrt{2}\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\left ( \frac{1}{\rho } \sin \left ( \theta \right ) \left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right )-\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right )\overrightarrow{e_\rho }+\cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\overrightarrow{e_\theta }</math>

Resolvemos por tanto las siguientes ecuaciones:

<math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

<math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi }{\partial \theta }=V_\theta </math>

<math>\frac{\partial \psi }{\partial z }=V_z</math>

Finalmente, obtenemos la línea de corriente cuyo valor es:

<math> \psi= sin (\theta)\cdot(\rho-\frac{1}{\rho}) - \sqrt 2 \cdot \ln \rho </math>

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido. Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de superior se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

En las imágenes inferiores se pueden observar las líneas de corriente de <math> \vec u </math>, las flechas naranjas representan el gradiente de <math> \varphi </math>, que a su vez es tangente a las líneas de corriente, y las flechas azules representan el gradiente de <math> \psi </math>, que a su vez es tangente a las curvas equipotenciales de <math> \varphi </math>.

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente.jpg|Líneas de corriente]]

Zoom de la gráfica superior

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
hold on
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,15); %Dibujamos las líneas de corriente

%dibujamos el campo de velocidades (gradiente de psi)

CX=(1+(1./U^2)).*cos(V).*sin(V) - (sqrt(2)./U).*cos(V) - (1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V);
CY=(1+(1./U^2)).*sin(V).^2 -(sqrt(2)./U).*sin(V) + (1-(1./U.^2)).*cos(V).^2;

quiver(X,Y,CX,CY);

%Dibujamos el campo de velocidades ( gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad en S.jpg|thumb|right|Representación de como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

[[Archivo:PresionBorde.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(2.*sin(tt)+sqrt(2)).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa. En el gráfico se ha rotado media vuelta los valores de la presión para mejor visualización.

[[Archivo:Presionyvelocidad.jpg|thumb|right|Módulo de la velocidad (azul) y presión desplazada media vuelta (naranja) en la frontera del obstáculo]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) + sqrt(2);
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)+sqrt(2)).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

B=valor del trinomio de Bernoulli

p= presión

z= altura

v=velocidad que lleva el fluido en determinado punto

g=valor de la gravedad

γ=valor del peso específico

<math> B=z+p/γ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ </math>

Al ser una integral, es lineal por lo que se puede descomponer en suma de varias integrales.

<math> \int_{0}^{2π} 10cosθdθ - \int_{0}^{2π} 2cosθdθ - \int_{0}^{2π} 4sen{^2}θcosθdθ + \int_{0}^{2π} 4\sqrt{2}senθcosθdθ </math>

Todas provienen de primitivas del seno y al estar acotadas de 0 a 2π,

<math> \int_{0}^{2π} 10cosθdθ - \int_{0}^{2π} 2cosθdθ - \int_{0}^{2π} 4sen{^2}θcosθdθ + \int_{0}^{2π} 4\sqrt{2}senθcosθdθ = 0 </math>

Esto es lo que se conoce como la paradoja de D’Alembert.

=Curvas de nivel=

Las curvas de nivel muestran un mínimo absoluto en el punto en coordenadas cilindricas (1, 3π/2, 0), y tres máximos en los puntos (1, π/4, 0), (1, 3π/4, 0) y en un punto por encima del obstáculo. Basándonos únicamente en las lineas de nivel resulta muy difícil hallar cuales de ellos son máximos absolutos y cuales máximos locales. Con un análisis más general, vemos que las presiones en la zona superior son mayores a las que se dan en la parte inferior.

[[Archivo:Curvaspresion.jpg|thumb|right|Curvas de nivel de la presión]]

{{matlab|codigo=

tt=0:pi/30:2*pi
rho=1:0.1:2
[R,T]=meshgrid(rho,tt)
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
p=10-((R.^2-1).^2./R.^4.*(cos(T)).^2+1./R.^2.*(sqrt(2)-sin(T).*((R.^2+1)./R.^2)).^2);
contour(X,Y,p,500)
axis equal
xlabel('EjeX')
ylabel('EjeY')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-08T11:49:02Z

Julián Lavandero:

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Iniciaremos el estudio realizando un mallado.

=Mallado=
Vamos a comenzar dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido. Este será el exterior del círculo unidad. Para la realización de este tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y, centro, el origen. Para ilustrar que el fluido ocupa la parte exterior de un círculo, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=\left ( 1-\frac{1}{\rho^2} \right )\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho\left [ \sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2 \right ]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
[[Archivo:Zoom campo de velocidades.jpg|Campo de velocidades (Zoom)]]

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Comenzamos calculando el vector <math>\vec{v}</math>

<math>\overrightarrow{v}=\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{u}=\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_\rho }& \overrightarrow{e_\theta } & \overrightarrow{e_z}\\
0& 0& 1\\
\cos \left ( \theta \right )\left [ 1-\frac{1}{\rho ^2} \right ] & \frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right )+\sqrt{2}\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\left ( \frac{1}{\rho } \sin \left ( \theta \right ) \left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right )-\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right )\overrightarrow{e_\rho }+\cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\overrightarrow{e_\theta }</math>

Resolvemos por tanto las siguientes ecuaciones:

<math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

<math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi }{\partial \theta }=V_\theta </math>

<math>\frac{\partial \psi }{\partial z }=V_z</math>

Finalmente, obtenemos la línea de corriente cuyo valor es:

<math> \psi= sin (\theta)\cdot(\rho-\frac{1}{\rho}) - \sqrt 2 \cdot \ln \rho </math>

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido. Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de superior se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

En las imágenes inferiores se pueden observar las líneas de corriente de <math> \vec u </math>, las flechas naranjas representan el gradiente de <math> \varphi </math>, que a su vez es tangente a las líneas de corriente, y las flechas azules representan el gradiente de <math> \psi </math>, que a su vez es tangente a las curvas equipotenciales de <math> \varphi </math>.

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente.jpg|Líneas de corriente]]

Zoom de la gráfica superior

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
hold on
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,15); %Dibujamos las líneas de corriente

%dibujamos el campo de velocidades (gradiente de psi)

CX=(1+(1./U^2)).*cos(V).*sin(V) - (sqrt(2)./U).*cos(V) - (1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V);
CY=(1+(1./U^2)).*sin(V).^2 -(sqrt(2)./U).*sin(V) + (1-(1./U.^2)).*cos(V).^2;

quiver(X,Y,CX,CY);

%Dibujamos el campo de velocidades ( gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad en S.jpg|thumb|right|Representación de como cambia el módulo de la velocidad en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

[[Archivo:PresionBorde.jpg|thumb|right|Representación de como cambia la presión en el borde del obstáculo al aumentar θ]]

{{matlab|codigo=
tt=linspace(0,2*pi,100)
p=10-(2.*sin(tt)+sqrt(2)).^2
plot(tt,p)
}}

Los puntos del obstáculo donde se alcanzan máximos de presión son opuestos a los puntos donde el módulo de la velocidad es mínimo y viceversa. En el gráfico se ha rotado media vuelta los valores de la presión para mejor visualización.

[[Archivo:Presionyvelocidad.jpg|thumb|right|Módulo de la velocidad (azul) y presión desplazada media vuelta (naranja) en la frontera del obstáculo]]

{{matlab|codigo=
f=@(x) -2*sin(x) + sqrt(2);
x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
hold on
plot(x,y);
tt=linspace(0,2*pi,100);
p=10-(2.*sin(tt+pi)+sqrt(2)).^2;
plot(tt,p)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad y presión')
hold off
}}

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Navier Stokes es un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido viscoso

<math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 

Puesto que se trata de un fluido incompresible, y además µ = 0, se ha de verifica la ecuación de Navier Stokes, <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p =0 </math>

Para ello, debemos comprobar que se cumpla la siguiente identidad vectorial:

<math> (\vec {u}\cdot \nabla) \cdot \vec {u} = 1/2 \nabla(\left |\vec {u} \right |{^2}) - \vec {u} \times \nabla \times \vec {u} </math>

<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho} + u_{1} \frac{\partial u_{1}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \rho} \vec{e}_{\rho}+ u_{2} \frac{\partial u_{2}}{\partial \theta} \vec{e}_{\theta} </math>

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

B=valor del trinomio de Bernoulli

p= presión

z= altura

v=velocidad que lleva el fluido en determinado punto

g=valor de la gravedad

γ=valor del peso específico

<math> B=z+p/γ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ </math>

Al ser una integral, es lineal por lo que se puede descomponer en suma de varias integrales.

<math> \int_{0}^{2π} 10cosθdθ - \int_{0}^{2π} 2cosθdθ - \int_{0}^{2π} 4sen{^2}θcosθdθ + \int_{0}^{2π} 4\sqrt{2}senθcosθdθ </math>

Todas provienen de primitivas del seno y al estar acotadas de 0 a 2π,

<math> \int_{0}^{2π} 10cosθdθ - \int_{0}^{2π} 2cosθdθ - \int_{0}^{2π} 4sen{^2}θcosθdθ + \int_{0}^{2π} 4\sqrt{2}senθcosθdθ = 0 </math>

Esto es lo que se conoce como la paradoja de D’Alembert.

