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Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-05T16:56:16Z

JuanC:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo de radio 2.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial <math>φ</math> es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]

El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:

[[Archivo:Gradienteycurvasdenivel reducida.jpg|marco|derecha|Imagen del gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
hold on
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}
[[Archivo:Zoomgradiente1.png|marco|derecha|Detalle del gradiente y las curvas de nivel]]
Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que: 

<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente <math>\overline{g}_\rho</math> se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta: 

<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math> 
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos puntos:: 
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> 
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> 
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''' 

<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son cada una de las trayectorias que siguen las partículas de fluido situadas en el campo <math>\bar { u } </math>. 

Para dibujar las lineas de corriente del campo <math>\bar { u } </math> hacemos el siguiente procedimiento: 
<math>\begin{cases} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{cases} \qquad \bar { v } =\rho\begin{vmatrix} { \overline { g }^\rho } & { \overline { g }^ \theta } & { \overline { g }^ z } \\0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}={ { \overline { g } } ^ \rho }({ -\rho u }^{ \theta })-{ \overline { g } ^ \theta }({ -\rho u }^{ \rho })+0{ \overline { g }^ z }=-\rho u^\theta \overline{g}^\rho + \rho u^\rho \overline{g}^\theta</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
Para hallar un potencial escalar de <math>\bar { v } </math> necesitaremos comprobar si cumple la condición necesaria::<math>rot(\overline{v})=0</math>
Aunque puede que pese a que se cumpla esta no exista potencial escalar del campo <math>\bar { v } </math>.Demostremos que la condición necesaria se cumple::
<math>\overline{v}=-2 sen( \theta )(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g} ^\rho+2 cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^ \theta</math> 

'''Así:''':
<math>rot(\bar { v } )=\frac { 1 }{ \rho } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { 0} \end{vmatrix}==\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { v }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { v }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho }(2 cos( \theta)( \rho+\frac{4}{ \rho^2})-(2 cos( \theta)( \rho+\frac{4}{ \rho^2}))\bar { { g }_{ z } }=0</math>

Por tanto, ahora buscaremos el potencial escalar de <math>\overline{u}</math>, <math>\Psi</math>, cuyas curvas de nivel nos indicarán las lineas de corriente del campo de velocidades del fluido estudiado. Para ello sabemos que: 

<math>\frac { \partial \psi }{ \partial \rho }=2 sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})</math>(1) 
<math>\frac { \partial \psi }{ \partial \theta }=2 cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})</math>(2) 

De (1) podemos sacar que: 

<math>\Psi=\int{2 sen(\theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho}=2 sen(\theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})+ f( \theta)</math> 

Si introducimos esto en (2): 

<math>\frac {\partial \psi }{ \partial \theta}=2 cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})+f'( \theta)=2 cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\Longrightarrow f'( \theta)=0 \Longrightarrow f( \theta)=K</math>

Si tomamos <math>K=0</math>: 

<math>\Psi=2 sen( \theta)( \rho-\frac{4}{\rho})</math>

Con el siguiente código obtenemos las lineas de corriente del campo:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

==Puntos de la frontera==

Vamos a analizar los puntos de la frontera en los valores 2 y 6. Para ello primero sustituiremos los valores de <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> en el campo <math>\overline { u }</math> y después derivamos el campo <math>\overline { u }</math> y sacamos los puntos en los que se anula la derivada de <math>\overline { u }</math> para obtener los puntos en los que encontraremos máximos y mínimos. Para saber si los puntos son máximos o mínimos lo evaluaremos en la función, no en la derivada.

Campo <math>\bar { u }</math>::
<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 

Para <math>\rho =2</math> 
<math>\bar { u } =-2sen(\theta )</math> 
<math>{ \bar { u } }'=-2cos(\theta )=0 </math> 

Igualando a 0 obtenemos los valores 
<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } </math>Evaluando en u sabemos que es un Mínimo 
Análogamente se haría lo mismo en los otros valores de <math>\theta</math> para saber si son máximos o mínimos 
<math>\theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> Máximo 

Para el valor <math>\underline { \rho =6 }:</math> 
<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 

Al igualar a 0 obtenemos los siguientes valores: 
<math>\theta =0 </math> maximo 
<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } </math>Mínimo 
<math>\theta = 3\frac { \pi }{ 2 } </math>Mínimo 
<math>\theta = { \pi } </math>Máximo 

A continuación vamos a obtener numericamente los máximos y los mínimos con MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá. 
Para nuestro análisis tomaremos un fluido con <math>\rho =2</math> y <math>cte=15</math>
[[Archivo:Presiones_reducid.jpg|marco|derecha|Nivel de presiones]]
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado. 

<math>P =15-2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } )+\left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) </math> 
<math>\frac { 1 }{ 2 } d{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }\cdot P =cte</math> 
<math>P =15-\frac { 1 }{ 2 } 2{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }=5-{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }</math> 
<math>{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }={ \left( 2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ) \right) }^{ 2 }+{ \left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) }^{ 2 }</math> 
<math>max(P) \leadsto min(\bar { u } )</math> 
<math>\rho =2;\quad max(P)\quad \leadsto \quad \theta =\pi \quad En\quad las\quad fronteras\\ P(2,\pi )=15</math> 
<math>\frac { \partial P }{ \partial \theta } =-\left( \left( -2sen(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) 2\left( \left( 2cos(\theta \right) \left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) \right) +\left( 2\left( -2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \right) \left( -2cos(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) \right) \right) </math> 
<math>\frac { \partial P }{ \partial \rho } =-\left( \left( -2sen(\theta )\left( -\frac { 8 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) \right) 2\left( \left( 2cos(\theta \right) \left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) \right) +\left( 2\left( -2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \right) \left( -2\left( \frac { 14+3{ \rho }^{ 2 } }{ { \rho }^{ 2 } } \right) sen(\theta ) \right) \right) </math>

==Variación de la velocidad y la presión==
[[Archivo:Presionesylineasdecorriente reducida.jpg|marco|Imagen de presiones y líneas de corriente en el campo]]
En la imagen de la derecha se muestran las curvas de nivel y las lineas de corriente. El fluido comienza con presión mínima, al irse aproximando a <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> aumenta la presión. En <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> se alcanza la presión máxima. Al alejarse después de estos valores la presión vuelve a descender hacia su valor mínimo.
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
hold on
%Definimos la funcion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20,'b')
}}

[[Archivo:Gradienteylineasdecorriente reducida.jpg|marco|Imagen del gradiente y líneas de corriente del campo]]
En la imagen de la derecha se muestra el campo de velocidades y las lineas de corriente. El fluido comienza con velocidad máxima, al irse aproximando a <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> disminuye su velocidad. En <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> se alcanza la velocidad mínima. Al alejarse de estos valores la velocidad aumenta.
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
hold on
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

Con esto vemos que presión y velocidad son inversamente proporcionales. La relación entre ellas está dada por la siguiente fórmula: 

<math>\frac { 1 }{ 2 } d{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }\cdot P =cte</math> 

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==
[[Archivo:Lineasnivelpresion reducida2.jpg|marco|Líneas de nivel de la presión]]

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-05T16:55:23Z

JuanC: /* Campo de velocidades y función potencial */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo de radio 2.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial <math>φ</math> es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]

El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:

[[Archivo:Gradienteycurvasdenivel reducida.jpg|marco|derecha|Imagen del gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
hold on
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}
[[Archivo:Zoomgradiente1.png|marco|derecha|Detalle del gradiente y las curvas de nivel]]
Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que: 

<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente <math>\overline{g}_\rho</math> se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta: 

<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math> 
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos puntos:: 
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> 
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> 
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''' 

<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son cada una de las trayectorias que siguen las partículas de fluido situadas en el campo <math>\bar { u } </math>. 

Para dibujar las lineas de corriente del campo <math>\bar { u } </math> hacemos el siguiente procedimiento: 
<math>\begin{cases} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{cases} \qquad \bar { v } =\rho\begin{vmatrix} { \overline { g }^\rho } & { \overline { g }^ \theta } & { \overline { g }^ z } \\0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}={ { \overline { g } } ^ \rho }({ -\rho u }^{ \theta })-{ \overline { g } ^ \theta }({ -\rho u }^{ \rho })+0{ \overline { g }^ z }=-\rho u^\theta \overline{g}^\rho + \rho u^\rho \overline{g}^\theta</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
Para hallar un potencial escalar de <math>\bar { v } </math> necesitaremos comprobar si cumple la condición necesaria::<math>rot(\overline{v})=0</math>
Aunque puede que pese a que se cumpla esta no exista potencial escalar del campo <math>\bar { v } </math>.Demostremos que la condición necesaria se cumple::
<math>\overline{v}=-2 sen( \theta )(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g} ^\rho+2 cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^ \theta</math> 

'''Así:''':
<math>rot(\bar { v } )=\frac { 1 }{ \rho } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { 0} \end{vmatrix}==\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { v }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { v }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho }(2 cos( \theta)( \rho+\frac{4}{ \rho^2})-(2 cos( \theta)( \rho+\frac{4}{ \rho^2}))\bar { { g }_{ z } }=0</math>

Por tanto, ahora buscaremos el potencial escalar de <math>\overline{u}</math>, <math>\Psi</math>, cuyas curvas de nivel nos indicarán las lineas de corriente del campo de velocidades del fluido estudiado. Para ello sabemos que: 

<math>\frac { \partial \psi }{ \partial \rho }=2 sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})</math>(1) 
<math>\frac { \partial \psi }{ \partial \theta }=2 cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})</math>(2) 

De (1) podemos sacar que: 

<math>\Psi=\int{2 sen(\theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho}=2 sen(\theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})+ f( \theta)</math> 

Si introducimos esto en (2): 

<math>\frac {\partial \psi }{ \partial \theta}=2 cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})+f'( \theta)=2 cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\Longrightarrow f'( \theta)=0 \Longrightarrow f( \theta)=K</math>

Si tomamos <math>K=0</math>: 

<math>\Psi=2 sen( \theta)( \rho-\frac{4}{\rho})</math>

Con el siguiente código obtenemos las lineas de corriente del campo:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

==Puntos de la frontera==

Vamos a analizar los puntos de la frontera en los valores 2 y 6. Para ello primero sustituiremos los valores de <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> en el campo <math>\overline { u }</math> y después derivamos el campo <math>\overline { u }</math> y sacamos los puntos en los que se anula la derivada de <math>\overline { u }</math> para obtener los puntos en los que encontraremos máximos y mínimos. Para saber si los puntos son máximos o mínimos lo evaluaremos en la función, no en la derivada.

Campo <math>\bar { u }</math>::
<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 

Para <math>\rho =2</math> 
<math>\bar { u } =-2sen(\theta )</math> 
<math>{ \bar { u } }'=-2cos(\theta )=0 </math> 

Igualando a 0 obtenemos los valores 
<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } </math>Evaluando en u sabemos que es un Mínimo 
Análogamente se haría lo mismo en los otros valores de <math>\theta</math> para saber si son máximos o mínimos 
<math>\theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> Máximo 

Para el valor <math>\underline { \rho =6 }:</math> 
<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 

Al igualar a 0 obtenemos los siguientes valores: 
<math>\theta =0 </math> maximo 
<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } </math>Mínimo 
<math>\theta = 3\frac { \pi }{ 2 } </math>Mínimo 
<math>\theta = { \pi } </math>Máximo 

A continuación vamos a obtener numericamente los máximos y los mínimos con MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá. 
Para nuestro análisis tomaremos un fluido con <math>\rho =2</math> y <math>cte=15</math>
[[Archivo:Presiones_reducid.jpg|marco|derecha|Nivel de presiones]]
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado. 

<math>P =15-2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } )+\left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) </math> 
<math>\frac { 1 }{ 2 } d{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }\cdot P =cte</math> 
<math>P =15-\frac { 1 }{ 2 } 2{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }=5-{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }</math> 
<math>{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }={ \left( 2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ) \right) }^{ 2 }+{ \left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) }^{ 2 }</math> 
<math>max(P) \leadsto min(\bar { u } )</math> 
<math>\rho =2;\quad max(P)\quad \leadsto \quad \theta =\pi \quad En\quad las\quad fronteras\\ P(2,\pi )=15</math> 
<math>\frac { \partial P }{ \partial \theta } =-\left( \left( -2sen(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) 2\left( \left( 2cos(\theta \right) \left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) \right) +\left( 2\left( -2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \right) \left( -2cos(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) \right) \right) </math> 
<math>\frac { \partial P }{ \partial \rho } =-\left( \left( -2sen(\theta )\left( -\frac { 8 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) \right) 2\left( \left( 2cos(\theta \right) \left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) \right) +\left( 2\left( -2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \right) \left( -2\left( \frac { 14+3{ \rho }^{ 2 } }{ { \rho }^{ 2 } } \right) sen(\theta ) \right) \right) </math>

==Variación de la velocidad y la presión==
[[Archivo:Presionesylineasdecorriente reducida.jpg|marco|Imagen de presiones y líneas de corriente en el campo]]
En la imagen de la derecha se muestran las curvas de nivel y las lineas de corriente. El fluido comienza con presión mínima, al irse aproximando a <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> aumenta la presión. En <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> se alcanza la presión máxima. Al alejarse después de estos valores la presión vuelve a descender hacia su valor mínimo.
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
hold on
%Definimos la funcion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20,'b')
}}

[[Archivo:Gradienteylineasdecorriente reducida.jpg|marco|Imagen del gradiente y líneas de corriente del campo]]
En la imagen de la derecha se muestra el campo de velocidades y las lineas de corriente. El fluido comienza con velocidad máxima, al irse aproximando a <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> disminuye su velocidad. En <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> se alcanza la velocidad mínima. Al alejarse de estos valores la velocidad aumenta.
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
hold on
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

Con esto vemos que presión y velocidad son inversamente proporcionales. La relación entre ellas está dada por la siguiente fórmula: 

<math>\frac { 1 }{ 2 } d{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }\cdot P =cte</math> 

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==
[[Archivo:Lineasnivelpresion reducida2.jpg|marco|Líneas de nivel de la presión]]

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Archivo:Zoomgradiente1.png

2014-12-05T16:54:58Z

JuanC:

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-05T16:20:50Z

JuanC: /* Presión y ecuación de Bernouilli */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo de radio 2.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial <math>φ</math> es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]

El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:

[[Archivo:Gradienteycurvasdenivel reducida.jpg|marco|derecha|Imagen del gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
hold on
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}
[[Archivo:Gradienteycurvasdenivel zoom reducida.jpg|marco|derecha|Detalle del gradiente y las curvas de nivel]]
Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que: 

<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente <math>\overline{g}_\rho</math> se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta: 

<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math> 
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos puntos:: 
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> 
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> 
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''' 

<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son cada una de las trayectorias que siguen las partículas de fluido situadas en el campo <math>\bar { u } </math>. 

Para dibujar las lineas de corriente del campo <math>\bar { u } </math> hacemos el siguiente procedimiento: 
<math>\begin{cases} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{cases} \qquad \bar { v } =\rho\begin{vmatrix} { \overline { g }^\rho } & { \overline { g }^ \theta } & { \overline { g }^ z } \\0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}={ { \overline { g } } ^ \rho }({ -\rho u }^{ \theta })-{ \overline { g } ^ \theta }({ -\rho u }^{ \rho })+0{ \overline { g }^ z }=-\rho u^\theta \overline{g}^\rho + \rho u^\rho \overline{g}^\theta</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
Para hallar un potencial escalar de <math>\bar { v } </math> necesitaremos comprobar si cumple la condición necesaria::<math>rot(\overline{v})=0</math>
Aunque puede que pese a que se cumpla esta no exista potencial escalar del campo <math>\bar { v } </math>.Demostremos que la condición necesaria se cumple::
<math>\overline{v}=-2 sen( \theta )(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g} ^\rho+2 cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^ \theta</math> 

'''Así:''':
<math>rot(\bar { v } )=\frac { 1 }{ \rho } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { 0} \end{vmatrix}==\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { v }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { v }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho }(2 cos( \theta)( \rho+\frac{4}{ \rho^2})-(2 cos( \theta)( \rho+\frac{4}{ \rho^2}))\bar { { g }_{ z } }=0</math>

<math> \Psi=\int_{}^{} 2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho=2sen( \theta)[ \rho-\frac{4}{ \rho}]+cte( \theta) </math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))</math> 
<math>\begin{cases} { u }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }({ u }^{ \theta })=2{ \rho }^{ 2 }cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \\ { u }_{ \rho }={ u }^{ \rho }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \end{cases}</math> <math>\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { \partial (2cos(\theta )({ \rho }^{ 2 }-4)) }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(2\rho )=</math> 
<math>\boxed { 4\rho cos(\theta ) } </math>

==Puntos de la frontera==

Vamos a analizar los puntos de la frontera en los valores 2 y 6. Para ello primero sustituiremos los valores de <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> en el campo <math>\overline { u }</math> y después derivamos el campo <math>\overline { u }</math> y sacamos los puntos en los que se anula la derivada de <math>\overline { u }</math> para obtener los puntos en los que encontraremos máximos y mínimos. Para saber si los puntos son máximos o mínimos lo evaluaremos en la función, no en la derivada.

Campo <math>\bar { u }</math>::
<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 

Para <math>( \rho =2)</math> 
<math>\bar { u } =-2sen(\theta )\overline { g } _{ \theta }\quad \leadsto \quad -2</math> 
máximo <math>\frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =-2cos(\theta )\quad \leadsto \quad \frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =0\quad \leadsto \quad -2cos(\theta ){ \overline { g } }_{ \theta }=0;\quad -2cos(\theta )=0;\quad cos(\theta )=0</math> 

<math>\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { \theta }^{ 2 } } =2sen(\theta )</math> 

<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } ,3\frac { \pi }{ 2 } </math>

Para el valor <math>\underline { \rho =6 } obetenemos los siguientes valores:</math> 
<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 

Al igualar a 0 obtenemos los siguientes valores: 
<math>\theta =0 </math>Maximo 
<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } </math>Mínimo 
<math>\theta = 3\frac { \pi }{ 2 } </math>Mínimo 
<math>\theta = { \pi } </math>Máximo 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá. 
Para nuestro análisis tomaremos un fluido con <math>\rho =2</math> y <math>cte=15</math>
[[Archivo:Presiones_reducid.jpg|marco|derecha|Nivel de presiones]]
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado. 

<math>P =15-2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } )+\left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) </math> 
<math>\frac { 1 }{ 2 } d{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }\cdot P =cte</math> 
<math>P =15-\frac { 1 }{ 2 } 2{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }=5-{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }</math> 
<math>{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }={ \left( 2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ) \right) }^{ 2 }+{ \left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) }^{ 2 }</math> 
<math>max(P) \leadsto min(\bar { u } )</math> 
<math>\rho =2;\quad max(P)\quad \leadsto \quad \theta =\pi \quad En\quad las\quad fronteras\\ P(2,\pi )=15</math> 
<math>\frac { \partial P }{ \partial \theta } =-\left( \left( -2sen(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) 2\left( \left( 2cos(\theta \right) \left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) \right) +\left( 2\left( -2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \right) \left( -2cos(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) \right) \right) </math> 
<math>\frac { \partial P }{ \partial \rho } =-\left( \left( -2sen(\theta )\left( -\frac { 8 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) \right) 2\left( \left( 2cos(\theta \right) \left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) \right) +\left( 2\left( -2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \right) \left( -2\left( \frac { 14+3{ \rho }^{ 2 } }{ { \rho }^{ 2 } } \right) sen(\theta ) \right) \right) </math>

==Variación de la velocidad y la presión==
[[Archivo:Presionesylineasdecorriente reducida.jpg|marco|Imagen de presiones y líneas de corriente en el campo]]
En la imagen de la derecha se muestran las curvas de nivel y las lineas de corriente. El fluido comienza con presión mínima, al irse aproximando a <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> aumenta la presión. En <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> se alcanza la presión máxima. Al alejarse después de estos valores la presión vuelve a descender hacia su valor mínimo.
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
hold on
%Definimos la funcion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20,'b')
}}

[[Archivo:Gradienteylineasdecorriente reducida.jpg|marco|Imagen del gradiente y líneas de corriente del campo]]
En la imagen de la derecha se muestra el campo de velocidades y las lineas de corriente. El fluido comienza con velocidad máxima, al irse aproximando a <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> disminuye su velocidad. En <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> se alcanza la velocidad mínima. Al alejarse de estos valores la velocidad aumenta.
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
hold on
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

Con esto vemos que presión y velocidad son inversamente proporcionales. La relación entre ellas está dada por la siguiente fórmula: 

<math>\frac { 1 }{ 2 } d{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }\cdot P =cte</math> 

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==
[[Archivo:Lineasnivelpresion reducida2.jpg|marco|Líneas de nivel de la presión]]

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-05T16:20:17Z

JuanC: /* Presión y ecuación de Bernouilli */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo de radio 2.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial <math>φ</math> es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]

El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:

[[Archivo:Gradienteycurvasdenivel reducida.jpg|marco|derecha|Imagen del gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
hold on
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}
[[Archivo:Gradienteycurvasdenivel zoom reducida.jpg|marco|derecha|Detalle del gradiente y las curvas de nivel]]
Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que: 

<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente <math>\overline{g}_\rho</math> se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta: 

<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math> 
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos puntos:: 
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> 
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> 
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''' 

<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son cada una de las trayectorias que siguen las partículas de fluido situadas en el campo <math>\bar { u } </math>. 

