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Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-15T10:52:22Z

Juan Casteres: /* Dibujo de \nabla \cdot \vec{u} en t=0 */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano: 
<center><math>y≥\frac{|x|}{2}</math></center> 
Este plano limita la placa circular entre <math>\frac{\pi}{8}</math> y <math>\frac{7\pi}{8}</math> como podemos observar en la siguiente figura. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas:
<ol>1. El campo escalar temperatura: <math>T(x,y)=sin(x^2+(y−3)^2)</math>, expresado en coordenadas cartesianas 
2. El campo vectorial de desplazamientos: <math> \vec{u}(ρ, θ) =\frac {log (3 − ρ)} {2}\cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, expresado en coordenadas cilíndricas </ol>

Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones: 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 

[[Archivo:Representación_de_la_lámina_en_2D.png|400px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del sólido en dos dimensiones.]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/8:h:(7*pi)/8;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x^2 +(y−3)^2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:Representación_del_campo_escalar_temperatura.png|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel o equipotenciales son líneas que unen los puntos de igual magnitud física, tal que <center><math>T(X,Y)=cte.</math></center> Nos muestran de una forma muy visual la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:Curvas123.jpg|375px|center|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> por lo que se puede ver claramente que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. El gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. Viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

En esta imagen podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. Esto se debe a que el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, mientras que en las curvas de nivel no hay variación de temperatura. Por tanto, el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

[[Archivo:grad_15122023.jpg|500px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica de la ortogonalidad presente entre el gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
%Derivadas parciales
FX=2*X.*cos(X.^2+(Y-3).^2);
FY=(2*Y-6).*cos(X.^2+(Y-3).^2);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido. 
La transmisión de calor, así como cualquier otro fenómeno físico de transmisión, se puede describir mediante la ecuación diferencial para la propagación unidimensional, que viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
Donde <math>\psi</math> es el campo correspondiente al fenómeno físico, en este caso, el campo de la temperatura T, y <math>a</math> una constante característica de la situación física (<math>\kappa</math>).
 
En el caso particular del transporte (en termodinámica denominado conducción) de calor, la ecuación empleada para llevar a cabo su estudio, es la respectiva a la ley de Fourier. 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el Principio Cero de la Termodinámica (Equilibro término) sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío, al contrario que lo que nos indica el gradiente (dirección para ir de lo frío a lo caliente).
Por esta razón, el calor se desplaza en el sentido opuesto al que indica el gradiente. 

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2x \cdot cos[x^2+(y-3)^2] \vec i+ 2 \cdot (y-3) \cdot cos [x^2+(y-3)] \vec j</math></center>
 
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
 
[[Archivo:ap5_15122023_2.jpg|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Representación_del_campo_vectorial_u_sobre_la_placa.png|375px|thumb|right|Campo vectorial u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
<ol>1. Imagen de arriba a la izquierda: situación del sólido antes del desplazamiento. Coincide con la situación representada en el apartado 1.</ol>
<ol>2. Imagen de arriba a la derecha: situación del sólido después del desplazamiento. Observamos cómo ciertos puntos de la placa se han desplazado hacia abajo, justo la dirección a la que apuntan los vectores del campo vectorial representado en el apartado 4.</ol>
<ol>3. Imagen de abajo: imágenes 1 y 2 superpuestas. Se puede apreciar mejor la diferencia entre las dos situaciones.</ol> 

[[Archivo:Situación_de_la_placa_antes_y_después_del_desplazamiento.png|650px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide cuánto se expande o se contrae un cuerpo cuyas partículas están siendo desplazadas por una fuerza. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ})+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
[[Archivo:Representación_de_la_divergencia_en_2D.png|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:Representación_de_la_divergencia_en_3D.png|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);%Calcular en papel en cartesianas!!!!!
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Divergencia en 2D')
colorbar
view(2)
figure(14)
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Divergencia en 3D')
colorbar
view(3)
}}

==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a utilizar la matriz Hessiana y sacar las derivadas del campo:
Existen múltiples formas de calcular el máximo de una función. La más común es el empleo de derivadas parciales y el determinante de la matriz Hessiana. Para llevar a cabo este método, han de seguirse tres pasos:
<ol>1. Localización de los puntos críticos igualando a 0 las derivadas parciales 
2. Cálculo de las segundas derivadas y derivadas cruzadas 
3. Cálculo del determinante de la matriz Hessiana 
4. Estudio del signo que se obtiene al calcular el determinante y al sustituir los puntos en las derivadas. Dependiendo del signo de los resultados, los puntos críticos podrán ser máximos, mínimos o puntos de silla (puntos sin variación)
</ol>
A continuación, se muestra la forma genérica que tiene la matriz Hessiana:
<center><math>H(u,v)=\left|\begin{matrix} \ f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{matrix}\right|</math></center> 
Otra de las formas que se pueden emplear para obtener los máximos, es puramente computacional. Ésta se lleva a cabo con MATLAB, y es un método mucho más sencillo y rápido que únicamente requiere utilizar el comando "max(max())". Con este comando, el programa encuentra el punto máximo almacenado en la matriz, reduciendo considerablemente el tiempo de trabajo para encontrar los puntos críticos.
 
Cabe destacar que este segundo método, al trabajar con valores discretizados puede ofrecer una precisión ligeramente inferior a la de la matriz Hessiana, sin embargo, sus razonablemente buenas y rápidas prestaciones, han hecho que nos decantásemos por este segundo método.
 
Los resultados obtenidos mediante este segundo método se exponen a continuación.
<center><math>Divergencia_{máxima} = 0.4995</math> 
<math>Divergencia_{mínima} = -0.3536</math></center>
Como se puede observar en la gráfica del apartado 6, los valores tanto del máximo como del mínimo son coherentes. 
Por último, los valores de V que hacen que el valor del coseno sea cero, son también aquellos, en los que la divergencia es nula.
{{matlab|codigo=
%Cálculo del máximo y el mínimo
div_max=max(max(div))
div_min=min(min(div))
}}

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 
[[Archivo:Roootacional.jpg|675px|thumb|center|Rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
[[Archivo:Maxrotacionales.jpg|675px|thumb|center|Puntos máximos de los rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_i_sigma_i_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_j_sigma_j_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 
[[Archivo:3D_k_sigma_k_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\z}</math>]]

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}

[[Archivo:2D_ap9_14122023.jpg|500px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math> ]]
[[Archivo:3D_ap9_14122023.jpg|500px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>]]

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m, sin embargo, previamente ha de crearse una matriz mediante un bucle for. De este modo, se dará un valor concreto a cada componente de la matriz en cada punto del mallado. Esto es, debido a que las componentes originales de la matriz <math>\sigma</math> son funciones, y por lo tanto, tendrán un valor diferente para cada punto del mallado.
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Mises
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}

Cabe destacar, que el comando eig genera dos matrices, una matriz v con los autovectores asociados a los autovalores (puestos en columnas), y otra matriz u diagonal construida a partir de dichos autovalores. Para la resolución de este apartado solo ha sido necesario hacer uso de la segunda.
==Representación de la Tensión de Von Mises==
A continuación se muestra tanto el código empleado, como la representación del campo escalar asociado a la matriz de Von Mises.
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}
[[Archivo:2D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones la tensión de Von Mises ]]
[[Archivo:3D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones la tensión de Von Mises]]

==Punto de mayor valor==
El estudio de la tensión máxima, puede ser de gran utilidad en diversos campos de la ingeniería, siendo la resistencia de materiales el más notorio, y es que esta magnitud indica qué parte de un sólido está siendo sometida al mayor estrés. Adicionalmente, como ya se ha mencionado en el anterior apartado, se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro), por lo que se podrá concluir, que el punto de mayor valor de la tensión de Von Mises será, con mucha probabilidad, el punto de rotura. A continuación, se muestra el caso concreto de nuestra lámina, en el que se puede ver representado dicho punto mediante un círculo rojo.
{{matlab|codigo=
%% Punto máximo Von Misses
figure(14)
surf(X,Y,M_VonMises)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('Von Mises en el plano X0Z')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(M_VonMises));
for k = 1:length(M_VonMises)
if M_VonMises(k) == MAX
plot3(X(k),Y(k),MAX,'ro')
end
end
hold off
}}
[[Archivo:9876.jpg|400px|thumb|center|Representación del punto máximo del campo escalar de Von Mises]]
El valor obtenido para la máxima tensión se puede ver representado con un punto rojo en la gráfica y es 1,2005.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-15T10:35:17Z

Juan Casteres: /* Análisis de \nabla \cdot \vec{u} */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano: 
<center><math>y≥\frac{|x|}{2}</math></center> 
Este plano limita la placa circular entre <math>\frac{\pi}{8}</math> y <math>\frac{7\pi}{8}</math> como podemos observar en la siguiente figura. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas:
<ol>1. El campo escalar temperatura: <math>T(x,y)=sin(x^2+(y−3)^2)</math>, expresado en coordenadas cartesianas 
2. El campo vectorial de desplazamientos: <math> \vec{u}(ρ, θ) =\frac {log (3 − ρ)} {2}\cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, expresado en coordenadas cilíndricas </ol>

Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones: 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 

[[Archivo:Representación_de_la_lámina_en_2D.png|400px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del sólido en dos dimensiones.]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/8:h:(7*pi)/8;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x^2 +(y−3)^2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:Representación_del_campo_escalar_temperatura.png|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel o equipotenciales son líneas que unen los puntos de igual magnitud física, tal que <center><math>T(X,Y)=cte.</math></center> Nos muestran de una forma muy visual la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:Curvas123.jpg|375px|center|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> por lo que se puede ver claramente que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. El gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. Viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

En esta imagen podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. Esto se debe a que el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, mientras que en las curvas de nivel no hay variación de temperatura. Por tanto, el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

[[Archivo:grad_15122023.jpg|500px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica de la ortogonalidad presente entre el gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
%Derivadas parciales
FX=2*X.*cos(X.^2+(Y-3).^2);
FY=(2*Y-6).*cos(X.^2+(Y-3).^2);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido. 
La transmisión de calor, así como cualquier otro fenómeno físico de transmisión, se puede describir mediante la ecuación diferencial para la propagación unidimensional, que viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
Donde <math>\psi</math> es el campo correspondiente al fenómeno físico, en este caso, el campo de la temperatura T, y <math>a</math> una constante característica de la situación física (<math>\kappa</math>).
 
En el caso particular del transporte (en termodinámica denominado conducción) de calor, la ecuación empleada para llevar a cabo su estudio, es la respectiva a la ley de Fourier. 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el Principio Cero de la Termodinámica (Equilibro término) sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío, al contrario que lo que nos indica el gradiente (dirección para ir de lo frío a lo caliente).
Por esta razón, el calor se desplaza en el sentido opuesto al que indica el gradiente. 

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2x \cdot cos[x^2+(y-3)^2] \vec i+ 2 \cdot (y-3) \cdot cos [x^2+(y-3)] \vec j</math></center>
 
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
 
[[Archivo:ap5_15122023_2.jpg|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Representación_del_campo_vectorial_u_sobre_la_placa.png|375px|thumb|right|Campo vectorial u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
<ol>1. Imagen de arriba a la izquierda: situación del sólido antes del desplazamiento. Coincide con la situación representada en el apartado 1.</ol>
<ol>2. Imagen de arriba a la derecha: situación del sólido después del desplazamiento. Observamos cómo ciertos puntos de la placa se han desplazado hacia abajo, justo la dirección a la que apuntan los vectores del campo vectorial representado en el apartado 4.</ol>
<ol>3. Imagen de abajo: imágenes 1 y 2 superpuestas. Se puede apreciar mejor la diferencia entre las dos situaciones.</ol> 

[[Archivo:Situación_de_la_placa_antes_y_después_del_desplazamiento.png|650px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide cuánto se expande o se contrae un cuerpo cuyas partículas están siendo desplazadas por una fuerza. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ})+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
[[Archivo:Representación_de_la_divergencia_en_2D.png|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:Representación_de_la_divergencia_en_3D.png|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);%Calcular en papel en cartesianas!!!!!
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Divergencia en 2D')
colorbar
view(2)
figure(14)
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Divergencia en 3D')
colorbar
view(3)
}}

==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a utilizar la matriz Hessiana y sacar las derivadas del campo:
Existen múltiples formas de calcular el máximo de una función. La más común es el empleo de derivadas parciales y el determinante de la matriz Hessiana. Para llevar a cabo este método, han de seguirse tres pasos:
<ol>1. Localización de los puntos críticos igualando a 0 las derivadas parciales 
2. Cálculo de las segundas derivadas y derivadas cruzadas 
3. Cálculo del determinante de la matriz Hessiana 
4. Estudio del signo que se obtiene al calcular el determinante y al sustituir los puntos en las derivadas. Dependiendo del signo de los resultados, los puntos críticos podrán ser máximos, mínimos o puntos de silla (puntos sin variación)
</ol>
A continuación, se muestra la forma genérica que tiene la matriz Hessiana:
<center><math>H(u,v)=\left|\begin{matrix} \ f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{matrix}\right|</math></center> 
Otra de las formas que se pueden emplear para obtener los máximos, es puramente computacional. Ésta se lleva a cabo con MATLAB, y es un método mucho más sencillo y rápido que únicamente requiere utilizar el comando "max(max())". Con este comando, el programa encuentra el punto máximo almacenado en la matriz, reduciendo considerablemente el tiempo de trabajo para encontrar los puntos críticos.
 
Cabe destacar que este segundo método, al trabajar con valores discretizados puede ofrecer una precisión ligeramente inferior a la de la matriz Hessiana, sin embargo, sus razonablemente buenas y rápidas prestaciones, han hecho que nos decantásemos por este segundo método.
 
Los resultados obtenidos mediante este segundo método se exponen a continuación.
<center><math>Divergencia_{máxima} = 0.4995</math> 
<math>Divergencia_{mínima} = -0.3536</math></center>
Como se puede observar en la gráfica del apartado 6, los valores tanto del máximo como del mínimo son coherentes.
{{matlab|codigo=
%Cálculo del máximo y el mínimo
div_max=max(max(div))
div_min=min(min(div))
}}

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 
[[Archivo:Roootacional.jpg|675px|thumb|center|Rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
[[Archivo:Maxrotacionales.jpg|675px|thumb|center|Puntos máximos de los rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_i_sigma_i_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_j_sigma_j_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 
[[Archivo:3D_k_sigma_k_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\z}</math>]]

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}

[[Archivo:2D_ap9_14122023.jpg|500px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math> ]]
[[Archivo:3D_ap9_14122023.jpg|500px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>]]

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m, sin embargo, previamente ha de crearse una matriz mediante un bucle for. De este modo, se dará un valor concreto a cada componente de la matriz en cada punto del mallado. Esto es, debido a que las componentes originales de la matriz <math>\sigma</math> son funciones, y por lo tanto, tendrán un valor diferente para cada punto del mallado.
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Mises
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}

Cabe destacar, que el comando eig genera dos matrices, una matriz v con los autovectores asociados a los autovalores (puestos en columnas), y otra matriz u diagonal construida a partir de dichos autovalores. Para la resolución de este apartado solo ha sido necesario hacer uso de la segunda.
==Representación de la Tensión de Von Mises==
A continuación se muestra tanto el código empleado, como la representación del campo escalar asociado a la matriz de Von Mises.
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}
[[Archivo:2D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones la tensión de Von Mises ]]
[[Archivo:3D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones la tensión de Von Mises]]

==Punto de mayor valor==
El estudio de la tensión máxima, puede ser de gran utilidad en diversos campos de la ingeniería, siendo la resistencia de materiales el más notorio, y es que esta magnitud indica qué parte de un sólido está siendo sometida al mayor estrés. Adicionalmente, como ya se ha mencionado en el anterior apartado, se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro), por lo que se podrá concluir, que el punto de mayor valor de la tensión de Von Mises será, con mucha probabilidad, el punto de rotura. A continuación, se muestra el caso concreto de nuestra lámina, en el que se puede ver representado dicho punto mediante un círculo rojo.
{{matlab|codigo=
%% Punto máximo Von Misses
figure(14)
surf(X,Y,M_VonMises)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('Von Mises en el plano X0Z')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(M_VonMises));
for k = 1:length(M_VonMises)
if M_VonMises(k) == MAX
plot3(X(k),Y(k),MAX,'ro')
end
end
hold off
}}
[[Archivo:9876.jpg|400px|thumb|center|Representación del punto máximo del campo escalar de Von Mises]]
El valor obtenido para la máxima tensión se puede ver representado con un punto rojo en la gráfica y es 1,2005.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-15T10:34:03Z

Juan Casteres: /* Análisis de \nabla \cdot \vec{u} */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano: 
<center><math>y≥\frac{|x|}{2}</math></center> 
Este plano limita la placa circular entre <math>\frac{\pi}{8}</math> y <math>\frac{7\pi}{8}</math> como podemos observar en la siguiente figura. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas:
<ol>1. El campo escalar temperatura: <math>T(x,y)=sin(x^2+(y−3)^2)</math>, expresado en coordenadas cartesianas 
2. El campo vectorial de desplazamientos: <math> \vec{u}(ρ, θ) =\frac {log (3 − ρ)} {2}\cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, expresado en coordenadas cilíndricas </ol>

Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones: 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 

[[Archivo:Representación_de_la_lámina_en_2D.png|400px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del sólido en dos dimensiones.]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/8:h:(7*pi)/8;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x^2 +(y−3)^2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:Representación_del_campo_escalar_temperatura.png|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel o equipotenciales son líneas que unen los puntos de igual magnitud física, tal que <center><math>T(X,Y)=cte.</math></center> Nos muestran de una forma muy visual la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:Curvas123.jpg|375px|center|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> por lo que se puede ver claramente que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. El gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. Viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

En esta imagen podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. Esto se debe a que el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, mientras que en las curvas de nivel no hay variación de temperatura. Por tanto, el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

[[Archivo:grad_15122023.jpg|500px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica de la ortogonalidad presente entre el gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
%Derivadas parciales
FX=2*X.*cos(X.^2+(Y-3).^2);
FY=(2*Y-6).*cos(X.^2+(Y-3).^2);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido. 
La transmisión de calor, así como cualquier otro fenómeno físico de transmisión, se puede describir mediante la ecuación diferencial para la propagación unidimensional, que viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
Donde <math>\psi</math> es el campo correspondiente al fenómeno físico, en este caso, el campo de la temperatura T, y <math>a</math> una constante característica de la situación física (<math>\kappa</math>).
 
En el caso particular del transporte (en termodinámica denominado conducción) de calor, la ecuación empleada para llevar a cabo su estudio, es la respectiva a la ley de Fourier. 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el Principio Cero de la Termodinámica (Equilibro término) sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío, al contrario que lo que nos indica el gradiente (dirección para ir de lo frío a lo caliente).
Por esta razón, el calor se desplaza en el sentido opuesto al que indica el gradiente. 