=Curvas de nivel=

Las curvas de nivel muestran un mínimo absoluto en el punto en coordenadas cilindricas (1, 3π/2, 0), y tres máximos en los puntos (1, π/4, 0), (1, 3π/4, 0) y en un punto por encima del obstáculo. Basándonos únicamente en las lineas de nivel resulta muy difícil hallar cuales de ellos son máximos absolutos y cuales máximos locales. Con un análisis más general, vemos que las presiones en la zona superior son mayores a las que se dan en la parte inferior.

[[Archivo:Curvaspresion.jpg|thumb|right|Curvas de nivel de la presión]]

{{matlab|codigo=

tt=0:pi/30:2*pi
rho=1:0.1:2
[R,T]=meshgrid(rho,tt)
X=R.*cos(T);
Y=R.*sin(T);
p=10-((R.^2-1).^2./R.^4.*(cos(T)).^2+1./R.^2.*(sqrt(2)-sin(T).*((R.^2+1)./R.^2)).^2);
contour(X,Y,p,500)
axis equal
xlabel('EjeX')
ylabel('EjeY')
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T19:35:34Z

Julián Lavandero: /* Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Iniciaremos el estudio realizando un mallado.

=Mallado=
Vamos a comenzar dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido. Este será el exterior del círculo unidad. Para la realización de este tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y, centro, el origen. Para ilustrar que el fluido ocupa la parte exterior de un círculo, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=\left ( 1-\frac{1}{\rho^2} \right )\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho\left [ \sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2 \right ]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
[[Archivo:Zoom campo de velocidades.jpg|Campo de velocidades (Zoom)]]

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Comenzamos calculando el vector <math>\vec{v}</math>

<math>\overrightarrow{v}=\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{u}=\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_\rho }& \overrightarrow{e_\theta } & \overrightarrow{e_z}\\
0& 0& 1\\
\cos \left ( \theta \right )\left [ 1-\frac{1}{\rho ^2} \right ] & \frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right )+\sqrt{2}\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\left ( \frac{1}{\rho } \sin \left ( \theta \right ) \left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right )-\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right )\overrightarrow{e_\rho }+\cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\overrightarrow{e_\theta }</math>

Resolvemos por tanto las siguientes ecuaciones:

<math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

<math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi }{\partial \theta }=V_\theta </math>

<math>\frac{\partial \psi }{\partial z }=V_z</math>

Finalmente, obtenemos la línea de corriente cuyo valor es:

<math> \psi= sin (\theta)\cdot(\rho-\frac{1}{\rho}) - \sqrt 2 \cdot \ln \rho </math>

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido. Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de superior se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

En las imágenes inferiores se pueden observar las líneas de corriente de <math> \vec u </math>, las flechas naranjas representan el gradiente de <math> \varphi </math>, que a su vez es tangente a las líneas de corriente, y las flechas azules representan el gradiente de <math> \psi </math>, que a su vez es tangente a las curvas equipotenciales de <math> \varphi </math>.

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente.jpg|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
hold on
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,15); %Dibujamos las líneas de corriente

%dibujamos el campo de velocidades (gradiente de psi)

CX=(1+(1./U^2)).*cos(V).*sin(V) - (sqrt(2)./U).*cos(V) - (1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V);
CY=(1+(1./U^2)).*sin(V).^2 -(sqrt(2)./U).*sin(V) + (1-(1./U.^2)).*cos(V).^2;

quiver(X,Y,CX,CY);

%Dibujamos el campo de velocidades ( gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T19:35:11Z

Julián Lavandero: /* Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Iniciaremos el estudio realizando un mallado.

=Mallado=
Vamos a comenzar dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido. Este será el exterior del círculo unidad. Para la realización de este tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y, centro, el origen. Para ilustrar que el fluido ocupa la parte exterior de un círculo, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=\left ( 1-\frac{1}{\rho^2} \right )\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho\left [ \sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2 \right ]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
[[Archivo:Zoom campo de velocidades.jpg|Campo de velocidades (Zoom)]]

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Comenzamos calculando el vector <math>\vec{v}</math>

<math>\overrightarrow{v}=\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{u}=\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_\rho }& \overrightarrow{e_\theta } & \overrightarrow{e_z}\\
0& 0& 1\\
\cos \left ( \theta \right )\left [ 1-\frac{1}{\rho ^2} \right ] & \frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right )+\sqrt{2}\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\left ( \frac{1}{\rho } \sin \left ( \theta \right ) \left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right )-\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right )\overrightarrow{e_\rho }+\cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\overrightarrow{e_\theta }</math>

Resolvemos por tanto las siguientes ecuaciones:

<math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

<math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi }{\partial \theta }=V_\theta </math>

<math>\frac{\partial \psi }{\partial z }=V_z</math>

Finalmente, obtenemos la línea de corriente cuyo valor es:

<math> \psi= sin (\theta)\cdot(\rho-\frac{1}{\rho}) - \sqrt 2 \cdot \ln \rho </math>

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido. Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de superior se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

En las imágenes inferiores se pueden observar las líneas de corriente de <math> \vec u </math>, las flechas naranjas representan el gradiente de <math> \varphi </math>, que a su vez es tangente a las líneas de corriente, y las flechas azules representan el gradiente de <math> \psi </math>, que a su vez es tangente a las curvas equipotenciales de <math> \varphi </math>.

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente.jpg|Líneas de corriente]]
(Zoom de la gráfica para apreciar )

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
hold on
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,15); %Dibujamos las líneas de corriente

%dibujamos el campo de velocidades (gradiente de psi)

CX=(1+(1./U^2)).*cos(V).*sin(V) - (sqrt(2)./U).*cos(V) - (1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V);
CY=(1+(1./U^2)).*sin(V).^2 -(sqrt(2)./U).*sin(V) + (1-(1./U.^2)).*cos(V).^2;

quiver(X,Y,CX,CY);

%Dibujamos el campo de velocidades ( gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T19:34:30Z

Julián Lavandero: /* Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Iniciaremos el estudio realizando un mallado.

=Mallado=
Vamos a comenzar dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido. Este será el exterior del círculo unidad. Para la realización de este tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y, centro, el origen. Para ilustrar que el fluido ocupa la parte exterior de un círculo, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=\left ( 1-\frac{1}{\rho^2} \right )\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho\left [ \sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2 \right ]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
[[Archivo:Zoom campo de velocidades.jpg|Campo de velocidades (Zoom)]]

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Comenzamos calculando el vector <math>\vec{v}</math>

<math>\overrightarrow{v}=\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{u}=\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_\rho }& \overrightarrow{e_\theta } & \overrightarrow{e_z}\\
0& 0& 1\\
\cos \left ( \theta \right )\left [ 1-\frac{1}{\rho ^2} \right ] & \frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right )+\sqrt{2}\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\left ( \frac{1}{\rho } \sin \left ( \theta \right ) \left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right )-\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right )\overrightarrow{e_\rho }+\cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\overrightarrow{e_\theta }</math>

Resolvemos por tanto las siguientes ecuaciones:

<math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

<math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi }{\partial \theta }=V_\theta </math>

<math>\frac{\partial \psi }{\partial z }=V_z</math>

Finalmente, obtenemos la línea de corriente cuyo valor es:

<math> \psi= sin (\theta)\cdot(\rho-\frac{1}{\rho}) - \sqrt 2 \cdot \ln \rho </math>

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido. Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de superior se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

En las imágenes inferiores se pueden observar las líneas de corriente de <math> \vec u </math>, las flechas naranjas representan el gradiente de <math> \varphi </math>, que a su vez es tangente a las líneas de corriente, y las flechas azules representan el gradiente de <math> \psi </math>, que a su vez es tangente a las curvas equipotenciales de <math> \varphi </math>.

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente.jpg|Líneas de corriente]]
(Zoom de la gráfica)

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
hold on
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,15); %Dibujamos las líneas de corriente

%dibujamos el campo de velocidades (gradiente de psi)

CX=(1+(1./U^2)).*cos(V).*sin(V) - (sqrt(2)./U).*cos(V) - (1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V);
CY=(1+(1./U^2)).*sin(V).^2 -(sqrt(2)./U).*sin(V) + (1-(1./U.^2)).*cos(V).^2;

quiver(X,Y,CX,CY);

%Dibujamos el campo de velocidades ( gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T19:32:38Z

Julián Lavandero: /* Campo de velocidades */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Iniciaremos el estudio realizando un mallado.