Para dibujar las lineas de corriente del campo <math>\bar { u } </math> hacemos el siguiente procedimiento: 
<math>\begin{cases} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{cases} \qquad \bar { v } =\rho\begin{vmatrix} { \overline { g }^\rho } & { \overline { g }^ \theta } & { \overline { g }^ z } \\0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}={ { \overline { g } } ^ \rho }({ -\rho u }^{ \theta })-{ \overline { g } ^ \theta }({ -\rho u }^{ \rho })+0{ \overline { g }^ z }=-\rho u^\theta \overline{g}^\rho + \rho u^\rho \overline{g}^\theta</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
Para hallar un potencial escalar de <math>\bar { v } </math> necesitaremos comprobar si cumple la condición necesaria::<math>rot(\overline{v})=0</math>
Aunque puede que pese a que se cumpla esta no exista potencial escalar del campo <math>\bar { v } </math>.Demostremos que la condición necesaria se cumple::
<math>\overline{v}=-2 sen( \theta )(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g} ^\rho+2 cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^ \theta</math> 

'''Así:''':
<math>rot(\bar { v } )=\frac { 1 }{ \rho } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { 0} \end{vmatrix}==\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { v }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { v }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho }(2 cos( \theta)( \rho+\frac{4}{ \rho^2})-(2 cos( \theta)( \rho+\frac{4}{ \rho^2}))\bar { { g }_{ z } }=0</math>

<math> \Psi=\int_{}^{} 2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho=2sen( \theta)[ \rho-\frac{4}{ \rho}]+cte( \theta) </math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))</math> 
<math>\begin{cases} { u }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }({ u }^{ \theta })=2{ \rho }^{ 2 }cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \\ { u }_{ \rho }={ u }^{ \rho }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \end{cases}</math> <math>\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { \partial (2cos(\theta )({ \rho }^{ 2 }-4)) }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(2\rho )=</math> 
<math>\boxed { 4\rho cos(\theta ) } </math>

==Puntos de la frontera==

Vamos a analizar los puntos de la frontera en los valores 2 y 6. Para ello primero sustituiremos los valores de <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> en el campo <math>\overline { u }</math> y después derivamos el campo <math>\overline { u }</math> y sacamos los puntos en los que se anula la derivada de <math>\overline { u }</math> para obtener los puntos en los que encontraremos máximos y mínimos. Para saber si los puntos son máximos o mínimos lo evaluaremos en la función, no en la derivada.

Campo <math>\bar { u }</math>::
<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 

Para <math>( \rho =2)</math> 
<math>\bar { u } =-2sen(\theta )\overline { g } _{ \theta }\quad \leadsto \quad -2</math> 
máximo <math>\frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =-2cos(\theta )\quad \leadsto \quad \frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =0\quad \leadsto \quad -2cos(\theta ){ \overline { g } }_{ \theta }=0;\quad -2cos(\theta )=0;\quad cos(\theta )=0</math> 

<math>\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { \theta }^{ 2 } } =2sen(\theta )</math> 

<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } ,3\frac { \pi }{ 2 } </math>

Para el valor <math>\underline { \rho =6 } obetenemos los siguientes valores:</math> 
<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 

Al igualar a 0 obtenemos los siguientes valores: 
<math>\theta =0 </math>Maximo 
<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } </math>Mínimo 
<math>\theta = 3\frac { \pi }{ 2 } </math>Mínimo 
<math>\theta = { \pi } </math>Máximo 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá. 
Para nuestro análisis tomaremos un fluido con <math>\rho =2</math> y <math>\bar { p } =15</math>
[[Archivo:Presiones_reducid.jpg|marco|derecha|Nivel de presiones]]
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado. 

<math>P =15-2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } )+\left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) </math> 
<math>\frac { 1 }{ 2 } d{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }\cdot P =cte</math> 
<math>P =15-\frac { 1 }{ 2 } 2{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }=5-{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }</math> 
<math>{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }={ \left( 2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ) \right) }^{ 2 }+{ \left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) }^{ 2 }</math> 
<math>max(P) \leadsto min(\bar { u } )</math> 
<math>\rho =2;\quad max(P)\quad \leadsto \quad \theta =\pi \quad En\quad las\quad fronteras\\ P(2,\pi )=15</math> 
<math>\frac { \partial P }{ \partial \theta } =-\left( \left( -2sen(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) 2\left( \left( 2cos(\theta \right) \left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) \right) +\left( 2\left( -2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \right) \left( -2cos(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) \right) \right) </math> 
<math>\frac { \partial P }{ \partial \rho } =-\left( \left( -2sen(\theta )\left( -\frac { 8 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) \right) 2\left( \left( 2cos(\theta \right) \left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) \right) +\left( 2\left( -2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \right) \left( -2\left( \frac { 14+3{ \rho }^{ 2 } }{ { \rho }^{ 2 } } \right) sen(\theta ) \right) \right) </math>

==Variación de la velocidad y la presión==
[[Archivo:Presionesylineasdecorriente reducida.jpg|marco|Imagen de presiones y líneas de corriente en el campo]]
En la imagen de la derecha se muestran las curvas de nivel y las lineas de corriente. El fluido comienza con presión mínima, al irse aproximando a <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> aumenta la presión. En <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> se alcanza la presión máxima. Al alejarse después de estos valores la presión vuelve a descender hacia su valor mínimo.
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
hold on
%Definimos la funcion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20,'b')
}}

[[Archivo:Gradienteylineasdecorriente reducida.jpg|marco|Imagen del gradiente y líneas de corriente del campo]]
En la imagen de la derecha se muestra el campo de velocidades y las lineas de corriente. El fluido comienza con velocidad máxima, al irse aproximando a <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> disminuye su velocidad. En <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> se alcanza la velocidad mínima. Al alejarse de estos valores la velocidad aumenta.
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
hold on
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

Con esto vemos que presión y velocidad son inversamente proporcionales. La relación entre ellas está dada por la siguiente fórmula: 

<math>\frac { 1 }{ 2 } d{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }\cdot P =cte</math> 

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==
[[Archivo:Lineasnivelpresion reducida2.jpg|marco|Líneas de nivel de la presión]]

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-05T16:14:55Z

JuanC: /* Variación de la velocidad y la presión */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo de radio 2.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial <math>φ</math> es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]

El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:

[[Archivo:Gradienteycurvasdenivel reducida.jpg|marco|derecha|Imagen del gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
hold on
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}
[[Archivo:Gradienteycurvasdenivel zoom reducida.jpg|marco|derecha|Detalle del gradiente y las curvas de nivel]]
Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que: 

<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente <math>\overline{g}_\rho</math> se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta: 

<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math> 
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos puntos:: 
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> 
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> 
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''' 

<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son cada una de las trayectorias que siguen las partículas de fluido situadas en el campo <math>\bar { u } </math>. 

Para dibujar las lineas de corriente del campo <math>\bar { u } </math> hacemos el siguiente procedimiento: 
<math>\begin{cases} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{cases} \qquad \bar { v } =\rho\begin{vmatrix} { \overline { g }^\rho } & { \overline { g }^ \theta } & { \overline { g }^ z } \\0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}={ { \overline { g } } ^ \rho }({ -\rho u }^{ \theta })-{ \overline { g } ^ \theta }({ -\rho u }^{ \rho })+0{ \overline { g }^ z }=-\rho u^\theta \overline{g}^\rho + \rho u^\rho \overline{g}^\theta</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
Para hallar un potencial escalar de <math>\bar { v } </math> necesitaremos comprobar si cumple la condición necesaria::<math>rot(\overline{v})=0</math>
Aunque puede que pese a que se cumpla esta no exista potencial escalar del campo <math>\bar { v } </math>.Demostremos que la condición necesaria se cumple::
<math>\overline{v}=-2 sen( \theta )(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g} ^\rho+2 cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^ \theta</math> 

'''Así:''':
<math>rot(\bar { v } )=\frac { 1 }{ \rho } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { 0} \end{vmatrix}==\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { v }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { v }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho }(2 cos( \theta)( \rho+\frac{4}{ \rho^2})-(2 cos( \theta)( \rho+\frac{4}{ \rho^2}))\bar { { g }_{ z } }=0</math>

<math> \Psi=\int_{}^{} 2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho=2sen( \theta)[ \rho-\frac{4}{ \rho}]+cte( \theta) </math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))</math> 
<math>\begin{cases} { u }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }({ u }^{ \theta })=2{ \rho }^{ 2 }cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \\ { u }_{ \rho }={ u }^{ \rho }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \end{cases}</math> <math>\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { \partial (2cos(\theta )({ \rho }^{ 2 }-4)) }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(2\rho )=</math> 
<math>\boxed { 4\rho cos(\theta ) } </math>

==Puntos de la frontera==

Vamos a analizar los puntos de la frontera en los valores 2 y 6. Para ello primero sustituiremos los valores de <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> en el campo <math>\overline { u }</math> y después derivamos el campo <math>\overline { u }</math> y sacamos los puntos en los que se anula la derivada de <math>\overline { u }</math> para obtener los puntos en los que encontraremos máximos y mínimos. Para saber si los puntos son máximos o mínimos lo evaluaremos en la función, no en la derivada.

Campo <math>\bar { u }</math>::
<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 

Para <math>( \rho =2)</math> 
<math>\bar { u } =-2sen(\theta )\overline { g } _{ \theta }\quad \leadsto \quad -2</math> 
máximo <math>\frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =-2cos(\theta )\quad \leadsto \quad \frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =0\quad \leadsto \quad -2cos(\theta ){ \overline { g } }_{ \theta }=0;\quad -2cos(\theta )=0;\quad cos(\theta )=0</math> 

<math>\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { \theta }^{ 2 } } =2sen(\theta )</math> 

<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } ,3\frac { \pi }{ 2 } </math>

Para el valor <math>\underline { \rho =6 } obetenemos los siguientes valores:</math> 
<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 

Al igualar a 0 obtenemos los siguientes valores: 
<math>\theta =0 </math>Maximo 
<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } </math>Mínimo 
<math>\theta = 3\frac { \pi }{ 2 } </math>Mínimo 
<math>\theta = { \pi } </math>Máximo 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá.
[[Archivo:Presiones_reducid.jpg|marco|derecha|Nivel de presiones]]
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado. 

<math>P =15-2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } )+\left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) </math> 
<math>\frac { 1 }{ 2 } d{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }\cdot P =cte</math> 
<math>P =15-\frac { 1 }{ 2 } 2{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }=5-{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }</math> 
<math>{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }={ \left( 2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ) \right) }^{ 2 }+{ \left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) }^{ 2 }</math> 
<math>max(P) \leadsto min(\bar { u } )</math> 
<math>\rho =2;\quad max(P)\quad \leadsto \quad \theta =\pi \quad En\quad las\quad fronteras\\ P(2,\pi )=15</math> 
<math>\frac { \partial P }{ \partial \theta } =-\left( \left( -2sen(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) 2\left( \left( 2cos(\theta \right) \left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) \right) +\left( 2\left( -2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \right) \left( -2cos(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) \right) \right) </math> 
<math>\frac { \partial P }{ \partial \rho } =-\left( \left( -2sen(\theta )\left( -\frac { 8 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) \right) 2\left( \left( 2cos(\theta \right) \left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) \right) +\left( 2\left( -2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \right) \left( -2\left( \frac { 14+3{ \rho }^{ 2 } }{ { \rho }^{ 2 } } \right) sen(\theta ) \right) \right) </math>

==Variación de la velocidad y la presión==
[[Archivo:Presionesylineasdecorriente reducida.jpg|marco|Imagen de presiones y líneas de corriente en el campo]]
En la imagen de la derecha se muestran las curvas de nivel y las lineas de corriente. El fluido comienza con presión mínima, al irse aproximando a <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> aumenta la presión. En <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> se alcanza la presión máxima. Al alejarse después de estos valores la presión vuelve a descender hacia su valor mínimo.
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
hold on
%Definimos la funcion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20,'b')
}}

[[Archivo:Gradienteylineasdecorriente reducida.jpg|marco|Imagen del gradiente y líneas de corriente del campo]]
En la imagen de la derecha se muestra el campo de velocidades y las lineas de corriente. El fluido comienza con velocidad máxima, al irse aproximando a <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> disminuye su velocidad. En <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> se alcanza la velocidad mínima. Al alejarse de estos valores la velocidad aumenta.
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
hold on
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

Con esto vemos que presión y velocidad son inversamente proporcionales. La relación entre ellas está dada por la siguiente fórmula: 

<math>\frac { 1 }{ 2 } d{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }\cdot P =cte</math> 

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==
[[Archivo:Lineasnivelpresion reducida2.jpg|marco|Líneas de nivel de la presión]]

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-05T16:14:10Z

JuanC: /* Variación de la velocidad y la presión */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo de radio 2.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial <math>φ</math> es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]

El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:

[[Archivo:Gradienteycurvasdenivel reducida.jpg|marco|derecha|Imagen del gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
hold on
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}
[[Archivo:Gradienteycurvasdenivel zoom reducida.jpg|marco|derecha|Detalle del gradiente y las curvas de nivel]]
Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que: 

<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente <math>\overline{g}_\rho</math> se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta: 

<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math> 
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos puntos:: 
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> 
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> 
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''' 

<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son cada una de las trayectorias que siguen las partículas de fluido situadas en el campo <math>\bar { u } </math>. 

Para dibujar las lineas de corriente del campo <math>\bar { u } </math> hacemos el siguiente procedimiento: 
<math>\begin{cases} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{cases} \qquad \bar { v } =\rho\begin{vmatrix} { \overline { g }^\rho } & { \overline { g }^ \theta } & { \overline { g }^ z } \\0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}={ { \overline { g } } ^ \rho }({ -\rho u }^{ \theta })-{ \overline { g } ^ \theta }({ -\rho u }^{ \rho })+0{ \overline { g }^ z }=-\rho u^\theta \overline{g}^\rho + \rho u^\rho \overline{g}^\theta</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
Para hallar un potencial escalar de <math>\bar { v } </math> necesitaremos comprobar si cumple la condición necesaria::<math>rot(\overline{v})=0</math>
Aunque puede que pese a que se cumpla esta no exista potencial escalar del campo <math>\bar { v } </math>.Demostremos que la condición necesaria se cumple::
<math>\overline{v}=-2 sen( \theta )(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g} ^\rho+2 cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^ \theta</math> 

'''Así:''':
<math>rot(\bar { v } )=\frac { 1 }{ \rho } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { 0} \end{vmatrix}==\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { v }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { v }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho }(2 cos( \theta)( \rho+\frac{4}{ \rho^2})-(2 cos( \theta)( \rho+\frac{4}{ \rho^2}))\bar { { g }_{ z } }=0</math>

<math> \Psi=\int_{}^{} 2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho=2sen( \theta)[ \rho-\frac{4}{ \rho}]+cte( \theta) </math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))</math> 
<math>\begin{cases} { u }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }({ u }^{ \theta })=2{ \rho }^{ 2 }cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \\ { u }_{ \rho }={ u }^{ \rho }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \end{cases}</math> <math>\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { \partial (2cos(\theta )({ \rho }^{ 2 }-4)) }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(2\rho )=</math> 
<math>\boxed { 4\rho cos(\theta ) } </math>

==Puntos de la frontera==

Vamos a analizar los puntos de la frontera en los valores 2 y 6. Para ello primero sustituiremos los valores de <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> en el campo <math>\overline { u }</math> y después derivamos el campo <math>\overline { u }</math> y sacamos los puntos en los que se anula la derivada de <math>\overline { u }</math> para obtener los puntos en los que encontraremos máximos y mínimos. Para saber si los puntos son máximos o mínimos lo evaluaremos en la función, no en la derivada.

Campo <math>\bar { u }</math>::
<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 

Para <math>( \rho =2)</math> 
<math>\bar { u } =-2sen(\theta )\overline { g } _{ \theta }\quad \leadsto \quad -2</math> 
máximo <math>\frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =-2cos(\theta )\quad \leadsto \quad \frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =0\quad \leadsto \quad -2cos(\theta ){ \overline { g } }_{ \theta }=0;\quad -2cos(\theta )=0;\quad cos(\theta )=0</math> 

<math>\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { \theta }^{ 2 } } =2sen(\theta )</math> 

<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } ,3\frac { \pi }{ 2 } </math>

Para el valor <math>\underline { \rho =6 } obetenemos los siguientes valores:</math> 
<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 

Al igualar a 0 obtenemos los siguientes valores: 
<math>\theta =0 </math>Maximo 
<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } </math>Mínimo 
<math>\theta = 3\frac { \pi }{ 2 } </math>Mínimo 
<math>\theta = { \pi } </math>Máximo 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá.
[[Archivo:Presiones_reducid.jpg|marco|derecha|Nivel de presiones]]
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado. 

<math>P =15-2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } )+\left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) </math> 
<math>\frac { 1 }{ 2 } d{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }\cdot P =cte</math> 
<math>P =15-\frac { 1 }{ 2 } 2{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }=5-{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }</math> 
<math>{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }={ \left( 2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ) \right) }^{ 2 }+{ \left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) }^{ 2 }</math> 
<math>max(P) \leadsto min(\bar { u } )</math> 
<math>\rho =2;\quad max(P)\quad \leadsto \quad \theta =\pi \quad En\quad las\quad fronteras\\ P(2,\pi )=15</math> 
<math>\frac { \partial P }{ \partial \theta } =-\left( \left( -2sen(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) 2\left( \left( 2cos(\theta \right) \left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) \right) +\left( 2\left( -2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \right) \left( -2cos(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) \right) \right) </math> 
<math>\frac { \partial P }{ \partial \rho } =-\left( \left( -2sen(\theta )\left( -\frac { 8 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) \right) 2\left( \left( 2cos(\theta \right) \left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) \right) +\left( 2\left( -2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \right) \left( -2\left( \frac { 14+3{ \rho }^{ 2 } }{ { \rho }^{ 2 } } \right) sen(\theta ) \right) \right) </math>

==Variación de la velocidad y la presión==
[[Archivo:Presionesylineasdecorriente reducida.jpg|marco|Imagen de presiones y líneas de corriente en el campo]]
En la imagen de la derecha se muestran las curvas de nivel y las lineas de corriente. El fluido comienza con presión mínima, al irse aproximando a <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> aumenta la presión. En <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> se alcanza la presión máxima. Al alejarse después de estos valores la presión vuelve a descender hacia su valor mínimo.
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
hold on
%Definimos la funcion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20,'b')
}}

[[Archivo:Gradienteylineasdecorriente reducida.jpg|marco|Imagen del gradiente y líneas de corriente del campo]]
En la imagen de la derecha se muestra el campo de velocidades y las lineas de corriente. El fluido comienza con velocidad máxima, al irse aproximando a <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> disminuye su velocidad. En <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> se alcanza la velocidad mínima. Al alejarse de estos valores la velocidad aumenta.
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
hold on
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

Con esto vemos que presión y velocidad son inversamente proporcionales. La relación entre ellas está dada por la siguiente fórmula:

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==
[[Archivo:Lineasnivelpresion reducida2.jpg|marco|Líneas de nivel de la presión]]

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-05T16:13:52Z

JuanC: /* Variación de la velocidad y la presión */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo de radio 2.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial <math>φ</math> es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]

El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:

[[Archivo:Gradienteycurvasdenivel reducida.jpg|marco|derecha|Imagen del gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
hold on
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}
[[Archivo:Gradienteycurvasdenivel zoom reducida.jpg|marco|derecha|Detalle del gradiente y las curvas de nivel]]
Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que: 

<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente <math>\overline{g}_\rho</math> se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta: 

<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math> 
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos puntos:: 
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> 
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> 
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''' 

<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son cada una de las trayectorias que siguen las partículas de fluido situadas en el campo <math>\bar { u } </math>. 

Para dibujar las lineas de corriente del campo <math>\bar { u } </math> hacemos el siguiente procedimiento: 
<math>\begin{cases} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{cases} \qquad \bar { v } =\rho\begin{vmatrix} { \overline { g }^\rho } & { \overline { g }^ \theta } & { \overline { g }^ z } \\0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}={ { \overline { g } } ^ \rho }({ -\rho u }^{ \theta })-{ \overline { g } ^ \theta }({ -\rho u }^{ \rho })+0{ \overline { g }^ z }=-\rho u^\theta \overline{g}^\rho + \rho u^\rho \overline{g}^\theta</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
Para hallar un potencial escalar de <math>\bar { v } </math> necesitaremos comprobar si cumple la condición necesaria::<math>rot(\overline{v})=0</math>
Aunque puede que pese a que se cumpla esta no exista potencial escalar del campo <math>\bar { v } </math>.Demostremos que la condición necesaria se cumple::
<math>\overline{v}=-2 sen( \theta )(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g} ^\rho+2 cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^ \theta</math> 

'''Así:''':
<math>rot(\bar { v } )=\frac { 1 }{ \rho } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { 0} \end{vmatrix}==\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { v }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { v }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho }(2 cos( \theta)( \rho+\frac{4}{ \rho^2})-(2 cos( \theta)( \rho+\frac{4}{ \rho^2}))\bar { { g }_{ z } }=0</math>

<math> \Psi=\int_{}^{} 2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho=2sen( \theta)[ \rho-\frac{4}{ \rho}]+cte( \theta) </math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))</math> 
<math>\begin{cases} { u }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }({ u }^{ \theta })=2{ \rho }^{ 2 }cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \\ { u }_{ \rho }={ u }^{ \rho }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \end{cases}</math> <math>\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { \partial (2cos(\theta )({ \rho }^{ 2 }-4)) }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(2\rho )=</math> 
<math>\boxed { 4\rho cos(\theta ) } </math>

==Puntos de la frontera==

Vamos a analizar los puntos de la frontera en los valores 2 y 6. Para ello primero sustituiremos los valores de <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> en el campo <math>\overline { u }</math> y después derivamos el campo <math>\overline { u }</math> y sacamos los puntos en los que se anula la derivada de <math>\overline { u }</math> para obtener los puntos en los que encontraremos máximos y mínimos. Para saber si los puntos son máximos o mínimos lo evaluaremos en la función, no en la derivada.