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2x \cdot cos[x^2+(y-3)^2] \vec i+ 2 \cdot (y-3) \cdot cos [x^2+(y-3)] \vec j</math></center>
 
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
 
[[Archivo:ap5_15122023_2.jpg|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Representación_del_campo_vectorial_u_sobre_la_placa.png|375px|thumb|right|Campo vectorial u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
<ol>1. Imagen de arriba a la izquierda: situación del sólido antes del desplazamiento. Coincide con la situación representada en el apartado 1.</ol>
<ol>2. Imagen de arriba a la derecha: situación del sólido después del desplazamiento. Observamos cómo ciertos puntos de la placa se han desplazado hacia abajo, justo la dirección a la que apuntan los vectores del campo vectorial representado en el apartado 4.</ol>
<ol>3. Imagen de abajo: imágenes 1 y 2 superpuestas. Se puede apreciar mejor la diferencia entre las dos situaciones.</ol> 

[[Archivo:Situación_de_la_placa_antes_y_después_del_desplazamiento.png|650px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide cuánto se expande o se contrae un cuerpo cuyas partículas están siendo desplazadas por una fuerza. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ})+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
[[Archivo:Representación_de_la_divergencia_en_2D.png|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:Representación_de_la_divergencia_en_3D.png|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);%Calcular en papel en cartesianas!!!!!
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Divergencia en 2D')
colorbar
view(2)
figure(14)
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Divergencia en 3D')
colorbar
view(3)
}}

==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a utilizar la matriz Hessiana y sacar las derivadas del campo:
Existen múltiples formas de calcular el máximo de una función. La más común es el empleo de derivadas parciales y el determinante de la matriz Hessiana. Para llevar a cabo este método, han de seguirse tres pasos:
<ol>1. Localización de los puntos críticos igualando a 0 las derivadas parciales 
2. Cálculo de las segundas derivadas y derivadas cruzadas 
3. Cálculo del determinante de la matriz Hessiana 
4. Estudio del signo que se obtiene al calcular el determinante y al sustituir los puntos en las derivadas. Dependiendo del signo de los resultados, los puntos críticos podrán ser máximos, mínimos o puntos de silla (puntos sin variación)
</ol>
A continuación, se muestra la forma genérica que tiene la matriz Hessiana:
<center><math>H(u,v)=\left|\begin{matrix} \ f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{matrix}\right|</math></center> 
Otra de las formas que se pueden emplear para obtener los máximos, es puramente computacional. Éste se lleva a cabo con MATLAB, y es un método mucho más sencillo y rápido que únicamente requiere utilizar el comando "max(max())". Con este comando, el programa encuentra el punto máximo almacenado en la matriz, reduciendo considerablemente el tiempo de trabajo para encontrar los puntos críticos.
 
Cabe destacar que este segundo método, al trabajar con valores discretizados puede ofrecer una precisión ligeramente inferior a la de la matriz Hessiana, sin embargo, sus razonablemente buenas y rápidas prestaciones, han hecho que nos decantásemos por este segundo método.
 
Los resultados obtenidos mediante este segundo método se exponen a continuación.
<center><math>Divergencia_{máxima} = 0.4995</math> 
<math>Divergencia_{mínima} = -0.3536</math></center>
Como se puede observar en la gráfica del apartado 6, los valores tanto del máximo como del mínimo son coherentes.
{{matlab|codigo=
%Cálculo del máximo y el mínimo
div_max=max(max(div))
div_min=min(min(div))
}}

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 
[[Archivo:Roootacional.jpg|675px|thumb|center|Rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
[[Archivo:Maxrotacionales.jpg|675px|thumb|center|Puntos máximos de los rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_i_sigma_i_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_j_sigma_j_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 
[[Archivo:3D_k_sigma_k_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\z}</math>]]

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}

[[Archivo:2D_ap9_14122023.jpg|500px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math> ]]
[[Archivo:3D_ap9_14122023.jpg|500px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>]]

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m, sin embargo, previamente ha de crearse una matriz mediante un bucle for. De este modo, se dará un valor concreto a cada componente de la matriz en cada punto del mallado. Esto es, debido a que las componentes originales de la matriz <math>\sigma</math> son funciones, y por lo tanto, tendrán un valor diferente para cada punto del mallado.
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Mises
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}

Cabe destacar, que el comando eig genera dos matrices, una matriz v con los autovectores asociados a los autovalores (puestos en columnas), y otra matriz u diagonal construida a partir de dichos autovalores. Para la resolución de este apartado solo ha sido necesario hacer uso de la segunda.
==Representación de la Tensión de Von Mises==
A continuación se muestra tanto el código empleado, como la representación del campo escalar asociado a la matriz de Von Mises.
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}
[[Archivo:2D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones la tensión de Von Mises ]]
[[Archivo:3D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones la tensión de Von Mises]]

==Punto de mayor valor==
El estudio de la tensión máxima, puede ser de gran utilidad en diversos campos de la ingeniería, siendo la resistencia de materiales el más notorio, y es que esta magnitud indica qué parte de un sólido está siendo sometida al mayor estrés. Adicionalmente, como ya se ha mencionado en el anterior apartado, se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro), por lo que se podrá concluir, que el punto de mayor valor de la tensión de Von Mises será, con mucha probabilidad, el punto de rotura. A continuación, se muestra el caso concreto de nuestra lámina, en el que se puede ver representado dicho punto mediante un círculo rojo.
{{matlab|codigo=
%% Punto máximo Von Misses
figure(14)
surf(X,Y,M_VonMises)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('Von Mises en el plano X0Z')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(M_VonMises));
for k = 1:length(M_VonMises)
if M_VonMises(k) == MAX
plot3(X(k),Y(k),MAX,'ro')
end
end
hold off
}}
[[Archivo:9876.jpg|400px|thumb|center|Representación del punto máximo del campo escalar de Von Mises]]
El valor obtenido para la máxima tensión se puede ver representado con un punto rojo en la gráfica y es 1,2005.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-15T10:31:57Z

Juan Casteres: /* Análisis de \nabla \cdot \vec{u} */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano: 
<center><math>y≥\frac{|x|}{2}</math></center> 
Este plano limita la placa circular entre <math>\frac{\pi}{8}</math> y <math>\frac{7\pi}{8}</math> como podemos observar en la siguiente figura. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas:
<ol>1. El campo escalar temperatura: <math>T(x,y)=sin(x^2+(y−3)^2)</math>, expresado en coordenadas cartesianas 
2. El campo vectorial de desplazamientos: <math> \vec{u}(ρ, θ) =\frac {log (3 − ρ)} {2}\cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, expresado en coordenadas cilíndricas </ol>

Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones: 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 

[[Archivo:Representación_de_la_lámina_en_2D.png|400px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del sólido en dos dimensiones.]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/8:h:(7*pi)/8;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x^2 +(y−3)^2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:Representación_del_campo_escalar_temperatura.png|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel o equipotenciales son líneas que unen los puntos de igual magnitud física, tal que <center><math>T(X,Y)=cte.</math></center> Nos muestran de una forma muy visual la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:Curvas123.jpg|375px|center|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> por lo que se puede ver claramente que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. El gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. Viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

En esta imagen podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. Esto se debe a que el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, mientras que en las curvas de nivel no hay variación de temperatura. Por tanto, el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

[[Archivo:grad_15122023.jpg|500px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica de la ortogonalidad presente entre el gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
%Derivadas parciales
FX=2*X.*cos(X.^2+(Y-3).^2);
FY=(2*Y-6).*cos(X.^2+(Y-3).^2);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido. 
La transmisión de calor, así como cualquier otro fenómeno físico de transmisión, se puede describir mediante la ecuación diferencial para la propagación unidimensional, que viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
Donde <math>\psi</math> es el campo correspondiente al fenómeno físico, en este caso, el campo de la temperatura T, y <math>a</math> una constante característica de la situación física (<math>\kappa</math>).
 
En el caso particular del transporte (en termodinámica denominado conducción) de calor, la ecuación empleada para llevar a cabo su estudio, es la respectiva a la ley de Fourier. 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el Principio Cero de la Termodinámica (Equilibro término) sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío, al contrario que lo que nos indica el gradiente (dirección para ir de lo frío a lo caliente).
Por esta razón, el calor se desplaza en el sentido opuesto al que indica el gradiente. 

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2x \cdot cos[x^2+(y-3)^2] \vec i+ 2 \cdot (y-3) \cdot cos [x^2+(y-3)] \vec j</math></center>
 
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
 
[[Archivo:ap5_15122023_2.jpg|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Representación_del_campo_vectorial_u_sobre_la_placa.png|375px|thumb|right|Campo vectorial u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
<ol>1. Imagen de arriba a la izquierda: situación del sólido antes del desplazamiento. Coincide con la situación representada en el apartado 1.</ol>
<ol>2. Imagen de arriba a la derecha: situación del sólido después del desplazamiento. Observamos cómo ciertos puntos de la placa se han desplazado hacia abajo, justo la dirección a la que apuntan los vectores del campo vectorial representado en el apartado 4.</ol>
<ol>3. Imagen de abajo: imágenes 1 y 2 superpuestas. Se puede apreciar mejor la diferencia entre las dos situaciones.</ol> 

[[Archivo:Situación_de_la_placa_antes_y_después_del_desplazamiento.png|650px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide cuánto se expande o se contrae un cuerpo cuyas partículas están siendo desplazadas por una fuerza. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ})+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
[[Archivo:Representación_de_la_divergencia_en_2D.png|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:Representación_de_la_divergencia_en_3D.png|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);%Calcular en papel en cartesianas!!!!!
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Divergencia en 2D')
colorbar
view(2)
figure(14)
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Divergencia en 3D')
colorbar
view(3)
}}

==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a utilizar la matriz Hessiana y sacar las derivadas del campo:
Existen múltiples formas de calcular el máximo de una función. La más común es el empleo de derivadas parciales y el determinante de la matriz Hessiana. Para llevar a cabo este método, han de seguirse tres pasos:
<ol>1. Localización de los puntos críticos igualando a 0 las derivadas parciales 
2. Cálculo de las segundas derivadas y derivadas cruzadas 
3. Cálculo del determinante de la matriz Hessiana 
4. Estudio del signo que se obtiene al calcular el determinante y al sustituir los puntos en las derivadas. Dependiendo del signo de los resultados, los puntos críticos podrán ser máximos, mínimos o puntos de silla (puntos sin variación)
</ol>
A continuación, se muestra la forma genérica que tiene la matriz Hessiana:
<center><math>H(u,v)=\left|\begin{matrix} \ f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{matrix}\right|</math></center> 
Otra forma que se puede emplear para obtener los máximos, es en su mayoría informática. Éste es un método mucho más sencillo y rápido que únicamente requiere utilizar el comando "max(max())". Con este comando, el programa encuentra el punto máximo almacenado en la matriz, reduciendo considerablemente el tiempo de trabajo para encontrar los puntos críticos.
 
Cabe destacar que este segundo método, al trabajar con valores discretizados puede ofrecer una precisión ligeramente inferior a la de la matriz Hessiana, sin embargo, sus razonablemente buenas y rápidas prestaciones, han hecho que nos decantásemos por este segundo método.
 
Los resultados obtenidos mediante este segundo método se exponen a continuación.
<center><math>Divergencia_{máxima} = 0.4995</math> 
<math>Divergencia_{mínima} = -0.3536</math></center>
Como se puede observar en la gráfica del apartado 6, los valores tanto del máximo como del mínimo son coherentes.
{{matlab|codigo=
%Cálculo del máximo y el mínimo
div_max=max(max(div))
div_min=min(min(div))
}}

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 
[[Archivo:Roootacional.jpg|675px|thumb|center|Rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
[[Archivo:Maxrotacionales.jpg|675px|thumb|center|Puntos máximos de los rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_i_sigma_i_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_j_sigma_j_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 
[[Archivo:3D_k_sigma_k_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\z}</math>]]

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}

[[Archivo:2D_ap9_14122023.jpg|500px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math> ]]
[[Archivo:3D_ap9_14122023.jpg|500px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>]]

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m, sin embargo, previamente ha de crearse una matriz mediante un bucle for. De este modo, se dará un valor concreto a cada componente de la matriz en cada punto del mallado. Esto es, debido a que las componentes originales de la matriz <math>\sigma</math> son funciones, y por lo tanto, tendrán un valor diferente para cada punto del mallado.
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Mises
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}

Cabe destacar, que el comando eig genera dos matrices, una matriz v con los autovectores asociados a los autovalores (puestos en columnas), y otra matriz u diagonal construida a partir de dichos autovalores. Para la resolución de este apartado solo ha sido necesario hacer uso de la segunda.
==Representación de la Tensión de Von Mises==
A continuación se muestra tanto el código empleado, como la representación del campo escalar asociado a la matriz de Von Mises.
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}
[[Archivo:2D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones la tensión de Von Mises ]]
[[Archivo:3D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones la tensión de Von Mises]]

==Punto de mayor valor==
El estudio de la tensión máxima, puede ser de gran utilidad en diversos campos de la ingeniería, siendo la resistencia de materiales el más notorio, y es que esta magnitud indica qué parte de un sólido está siendo sometida al mayor estrés. Adicionalmente, como ya se ha mencionado en el anterior apartado, se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro), por lo que se podrá concluir, que el punto de mayor valor de la tensión de Von Mises será, con mucha probabilidad, el punto de rotura. A continuación, se muestra el caso concreto de nuestra lámina, en el que se puede ver representado dicho punto mediante un círculo rojo.
{{matlab|codigo=
%% Punto máximo Von Misses
figure(14)
surf(X,Y,M_VonMises)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('Von Mises en el plano X0Z')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(M_VonMises));
for k = 1:length(M_VonMises)
if M_VonMises(k) == MAX
plot3(X(k),Y(k),MAX,'ro')
end
end
hold off
}}
[[Archivo:9876.jpg|400px|thumb|center|Representación del punto máximo del campo escalar de Von Mises]]
El valor obtenido para la máxima tensión se puede ver representado con un punto rojo en la gráfica y es 1,2005.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-15T10:15:24Z

Juan Casteres: /* Análisis de \nabla \cdot \vec{u} */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano: 
<center><math>y≥\frac{|x|}{2}</math></center> 
Este plano limita la placa circular entre <math>\frac{\pi}{8}</math> y <math>\frac{7\pi}{8}</math> como podemos observar en la siguiente figura. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas:
<ol>1. El campo escalar temperatura: <math>T(x,y)=sin(x^2+(y−3)^2)</math>, expresado en coordenadas cartesianas 
2. El campo vectorial de desplazamientos: <math> \vec{u}(ρ, θ) =\frac {log (3 − ρ)} {2}\cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, expresado en coordenadas cilíndricas </ol>

Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones: 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 

[[Archivo:Representación_de_la_lámina_en_2D.png|400px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del sólido en dos dimensiones.]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/8:h:(7*pi)/8;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x^2 +(y−3)^2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:Representación_del_campo_escalar_temperatura.png|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel o equipotenciales son líneas que unen los puntos de igual magnitud física, tal que <center><math>T(X,Y)=cte.</math></center> Nos muestran de una forma muy visual la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:Curvas123.jpg|375px|center|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> por lo que se puede ver claramente que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. El gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. Viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

En esta imagen podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. Esto se debe a que el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, mientras que en las curvas de nivel no hay variación de temperatura. Por tanto, el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

[[Archivo:grad_15122023.jpg|500px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica de la ortogonalidad presente entre el gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
%Derivadas parciales
FX=2*X.*cos(X.^2+(Y-3).^2);
FY=(2*Y-6).*cos(X.^2+(Y-3).^2);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido. 
La transmisión de calor, así como cualquier otro fenómeno físico de transmisión, se puede describir mediante la ecuación diferencial para la propagación unidimensional, que viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
Donde <math>\psi</math> es el campo correspondiente al fenómeno físico, en este caso, el campo de la temperatura T, y <math>a</math> una constante característica de la situación física (<math>\kappa</math>).
 
En el caso particular del transporte (en termodinámica denominado conducción) de calor, la ecuación empleada para llevar a cabo su estudio, es la respectiva a la ley de Fourier. 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el Principio Cero de la Termodinámica (Equilibro término) sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío, al contrario que lo que nos indica el gradiente (dirección para ir de lo frío a lo caliente).
Por esta razón, el calor se desplaza en el sentido opuesto al que indica el gradiente. 