=Mallado=
Vamos a comenzar dibujando un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido. Este será el exterior del círculo unidad. Para la realización de este tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y, centro, el origen. Para ilustrar que el fluido ocupa la parte exterior de un círculo, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=\left ( 1-\frac{1}{\rho^2} \right )\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho\left [ \sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2 \right ]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
[[Archivo:Zoom campo de velocidades.jpg|Campo de velocidades (Zoom)]]

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Comenzamos calculando el vector <math>\vec{v}</math>

<math>\overrightarrow{v}=\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{u}=\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_\rho }& \overrightarrow{e_\theta } & \overrightarrow{e_z}\\
0& 0& 1\\
\cos \left ( \theta \right )\left [ 1-\frac{1}{\rho ^2} \right ] & \frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right )+\sqrt{2}\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\left ( \frac{1}{\rho } \sin \left ( \theta \right ) \left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right )-\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right )\overrightarrow{e_\rho }+\cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\overrightarrow{e_\theta }</math>

Resolvemos por tanto las siguientes ecuaciones:

<math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

<math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi }{\partial \theta }=V_\theta </math>

<math>\frac{\partial \psi }{\partial z }=V_z</math>

Finalmente, obtenemos la línea de corriente cuyo valor es:

<math> \psi= sin (\theta)\cdot(\rho-\frac{1}{\rho}) - \sqrt 2 \cdot \ln \rho </math>

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido. Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de superior se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

En las imágenes inferiores se pueden observar las líneas de corriente de <math> \vec u </math>, las flechas naranjas representan el gradiente de <math> \varphi </math>, que a su vez es tangente a las líneas de corriente, y las flechas azules representan el gradiente de <math> \psi </math>, que a su vez es tangente a las curvas equipotenciales de <math> \varphi </math>.

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente.jpg|Líneas de corriente]]
(Zoom para que se vean bien los campos vectoriales y las líneas de corriente)

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
hold on
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,15); %Dibujamos las líneas de corriente

%dibujamos el campo de velocidades (gradiente de psi)

CX=(1+(1./U^2)).*cos(V).*sin(V) - (sqrt(2)./U).*cos(V) - (1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V);
CY=(1+(1./U^2)).*sin(V).^2 -(sqrt(2)./U).*sin(V) + (1-(1./U.^2)).*cos(V).^2;

quiver(X,Y,CX,CY);

%Dibujamos el campo de velocidades ( gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T19:28:37Z

Julián Lavandero: /* Campo de velocidades */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=\left ( 1-\frac{1}{\rho^2} \right )\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho\left [ \sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2 \right ]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}
[[Archivo:Zoom campo de velocidades.jpg|Campo de velocidades (Zoom)]]

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Comenzamos calculando el vector <math>\vec{v}</math>

<math>\overrightarrow{v}=\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{u}=\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_\rho }& \overrightarrow{e_\theta } & \overrightarrow{e_z}\\
0& 0& 1\\
\cos \left ( \theta \right )\left [ 1-\frac{1}{\rho ^2} \right ] & \frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right )+\sqrt{2}\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\left ( \frac{1}{\rho } \sin \left ( \theta \right ) \left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right )-\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right )\overrightarrow{e_\rho }+\cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\overrightarrow{e_\theta }</math>

Resolvemos por tanto las siguientes ecuaciones:

<math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

<math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi }{\partial \theta }=V_\theta </math>

<math>\frac{\partial \psi }{\partial z }=V_z</math>

Finalmente, obtenemos la línea de corriente cuyo valor es:

<math> \psi= sin (\theta)\cdot(\rho-\frac{1}{\rho}) - \sqrt 2 \cdot \ln \rho </math>

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido. Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de superior se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

En las imágenes inferiores se pueden observar las líneas de corriente de <math> \vec u </math>, las flechas naranjas representan el gradiente de <math> \varphi </math>, que a su vez es tangente a las líneas de corriente, y las flechas azules representan el gradiente de <math> \psi </math>, que a su vez es tangente a las curvas equipotenciales de <math> \varphi </math>.

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente.jpg|Líneas de corriente]]
(Zoom para que se vean bien los campos vectoriales y las líneas de corriente)

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
hold on
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,15); %Dibujamos las líneas de corriente

%dibujamos el campo de velocidades (gradiente de psi)

CX=(1+(1./U^2)).*cos(V).*sin(V) - (sqrt(2)./U).*cos(V) - (1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V);
CY=(1+(1./U^2)).*sin(V).^2 -(sqrt(2)./U).*sin(V) + (1-(1./U.^2)).*cos(V).^2;

quiver(X,Y,CX,CY);

%Dibujamos el campo de velocidades ( gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T19:28:18Z

Julián Lavandero: /* Campo de velocidades */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=\left ( 1-\frac{1}{\rho^2} \right )\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho\left [ \sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2 \right ]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Comenzamos calculando el vector <math>\vec{v}</math>

<math>\overrightarrow{v}=\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{u}=\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_\rho }& \overrightarrow{e_\theta } & \overrightarrow{e_z}\\
0& 0& 1\\
\cos \left ( \theta \right )\left [ 1-\frac{1}{\rho ^2} \right ] & \frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right )+\sqrt{2}\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\left ( \frac{1}{\rho } \sin \left ( \theta \right ) \left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right )-\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right )\overrightarrow{e_\rho }+\cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\overrightarrow{e_\theta }</math>

Resolvemos por tanto las siguientes ecuaciones:

<math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

<math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi }{\partial \theta }=V_\theta </math>

<math>\frac{\partial \psi }{\partial z }=V_z</math>

Finalmente, obtenemos la línea de corriente cuyo valor es:

<math> \psi= sin (\theta)\cdot(\rho-\frac{1}{\rho}) - \sqrt 2 \cdot \ln \rho </math>

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido. Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de superior se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

En las imágenes inferiores se pueden observar las líneas de corriente de <math> \vec u </math>, las flechas naranjas representan el gradiente de <math> \varphi </math>, que a su vez es tangente a las líneas de corriente, y las flechas azules representan el gradiente de <math> \psi </math>, que a su vez es tangente a las curvas equipotenciales de <math> \varphi </math>.

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente.jpg|Líneas de corriente]]
(Zoom para que se vean bien los campos vectoriales y las líneas de corriente)

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
hold on
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,15); %Dibujamos las líneas de corriente

%dibujamos el campo de velocidades (gradiente de psi)

CX=(1+(1./U^2)).*cos(V).*sin(V) - (sqrt(2)./U).*cos(V) - (1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V);
CY=(1+(1./U^2)).*sin(V).^2 -(sqrt(2)./U).*sin(V) + (1-(1./U.^2)).*cos(V).^2;

quiver(X,Y,CX,CY);

%Dibujamos el campo de velocidades ( gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T19:27:59Z

Julián Lavandero: /* Campo de velocidades */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=\left ( 1-\frac{1}{\rho^2} \right )\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho\left [ \sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2 \right ]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]] [[Archivo:Zoom campo de velocidades.jpg|thumb|Campo de velocidades (Zoom)]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Comenzamos calculando el vector <math>\vec{v}</math>

<math>\overrightarrow{v}=\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{u}=\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_\rho }& \overrightarrow{e_\theta } & \overrightarrow{e_z}\\
0& 0& 1\\
\cos \left ( \theta \right )\left [ 1-\frac{1}{\rho ^2} \right ] & \frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right )+\sqrt{2}\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\left ( \frac{1}{\rho } \sin \left ( \theta \right ) \left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right )-\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right )\overrightarrow{e_\rho }+\cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\overrightarrow{e_\theta }</math>

Resolvemos por tanto las siguientes ecuaciones:

<math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

<math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi }{\partial \theta }=V_\theta </math>

<math>\frac{\partial \psi }{\partial z }=V_z</math>

Finalmente, obtenemos la línea de corriente cuyo valor es:

<math> \psi= sin (\theta)\cdot(\rho-\frac{1}{\rho}) - \sqrt 2 \cdot \ln \rho </math>

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido. Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de superior se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

En las imágenes inferiores se pueden observar las líneas de corriente de <math> \vec u </math>, las flechas naranjas representan el gradiente de <math> \varphi </math>, que a su vez es tangente a las líneas de corriente, y las flechas azules representan el gradiente de <math> \psi </math>, que a su vez es tangente a las curvas equipotenciales de <math> \varphi </math>.