Campo <math>\bar { u }</math>::
<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 

Para <math>( \rho =2)</math> 
<math>\bar { u } =-2sen(\theta )\overline { g } _{ \theta }\quad \leadsto \quad -2</math> 
máximo <math>\frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =-2cos(\theta )\quad \leadsto \quad \frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =0\quad \leadsto \quad -2cos(\theta ){ \overline { g } }_{ \theta }=0;\quad -2cos(\theta )=0;\quad cos(\theta )=0</math> 

<math>\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { \theta }^{ 2 } } =2sen(\theta )</math> 

<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } ,3\frac { \pi }{ 2 } </math>

Para el valor <math>\underline { \rho =6 } obetenemos los siguientes valores:</math> 
<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 

Al igualar a 0 obtenemos los siguientes valores: 
<math>\theta =0 </math>Maximo 
<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } </math>Mínimo 
<math>\theta = 3\frac { \pi }{ 2 } </math>Mínimo 
<math>\theta = { \pi } </math>Máximo 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá.
[[Archivo:Presiones_reducid.jpg|marco|derecha|Nivel de presiones]]
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado. 

<math>P =15-2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } )+\left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) </math> 
<math>\frac { 1 }{ 2 } d{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }\cdot P =cte</math> 
<math>P =15-\frac { 1 }{ 2 } 2{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }=5-{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }</math> 
<math>{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }={ \left( 2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ) \right) }^{ 2 }+{ \left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) }^{ 2 }</math> 
<math>max(P) \leadsto min(\bar { u } )</math> 
<math>\rho =2;\quad max(P)\quad \leadsto \quad \theta =\pi \quad En\quad las\quad fronteras\\ P(2,\pi )=15</math> 
<math>\frac { \partial P }{ \partial \theta } =-\left( \left( -2sen(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) 2\left( \left( 2cos(\theta \right) \left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) \right) +\left( 2\left( -2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \right) \left( -2cos(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) \right) \right) </math> 
<math>\frac { \partial P }{ \partial \rho } =-\left( \left( -2sen(\theta )\left( -\frac { 8 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) \right) 2\left( \left( 2cos(\theta \right) \left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) \right) +\left( 2\left( -2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \right) \left( -2\left( \frac { 14+3{ \rho }^{ 2 } }{ { \rho }^{ 2 } } \right) sen(\theta ) \right) \right) </math>

==Variación de la velocidad y la presión==
[[Archivo:Presionesylineasdecorriente reducida.jpg|marco|Imagen de presiones y líneas de corriente en el campo]]
En la imagen de la derecha se muestran las curvas de nivel y las lineas de corriente. El fluido comienza con presión mínima, al irse aproximando a <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> aumenta la presión. En <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> se alcanza la presión máxima. Al alejarse después de estos valores la presión vuelve a descender hacia su valor mínimo.
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
hold on
%Definimos la funcion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20,'b')
}}
Con esto vemos que presión y velocidad son inversamente proporcionales. La relación entre ellas está dada por la siguiente fórmula:

[[Archivo:Gradienteylineasdecorriente reducida.jpg|marco|Imagen del gradiente y líneas de corriente del campo]]
En la imagen de la derecha se muestra el campo de velocidades y las lineas de corriente. El fluido comienza con velocidad máxima, al irse aproximando a <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> disminuye su velocidad. En <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> se alcanza la velocidad mínima. Al alejarse de estos valores la velocidad aumenta.
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
hold on
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==
[[Archivo:Lineasnivelpresion reducida2.jpg|marco|Líneas de nivel de la presión]]

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-05T16:10:58Z

JuanC: /* Variación de la velocidad y la presión */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo de radio 2.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial <math>φ</math> es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]

El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:

[[Archivo:Gradienteycurvasdenivel reducida.jpg|marco|derecha|Imagen del gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
hold on
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}
[[Archivo:Gradienteycurvasdenivel zoom reducida.jpg|marco|derecha|Detalle del gradiente y las curvas de nivel]]
Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que: 

<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente <math>\overline{g}_\rho</math> se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta: 

<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math> 
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos puntos:: 
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> 
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> 
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''' 

<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son cada una de las trayectorias que siguen las partículas de fluido situadas en el campo <math>\bar { u } </math>. 

Para dibujar las lineas de corriente del campo <math>\bar { u } </math> hacemos el siguiente procedimiento: 
<math>\begin{cases} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{cases} \qquad \bar { v } =\rho\begin{vmatrix} { \overline { g }^\rho } & { \overline { g }^ \theta } & { \overline { g }^ z } \\0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}={ { \overline { g } } ^ \rho }({ -\rho u }^{ \theta })-{ \overline { g } ^ \theta }({ -\rho u }^{ \rho })+0{ \overline { g }^ z }=-\rho u^\theta \overline{g}^\rho + \rho u^\rho \overline{g}^\theta</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
Para hallar un potencial escalar de <math>\bar { v } </math> necesitaremos comprobar si cumple la condición necesaria::<math>rot(\overline{v})=0</math>
Aunque puede que pese a que se cumpla esta no exista potencial escalar del campo <math>\bar { v } </math>.Demostremos que la condición necesaria se cumple::
<math>\overline{v}=-2 sen( \theta )(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g} ^\rho+2 cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^ \theta</math> 

'''Así:''':
<math>rot(\bar { v } )=\frac { 1 }{ \rho } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { 0} \end{vmatrix}==\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { v }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { v }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho }(2 cos( \theta)( \rho+\frac{4}{ \rho^2})-(2 cos( \theta)( \rho+\frac{4}{ \rho^2}))\bar { { g }_{ z } }=0</math>

<math> \Psi=\int_{}^{} 2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho=2sen( \theta)[ \rho-\frac{4}{ \rho}]+cte( \theta) </math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))</math> 
<math>\begin{cases} { u }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }({ u }^{ \theta })=2{ \rho }^{ 2 }cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \\ { u }_{ \rho }={ u }^{ \rho }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \end{cases}</math> <math>\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { \partial (2cos(\theta )({ \rho }^{ 2 }-4)) }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(2\rho )=</math> 
<math>\boxed { 4\rho cos(\theta ) } </math>

==Puntos de la frontera==

Vamos a analizar los puntos de la frontera en los valores 2 y 6. Para ello primero sustituiremos los valores de <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> en el campo <math>\overline { u }</math> y después derivamos el campo <math>\overline { u }</math> y sacamos los puntos en los que se anula la derivada de <math>\overline { u }</math> para obtener los puntos en los que encontraremos máximos y mínimos. Para saber si los puntos son máximos o mínimos lo evaluaremos en la función, no en la derivada.

Campo <math>\bar { u }</math>::
<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 

Para <math>( \rho =2)</math> 
<math>\bar { u } =-2sen(\theta )\overline { g } _{ \theta }\quad \leadsto \quad -2</math> 
máximo <math>\frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =-2cos(\theta )\quad \leadsto \quad \frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =0\quad \leadsto \quad -2cos(\theta ){ \overline { g } }_{ \theta }=0;\quad -2cos(\theta )=0;\quad cos(\theta )=0</math> 

<math>\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { \theta }^{ 2 } } =2sen(\theta )</math> 

<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } ,3\frac { \pi }{ 2 } </math>

Para el valor <math>\underline { \rho =6 } obetenemos los siguientes valores:</math> 
<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 
Los valores en que se iguala a 0: 
<math>0,\quad \frac { \pi }{ 2 } ,\quad 3\frac { \pi }{ 2 } ,\quad \pi </math>
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá.
[[Archivo:Presiones_reducid.jpg|marco|derecha|Nivel de presiones]]
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado. 

<math>P =15-2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } )+\left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) </math> 
<math>\frac { 1 }{ 2 } d{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }\cdot P =cte</math> 
<math>P =15-\frac { 1 }{ 2 } 2{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }=5-{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }</math> 
<math>{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }={ \left( 2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ) \right) }^{ 2 }+{ \left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) }^{ 2 }</math> 
<math>max(P) \leadsto min(\bar { u } )</math> 
<math>\rho =2;\quad max(P)\quad \leadsto \quad \theta =\pi \quad En\quad las\quad fronteras\\ P(2,\pi )=15</math> 
<math>\frac { \partial P }{ \partial \theta } =-\left( \left( -2sen(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) 2\left( \left( 2cos(\theta \right) \left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) \right) +\left( 2\left( -2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \right) \left( -2cos(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) \right) \right) </math> 
<math>\frac { \partial P }{ \partial \rho } =-\left( \left( -2sen(\theta )\left( -\frac { 8 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) \right) 2\left( \left( 2cos(\theta \right) \left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) \right) +\left( 2\left( -2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \right) \left( -2\left( \frac { 14+3{ \rho }^{ 2 } }{ { \rho }^{ 2 } } \right) sen(\theta ) \right) \right) </math>

==Variación de la velocidad y la presión==
[[Archivo:Presionesylineasdecorriente reducida.jpg|marco|Imagen de presiones y líneas de corriente en el campo]]
En la imagen de la derecha se muestran las curvas de nivel y las lineas de corriente. El fluido comienza con presión mínima, al irse aproximando a <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> aumenta la presión. En <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> se alcanza la presión máxima. Al alejarse después de estos valores la presión vuelve a descender hacia su valor mínimo.
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
hold on
%Definimos la funcion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20,'b')
}}

[[Archivo:Gradienteylineasdecorriente reducida.jpg|marco|Imagen del gradiente y líneas de corriente del campo]]
En la imagen de la derecha se muestra el campo de velocidades y las lineas de corriente. El fluido comienza con velocidad máxima, al irse aproximando a <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> disminuye su velocidad. En <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> se alcanza la velocidad mínima. Al alejarse de estos valores la velocidad aumenta.
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
hold on
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==
[[Archivo:Lineasnivelpresion reducida2.jpg|marco|Líneas de nivel de la presión]]

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-05T16:03:56Z

JuanC: /* Variación de la velocidad y la presión */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo de radio 2.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial <math>φ</math> es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]

El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:

[[Archivo:Gradienteycurvasdenivel reducida.jpg|marco|derecha|Imagen del gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
hold on
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}
[[Archivo:Gradienteycurvasdenivel zoom reducida.jpg|marco|derecha|Detalle del gradiente y las curvas de nivel]]
Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que: 

<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente <math>\overline{g}_\rho</math> se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta: 

<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math> 
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos puntos:: 
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> 
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> 
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''' 

<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son cada una de las trayectorias que siguen las partículas de fluido situadas en el campo <math>\bar { u } </math>. 

Para dibujar las lineas de corriente del campo <math>\bar { u } </math> hacemos el siguiente procedimiento: 
<math>\begin{cases} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{cases} \qquad \bar { v } =\rho\begin{vmatrix} { \overline { g }^\rho } & { \overline { g }^ \theta } & { \overline { g }^ z } \\0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}={ { \overline { g } } ^ \rho }({ -\rho u }^{ \theta })-{ \overline { g } ^ \theta }({ -\rho u }^{ \rho })+0{ \overline { g }^ z }=-\rho u^\theta \overline{g}^\rho + \rho u^\rho \overline{g}^\theta</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
Para hallar un potencial escalar de <math>\bar { v } </math> necesitaremos comprobar si cumple la condición necesaria::<math>rot(\overline{v})=0</math>
Aunque puede que pese a que se cumpla esta no exista potencial escalar del campo <math>\bar { v } </math>.Demostremos que la condición necesaria se cumple::
<math>\overline{v}=-2 sen( \theta )(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g} ^\rho+2 cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^ \theta</math> 

'''Así:''':
<math>rot(\bar { v } )=\frac { 1 }{ \rho } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { 0} \end{vmatrix}==\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { v }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { v }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho }(2 cos( \theta)( \rho+\frac{4}{ \rho^2})-(2 cos( \theta)( \rho+\frac{4}{ \rho^2}))\bar { { g }_{ z } }=0</math>

<math> \Psi=\int_{}^{} 2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho=2sen( \theta)[ \rho-\frac{4}{ \rho}]+cte( \theta) </math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))</math> 
<math>\begin{cases} { u }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }({ u }^{ \theta })=2{ \rho }^{ 2 }cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \\ { u }_{ \rho }={ u }^{ \rho }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \end{cases}</math> <math>\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { \partial (2cos(\theta )({ \rho }^{ 2 }-4)) }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(2\rho )=</math> 
<math>\boxed { 4\rho cos(\theta ) } </math>

==Puntos de la frontera==

Vamos a analizar los puntos de la frontera en los valores 2 y 6. Para ello primero sustituiremos los valores de <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> en el campo <math>\overline { u }</math> y después derivamos el campo <math>\overline { u }</math> y sacamos los puntos en los que se anula la derivada de <math>\overline { u }</math> para obtener los puntos en los que encontraremos máximos y mínimos. Para saber si los puntos son máximos o mínimos lo evaluaremos en la función, no en la derivada.

Campo <math>\bar { u }</math>::
<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 

Para <math>( \rho =2)</math> 
<math>\bar { u } =-2sen(\theta )\overline { g } _{ \theta }\quad \leadsto \quad -2</math> 
máximo <math>\frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =-2cos(\theta )\quad \leadsto \quad \frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =0\quad \leadsto \quad -2cos(\theta ){ \overline { g } }_{ \theta }=0;\quad -2cos(\theta )=0;\quad cos(\theta )=0</math> 

<math>\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { \theta }^{ 2 } } =2sen(\theta )</math> 

<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } ,3\frac { \pi }{ 2 } </math>

Para el valor <math>\underline { \rho =6 } obetenemos los siguientes valores:</math> 
<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 
Los valores en que se iguala a 0: 
<math>0,\quad \frac { \pi }{ 2 } ,\quad 3\frac { \pi }{ 2 } ,\quad \pi </math>
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá.
[[Archivo:Presiones_reducid.jpg|marco|derecha|Nivel de presiones]]
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado. 

<math>P =15-2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } )+\left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) </math> 
<math>\frac { 1 }{ 2 } d{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }\cdot P =cte</math> 
<math>P =15-\frac { 1 }{ 2 } 2{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }=5-{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }</math> 
<math>{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }={ \left( 2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ) \right) }^{ 2 }+{ \left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) }^{ 2 }</math> 
<math>max(P) \leadsto min(\bar { u } )</math> 
<math>\rho =2;\quad max(P)\quad \leadsto \quad \theta =\pi \quad En\quad las\quad fronteras\\ P(2,\pi )=15</math> 
<math>\frac { \partial P }{ \partial \theta } =-\left( \left( -2sen(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) 2\left( \left( 2cos(\theta \right) \left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) \right) +\left( 2\left( -2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \right) \left( -2cos(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) \right) \right) </math> 
<math>\frac { \partial P }{ \partial \rho } =-\left( \left( -2sen(\theta )\left( -\frac { 8 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) \right) 2\left( \left( 2cos(\theta \right) \left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) \right) +\left( 2\left( -2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \right) \left( -2\left( \frac { 14+3{ \rho }^{ 2 } }{ { \rho }^{ 2 } } \right) sen(\theta ) \right) \right) </math>

==Variación de la velocidad y la presión==
[[Archivo:Presionesylineasdecorriente reducida.jpg|marco|Imagen de presiones y líneas de corriente en el campo]]
En la imagen de la derecha se muestran las curvas de nivel y las lineas de corriente. El fluido comienza con presión mínima, al irse aproximando a <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> aumenta la presión. En <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> se alcanza la presión máxima. Al alejarse después de estos valores la presión vuelve a descender hacia su valor mínimo.
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
hold on
%Definimos la funcion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20,'b')
}}

[[Archivo:Gradienteylineasdecorriente reducida.jpg|marco|Imagen del gradiente y líneas de corriente del campo]]
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
hold on
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==
[[Archivo:Lineasnivelpresion reducida2.jpg|marco|Líneas de nivel de la presión]]

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-05T16:02:49Z

JuanC: /* Variación de la velocidad y la presión */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo de radio 2.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial <math>φ</math> es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]

El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:

[[Archivo:Gradienteycurvasdenivel reducida.jpg|marco|derecha|Imagen del gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
hold on
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}
[[Archivo:Gradienteycurvasdenivel zoom reducida.jpg|marco|derecha|Detalle del gradiente y las curvas de nivel]]
Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que: 

<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente <math>\overline{g}_\rho</math> se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta: 

<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math> 
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos puntos:: 
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> 
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> 
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''' 

<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son cada una de las trayectorias que siguen las partículas de fluido situadas en el campo <math>\bar { u } </math>. 

Para dibujar las lineas de corriente del campo <math>\bar { u } </math> hacemos el siguiente procedimiento: 
<math>\begin{cases} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{cases} \qquad \bar { v } =\rho\begin{vmatrix} { \overline { g }^\rho } & { \overline { g }^ \theta } & { \overline { g }^ z } \\0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}={ { \overline { g } } ^ \rho }({ -\rho u }^{ \theta })-{ \overline { g } ^ \theta }({ -\rho u }^{ \rho })+0{ \overline { g }^ z }=-\rho u^\theta \overline{g}^\rho + \rho u^\rho \overline{g}^\theta</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
Para hallar un potencial escalar de <math>\bar { v } </math> necesitaremos comprobar si cumple la condición necesaria::<math>rot(\overline{v})=0</math>
Aunque puede que pese a que se cumpla esta no exista potencial escalar del campo <math>\bar { v } </math>.Demostremos que la condición necesaria se cumple::
<math>\overline{v}=-2 sen( \theta )(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g} ^\rho+2 cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^ \theta</math> 

'''Así:''':
<math>rot(\bar { v } )=\frac { 1 }{ \rho } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { 0} \end{vmatrix}==\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { v }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { v }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho }(2 cos( \theta)( \rho+\frac{4}{ \rho^2})-(2 cos( \theta)( \rho+\frac{4}{ \rho^2}))\bar { { g }_{ z } }=0</math>

<math> \Psi=\int_{}^{} 2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho=2sen( \theta)[ \rho-\frac{4}{ \rho}]+cte( \theta) </math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))</math> 
<math>\begin{cases} { u }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }({ u }^{ \theta })=2{ \rho }^{ 2 }cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \\ { u }_{ \rho }={ u }^{ \rho }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \end{cases}</math> <math>\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { \partial (2cos(\theta )({ \rho }^{ 2 }-4)) }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(2\rho )=</math> 
<math>\boxed { 4\rho cos(\theta ) } </math>

==Puntos de la frontera==

Vamos a analizar los puntos de la frontera en los valores 2 y 6. Para ello primero sustituiremos los valores de <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> en el campo <math>\overline { u }</math> y después derivamos el campo <math>\overline { u }</math> y sacamos los puntos en los que se anula la derivada de <math>\overline { u }</math> para obtener los puntos en los que encontraremos máximos y mínimos. Para saber si los puntos son máximos o mínimos lo evaluaremos en la función, no en la derivada.

Campo <math>\bar { u }</math>::
<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 

Para <math>( \rho =2)</math> 
<math>\bar { u } =-2sen(\theta )\overline { g } _{ \theta }\quad \leadsto \quad -2</math> 
máximo <math>\frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =-2cos(\theta )\quad \leadsto \quad \frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =0\quad \leadsto \quad -2cos(\theta ){ \overline { g } }_{ \theta }=0;\quad -2cos(\theta )=0;\quad cos(\theta )=0</math> 

<math>\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { \theta }^{ 2 } } =2sen(\theta )</math> 

<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } ,3\frac { \pi }{ 2 } </math>

Para el valor <math>\underline { \rho =6 } obetenemos los siguientes valores:</math> 
<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 
Los valores en que se iguala a 0: 
<math>0,\quad \frac { \pi }{ 2 } ,\quad 3\frac { \pi }{ 2 } ,\quad \pi </math>
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá.
[[Archivo:Presiones_reducid.jpg|marco|derecha|Nivel de presiones]]
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado. 