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2x \cdot cos[x^2+(y-3)^2] \vec i+ 2 \cdot (y-3) \cdot cos [x^2+(y-3)] \vec j</math></center>
 
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
 
[[Archivo:ap5_15122023_2.jpg|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Representación_del_campo_vectorial_u_sobre_la_placa.png|375px|thumb|right|Campo vectorial u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
<ol>1. Imagen de arriba a la izquierda: situación del sólido antes del desplazamiento. Coincide con la situación representada en el apartado 1.</ol>
<ol>2. Imagen de arriba a la derecha: situación del sólido después del desplazamiento. Observamos cómo ciertos puntos de la placa se han desplazado hacia abajo, justo la dirección a la que apuntan los vectores del campo vectorial representado en el apartado 4.</ol>
<ol>3. Imagen de abajo: imágenes 1 y 2 superpuestas. Se puede apreciar mejor la diferencia entre las dos situaciones.</ol> 

[[Archivo:Situación_de_la_placa_antes_y_después_del_desplazamiento.png|650px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide cuánto se expande o se contrae un cuerpo cuyas partículas están siendo desplazadas por una fuerza. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ})+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
[[Archivo:Representación_de_la_divergencia_en_2D.png|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:Representación_de_la_divergencia_en_3D.png|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);%Calcular en papel en cartesianas!!!!!
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Divergencia en 2D')
colorbar
view(2)
figure(14)
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Divergencia en 3D')
colorbar
view(3)
}}

==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a utilizar la matriz Hessiana y sacar las derivadas del campo:
Existen múltiples formas de calcular el máximo de una función. La más común es el empleo de derivadas parciales y el determinante de la matriz Hessiana. Para llevar a cabo este método, han de seguirse tres pasos:
<ol>1. Localización de los puntos críticos igualando a 0 las derivadas parciales 
2. Cálculo de las segundas derivadas y derivadas cruzadas 
3. Cálculo del determinante de la matriz Hessiana 
4. Estudio del signo que se obtiene al calcular el determinante y al sustituir los puntos en las derivadas. Dependiendo del signo de los resultados, los puntos críticos podrán ser máximos, mínimos o puntos de silla (puntos sin variación)
</ol>
A continuación, se muestra la forma genérica que tiene la matriz Hessiana:
<center><math>H(u,v)=\left|\begin{matrix} \ f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{matrix}\right|</math></center> 
Otra forma que se puede emplear para obtener los máximos, es en su mayoría informática
<center><math>Divergencia_{máxima} = 0.4995</math> 
<math>Divergencia_{mínima} = -0.3536</math></center>

{{matlab|codigo=
%Cálculo del máximo y el mínimo
div_max=max(max(div))
div_min=min(min(div))
}}

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 
[[Archivo:Roootacional.jpg|675px|thumb|center|Rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
[[Archivo:Maxrotacionales.jpg|675px|thumb|center|Puntos máximos de los rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_i_sigma_i_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_j_sigma_j_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 
[[Archivo:3D_k_sigma_k_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\z}</math>]]

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}
[[Archivo:2D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math> ]]
[[Archivo:3D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>]]

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m, sin embargo, previamente ha de crearse una matriz mediante un bucle for. De este modo, se dará un valor concreto a cada componente de la matriz en cada punto del mallado. Esto es, debido a que las componentes originales de la matriz <math>\sigma</math> son funciones, y por lo tanto, tendrán un valor diferente para cada punto del mallado.
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Mises
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}

Cabe destacar, que el comando eig genera dos matrices, una matriz v con los autovectores asociados a los autovalores (puestos en columnas), y otra matriz u diagonal construida a partir de dichos autovalores. Para la resolución de este apartado solo ha sido necesario hacer uso de la segunda.
==Representación de la Tensión de Von Mises==
A continuación se muestra tanto el código empleado, como la representación del campo escalar asociado a la matriz de Von Mises.
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}
[[Archivo:2D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones la tensión de Von Mises ]]
[[Archivo:3D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones la tensión de Von Mises]]

==Punto de mayor valor==
El estudio de la tensión máxima, puede ser de gran utilidad en diversos campos de la ingeniería, siendo la resistencia de materiales el más notorio, y es que esta magnitud indica qué parte de un sólido está siendo sometida al mayor estrés. Adicionalmente, como ya se ha mencionado en el anterior apartado, se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro), por lo que se podrá concluir, que el punto de mayor valor de la tensión de Von Mises será, con mucha probabilidad, el punto de rotura. A continuación, se muestra el caso concreto de nuestra lámina, en el que se puede ver representado dicho punto mediante un círculo rojo.
{{matlab|codigo=
%% Punto máximo Von Misses
figure(14)
surf(X,Y,M_VonMises)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('Von Mises en el plano X0Z')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(M_VonMises));
for k = 1:length(M_VonMises)
if M_VonMises(k) == MAX
plot3(X(k),Y(k),MAX,'ro')
end
end
hold off
}}
[[Archivo:9876.jpg|400px|thumb|center|Representación del punto máximo del campo escalar de Von Mises]]
El valor obtenido para la máxima tensión se puede ver representado con un punto rojo en la gráfica y es 1,2005.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-15T10:12:12Z

Juan Casteres: /* Análisis de \nabla \cdot \vec{u} */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano: 
<center><math>y≥\frac{|x|}{2}</math></center> 
Este plano limita la placa circular entre <math>\frac{\pi}{8}</math> y <math>\frac{7\pi}{8}</math> como podemos observar en la siguiente figura. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas:
<ol>1. El campo escalar temperatura: <math>T(x,y)=sin(x^2+(y−3)^2)</math>, expresado en coordenadas cartesianas 
2. El campo vectorial de desplazamientos: <math> \vec{u}(ρ, θ) =\frac {log (3 − ρ)} {2}\cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, expresado en coordenadas cilíndricas </ol>

Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones: 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 

[[Archivo:Representación_de_la_lámina_en_2D.png|400px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del sólido en dos dimensiones.]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/8:h:(7*pi)/8;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x^2 +(y−3)^2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:Representación_del_campo_escalar_temperatura.png|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel o equipotenciales son líneas que unen los puntos de igual magnitud física, tal que <center><math>T(X,Y)=cte.</math></center> Nos muestran de una forma muy visual la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:Curvas123.jpg|375px|center|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> por lo que se puede ver claramente que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. El gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. Viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

En esta imagen podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. Esto se debe a que el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, mientras que en las curvas de nivel no hay variación de temperatura. Por tanto, el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

[[Archivo:grad_15122023.jpg|500px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica de la ortogonalidad presente entre el gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
%Derivadas parciales
FX=2*X.*cos(X.^2+(Y-3).^2);
FY=(2*Y-6).*cos(X.^2+(Y-3).^2);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido. 
La transmisión de calor, así como cualquier otro fenómeno físico de transmisión, se puede describir mediante la ecuación diferencial para la propagación unidimensional, que viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
Donde <math>\psi</math> es el campo correspondiente al fenómeno físico, en este caso, el campo de la temperatura T, y <math>a</math> una constante característica de la situación física (<math>\kappa</math>).
 
En el caso particular del transporte (en termodinámica denominado conducción) de calor, la ecuación empleada para llevar a cabo su estudio, es la respectiva a la ley de Fourier. 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el 2º Principio de la Termodinámica sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío, al contrario que lo que nos indica el gradiente (dirección para ir de lo frío a lo caliente).
Por esta razón, el calor se desplaza en el sentido opuesto al que indica el gradiente. 

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2x \cdot cos[x^2+(y-3)^2] \vec i+ 2 \cdot (y-3) \cdot cos [x^2+(y-3)] \vec j</math></center>
 
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
 
[[Archivo:ap5_15122023_2.jpg|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Representación_del_campo_vectorial_u_sobre_la_placa.png|375px|thumb|right|Campo vectorial u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
<ol>1. Imagen de arriba a la izquierda: situación del sólido antes del desplazamiento. Coincide con la situación representada en el apartado 1.</ol>
<ol>2. Imagen de arriba a la derecha: situación del sólido después del desplazamiento. Observamos cómo ciertos puntos de la placa se han desplazado hacia abajo, justo la dirección a la que apuntan los vectores del campo vectorial representado en el apartado 4.</ol>
<ol>3. Imagen de abajo: imágenes 1 y 2 superpuestas. Se puede apreciar mejor la diferencia entre las dos situaciones.</ol> 

[[Archivo:Situación_de_la_placa_antes_y_después_del_desplazamiento.png|650px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide cuánto se expande o se contrae un cuerpo cuyas partículas están siendo desplazadas por una fuerza. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ})+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
[[Archivo:Representación_de_la_divergencia_en_2D.png|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:Representación_de_la_divergencia_en_3D.png|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);%Calcular en papel en cartesianas!!!!!
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Divergencia en 2D')
colorbar
view(2)
figure(14)
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Divergencia en 3D')
colorbar
view(3)
}}

==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a utilizar la matriz Hessiana y sacar las derivadas del campo:
Existen múltiples formas de calcular el máximo de una función. La más común es el empleo de derivadas parciales y el determinante de la matriz Hessiana. Para llevar a cabo este método, han de seguirse tres pasos:
<ol>1. Localización de los puntos críticos igualando a 0 las derivadas parciales 
2. Cálculo de las segundas derivadas y derivadas cruzadas 
3. Cálculo del determinante de la matriz Hessiana 
4. Estudio del signo que se obtiene al calcular el determinante y al sustituir los puntos en las derivadas. Dependiendo del signo de los resultados, los puntos críticos podrán ser máximos, mínimos o puntos de silla (puntos sin variación)
</ol>
A continuación, se muestra la forma que tiene la matriz Hessiana:
<center><math>H(u,v)=\left|\begin{matrix} \ f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{matrix}\right|</math></center> 
Otra forma que se puede emplear para obtener los máximos,
<center><math>Divergencia_{máxima} = 0.4995</math> 
<math>Divergencia_{mínima} = -0.3536</math></center>

{{matlab|codigo=
%Cálculo del máximo y el mínimo
div_max=max(max(div))
div_min=min(min(div))
}}

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 
[[Archivo:Roootacional.jpg|675px|thumb|center|Rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
[[Archivo:Maxrotacionales.jpg|675px|thumb|center|Puntos máximos de los rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_i_sigma_i_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_j_sigma_j_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 
[[Archivo:3D_k_sigma_k_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\z}</math>]]

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}
[[Archivo:2D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math> ]]
[[Archivo:3D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>]]

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m, sin embargo, previamente ha de crearse una matriz mediante un bucle for. De este modo, se dará un valor concreto a cada componente de la matriz en cada punto del mallado. Esto es, debido a que las componentes originales de la matriz <math>\sigma</math> son funciones, y por lo tanto, tendrán un valor diferente para cada punto del mallado.
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Mises
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}

Cabe destacar, que el comando eig genera dos matrices, una matriz v con los autovectores asociados a los autovalores (puestos en columnas), y otra matriz u diagonal construida a partir de dichos autovalores. Para la resolución de este apartado solo ha sido necesario hacer uso de la segunda.
==Representación de la Tensión de Von Mises==
A continuación se muestra tanto el código empleado, como la representación del campo escalar asociado a la matriz de Von Mises.
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}
[[Archivo:2D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones la tensión de Von Mises ]]
[[Archivo:3D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones la tensión de Von Mises]]

==Punto de mayor valor==
El estudio de la tensión máxima, puede ser de gran utilidad en diversos campos de la ingeniería, siendo la resistencia de materiales el más notorio, y es que esta magnitud indica qué parte de un sólido está siendo sometida al mayor estrés. Adicionalmente, como ya se ha mencionado en el anterior apartado, se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro), por lo que se podrá concluir, que el punto de mayor valor de la tensión de Von Mises será, con mucha probabilidad, el punto de rotura. A continuación, se muestra el caso concreto de nuestra lámina, en el que se puede ver representado dicho punto mediante un círculo rojo.
{{matlab|codigo=
%% Punto máximo Von Misses
figure(14)
surf(X,Y,M_VonMises)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('Von Mises en el plano X0Z')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(M_VonMises));
for k = 1:length(M_VonMises)
if M_VonMises(k) == MAX
plot3(X(k),Y(k),MAX,'ro')
end
end
hold off
}}
[[Archivo:9876.jpg|400px|thumb|center|Representación del punto máximo del campo escalar de Von Mises]]
El valor obtenido para la máxima tensión se puede ver representado con un punto rojo en la gráfica y es 1,2005.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-15T10:10:38Z

Juan Casteres: /* Análisis de \nabla \cdot \vec{u} */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano: 
<center><math>y≥\frac{|x|}{2}</math></center> 
Este plano limita la placa circular entre <math>\frac{\pi}{8}</math> y <math>\frac{7\pi}{8}</math> como podemos observar en la siguiente figura. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas:
<ol>1. El campo escalar temperatura: <math>T(x,y)=sin(x^2+(y−3)^2)</math>, expresado en coordenadas cartesianas 
2. El campo vectorial de desplazamientos: <math> \vec{u}(ρ, θ) =\frac {log (3 − ρ)} {2}\cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, expresado en coordenadas cilíndricas </ol>

Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones: 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 

[[Archivo:Representación_de_la_lámina_en_2D.png|400px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del sólido en dos dimensiones.]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/8:h:(7*pi)/8;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x^2 +(y−3)^2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:Representación_del_campo_escalar_temperatura.png|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel o equipotenciales son líneas que unen los puntos de igual magnitud física, tal que <center><math>T(X,Y)=cte.</math></center> Nos muestran de una forma muy visual la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:Curvas123.jpg|375px|center|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> por lo que se puede ver claramente que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. El gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. Viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

En esta imagen podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. Esto se debe a que el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, mientras que en las curvas de nivel no hay variación de temperatura. Por tanto, el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

[[Archivo:grad_15122023.jpg|500px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica de la ortogonalidad presente entre el gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
%Derivadas parciales
FX=2*X.*cos(X.^2+(Y-3).^2);
FY=(2*Y-6).*cos(X.^2+(Y-3).^2);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido. 
La transmisión de calor, así como cualquier otro fenómeno físico de transmisión, se puede describir mediante la ecuación diferencial para la propagación unidimensional, que viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
Donde <math>\psi</math> es el campo correspondiente al fenómeno físico, en este caso, el campo de la temperatura T, y <math>a</math> una constante característica de la situación física (<math>\kappa</math>).
 
En el caso particular del transporte (en termodinámica denominado conducción) de calor, la ecuación empleada para llevar a cabo su estudio, es la respectiva a la ley de Fourier. 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el 2º Principio de la Termodinámica sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío, al contrario que lo que nos indica el gradiente (dirección para ir de lo frío a lo caliente).
Por esta razón, el calor se desplaza en el sentido opuesto al que indica el gradiente. 

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2x \cdot cos[x^2+(y-3)^2] \vec i+ 2 \cdot (y-3) \cdot cos [x^2+(y-3)] \vec j</math></center>
 
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
 
[[Archivo:ap5_15122023_2.jpg|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Representación_del_campo_vectorial_u_sobre_la_placa.png|375px|thumb|right|Campo vectorial u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
<ol>1. Imagen de arriba a la izquierda: situación del sólido antes del desplazamiento. Coincide con la situación representada en el apartado 1.</ol>
<ol>2. Imagen de arriba a la derecha: situación del sólido después del desplazamiento. Observamos cómo ciertos puntos de la placa se han desplazado hacia abajo, justo la dirección a la que apuntan los vectores del campo vectorial representado en el apartado 4.</ol>
<ol>3. Imagen de abajo: imágenes 1 y 2 superpuestas. Se puede apreciar mejor la diferencia entre las dos situaciones.</ol> 

[[Archivo:Situación_de_la_placa_antes_y_después_del_desplazamiento.png|650px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide cuánto se expande o se contrae un cuerpo cuyas partículas están siendo desplazadas por una fuerza. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ})+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
[[Archivo:Representación_de_la_divergencia_en_2D.png|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:Representación_de_la_divergencia_en_3D.png|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);%Calcular en papel en cartesianas!!!!!
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Divergencia en 2D')
colorbar
view(2)
figure(14)
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Divergencia en 3D')
colorbar
view(3)
}}

==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a utilizar la matriz Hessiana y sacar las derivadas del campo:
Existen múltiples formas de calcular el máximo de una función. La más común es el empleo de derivadas parciales y el determinante de la matriz Hessiana. Para llevar a cabo este método, han de seguirse tres pasos:
<ol>1. Localización de los puntos críticos igualando a 0 las derivadas parciales 
2. Cálculo de las segundas derivadas y derivadas cruzadas 
3. Cálculo del determinante de la matriz Hessiana 
4. Estudio del signo que se obtiene al calcular el determinante y al sustituir los puntos en las derivadas. Dependiendo del signo de los resultados, los puntos críticos podrán ser máximos, mínimos o puntos de silla (puntos sin variación)
</ol>
A continuación, se muestra la forma que tiene la matriz Hessiana:
<center><math>H(u,v)=\left|\begin{matrix} \ f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{matrix}\right|</math></center> 
Otra forma que se puede emplear para obtener los máximos,
<center><math>Divergencia máxima = 0.4995</math> 
<math>Divergencia mínima = -0.3536</math></center>

{{matlab|codigo=
%Cálculo del máximo y el mínimo
div_{max}=max(max(div))
div_{min}=min(min(div))
}}

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 
[[Archivo:Roootacional.jpg|675px|thumb|center|Rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
[[Archivo:Maxrotacionales.jpg|675px|thumb|center|Puntos máximos de los rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_i_sigma_i_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_j_sigma_j_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 
[[Archivo:3D_k_sigma_k_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\z}</math>]]

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}
[[Archivo:2D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math> ]]
[[Archivo:3D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>]]

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m, sin embargo, previamente ha de crearse una matriz mediante un bucle for. De este modo, se dará un valor concreto a cada componente de la matriz en cada punto del mallado. Esto es, debido a que las componentes originales de la matriz <math>\sigma</math> son funciones, y por lo tanto, tendrán un valor diferente para cada punto del mallado.
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Mises
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}

Cabe destacar, que el comando eig genera dos matrices, una matriz v con los autovectores asociados a los autovalores (puestos en columnas), y otra matriz u diagonal construida a partir de dichos autovalores. Para la resolución de este apartado solo ha sido necesario hacer uso de la segunda.
==Representación de la Tensión de Von Mises==
A continuación se muestra tanto el código empleado, como la representación del campo escalar asociado a la matriz de Von Mises.
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}
[[Archivo:2D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones la tensión de Von Mises ]]
[[Archivo:3D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones la tensión de Von Mises]]

==Punto de mayor valor==
El estudio de la tensión máxima, puede ser de gran utilidad en diversos campos de la ingeniería, siendo la resistencia de materiales el más notorio, y es que esta magnitud indica qué parte de un sólido está siendo sometida al mayor estrés. Adicionalmente, como ya se ha mencionado en el anterior apartado, se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro), por lo que se podrá concluir, que el punto de mayor valor de la tensión de Von Mises será, con mucha probabilidad, el punto de rotura. A continuación, se muestra el caso concreto de nuestra lámina, en el que se puede ver representado dicho punto mediante un círculo rojo.
{{matlab|codigo=
%% Punto máximo Von Misses
figure(14)
surf(X,Y,M_VonMises)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('Von Mises en el plano X0Z')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(M_VonMises));
for k = 1:length(M_VonMises)
if M_VonMises(k) == MAX
plot3(X(k),Y(k),MAX,'ro')
end
end
hold off
}}
[[Archivo:9876.jpg|400px|thumb|center|Representación del punto máximo del campo escalar de Von Mises]]
El valor obtenido para la máxima tensión se puede ver representado con un punto rojo en la gráfica y es 1,2005.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-15T10:09:23Z

Juan Casteres: /* Análisis de \nabla \cdot \vec{u} */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano: 
<center><math>y≥\frac{|x|}{2}</math></center> 
Este plano limita la placa circular entre <math>\frac{\pi}{8}</math> y <math>\frac{7\pi}{8}</math> como podemos observar en la siguiente figura. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas:
<ol>1. El campo escalar temperatura: <math>T(x,y)=sin(x^2+(y−3)^2)</math>, expresado en coordenadas cartesianas 
2. El campo vectorial de desplazamientos: <math> \vec{u}(ρ, θ) =\frac {log (3 − ρ)} {2}\cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, expresado en coordenadas cilíndricas </ol>

Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones: 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 

[[Archivo:Representación_de_la_lámina_en_2D.png|400px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del sólido en dos dimensiones.]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/8:h:(7*pi)/8;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x^2 +(y−3)^2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:Representación_del_campo_escalar_temperatura.png|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel o equipotenciales son líneas que unen los puntos de igual magnitud física, tal que <center><math>T(X,Y)=cte.</math></center> Nos muestran de una forma muy visual la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:Curvas123.jpg|375px|center|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> por lo que se puede ver claramente que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. El gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. Viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

En esta imagen podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. Esto se debe a que el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, mientras que en las curvas de nivel no hay variación de temperatura. Por tanto, el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

[[Archivo:grad_15122023.jpg|500px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica de la ortogonalidad presente entre el gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
%Derivadas parciales
FX=2*X.*cos(X.^2+(Y-3).^2);
FY=(2*Y-6).*cos(X.^2+(Y-3).^2);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido. 
La transmisión de calor, así como cualquier otro fenómeno físico de transmisión, se puede describir mediante la ecuación diferencial para la propagación unidimensional, que viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
Donde <math>\psi</math> es el campo correspondiente al fenómeno físico, en este caso, el campo de la temperatura T, y <math>a</math> una constante característica de la situación física (<math>\kappa</math>).
 