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente.jpg|Líneas de corriente]]
(Zoom para que se vean bien los campos vectoriales y las líneas de corriente)

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
hold on
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,15); %Dibujamos las líneas de corriente

%dibujamos el campo de velocidades (gradiente de psi)

CX=(1+(1./U^2)).*cos(V).*sin(V) - (sqrt(2)./U).*cos(V) - (1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V);
CY=(1+(1./U^2)).*sin(V).^2 -(sqrt(2)./U).*sin(V) + (1-(1./U.^2)).*cos(V).^2;

quiver(X,Y,CX,CY);

%Dibujamos el campo de velocidades ( gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T19:27:35Z

Julián Lavandero: /* Campo de velocidades */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=\left ( 1-\frac{1}{\rho^2} \right )\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho\left [ \sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2 \right ]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]
[[Archivo:Zoom campo de velocidades.jpg|thumb|Campo de velocidades (Zoom)]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Comenzamos calculando el vector <math>\vec{v}</math>

<math>\overrightarrow{v}=\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{u}=\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_\rho }& \overrightarrow{e_\theta } & \overrightarrow{e_z}\\
0& 0& 1\\
\cos \left ( \theta \right )\left [ 1-\frac{1}{\rho ^2} \right ] & \frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right )+\sqrt{2}\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\left ( \frac{1}{\rho } \sin \left ( \theta \right ) \left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right )-\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right )\overrightarrow{e_\rho }+\cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\overrightarrow{e_\theta }</math>

Resolvemos por tanto las siguientes ecuaciones:

<math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

<math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi }{\partial \theta }=V_\theta </math>

<math>\frac{\partial \psi }{\partial z }=V_z</math>

Finalmente, obtenemos la línea de corriente cuyo valor es:

<math> \psi= sin (\theta)\cdot(\rho-\frac{1}{\rho}) - \sqrt 2 \cdot \ln \rho </math>

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido. Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de superior se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

En las imágenes inferiores se pueden observar las líneas de corriente de <math> \vec u </math>, las flechas naranjas representan el gradiente de <math> \varphi </math>, que a su vez es tangente a las líneas de corriente, y las flechas azules representan el gradiente de <math> \psi </math>, que a su vez es tangente a las curvas equipotenciales de <math> \varphi </math>.

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente.jpg|Líneas de corriente]]
(Zoom para que se vean bien los campos vectoriales y las líneas de corriente)

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
hold on
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,15); %Dibujamos las líneas de corriente

%dibujamos el campo de velocidades (gradiente de psi)

CX=(1+(1./U^2)).*cos(V).*sin(V) - (sqrt(2)./U).*cos(V) - (1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V);
CY=(1+(1./U^2)).*sin(V).^2 -(sqrt(2)./U).*sin(V) + (1-(1./U.^2)).*cos(V).^2;

quiver(X,Y,CX,CY);

%Dibujamos el campo de velocidades ( gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T19:26:58Z

Julián Lavandero: /* Campo de velocidades */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=\left ( 1-\frac{1}{\rho^2} \right )\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho\left [ \sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2 \right ]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]
[[Archivo:Zoom campo de velocidades.jpg|right|thumb|Campo de velocidades (Zoom)]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Comenzamos calculando el vector <math>\vec{v}</math>

<math>\overrightarrow{v}=\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{u}=\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_\rho }& \overrightarrow{e_\theta } & \overrightarrow{e_z}\\
0& 0& 1\\
\cos \left ( \theta \right )\left [ 1-\frac{1}{\rho ^2} \right ] & \frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right )+\sqrt{2}\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\left ( \frac{1}{\rho } \sin \left ( \theta \right ) \left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right )-\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right )\overrightarrow{e_\rho }+\cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\overrightarrow{e_\theta }</math>

Resolvemos por tanto las siguientes ecuaciones:

<math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

<math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi }{\partial \theta }=V_\theta </math>

<math>\frac{\partial \psi }{\partial z }=V_z</math>

Finalmente, obtenemos la línea de corriente cuyo valor es:

<math> \psi= sin (\theta)\cdot(\rho-\frac{1}{\rho}) - \sqrt 2 \cdot \ln \rho </math>

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido. Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de superior se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

En las imágenes inferiores se pueden observar las líneas de corriente de <math> \vec u </math>, las flechas naranjas representan el gradiente de <math> \varphi </math>, que a su vez es tangente a las líneas de corriente, y las flechas azules representan el gradiente de <math> \psi </math>, que a su vez es tangente a las curvas equipotenciales de <math> \varphi </math>.

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente.jpg|Líneas de corriente]]
(Zoom para que se vean bien los campos vectoriales y las líneas de corriente)

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
hold on
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,15); %Dibujamos las líneas de corriente

%dibujamos el campo de velocidades (gradiente de psi)

CX=(1+(1./U^2)).*cos(V).*sin(V) - (sqrt(2)./U).*cos(V) - (1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V);
CY=(1+(1./U^2)).*sin(V).^2 -(sqrt(2)./U).*sin(V) + (1-(1./U.^2)).*cos(V).^2;

quiver(X,Y,CX,CY);

%Dibujamos el campo de velocidades ( gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T19:24:34Z

Julián Lavandero: /* Campo de velocidades */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=\left ( 1-\frac{1}{\rho^2} \right )\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho\left [ \sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2 \right ]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]
[[Archivo:Zoom campo de velocidades.jpg|right|thumb|Campo de velocidades (Zoom)]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Comenzamos calculando el vector <math>\vec{v}</math>

<math>\overrightarrow{v}=\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{u}=\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_\rho }& \overrightarrow{e_\theta } & \overrightarrow{e_z}\\
0& 0& 1\\
\cos \left ( \theta \right )\left [ 1-\frac{1}{\rho ^2} \right ] & \frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right )+\sqrt{2}\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\left ( \frac{1}{\rho } \sin \left ( \theta \right ) \left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right )-\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right )\overrightarrow{e_\rho }+\cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\overrightarrow{e_\theta }</math>

Resolvemos por tanto las siguientes ecuaciones:

<math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

<math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi }{\partial \theta }=V_\theta </math>

<math>\frac{\partial \psi }{\partial z }=V_z</math>

Finalmente, obtenemos la línea de corriente cuyo valor es:

<math> \psi= sin (\theta)\cdot(\rho-\frac{1}{\rho}) - \sqrt 2 \cdot \ln \rho </math>

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido. Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de superior se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

En las imágenes inferiores se pueden observar las líneas de corriente de <math> \vec u </math>, las flechas naranjas representan el gradiente de <math> \varphi </math>, que a su vez es tangente a las líneas de corriente, y las flechas azules representan el gradiente de <math> \psi </math>, que a su vez es tangente a las curvas equipotenciales de <math> \varphi </math>.

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente.jpg|Líneas de corriente]]
(Zoom para que se vean bien los campos vectoriales y las líneas de corriente)

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
hold on
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,15); %Dibujamos las líneas de corriente

%dibujamos el campo de velocidades (gradiente de psi)

CX=(1+(1./U^2)).*cos(V).*sin(V) - (sqrt(2)./U).*cos(V) - (1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V);
CY=(1+(1./U^2)).*sin(V).^2 -(sqrt(2)./U).*sin(V) + (1-(1./U.^2)).*cos(V).^2;

quiver(X,Y,CX,CY);

%Dibujamos el campo de velocidades ( gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T19:02:54Z

Julián Lavandero: /* Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=(1-\frac{1}{\rho^2})\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho[\sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]
[[Archivo:Zoom campo de velocidades.jpg|right|thumb|Campo de velocidades (Zoom)]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{u}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Resolvemos por tanto las siguientes ecuaciones:

<math> \psi= sin (\theta)\cdot(\rho-\frac{1}{\rho}) - \sqrt 2 \cdot \ln \rho </math>

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido. Del mismo modo comprobamos que las líneas de corriente son ortogonales a las curvas equipotenciales.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de superior se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

En las imágenes inferiores se pueden observar las líneas de corriente de <math> \vec u </math>, las flechas naranjas representan el gradiente de <math> \varphi </math>, que a su vez es tangente a las líneas de corriente, y las flechas azules representan el gradiente de <math> \psi </math>, que a su vez es tangente a las curvas equipotenciales de <math> \varphi </math>.

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente.jpg|Líneas de corriente]]
(Zoom para que se vean bien los campos vectoriales y las líneas de corriente)

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
hold on
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,15); %Dibujamos las líneas de corriente

%dibujamos el campo de velocidades (gradiente de psi)

CX=(1+(1./U^2)).*cos(V).*sin(V) - (sqrt(2)./U).*cos(V) - (1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V);
CY=(1+(1./U^2)).*sin(V).^2 -(sqrt(2)./U).*sin(V) + (1-(1./U.^2)).*cos(V).^2;

quiver(X,Y,CX,CY);

%Dibujamos el campo de velocidades ( gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T18:54:06Z

Julián Lavandero: /* Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=(1-\frac{1}{\rho^2})\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho[\sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]
[[Archivo:Zoom campo de velocidades.jpg|right|thumb|Campo de velocidades (Zoom)]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{u}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Resolvemos por tanto

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de superior se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

En las imágenes inferiores se pueden observar las líneas de corriente de <math> \vec u </math>, las flechas naranjas representan el gradiente de <math> \varphi </math>, que a su vez es tangente a las líneas de corriente, y las flechas azules representan el gradiente de <math> \psi </math>, que a su vez es tangente a las curvas equipotenciales de <math> \varphi </math>.