<math>P =15-2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } )+\left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) </math> 
<math>\frac { 1 }{ 2 } d{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }\cdot P =cte</math> 
<math>P =15-\frac { 1 }{ 2 } 2{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }=5-{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }</math> 
<math>{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }={ \left( 2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ) \right) }^{ 2 }+{ \left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) }^{ 2 }</math> 
<math>max(P) \leadsto min(\bar { u } )</math> 
<math>\rho =2;\quad max(P)\quad \leadsto \quad \theta =\pi \quad En\quad las\quad fronteras\\ P(2,\pi )=15</math> 
<math>\frac { \partial P }{ \partial \theta } =-\left( \left( -2sen(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) 2\left( \left( 2cos(\theta \right) \left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) \right) +\left( 2\left( -2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \right) \left( -2cos(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) \right) \right) </math> 
<math>\frac { \partial P }{ \partial \rho } =-\left( \left( -2sen(\theta )\left( -\frac { 8 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) \right) 2\left( \left( 2cos(\theta \right) \left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) \right) +\left( 2\left( -2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \right) \left( -2\left( \frac { 14+3{ \rho }^{ 2 } }{ { \rho }^{ 2 } } \right) sen(\theta ) \right) \right) </math>

==Variación de la velocidad y la presión==
[[Archivo:Presionesylineasdecorriente reducida.jpg|marco|Imagen de presiones y líneas de corriente en el campo]]
En la imagen de la derecha se muestran las curvas de nivel y las lineas de corriente. El fluido comienza con presión mínima, al irse aproximando a <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> aumenta la presión. En <math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> se alcanza la presión máxima.
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
hold on
%Definimos la funcion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20,'b')
}}

[[Archivo:Gradienteylineasdecorriente reducida.jpg|marco|Imagen del gradiente y líneas de corriente del campo]]
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
hold on
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==
[[Archivo:Lineasnivelpresion reducida2.jpg|marco|Líneas de nivel de la presión]]

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-05T16:02:20Z

JuanC: /* Variación de la velocidad y la presión */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo de radio 2.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial <math>φ</math> es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]

El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:

[[Archivo:Gradienteycurvasdenivel reducida.jpg|marco|derecha|Imagen del gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
hold on
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}
[[Archivo:Gradienteycurvasdenivel zoom reducida.jpg|marco|derecha|Detalle del gradiente y las curvas de nivel]]
Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que: 

<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente <math>\overline{g}_\rho</math> se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta: 

<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math> 
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos puntos:: 
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> 
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> 
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''' 

<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son cada una de las trayectorias que siguen las partículas de fluido situadas en el campo <math>\bar { u } </math>. 

Para dibujar las lineas de corriente del campo <math>\bar { u } </math> hacemos el siguiente procedimiento: 
<math>\begin{cases} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{cases} \qquad \bar { v } =\rho\begin{vmatrix} { \overline { g }^\rho } & { \overline { g }^ \theta } & { \overline { g }^ z } \\0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}={ { \overline { g } } ^ \rho }({ -\rho u }^{ \theta })-{ \overline { g } ^ \theta }({ -\rho u }^{ \rho })+0{ \overline { g }^ z }=-\rho u^\theta \overline{g}^\rho + \rho u^\rho \overline{g}^\theta</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
Para hallar un potencial escalar de <math>\bar { v } </math> necesitaremos comprobar si cumple la condición necesaria::<math>rot(\overline{v})=0</math>
Aunque puede que pese a que se cumpla esta no exista potencial escalar del campo <math>\bar { v } </math>.Demostremos que la condición necesaria se cumple::
<math>\overline{v}=-2 sen( \theta )(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g} ^\rho+2 cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^ \theta</math> 

'''Así:''':
<math>rot(\bar { v } )=\frac { 1 }{ \rho } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { 0} \end{vmatrix}==\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { v }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { v }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho }(2 cos( \theta)( \rho+\frac{4}{ \rho^2})-(2 cos( \theta)( \rho+\frac{4}{ \rho^2}))\bar { { g }_{ z } }=0</math>

<math> \Psi=\int_{}^{} 2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho=2sen( \theta)[ \rho-\frac{4}{ \rho}]+cte( \theta) </math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))</math> 
<math>\begin{cases} { u }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }({ u }^{ \theta })=2{ \rho }^{ 2 }cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \\ { u }_{ \rho }={ u }^{ \rho }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \end{cases}</math> <math>\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { \partial (2cos(\theta )({ \rho }^{ 2 }-4)) }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(2\rho )=</math> 
<math>\boxed { 4\rho cos(\theta ) } </math>

==Puntos de la frontera==

Vamos a analizar los puntos de la frontera en los valores 2 y 6. Para ello primero sustituiremos los valores de <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> en el campo <math>\overline { u }</math> y después derivamos el campo <math>\overline { u }</math> y sacamos los puntos en los que se anula la derivada de <math>\overline { u }</math> para obtener los puntos en los que encontraremos máximos y mínimos. Para saber si los puntos son máximos o mínimos lo evaluaremos en la función, no en la derivada.

Campo <math>\bar { u }</math>::
<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 

Para <math>( \rho =2)</math> 
<math>\bar { u } =-2sen(\theta )\overline { g } _{ \theta }\quad \leadsto \quad -2</math> 
máximo <math>\frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =-2cos(\theta )\quad \leadsto \quad \frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =0\quad \leadsto \quad -2cos(\theta ){ \overline { g } }_{ \theta }=0;\quad -2cos(\theta )=0;\quad cos(\theta )=0</math> 

<math>\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { \theta }^{ 2 } } =2sen(\theta )</math> 

<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } ,3\frac { \pi }{ 2 } </math>

Para el valor <math>\underline { \rho =6 } obetenemos los siguientes valores:</math> 
<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 
Los valores en que se iguala a 0: 
<math>0,\quad \frac { \pi }{ 2 } ,\quad 3\frac { \pi }{ 2 } ,\quad \pi </math>
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá.
[[Archivo:Presiones_reducid.jpg|marco|derecha|Nivel de presiones]]
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado. 

<math>P =15-2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } )+\left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) </math> 
<math>\frac { 1 }{ 2 } d{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }\cdot P =cte</math> 
<math>P =15-\frac { 1 }{ 2 } 2{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }=5-{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }</math> 
<math>{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }={ \left( 2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ) \right) }^{ 2 }+{ \left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) }^{ 2 }</math> 
<math>max(P) \leadsto min(\bar { u } )</math> 
<math>\rho =2;\quad max(P)\quad \leadsto \quad \theta =\pi \quad En\quad las\quad fronteras\\ P(2,\pi )=15</math> 
<math>\frac { \partial P }{ \partial \theta } =-\left( \left( -2sen(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) 2\left( \left( 2cos(\theta \right) \left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) \right) +\left( 2\left( -2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \right) \left( -2cos(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) \right) \right) </math> 
<math>\frac { \partial P }{ \partial \rho } =-\left( \left( -2sen(\theta )\left( -\frac { 8 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) \right) 2\left( \left( 2cos(\theta \right) \left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) \right) +\left( 2\left( -2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \right) \left( -2\left( \frac { 14+3{ \rho }^{ 2 } }{ { \rho }^{ 2 } } \right) sen(\theta ) \right) \right) </math>

==Variación de la velocidad y la presión==
[[Archivo:Presionesylineasdecorriente reducida.jpg|marco|Imagen de presiones y líneas de corriente en el campo]]
En la imagen de la derecha se muestran las curvas de nivel y las lineas de corriente. El fluido comienza con presión mínima, al irse aproximando a <math>/\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> aumenta la presión. En <math>/\theta =\frac { \pi }{ 2 } \quad o\quad \theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> se alcanza la presión máxima.
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
hold on
%Definimos la funcion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20,'b')
}}

[[Archivo:Gradienteylineasdecorriente reducida.jpg|marco|Imagen del gradiente y líneas de corriente del campo]]
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
hold on
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==
[[Archivo:Lineasnivelpresion reducida2.jpg|marco|Líneas de nivel de la presión]]

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-05T00:21:25Z

JuanC: /* Presión y ecuación de Bernouilli */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo unidad.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial (ū) es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]
El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

'''''Falta por incluir la foto de gradienteycurvasdenivel.m y un zoom de esta'''''
Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:
{{matlab|codigo=
f=inline('2*(u+4./u).*cos(v)','u','v');

ro = linspace(1,5,20);
th = linspace(0,2*pi,20);

[Mro,Mth] = meshgrid(ro,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V));
fY=-sin(2.*V).*(8./(U^2));

quiver(X,Y,fX,fY)
axis([-4,4,-4,4]);
view(2)
hold on

%curvas de nivel
Z=f(U,V);
contour(X,Y,Z,12);
}}

Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que::
<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente gro se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta::
<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math>
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos puntos::
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> :
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> :
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''':
<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son líneas tangentes al campo <math>\bar { u } </math> en cada punto. Es decir, a la velocidad que es el gradiente de la función potencial. 

Vamos a dibujar las líneas de campo para lo que calculamos el siguiente vector: 
<math>\begin{cases} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{cases} \qquad \bar { v } =\begin{vmatrix} { \overline { g } }_{ \rho } & { \overline { g } }_{ \theta } & { \overline { g } }_{ z } \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}={ { \overline { g } } }_{ \rho }({ u }^{ \theta })-{ \overline { g } }_{ \theta }({ u }^{ \rho })+0{ \overline { g } }_{ z }</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
<math>\bar { v } =\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \rho }-\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \theta }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ \rho } \right) sen(\theta ){ \bar { g } }_{ \rho }-2cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

<math> \overline{v}=2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g}^ \rho+2cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^\theta </math> 

<math> \Psi=\int_{}^{} 2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho=2sen( \theta)[ \rho-\frac{4}{ \rho}]+cte( \theta) </math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))</math> 
<math>\begin{cases} { u }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }({ u }^{ \theta })=2{ \rho }^{ 2 }cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \\ { u }_{ \rho }={ u }^{ \rho }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \end{cases}</math> <math>\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { \partial (2cos(\theta )({ \rho }^{ 2 }-4)) }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(2\rho )=</math> 
<math>\boxed { 4\rho cos(\theta ) } </math>

==Puntos de la frontera==
'''''Falta por añadir máximos y mínimos de manera analítica.'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 
en la frontera <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> 
<math>\underline { \rho =2 } </math> 

<math>\bar { u } =-2sen(\theta )\overline { g } _{ \theta }\quad \leadsto \quad -2</math> 
máximo <math>\frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =-2cos(\theta )\quad \leadsto \quad \frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =0\quad \leadsto \quad -2cos(\theta ){ \overline { g } }_{ \theta }=0;\quad -2cos(\theta )=0;\quad cos(\theta )=0</math> 

<math>\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { \theta }^{ 2 } } =2sen(\theta )</math> 

<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } ,3\frac { \pi }{ 2 } </math>

<math>\underline { \rho =6 } </math> 

<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 
Los valores en que se iguala a 0: 
<math>0,\quad \frac { \pi }{ 2 } ,\quad 3\frac { \pi }{ 2 } ,\quad \pi </math>

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá.
[[Archivo:Lineasnivelpresion reducida2.jpg|marco|derecha|Nivel de presiones]]
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado. 

<math>P =15-2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } )+\left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) </math> 
<math>\frac { 1 }{ 2 } d{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }\cdot P =cte</math> 
<math>P =15-\frac { 1 }{ 2 } 2{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }=5-{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }</math> 
<math>{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }={ \left( 2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ) \right) }^{ 2 }+{ \left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) }^{ 2 }</math> 
<math>max(P) \leadsto min(\bar { u } )</math> 
<math>\rho =2;\quad max(P)\quad \leadsto \quad \theta =\pi \quad En\quad las\quad fronteras\\ P(2,\pi )=15</math> 
<math>\frac { \partial P }{ \partial \theta } =-\left( \left( -2sen(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) 2\left( \left( 2cos(\theta \right) \left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) \right) +\left( 2\left( -2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \right) \left( -2cos(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) \right) \right) </math> 
<math>\frac { \partial P }{ \partial \rho } =-\left( \left( -2sen(\theta )\left( -\frac { 8 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) \right) 2\left( \left( 2cos(\theta \right) \left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) \right) +\left( 2\left( -2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \right) \left( -2\left( \frac { 14+3{ \rho }^{ 2 } }{ { \rho }^{ 2 } } \right) sen(\theta ) \right) \right) </math>

==Variación de la velocidad y la presión==

'''''Introducir códigos y fotos de presionesylineasdecorriente.m y gradienteylineasdecorriente.m'''''

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
'''''Falta por incluir la foto de lineasdenivelpresion.m'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-05T00:18:42Z

JuanC: /* Presión y ecuación de Bernouilli */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo unidad.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial (ū) es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]
El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

'''''Falta por incluir la foto de gradienteycurvasdenivel.m y un zoom de esta'''''
Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:
{{matlab|codigo=
f=inline('2*(u+4./u).*cos(v)','u','v');

ro = linspace(1,5,20);
th = linspace(0,2*pi,20);

[Mro,Mth] = meshgrid(ro,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V));
fY=-sin(2.*V).*(8./(U^2));

quiver(X,Y,fX,fY)
axis([-4,4,-4,4]);
view(2)
hold on

%curvas de nivel
Z=f(U,V);
contour(X,Y,Z,12);
}}

Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que::
<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente gro se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta::
<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math>
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos puntos::
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> :
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> :
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''':
<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son líneas tangentes al campo <math>\bar { u } </math> en cada punto. Es decir, a la velocidad que es el gradiente de la función potencial. 

Vamos a dibujar las líneas de campo para lo que calculamos el siguiente vector: 
<math>\begin{cases} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{cases} \qquad \bar { v } =\begin{vmatrix} { \overline { g } }_{ \rho } & { \overline { g } }_{ \theta } & { \overline { g } }_{ z } \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}={ { \overline { g } } }_{ \rho }({ u }^{ \theta })-{ \overline { g } }_{ \theta }({ u }^{ \rho })+0{ \overline { g } }_{ z }</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
<math>\bar { v } =\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \rho }-\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \theta }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ \rho } \right) sen(\theta ){ \bar { g } }_{ \rho }-2cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

<math> \overline{v}=2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g}^ \rho+2cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^\theta </math> 

<math> \Psi=\int_{}^{} 2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho=2sen( \theta)[ \rho-\frac{4}{ \rho}]+cte( \theta) </math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))</math> 
<math>\begin{cases} { u }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }({ u }^{ \theta })=2{ \rho }^{ 2 }cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \\ { u }_{ \rho }={ u }^{ \rho }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \end{cases}</math> <math>\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { \partial (2cos(\theta )({ \rho }^{ 2 }-4)) }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(2\rho )=</math> 
<math>\boxed { 4\rho cos(\theta ) } </math>

==Puntos de la frontera==
'''''Falta por añadir máximos y mínimos de manera analítica.'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 
en la frontera <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> 
<math>\underline { \rho =2 } </math> 

<math>\bar { u } =-2sen(\theta )\overline { g } _{ \theta }\quad \leadsto \quad -2</math> 
máximo <math>\frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =-2cos(\theta )\quad \leadsto \quad \frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =0\quad \leadsto \quad -2cos(\theta ){ \overline { g } }_{ \theta }=0;\quad -2cos(\theta )=0;\quad cos(\theta )=0</math> 

<math>\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { \theta }^{ 2 } } =2sen(\theta )</math> 

<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } ,3\frac { \pi }{ 2 } </math>

<math>\underline { \rho =6 } </math> 

<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 
Los valores en que se iguala a 0: 
<math>0,\quad \frac { \pi }{ 2 } ,\quad 3\frac { \pi }{ 2 } ,\quad \pi </math>

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá.
[[Archivo:Lineasnivelpresion reducida2.jpg|marco|derecha|Nivel de presiones]]
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado. 

<math>P =15-2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } )+\left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) </math> 
<math>\frac { 1 }{ 2 } d{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }\cdot P =cte</math> 
<math>P =15-\frac { 1 }{ 2 } 2{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }=5-{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }</math> 
<math>{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }={ \left( 2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ) \right) }^{ 2 }+{ \left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) }^{ 2 }</math> 
<math>max(P) \leadsto min(\bar { u } )</math> 
<math>\rho =2;\quad max(P)\quad \leadsto \quad \theta =\pi \quad En\quad las\quad fronteras\\ P(2,\pi )=15</math> 
<math>\frac { \partial P }{ \partial \theta } =-\left( \left( -2sen(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) 2\left( \left( 2cos(\theta \right) \left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \right) \right) +\left( 2\left( -2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \right) \left( -2cos(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) \right) \right) </math> 

==Variación de la velocidad y la presión==

'''''Introducir códigos y fotos de presionesylineasdecorriente.m y gradienteylineasdecorriente.m'''''

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
'''''Falta por incluir la foto de lineasdenivelpresion.m'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-05T00:14:38Z

JuanC: /* Presión y ecuación de Bernouilli */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo unidad.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial (ū) es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]
El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

'''''Falta por incluir la foto de gradienteycurvasdenivel.m y un zoom de esta'''''
Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:
{{matlab|codigo=
f=inline('2*(u+4./u).*cos(v)','u','v');

ro = linspace(1,5,20);
th = linspace(0,2*pi,20);

[Mro,Mth] = meshgrid(ro,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V));
fY=-sin(2.*V).*(8./(U^2));

quiver(X,Y,fX,fY)
axis([-4,4,-4,4]);
view(2)
hold on

%curvas de nivel
Z=f(U,V);
contour(X,Y,Z,12);
}}

Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que::
<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente gro se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta::
<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math>
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos puntos::
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> :
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> :
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''':
<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son líneas tangentes al campo <math>\bar { u } </math> en cada punto. Es decir, a la velocidad que es el gradiente de la función potencial. 

Vamos a dibujar las líneas de campo para lo que calculamos el siguiente vector: 
<math>\begin{cases} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{cases} \qquad \bar { v } =\begin{vmatrix} { \overline { g } }_{ \rho } & { \overline { g } }_{ \theta } & { \overline { g } }_{ z } \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}={ { \overline { g } } }_{ \rho }({ u }^{ \theta })-{ \overline { g } }_{ \theta }({ u }^{ \rho })+0{ \overline { g } }_{ z }</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
<math>\bar { v } =\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \rho }-\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \theta }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ \rho } \right) sen(\theta ){ \bar { g } }_{ \rho }-2cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

<math> \overline{v}=2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g}^ \rho+2cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^\theta </math> 

<math> \Psi=\int_{}^{} 2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho=2sen( \theta)[ \rho-\frac{4}{ \rho}]+cte( \theta) </math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))</math> 
<math>\begin{cases} { u }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }({ u }^{ \theta })=2{ \rho }^{ 2 }cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \\ { u }_{ \rho }={ u }^{ \rho }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \end{cases}</math> <math>\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { \partial (2cos(\theta )({ \rho }^{ 2 }-4)) }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(2\rho )=</math> 
<math>\boxed { 4\rho cos(\theta ) } </math>

==Puntos de la frontera==
'''''Falta por añadir máximos y mínimos de manera analítica.'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 
en la frontera <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> 
<math>\underline { \rho =2 } </math> 

<math>\bar { u } =-2sen(\theta )\overline { g } _{ \theta }\quad \leadsto \quad -2</math> 
máximo <math>\frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =-2cos(\theta )\quad \leadsto \quad \frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =0\quad \leadsto \quad -2cos(\theta ){ \overline { g } }_{ \theta }=0;\quad -2cos(\theta )=0;\quad cos(\theta )=0</math> 

<math>\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { \theta }^{ 2 } } =2sen(\theta )</math> 

<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } ,3\frac { \pi }{ 2 } </math>

<math>\underline { \rho =6 } </math> 

<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 
Los valores en que se iguala a 0: 
<math>0,\quad \frac { \pi }{ 2 } ,\quad 3\frac { \pi }{ 2 } ,\quad \pi </math>

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá.
[[Archivo:Lineasnivelpresion reducida2.jpg|marco|derecha|Nivel de presiones]]
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado. 

<math>P =15-2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } )+\left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) </math> 
<math>\frac { 1 }{ 2 } d{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }\cdot P =cte</math> 
<math>P =15-\frac { 1 }{ 2 } 2{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }=5-{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }</math> 
<math>{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }={ \left( 2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ) \right) }^{ 2 }+{ \left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) }^{ 2 }</math> 
<math>max(P) \leadsto min(\bar { u } )</math> 
<math>\rho =2;\quad max(P)\quad \leadsto \quad \theta =\pi \quad En\quad las\quad fronteras\\ P(2,\pi )=15</math> 

==Variación de la velocidad y la presión==

'''''Introducir códigos y fotos de presionesylineasdecorriente.m y gradienteylineasdecorriente.m'''''

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
'''''Falta por incluir la foto de lineasdenivelpresion.m'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-05T00:14:08Z

JuanC: /* Presión y ecuación de Bernouilli */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo unidad.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial (ū) es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]
El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

'''''Falta por incluir la foto de gradienteycurvasdenivel.m y un zoom de esta'''''
Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:
{{matlab|codigo=
f=inline('2*(u+4./u).*cos(v)','u','v');

ro = linspace(1,5,20);
th = linspace(0,2*pi,20);

[Mro,Mth] = meshgrid(ro,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V));
fY=-sin(2.*V).*(8./(U^2));

quiver(X,Y,fX,fY)
axis([-4,4,-4,4]);
view(2)
hold on

%curvas de nivel
Z=f(U,V);
contour(X,Y,Z,12);
}}

Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que::
<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente gro se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta::
<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math>
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos puntos::
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> :
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> :
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''':
<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son líneas tangentes al campo <math>\bar { u } </math> en cada punto. Es decir, a la velocidad que es el gradiente de la función potencial. 