En el caso particular del transporte (en termodinámica denominado conducción) de calor, la ecuación empleada para llevar a cabo su estudio, es la respectiva a la ley de Fourier. 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el 2º Principio de la Termodinámica sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío, al contrario que lo que nos indica el gradiente (dirección para ir de lo frío a lo caliente).
Por esta razón, el calor se desplaza en el sentido opuesto al que indica el gradiente. 

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2x \cdot cos[x^2+(y-3)^2] \vec i+ 2 \cdot (y-3) \cdot cos [x^2+(y-3)] \vec j</math></center>
 
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
 
[[Archivo:ap5_15122023_2.jpg|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Representación_del_campo_vectorial_u_sobre_la_placa.png|375px|thumb|right|Campo vectorial u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
<ol>1. Imagen de arriba a la izquierda: situación del sólido antes del desplazamiento. Coincide con la situación representada en el apartado 1.</ol>
<ol>2. Imagen de arriba a la derecha: situación del sólido después del desplazamiento. Observamos cómo ciertos puntos de la placa se han desplazado hacia abajo, justo la dirección a la que apuntan los vectores del campo vectorial representado en el apartado 4.</ol>
<ol>3. Imagen de abajo: imágenes 1 y 2 superpuestas. Se puede apreciar mejor la diferencia entre las dos situaciones.</ol> 

[[Archivo:Situación_de_la_placa_antes_y_después_del_desplazamiento.png|650px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide cuánto se expande o se contrae un cuerpo cuyas partículas están siendo desplazadas por una fuerza. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ})+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
[[Archivo:Representación_de_la_divergencia_en_2D.png|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:Representación_de_la_divergencia_en_3D.png|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);%Calcular en papel en cartesianas!!!!!
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Divergencia en 2D')
colorbar
view(2)
figure(14)
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Divergencia en 3D')
colorbar
view(3)
}}

==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a utilizar la matriz Hessiana y sacar las derivadas del campo:
Existen múltiples formas de calcular el máximo de una función. La más común es el empleo de derivadas parciales y el determinante de la matriz Hessiana. Para llevar a cabo este método, han de seguirse tres pasos:
<ol>1. Localización de los puntos críticos igualando a 0 las derivadas parciales 
2. Cálculo de las segundas derivadas y derivadas cruzadas 
3. Cálculo del determinante de la matriz Hessiana 
4. Estudio del signo que se obtiene al calcular el determinante y al sustituir los puntos en las derivadas. Dependiendo del signo de los resultados, los puntos críticos podrán ser máximos, mínimos o puntos de silla (puntos sin variación)
</ol>
A continuación, se muestra la forma que tiene la matriz Hessiana:
<center><math>H(u,v)=\left|\begin{matrix} \ f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{matrix}\right|</math></center> 
Otra forma que se puede emplear para obtener los máximos,
<center><math>Divergencia máxima = 0.4995</math> 
<math>Divergencia mínima = -0.3536</math></center>

{{matlab|codigo=
%Cálculo del máximo y el mínimo
divmax=max(max(div))
divmin=min(min(div))
}}

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 
[[Archivo:Roootacional.jpg|675px|thumb|center|Rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
[[Archivo:Maxrotacionales.jpg|675px|thumb|center|Puntos máximos de los rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_i_sigma_i_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_j_sigma_j_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 
[[Archivo:3D_k_sigma_k_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\z}</math>]]

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}
[[Archivo:2D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math> ]]
[[Archivo:3D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>]]

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m, sin embargo, previamente ha de crearse una matriz mediante un bucle for. De este modo, se dará un valor concreto a cada componente de la matriz en cada punto del mallado. Esto es, debido a que las componentes originales de la matriz <math>\sigma</math> son funciones, y por lo tanto, tendrán un valor diferente para cada punto del mallado.
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Mises
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}

Cabe destacar, que el comando eig genera dos matrices, una matriz v con los autovectores asociados a los autovalores (puestos en columnas), y otra matriz u diagonal construida a partir de dichos autovalores. Para la resolución de este apartado solo ha sido necesario hacer uso de la segunda.
==Representación de la Tensión de Von Mises==
A continuación se muestra tanto el código empleado, como la representación del campo escalar asociado a la matriz de Von Mises.
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}
[[Archivo:2D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones la tensión de Von Mises ]]
[[Archivo:3D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones la tensión de Von Mises]]

==Punto de mayor valor==
El estudio de la tensión máxima, puede ser de gran utilidad en diversos campos de la ingeniería, siendo la resistencia de materiales el más notorio, y es que esta magnitud indica qué parte de un sólido está siendo sometida al mayor estrés. Adicionalmente, como ya se ha mencionado en el anterior apartado, se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro), por lo que se podrá concluir, que el punto de mayor valor de la tensión de Von Mises será, con mucha probabilidad, el punto de rotura. A continuación, se muestra el caso concreto de nuestra lámina, en el que se puede ver representado dicho punto mediante un círculo rojo.
{{matlab|codigo=
%% Punto máximo Von Misses
figure(14)
surf(X,Y,M_VonMises)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('Von Mises en el plano X0Z')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(M_VonMises));
for k = 1:length(M_VonMises)
if M_VonMises(k) == MAX
plot3(X(k),Y(k),MAX,'ro')
end
end
hold off
}}
[[Archivo:9876.jpg|400px|thumb|center|Representación del punto máximo del campo escalar de Von Mises]]
El valor obtenido para la máxima tensión se puede ver representado con un punto rojo en la gráfica y es 1,2005.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-15T10:06:36Z

Juan Casteres: /* Análisis de \nabla \cdot \vec{u} */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano: 
<center><math>y≥\frac{|x|}{2}</math></center> 
Este plano limita la placa circular entre <math>\frac{\pi}{8}</math> y <math>\frac{7\pi}{8}</math> como podemos observar en la siguiente figura. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas:
<ol>1. El campo escalar temperatura: <math>T(x,y)=sin(x^2+(y−3)^2)</math>, expresado en coordenadas cartesianas 
2. El campo vectorial de desplazamientos: <math> \vec{u}(ρ, θ) =\frac {log (3 − ρ)} {2}\cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, expresado en coordenadas cilíndricas </ol>

Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones: 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 

[[Archivo:Representación_de_la_lámina_en_2D.png|400px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del sólido en dos dimensiones.]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/8:h:(7*pi)/8;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x^2 +(y−3)^2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:Representación_del_campo_escalar_temperatura.png|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel o equipotenciales son líneas que unen los puntos de igual magnitud física, tal que <center><math>T(X,Y)=cte.</math></center> Nos muestran de una forma muy visual la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:Curvas123.jpg|375px|center|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> por lo que se puede ver claramente que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. El gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. Viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

En esta imagen podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. Esto se debe a que el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, mientras que en las curvas de nivel no hay variación de temperatura. Por tanto, el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

[[Archivo:grad_15122023.jpg|500px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica de la ortogonalidad presente entre el gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
%Derivadas parciales
FX=2*X.*cos(X.^2+(Y-3).^2);
FY=(2*Y-6).*cos(X.^2+(Y-3).^2);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido. 
La transmisión de calor, así como cualquier otro fenómeno físico de transmisión, se puede describir mediante la ecuación diferencial para la propagación unidimensional, que viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
Donde <math>\psi</math> es el campo correspondiente al fenómeno físico, en este caso, el campo de la temperatura T, y <math>a</math> una constante característica de la situación física (<math>\kappa</math>).
 
En el caso particular del transporte (en termodinámica denominado conducción) de calor, la ecuación empleada para llevar a cabo su estudio, es la respectiva a la ley de Fourier. 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el 2º Principio de la Termodinámica sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío, al contrario que lo que nos indica el gradiente (dirección para ir de lo frío a lo caliente).
Por esta razón, el calor se desplaza en el sentido opuesto al que indica el gradiente. 

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2x \cdot cos[x^2+(y-3)^2] \vec i+ 2 \cdot (y-3) \cdot cos [x^2+(y-3)] \vec j</math></center>
 
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
 
[[Archivo:ap5_15122023_2.jpg|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Representación_del_campo_vectorial_u_sobre_la_placa.png|375px|thumb|right|Campo vectorial u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
<ol>1. Imagen de arriba a la izquierda: situación del sólido antes del desplazamiento. Coincide con la situación representada en el apartado 1.</ol>
<ol>2. Imagen de arriba a la derecha: situación del sólido después del desplazamiento. Observamos cómo ciertos puntos de la placa se han desplazado hacia abajo, justo la dirección a la que apuntan los vectores del campo vectorial representado en el apartado 4.</ol>
<ol>3. Imagen de abajo: imágenes 1 y 2 superpuestas. Se puede apreciar mejor la diferencia entre las dos situaciones.</ol> 

[[Archivo:Situación_de_la_placa_antes_y_después_del_desplazamiento.png|650px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide cuánto se expande o se contrae un cuerpo cuyas partículas están siendo desplazadas por una fuerza. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ})+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
[[Archivo:Representación_de_la_divergencia_en_2D.png|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:Representación_de_la_divergencia_en_3D.png|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);%Calcular en papel en cartesianas!!!!!
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Divergencia en 2D')
colorbar
view(2)
figure(14)
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Divergencia en 3D')
colorbar
view(3)
}}

==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a utilizar la matriz Hessiana y sacar las derivadas del campo:
Existen múltiples formas de calcular el máximo de una función. La más común es el empleo de derivadas parciales y el determinante de la matriz Hessiana. Para llevar a cabo este método, han de seguirse tres pasos:
<ol>1. Localización de los puntos críticos igualando a 0 las derivadas parciales 
2. Cálculo de las segundas derivadas y derivadas cruzadas 
3. Cálculo del determinante de la matriz Hessiana 
4. Estudio del signo que se obtiene al calcular el determinante y al sustituir los puntos en las derivadas. Dependiendo del signo de los resultados, los puntos críticos podrán ser máximos, mínimos o puntos de silla (puntos sin variación)
</ol>

<center><math>H(u,v)=\left|\begin{matrix} \ f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{matrix}\right|</math></center>

<center><math>Divergencia máxima = 0.4995</math> 
<math>Divergencia mínima = -0.3536</math></center>

{{matlab|codigo=
%Cálculo del máximo y el mínimo
divmax=max(max(div))
divmin=min(min(div))
}}

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 
[[Archivo:Roootacional.jpg|675px|thumb|center|Rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
[[Archivo:Maxrotacionales.jpg|675px|thumb|center|Puntos máximos de los rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_i_sigma_i_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_j_sigma_j_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 
[[Archivo:3D_k_sigma_k_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\z}</math>]]

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}
[[Archivo:2D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math> ]]
[[Archivo:3D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>]]

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m, sin embargo, previamente ha de crearse una matriz mediante un bucle for. De este modo, se dará un valor concreto a cada componente de la matriz en cada punto del mallado. Esto es, debido a que las componentes originales de la matriz <math>\sigma</math> son funciones, y por lo tanto, tendrán un valor diferente para cada punto del mallado.
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Mises
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}

Cabe destacar, que el comando eig genera dos matrices, una matriz v con los autovectores asociados a los autovalores (puestos en columnas), y otra matriz u diagonal construida a partir de dichos autovalores. Para la resolución de este apartado solo ha sido necesario hacer uso de la segunda.
==Representación de la Tensión de Von Mises==
A continuación se muestra tanto el código empleado, como la representación del campo escalar asociado a la matriz de Von Mises.
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}
[[Archivo:2D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones la tensión de Von Mises ]]
[[Archivo:3D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones la tensión de Von Mises]]

==Punto de mayor valor==
El estudio de la tensión máxima, puede ser de gran utilidad en diversos campos de la ingeniería, siendo la resistencia de materiales el más notorio, y es que esta magnitud indica qué parte de un sólido está siendo sometida al mayor estrés. Adicionalmente, como ya se ha mencionado en el anterior apartado, se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro), por lo que se podrá concluir, que el punto de mayor valor de la tensión de Von Mises será, con mucha probabilidad, el punto de rotura. A continuación, se muestra el caso concreto de nuestra lámina, en el que se puede ver representado dicho punto mediante un círculo rojo.
{{matlab|codigo=
%% Punto máximo Von Misses
figure(14)
surf(X,Y,M_VonMises)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('Von Mises en el plano X0Z')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(M_VonMises));
for k = 1:length(M_VonMises)
if M_VonMises(k) == MAX
plot3(X(k),Y(k),MAX,'ro')
end
end
hold off
}}
[[Archivo:9876.jpg|400px|thumb|center|Representación del punto máximo del campo escalar de Von Mises]]
El valor obtenido para la máxima tensión se puede ver representado con un punto rojo en la gráfica y es 1,2005.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-15T10:06:07Z

Juan Casteres: /* Análisis de \nabla \cdot \vec{u} */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano: 
<center><math>y≥\frac{|x|}{2}</math></center> 
Este plano limita la placa circular entre <math>\frac{\pi}{8}</math> y <math>\frac{7\pi}{8}</math> como podemos observar en la siguiente figura. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas:
<ol>1. El campo escalar temperatura: <math>T(x,y)=sin(x^2+(y−3)^2)</math>, expresado en coordenadas cartesianas 
2. El campo vectorial de desplazamientos: <math> \vec{u}(ρ, θ) =\frac {log (3 − ρ)} {2}\cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, expresado en coordenadas cilíndricas </ol>

Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones: 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 

[[Archivo:Representación_de_la_lámina_en_2D.png|400px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del sólido en dos dimensiones.]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/8:h:(7*pi)/8;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x^2 +(y−3)^2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:Representación_del_campo_escalar_temperatura.png|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel o equipotenciales son líneas que unen los puntos de igual magnitud física, tal que <center><math>T(X,Y)=cte.</math></center> Nos muestran de una forma muy visual la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:Curvas123.jpg|375px|center|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> por lo que se puede ver claramente que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. El gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. Viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

En esta imagen podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. Esto se debe a que el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, mientras que en las curvas de nivel no hay variación de temperatura. Por tanto, el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

[[Archivo:grad_15122023.jpg|500px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica de la ortogonalidad presente entre el gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
%Derivadas parciales
FX=2*X.*cos(X.^2+(Y-3).^2);
FY=(2*Y-6).*cos(X.^2+(Y-3).^2);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido. 
La transmisión de calor, así como cualquier otro fenómeno físico de transmisión, se puede describir mediante la ecuación diferencial para la propagación unidimensional, que viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
Donde <math>\psi</math> es el campo correspondiente al fenómeno físico, en este caso, el campo de la temperatura T, y <math>a</math> una constante característica de la situación física (<math>\kappa</math>).
 
En el caso particular del transporte (en termodinámica denominado conducción) de calor, la ecuación empleada para llevar a cabo su estudio, es la respectiva a la ley de Fourier. 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el 2º Principio de la Termodinámica sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío, al contrario que lo que nos indica el gradiente (dirección para ir de lo frío a lo caliente).
Por esta razón, el calor se desplaza en el sentido opuesto al que indica el gradiente. 

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2x \cdot cos[x^2+(y-3)^2] \vec i+ 2 \cdot (y-3) \cdot cos [x^2+(y-3)] \vec j</math></center>
 
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
 
[[Archivo:ap5_15122023_2.jpg|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Representación_del_campo_vectorial_u_sobre_la_placa.png|375px|thumb|right|Campo vectorial u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
<ol>1. Imagen de arriba a la izquierda: situación del sólido antes del desplazamiento. Coincide con la situación representada en el apartado 1.</ol>
<ol>2. Imagen de arriba a la derecha: situación del sólido después del desplazamiento. Observamos cómo ciertos puntos de la placa se han desplazado hacia abajo, justo la dirección a la que apuntan los vectores del campo vectorial representado en el apartado 4.</ol>
<ol>3. Imagen de abajo: imágenes 1 y 2 superpuestas. Se puede apreciar mejor la diferencia entre las dos situaciones.</ol> 

[[Archivo:Situación_de_la_placa_antes_y_después_del_desplazamiento.png|650px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide cuánto se expande o se contrae un cuerpo cuyas partículas están siendo desplazadas por una fuerza. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ})+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
[[Archivo:Representación_de_la_divergencia_en_2D.png|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:Representación_de_la_divergencia_en_3D.png|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);%Calcular en papel en cartesianas!!!!!
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Divergencia en 2D')
colorbar
view(2)
figure(14)
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Divergencia en 3D')
colorbar
view(3)
}}

==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a utilizar la matriz Hessiana y sacar las derivadas del campo:
Existen múltiples formas de calcular el máximo de una función. La más común es el empleo de derivadas parciales y el determinante de la matriz Hessiana. Para llevar a cabo este método, han de seguirse tres pasos:
<ol>1. Localización de los puntos críticos igualando a 0 las derivadas parciales 
2. Cálculo de las segundas derivadas y derivadas cruzadas 
3. Cálculo del determinante de la matriz Hessiana 
4. Estudio del signo que se obtiene al calcular el determinante y al sustituir los puntos en las derivadas. Dependiendo del signo de los resultados, los puntos críticos podrán ser máximos, mínimos o puntos de silla (puntos sin variación)
</ol>

<center><math>H(u,v)=\left|\begin{matrix} \ f_{xx} & f_{xy} // f_{yx} & f_{yy} \end{matrix}\right|</math></center>

<center><math>Divergencia máxima = 0.4995</math> 
<math>Divergencia mínima = -0.3536</math></center>

{{matlab|codigo=
%Cálculo del máximo y el mínimo
divmax=max(max(div))
divmin=min(min(div))
}}

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 
[[Archivo:Roootacional.jpg|675px|thumb|center|Rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
[[Archivo:Maxrotacionales.jpg|675px|thumb|center|Puntos máximos de los rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_i_sigma_i_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_j_sigma_j_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 
[[Archivo:3D_k_sigma_k_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\z}</math>]]

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}
[[Archivo:2D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math> ]]
[[Archivo:3D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>]]

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m, sin embargo, previamente ha de crearse una matriz mediante un bucle for. De este modo, se dará un valor concreto a cada componente de la matriz en cada punto del mallado. Esto es, debido a que las componentes originales de la matriz <math>\sigma</math> son funciones, y por lo tanto, tendrán un valor diferente para cada punto del mallado.
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Mises
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}