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente.jpg|Líneas de corriente]]
(Zoom para que se vean bien los campos vectoriales y las líneas de corriente)

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
hold on
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,15); %Dibujamos las líneas de corriente

%dibujamos el campo de velocidades (gradiente de psi)

CX=(1+(1./U^2)).*cos(V).*sin(V) - (sqrt(2)./U).*cos(V) - (1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V);
CY=(1+(1./U^2)).*sin(V).^2 -(sqrt(2)./U).*sin(V) + (1-(1./U.^2)).*cos(V).^2;

quiver(X,Y,CX,CY);

%Dibujamos el campo de velocidades ( gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T18:51:30Z

Julián Lavandero: /* Campo de velocidades */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=(1-\frac{1}{\rho^2})\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho[\sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]
[[Archivo:Zoom campo de velocidades.jpg|right|thumb|Campo de velocidades (Zoom)]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{u}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de arriba se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

En estas imágenes de abajo se pueden observar varias cosas, se pueden observar las líneas de corriente de <math> \vec u </math>, las flechas naranjas representan el gradiente de <math> \varphi </math>, que a su vez son tangentes a las líneas de corriente, y las flechas azules representan el gradiente de <math> \psi </math>, que a su vez es tangente a las curvas equipotenciales de <math> \varphi </math>.

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente.jpg|Líneas de corriente]]
(Zoom para que se vean bien los campos vectoriales y las líneas de corriente)

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
hold on
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,15); %Dibujamos las líneas de corriente

%dibujamos el campo de velocidades (gradiente de psi)

CX=(1+(1./U^2)).*cos(V).*sin(V) - (sqrt(2)./U).*cos(V) - (1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V);
CY=(1+(1./U^2)).*sin(V).^2 -(sqrt(2)./U).*sin(V) + (1-(1./U.^2)).*cos(V).^2;

quiver(X,Y,CX,CY);

%Dibujamos el campo de velocidades ( gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T18:51:08Z

Julián Lavandero: /* Campo de velocidades */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=(1-\frac{1}{\rho^2})\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho[\sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]
[[Archivo:Zoom campo de velocidades.jpg|right|thumb|Campo de velocidades(Zoom)]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{u}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de arriba se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

En estas imágenes de abajo se pueden observar varias cosas, se pueden observar las líneas de corriente de <math> \vec u </math>, las flechas naranjas representan el gradiente de <math> \varphi </math>, que a su vez son tangentes a las líneas de corriente, y las flechas azules representan el gradiente de <math> \psi </math>, que a su vez es tangente a las curvas equipotenciales de <math> \varphi </math>.

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente.jpg|Líneas de corriente]]
(Zoom para que se vean bien los campos vectoriales y las líneas de corriente)

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
hold on
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,15); %Dibujamos las líneas de corriente

%dibujamos el campo de velocidades (gradiente de psi)

CX=(1+(1./U^2)).*cos(V).*sin(V) - (sqrt(2)./U).*cos(V) - (1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V);
CY=(1+(1./U^2)).*sin(V).^2 -(sqrt(2)./U).*sin(V) + (1-(1./U.^2)).*cos(V).^2;

quiver(X,Y,CX,CY);

%Dibujamos el campo de velocidades ( gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T18:50:37Z

Julián Lavandero: /* Campo de velocidades */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=(1-\frac{1}{\rho^2})\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho[\sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]
[[Archivo:Zoom campo de velocidades.jpg|right|thumb|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{u}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de arriba se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

En estas imágenes de abajo se pueden observar varias cosas, se pueden observar las líneas de corriente de <math> \vec u </math>, las flechas naranjas representan el gradiente de <math> \varphi </math>, que a su vez son tangentes a las líneas de corriente, y las flechas azules representan el gradiente de <math> \psi </math>, que a su vez es tangente a las curvas equipotenciales de <math> \varphi </math>.

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente.jpg|Líneas de corriente]]
(Zoom para que se vean bien los campos vectoriales y las líneas de corriente)

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
hold on
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,15); %Dibujamos las líneas de corriente

%dibujamos el campo de velocidades (gradiente de psi)

CX=(1+(1./U^2)).*cos(V).*sin(V) - (sqrt(2)./U).*cos(V) - (1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V);
CY=(1+(1./U^2)).*sin(V).^2 -(sqrt(2)./U).*sin(V) + (1-(1./U.^2)).*cos(V).^2;

quiver(X,Y,CX,CY);

%Dibujamos el campo de velocidades ( gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T18:50:26Z

Julián Lavandero: /* Interpretación */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=(1-\frac{1}{\rho^2})\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho[\sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{u}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de arriba se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

En estas imágenes de abajo se pueden observar varias cosas, se pueden observar las líneas de corriente de <math> \vec u </math>, las flechas naranjas representan el gradiente de <math> \varphi </math>, que a su vez son tangentes a las líneas de corriente, y las flechas azules representan el gradiente de <math> \psi </math>, que a su vez es tangente a las curvas equipotenciales de <math> \varphi </math>.

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente.jpg|Líneas de corriente]]
(Zoom para que se vean bien los campos vectoriales y las líneas de corriente)

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
hold on
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,15); %Dibujamos las líneas de corriente

%dibujamos el campo de velocidades (gradiente de psi)

CX=(1+(1./U^2)).*cos(V).*sin(V) - (sqrt(2)./U).*cos(V) - (1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V);
CY=(1+(1./U^2)).*sin(V).^2 -(sqrt(2)./U).*sin(V) + (1-(1./U.^2)).*cos(V).^2;

quiver(X,Y,CX,CY);

%Dibujamos el campo de velocidades ( gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T18:48:46Z

Julián Lavandero: /* Interpretación */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=(1-\frac{1}{\rho^2})\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho[\sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

[[Archivo:Zoom campo de velocidades.jpg|right|thumb|Campo de velocidades]]

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{u}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de arriba se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

En estas imágenes de abajo se pueden observar varias cosas, se pueden observar las líneas de corriente de <math> \vec u </math>, las flechas naranjas representan el gradiente de <math> \varphi </math>, que a su vez son tangentes a las líneas de corriente, y las flechas azules representan el gradiente de <math> \psi </math>, que a su vez es tangente a las curvas equipotenciales de <math> \varphi </math>.

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente.jpg|Líneas de corriente]]
(Zoom para que se vean bien los campos vectoriales y las líneas de corriente)

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
hold on
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,15); %Dibujamos las líneas de corriente

%dibujamos el campo de velocidades (gradiente de psi)

CX=(1+(1./U^2)).*cos(V).*sin(V) - (sqrt(2)./U).*cos(V) - (1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V);
CY=(1+(1./U^2)).*sin(V).^2 -(sqrt(2)./U).*sin(V) + (1-(1./U.^2)).*cos(V).^2;

quiver(X,Y,CX,CY);

%Dibujamos el campo de velocidades ( gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T18:48:26Z

Julián Lavandero: /* Interpretación */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=(1-\frac{1}{\rho^2})\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho[\sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
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}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

[[Archivo:Zoom campo de velocidades.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{u}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de arriba se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

En estas imágenes de abajo se pueden observar varias cosas, se pueden observar las líneas de corriente de <math> \vec u </math>, las flechas naranjas representan el gradiente de <math> \varphi </math>, que a su vez son tangentes a las líneas de corriente, y las flechas azules representan el gradiente de <math> \psi </math>, que a su vez es tangente a las curvas equipotenciales de <math> \varphi </math>.

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente.jpg|Líneas de corriente]]
(Zoom para que se vean bien los campos vectoriales y las líneas de corriente)

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
hold on
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,15); %Dibujamos las líneas de corriente

%dibujamos el campo de velocidades (gradiente de psi)

CX=(1+(1./U^2)).*cos(V).*sin(V) - (sqrt(2)./U).*cos(V) - (1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V);
CY=(1+(1./U^2)).*sin(V).^2 -(sqrt(2)./U).*sin(V) + (1-(1./U.^2)).*cos(V).^2;

quiver(X,Y,CX,CY);

%Dibujamos el campo de velocidades ( gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T18:47:32Z

Julián Lavandero: /* Interpretación */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=(1-\frac{1}{\rho^2})\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho[\sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{u}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de arriba se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

En estas imágenes de abajo se pueden observar varias cosas, se pueden observar las líneas de corriente de <math> \vec u </math>, las flechas naranjas representan el gradiente de <math> \varphi </math>, que a su vez son tangentes a las líneas de corriente, y las flechas azules representan el gradiente de <math> \psi </math>, que a su vez es tangente a las curvas equipotenciales de <math> \varphi </math>.

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente.jpg|Líneas de corriente]]
(Zoom para que se vean bien los campos vectoriales y las líneas de corriente)

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
hold on
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,15); %Dibujamos las líneas de corriente

%dibujamos el campo de velocidades (gradiente de psi)

CX=(1+(1./U^2)).*cos(V).*sin(V) - (sqrt(2)./U).*cos(V) - (1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V);
CY=(1+(1./U^2)).*sin(V).^2 -(sqrt(2)./U).*sin(V) + (1-(1./U.^2)).*cos(V).^2;

quiver(X,Y,CX,CY);

%Dibujamos el campo de velocidades ( gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Archivo:Zoom campo de velocidades.jpg

2022-12-07T18:46:06Z

Julián Lavandero:

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T18:42:28Z

Julián Lavandero: /* Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=(1-\frac{1}{\rho^2})\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho[\sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{u}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de arriba se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

En estas imágenes de abajo se pueden observar varias cosas, se pueden observar las líneas de corriente de <math> \vec u </math>, las flechas naranjas representan el gradiente de <math> \varphi </math>, que a su vez son tangentes a las líneas de corriente, y las flechas azules representan el gradiente de <math> \psi </math>, que a su vez es tangente a las curvas equipotenciales de <math> \varphi </math>.