Vamos a dibujar las líneas de campo para lo que calculamos el siguiente vector: 
<math>\begin{cases} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{cases} \qquad \bar { v } =\begin{vmatrix} { \overline { g } }_{ \rho } & { \overline { g } }_{ \theta } & { \overline { g } }_{ z } \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}={ { \overline { g } } }_{ \rho }({ u }^{ \theta })-{ \overline { g } }_{ \theta }({ u }^{ \rho })+0{ \overline { g } }_{ z }</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
<math>\bar { v } =\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \rho }-\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \theta }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ \rho } \right) sen(\theta ){ \bar { g } }_{ \rho }-2cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

<math> \overline{v}=2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g}^ \rho+2cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^\theta </math> 

<math> \Psi=\int_{}^{} 2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho=2sen( \theta)[ \rho-\frac{4}{ \rho}]+cte( \theta) </math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))</math> 
<math>\begin{cases} { u }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }({ u }^{ \theta })=2{ \rho }^{ 2 }cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \\ { u }_{ \rho }={ u }^{ \rho }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \end{cases}</math> <math>\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { \partial (2cos(\theta )({ \rho }^{ 2 }-4)) }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(2\rho )=</math> 
<math>\boxed { 4\rho cos(\theta ) } </math>

==Puntos de la frontera==
'''''Falta por añadir máximos y mínimos de manera analítica.'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 
en la frontera <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> 
<math>\underline { \rho =2 } </math> 

<math>\bar { u } =-2sen(\theta )\overline { g } _{ \theta }\quad \leadsto \quad -2</math> 
máximo <math>\frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =-2cos(\theta )\quad \leadsto \quad \frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =0\quad \leadsto \quad -2cos(\theta ){ \overline { g } }_{ \theta }=0;\quad -2cos(\theta )=0;\quad cos(\theta )=0</math> 

<math>\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { \theta }^{ 2 } } =2sen(\theta )</math> 

<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } ,3\frac { \pi }{ 2 } </math>

<math>\underline { \rho =6 } </math> 

<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 
Los valores en que se iguala a 0: 
<math>0,\quad \frac { \pi }{ 2 } ,\quad 3\frac { \pi }{ 2 } ,\quad \pi </math>

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá.
[[Archivo:Lineasnivelpresion reducida2.jpg|marco|derecha|Nivel de presiones]]
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado. 

<math>P =15-2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } )+\left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) </math> 
<math>\frac { 1 }{ 2 } d{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }\cdot P =cte</math> 
<math>P =15-\frac { 1 }{ 2 } 2{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }=5-{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }</math> 
<math>{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }={ \left( 2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ) \right) }^{ 2 }+{ \left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) }^{ 2 }</math> 
<math>max(P) \leadsto min(\bar { u } )</math> 
<math>\rho =2;\quad max(P)\quad \leadsfrom \quad \theta =\pi \quad En\quad las\quad fronteras\\ P(2,\pi )=15</math> 

==Variación de la velocidad y la presión==

'''''Introducir códigos y fotos de presionesylineasdecorriente.m y gradienteylineasdecorriente.m'''''

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
'''''Falta por incluir la foto de lineasdenivelpresion.m'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-05T00:11:16Z

JuanC: /* Presión y ecuación de Bernouilli */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo unidad.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial (ū) es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]
El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

'''''Falta por incluir la foto de gradienteycurvasdenivel.m y un zoom de esta'''''
Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:
{{matlab|codigo=
f=inline('2*(u+4./u).*cos(v)','u','v');

ro = linspace(1,5,20);
th = linspace(0,2*pi,20);

[Mro,Mth] = meshgrid(ro,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V));
fY=-sin(2.*V).*(8./(U^2));

quiver(X,Y,fX,fY)
axis([-4,4,-4,4]);
view(2)
hold on

%curvas de nivel
Z=f(U,V);
contour(X,Y,Z,12);
}}

Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que::
<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente gro se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta::
<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math>
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos puntos::
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> :
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> :
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''':
<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son líneas tangentes al campo <math>\bar { u } </math> en cada punto. Es decir, a la velocidad que es el gradiente de la función potencial. 

Vamos a dibujar las líneas de campo para lo que calculamos el siguiente vector: 
<math>\begin{cases} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{cases} \qquad \bar { v } =\begin{vmatrix} { \overline { g } }_{ \rho } & { \overline { g } }_{ \theta } & { \overline { g } }_{ z } \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}={ { \overline { g } } }_{ \rho }({ u }^{ \theta })-{ \overline { g } }_{ \theta }({ u }^{ \rho })+0{ \overline { g } }_{ z }</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
<math>\bar { v } =\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \rho }-\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \theta }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ \rho } \right) sen(\theta ){ \bar { g } }_{ \rho }-2cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

<math> \overline{v}=2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g}^ \rho+2cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^\theta </math> 

<math> \Psi=\int_{}^{} 2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho=2sen( \theta)[ \rho-\frac{4}{ \rho}]+cte( \theta) </math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))</math> 
<math>\begin{cases} { u }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }({ u }^{ \theta })=2{ \rho }^{ 2 }cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \\ { u }_{ \rho }={ u }^{ \rho }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \end{cases}</math> <math>\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { \partial (2cos(\theta )({ \rho }^{ 2 }-4)) }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(2\rho )=</math> 
<math>\boxed { 4\rho cos(\theta ) } </math>

==Puntos de la frontera==
'''''Falta por añadir máximos y mínimos de manera analítica.'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 
en la frontera <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> 
<math>\underline { \rho =2 } </math> 

<math>\bar { u } =-2sen(\theta )\overline { g } _{ \theta }\quad \leadsto \quad -2</math> 
máximo <math>\frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =-2cos(\theta )\quad \leadsto \quad \frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =0\quad \leadsto \quad -2cos(\theta ){ \overline { g } }_{ \theta }=0;\quad -2cos(\theta )=0;\quad cos(\theta )=0</math> 

<math>\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { \theta }^{ 2 } } =2sen(\theta )</math> 

<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } ,3\frac { \pi }{ 2 } </math>

<math>\underline { \rho =6 } </math> 

<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 
Los valores en que se iguala a 0: 
<math>0,\quad \frac { \pi }{ 2 } ,\quad 3\frac { \pi }{ 2 } ,\quad \pi </math>

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá.
[[Archivo:Lineasnivelpresion reducida2.jpg|marco|derecha|Nivel de presiones]]
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado. 

<math>P =15-2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } )+\left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) </math> 
<math>\frac { 1 }{ 2 } d{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }\cdot P =cte</math> 
<math>P =15-\frac { 1 }{ 2 } 2{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }=5-{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }</math> 
<math>{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }={ \left( 2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ) \right) }^{ 2 }+{ \left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) }^{ 2 }</math> 
<math>max(P) \leadsto \quad min(\bar { u } )</math> 

==Variación de la velocidad y la presión==

'''''Introducir códigos y fotos de presionesylineasdecorriente.m y gradienteylineasdecorriente.m'''''

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
'''''Falta por incluir la foto de lineasdenivelpresion.m'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-05T00:10:31Z

JuanC: /* Presión y ecuación de Bernouilli */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo unidad.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial (ū) es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]
El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

'''''Falta por incluir la foto de gradienteycurvasdenivel.m y un zoom de esta'''''
Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:
{{matlab|codigo=
f=inline('2*(u+4./u).*cos(v)','u','v');

ro = linspace(1,5,20);
th = linspace(0,2*pi,20);

[Mro,Mth] = meshgrid(ro,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V));
fY=-sin(2.*V).*(8./(U^2));

quiver(X,Y,fX,fY)
axis([-4,4,-4,4]);
view(2)
hold on

%curvas de nivel
Z=f(U,V);
contour(X,Y,Z,12);
}}

Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que::
<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente gro se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta::
<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math>
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos puntos::
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> :
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> :
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''':
<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son líneas tangentes al campo <math>\bar { u } </math> en cada punto. Es decir, a la velocidad que es el gradiente de la función potencial. 

Vamos a dibujar las líneas de campo para lo que calculamos el siguiente vector: 
<math>\begin{cases} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{cases} \qquad \bar { v } =\begin{vmatrix} { \overline { g } }_{ \rho } & { \overline { g } }_{ \theta } & { \overline { g } }_{ z } \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}={ { \overline { g } } }_{ \rho }({ u }^{ \theta })-{ \overline { g } }_{ \theta }({ u }^{ \rho })+0{ \overline { g } }_{ z }</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
<math>\bar { v } =\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \rho }-\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \theta }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ \rho } \right) sen(\theta ){ \bar { g } }_{ \rho }-2cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

<math> \overline{v}=2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g}^ \rho+2cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^\theta </math> 

<math> \Psi=\int_{}^{} 2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho=2sen( \theta)[ \rho-\frac{4}{ \rho}]+cte( \theta) </math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))</math> 
<math>\begin{cases} { u }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }({ u }^{ \theta })=2{ \rho }^{ 2 }cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \\ { u }_{ \rho }={ u }^{ \rho }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \end{cases}</math> <math>\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { \partial (2cos(\theta )({ \rho }^{ 2 }-4)) }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(2\rho )=</math> 
<math>\boxed { 4\rho cos(\theta ) } </math>

==Puntos de la frontera==
'''''Falta por añadir máximos y mínimos de manera analítica.'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 
en la frontera <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> 
<math>\underline { \rho =2 } </math> 

<math>\bar { u } =-2sen(\theta )\overline { g } _{ \theta }\quad \leadsto \quad -2</math> 
máximo <math>\frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =-2cos(\theta )\quad \leadsto \quad \frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =0\quad \leadsto \quad -2cos(\theta ){ \overline { g } }_{ \theta }=0;\quad -2cos(\theta )=0;\quad cos(\theta )=0</math> 

<math>\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { \theta }^{ 2 } } =2sen(\theta )</math> 

<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } ,3\frac { \pi }{ 2 } </math>

<math>\underline { \rho =6 } </math> 

<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 
Los valores en que se iguala a 0: 
<math>0,\quad \frac { \pi }{ 2 } ,\quad 3\frac { \pi }{ 2 } ,\quad \pi </math>

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá.
[[Archivo:Lineasnivelpresion reducida2.jpg|marco|derecha|Nivel de presiones]]
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado. 

<math>P =15-2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } )+\left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) </math> 
<math>\frac { 1 }{ 2 } d{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }\cdot P =cte</math> 
<math>P =15-\frac { 1 }{ 2 } 2{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }=5-{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }</math> 
<math>{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }={ \left( 2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ) \right) }^{ 2 }+{ \left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) }^{ 2 }</math> 
<math>max(\rho )P \leadsto \quad min(\bar { u } )</math> 

==Variación de la velocidad y la presión==

'''''Introducir códigos y fotos de presionesylineasdecorriente.m y gradienteylineasdecorriente.m'''''

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
'''''Falta por incluir la foto de lineasdenivelpresion.m'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-05T00:09:57Z

JuanC: /* Presión y ecuación de Bernouilli */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo unidad.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial (ū) es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]
El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

'''''Falta por incluir la foto de gradienteycurvasdenivel.m y un zoom de esta'''''
Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:
{{matlab|codigo=
f=inline('2*(u+4./u).*cos(v)','u','v');

ro = linspace(1,5,20);
th = linspace(0,2*pi,20);

[Mro,Mth] = meshgrid(ro,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V));
fY=-sin(2.*V).*(8./(U^2));

quiver(X,Y,fX,fY)
axis([-4,4,-4,4]);
view(2)
hold on

%curvas de nivel
Z=f(U,V);
contour(X,Y,Z,12);
}}

Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que::
<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente gro se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta::
<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math>
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos puntos::
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> :
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> :
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''':
<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son líneas tangentes al campo <math>\bar { u } </math> en cada punto. Es decir, a la velocidad que es el gradiente de la función potencial. 

Vamos a dibujar las líneas de campo para lo que calculamos el siguiente vector: 
<math>\begin{cases} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{cases} \qquad \bar { v } =\begin{vmatrix} { \overline { g } }_{ \rho } & { \overline { g } }_{ \theta } & { \overline { g } }_{ z } \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}={ { \overline { g } } }_{ \rho }({ u }^{ \theta })-{ \overline { g } }_{ \theta }({ u }^{ \rho })+0{ \overline { g } }_{ z }</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
<math>\bar { v } =\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \rho }-\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \theta }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ \rho } \right) sen(\theta ){ \bar { g } }_{ \rho }-2cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

<math> \overline{v}=2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g}^ \rho+2cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^\theta </math> 

<math> \Psi=\int_{}^{} 2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho=2sen( \theta)[ \rho-\frac{4}{ \rho}]+cte( \theta) </math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))</math> 
<math>\begin{cases} { u }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }({ u }^{ \theta })=2{ \rho }^{ 2 }cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \\ { u }_{ \rho }={ u }^{ \rho }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \end{cases}</math> <math>\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { \partial (2cos(\theta )({ \rho }^{ 2 }-4)) }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(2\rho )=</math> 
<math>\boxed { 4\rho cos(\theta ) } </math>

==Puntos de la frontera==
'''''Falta por añadir máximos y mínimos de manera analítica.'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 
en la frontera <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> 
<math>\underline { \rho =2 } </math> 

<math>\bar { u } =-2sen(\theta )\overline { g } _{ \theta }\quad \leadsto \quad -2</math> 
máximo <math>\frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =-2cos(\theta )\quad \leadsto \quad \frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =0\quad \leadsto \quad -2cos(\theta ){ \overline { g } }_{ \theta }=0;\quad -2cos(\theta )=0;\quad cos(\theta )=0</math> 

<math>\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { \theta }^{ 2 } } =2sen(\theta )</math> 

<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } ,3\frac { \pi }{ 2 } </math>

<math>\underline { \rho =6 } </math> 

<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 
Los valores en que se iguala a 0: 
<math>0,\quad \frac { \pi }{ 2 } ,\quad 3\frac { \pi }{ 2 } ,\quad \pi </math>

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá.
[[Archivo:Lineasnivelpresion reducida2.jpg|marco|derecha|Nivel de presiones]]
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado. 

<math>\rho =15-2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } )+\left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) </math> 
<math>\frac { 1 }{ 2 } d{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }\cdot P =cte</math> 
<math>P =15-\frac { 1 }{ 2 } 2{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }=5-{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }</math> 
<math>{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }={ \left( 2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ) \right) }^{ 2 }+{ \left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) }^{ 2 }</math> 
<math>max(\rho )P \leadsto \quad min(\bar { u } )</math> 

==Variación de la velocidad y la presión==

'''''Introducir códigos y fotos de presionesylineasdecorriente.m y gradienteylineasdecorriente.m'''''

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
'''''Falta por incluir la foto de lineasdenivelpresion.m'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-05T00:08:56Z

JuanC: /* Presión y ecuación de Bernouilli */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo unidad.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial (ū) es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]
El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

'''''Falta por incluir la foto de gradienteycurvasdenivel.m y un zoom de esta'''''
Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:
{{matlab|codigo=
f=inline('2*(u+4./u).*cos(v)','u','v');

ro = linspace(1,5,20);
th = linspace(0,2*pi,20);

[Mro,Mth] = meshgrid(ro,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V));
fY=-sin(2.*V).*(8./(U^2));

quiver(X,Y,fX,fY)
axis([-4,4,-4,4]);
view(2)
hold on

%curvas de nivel
Z=f(U,V);
contour(X,Y,Z,12);
}}

Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que::
<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente gro se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta::
<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math>
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos puntos::
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> :
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> :
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''':
<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son líneas tangentes al campo <math>\bar { u } </math> en cada punto. Es decir, a la velocidad que es el gradiente de la función potencial. 

Vamos a dibujar las líneas de campo para lo que calculamos el siguiente vector: 
<math>\begin{cases} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{cases} \qquad \bar { v } =\begin{vmatrix} { \overline { g } }_{ \rho } & { \overline { g } }_{ \theta } & { \overline { g } }_{ z } \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}={ { \overline { g } } }_{ \rho }({ u }^{ \theta })-{ \overline { g } }_{ \theta }({ u }^{ \rho })+0{ \overline { g } }_{ z }</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
<math>\bar { v } =\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \rho }-\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \theta }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ \rho } \right) sen(\theta ){ \bar { g } }_{ \rho }-2cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

<math> \overline{v}=2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g}^ \rho+2cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^\theta </math> 

<math> \Psi=\int_{}^{} 2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho=2sen( \theta)[ \rho-\frac{4}{ \rho}]+cte( \theta) </math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))</math> 
<math>\begin{cases} { u }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }({ u }^{ \theta })=2{ \rho }^{ 2 }cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \\ { u }_{ \rho }={ u }^{ \rho }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \end{cases}</math> <math>\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { \partial (2cos(\theta )({ \rho }^{ 2 }-4)) }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(2\rho )=</math> 
<math>\boxed { 4\rho cos(\theta ) } </math>

==Puntos de la frontera==
'''''Falta por añadir máximos y mínimos de manera analítica.'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 
en la frontera <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> 
<math>\underline { \rho =2 } </math> 

<math>\bar { u } =-2sen(\theta )\overline { g } _{ \theta }\quad \leadsto \quad -2</math> 
máximo <math>\frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =-2cos(\theta )\quad \leadsto \quad \frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =0\quad \leadsto \quad -2cos(\theta ){ \overline { g } }_{ \theta }=0;\quad -2cos(\theta )=0;\quad cos(\theta )=0</math> 

<math>\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { \theta }^{ 2 } } =2sen(\theta )</math> 

<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } ,3\frac { \pi }{ 2 } </math>

<math>\underline { \rho =6 } </math> 

<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 
Los valores en que se iguala a 0: 
<math>0,\quad \frac { \pi }{ 2 } ,\quad 3\frac { \pi }{ 2 } ,\quad \pi </math>

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá.
[[Archivo:Lineasnivelpresion reducida2.jpg|marco|derecha|Nivel de presiones]]
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado. 

<math>\rho =15-2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } )+\left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) </math> 
<math>\frac { 1 }{ 2 } d{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }\cdot \rho =cte</math> 
<math>\rho =15-\frac { 1 }{ 2 } 2{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }=5-{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }</math> 
<math>{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }={ \left( 2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ) \right) }^{ 2 }+{ \left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) }^{ 2 }</math> 
<math>max(\rho )\quad \leadsto \quad min(\bar { u } )</math> 

==Variación de la velocidad y la presión==

'''''Introducir códigos y fotos de presionesylineasdecorriente.m y gradienteylineasdecorriente.m'''''

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
'''''Falta por incluir la foto de lineasdenivelpresion.m'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-05T00:08:06Z

JuanC: /* Presión y ecuación de Bernouilli */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo unidad.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial (ū) es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]
El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

'''''Falta por incluir la foto de gradienteycurvasdenivel.m y un zoom de esta'''''
Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:
{{matlab|codigo=
f=inline('2*(u+4./u).*cos(v)','u','v');

ro = linspace(1,5,20);
th = linspace(0,2*pi,20);

[Mro,Mth] = meshgrid(ro,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V));
fY=-sin(2.*V).*(8./(U^2));

quiver(X,Y,fX,fY)
axis([-4,4,-4,4]);
view(2)
hold on

%curvas de nivel
Z=f(U,V);
contour(X,Y,Z,12);
}}

Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que::
<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente gro se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta::
<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math>
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos puntos::
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> :
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> :
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''':
<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son líneas tangentes al campo <math>\bar { u } </math> en cada punto. Es decir, a la velocidad que es el gradiente de la función potencial. 

Vamos a dibujar las líneas de campo para lo que calculamos el siguiente vector: 
<math>\begin{cases} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{cases} \qquad \bar { v } =\begin{vmatrix} { \overline { g } }_{ \rho } & { \overline { g } }_{ \theta } & { \overline { g } }_{ z } \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}={ { \overline { g } } }_{ \rho }({ u }^{ \theta })-{ \overline { g } }_{ \theta }({ u }^{ \rho })+0{ \overline { g } }_{ z }</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
<math>\bar { v } =\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \rho }-\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \theta }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ \rho } \right) sen(\theta ){ \bar { g } }_{ \rho }-2cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

<math> \overline{v}=2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g}^ \rho+2cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^\theta </math> 

<math> \Psi=\int_{}^{} 2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho=2sen( \theta)[ \rho-\frac{4}{ \rho}]+cte( \theta) </math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))</math> 
<math>\begin{cases} { u }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }({ u }^{ \theta })=2{ \rho }^{ 2 }cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \\ { u }_{ \rho }={ u }^{ \rho }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \end{cases}</math> <math>\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { \partial (2cos(\theta )({ \rho }^{ 2 }-4)) }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(2\rho )=</math> 
<math>\boxed { 4\rho cos(\theta ) } </math>

==Puntos de la frontera==
'''''Falta por añadir máximos y mínimos de manera analítica.'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 
en la frontera <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> 
<math>\underline { \rho =2 } </math> 

<math>\bar { u } =-2sen(\theta )\overline { g } _{ \theta }\quad \leadsto \quad -2</math> 
máximo <math>\frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =-2cos(\theta )\quad \leadsto \quad \frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =0\quad \leadsto \quad -2cos(\theta ){ \overline { g } }_{ \theta }=0;\quad -2cos(\theta )=0;\quad cos(\theta )=0</math> 

<math>\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { \theta }^{ 2 } } =2sen(\theta )</math> 

<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } ,3\frac { \pi }{ 2 } </math>

<math>\underline { \rho =6 } </math> 

<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 
Los valores en que se iguala a 0: 
<math>0,\quad \frac { \pi }{ 2 } ,\quad 3\frac { \pi }{ 2 } ,\quad \pi </math>

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá.
[[Archivo:Lineasnivelpresion reducida2.jpg|marco|derecha|Nivel de presiones]]
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado. 