Cabe destacar, que el comando eig genera dos matrices, una matriz v con los autovectores asociados a los autovalores (puestos en columnas), y otra matriz u diagonal construida a partir de dichos autovalores. Para la resolución de este apartado solo ha sido necesario hacer uso de la segunda.
==Representación de la Tensión de Von Mises==
A continuación se muestra tanto el código empleado, como la representación del campo escalar asociado a la matriz de Von Mises.
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}
[[Archivo:2D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones la tensión de Von Mises ]]
[[Archivo:3D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones la tensión de Von Mises]]

==Punto de mayor valor==
El estudio de la tensión máxima, puede ser de gran utilidad en diversos campos de la ingeniería, siendo la resistencia de materiales el más notorio, y es que esta magnitud indica qué parte de un sólido está siendo sometida al mayor estrés. Adicionalmente, como ya se ha mencionado en el anterior apartado, se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro), por lo que se podrá concluir, que el punto de mayor valor de la tensión de Von Mises será, con mucha probabilidad, el punto de rotura. A continuación, se muestra el caso concreto de nuestra lámina, en el que se puede ver representado dicho punto mediante un círculo rojo.
{{matlab|codigo=
%% Punto máximo Von Misses
figure(14)
surf(X,Y,M_VonMises)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('Von Mises en el plano X0Z')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(M_VonMises));
for k = 1:length(M_VonMises)
if M_VonMises(k) == MAX
plot3(X(k),Y(k),MAX,'ro')
end
end
hold off
}}
[[Archivo:9876.jpg|400px|thumb|center|Representación del punto máximo del campo escalar de Von Mises]]
El valor obtenido para la máxima tensión se puede ver representado con un punto rojo en la gráfica y es 1,2005.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-15T10:03:51Z

Juan Casteres: /* Análisis de \nabla \cdot \vec{u} */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano: 
<center><math>y≥\frac{|x|}{2}</math></center> 
Este plano limita la placa circular entre <math>\frac{\pi}{8}</math> y <math>\frac{7\pi}{8}</math> como podemos observar en la siguiente figura. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas:
<ol>1. El campo escalar temperatura: <math>T(x,y)=sin(x^2+(y−3)^2)</math>, expresado en coordenadas cartesianas 
2. El campo vectorial de desplazamientos: <math> \vec{u}(ρ, θ) =\frac {log (3 − ρ)} {2}\cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, expresado en coordenadas cilíndricas </ol>

Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones: 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 

[[Archivo:Representación_de_la_lámina_en_2D.png|400px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del sólido en dos dimensiones.]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/8:h:(7*pi)/8;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x^2 +(y−3)^2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:Representación_del_campo_escalar_temperatura.png|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel o equipotenciales son líneas que unen los puntos de igual magnitud física, tal que <center><math>T(X,Y)=cte.</math></center> Nos muestran de una forma muy visual la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:Curvas123.jpg|375px|center|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> por lo que se puede ver claramente que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. El gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. Viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

En esta imagen podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. Esto se debe a que el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, mientras que en las curvas de nivel no hay variación de temperatura. Por tanto, el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

[[Archivo:grad_15122023.jpg|500px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica de la ortogonalidad presente entre el gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
%Derivadas parciales
FX=2*X.*cos(X.^2+(Y-3).^2);
FY=(2*Y-6).*cos(X.^2+(Y-3).^2);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido. 
La transmisión de calor, así como cualquier otro fenómeno físico de transmisión, se puede describir mediante la ecuación diferencial para la propagación unidimensional, que viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
Donde <math>\psi</math> es el campo correspondiente al fenómeno físico, en este caso, el campo de la temperatura T, y <math>a</math> una constante característica de la situación física (<math>\kappa</math>).
 
En el caso particular del transporte (en termodinámica denominado conducción) de calor, la ecuación empleada para llevar a cabo su estudio, es la respectiva a la ley de Fourier. 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el 2º Principio de la Termodinámica sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío, al contrario que lo que nos indica el gradiente (dirección para ir de lo frío a lo caliente).
Por esta razón, el calor se desplaza en el sentido opuesto al que indica el gradiente. 

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2x \cdot cos[x^2+(y-3)^2] \vec i+ 2 \cdot (y-3) \cdot cos [x^2+(y-3)] \vec j</math></center>
 
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
 
[[Archivo:ap5_15122023_2.jpg|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Representación_del_campo_vectorial_u_sobre_la_placa.png|375px|thumb|right|Campo vectorial u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
<ol>1. Imagen de arriba a la izquierda: situación del sólido antes del desplazamiento. Coincide con la situación representada en el apartado 1.</ol>
<ol>2. Imagen de arriba a la derecha: situación del sólido después del desplazamiento. Observamos cómo ciertos puntos de la placa se han desplazado hacia abajo, justo la dirección a la que apuntan los vectores del campo vectorial representado en el apartado 4.</ol>
<ol>3. Imagen de abajo: imágenes 1 y 2 superpuestas. Se puede apreciar mejor la diferencia entre las dos situaciones.</ol> 

[[Archivo:Situación_de_la_placa_antes_y_después_del_desplazamiento.png|650px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide cuánto se expande o se contrae un cuerpo cuyas partículas están siendo desplazadas por una fuerza. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ})+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
[[Archivo:Representación_de_la_divergencia_en_2D.png|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:Representación_de_la_divergencia_en_3D.png|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);%Calcular en papel en cartesianas!!!!!
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Divergencia en 2D')
colorbar
view(2)
figure(14)
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Divergencia en 3D')
colorbar
view(3)
}}

==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a utilizar la matriz Hessiana y sacar las derivadas del campo:
Existen múltiples formas de calcular el máximo de una función. La más común es el empleo de derivadas parciales y el determinante de la matriz Hessiana. Para llevar a cabo este método, han de seguirse tres pasos:
<ol>1. Localización de los puntos críticos igualando a 0 las derivadas parciales 
2. Cálculo de las segundas derivadas y derivadas cruzadas 
3. Cálculo del determinante de la matriz Hessiana 
4. Estudio del signo que se obtiene al calcular el determinante y al sustituir los puntos en las derivadas. Dependiendo del signo de los resultados, los puntos críticos podrán ser máximos, mínimos o puntos de silla (puntos sin variación
</ol>

<center><math>H(u,v)=\left|\begin{matrix} \ f_{xx} & f_{xy} // f_{yx} & f_{yy} \end{matrix}\right|</math></center>

<center><math>Divergencia máxima = 0.4995</math> 
<math>Divergencia mínima = -0.3536</math></center>

{{matlab|codigo=
%Cálculo del máximo y el mínimo
divmax=max(max(div))
divmin=min(min(div))
}}

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 
[[Archivo:Roootacional.jpg|675px|thumb|center|Rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
[[Archivo:Maxrotacionales.jpg|675px|thumb|center|Puntos máximos de los rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_i_sigma_i_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_j_sigma_j_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 
[[Archivo:3D_k_sigma_k_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\z}</math>]]

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}
[[Archivo:2D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math> ]]
[[Archivo:3D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>]]

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m, sin embargo, previamente ha de crearse una matriz mediante un bucle for. De este modo, se dará un valor concreto a cada componente de la matriz en cada punto del mallado. Esto es, debido a que las componentes originales de la matriz <math>\sigma</math> son funciones, y por lo tanto, tendrán un valor diferente para cada punto del mallado.
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Mises
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}

Cabe destacar, que el comando eig genera dos matrices, una matriz v con los autovectores asociados a los autovalores (puestos en columnas), y otra matriz u diagonal construida a partir de dichos autovalores. Para la resolución de este apartado solo ha sido necesario hacer uso de la segunda.
==Representación de la Tensión de Von Mises==
A continuación se muestra tanto el código empleado, como la representación del campo escalar asociado a la matriz de Von Mises.
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}
[[Archivo:2D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones la tensión de Von Mises ]]
[[Archivo:3D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones la tensión de Von Mises]]

==Punto de mayor valor==
El estudio de la tensión máxima, puede ser de gran utilidad en diversos campos de la ingeniería, siendo la resistencia de materiales el más notorio, y es que esta magnitud indica qué parte de un sólido está siendo sometida al mayor estrés. Adicionalmente, como ya se ha mencionado en el anterior apartado, se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro), por lo que se podrá concluir, que el punto de mayor valor de la tensión de Von Mises será, con mucha probabilidad, el punto de rotura. A continuación, se muestra el caso concreto de nuestra lámina, en el que se puede ver representado dicho punto mediante un círculo rojo.
{{matlab|codigo=
%% Punto máximo Von Misses
figure(14)
surf(X,Y,M_VonMises)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('Von Mises en el plano X0Z')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(M_VonMises));
for k = 1:length(M_VonMises)
if M_VonMises(k) == MAX
plot3(X(k),Y(k),MAX,'ro')
end
end
hold off
}}
[[Archivo:9876.jpg|400px|thumb|center|Representación del punto máximo del campo escalar de Von Mises]]
El valor obtenido para la máxima tensión se puede ver representado con un punto rojo en la gráfica y es 1,2005.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-15T10:01:35Z

Juan Casteres: /* Análisis de \nabla \cdot \vec{u} */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano: 
<center><math>y≥\frac{|x|}{2}</math></center> 
Este plano limita la placa circular entre <math>\frac{\pi}{8}</math> y <math>\frac{7\pi}{8}</math> como podemos observar en la siguiente figura. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas:
<ol>1. El campo escalar temperatura: <math>T(x,y)=sin(x^2+(y−3)^2)</math>, expresado en coordenadas cartesianas 
2. El campo vectorial de desplazamientos: <math> \vec{u}(ρ, θ) =\frac {log (3 − ρ)} {2}\cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, expresado en coordenadas cilíndricas </ol>

Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones: 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 

[[Archivo:Representación_de_la_lámina_en_2D.png|400px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del sólido en dos dimensiones.]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/8:h:(7*pi)/8;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x^2 +(y−3)^2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:Representación_del_campo_escalar_temperatura.png|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel o equipotenciales son líneas que unen los puntos de igual magnitud física, tal que <center><math>T(X,Y)=cte.</math></center> Nos muestran de una forma muy visual la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:Curvas123.jpg|375px|center|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> por lo que se puede ver claramente que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. El gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. Viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

En esta imagen podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. Esto se debe a que el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, mientras que en las curvas de nivel no hay variación de temperatura. Por tanto, el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

[[Archivo:grad_15122023.jpg|500px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica de la ortogonalidad presente entre el gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
%Derivadas parciales
FX=2*X.*cos(X.^2+(Y-3).^2);
FY=(2*Y-6).*cos(X.^2+(Y-3).^2);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido. 
La transmisión de calor, así como cualquier otro fenómeno físico de transmisión, se puede describir mediante la ecuación diferencial para la propagación unidimensional, que viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
Donde <math>\psi</math> es el campo correspondiente al fenómeno físico, en este caso, el campo de la temperatura T, y <math>a</math> una constante característica de la situación física (<math>\kappa</math>).
 
En el caso particular del transporte (en termodinámica denominado conducción) de calor, la ecuación empleada para llevar a cabo su estudio, es la respectiva a la ley de Fourier. 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el 2º Principio de la Termodinámica sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío, al contrario que lo que nos indica el gradiente (dirección para ir de lo frío a lo caliente).
Por esta razón, el calor se desplaza en el sentido opuesto al que indica el gradiente. 

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2x \cdot cos[x^2+(y-3)^2] \vec i+ 2 \cdot (y-3) \cdot cos [x^2+(y-3)] \vec j</math></center>
 
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
 
[[Archivo:ap5_15122023_2.jpg|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Representación_del_campo_vectorial_u_sobre_la_placa.png|375px|thumb|right|Campo vectorial u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
<ol>1. Imagen de arriba a la izquierda: situación del sólido antes del desplazamiento. Coincide con la situación representada en el apartado 1.</ol>
<ol>2. Imagen de arriba a la derecha: situación del sólido después del desplazamiento. Observamos cómo ciertos puntos de la placa se han desplazado hacia abajo, justo la dirección a la que apuntan los vectores del campo vectorial representado en el apartado 4.</ol>
<ol>3. Imagen de abajo: imágenes 1 y 2 superpuestas. Se puede apreciar mejor la diferencia entre las dos situaciones.</ol> 

[[Archivo:Situación_de_la_placa_antes_y_después_del_desplazamiento.png|650px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide cuánto se expande o se contrae un cuerpo cuyas partículas están siendo desplazadas por una fuerza. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ})+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
[[Archivo:Representación_de_la_divergencia_en_2D.png|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:Representación_de_la_divergencia_en_3D.png|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);%Calcular en papel en cartesianas!!!!!
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Divergencia en 2D')
colorbar
view(2)
figure(14)
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Divergencia en 3D')
colorbar
view(3)
}}

==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a utilizar la matriz Hessiana y sacar las derivadas del campo:
Existen múltiples formas de calcular el máximo de una función. La más común es el empleo de derivadas parciales y el determinante de la matriz Hessiana. Para llevar a cabo este método, han de seguirse tres pasos:
<ol>1. Localización de los puntos críticos igualando a 0 las derivadas parciales 
2. Cálculo de las segundas derivadas y derivadas cruzadas 
3. Cálculo del determinante de la matriz Hessiana 
</ol>

<center><math>H(u,v)=\left|\begin{matrix} \ f_{xx} & f_{xy} // f_{yx} & f_{yy} \end{matrix}\right|</math></center>

<center><math>Divergencia máxima = 0.4995</math> 
<math>Divergencia mínima = -0.3536</math></center>

{{matlab|codigo=
%Cálculo del máximo y el mínimo
divmax=max(max(div))
divmin=min(min(div))
}}

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 
[[Archivo:Roootacional.jpg|675px|thumb|center|Rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
[[Archivo:Maxrotacionales.jpg|675px|thumb|center|Puntos máximos de los rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_i_sigma_i_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_j_sigma_j_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 
[[Archivo:3D_k_sigma_k_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\z}</math>]]

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}
[[Archivo:2D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math> ]]
[[Archivo:3D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>]]

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m, sin embargo, previamente ha de crearse una matriz mediante un bucle for. De este modo, se dará un valor concreto a cada componente de la matriz en cada punto del mallado. Esto es, debido a que las componentes originales de la matriz <math>\sigma</math> son funciones, y por lo tanto, tendrán un valor diferente para cada punto del mallado.
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Mises
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}

Cabe destacar, que el comando eig genera dos matrices, una matriz v con los autovectores asociados a los autovalores (puestos en columnas), y otra matriz u diagonal construida a partir de dichos autovalores. Para la resolución de este apartado solo ha sido necesario hacer uso de la segunda.
==Representación de la Tensión de Von Mises==
A continuación se muestra tanto el código empleado, como la representación del campo escalar asociado a la matriz de Von Mises.
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}
[[Archivo:2D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones la tensión de Von Mises ]]
[[Archivo:3D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones la tensión de Von Mises]]

==Punto de mayor valor==
El estudio de la tensión máxima, puede ser de gran utilidad en diversos campos de la ingeniería, siendo la resistencia de materiales el más notorio, y es que esta magnitud indica qué parte de un sólido está siendo sometida al mayor estrés. Adicionalmente, como ya se ha mencionado en el anterior apartado, se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro), por lo que se podrá concluir, que el punto de mayor valor de la tensión de Von Mises será, con mucha probabilidad, el punto de rotura. A continuación, se muestra el caso concreto de nuestra lámina, en el que se puede ver representado dicho punto mediante un círculo rojo.
{{matlab|codigo=
%% Punto máximo Von Misses
figure(14)
surf(X,Y,M_VonMises)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('Von Mises en el plano X0Z')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(M_VonMises));
for k = 1:length(M_VonMises)
if M_VonMises(k) == MAX
plot3(X(k),Y(k),MAX,'ro')
end
end
hold off
}}
[[Archivo:9876.jpg|400px|thumb|center|Representación del punto máximo del campo escalar de Von Mises]]
El valor obtenido para la máxima tensión se puede ver representado con un punto rojo en la gráfica y es 1,2005.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-15T10:01:01Z

Juan Casteres: /* Análisis de \nabla \cdot \vec{u} */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano: 
<center><math>y≥\frac{|x|}{2}</math></center> 
Este plano limita la placa circular entre <math>\frac{\pi}{8}</math> y <math>\frac{7\pi}{8}</math> como podemos observar en la siguiente figura. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas:
<ol>1. El campo escalar temperatura: <math>T(x,y)=sin(x^2+(y−3)^2)</math>, expresado en coordenadas cartesianas 
2. El campo vectorial de desplazamientos: <math> \vec{u}(ρ, θ) =\frac {log (3 − ρ)} {2}\cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, expresado en coordenadas cilíndricas </ol>

Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones: 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 

[[Archivo:Representación_de_la_lámina_en_2D.png|400px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del sólido en dos dimensiones.]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/8:h:(7*pi)/8;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x^2 +(y−3)^2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:Representación_del_campo_escalar_temperatura.png|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel o equipotenciales son líneas que unen los puntos de igual magnitud física, tal que <center><math>T(X,Y)=cte.</math></center> Nos muestran de una forma muy visual la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:Curvas123.jpg|375px|center|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> por lo que se puede ver claramente que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. El gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. Viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

En esta imagen podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. Esto se debe a que el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, mientras que en las curvas de nivel no hay variación de temperatura. Por tanto, el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

[[Archivo:grad_15122023.jpg|500px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica de la ortogonalidad presente entre el gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
%Derivadas parciales
FX=2*X.*cos(X.^2+(Y-3).^2);
FY=(2*Y-6).*cos(X.^2+(Y-3).^2);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido. 
La transmisión de calor, así como cualquier otro fenómeno físico de transmisión, se puede describir mediante la ecuación diferencial para la propagación unidimensional, que viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
Donde <math>\psi</math> es el campo correspondiente al fenómeno físico, en este caso, el campo de la temperatura T, y <math>a</math> una constante característica de la situación física (<math>\kappa</math>).
 
En el caso particular del transporte (en termodinámica denominado conducción) de calor, la ecuación empleada para llevar a cabo su estudio, es la respectiva a la ley de Fourier. 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el 2º Principio de la Termodinámica sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío, al contrario que lo que nos indica el gradiente (dirección para ir de lo frío a lo caliente).
Por esta razón, el calor se desplaza en el sentido opuesto al que indica el gradiente. 