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente.jpg|Líneas de corriente]]
(Zoom para que se vean bien los campos vectoriales y las líneas de corriente)

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
hold on
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,15); %Dibujamos las líneas de corriente

%dibujamos el campo de velocidades (gradiente de psi)

CX=(1+(1./U^2)).*cos(V).*sin(V) - (sqrt(2)./U).*cos(V) - (1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V);
CY=(1+(1./U^2)).*sin(V).^2 -(sqrt(2)./U).*sin(V) + (1-(1./U.^2)).*cos(V).^2;

quiver(X,Y,CX,CY);

%Dibujamos el campo de velocidades ( gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T18:39:11Z

Julián Lavandero: /* Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=(1-\frac{1}{\rho^2})\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho[\sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{u}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de arriba se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

En estas imágenes de abajo se pueden observar varias cosas, se pueden observar las líneas de corriente de <math> \vec u </math>,

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente.jpg|Líneas de corriente]]
(Zoom para que se vean bien los campos vectoriales y las líneas de corriente)

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
hold on
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,15); %Dibujamos las líneas de corriente

%dibujamos el campo de velocidades (gradiente de psi)

CX=(1+(1./U^2)).*cos(V).*sin(V) - (sqrt(2)./U).*cos(V) - (1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V);
CY=(1+(1./U^2)).*sin(V).^2 -(sqrt(2)./U).*sin(V) + (1-(1./U.^2)).*cos(V).^2;

quiver(X,Y,CX,CY);

%Dibujamos el campo de velocidades ( gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T18:38:47Z

Julián Lavandero: /* Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=(1-\frac{1}{\rho^2})\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho[\sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{u}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de arriba se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

En estas imágenes de abajo se pueden observar varias cosas, se pueden observar las líneas de corriente de <math> \vec u </math>,

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente.jpg|Líneas de corriente]]
(Zoom para que se vean bien los campos vectoriales y las líneas de corriente)

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
hold on
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,15); %Dibujamos las líneas de corriente

%dibujamos el campo de velocidades (gradiente de psi)

CX=(1+(1./U^2)).*cos(V).*sin(V) - (sqrt(2)./U).*cos(V) - (1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V);
CY=(1+(1./U^2)).*sin(V).^2 -(sqrt(2)./U).*sin(V) + (1-(1./U.^2)).*cos(V).^2;

quiver(X,Y,CX,CY);

%Dibujamos el campo de velocidades ( gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T18:37:29Z

Julián Lavandero: /* Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=(1-\frac{1}{\rho^2})\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho[\sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{u}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de arriba se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

En esta imagen de abajo se pueden observar varias cosas, se pueden observar las líneas de corriente de <math> \vec u </math>,

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente.jpg|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
hold on
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,15); %Dibujamos las líneas de corriente

%dibujamos el campo de velocidades (gradiente de psi)

CX=(1+(1./U^2)).*cos(V).*sin(V) - (sqrt(2)./U).*cos(V) - (1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V);
CY=(1+(1./U^2)).*sin(V).^2 -(sqrt(2)./U).*sin(V) + (1-(1./U.^2)).*cos(V).^2;

quiver(X,Y,CX,CY);

%Dibujamos el campo de velocidades ( gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T18:36:58Z

Julián Lavandero: /* Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=(1-\frac{1}{\rho^2})\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho[\sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{u}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de arriba se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

En esta imagen de abajo se pueden observar varias cosas, se pueden observar las líneas de corriente de <math> \vec u </math>,

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente_fluido.jpg|left|Líneas de corriente]]

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente.jpg|right|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
hold on
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,15); %Dibujamos las líneas de corriente

%dibujamos el campo de velocidades (gradiente de psi)

CX=(1+(1./U^2)).*cos(V).*sin(V) - (sqrt(2)./U).*cos(V) - (1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V);
CY=(1+(1./U^2)).*sin(V).^2 -(sqrt(2)./U).*sin(V) + (1-(1./U.^2)).*cos(V).^2;

quiver(X,Y,CX,CY);

%Dibujamos el campo de velocidades ( gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T18:36:30Z

Julián Lavandero: /* Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=(1-\frac{1}{\rho^2})\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho[\sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{u}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de arriba se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

En esta imagen de abajo se pueden observar varias cosas, se pueden observar las líneas de corriente de <math> \vec u </math>,

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente.jpg|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
hold on
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,15); %Dibujamos las líneas de corriente

%dibujamos el campo de velocidades (gradiente de psi)

CX=(1+(1./U^2)).*cos(V).*sin(V) - (sqrt(2)./U).*cos(V) - (1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V);
CY=(1+(1./U^2)).*sin(V).^2 -(sqrt(2)./U).*sin(V) + (1-(1./U.^2)).*cos(V).^2;

quiver(X,Y,CX,CY);

%Dibujamos el campo de velocidades ( gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T18:35:54Z

Julián Lavandero: /* Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=(1-\frac{1}{\rho^2})\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho[\sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{u}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]
[[Archivo:Lineas_de_corriente.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de arriba se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

En esta imagen de abajo se pueden observar varias cosas, se pueden observar las líneas de corriente de <math> \vec u </math>,

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
hold on
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,15); %Dibujamos las líneas de corriente

%dibujamos el campo de velocidades (gradiente de psi)

CX=(1+(1./U^2)).*cos(V).*sin(V) - (sqrt(2)./U).*cos(V) - (1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V);
CY=(1+(1./U^2)).*sin(V).^2 -(sqrt(2)./U).*sin(V) + (1-(1./U.^2)).*cos(V).^2;

quiver(X,Y,CX,CY);

%Dibujamos el campo de velocidades ( gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T18:34:59Z

Julián Lavandero: /* Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=(1-\frac{1}{\rho^2})\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho[\sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{u}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de arriba se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

En esta imagen de abajo se pueden observar varias cosas, se pueden observar las líneas de corriente de <math> \vec u </math>,

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
hold on
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,15); %Dibujamos las líneas de corriente

%dibujamos el campo de velocidades (gradiente de psi)

CX=(1+(1./U^2)).*cos(V).*sin(V) - (sqrt(2)./U).*cos(V) - (1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V);
CY=(1+(1./U^2)).*sin(V).^2 -(sqrt(2)./U).*sin(V) + (1-(1./U.^2)).*cos(V).^2;

quiver(X,Y,CX,CY);

%Dibujamos el campo de velocidades ( gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Archivo:Gradientes y lineas de corriente fluido.jpg

2022-12-07T18:32:58Z

Julián Lavandero:

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T18:32:19Z

Julián Lavandero: /* Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=(1-\frac{1}{\rho^2})\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho[\sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{u}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de arriba se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
hold on
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,15); %Dibujamos las líneas de corriente

%dibujamos el campo de velocidades (gradiente de psi)

CX=(1+(1./U^2)).*cos(V).*sin(V) - (sqrt(2)./U).*cos(V) - (1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V);
CY=(1+(1./U^2)).*sin(V).^2 -(sqrt(2)./U).*sin(V) + (1-(1./U.^2)).*cos(V).^2;

quiver(X,Y,CX,CY);

%Dibujamos el campo de velocidades ( gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T18:28:06Z

Julián Lavandero: /* Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=(1-\frac{1}{\rho^2})\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho[\sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{u}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de arriba se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:Gradientes y lineas de corriente.jpg|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
hold on
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,15); %Dibujamos las líneas de corriente

%dibujamos el campo de velocidades (gradiente de psi)

CX=(1+(1./U^2)).*cos(V).*sin(V) - (sqrt(2)./U).*cos(V) - (1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V);
CY=(1+(1./U^2)).*sin(V).^2 -(sqrt(2)./U).*sin(V) + (1-(1./U.^2)).*cos(V).^2;

quiver(X,Y,CX,CY);

%Dibujamos el campo de velocidades ( gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Archivo:Gradientes y lineas de corriente.jpg

2022-12-07T18:27:35Z

Julián Lavandero:

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T18:27:19Z

Julián Lavandero: /* Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=(1-\frac{1}{\rho^2})\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho[\sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{u}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de arriba se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
hold on
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,15); %Dibujamos las líneas de corriente

%dibujamos el campo de velocidades (gradiente de psi)

CX=(1+(1./U^2)).*cos(V).*sin(V) - (sqrt(2)./U).*cos(V) - (1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V);
CY=(1+(1./U^2)).*sin(V).^2 -(sqrt(2)./U).*sin(V) + (1-(1./U.^2)).*cos(V).^2;

quiver(X,Y,CX,CY);

%Dibujamos el campo de velocidades ( gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T18:24:22Z

Julián Lavandero: /* Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=(1-\frac{1}{\rho^2})\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho[\sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{u}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|right|thumb|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de arriba se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T18:23:39Z

Julián Lavandero: /* Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=(1-\frac{1}{\rho^2})\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho[\sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{u}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido.