<math>\rho =15-2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } )+\left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) </math> 
<math>\frac { 1 }{ 2 } d{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }\cdot \rho =cte</math> 
<math>\rho =15-\frac { 1 }{ 2 } 2{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }=5-{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }</math> 
<math>{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }={ \left( 2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ) \right) }^{ 2 }+{ \left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) }^{ 2 }</math> 

==Variación de la velocidad y la presión==

'''''Introducir códigos y fotos de presionesylineasdecorriente.m y gradienteylineasdecorriente.m'''''

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
'''''Falta por incluir la foto de lineasdenivelpresion.m'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-05T00:04:55Z

JuanC: /* Presión y ecuación de Bernouilli */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo unidad.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial (ū) es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]
El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

'''''Falta por incluir la foto de gradienteycurvasdenivel.m y un zoom de esta'''''
Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:
{{matlab|codigo=
f=inline('2*(u+4./u).*cos(v)','u','v');

ro = linspace(1,5,20);
th = linspace(0,2*pi,20);

[Mro,Mth] = meshgrid(ro,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V));
fY=-sin(2.*V).*(8./(U^2));

quiver(X,Y,fX,fY)
axis([-4,4,-4,4]);
view(2)
hold on

%curvas de nivel
Z=f(U,V);
contour(X,Y,Z,12);
}}

Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que::
<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente gro se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta::
<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math>
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos puntos::
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> :
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> :
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''':
<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son líneas tangentes al campo <math>\bar { u } </math> en cada punto. Es decir, a la velocidad que es el gradiente de la función potencial. 

Vamos a dibujar las líneas de campo para lo que calculamos el siguiente vector: 
<math>\begin{cases} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{cases} \qquad \bar { v } =\begin{vmatrix} { \overline { g } }_{ \rho } & { \overline { g } }_{ \theta } & { \overline { g } }_{ z } \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}={ { \overline { g } } }_{ \rho }({ u }^{ \theta })-{ \overline { g } }_{ \theta }({ u }^{ \rho })+0{ \overline { g } }_{ z }</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
<math>\bar { v } =\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \rho }-\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \theta }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ \rho } \right) sen(\theta ){ \bar { g } }_{ \rho }-2cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

<math> \overline{v}=2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g}^ \rho+2cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^\theta </math> 

<math> \Psi=\int_{}^{} 2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho=2sen( \theta)[ \rho-\frac{4}{ \rho}]+cte( \theta) </math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))</math> 
<math>\begin{cases} { u }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }({ u }^{ \theta })=2{ \rho }^{ 2 }cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \\ { u }_{ \rho }={ u }^{ \rho }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \end{cases}</math> <math>\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { \partial (2cos(\theta )({ \rho }^{ 2 }-4)) }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(2\rho )=</math> 
<math>\boxed { 4\rho cos(\theta ) } </math>

==Puntos de la frontera==
'''''Falta por añadir máximos y mínimos de manera analítica.'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 
en la frontera <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> 
<math>\underline { \rho =2 } </math> 

<math>\bar { u } =-2sen(\theta )\overline { g } _{ \theta }\quad \leadsto \quad -2</math> 
máximo <math>\frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =-2cos(\theta )\quad \leadsto \quad \frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =0\quad \leadsto \quad -2cos(\theta ){ \overline { g } }_{ \theta }=0;\quad -2cos(\theta )=0;\quad cos(\theta )=0</math> 

<math>\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { \theta }^{ 2 } } =2sen(\theta )</math> 

<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } ,3\frac { \pi }{ 2 } </math>

<math>\underline { \rho =6 } </math> 

<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 
Los valores en que se iguala a 0: 
<math>0,\quad \frac { \pi }{ 2 } ,\quad 3\frac { \pi }{ 2 } ,\quad \pi </math>

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá.
[[Archivo:Lineasnivelpresion reducida2.jpg|marco|derecha|Nivel de presiones]]
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado. 

<math>\rho =15-2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } )+\left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) </math> 
<math>\frac { 1 }{ 2 } d{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }\cdot \rho =cte</math> 
<math>\rho =15-\frac { 1 }{ 2 } 2{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }=5-{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }</math> 
<math>

==Variación de la velocidad y la presión==

'''''Introducir códigos y fotos de presionesylineasdecorriente.m y gradienteylineasdecorriente.m'''''

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
'''''Falta por incluir la foto de lineasdenivelpresion.m'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-05T00:04:01Z

JuanC: /* Presión y ecuación de Bernouilli */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo unidad.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial (ū) es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]
El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

'''''Falta por incluir la foto de gradienteycurvasdenivel.m y un zoom de esta'''''
Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:
{{matlab|codigo=
f=inline('2*(u+4./u).*cos(v)','u','v');

ro = linspace(1,5,20);
th = linspace(0,2*pi,20);

[Mro,Mth] = meshgrid(ro,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V));
fY=-sin(2.*V).*(8./(U^2));

quiver(X,Y,fX,fY)
axis([-4,4,-4,4]);
view(2)
hold on

%curvas de nivel
Z=f(U,V);
contour(X,Y,Z,12);
}}

Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que::
<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente gro se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta::
<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math>
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos puntos::
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> :
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> :
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''':
<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son líneas tangentes al campo <math>\bar { u } </math> en cada punto. Es decir, a la velocidad que es el gradiente de la función potencial. 

Vamos a dibujar las líneas de campo para lo que calculamos el siguiente vector: 
<math>\begin{cases} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{cases} \qquad \bar { v } =\begin{vmatrix} { \overline { g } }_{ \rho } & { \overline { g } }_{ \theta } & { \overline { g } }_{ z } \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}={ { \overline { g } } }_{ \rho }({ u }^{ \theta })-{ \overline { g } }_{ \theta }({ u }^{ \rho })+0{ \overline { g } }_{ z }</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
<math>\bar { v } =\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \rho }-\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \theta }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ \rho } \right) sen(\theta ){ \bar { g } }_{ \rho }-2cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

<math> \overline{v}=2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g}^ \rho+2cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^\theta </math> 

<math> \Psi=\int_{}^{} 2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho=2sen( \theta)[ \rho-\frac{4}{ \rho}]+cte( \theta) </math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))</math> 
<math>\begin{cases} { u }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }({ u }^{ \theta })=2{ \rho }^{ 2 }cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \\ { u }_{ \rho }={ u }^{ \rho }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \end{cases}</math> <math>\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { \partial (2cos(\theta )({ \rho }^{ 2 }-4)) }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(2\rho )=</math> 
<math>\boxed { 4\rho cos(\theta ) } </math>

==Puntos de la frontera==
'''''Falta por añadir máximos y mínimos de manera analítica.'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 
en la frontera <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> 
<math>\underline { \rho =2 } </math> 

<math>\bar { u } =-2sen(\theta )\overline { g } _{ \theta }\quad \leadsto \quad -2</math> 
máximo <math>\frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =-2cos(\theta )\quad \leadsto \quad \frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =0\quad \leadsto \quad -2cos(\theta ){ \overline { g } }_{ \theta }=0;\quad -2cos(\theta )=0;\quad cos(\theta )=0</math> 

<math>\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { \theta }^{ 2 } } =2sen(\theta )</math> 

<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } ,3\frac { \pi }{ 2 } </math>

<math>\underline { \rho =6 } </math> 

<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 
Los valores en que se iguala a 0: 
<math>0,\quad \frac { \pi }{ 2 } ,\quad 3\frac { \pi }{ 2 } ,\quad \pi </math>

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá.
[[Archivo:Lineasnivelpresion reducida2.jpg|marco|derecha|Nivel de presiones]]
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado. 

<math>\rho =15-2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } )+\left( -2(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )sen(\theta ) \right) </math> 
<math>\frac { 1 }{ 2 } d{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }\cdot \rho =cte</math> 
<math>\rho =15-\frac { 1 }{ 2 } 2{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }=5-{ \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }</math> 

==Variación de la velocidad y la presión==

'''''Introducir códigos y fotos de presionesylineasdecorriente.m y gradienteylineasdecorriente.m'''''

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
'''''Falta por incluir la foto de lineasdenivelpresion.m'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-04T23:59:44Z

JuanC: /* Campo de velocidades y función potencial */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo unidad.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial (ū) es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]
El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

'''''Falta por incluir la foto de gradienteycurvasdenivel.m y un zoom de esta'''''
Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:
{{matlab|codigo=
f=inline('2*(u+4./u).*cos(v)','u','v');

ro = linspace(1,5,20);
th = linspace(0,2*pi,20);

[Mro,Mth] = meshgrid(ro,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V));
fY=-sin(2.*V).*(8./(U^2));

quiver(X,Y,fX,fY)
axis([-4,4,-4,4]);
view(2)
hold on

%curvas de nivel
Z=f(U,V);
contour(X,Y,Z,12);
}}

Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que::
<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente gro se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta::
<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math>
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos puntos::
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> :
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> :
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''':
<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son líneas tangentes al campo <math>\bar { u } </math> en cada punto. Es decir, a la velocidad que es el gradiente de la función potencial. 

Vamos a dibujar las líneas de campo para lo que calculamos el siguiente vector: 
<math>\begin{cases} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{cases} \qquad \bar { v } =\begin{vmatrix} { \overline { g } }_{ \rho } & { \overline { g } }_{ \theta } & { \overline { g } }_{ z } \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}={ { \overline { g } } }_{ \rho }({ u }^{ \theta })-{ \overline { g } }_{ \theta }({ u }^{ \rho })+0{ \overline { g } }_{ z }</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
<math>\bar { v } =\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \rho }-\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \theta }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ \rho } \right) sen(\theta ){ \bar { g } }_{ \rho }-2cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

<math> \overline{v}=2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g}^ \rho+2cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^\theta </math> 

<math> \Psi=\int_{}^{} 2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho=2sen( \theta)[ \rho-\frac{4}{ \rho}]+cte( \theta) </math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))</math> 
<math>\begin{cases} { u }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }({ u }^{ \theta })=2{ \rho }^{ 2 }cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \\ { u }_{ \rho }={ u }^{ \rho }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \end{cases}</math> <math>\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { \partial (2cos(\theta )({ \rho }^{ 2 }-4)) }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(2\rho )=</math> 
<math>\boxed { 4\rho cos(\theta ) } </math>

==Puntos de la frontera==
'''''Falta por añadir máximos y mínimos de manera analítica.'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 
en la frontera <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> 
<math>\underline { \rho =2 } </math> 

<math>\bar { u } =-2sen(\theta )\overline { g } _{ \theta }\quad \leadsto \quad -2</math> 
máximo <math>\frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =-2cos(\theta )\quad \leadsto \quad \frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =0\quad \leadsto \quad -2cos(\theta ){ \overline { g } }_{ \theta }=0;\quad -2cos(\theta )=0;\quad cos(\theta )=0</math> 

<math>\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { \theta }^{ 2 } } =2sen(\theta )</math> 

<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } ,3\frac { \pi }{ 2 } </math>

<math>\underline { \rho =6 } </math> 

<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 
Los valores en que se iguala a 0: 
<math>0,\quad \frac { \pi }{ 2 } ,\quad 3\frac { \pi }{ 2 } ,\quad \pi </math>

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá.
[[Archivo:Lineasnivelpresion reducida2.jpg|marco|derecha|Nivel de presiones]]
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado.

==Variación de la velocidad y la presión==

'''''Introducir códigos y fotos de presionesylineasdecorriente.m y gradienteylineasdecorriente.m'''''

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
'''''Falta por incluir la foto de lineasdenivelpresion.m'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-04T23:57:15Z

JuanC: /* Presión y ecuación de Bernouilli */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo unidad.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial (ū) es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]
El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

'''''Falta por incluir la foto de gradienteycurvasdenivel.m y un zoom de esta'''''
Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:
{{matlab|codigo=
f=inline('2*(u+4./u).*cos(v)','u','v');

ro = linspace(1,5,20);
th = linspace(0,2*pi,20);

[Mro,Mth] = meshgrid(ro,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V));
fY=-sin(2.*V).*(8./(U^2));

quiver(X,Y,fX,fY)
axis([-4,4,-4,4]);
view(2)
hold on

%curvas de nivel
Z=f(U,V);
contour(X,Y,Z,12);
}}

Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que::
<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente gro se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta::
<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math>
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos punto::
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> :
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> :
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''':
<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son líneas tangentes al campo <math>\bar { u } </math> en cada punto. Es decir, a la velocidad que es el gradiente de la función potencial. 

Vamos a dibujar las líneas de campo para lo que calculamos el siguiente vector: 
<math>\begin{cases} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{cases} \qquad \bar { v } =\begin{vmatrix} { \overline { g } }_{ \rho } & { \overline { g } }_{ \theta } & { \overline { g } }_{ z } \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}={ { \overline { g } } }_{ \rho }({ u }^{ \theta })-{ \overline { g } }_{ \theta }({ u }^{ \rho })+0{ \overline { g } }_{ z }</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
<math>\bar { v } =\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \rho }-\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \theta }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ \rho } \right) sen(\theta ){ \bar { g } }_{ \rho }-2cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

<math> \overline{v}=2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g}^ \rho+2cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^\theta </math> 

<math> \Psi=\int_{}^{} 2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho=2sen( \theta)[ \rho-\frac{4}{ \rho}]+cte( \theta) </math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))</math> 
<math>\begin{cases} { u }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }({ u }^{ \theta })=2{ \rho }^{ 2 }cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \\ { u }_{ \rho }={ u }^{ \rho }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \end{cases}</math> <math>\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { \partial (2cos(\theta )({ \rho }^{ 2 }-4)) }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(2\rho )=</math> 
<math>\boxed { 4\rho cos(\theta ) } </math>

==Puntos de la frontera==
'''''Falta por añadir máximos y mínimos de manera analítica.'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 
en la frontera <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> 
<math>\underline { \rho =2 } </math> 

<math>\bar { u } =-2sen(\theta )\overline { g } _{ \theta }\quad \leadsto \quad -2</math> 
máximo <math>\frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =-2cos(\theta )\quad \leadsto \quad \frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =0\quad \leadsto \quad -2cos(\theta ){ \overline { g } }_{ \theta }=0;\quad -2cos(\theta )=0;\quad cos(\theta )=0</math> 

<math>\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { \theta }^{ 2 } } =2sen(\theta )</math> 

<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } ,3\frac { \pi }{ 2 } </math>

<math>\underline { \rho =6 } </math> 

<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 
Los valores en que se iguala a 0: 
<math>0,\quad \frac { \pi }{ 2 } ,\quad 3\frac { \pi }{ 2 } ,\quad \pi </math>

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá.
[[Archivo:Lineasnivelpresion reducida2.jpg|marco|derecha|Nivel de presiones]]
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado.

==Variación de la velocidad y la presión==

'''''Introducir códigos y fotos de presionesylineasdecorriente.m y gradienteylineasdecorriente.m'''''

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
'''''Falta por incluir la foto de lineasdenivelpresion.m'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-04T23:54:07Z

JuanC: /* Puntos de la frontera */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo unidad.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial (ū) es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]
El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

'''''Falta por incluir la foto de gradienteycurvasdenivel.m y un zoom de esta'''''
Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:
{{matlab|codigo=
f=inline('2*(u+4./u).*cos(v)','u','v');

ro = linspace(1,5,20);
th = linspace(0,2*pi,20);

[Mro,Mth] = meshgrid(ro,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V));
fY=-sin(2.*V).*(8./(U^2));

quiver(X,Y,fX,fY)
axis([-4,4,-4,4]);
view(2)
hold on

%curvas de nivel
Z=f(U,V);
contour(X,Y,Z,12);
}}

Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que::
<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente gro se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta::
<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math>
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos punto::
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> :
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> :
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''':
<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son líneas tangentes al campo <math>\bar { u } </math> en cada punto. Es decir, a la velocidad que es el gradiente de la función potencial. 

Vamos a dibujar las líneas de campo para lo que calculamos el siguiente vector: 
<math>\begin{cases} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{cases} \qquad \bar { v } =\begin{vmatrix} { \overline { g } }_{ \rho } & { \overline { g } }_{ \theta } & { \overline { g } }_{ z } \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}={ { \overline { g } } }_{ \rho }({ u }^{ \theta })-{ \overline { g } }_{ \theta }({ u }^{ \rho })+0{ \overline { g } }_{ z }</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
<math>\bar { v } =\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \rho }-\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \theta }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ \rho } \right) sen(\theta ){ \bar { g } }_{ \rho }-2cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

<math> \overline{v}=2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g}^ \rho+2cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^\theta </math> 

<math> \Psi=\int_{}^{} 2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho=2sen( \theta)[ \rho-\frac{4}{ \rho}]+cte( \theta) </math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))</math> 
<math>\begin{cases} { u }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }({ u }^{ \theta })=2{ \rho }^{ 2 }cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \\ { u }_{ \rho }={ u }^{ \rho }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \end{cases}</math> <math>\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { \partial (2cos(\theta )({ \rho }^{ 2 }-4)) }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(2\rho )=</math> 
<math>\boxed { 4\rho cos(\theta ) } </math>

==Puntos de la frontera==
'''''Falta por añadir máximos y mínimos de manera analítica.'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 
en la frontera <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> 
<math>\underline { \rho =2 } </math> 

<math>\bar { u } =-2sen(\theta )\overline { g } _{ \theta }\quad \leadsto \quad -2</math> 
máximo <math>\frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =-2cos(\theta )\quad \leadsto \quad \frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =0\quad \leadsto \quad -2cos(\theta ){ \overline { g } }_{ \theta }=0;\quad -2cos(\theta )=0;\quad cos(\theta )=0</math> 

<math>\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { \theta }^{ 2 } } =2sen(\theta )</math> 

<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } ,3\frac { \pi }{ 2 } </math>

<math>\underline { \rho =6 } </math> 

<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 
Los valores en que se iguala a 0: 
<math>0,\quad \frac { \pi }{ 2 } ,\quad 3\frac { \pi }{ 2 } ,\quad \pi </math>

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá.
'''''Falta por incluir la foto de presiones.m'''''
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado.

==Variación de la velocidad y la presión==

'''''Introducir códigos y fotos de presionesylineasdecorriente.m y gradienteylineasdecorriente.m'''''

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
'''''Falta por incluir la foto de lineasdenivelpresion.m'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-04T23:53:38Z

JuanC: /* Puntos de la frontera */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo unidad.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial (ū) es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]
El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

'''''Falta por incluir la foto de gradienteycurvasdenivel.m y un zoom de esta'''''
Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:
{{matlab|codigo=
f=inline('2*(u+4./u).*cos(v)','u','v');

ro = linspace(1,5,20);
th = linspace(0,2*pi,20);

[Mro,Mth] = meshgrid(ro,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V));
fY=-sin(2.*V).*(8./(U^2));

quiver(X,Y,fX,fY)
axis([-4,4,-4,4]);
view(2)
hold on

%curvas de nivel
Z=f(U,V);
contour(X,Y,Z,12);
}}

Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que::
<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente gro se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta::
<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math>
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos punto::
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> :
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> :
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''':
<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son líneas tangentes al campo <math>\bar { u } </math> en cada punto. Es decir, a la velocidad que es el gradiente de la función potencial. 

Vamos a dibujar las líneas de campo para lo que calculamos el siguiente vector: 
<math>\begin{cases} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{cases} \qquad \bar { v } =\begin{vmatrix} { \overline { g } }_{ \rho } & { \overline { g } }_{ \theta } & { \overline { g } }_{ z } \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}={ { \overline { g } } }_{ \rho }({ u }^{ \theta })-{ \overline { g } }_{ \theta }({ u }^{ \rho })+0{ \overline { g } }_{ z }</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
<math>\bar { v } =\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \rho }-\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \theta }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ \rho } \right) sen(\theta ){ \bar { g } }_{ \rho }-2cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

<math> \overline{v}=2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g}^ \rho+2cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^\theta </math> 

<math> \Psi=\int_{}^{} 2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho=2sen( \theta)[ \rho-\frac{4}{ \rho}]+cte( \theta) </math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))</math> 
<math>\begin{cases} { u }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }({ u }^{ \theta })=2{ \rho }^{ 2 }cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \\ { u }_{ \rho }={ u }^{ \rho }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \end{cases}</math> <math>\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { \partial (2cos(\theta )({ \rho }^{ 2 }-4)) }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(2\rho )=</math> 
<math>\boxed { 4\rho cos(\theta ) } </math>

==Puntos de la frontera==
'''''Falta por añadir máximos y mínimos de manera analítica.'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 
en la frontera <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> 
<math>\underline { \rho =2 } </math> 

<math>\bar { u } =-2sen(\theta )\overline { g } _{ \theta }\quad \leadsto \quad -2</math> 
máximo <math>\frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =-2cos(\theta )\quad \leadsto \quad \frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =0\quad \leadsto \quad -2cos(\theta ){ \overline { g } }_{ \theta }=0;\quad -2cos(\theta )=0;\quad cos(\theta )=0</math> 

<math>\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { \theta }^{ 2 } } =2sen(\theta )</math> 

<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } ,3\frac { \pi }{ 2 } </math>

<math>\underline { \rho =6 } </math> 

<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 
Los valores en que se iguala a 0: <math>0,\quad \frac { \pi }{ 2 } ,\quad 3\frac { \pi }{ 2 } ,\quad \pi </math>

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá.
'''''Falta por incluir la foto de presiones.m'''''
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado.