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2x \cdot cos[x^2+(y-3)^2] \vec i+ 2 \cdot (y-3) \cdot cos [x^2+(y-3)] \vec j</math></center>
 
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
 
[[Archivo:ap5_15122023_2.jpg|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Representación_del_campo_vectorial_u_sobre_la_placa.png|375px|thumb|right|Campo vectorial u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
<ol>1. Imagen de arriba a la izquierda: situación del sólido antes del desplazamiento. Coincide con la situación representada en el apartado 1.</ol>
<ol>2. Imagen de arriba a la derecha: situación del sólido después del desplazamiento. Observamos cómo ciertos puntos de la placa se han desplazado hacia abajo, justo la dirección a la que apuntan los vectores del campo vectorial representado en el apartado 4.</ol>
<ol>3. Imagen de abajo: imágenes 1 y 2 superpuestas. Se puede apreciar mejor la diferencia entre las dos situaciones.</ol> 

[[Archivo:Situación_de_la_placa_antes_y_después_del_desplazamiento.png|650px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide cuánto se expande o se contrae un cuerpo cuyas partículas están siendo desplazadas por una fuerza. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ})+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
[[Archivo:Representación_de_la_divergencia_en_2D.png|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:Representación_de_la_divergencia_en_3D.png|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);%Calcular en papel en cartesianas!!!!!
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Divergencia en 2D')
colorbar
view(2)
figure(14)
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Divergencia en 3D')
colorbar
view(3)
}}

==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a utilizar la matriz Hessiana y sacar las derivadas del campo:
Existen múltiples formas de calcular el máximo de una función. La más común es el empleo de derivadas parciales y el determinante de la matriz Hessiana. Para llevar a cabo este método, han de seguirse tres pasos:
<ol>Localización de los puntos críticos igualando a 0 las derivadas parciales 
Cálculo de las segundas derivadas y derivadas cruzadas 
Cálculo del determinante de la matriz Hessiana 
</ol>

<center><math>H(u,v)=\left|\begin{matrix} \ f_{xx} & f_{xy} // f_{yx} & f_{yy} \end{matrix}\right|</math></center>

<center><math>Divergencia máxima = 0.4995</math> 
<math>Divergencia mínima = -0.3536</math></center>

{{matlab|codigo=
%Cálculo del máximo y el mínimo
divmax=max(max(div))
divmin=min(min(div))
}}

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 
[[Archivo:Roootacional.jpg|675px|thumb|center|Rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
[[Archivo:Maxrotacionales.jpg|675px|thumb|center|Puntos máximos de los rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_i_sigma_i_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_j_sigma_j_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 
[[Archivo:3D_k_sigma_k_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\z}</math>]]

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}
[[Archivo:2D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math> ]]
[[Archivo:3D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>]]

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m, sin embargo, previamente ha de crearse una matriz mediante un bucle for. De este modo, se dará un valor concreto a cada componente de la matriz en cada punto del mallado. Esto es, debido a que las componentes originales de la matriz <math>\sigma</math> son funciones, y por lo tanto, tendrán un valor diferente para cada punto del mallado.
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Mises
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}

Cabe destacar, que el comando eig genera dos matrices, una matriz v con los autovectores asociados a los autovalores (puestos en columnas), y otra matriz u diagonal construida a partir de dichos autovalores. Para la resolución de este apartado solo ha sido necesario hacer uso de la segunda.
==Representación de la Tensión de Von Mises==
A continuación se muestra tanto el código empleado, como la representación del campo escalar asociado a la matriz de Von Mises.
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}
[[Archivo:2D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones la tensión de Von Mises ]]
[[Archivo:3D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones la tensión de Von Mises]]

==Punto de mayor valor==
El estudio de la tensión máxima, puede ser de gran utilidad en diversos campos de la ingeniería, siendo la resistencia de materiales el más notorio, y es que esta magnitud indica qué parte de un sólido está siendo sometida al mayor estrés. Adicionalmente, como ya se ha mencionado en el anterior apartado, se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro), por lo que se podrá concluir, que el punto de mayor valor de la tensión de Von Mises será, con mucha probabilidad, el punto de rotura. A continuación, se muestra el caso concreto de nuestra lámina, en el que se puede ver representado dicho punto mediante un círculo rojo.
{{matlab|codigo=
%% Punto máximo Von Misses
figure(14)
surf(X,Y,M_VonMises)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('Von Mises en el plano X0Z')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(M_VonMises));
for k = 1:length(M_VonMises)
if M_VonMises(k) == MAX
plot3(X(k),Y(k),MAX,'ro')
end
end
hold off
}}
[[Archivo:9876.jpg|400px|thumb|center|Representación del punto máximo del campo escalar de Von Mises]]
El valor obtenido para la máxima tensión se puede ver representado con un punto rojo en la gráfica y es 1,2005.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-15T09:57:19Z

Juan Casteres: /* Análisis de \nabla \cdot \vec{u} */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano: 
<center><math>y≥\frac{|x|}{2}</math></center> 
Este plano limita la placa circular entre <math>\frac{\pi}{8}</math> y <math>\frac{7\pi}{8}</math> como podemos observar en la siguiente figura. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas:
<ol>1. El campo escalar temperatura: <math>T(x,y)=sin(x^2+(y−3)^2)</math>, expresado en coordenadas cartesianas 
2. El campo vectorial de desplazamientos: <math> \vec{u}(ρ, θ) =\frac {log (3 − ρ)} {2}\cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, expresado en coordenadas cilíndricas </ol>

Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones: 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 

[[Archivo:Representación_de_la_lámina_en_2D.png|400px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del sólido en dos dimensiones.]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/8:h:(7*pi)/8;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x^2 +(y−3)^2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:Representación_del_campo_escalar_temperatura.png|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel o equipotenciales son líneas que unen los puntos de igual magnitud física, tal que <center><math>T(X,Y)=cte.</math></center> Nos muestran de una forma muy visual la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:Curvas123.jpg|375px|center|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> por lo que se puede ver claramente que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. El gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. Viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

En esta imagen podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. Esto se debe a que el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, mientras que en las curvas de nivel no hay variación de temperatura. Por tanto, el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

[[Archivo:grad_15122023.jpg|500px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica de la ortogonalidad presente entre el gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
%Derivadas parciales
FX=2*X.*cos(X.^2+(Y-3).^2);
FY=(2*Y-6).*cos(X.^2+(Y-3).^2);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido. 
La transmisión de calor, así como cualquier otro fenómeno físico de transmisión, se puede describir mediante la ecuación diferencial para la propagación unidimensional, que viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
Donde <math>\psi</math> es el campo correspondiente al fenómeno físico, en este caso, el campo de la temperatura T, y <math>a</math> una constante característica de la situación física (<math>\kappa</math>).
 
En el caso particular del transporte (en termodinámica denominado conducción) de calor, la ecuación empleada para llevar a cabo su estudio, es la respectiva a la ley de Fourier. 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el 2º Principio de la Termodinámica sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío, al contrario que lo que nos indica el gradiente (dirección para ir de lo frío a lo caliente).
Por esta razón, el calor se desplaza en el sentido opuesto al que indica el gradiente. 

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2x \cdot cos[x^2+(y-3)^2] \vec i+ 2 \cdot (y-3) \cdot cos [x^2+(y-3)] \vec j</math></center>
 
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
 
[[Archivo:ap5_15122023_2.jpg|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Representación_del_campo_vectorial_u_sobre_la_placa.png|375px|thumb|right|Campo vectorial u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
<ol>1. Imagen de arriba a la izquierda: situación del sólido antes del desplazamiento. Coincide con la situación representada en el apartado 1.</ol>
<ol>2. Imagen de arriba a la derecha: situación del sólido después del desplazamiento. Observamos cómo ciertos puntos de la placa se han desplazado hacia abajo, justo la dirección a la que apuntan los vectores del campo vectorial representado en el apartado 4.</ol>
<ol>3. Imagen de abajo: imágenes 1 y 2 superpuestas. Se puede apreciar mejor la diferencia entre las dos situaciones.</ol> 

[[Archivo:Situación_de_la_placa_antes_y_después_del_desplazamiento.png|650px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide cuánto se expande o se contrae un cuerpo cuyas partículas están siendo desplazadas por una fuerza. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ})+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
[[Archivo:Representación_de_la_divergencia_en_2D.png|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:Representación_de_la_divergencia_en_3D.png|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);%Calcular en papel en cartesianas!!!!!
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Divergencia en 2D')
colorbar
view(2)
figure(14)
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Divergencia en 3D')
colorbar
view(3)
}}

==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a utilizar la matriz Hessiana y sacar las derivadas del campo:
Existen múltiples formas de calcular el máximo de una función. La más común es el empleo de derivadas parciales y el determinante de la matriz Hessiana. Para llevar a cabo este método, han de seguirse tres pasos:
<ol>En primer lugar se encontrarán
<center><math>H(u,v)=\left|\begin{matrix} \ f_{xx} & f_{xy} // f_{xy} & f_{yy} \end{matrix}\right|</math></center>

<center><math>Divergencia máxima = 0.4995</math> 
<math>Divergencia mínima = -0.3536</math></center>

{{matlab|codigo=
%Cálculo del máximo y el mínimo
divmax=max(max(div))
divmin=min(min(div))
}}

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 
[[Archivo:Roootacional.jpg|675px|thumb|center|Rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
[[Archivo:Maxrotacionales.jpg|675px|thumb|center|Puntos máximos de los rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_i_sigma_i_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_j_sigma_j_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 
[[Archivo:3D_k_sigma_k_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\z}</math>]]

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}
[[Archivo:2D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math> ]]
[[Archivo:3D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>]]

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m, sin embargo, previamente ha de crearse una matriz mediante un bucle for. De este modo, se dará un valor concreto a cada componente de la matriz en cada punto del mallado. Esto es, debido a que las componentes originales de la matriz <math>\sigma</math> son funciones, y por lo tanto, tendrán un valor diferente para cada punto del mallado.
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Mises
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}

Cabe destacar, que el comando eig genera dos matrices, una matriz v con los autovectores asociados a los autovalores (puestos en columnas), y otra matriz u diagonal construida a partir de dichos autovalores. Para la resolución de este apartado solo ha sido necesario hacer uso de la segunda.
==Representación de la Tensión de Von Mises==
A continuación se muestra tanto el código empleado, como la representación del campo escalar asociado a la matriz de Von Mises.
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}
[[Archivo:2D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones la tensión de Von Mises ]]
[[Archivo:3D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones la tensión de Von Mises]]

==Punto de mayor valor==
El estudio de la tensión máxima, puede ser de gran utilidad en diversos campos de la ingeniería, siendo la resistencia de materiales el más notorio, y es que esta magnitud indica qué parte de un sólido está siendo sometida al mayor estrés. Adicionalmente, como ya se ha mencionado en el anterior apartado, se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro), por lo que se podrá concluir, que el punto de mayor valor de la tensión de Von Mises será, con mucha probabilidad, el punto de rotura. A continuación, se muestra el caso concreto de nuestra lámina, en el que se puede ver representado dicho punto mediante un círculo rojo.
{{matlab|codigo=
%% Punto máximo Von Misses
figure(14)
surf(X,Y,M_VonMises)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('Von Mises en el plano X0Z')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(M_VonMises));
for k = 1:length(M_VonMises)
if M_VonMises(k) == MAX
plot3(X(k),Y(k),MAX,'ro')
end
end
hold off
}}
[[Archivo:9876.jpg|400px|thumb|center|Representación del punto máximo del campo escalar de Von Mises]]
El valor obtenido para la máxima tensión se puede ver representado con un punto rojo en la gráfica y es 1,2005.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-15T09:53:06Z

Juan Casteres: /* Análisis de \nabla \cdot \vec{u} */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano: 
<center><math>y≥\frac{|x|}{2}</math></center> 
Este plano limita la placa circular entre <math>\frac{\pi}{8}</math> y <math>\frac{7\pi}{8}</math> como podemos observar en la siguiente figura. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas:
<ol>1. El campo escalar temperatura: <math>T(x,y)=sin(x^2+(y−3)^2)</math>, expresado en coordenadas cartesianas 
2. El campo vectorial de desplazamientos: <math> \vec{u}(ρ, θ) =\frac {log (3 − ρ)} {2}\cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, expresado en coordenadas cilíndricas </ol>

Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones: 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 

[[Archivo:Representación_de_la_lámina_en_2D.png|400px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del sólido en dos dimensiones.]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/8:h:(7*pi)/8;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x^2 +(y−3)^2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:Representación_del_campo_escalar_temperatura.png|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel o equipotenciales son líneas que unen los puntos de igual magnitud física, tal que <center><math>T(X,Y)=cte.</math></center> Nos muestran de una forma muy visual la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:Curvas123.jpg|375px|center|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> por lo que se puede ver claramente que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. El gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. Viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

En esta imagen podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. Esto se debe a que el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, mientras que en las curvas de nivel no hay variación de temperatura. Por tanto, el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

[[Archivo:grad_15122023.jpg|500px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica de la ortogonalidad presente entre el gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
%Derivadas parciales
FX=2*X.*cos(X.^2+(Y-3).^2);
FY=(2*Y-6).*cos(X.^2+(Y-3).^2);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido. 
La transmisión de calor, así como cualquier otro fenómeno físico de transmisión, se puede describir mediante la ecuación diferencial para la propagación unidimensional, que viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
Donde <math>\psi</math> es el campo correspondiente al fenómeno físico, en este caso, el campo de la temperatura T, y <math>a</math> una constante característica de la situación física (<math>\kappa</math>).
 
En el caso particular del transporte (en termodinámica denominado conducción) de calor, la ecuación empleada para llevar a cabo su estudio, es la respectiva a la ley de Fourier. 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el 2º Principio de la Termodinámica sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío, al contrario que lo que nos indica el gradiente (dirección para ir de lo frío a lo caliente).
Por esta razón, el calor se desplaza en el sentido opuesto al que indica el gradiente. 

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2x \cdot cos[x^2+(y-3)^2] \vec i+ 2 \cdot (y-3) \cdot cos [x^2+(y-3)] \vec j</math></center>
 
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
 
[[Archivo:ap5_15122023_2.jpg|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Representación_del_campo_vectorial_u_sobre_la_placa.png|375px|thumb|right|Campo vectorial u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
<ol>1. Imagen de arriba a la izquierda: situación del sólido antes del desplazamiento. Coincide con la situación representada en el apartado 1.</ol>
<ol>2. Imagen de arriba a la derecha: situación del sólido después del desplazamiento. Observamos cómo ciertos puntos de la placa se han desplazado hacia abajo, justo la dirección a la que apuntan los vectores del campo vectorial representado en el apartado 4.</ol>
<ol>3. Imagen de abajo: imágenes 1 y 2 superpuestas. Se puede apreciar mejor la diferencia entre las dos situaciones.</ol> 

[[Archivo:Situación_de_la_placa_antes_y_después_del_desplazamiento.png|650px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide cuánto se expande o se contrae un cuerpo cuyas partículas están siendo desplazadas por una fuerza. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ})+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
[[Archivo:Representación_de_la_divergencia_en_2D.png|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:Representación_de_la_divergencia_en_3D.png|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);%Calcular en papel en cartesianas!!!!!
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Divergencia en 2D')
colorbar
view(2)
figure(14)
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Divergencia en 3D')
colorbar
view(3)
}}

==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a utilizar la matriz Hessiana y sacar las derivadas del campo:
<center><math>H(u,v)=|\begin{matrix} \ f_{xx} & f_{xy} // f_{xy} & f_{yy} \end{matrix}right|</math></center>

<center><math>Divergencia máxima = 0.4995</math> 
<math>Divergencia mínima = -0.3536</math></center>

{{matlab|codigo=
%Cálculo del máximo y el mínimo
divmax=max(max(div))
divmin=min(min(div))
}}

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 
[[Archivo:Roootacional.jpg|675px|thumb|center|Rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
[[Archivo:Maxrotacionales.jpg|675px|thumb|center|Puntos máximos de los rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_i_sigma_i_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_j_sigma_j_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 
[[Archivo:3D_k_sigma_k_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\z}</math>]]

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}
[[Archivo:2D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math> ]]
[[Archivo:3D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>]]

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m, sin embargo, previamente ha de crearse una matriz mediante un bucle for. De este modo, se dará un valor concreto a cada componente de la matriz en cada punto del mallado. Esto es, debido a que las componentes originales de la matriz <math>\sigma</math> son funciones, y por lo tanto, tendrán un valor diferente para cada punto del mallado.
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Mises
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}

Cabe destacar, que el comando eig genera dos matrices, una matriz v con los autovectores asociados a los autovalores (puestos en columnas), y otra matriz u diagonal construida a partir de dichos autovalores. Para la resolución de este apartado solo ha sido necesario hacer uso de la segunda.
==Representación de la Tensión de Von Mises==
A continuación se muestra tanto el código empleado, como la representación del campo escalar asociado a la matriz de Von Mises.
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}
[[Archivo:2D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones la tensión de Von Mises ]]
[[Archivo:3D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones la tensión de Von Mises]]

==Punto de mayor valor==
El estudio de la tensión máxima, puede ser de gran utilidad en diversos campos de la ingeniería, siendo la resistencia de materiales el más notorio, y es que esta magnitud indica qué parte de un sólido está siendo sometida al mayor estrés. Adicionalmente, como ya se ha mencionado en el anterior apartado, se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro), por lo que se podrá concluir, que el punto de mayor valor de la tensión de Von Mises será, con mucha probabilidad, el punto de rotura. A continuación, se muestra el caso concreto de nuestra lámina, en el que se puede ver representado dicho punto mediante un círculo rojo.
{{matlab|codigo=
%% Punto máximo Von Misses
figure(14)
surf(X,Y,M_VonMises)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('Von Mises en el plano X0Z')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(M_VonMises));
for k = 1:length(M_VonMises)
if M_VonMises(k) == MAX
plot3(X(k),Y(k),MAX,'ro')
end
end
hold off
}}
[[Archivo:9876.jpg|400px|thumb|center|Representación del punto máximo del campo escalar de Von Mises]]
El valor obtenido para la máxima tensión se puede ver representado con un punto rojo en la gráfica y es 1,2005.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-15T09:52:23Z

Juan Casteres: /* Análisis de \nabla \cdot \vec{u} */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano: 
<center><math>y≥\frac{|x|}{2}</math></center> 
Este plano limita la placa circular entre <math>\frac{\pi}{8}</math> y <math>\frac{7\pi}{8}</math> como podemos observar en la siguiente figura. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas:
<ol>1. El campo escalar temperatura: <math>T(x,y)=sin(x^2+(y−3)^2)</math>, expresado en coordenadas cartesianas 
2. El campo vectorial de desplazamientos: <math> \vec{u}(ρ, θ) =\frac {log (3 − ρ)} {2}\cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, expresado en coordenadas cilíndricas </ol>

Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones: 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 

[[Archivo:Representación_de_la_lámina_en_2D.png|400px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del sólido en dos dimensiones.]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/8:h:(7*pi)/8;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x^2 +(y−3)^2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:Representación_del_campo_escalar_temperatura.png|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel o equipotenciales son líneas que unen los puntos de igual magnitud física, tal que <center><math>T(X,Y)=cte.</math></center> Nos muestran de una forma muy visual la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:Curvas123.jpg|375px|center|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> por lo que se puede ver claramente que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. El gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. Viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

En esta imagen podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. Esto se debe a que el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, mientras que en las curvas de nivel no hay variación de temperatura. Por tanto, el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

[[Archivo:grad_15122023.jpg|500px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica de la ortogonalidad presente entre el gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
%Derivadas parciales
FX=2*X.*cos(X.^2+(Y-3).^2);
FY=(2*Y-6).*cos(X.^2+(Y-3).^2);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido. 
La transmisión de calor, así como cualquier otro fenómeno físico de transmisión, se puede describir mediante la ecuación diferencial para la propagación unidimensional, que viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
Donde <math>\psi</math> es el campo correspondiente al fenómeno físico, en este caso, el campo de la temperatura T, y <math>a</math> una constante característica de la situación física (<math>\kappa</math>).
 