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}
[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]
En la imagen de arriba se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T18:23:11Z

Julián Lavandero: /* Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=(1-\frac{1}{\rho^2})\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho[\sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{u}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido.

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}
[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|thumb|right|Líneas de corriente]]
En la imagen de arriba se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T18:12:43Z

Julián Lavandero: /* Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=(1-\frac{1}{\rho^2})\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho[\sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{u}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|thumb|right|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de arriba se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido.

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T18:11:53Z

Julián Lavandero: /* Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=(1-\frac{1}{\rho^2})\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho[\sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{u}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|thumb|right|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de arriba se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido, es decir, al <math> \nabla \varphi </math>.

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T18:10:35Z

Julián Lavandero: /* Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=(1-\frac{1}{\rho^2})\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho[\sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{u}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|thumb|right|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de arriba se puede observar que las líneas de corriente de <math> \vec u </math> son tangentes a la velocidad del fluido, es decir, al gradiente de <math> \varphi </math> (<math> \nabla \vec u </math>).

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T18:08:22Z

Julián Lavandero: /* Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=(1-\frac{1}{\rho^2})\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho[\sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{u}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|thumb|right|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de arriba se puede observar que el campo de velocidades del fluido es tangente a las líneas de corriente de <math> \vec u </math>.

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T18:06:52Z

Julián Lavandero: /* Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=(1-\frac{1}{\rho^2})\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho[\sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{u}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|thumb|right|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de arriba se puede observar que el campo de velocidades que describe <math> \vec{u}</math> es tangente a las líneas de corriente.

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T18:06:19Z

Julián Lavandero: /* Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=(1-\frac{1}{\rho^2})\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho[\sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{u}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|thumb|right|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de arriba se puede observar que el campo de velocidades de <math> \vec{u}</math> es tangente a las líneas de corriente.

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T18:05:41Z

Julián Lavandero: /* Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=(1-\frac{1}{\rho^2})\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho[\sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{u}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|thumb|right|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off
}}

En la imagen de arriba se puede observar que el campo de velocidades de \varphi es tangente a las líneas de corriente.

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T18:03:55Z

Julián Lavandero: /* Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=(1-\frac{1}{\rho^2})\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho[\sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{u}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|thumb|right|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off

}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T18:03:32Z

Julián Lavandero: /* Campo de velocidades */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=(1-\frac{1}{\rho^2})\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho[\sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{u}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off

}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T18:02:55Z

Julián Lavandero: /* Campo de velocidades */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=(1-\frac{1}{\rho^2})\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho[\sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|right|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
axis equal
view(2);
hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{u}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off

}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=

Fluido alrededor de un obstáculo circular (15-B)

2022-12-07T18:02:37Z

Julián Lavandero: /* Campo de velocidades */

{{ TrabajoED | Fluido alrededor de un obstáculo circular. Grupo 15-B | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Julián Lavandero Pacheco Javier Sesmero Zamarrón Ana Sarró Redel Sergio Navarro Czyz Kevin Rosales Zambrana }}

=Introducción=
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, carece de rigidez y elasticidad, y en consecuencia cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, siendo capaz de adoptar la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
En este artículo, se estudiarán los fluidos incompresibles y para ello, debemos conocer qué es un fluido incompresible. Estos, son aquellos en los que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas muy grandes, son, por tanto, los líquidos.
Para comenzar, definiremos una región ocupada por un fluido, y para ello tomaremos un mallado del anillo comprendido entre los radios 1 y 5 y centro, el origen. Para facilitar su comprensión, dibujaremos los ejes en el intervalo <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

=Mallado=
Para realizar el mallado vamos a utilizar Matlab. Vamos a dibujar la gráfica en los ejes <math>(x,y) ∈ [-5,5]\times[-5,5] </math>.

[[Archivo:Placa_fluido.jpg|thumb|right|Mallado del anillo]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);
Z=0.*U;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibujamos la placa
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]); %Establecemos los ejes
view(2);
title ('Placa');
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
axis equal
hold off
}}

=Función potencial=
Una vez definida la región de estudio, vamos a estudiar cómo se mueve el fluido y para ello, analizaremos la velocidad de las partículas de una función potencial dada. La velocidad de un campo escalar es el gradiente de dicha función. Para mayor claridad, vamos a definir brevemente un campo escalar y un campo vectorial.

Un campo escalar, definido en un dominio determinado <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> , es una aplicación que asigna a cada punto de D un escalar. Por otra parte, un campo vectorial definido en un dominio <math> D \subset \mathbb{R}^{3} </math> es una aplicación que asigna a cada punto de D un vector libre.

Primero, realizaremos una representación de la función potencial del fluido, siendo esta <math> \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\sqrt{2}\theta ) </math> . Posteriormente, representaremos el campo de velocidades.

[[Archivo:funcionpotencial_fluido.jpg|thumb|right|Función potencial]]

{{matlab|codigo=
rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

hold on
X=U.*cos(V); %Parametrización de la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) +sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial
Z=f(U,V); %Aplicamos la función potencial
surf(X,Y,Z); %Dibujamos la función
plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',3); %Representamos el obstáculo

view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}

=Campo de velocidades=
La velocidad de dicha función potencial viene dada por su gradiente. Este representa el valor junto con la dirección de máximo crecimiento. Para su cálculo emplearemos la siguiente fórmula: <math> \vec u=\nabla \varphi=(1-\frac{1}{\rho^2})\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - \frac{1}\rho[\sin(\theta)\cdot(\rho+\frac{1}{\rho})+\sqrt 2]\vec e_\theta </math>

[[Archivo:Campo_de_velocidades_fluido.jpg|thumb|Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30); %Definimos rho y theta
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

f=@(rho,th)(rho+(1./rho)).*cos(th) + sqrt(2).*th; %Definimos la función potencial

Z=f(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las curvas de nivel
hold on
%Definimos las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibujamos el campo de velocidades

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar; %Añadimos una barra de color
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hold off
}}

===Interpretación===
Es importante observar mediante la ayuda de la gráfica, que, el campo de velocidades es ortogonal a las curvas de nivel de <math> \varphi </math> . Una breve comprobación matemática de esta afirmación, sería considerar un vector n cualquiera normal a los puntos del obstáculo, y confirmando que, efectivamente, <math>\vec{u}\cdot \vec{n}=0 </math>. Esto implica que son ortogonales entre sí.

Un vector ortogonal a las curvas de nivel sería <math>-\vec e_\rho </math>.

Evaluando el gradiente en <math>\rho = 1</math>, y posteriormente multiplicándolo por dicho vector perpendicular, podemos comprobar la condición de ortogonalidad:

<math>-\vec e_\rho \cdot \left ( -2\sin (\theta) +\sqrt{2} \right )\vec e_\theta = 0 </math>

Si evaluamos <math> \vec u </math> en la frontera del obstáculo obtendríamos lo siguiente:

<math>\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= - 2\cdot\sin(\theta)+\sqrt 2 \vec e_\theta </math>

===Campo de velocidades lejos del obstáculo===
Vamos a realizar una breve suposición para un mejor estudio de la función. Si estamos lejos del obstáculo, <math>\rho </math> es muy grande, y podemos suponer que <math> \frac{1}{\rho } </math> es despreciable. Si quisiésemos conocer el valor de u en esos puntos, operaríamos de la siguiente manera:

<math> \varphi = \rho \cos (\theta) +\sqrt{2}\theta </math> , habiendo despreciado <math> \frac{1}{\rho } </math>.

Calculamos el gradiente de la función potencial resultante de despreciar <math> \frac{1}{\rho} </math>

<math> \vec{u}= \nabla\varphi = \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z= </math>

<math>=\cos (\theta) \vec e_\rho +\left [ \frac{1}{\rho }\left ( -\sin (\theta) \cdot \rho \right )+\sqrt{2} \right ]\vec e_\theta =</math>

<math> =\mathbf{\cos \vec e_\rho +\left ( \frac{\sqrt{2}}{\rho }-\sin (\theta) \right )\vec e_\theta} </math>

===Rotacional y divergencia===
Procedemos a estudiar el rotacional y la divergencia del campo para conocer la naturaleza física del fluido.

El rotacional es un operado que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones. Muestra por tanto la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.