==Variación de la velocidad y la presión==

'''''Introducir códigos y fotos de presionesylineasdecorriente.m y gradienteylineasdecorriente.m'''''

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
'''''Falta por incluir la foto de lineasdenivelpresion.m'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-04T23:49:21Z

JuanC: /* Puntos de la frontera */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo unidad.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial (ū) es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]
El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

'''''Falta por incluir la foto de gradienteycurvasdenivel.m y un zoom de esta'''''
Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:
{{matlab|codigo=
f=inline('2*(u+4./u).*cos(v)','u','v');

ro = linspace(1,5,20);
th = linspace(0,2*pi,20);

[Mro,Mth] = meshgrid(ro,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V));
fY=-sin(2.*V).*(8./(U^2));

quiver(X,Y,fX,fY)
axis([-4,4,-4,4]);
view(2)
hold on

%curvas de nivel
Z=f(U,V);
contour(X,Y,Z,12);
}}

Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que::
<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente gro se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta::
<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math>
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos punto::
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> :
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> :
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''':
<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son líneas tangentes al campo <math>\bar { u } </math> en cada punto. Es decir, a la velocidad que es el gradiente de la función potencial. 

Vamos a dibujar las líneas de campo para lo que calculamos el siguiente vector: 
<math>\begin{cases} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{cases} \qquad \bar { v } =\begin{vmatrix} { \overline { g } }_{ \rho } & { \overline { g } }_{ \theta } & { \overline { g } }_{ z } \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}={ { \overline { g } } }_{ \rho }({ u }^{ \theta })-{ \overline { g } }_{ \theta }({ u }^{ \rho })+0{ \overline { g } }_{ z }</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
<math>\bar { v } =\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \rho }-\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \theta }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ \rho } \right) sen(\theta ){ \bar { g } }_{ \rho }-2cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

<math> \overline{v}=2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g}^ \rho+2cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^\theta </math> 

<math> \Psi=\int_{}^{} 2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho=2sen( \theta)[ \rho-\frac{4}{ \rho}]+cte( \theta) </math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))</math> 
<math>\begin{cases} { u }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }({ u }^{ \theta })=2{ \rho }^{ 2 }cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \\ { u }_{ \rho }={ u }^{ \rho }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \end{cases}</math> <math>\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { \partial (2cos(\theta )({ \rho }^{ 2 }-4)) }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(2\rho )=</math> 
<math>\boxed { 4\rho cos(\theta ) } </math>

==Puntos de la frontera==
'''''Falta por añadir máximos y mínimos de manera analítica.'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 
en la frontera <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> 
<math>\underline { \rho =2 } </math> 

<math>\bar { u } =-2sen(\theta )\overline { g } _{ \theta }\quad \leadsto \quad -2</math> 
máximo <math>\frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =-2cos(\theta )\quad \leadsto \quad \frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =0\quad \leadsto \quad -2cos(\theta ){ \overline { g } }_{ \theta }=0;\quad -2cos(\theta )=0;\quad cos(\theta )=0</math> 

<math>\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { \theta }^{ 2 } } =2sen(\theta )</math> 

<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } ,3\frac { \pi }{ 2 } </math>

<math>\underline { \rho =6 } </math>

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá.
'''''Falta por incluir la foto de presiones.m'''''
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado.

==Variación de la velocidad y la presión==

'''''Introducir códigos y fotos de presionesylineasdecorriente.m y gradienteylineasdecorriente.m'''''

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
'''''Falta por incluir la foto de lineasdenivelpresion.m'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-04T23:48:58Z

JuanC: /* Puntos de la frontera */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo unidad.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial (ū) es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]
El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

'''''Falta por incluir la foto de gradienteycurvasdenivel.m y un zoom de esta'''''
Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:
{{matlab|codigo=
f=inline('2*(u+4./u).*cos(v)','u','v');

ro = linspace(1,5,20);
th = linspace(0,2*pi,20);

[Mro,Mth] = meshgrid(ro,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V));
fY=-sin(2.*V).*(8./(U^2));

quiver(X,Y,fX,fY)
axis([-4,4,-4,4]);
view(2)
hold on

%curvas de nivel
Z=f(U,V);
contour(X,Y,Z,12);
}}

Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que::
<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente gro se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta::
<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math>
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos punto::
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> :
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> :
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''':
<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son líneas tangentes al campo <math>\bar { u } </math> en cada punto. Es decir, a la velocidad que es el gradiente de la función potencial. 

Vamos a dibujar las líneas de campo para lo que calculamos el siguiente vector: 
<math>\begin{cases} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{cases} \qquad \bar { v } =\begin{vmatrix} { \overline { g } }_{ \rho } & { \overline { g } }_{ \theta } & { \overline { g } }_{ z } \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}={ { \overline { g } } }_{ \rho }({ u }^{ \theta })-{ \overline { g } }_{ \theta }({ u }^{ \rho })+0{ \overline { g } }_{ z }</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
<math>\bar { v } =\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \rho }-\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \theta }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ \rho } \right) sen(\theta ){ \bar { g } }_{ \rho }-2cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

<math> \overline{v}=2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g}^ \rho+2cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^\theta </math> 

<math> \Psi=\int_{}^{} 2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho=2sen( \theta)[ \rho-\frac{4}{ \rho}]+cte( \theta) </math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))</math> 
<math>\begin{cases} { u }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }({ u }^{ \theta })=2{ \rho }^{ 2 }cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \\ { u }_{ \rho }={ u }^{ \rho }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \end{cases}</math> <math>\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { \partial (2cos(\theta )({ \rho }^{ 2 }-4)) }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(2\rho )=</math> 
<math>\boxed { 4\rho cos(\theta ) } </math>

==Puntos de la frontera==
'''''Falta por añadir máximos y mínimos de manera analítica.'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 
en la frontera <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> 
<math>\underline { \rho =2 } </math> 

<math>\bar { u } =-2sen(\theta )\overline { g } _{ \theta }\quad \leadsto \quad -2</math> 
máximo <math>\frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =-2cos(\theta )\quad \leadsto \quad \frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =0\quad \leadsto \quad -2cos(\theta ){ \overline { g } }_{ \theta }=0;\quad -2cos(\theta )=0;\quad cos(\theta )=0</math> 

<math>\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { \theta }^{ 2 } } =2sen(\theta )</math>
<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } ,3\frac { \pi }{ 2 } </math>

<math>\underline { \rho =6 } </math>

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá.
'''''Falta por incluir la foto de presiones.m'''''
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado.

==Variación de la velocidad y la presión==

'''''Introducir códigos y fotos de presionesylineasdecorriente.m y gradienteylineasdecorriente.m'''''

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
'''''Falta por incluir la foto de lineasdenivelpresion.m'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-04T23:44:57Z

JuanC: /* Puntos de la frontera */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo unidad.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial (ū) es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]
El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

'''''Falta por incluir la foto de gradienteycurvasdenivel.m y un zoom de esta'''''
Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:
{{matlab|codigo=
f=inline('2*(u+4./u).*cos(v)','u','v');

ro = linspace(1,5,20);
th = linspace(0,2*pi,20);

[Mro,Mth] = meshgrid(ro,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V));
fY=-sin(2.*V).*(8./(U^2));

quiver(X,Y,fX,fY)
axis([-4,4,-4,4]);
view(2)
hold on

%curvas de nivel
Z=f(U,V);
contour(X,Y,Z,12);
}}

Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que::
<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente gro se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta::
<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math>
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos punto::
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> :
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> :
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''':
<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son líneas tangentes al campo <math>\bar { u } </math> en cada punto. Es decir, a la velocidad que es el gradiente de la función potencial. 

Vamos a dibujar las líneas de campo para lo que calculamos el siguiente vector: 
<math>\begin{cases} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{cases} \qquad \bar { v } =\begin{vmatrix} { \overline { g } }_{ \rho } & { \overline { g } }_{ \theta } & { \overline { g } }_{ z } \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}={ { \overline { g } } }_{ \rho }({ u }^{ \theta })-{ \overline { g } }_{ \theta }({ u }^{ \rho })+0{ \overline { g } }_{ z }</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
<math>\bar { v } =\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \rho }-\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \theta }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ \rho } \right) sen(\theta ){ \bar { g } }_{ \rho }-2cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

<math> \overline{v}=2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g}^ \rho+2cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^\theta </math> 

<math> \Psi=\int_{}^{} 2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho=2sen( \theta)[ \rho-\frac{4}{ \rho}]+cte( \theta) </math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))</math> 
<math>\begin{cases} { u }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }({ u }^{ \theta })=2{ \rho }^{ 2 }cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \\ { u }_{ \rho }={ u }^{ \rho }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \end{cases}</math> <math>\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { \partial (2cos(\theta )({ \rho }^{ 2 }-4)) }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(2\rho )=</math> 
<math>\boxed { 4\rho cos(\theta ) } </math>

==Puntos de la frontera==
'''''Falta por añadir máximos y mínimos de manera analítica.'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 
en la frontera <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> 
<math>\underline { \rho =2 } </math> 

<math>\bar { u } =-2sen(\theta )\overline { g } _{ \theta }\quad \leadsto \quad -2</math> 
máximo <math>\frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =-2cos(\theta )\quad \leadsto \quad \frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =0\quad \leadsto \quad -2cos(\theta ){ \overline { g } }_{ \theta }=0;\quad -2cos(\theta )=0;\quad cos(\theta )=0</math> 

<math>\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { \theta }^{ 2 } } =2sen(\theta )</math>

<math>\underline { \rho =6 } </math>

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá.
'''''Falta por incluir la foto de presiones.m'''''
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado.

==Variación de la velocidad y la presión==

'''''Introducir códigos y fotos de presionesylineasdecorriente.m y gradienteylineasdecorriente.m'''''

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
'''''Falta por incluir la foto de lineasdenivelpresion.m'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-04T23:43:15Z

JuanC: /* Puntos de la frontera */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo unidad.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial (ū) es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]
El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

'''''Falta por incluir la foto de gradienteycurvasdenivel.m y un zoom de esta'''''
Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:
{{matlab|codigo=
f=inline('2*(u+4./u).*cos(v)','u','v');

ro = linspace(1,5,20);
th = linspace(0,2*pi,20);

[Mro,Mth] = meshgrid(ro,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V));
fY=-sin(2.*V).*(8./(U^2));

quiver(X,Y,fX,fY)
axis([-4,4,-4,4]);
view(2)
hold on

%curvas de nivel
Z=f(U,V);
contour(X,Y,Z,12);
}}

Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que::
<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente gro se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta::
<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math>
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos punto::
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> :
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> :
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''':
<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son líneas tangentes al campo <math>\bar { u } </math> en cada punto. Es decir, a la velocidad que es el gradiente de la función potencial. 

Vamos a dibujar las líneas de campo para lo que calculamos el siguiente vector: 
<math>\begin{cases} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{cases} \qquad \bar { v } =\begin{vmatrix} { \overline { g } }_{ \rho } & { \overline { g } }_{ \theta } & { \overline { g } }_{ z } \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}={ { \overline { g } } }_{ \rho }({ u }^{ \theta })-{ \overline { g } }_{ \theta }({ u }^{ \rho })+0{ \overline { g } }_{ z }</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
<math>\bar { v } =\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \rho }-\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \theta }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ \rho } \right) sen(\theta ){ \bar { g } }_{ \rho }-2cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

<math> \overline{v}=2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g}^ \rho+2cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^\theta </math> 

<math> \Psi=\int_{}^{} 2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho=2sen( \theta)[ \rho-\frac{4}{ \rho}]+cte( \theta) </math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))</math> 
<math>\begin{cases} { u }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }({ u }^{ \theta })=2{ \rho }^{ 2 }cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \\ { u }_{ \rho }={ u }^{ \rho }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \end{cases}</math> <math>\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { \partial (2cos(\theta )({ \rho }^{ 2 }-4)) }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(2\rho )=</math> 
<math>\boxed { 4\rho cos(\theta ) } </math>

==Puntos de la frontera==
'''''Falta por añadir máximos y mínimos de manera analítica.'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 
en la frontera <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> 
<math>\underline { \rho =2 } </math> 
<math>\bar { u } =-2sen(\theta )\overline { g } _{ \theta }\quad \leadsto \quad -2</math> 
máximo <math>\frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =-2cos(\theta )\quad \leadsto \quad \frac { \partial \left| \bar { u } \right| }{ \partial \theta } =0\quad \leadsto \quad -2cos(\theta ){ \overline { g } }_{ \theta }=0;\quad -2cos(\theta )=0;\quad cos(\theta )=0</math>

<math>\underline { \rho =6 } </math>

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá.
'''''Falta por incluir la foto de presiones.m'''''
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado.

==Variación de la velocidad y la presión==

'''''Introducir códigos y fotos de presionesylineasdecorriente.m y gradienteylineasdecorriente.m'''''

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
'''''Falta por incluir la foto de lineasdenivelpresion.m'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-04T23:40:00Z

JuanC: /* Puntos de la frontera */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo unidad.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial (ū) es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]
El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

'''''Falta por incluir la foto de gradienteycurvasdenivel.m y un zoom de esta'''''
Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:
{{matlab|codigo=
f=inline('2*(u+4./u).*cos(v)','u','v');

ro = linspace(1,5,20);
th = linspace(0,2*pi,20);

[Mro,Mth] = meshgrid(ro,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V));
fY=-sin(2.*V).*(8./(U^2));

quiver(X,Y,fX,fY)
axis([-4,4,-4,4]);
view(2)
hold on

%curvas de nivel
Z=f(U,V);
contour(X,Y,Z,12);
}}

Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que::
<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente gro se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta::
<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math>
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos punto::
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> :
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> :
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''':
<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son líneas tangentes al campo <math>\bar { u } </math> en cada punto. Es decir, a la velocidad que es el gradiente de la función potencial. 

Vamos a dibujar las líneas de campo para lo que calculamos el siguiente vector: 
<math>\begin{cases} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{cases} \qquad \bar { v } =\begin{vmatrix} { \overline { g } }_{ \rho } & { \overline { g } }_{ \theta } & { \overline { g } }_{ z } \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}={ { \overline { g } } }_{ \rho }({ u }^{ \theta })-{ \overline { g } }_{ \theta }({ u }^{ \rho })+0{ \overline { g } }_{ z }</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
<math>\bar { v } =\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \rho }-\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \theta }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ \rho } \right) sen(\theta ){ \bar { g } }_{ \rho }-2cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

<math> \overline{v}=2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g}^ \rho+2cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^\theta </math> 

<math> \Psi=\int_{}^{} 2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho=2sen( \theta)[ \rho-\frac{4}{ \rho}]+cte( \theta) </math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))</math> 
<math>\begin{cases} { u }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }({ u }^{ \theta })=2{ \rho }^{ 2 }cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \\ { u }_{ \rho }={ u }^{ \rho }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \end{cases}</math> <math>\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { \partial (2cos(\theta )({ \rho }^{ 2 }-4)) }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(2\rho )=</math> 
<math>\boxed { 4\rho cos(\theta ) } </math>

==Puntos de la frontera==
'''''Falta por añadir máximos y mínimos de manera analítica.'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 
en la frontera <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> 
<math>\underline { \rho =2 } </math> 
<math>\bar { u } =-2sen(\theta )\overline { g } _{ \theta }\quad \leadsto \quad -2</math> 
máximo <math>

<math>\underline { \rho =6 } </math>

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá.
'''''Falta por incluir la foto de presiones.m'''''
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado.

==Variación de la velocidad y la presión==

'''''Introducir códigos y fotos de presionesylineasdecorriente.m y gradienteylineasdecorriente.m'''''

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
'''''Falta por incluir la foto de lineasdenivelpresion.m'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-04T23:36:05Z

JuanC: /* Puntos de la frontera */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo unidad.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial (ū) es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]
El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

'''''Falta por incluir la foto de gradienteycurvasdenivel.m y un zoom de esta'''''
Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:
{{matlab|codigo=
f=inline('2*(u+4./u).*cos(v)','u','v');

ro = linspace(1,5,20);
th = linspace(0,2*pi,20);

[Mro,Mth] = meshgrid(ro,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V));
fY=-sin(2.*V).*(8./(U^2));

quiver(X,Y,fX,fY)
axis([-4,4,-4,4]);
view(2)
hold on

%curvas de nivel
Z=f(U,V);
contour(X,Y,Z,12);
}}

Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que::
<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente gro se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta::
<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math>
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos punto::
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> :
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> :
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''':
<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son líneas tangentes al campo <math>\bar { u } </math> en cada punto. Es decir, a la velocidad que es el gradiente de la función potencial. 

Vamos a dibujar las líneas de campo para lo que calculamos el siguiente vector: 
<math>\begin{cases} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{cases} \qquad \bar { v } =\begin{vmatrix} { \overline { g } }_{ \rho } & { \overline { g } }_{ \theta } & { \overline { g } }_{ z } \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}={ { \overline { g } } }_{ \rho }({ u }^{ \theta })-{ \overline { g } }_{ \theta }({ u }^{ \rho })+0{ \overline { g } }_{ z }</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
<math>\bar { v } =\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \rho }-\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \theta }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ \rho } \right) sen(\theta ){ \bar { g } }_{ \rho }-2cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

<math> \overline{v}=2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g}^ \rho+2cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^\theta </math> 

<math> \Psi=\int_{}^{} 2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho=2sen( \theta)[ \rho-\frac{4}{ \rho}]+cte( \theta) </math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))</math> 
<math>\begin{cases} { u }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }({ u }^{ \theta })=2{ \rho }^{ 2 }cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \\ { u }_{ \rho }={ u }^{ \rho }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \end{cases}</math> <math>\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { \partial (2cos(\theta )({ \rho }^{ 2 }-4)) }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(2\rho )=</math> 
<math>\boxed { 4\rho cos(\theta ) } </math>

==Puntos de la frontera==
'''''Falta por añadir máximos y mínimos de manera analítica.'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 
en la frontera <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> 
<math>\underline { \rho =2 } </math>

<math>\underline { \rho =6 } </math>

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá.
'''''Falta por incluir la foto de presiones.m'''''
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado.

==Variación de la velocidad y la presión==

'''''Introducir códigos y fotos de presionesylineasdecorriente.m y gradienteylineasdecorriente.m'''''

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
'''''Falta por incluir la foto de lineasdenivelpresion.m'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-04T23:34:54Z

JuanC: /* Puntos de la frontera */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo unidad.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial (ū) es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]
El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

'''''Falta por incluir la foto de gradienteycurvasdenivel.m y un zoom de esta'''''
Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:
{{matlab|codigo=
f=inline('2*(u+4./u).*cos(v)','u','v');

ro = linspace(1,5,20);
th = linspace(0,2*pi,20);

[Mro,Mth] = meshgrid(ro,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V));
fY=-sin(2.*V).*(8./(U^2));

quiver(X,Y,fX,fY)
axis([-4,4,-4,4]);
view(2)
hold on

%curvas de nivel
Z=f(U,V);
contour(X,Y,Z,12);
}}

Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que::
<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente gro se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta::
<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math>
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos punto::
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> :
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> :
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''':
<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son líneas tangentes al campo <math>\bar { u } </math> en cada punto. Es decir, a la velocidad que es el gradiente de la función potencial. 

Vamos a dibujar las líneas de campo para lo que calculamos el siguiente vector: 
<math>\begin{cases} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{cases} \qquad \bar { v } =\begin{vmatrix} { \overline { g } }_{ \rho } & { \overline { g } }_{ \theta } & { \overline { g } }_{ z } \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}={ { \overline { g } } }_{ \rho }({ u }^{ \theta })-{ \overline { g } }_{ \theta }({ u }^{ \rho })+0{ \overline { g } }_{ z }</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
<math>\bar { v } =\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \rho }-\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \theta }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ \rho } \right) sen(\theta ){ \bar { g } }_{ \rho }-2cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

<math> \overline{v}=2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g}^ \rho+2cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^\theta </math> 

<math> \Psi=\int_{}^{} 2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho=2sen( \theta)[ \rho-\frac{4}{ \rho}]+cte( \theta) </math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))</math> 
<math>\begin{cases} { u }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }({ u }^{ \theta })=2{ \rho }^{ 2 }cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \\ { u }_{ \rho }={ u }^{ \rho }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \end{cases}</math> <math>\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { \partial (2cos(\theta )({ \rho }^{ 2 }-4)) }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(2\rho )=</math> 
<math>\boxed { 4\rho cos(\theta ) } </math>

==Puntos de la frontera==
'''''Falta por añadir máximos y mínimos de manera analítica.'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 
en la frontera <math>(\rho =2,\quad \rho =6)</math> 

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá.
'''''Falta por incluir la foto de presiones.m'''''
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado.