En el caso particular del transporte (en termodinámica denominado conducción) de calor, la ecuación empleada para llevar a cabo su estudio, es la respectiva a la ley de Fourier. 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el 2º Principio de la Termodinámica sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío, al contrario que lo que nos indica el gradiente (dirección para ir de lo frío a lo caliente).
Por esta razón, el calor se desplaza en el sentido opuesto al que indica el gradiente. 

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2x \cdot cos[x^2+(y-3)^2] \vec i+ 2 \cdot (y-3) \cdot cos [x^2+(y-3)] \vec j</math></center>
 
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
 
[[Archivo:ap5_15122023_2.jpg|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Representación_del_campo_vectorial_u_sobre_la_placa.png|375px|thumb|right|Campo vectorial u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
<ol>1. Imagen de arriba a la izquierda: situación del sólido antes del desplazamiento. Coincide con la situación representada en el apartado 1.</ol>
<ol>2. Imagen de arriba a la derecha: situación del sólido después del desplazamiento. Observamos cómo ciertos puntos de la placa se han desplazado hacia abajo, justo la dirección a la que apuntan los vectores del campo vectorial representado en el apartado 4.</ol>
<ol>3. Imagen de abajo: imágenes 1 y 2 superpuestas. Se puede apreciar mejor la diferencia entre las dos situaciones.</ol> 

[[Archivo:Situación_de_la_placa_antes_y_después_del_desplazamiento.png|650px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide cuánto se expande o se contrae un cuerpo cuyas partículas están siendo desplazadas por una fuerza. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ})+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
[[Archivo:Representación_de_la_divergencia_en_2D.png|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:Representación_de_la_divergencia_en_3D.png|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);%Calcular en papel en cartesianas!!!!!
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Divergencia en 2D')
colorbar
view(2)
figure(14)
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Divergencia en 3D')
colorbar
view(3)
}}

==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a utilizar la matriz Hessiana y sacar las derivadas del campo:
<center>H(u,v)=|\begin{matrix} \ f_{xx} & f_{xy} // f_{xy} & f_{yy} \end{matrix}\right|</center>

<center><math>Divergencia máxima = 0.4995</math> 
<math>Divergencia mínima = -0.3536</math></center>

{{matlab|codigo=
%Cálculo del máximo y el mínimo
divmax=max(max(div))
divmin=min(min(div))
}}

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 
[[Archivo:Roootacional.jpg|675px|thumb|center|Rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
[[Archivo:Maxrotacionales.jpg|675px|thumb|center|Puntos máximos de los rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_i_sigma_i_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_j_sigma_j_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 
[[Archivo:3D_k_sigma_k_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\z}</math>]]

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}
[[Archivo:2D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math> ]]
[[Archivo:3D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>]]

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m, sin embargo, previamente ha de crearse una matriz mediante un bucle for. De este modo, se dará un valor concreto a cada componente de la matriz en cada punto del mallado. Esto es, debido a que las componentes originales de la matriz <math>\sigma</math> son funciones, y por lo tanto, tendrán un valor diferente para cada punto del mallado.
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Mises
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}

Cabe destacar, que el comando eig genera dos matrices, una matriz v con los autovectores asociados a los autovalores (puestos en columnas), y otra matriz u diagonal construida a partir de dichos autovalores. Para la resolución de este apartado solo ha sido necesario hacer uso de la segunda.
==Representación de la Tensión de Von Mises==
A continuación se muestra tanto el código empleado, como la representación del campo escalar asociado a la matriz de Von Mises.
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}
[[Archivo:2D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones la tensión de Von Mises ]]
[[Archivo:3D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones la tensión de Von Mises]]

==Punto de mayor valor==
El estudio de la tensión máxima, puede ser de gran utilidad en diversos campos de la ingeniería, siendo la resistencia de materiales el más notorio, y es que esta magnitud indica qué parte de un sólido está siendo sometida al mayor estrés. Adicionalmente, como ya se ha mencionado en el anterior apartado, se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro), por lo que se podrá concluir, que el punto de mayor valor de la tensión de Von Mises será, con mucha probabilidad, el punto de rotura. A continuación, se muestra el caso concreto de nuestra lámina, en el que se puede ver representado dicho punto mediante un círculo rojo.
{{matlab|codigo=
%% Punto máximo Von Misses
figure(14)
surf(X,Y,M_VonMises)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('Von Mises en el plano X0Z')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(M_VonMises));
for k = 1:length(M_VonMises)
if M_VonMises(k) == MAX
plot3(X(k),Y(k),MAX,'ro')
end
end
hold off
}}
[[Archivo:9876.jpg|400px|thumb|center|Representación del punto máximo del campo escalar de Von Mises]]
El valor obtenido para la máxima tensión se puede ver representado con un punto rojo en la gráfica y es 1,2005.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-15T09:44:17Z

Juan Casteres: /* Análisis de \nabla \cdot \vec{u} */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano: 
<center><math>y≥\frac{|x|}{2}</math></center> 
Este plano limita la placa circular entre <math>\frac{\pi}{8}</math> y <math>\frac{7\pi}{8}</math> como podemos observar en la siguiente figura. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas:
<ol>1. El campo escalar temperatura: <math>T(x,y)=sin(x^2+(y−3)^2)</math>, expresado en coordenadas cartesianas 
2. El campo vectorial de desplazamientos: <math> \vec{u}(ρ, θ) =\frac {log (3 − ρ)} {2}\cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, expresado en coordenadas cilíndricas </ol>

Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones: 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 

[[Archivo:Representación_de_la_lámina_en_2D.png|400px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del sólido en dos dimensiones.]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/8:h:(7*pi)/8;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x^2 +(y−3)^2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:Representación_del_campo_escalar_temperatura.png|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel o equipotenciales son líneas que unen los puntos de igual magnitud física, tal que <center><math>T(X,Y)=cte.</math></center> Nos muestran de una forma muy visual la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:Curvas123.jpg|375px|center|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> por lo que se puede ver claramente que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. El gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. Viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

En esta imagen podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. Esto se debe a que el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, mientras que en las curvas de nivel no hay variación de temperatura. Por tanto, el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

[[Archivo:grad_15122023.jpg|500px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica de la ortogonalidad presente entre el gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
%Derivadas parciales
FX=2*X.*cos(X.^2+(Y-3).^2);
FY=(2*Y-6).*cos(X.^2+(Y-3).^2);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido. 
La transmisión de calor, así como cualquier otro fenómeno físico de transmisión, se puede describir mediante la ecuación diferencial para la propagación unidimensional, que viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
Donde <math>\psi</math> es el campo correspondiente al fenómeno físico, en este caso, el campo de la temperatura T, y <math>a</math> una constante característica de la situación física (<math>\kappa</math>).
 
En el caso particular del transporte (en termodinámica denominado conducción) de calor, la ecuación empleada para llevar a cabo su estudio, es la respectiva a la ley de Fourier. 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el 2º Principio de la Termodinámica sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío, al contrario que lo que nos indica el gradiente (dirección para ir de lo frío a lo caliente).
Por esta razón, el calor se desplaza en el sentido opuesto al que indica el gradiente. 

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2x \cdot cos[x^2+(y-3)^2] \vec i+ 2 \cdot (y-3) \cdot cos [x^2+(y-3)] \vec j</math></center>
 
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
 
[[Archivo:ap5_15122023_2.jpg|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Representación_del_campo_vectorial_u_sobre_la_placa.png|375px|thumb|right|Campo vectorial u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
<ol>1. Imagen de arriba a la izquierda: situación del sólido antes del desplazamiento. Coincide con la situación representada en el apartado 1.</ol>
<ol>2. Imagen de arriba a la derecha: situación del sólido después del desplazamiento. Observamos cómo ciertos puntos de la placa se han desplazado hacia abajo, justo la dirección a la que apuntan los vectores del campo vectorial representado en el apartado 4.</ol>
<ol>3. Imagen de abajo: imágenes 1 y 2 superpuestas. Se puede apreciar mejor la diferencia entre las dos situaciones.</ol> 

[[Archivo:Situación_de_la_placa_antes_y_después_del_desplazamiento.png|650px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide cuánto se expande o se contrae un cuerpo cuyas partículas están siendo desplazadas por una fuerza. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ})+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
[[Archivo:Representación_de_la_divergencia_en_2D.png|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:Representación_de_la_divergencia_en_3D.png|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);%Calcular en papel en cartesianas!!!!!
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Divergencia en 2D')
colorbar
view(2)
figure(14)
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Divergencia en 3D')
colorbar
view(3)
}}

==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a utilizar la matriz Hessiana y sacar las derivadas del campo:
<center><math>H(u,v)=|\begin{matrix} \frac{\partial^2}{\partial u^2}\cdot (\nabla\vec u) & \frac{\partial^2}{\partial u \cdot \partial v}\cdot \nabla\vec u \\ \frac{\partial^2}{\partial u \cdot \partial v}\cdot (\nabla\vec u) & \frac{\partial^2}{\partial v^2 }\cdot \nabla\vec {u} \end{matrix}\right|</math></center>

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 
[[Archivo:Roootacional.jpg|675px|thumb|center|Rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
[[Archivo:Maxrotacionales.jpg|675px|thumb|center|Puntos máximos de los rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_i_sigma_i_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_j_sigma_j_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 
[[Archivo:3D_k_sigma_k_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\z}</math>]]

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}
[[Archivo:2D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math> ]]
[[Archivo:3D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>]]

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m, sin embargo, previamente ha de crearse una matriz mediante un bucle for. De este modo, se dará un valor concreto a cada componente de la matriz en cada punto del mallado. Esto es, debido a que las componentes originales de la matriz <math>\sigma</math> son funciones, y por lo tanto, tendrán un valor diferente para cada punto del mallado.
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Mises
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}

Cabe destacar, que el comando eig genera dos matrices, una matriz v con los autovectores asociados a los autovalores (puestos en columnas), y otra matriz u diagonal construida a partir de dichos autovalores. Para la resolución de este apartado solo ha sido necesario hacer uso de la segunda.
==Representación de la Tensión de Von Mises==
A continuación se muestra tanto el código empleado, como la representación del campo escalar asociado a la matriz de Von Mises.
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}
[[Archivo:2D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones la tensión de Von Mises ]]
[[Archivo:3D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones la tensión de Von Mises]]

==Punto de mayor valor==
El estudio de la tensión máxima, puede ser de gran utilidad en diversos campos de la ingeniería, siendo la resistencia de materiales el más notorio, y es que esta magnitud indica qué parte de un sólido está siendo sometida al mayor estrés. Adicionalmente, como ya se ha mencionado en el anterior apartado, se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro), por lo que se podrá concluir, que el punto de mayor valor de la tensión de Von Mises será, con mucha probabilidad, el punto de rotura. A continuación, se muestra el caso concreto de nuestra lámina, en el que se puede ver representado dicho punto mediante un círculo rojo.
{{matlab|codigo=
%% Punto máximo Von Misses
figure(14)
surf(X,Y,M_VonMises)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('Von Mises en el plano X0Z')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(M_VonMises));
for k = 1:length(M_VonMises)
if M_VonMises(k) == MAX
plot3(X(k),Y(k),MAX,'ro')
end
end
hold off
}}
[[Archivo:9876.jpg|400px|thumb|center|Representación del punto máximo del campo escalar de Von Mises]]
El valor obtenido para la máxima tensión se puede ver representado con un punto rojo en la gráfica y es 1,2005.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-15T02:31:48Z

Juan Casteres:

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano: 
<center><math>y≥\frac{|x|}{2}</math></center> 
Este plano limita la placa circular entre <math>\frac{\pi}{8}</math> y <math>\frac{7\pi}{8}</math> como podemos observar en la siguiente figura. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas:
<ol>1. El campo escalar temperatura: <math>T(x,y)=sin(x^2+(y−3)^2)</math>, expresado en coordenadas cartesianas 
2. El campo vectorial de desplazamientos: <math> \vec{u}(ρ, θ) =\frac {log (3 − ρ)} {2}\cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, expresado en coordenadas cilíndricas </ol>

Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones: 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 

[[Archivo:Representación_de_la_lámina_en_2D.png|400px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del sólido en dos dimensiones.]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/8:h:(7*pi)/8;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x^2 +(y−3)^2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:Representación_del_campo_escalar_temperatura.png|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel son líneas que unen los puntos del mismo valor. Esto nos muestra de una forma muy visual de la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:Curvas123.jpg|375px|center|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> lo que nos da a entender que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. Sin embargo, introduciendo el campo escalar "T" y el paso "h" utilizado en apartados anteriores, el comando "gradient" nos lo calcula directamente. 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

En esta imagen podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. Esto se debe a que el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, mientras que en las curvas de nivel no hay variación de temperatura. Por tanto, el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

[[Archivo:Ortogonalidad_del_gradiente_frente_a_las_curvas_de_nivel.png|420px|miniaturadeimagen|right|Representación gráfica de la ortogonalidad presente entre el gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivada parcial respecto de X=Fx=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
%Derivada parcial respecto de Y=Fy=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido. 
La transmisión de calor, así como cualquier otro fenómeno físico de transmisión, se puede describir mediante la ecuación diferencial para la propagación unidimensional, que viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
Donde <math>\psi</math> es el campo correspondiente al fenómeno físico, en este caso, el campo de la temperatura T, y <math>a</math> una constante característica de la situación física (<math>\kappa</math>).
 
En el caso particular del transporte (en termodinámica denominado conducción) de calor, la ecuación empleada para llevar a cabo su estudio, es la respectiva a la ley de Fourier. 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el 2º Principio de la Termodinámica sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío.

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2x \cdot cos[x^2+(y-3)^2] \vec i+ 2 \cdot (y-3) \cdot cos [x^2+(y-3)] \vec j</math></center>
 
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
 
[[Archivo:Representación_de_la_Ley_de_Fourier.png|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Representación_del_campo_vectorial_u_sobre_la_placa.png|375px|thumb|right|Campo vectorial u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
<ol>1. Imagen de arriba a la izquierda: situación del sólido antes del desplazamiento. Coincide con la situación representada en el apartado 1.</ol>
<ol>2. Imagen de arriba a la derecha: situación del sólido después del desplazamiento. Observamos cómo ciertos puntos de la placa se han desplazado hacia abajo, justo la dirección a la que apuntan los vectores del campo vectorial representado en el apartado 4.</ol>
<ol>3. Imagen de abajo: imágenes 1 y 2 superpuestas. Se puede apreciar mejor la diferencia entre las dos situaciones.</ol> 

[[Archivo:Situación_de_la_placa_antes_y_después_del_desplazamiento.png|650px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ})+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
[[Archivo:divergenciia.jpg|400px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('divergencia')
colorbar
view(2)
}}
==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a utilizar la matriz Hessiana y sacar las derivadas del campo:
 
<center><math>H(u,v)=|\begin{matrix} \frac{\partial^2}{\partial u^2}\cdot (\nabla\vec u) & \frac{\partial^2}{\partial u \cdot \partial v}\cdot \nabla\vec u \\ \frac{\partial^2}{\partial u \cdot \partial v}\cdot (\nabla\vec u) & \frac{\partial^2}{\partial v^2 }\cdot \nabla\vec {u} \end{matrix}\right|</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial u}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{-cos(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3)^2 \cdot log(3-u)]}{2 \cdot (3-u)^2\cdot u^2}=0</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial v}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{sin(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3) \cdot log(3-u)]}{(3-u)\cdot u}=0</math></center>
 

==Representación del cambio de volumen==

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 
[[Archivo:Roootacional.jpg|675px|thumb|center|Rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
[[Archivo:Maxrotacionales.jpg|675px|thumb|center|Puntos máximos de los rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_i_sigma_i_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_j_sigma_j_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 
[[Archivo:3D_k_sigma_k_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\z}</math>]]

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}
[[Archivo:2D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math> ]]
[[Archivo:3D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>]]

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m, sin embargo, previamente ha de crearse una matriz mediante un bucle for. De este modo, se dará un valor concreto a cada componente de la matriz en cada punto del mallado. Esto es, debido a que las componentes originales de la matriz <math>\sigma</math> son funciones, y por lo tanto, tendrán un valor diferente para cada punto del mallado.
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Mises
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}

Cabe destacar, que el comando eig genera dos matrices, una matriz v con los autovectores asociados a los autovalores (puestos en columnas), y otra matriz u diagonal construida a partir de dichos autovalores. Para la resolución de este apartado solo ha sido necesario hacer uso de la segunda.
==Representación de la Tensión de Von Mises==
A continuación se muestra tanto el código empleado, como la representación del campo escalar asociado a la matriz de Von Mises.
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}
[[Archivo:2D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones la tensión de Von Mises ]]
[[Archivo:3D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones la tensión de Von Mises]]

==Punto de mayor valor==
El estudio de la tensión máxima, puede ser de gran utilidad en diversos campos de la ingeniería, siendo la resistencia de materiales el más notorio, y es que esta magnitud indica qué parte de un sólido está siendo sometida al mayor estrés. Adicionalmente, como ya se ha mencionado en el anterior apartado, se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro), por lo que se podrá concluir, que el punto de mayor valor de la tensión de Von Mises será, con mucha probabilidad, el punto de rotura. A continuación, se muestra el caso concreto de nuestra lámina, en el que se puede ver representado dicho punto mediante un círculo rojo.
{{matlab|codigo=
%% Punto máximo Von Misses
figure(14)
surf(X,Y,M_VonMises)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('Von Mises en el plano X0Z')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(M_VonMises));
for k = 1:length(M_VonMises)
if M_VonMises(k) == MAX
plot3(X(k),Y(k),MAX,'ro')
end
end
hold off
}}
[[Archivo:9876.jpg|400px|thumb|center|Representación del punto máximo del campo escalar de Von Mises]]
El valor obtenido para la máxima tensión se puede ver representado con un punto rojo en la gráfica y es 1,2005.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-15T02:30:39Z

Juan Casteres: /* Punto de mayor valor */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano: 
<center><math>y≥\frac{|x|}{2}</math></center> 
Este plano limita la placa circular entre <math>\frac{\pi}{8}</math> y <math>\frac{7\pi}{8}</math> como podemos observar en la siguiente figura. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas:
<ol>1. El campo escalar temperatura: <math>T(x,y)=sin(x^2+(y−3)^2)</math>, expresado en coordenadas cartesianas 
2. El campo vectorial de desplazamientos: <math> \vec{u}(ρ, θ) =\frac {log (3 − ρ)} {2}\cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, expresado en coordenadas cilíndricas </ol>

Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones: 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 

[[Archivo:Representación_de_la_lámina_en_2D.png|400px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del sólido en dos dimensiones.]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/8:h:(7*pi)/8;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x^2 +(y−3)^2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:Representación_del_campo_escalar_temperatura.png|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel son líneas que unen los puntos del mismo valor. Esto nos muestra de una forma muy visual de la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:Curvas123.jpg|375px|center|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> lo que nos da a entender que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. Sin embargo, introduciendo el campo escalar "T" y el paso "h" utilizado en apartados anteriores, el comando "gradient" nos lo calcula directamente. 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

En esta imagen podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. Esto se debe a que el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, mientras que en las curvas de nivel no hay variación de temperatura. Por tanto, el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

[[Archivo:Ortogonalidad_del_gradiente_frente_a_las_curvas_de_nivel.png|420px|miniaturadeimagen|right|Representación gráfica de la ortogonalidad presente entre el gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivada parcial respecto de X=Fx=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
%Derivada parcial respecto de Y=Fy=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido. 
La transmisión de calor, así como cualquier otro fenómeno físico de transmisión, se puede describir mediante la ecuación diferencial para la propagación unidimensional, que viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
Donde <math>\psi</math> es el campo correspondiente al fenómeno físico, en este caso, el campo de la temperatura T, y <math>a</math> una constante característica de la situación física (<math>\kappa</math>).
 