<math>\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec e_\rho &\vec e_\theta &\vec e_z \\
\frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\
\cos \left (\theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )& \rho \left [ -\frac{1}{\rho }sin \left ( \theta \right )\cdot\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\frac{\sqrt{2}}{\rho }\right ] & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ \frac{\partial }{\partial \rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right )\left ( \rho +\frac{1}{\rho } \right ) +\sqrt{2}\right ]\vec e_z -\frac{\partial }{\partial \theta }\left [ \cos \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2 } \right ) \right ]\vec e_z\right ]=</math>

<math>=\frac{1}{\rho }\left [ -\sin \left ( \theta \right ) \left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z+\sin \left ( \theta \right )\left ( 1-\frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z\right ]=\mathbf{0} </math>

Por el contrario, la divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

<math> \nabla\cdot \vec{u} =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( \rho\cdot cos (\theta) \cdot(1 -\frac {1}{\rho^2}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( -\frac {1}{\rho}\cdot sin(\theta) \cdot (\rho + \frac {1}{\rho})+ \frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] = </math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ \frac {\partial}{\partial \rho } \left ( cos (\theta) \cdot(\rho -\frac {1}{\rho}) \right ) + \frac {\partial}{\partial \theta} \left ( - sin(\theta) \cdot (1 + \frac {1}{\rho^2})+\frac {\sqrt 2}{\rho} \right ) \right ] =</math>

<math> =\frac{1}{\rho} \left [ cos (\theta) \cdot (1 +\frac {1}{\rho^2}) - (1 + \frac {1}{\rho^2})\cdot cos(\theta) \right ] = \frac{1}{\rho}\cdot 0 = \textbf{0} </math>

Obtenemos que el rotacional es nulo. Esto quiere decir que las partículas del fluido no giran. Del mismo modo, la divergencia es nula. Esto implica que el fluido mantiene su volumen sin producirse un intercambio de flujo. Hemos podido comprobar que, en efecto, estamos ante un fluido incompresible.

=Líneas de corriente=
Vamos a proceder a calcular las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math>, es decir las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto. Estas líneas determinan la trayectoria que siguen las partículas del fluido.

Para ello calculamos el campo que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>. Este vector lo llamaremos <math>\vec{v}</math> y lo calcularemos de la forma <math>\vec{u}=\vec{k}\times \vec{u}</math>.

Como hemos visto en el apartado anterior, la divergencia al ser nula implica que <math>\vec{v}</math> sea irrotacional y además tiene un potencial escalar <math>\psi </math> cuyo gradiente es <math>\vec{v}</math>. Este potencial se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

Para calcular <math>\psi </math> resolveremos el sistema de ecuaciones <math>\nabla\psi =\vec{v}</math>, y dibujaremos las líneas <math>\psi =cte</math>.

Posteriormente comprobaremos que, efectivamente son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> siendo estas tangentes a la velocidad del fluido.

[[Archivo:Lineas_de_corriente_fluido.jpg|Líneas de corriente]]

{{matlab|codigo=

rho=linspace(1,5,30);
th=linspace(0,2*pi,30);

[U,V]=meshgrid(rho,th); %Creamos la malla

X=U.*cos(V); %Parametrizamos la superficie
Y=U.*sin(V);

%dibujamos las lienas de corriente
psi=@(rho,th)(sin(V).*(U-(1./U)))- (sqrt(2).*log(U)); %Definimos la función ψ (psi)

Z=psi(U,V); %Aplicamos la función

contour(X,Y,Z,30); %Dibujamos las líneas de corriente
hold on

%Dibujamos el campo de velocidades (gradiente de phi)

Cx=(1-(1./U.^2)).*cos(V).^2 + (1+(1./U.^2)).*sin(V).^2 - (sqrt(2)./U).*sin(V);
Cy=(1-(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) - (1+(1./U.^2)).*sin(V).*cos(V) + (sqrt(2)./U).*cos(V);

quiver(X,Y,Cx,Cy);

plot(1*cos(th),1*sin(th),'k','lineWidth',1); %Representación del obstáculo
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
xlabel 'Eje X';
ylabel 'Eje Y';
axis equal
view(2);
hold off

}}

=Velocidades máxima y mínimas en un fluido=
Calcular los puntos de la frontera del obstáculo S donde el módulo de la velocidad es mayor y menor. Los puntos en los que la velocidad es nula se denominan puntos de remanso. Señalar los puntos de remanso en el borde del obstáculo en una gráfica.

Puesto que <math> \vec{u} =\nabla\varphi </math> tenemos que hallar el módulo de la velocidad, <math> \left \| \vec u \right \|</math> . Esto es un escalar y puesto que se quiere analizar en la región S =<math> \left \{(\rho,θ): \rho=1 \right \}</math> simplificando el módulo en la siguiente ecuación:
<math> \left \| \vec u \right \|= -2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2 </math>

Derivando la ecuación se halla los puntos de inflexión obtiendose los máximos y mínimos.
<math> \frac {\partial}{\partial\theta}\left ( -2sin\theta + \sqrt 2 \right )=0 \Rightarrow cos(\theta)=0 \Rightarrow \theta=3π/2 </math> y <math>\theta=π/2 </math>

Por lo consiguiente, los puntos de inflexión son: 3π/2 y π/2. Puesto que el módulo de la velocidad es dado en valor absoluto, su valor mínimo posible es <math> \left \| \vec u \right \|=0 </math>

Dichos puntos son en 3π/4 y π/4

En conclusión:
el máximo se da en: 3π/2 y el mínimo se da en: 3π/4 y π/4.

Observación: para comprobar que son máximos y mínimos se dan valores.

[[Archivo:Velocidad_en_S|miniaturadeimagen]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,2*pi,1000);
y=f(x);
a=1;

%Se cambian de signo los valores negativos

for i=y
if i<0
i=-i;
end
y(a)=i;
a=a+1;
end
plot(x,y)
xlabel('ángulo')
ylabel('módulo de la velocidad')
}}

=Ecuación de Bernoulli=

En esta sección, se calculará los puntos de mayor y menor presión del fluido. Supondremos que la densidad del fluido es constante <math> d = 2 </math>, y que se verifica la ecuación de Bernoulli:
<math> 1/2 d \left \| \vec u \right \|{^2}=cte </math>.
La presión del fluido es calculada dando el valor 10 a la constante anterior.

Puesto que al valor de la cte se le asigna el valor de 10, la ecuación queda como:
<math> p=10-\left \| \vec u \right \|{^2} </math>.
Dado que el interés se concentra en la región del obstáculo S, podemos dejar <math> \left \| \vec u \right \|{^2} </math> en función del parámetro <math> \theta </math>.

<math> p=10-\left ( -2senθ +\sqrt[]{2} \right ){^2} </math>
Derivando la función e igualando a 0 se obtiene la siguiente ecuación:
<math> 2senθcosθ=\sqrt[]{2}cosθ </math>.
Hallamos los distintos máximos y mínimos. Puesto que cosθ puede ser =0, debemos acotar la función, Esto significa que se tiene que comprobar que tanto en π/2 y 3π/2 pueda haber un máximo o mínimo.

El máximo se da en π/4 y 3π/4 mientras que el mínimo se da en: 3π/2.

Para observar las diferencias, a continuación se expone un gráfico de las presiones en el obstáculo.

=Ecuación de Navier Stokes=

La ecuación de Bernoulli satisface la ecuación de Navier Stokes estacionaria. Para ello, se calcula el gradiente de la ecuación de Bernoulli con el proposito de verificar la siguiente identidad vectorial:

<math> (\nabla·\vec{u})·\vec{u}= 1/2 \nabla(\left | \vec {u} \right |{^2}) -\vec {u}×\nabla\times\vec {u} </math>

En aparatados anteriores, se había calculado tanto la divergencia como el rotacional de <math> \vec {u} </math>, la cual es 0 en ambos casos. Puesto que ambos operadores son 0, se cumple la expresión de Navier Stokes.

=Velocidades y presiones=

Observando tanto el campo de velocidades como el de presiones, se puede deducir que hay una relación entre presión y velocidad. Esto se deduce a partir de que cuanto menor es su presión (parte baja del gráfico), aumenta el módulo de la velocidad. Además, esto es lógico ya que cuando se habla de un fluido incompresible, su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser cte.

<math> B=z+p/δ+v{^2}/(2g) </math>

Luego, para compensar, si la presión desciende, su velocidad ha de aumentar y viceversa.

=Paradoja de D'Alembert=

Puesto que p <math> \vec {n} </math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, esto significa que, al sumar
la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math> \vec {i} </math> la resultante es nula. En particular, el
fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

<math> \int p·\vec {n}·\vec {i} = \int p cosθ ds =\int 10-{(-2\cdot sin (\theta) + \sqrt 2)^2}cosθ\left \|γ′\right \| dθ</math>

Si parametrizamos a γ como <math> \left \{ (\rho,\theta)=(1,\theta) \right \} \theta\epsilon[0,2π) \Rightarrow \left | γ′ \right |=1</math>

Por lo que:

<math> \int_{0}^{2π} (10cosθ-2cosθ-4sen{^2}θcosθ+4\sqrt{2}senθcosθ)dθ= 0 </math>

=Curvas de nivel=