==Variación de la velocidad y la presión==

'''''Introducir códigos y fotos de presionesylineasdecorriente.m y gradienteylineasdecorriente.m'''''

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
'''''Falta por incluir la foto de lineasdenivelpresion.m'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-04T23:30:03Z

JuanC: /* Líneas de corriente */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo unidad.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial (ū) es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]
El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

'''''Falta por incluir la foto de gradienteycurvasdenivel.m y un zoom de esta'''''
Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:
{{matlab|codigo=
f=inline('2*(u+4./u).*cos(v)','u','v');

ro = linspace(1,5,20);
th = linspace(0,2*pi,20);

[Mro,Mth] = meshgrid(ro,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V));
fY=-sin(2.*V).*(8./(U^2));

quiver(X,Y,fX,fY)
axis([-4,4,-4,4]);
view(2)
hold on

%curvas de nivel
Z=f(U,V);
contour(X,Y,Z,12);
}}

Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que::
<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente gro se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta::
<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math>
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos punto::
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> :
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> :
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''':
<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son líneas tangentes al campo <math>\bar { u } </math> en cada punto. Es decir, a la velocidad que es el gradiente de la función potencial. 

Vamos a dibujar las líneas de campo para lo que calculamos el siguiente vector: 
<math>\begin{cases} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{cases} \qquad \bar { v } =\begin{vmatrix} { \overline { g } }_{ \rho } & { \overline { g } }_{ \theta } & { \overline { g } }_{ z } \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}={ { \overline { g } } }_{ \rho }({ u }^{ \theta })-{ \overline { g } }_{ \theta }({ u }^{ \rho })+0{ \overline { g } }_{ z }</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
<math>\bar { v } =\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \rho }-\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \theta }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ \rho } \right) sen(\theta ){ \bar { g } }_{ \rho }-2cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

<math> \overline{v}=2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g}^ \rho+2cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^\theta </math> 

<math> \Psi=\int_{}^{} 2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho=2sen( \theta)[ \rho-\frac{4}{ \rho}]+cte( \theta) </math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))</math> 
<math>\begin{cases} { u }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }({ u }^{ \theta })=2{ \rho }^{ 2 }cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \\ { u }_{ \rho }={ u }^{ \rho }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \end{cases}</math> <math>\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =\frac { \partial (2cos(\theta )({ \rho }^{ 2 }-4)) }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(2\rho )=</math> 
<math>\boxed { 4\rho cos(\theta ) } </math>

==Puntos de la frontera==
'''''Falta por añadir máximos y mínimos de manera analítica.'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá.
'''''Falta por incluir la foto de presiones.m'''''
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado.

==Variación de la velocidad y la presión==

'''''Introducir códigos y fotos de presionesylineasdecorriente.m y gradienteylineasdecorriente.m'''''

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
'''''Falta por incluir la foto de lineasdenivelpresion.m'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-04T23:26:38Z

JuanC: /* Líneas de corriente */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo unidad.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial (ū) es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]
El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

'''''Falta por incluir la foto de gradienteycurvasdenivel.m y un zoom de esta'''''
Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:
{{matlab|codigo=
f=inline('2*(u+4./u).*cos(v)','u','v');

ro = linspace(1,5,20);
th = linspace(0,2*pi,20);

[Mro,Mth] = meshgrid(ro,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V));
fY=-sin(2.*V).*(8./(U^2));

quiver(X,Y,fX,fY)
axis([-4,4,-4,4]);
view(2)
hold on

%curvas de nivel
Z=f(U,V);
contour(X,Y,Z,12);
}}

Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que::
<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente gro se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta::
<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math>
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos punto::
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> :
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> :
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''':
<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son líneas tangentes al campo <math>\bar { u } </math> en cada punto. Es decir, a la velocidad que es el gradiente de la función potencial. 

Vamos a dibujar las líneas de campo para lo que calculamos el siguiente vector: 
<math>\begin{cases} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{cases} \qquad \bar { v } =\begin{vmatrix} { \overline { g } }_{ \rho } & { \overline { g } }_{ \theta } & { \overline { g } }_{ z } \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}={ { \overline { g } } }_{ \rho }({ u }^{ \theta })-{ \overline { g } }_{ \theta }({ u }^{ \rho })+0{ \overline { g } }_{ z }</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
<math>\bar { v } =\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \rho }-\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \theta }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ \rho } \right) sen(\theta ){ \bar { g } }_{ \rho }-2cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

<math> \overline{v}=2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g}^ \rho+2cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^\theta </math> 

<math> \Psi=\int_{}^{} 2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho=2sen( \theta)[ \rho-\frac{4}{ \rho}]+cte( \theta) </math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))</math> 
<math>\begin{cases} { u }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }({ u }^{ \theta })=2{ \rho }^{ 2 }cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \\ { u }_{ \rho }={ u }^{ \rho }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \end{cases}</math>

==Puntos de la frontera==
'''''Falta por añadir máximos y mínimos de manera analítica.'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá.
'''''Falta por incluir la foto de presiones.m'''''
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado.

==Variación de la velocidad y la presión==

'''''Introducir códigos y fotos de presionesylineasdecorriente.m y gradienteylineasdecorriente.m'''''

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
'''''Falta por incluir la foto de lineasdenivelpresion.m'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-04T23:26:00Z

JuanC: /* Líneas de corriente */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo unidad.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial (ū) es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]
El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

'''''Falta por incluir la foto de gradienteycurvasdenivel.m y un zoom de esta'''''
Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:
{{matlab|codigo=
f=inline('2*(u+4./u).*cos(v)','u','v');

ro = linspace(1,5,20);
th = linspace(0,2*pi,20);

[Mro,Mth] = meshgrid(ro,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V));
fY=-sin(2.*V).*(8./(U^2));

quiver(X,Y,fX,fY)
axis([-4,4,-4,4]);
view(2)
hold on

%curvas de nivel
Z=f(U,V);
contour(X,Y,Z,12);
}}

Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que::
<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente gro se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta::
<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math>
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos punto::
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> :
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> :
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''':
<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son líneas tangentes al campo <math>\bar { u } </math> en cada punto. Es decir, a la velocidad que es el gradiente de la función potencial. 

Vamos a dibujar las líneas de campo para lo que calculamos el siguiente vector: 
<math>\begin{matrix} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{matrix} \qquad \bar { v } =\begin{vmatrix} { \overline { g } }_{ \rho } & { \overline { g } }_{ \theta } & { \overline { g } }_{ z } \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}={ { \overline { g } } }_{ \rho }({ u }^{ \theta })-{ \overline { g } }_{ \theta }({ u }^{ \rho })+0{ \overline { g } }_{ z }</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
<math>\bar { v } =\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \rho }-\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \theta }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ \rho } \right) sen(\theta ){ \bar { g } }_{ \rho }-2cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

<math> \overline{v}=2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g}^ \rho+2cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^\theta </math> 

<math> \Psi=\int_{}^{} 2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho=2sen( \theta)[ \rho-\frac{4}{ \rho}]+cte( \theta) </math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))</math> 
<math>\begin{cases} { u }_{ \theta }={ \rho }^{ 2 }({ u }^{ \theta })=2{ \rho }^{ 2 }cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) \\ { u }_{ \rho }={ u }^{ \rho }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen(\theta ) \end{cases}</math>

==Puntos de la frontera==
'''''Falta por añadir máximos y mínimos de manera analítica.'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá.
'''''Falta por incluir la foto de presiones.m'''''
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado.

==Variación de la velocidad y la presión==

'''''Introducir códigos y fotos de presionesylineasdecorriente.m y gradienteylineasdecorriente.m'''''

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
'''''Falta por incluir la foto de lineasdenivelpresion.m'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-04T23:21:54Z

JuanC: /* Líneas de corriente */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | José Francisco Aguilera Corral, Cristina Barros Tinoco, Juan Casas López, Pablo Cidón Martínez, María Lucía Cueva Duarte }}

==Introducción==

En esta sección se estudiará el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo en forma circular en coordenadas cilíndricas.

===Concepto de un fluido incompresible===

Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición.
[[Archivo:ImagenA6-1.jpg|marco|centro|Ejemplo de flujo actuando sobre un obstáculo circular]]

==Campo de velocidades y función potencial==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo con forma circular.
Trabajaremos en coordenadas cilíndricas en el plano XY, es decir en coordenadas polares.
En primer lugar dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores de la región ocupada por un fluido que será el exterior del círculo unidad.

[[Archivo:Imagen_1_reducida2.jpg|marco|derecha|Representación del mallado]]

El mallado del anillo tiene radio interior 2 y radio exterior 6.
El mallado lo representaremos con el programa MATLAB.

El mallado representa la sección del fluido con el obstáculo circular.
A partir de ahora nos referiremos a la velocidad de las partículas del fluido mediante la fórmula 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta</math> 

{{matlab|codigo=
%rho=u; phi=v;
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos la malla y definimos los ejes
mesh(X,Y,0*X)
axis([-5,5,-5,5]);
view(2)
}}

El gradiente de la función potencial (ū) es el campo de velocidades del fluido: 
[[Archivo:Imagen_2_reducida2.jpg|marco|derecha|Curvas de nivel de <math>φ</math>]]
<math>\bar { u } = \bigtriangledown\varphi </math> 

<math>\bar { u } =\bar { grad } (\varphi )</math> 

<math>\varphi =2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )cos\theta </math> 

<math>\bar { u } =\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \rho }+\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }^{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \rho }+\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U+4./U).*cos(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de nivel
contour(X,Y,Z,20)
}}
[[Archivo:Imagen_gradiente_reducida2.jpg|marco|derecha|Campo de velocidades del fluido]]
El programa MATLAB del campo de velocidades del fluido es:

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,20);
v=linspace(0,2*pi,20);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y las componentes del gradiente.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V)).*U;
fY=(-sin(2.*V).*(8./(U^2))).*U;
%Dibujamos el campo de velocidades.
quiver(X,Y,fX,fY);
axis([-5,5,-5,5]);
}}

'''''Falta por incluir la foto de gradienteycurvasdenivel.m y un zoom de esta'''''
Si quisiésemos ver que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel en cada punto, realizaremos lo siguiente:
{{matlab|codigo=
f=inline('2*(u+4./u).*cos(v)','u','v');

ro = linspace(1,5,20);
th = linspace(0,2*pi,20);

[Mro,Mth] = meshgrid(ro,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

fX=(2-(8./((U)^2)).*cos(2.*V));
fY=-sin(2.*V).*(8./(U^2));

quiver(X,Y,fX,fY)
axis([-4,4,-4,4]);
view(2)
hold on

%curvas de nivel
Z=f(U,V);
contour(X,Y,Z,12);
}}

Si denotamos <math>\bar { n } </math> al vector normal a la superficie perteneciente al plano <math> z=0 </math> y nos encontramos en la frontera del obstaculo podemos demostrar que::
<math>\bigtriangledown u\cdot \bar { n } =0</math> 
El campo de velocidades del fluido <math>\bigtriangledown u</math> tendrá vectores en todo el dominio estudiado cuyas componentes podrán ser expresadas en función de los vectores <math>\overline{g}_\rho</math> y <math>\overline{g}_ \theta</math>, pero si limitamos este dominio a la frontera del objeto la componente gro se anula ya que los puntos del fluido por las condiciones de contorno del problema no podrá reducir su coordenada <math>\rho</math> a un valor menor a 2; así solo constará de componente <math>\theta</math>.
El vector normal a la superficie, <math>\bar { n } </math>, expresado en coordenadas polares resulta::
<math>\overline{\eta }=\overline{g}_\rho</math>
Por tanto, si realizamos el producto escalar de estos dos vectores, se anula.

Supongamos ahora que nos encontramos lejos del obstáculo siendo así <math>\rho</math> muy grande, por tanto suponemos que <math>\frac{1}{ \rho}\simeq0</math>, en esos punto::
<math>\bar { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \bar { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )(\frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } )\overline{g}_ \theta</math> :
<math> \rho >>\quad \rightarrow \quad \frac { 1 }{ \rho } \simeq 0\quad </math> :
<math> \bar { u } =2cos(\theta )(1-0)\overline{g}_ \rho-2sen(\theta )(0)\overline{g}_ \theta</math> 
'''Por tanto:''':
<math>\bar { u } =2cos(\theta )\overline{g}_ \rho</math>

==Rotacional==

En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. 

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \bar { rot } (\bar { u } )=0 } </math>

===Interpretación===
Como hemos demostrado, el campo es irrotacional o carece de fuentes vectoriales, pero está definido en un dominio no simplemente conexo, no podríamos asegurar que tenga una función potencial a priori partiendo del campo de velocidades del fluido.

==Divergencia==

Un fluido incompresible permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. 
El agua es un fluido incompresible, es decir, la cantidad de volumen y de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. 
Para comprobar la incompresibilidad debemos comprobar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial x' } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Interpretación===
Como hemos visto anteriormente en nuestra modelización del comportamiento del fluido, la divergencia del campo de velocidades es 0. La divergencia representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, si esta es negativa el campo se está comprimiendo, y si es positiva se está expandiendo. Al ser nula nuestro fluido ni se expande ni se comprime, lo cual encaja con nuestro análisis de fluido incompresible.

==Líneas de corriente==

Las líneas de corriente son líneas tangentes al campo <math>\bar { u } </math> en cada punto. Es decir, a la velocidad que es el gradiente de la función potencial. 

Vamos a dibujar las líneas de campo para lo que calculamos el siguiente vector: 
<math>\begin{matrix} \bar { v } =\bar { k } \times \bar { u } \\ \bar { k } ={ \overline { g } }_{ z } \end{matrix} \qquad \bar { v } =\begin{vmatrix} { \overline { g } }_{ \rho } & { \overline { g } }_{ \theta } & { \overline { g } }_{ z } \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}={ { \overline { g } } }_{ \rho }({ u }^{ \theta })-{ \overline { g } }_{ \theta }({ u }^{ \rho })+0{ \overline { g } }_{ z }</math> 
[[Archivo:Imagen lineas corriente reducida2.jpg|marco|Líneas de corriente del campo <math> \overline{u} </math>]]
<math>\bar { v } =\frac { 1 }{ { \rho }^{ 2 } } \frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } { \bar { g } }_{ \rho }-\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } { \bar { g } }_{ \theta }=-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ \rho } \right) sen(\theta ){ \bar { g } }_{ \rho }-2cos(\theta )\left( 1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } \right) { \bar { g } }_{ \theta }</math> 

<math> \overline{v}=2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})\overline{g}^ \rho+2cos( \theta)( \rho-\frac{4}{ \rho})\overline{g}^\theta </math> 

<math> \Psi=\int_{}^{} 2sen( \theta)(1+\frac{4}{ \rho^2})d \rho=2sen( \theta)[ \rho-\frac{4}{ \rho}]+cte( \theta) </math> 

{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion y nuestra parametrizacion
Z=2*(U-4./U).*sin(V);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Dibujamos las lineas de corriente
contour(X,Y,Z,20)
}}

<math>rot(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))</math> 

==Puntos de la frontera==
'''''Falta por añadir máximos y mínimos de manera analítica.'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

==Presión y ecuación de Bernouilli==

La ecuación de Bernouilli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la siguiente forma: 
<math>\frac { 1 }{ 2 } \rho { \left| \bar { u } \right| }^{ 2 }+\bar { p } =cte</math> 
Intervienen los siguientes parámetros: 

<math>p =</math>presión estática a la que está sometido el fluido. 
<math>\rho =</math>densidad del fluido. 
<math>\bar { u } =</math>velocidad del flujo del fluido. 

Para llegar a la ecuación de Bernouilli hemos de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
* El fluido se mueve en un régimen estacionario y se desprecia la viscosidad del fluido.
* Como consecuencia de la ecuación de Bernouilli observamos que en el caso en el que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo, la presión estática decrecerá.
'''''Falta por incluir la foto de presiones.m'''''
A continuación se muestra el programa Matlab que nos da el campo de presiones y el valor máximo de las presiones: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
surf(X,Y,P)
view(2)
%Calculamos para comprobar lo obtenido teoricamente la presion maxima.
presionmaxima=max(max(P))
}}

El valor máximo de la presión obtenido numéricamente es 14.9960. Sabemos de la fórmula teórica que el valor real máximo de esta presión de 15, pero al ser un método numérico tiene un error que se reduce al añadir mayor numero de elementos en los vectores del mallado.

==Variación de la velocidad y la presión==

'''''Introducir códigos y fotos de presionesylineasdecorriente.m y gradienteylineasdecorriente.m'''''

==Fuerza ejercida por el fluido sobre el obstáculo==
Para demostrar que el flujo del campo de velocidades alrededor del obstáculo es nulo, introducimos la parametrización de la curva: 
<math> \begin{cases} x= \rho cos(\theta)\\ y= \rho sin(\theta)\end{cases}</math> 

Definimos <math> \overline{r} </math> como: 
<math> \overline{r}= \rho cos(\theta) \overrightarrow{i} + \rho sin(\theta) \overrightarrow{j}</math> 

Dado que en nuestra curva: <math> \begin{cases} \rho=2 \\ \theta=t \end{cases} </math> 

Donde: 
<math>\overline{r}= 2 cos(t) \overrightarrow{i} + 2 sin(t) \overrightarrow{j}</math> 
'''con '''<math>t \in{}(0,2\pi )</math> 
<math>\longrightarrow{}\frac{d\overline{r}}{dt}=-2 sin(t)\overrightarrow{i}+2 cos(t)\overrightarrow{j}</math>

Se define el flujo como: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS</math> 

Aplicándolo a nuestra situación obtenemos: 
<math>\int_ \gamma \overline{r}\cdot{}dS=\int_0^{2\pi }\overline{r}\cdot{}\frac{d\overline{r}}{dt}\cdot{}dt=\int_0^{2\pi } (2cos(t),2sen(t))\cdot{}(-2sen(t),2cos(t))dt=\int_0^{2\pi } (-4cos(t)sen(t)+4sen(t)cos(t))dt=\int_0^{2\pi }0\cdot{}dt=0</math> 

===Aplicación del Teorema de Kutta-Joukowski===
El teorema de Kutta-Joukowski establece que la fuerza que ejerce el fluído sobre el obstáculo es proporcional a la circulación.
Como es nula el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo. Esto es conocido como la paradoja de D'Alembert, para determinar esta fuerza es necesario utilizar modelos de fluidos más complejos.

==Código y representación de las curvas de nivel==

Con este código Matlab podemos ver la representación de las curvas de nivel de la presión: 
'''''Falta por incluir la foto de lineasdenivelpresion.m'''''
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos nuestra parametrizacion y la función de presiones.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Dibujamos la funcion de presiones.
contour(X,Y,P,20)
view(2)
}}

==Presión media de los puntos del fluido==

Utilizamos MATLAB para calcular la presión media en los puntos del fluido. Aquí podemos ver el código utilizado: 
{{matlab|codigo=
%Definimos los intervalos y la anchura de estos.
N1=1000; N2=1000;
u=linspace(2,6,N1+1);
v=linspace(0,2*pi,N2+1);
h1=(6-2)/N1;
h2=2*pi/N2;
%Creamos la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la funcion de presiones.
P=15-4.*((cos(V).^2).*(1-4./(U^2)).^2+(sin(V).^2).*((U.^2+4)./(U^3))^2);
%Integramos para calcular la presion total en el fluido.
w1=ones(N1+1,1);
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1);
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
presiontotal=h1*h2*w2'*P*w1;
%Calculamos el area de la zona.
r1=6;r2=2;
A=pi*(r1^2-r2^2);
%Calculamos la presion media.
presionmedia=presiontotal/A
}}

Una vez ejecutado este código, observamos que la presión media en los puntos del fluido es 3.2563. 

==Bibliografía==
[http://www.wikimatematica.org Wikimatemática] 
[http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548710/FrontPage UNEFA ] 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-02T16:37:16Z

JuanC: /* Campo de velocidades y función potencial */

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-02T16:23:14Z

JuanC: /* Campo de velocidades y función potencial */

Archivo:Imagen gradiente lineas corriente reducida.jpg

2014-12-02T16:20:08Z

JuanC:

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-02T16:12:30Z

JuanC: /* Campo de velocidades y función potencial */

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-02T16:11:56Z

JuanC: /* Campo de velocidades y función potencial */

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-02T16:10:20Z

JuanC: /* Campo de velocidades y función potencial */

Archivo:Imagen gradiente reducida.jpg

2014-12-02T16:00:13Z

JuanC:

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-02T15:48:28Z

JuanC: /* Campo de velocidades y función potencial */

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-02T15:47:11Z

JuanC: /* Campo de velocidades y función potencial */

Archivo:GradienteFuncion2.jpg

2014-12-02T15:46:38Z

JuanC:

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-02T15:46:19Z

JuanC: /* Campo de velocidades y función potencial */

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A6)

2014-12-02T15:45:10Z

JuanC: /* Campo de velocidades y función potencial */