En el caso particular del transporte (en termodinámica denominado conducción) de calor, la ecuación empleada para llevar a cabo su estudio, es la respectiva a la ley de Fourier. 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el 2º Principio de la Termodinámica sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío.

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2x \cdot cos[x^2+(y-3)^2] \vec i+ 2 \cdot (y-3) \cdot cos [x^2+(y-3)] \vec j</math></center>
 
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
 
[[Archivo:Representación_de_la_Ley_de_Fourier.png|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Representación_del_campo_vectorial_u_sobre_la_placa.png|375px|thumb|right|Campo vectorial u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
<ol>1. Imagen de arriba a la izquierda: situación del sólido antes del desplazamiento. Coincide con la situación representada en el apartado 1.</ol>
<ol>2. Imagen de arriba a la derecha: situación del sólido después del desplazamiento. Observamos cómo ciertos puntos de la placa se han desplazado hacia abajo, justo la dirección a la que apuntan los vectores del campo vectorial representado en el apartado 4.</ol>
<ol>3. Imagen de abajo: imágenes 1 y 2 superpuestas. Se puede apreciar mejor la diferencia entre las dos situaciones.</ol> 

[[Archivo:Situación_de_la_placa_antes_y_después_del_desplazamiento.png|650px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ})+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
[[Archivo:divergenciia.jpg|400px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('divergencia')
colorbar
view(2)
}}
==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a utilizar la matriz Hessiana y sacar las derivadas del campo:
 
<center><math>H(u,v)=|\begin{matrix} \frac{\partial^2}{\partial u^2}\cdot (\nabla\vec u) & \frac{\partial^2}{\partial u \cdot \partial v}\cdot \nabla\vec u \\ \frac{\partial^2}{\partial u \cdot \partial v}\cdot (\nabla\vec u) & \frac{\partial^2}{\partial v^2 }\cdot \nabla\vec {u} \end{matrix}\right|</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial u}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{-cos(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3)^2 \cdot log(3-u)]}{2 \cdot (3-u)^2\cdot u^2}=0</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial v}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{sin(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3) \cdot log(3-u)]}{(3-u)\cdot u}=0</math></center>
 

==Representación del cambio de volumen==

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 
[[Archivo:Roootacional.jpg|675px|thumb|center|Rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
[[Archivo:Maxrotacionales.jpg|675px|thumb|center|Puntos máximos de los rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_i_sigma_i_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_j_sigma_j_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 
[[Archivo:3D_k_sigma_k_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\z}</math>]]

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}
[[Archivo:2D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math> ]]
[[Archivo:3D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>]]

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m, sin embargo, previamente ha de crearse una matriz mediante un bucle for. De este modo, se dará un valor concreto a cada componente de la matriz en cada punto del mallado. Esto es, debido a que las componentes originales de la matriz <math>\sigma</math> son funciones, y por lo tanto, tendrán un valor diferente para cada punto del mallado.
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Mises
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}

Cabe destacar, que el comando eig genera dos matrices, una matriz v con los autovectores asociados a los autovalores (puestos en columnas), y otra matriz u diagonal construida a partir de dichos autovalores. Para la resolución de este apartado solo ha sido necesario hacer uso de la segunda.
==Representación de la Tensión de Von Mises==
A continuación se muestra tanto el código empleado, como la representación del campo escalar asociado a la matriz de Von Mises.
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}
[[Archivo:2D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones la tensión de Von Mises ]]
[[Archivo:3D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones la tensión de Von Mises]]

==Punto de mayor valor==
El estudio de la tensión máxima, puede ser de gran utilidad en diversos campos de la ingeniería, siendo la resistencia de materiales el más notorio, y es que esta magnitud indica qué parte de un sólido está siendo sometida al mayor estrés. Adicionalmente, como ya se ha mencionado en el anterior apartado, se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro), por lo que se podrá concluir, que el punto de mayor valor de la tensión de Von Mises será, con mucha probabilidad, el punto de rotura. A continuación, se muestra el caso concreto de nuestra lámina, en el que se puede ver representado dicho punto mediante un círculo rojo.
{{matlab|codigo=
%% Punto máximo Von Misses
figure(14)
surf(X,Y,M_VonMises)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('Von Mises en el plano X0Z')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(M_VonMises));
for k = 1:length(M_VonMises)
if M_VonMises(k) == MAX
plot3(X(k),Y(k),MAX,'ro')
end
end
hold off
}}
[[Archivo:9876.jpg|400px|thumb|center|Representación del punto máximo del campo escalar de Von Mises]]
El valor obtenido para la máxima tensión se puede ver representado con un punto rojo en la gráfica y es 1,2005.

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-15T02:29:01Z

Juan Casteres: /* Punto de mayor valor */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano: 
<center><math>y≥\frac{|x|}{2}</math></center> 
Este plano limita la placa circular entre <math>\frac{\pi}{8}</math> y <math>\frac{7\pi}{8}</math> como podemos observar en la siguiente figura. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas:
<ol>1. El campo escalar temperatura: <math>T(x,y)=sin(x^2+(y−3)^2)</math>, expresado en coordenadas cartesianas 
2. El campo vectorial de desplazamientos: <math> \vec{u}(ρ, θ) =\frac {log (3 − ρ)} {2}\cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, expresado en coordenadas cilíndricas </ol>

Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones: 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 

[[Archivo:Representación_de_la_lámina_en_2D.png|400px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del sólido en dos dimensiones.]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/8:h:(7*pi)/8;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x^2 +(y−3)^2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:Representación_del_campo_escalar_temperatura.png|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel son líneas que unen los puntos del mismo valor. Esto nos muestra de una forma muy visual de la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:Curvas123.jpg|375px|center|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> lo que nos da a entender que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. Sin embargo, introduciendo el campo escalar "T" y el paso "h" utilizado en apartados anteriores, el comando "gradient" nos lo calcula directamente. 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

En esta imagen podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. Esto se debe a que el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, mientras que en las curvas de nivel no hay variación de temperatura. Por tanto, el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

[[Archivo:Ortogonalidad_del_gradiente_frente_a_las_curvas_de_nivel.png|420px|miniaturadeimagen|right|Representación gráfica de la ortogonalidad presente entre el gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivada parcial respecto de X=Fx=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
%Derivada parcial respecto de Y=Fy=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido. 
La transmisión de calor, así como cualquier otro fenómeno físico de transmisión, se puede describir mediante la ecuación diferencial para la propagación unidimensional, que viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
Donde <math>\psi</math> es el campo correspondiente al fenómeno físico, en este caso, el campo de la temperatura T, y <math>a</math> una constante característica de la situación física (<math>\kappa</math>).
 
En el caso particular del transporte (en termodinámica denominado conducción) de calor, la ecuación empleada para llevar a cabo su estudio, es la respectiva a la ley de Fourier. 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el 2º Principio de la Termodinámica sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío.

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2x \cdot cos[x^2+(y-3)^2] \vec i+ 2 \cdot (y-3) \cdot cos [x^2+(y-3)] \vec j</math></center>
 
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
 
[[Archivo:Representación_de_la_Ley_de_Fourier.png|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Representación_del_campo_vectorial_u_sobre_la_placa.png|375px|thumb|right|Campo vectorial u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
<ol>1. Imagen de arriba a la izquierda: situación del sólido antes del desplazamiento. Coincide con la situación representada en el apartado 1.</ol>
<ol>2. Imagen de arriba a la derecha: situación del sólido después del desplazamiento. Observamos cómo ciertos puntos de la placa se han desplazado hacia abajo, justo la dirección a la que apuntan los vectores del campo vectorial representado en el apartado 4.</ol>
<ol>3. Imagen de abajo: imágenes 1 y 2 superpuestas. Se puede apreciar mejor la diferencia entre las dos situaciones.</ol> 

[[Archivo:Situación_de_la_placa_antes_y_después_del_desplazamiento.png|650px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ})+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
[[Archivo:divergenciia.jpg|400px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('divergencia')
colorbar
view(2)
}}
==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a utilizar la matriz Hessiana y sacar las derivadas del campo:
 
<center><math>H(u,v)=|\begin{matrix} \frac{\partial^2}{\partial u^2}\cdot (\nabla\vec u) & \frac{\partial^2}{\partial u \cdot \partial v}\cdot \nabla\vec u \\ \frac{\partial^2}{\partial u \cdot \partial v}\cdot (\nabla\vec u) & \frac{\partial^2}{\partial v^2 }\cdot \nabla\vec {u} \end{matrix}\right|</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial u}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{-cos(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3)^2 \cdot log(3-u)]}{2 \cdot (3-u)^2\cdot u^2}=0</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial v}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{sin(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3) \cdot log(3-u)]}{(3-u)\cdot u}=0</math></center>
 

==Representación del cambio de volumen==

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 
[[Archivo:Roootacional.jpg|675px|thumb|center|Rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
[[Archivo:Maxrotacionales.jpg|675px|thumb|center|Puntos máximos de los rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_i_sigma_i_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_j_sigma_j_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 
[[Archivo:3D_k_sigma_k_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\z}</math>]]

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}
[[Archivo:2D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math> ]]
[[Archivo:3D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>]]

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m, sin embargo, previamente ha de crearse una matriz mediante un bucle for. De este modo, se dará un valor concreto a cada componente de la matriz en cada punto del mallado. Esto es, debido a que las componentes originales de la matriz <math>\sigma</math> son funciones, y por lo tanto, tendrán un valor diferente para cada punto del mallado.
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Mises
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}

Cabe destacar, que el comando eig genera dos matrices, una matriz v con los autovectores asociados a los autovalores (puestos en columnas), y otra matriz u diagonal construida a partir de dichos autovalores. Para la resolución de este apartado solo ha sido necesario hacer uso de la segunda.
==Representación de la Tensión de Von Mises==
A continuación se muestra tanto el código empleado, como la representación del campo escalar asociado a la matriz de Von Mises.
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}
[[Archivo:2D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones la tensión de Von Mises ]]
[[Archivo:3D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones la tensión de Von Mises]]

==Punto de mayor valor==
El estudio de la tensión máxima, puede ser de gran utilidad en diversos campos de la ingeniería, siendo la resistencia de materiales el más notorio, y es que esta magnitud indica que parte de un sólido está siendo sometida al mayor estrés. Adicionalmente, como se ha mencionado anteriormente, se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro), por lo que se podrá concluir, que el punto de mayor valor de la tensión de Von Mises será con mucha probabilidad el punto de rotura. A continuación se muestra el caso concreto de nuestra lámina, en el que se puede ver representado dicho punto mediante un círculo rojo.
{{matlab|codigo=
%% Punto máximo Von Misses
figure(14)
surf(X,Y,M_VonMises)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('Von Mises en el plano X0Z')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(M_VonMises));
for k = 1:length(M_VonMises)
if M_VonMises(k) == MAX
plot3(X(k),Y(k),MAX,'ro')
end
end
hold off
}}
[[Archivo:9876.jpg|400px|thumb|center|Representación del punto máximo del campo escalar de Von Mises]]
El valor obtenido para la máxima tensión se puede ver representado con un punto rojo en la gráfica y es 1,2005.

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-15T02:19:59Z

Juan Casteres: /* Tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano: 
<center><math>y≥\frac{|x|}{2}</math></center> 
Este plano limita la placa circular entre <math>\frac{\pi}{8}</math> y <math>\frac{7\pi}{8}</math> como podemos observar en la siguiente figura. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas:
<ol>1. El campo escalar temperatura: <math>T(x,y)=sin(x^2+(y−3)^2)</math>, expresado en coordenadas cartesianas 
2. El campo vectorial de desplazamientos: <math> \vec{u}(ρ, θ) =\frac {log (3 − ρ)} {2}\cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, expresado en coordenadas cilíndricas </ol>

Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones: 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 

[[Archivo:Representación_de_la_lámina_en_2D.png|400px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del sólido en dos dimensiones.]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/8:h:(7*pi)/8;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x^2 +(y−3)^2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:Representación_del_campo_escalar_temperatura.png|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel son líneas que unen los puntos del mismo valor. Esto nos muestra de una forma muy visual de la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:Curvas123.jpg|375px|center|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> lo que nos da a entender que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. Sin embargo, introduciendo el campo escalar "T" y el paso "h" utilizado en apartados anteriores, el comando "gradient" nos lo calcula directamente. 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

En esta imagen podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. Esto se debe a que el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, mientras que en las curvas de nivel no hay variación de temperatura. Por tanto, el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

[[Archivo:Ortogonalidad_del_gradiente_frente_a_las_curvas_de_nivel.png|420px|miniaturadeimagen|right|Representación gráfica de la ortogonalidad presente entre el gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivada parcial respecto de X=Fx=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
%Derivada parcial respecto de Y=Fy=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido. 
La transmisión de calor, así como cualquier otro fenómeno físico de transmisión, se puede describir mediante la ecuación diferencial para la propagación unidimensional, que viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
Donde <math>\psi</math> es el campo correspondiente al fenómeno físico, en este caso, el campo de la temperatura T, y <math>a</math> una constante característica de la situación física (<math>\kappa</math>).
 
En el caso particular del transporte (en termodinámica denominado conducción) de calor, la ecuación empleada para llevar a cabo su estudio, es la respectiva a la ley de Fourier. 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el 2º Principio de la Termodinámica sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío.

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2x \cdot cos[x^2+(y-3)^2] \vec i+ 2 \cdot (y-3) \cdot cos [x^2+(y-3)] \vec j</math></center>
 
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
 
[[Archivo:Representación_de_la_Ley_de_Fourier.png|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Representación_del_campo_vectorial_u_sobre_la_placa.png|375px|thumb|right|Campo vectorial u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
<ol>1. Imagen de arriba a la izquierda: situación del sólido antes del desplazamiento. Coincide con la situación representada en el apartado 1.</ol>
<ol>2. Imagen de arriba a la derecha: situación del sólido después del desplazamiento. Observamos cómo ciertos puntos de la placa se han desplazado hacia abajo, justo la dirección a la que apuntan los vectores del campo vectorial representado en el apartado 4.</ol>
<ol>3. Imagen de abajo: imágenes 1 y 2 superpuestas. Se puede apreciar mejor la diferencia entre las dos situaciones.</ol> 

[[Archivo:Situación_de_la_placa_antes_y_después_del_desplazamiento.png|650px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ})+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
[[Archivo:divergenciia.jpg|400px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('divergencia')
colorbar
view(2)
}}
==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a utilizar la matriz Hessiana y sacar las derivadas del campo:
 
<center><math>H(u,v)=|\begin{matrix} \frac{\partial^2}{\partial u^2}\cdot (\nabla\vec u) & \frac{\partial^2}{\partial u \cdot \partial v}\cdot \nabla\vec u \\ \frac{\partial^2}{\partial u \cdot \partial v}\cdot (\nabla\vec u) & \frac{\partial^2}{\partial v^2 }\cdot \nabla\vec {u} \end{matrix}\right|</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial u}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{-cos(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3)^2 \cdot log(3-u)]}{2 \cdot (3-u)^2\cdot u^2}=0</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial v}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{sin(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3) \cdot log(3-u)]}{(3-u)\cdot u}=0</math></center>
 

==Representación del cambio de volumen==

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 
[[Archivo:Roootacional.jpg|675px|thumb|center|Rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
[[Archivo:Maxrotacionales.jpg|675px|thumb|center|Puntos máximos de los rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_i_sigma_i_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_j_sigma_j_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 
[[Archivo:3D_k_sigma_k_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\z}</math>]]

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}
[[Archivo:2D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math> ]]
[[Archivo:3D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>]]

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m, sin embargo, previamente ha de crearse una matriz mediante un bucle for. De este modo, se dará un valor concreto a cada componente de la matriz en cada punto del mallado. Esto es, debido a que las componentes originales de la matriz <math>\sigma</math> son funciones, y por lo tanto, tendrán un valor diferente para cada punto del mallado.
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Mises
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}

Cabe destacar, que el comando eig genera dos matrices, una matriz v con los autovectores asociados a los autovalores (puestos en columnas), y otra matriz u diagonal construida a partir de dichos autovalores. Para la resolución de este apartado solo ha sido necesario hacer uso de la segunda.
==Representación de la Tensión de Von Mises==
A continuación se muestra tanto el código empleado, como la representación del campo escalar asociado a la matriz de Von Mises.
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}
[[Archivo:2D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones la tensión de Von Mises ]]
[[Archivo:3D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones la tensión de Von Mises]]

==Punto de mayor valor==
{{matlab|codigo=
%% Punto máximo Von Misses
figure(14)
surf(X,Y,M_VonMises)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('Von Mises en el plano X0Z')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(M_VonMises));
for k = 1:length(M_VonMises)
if M_VonMises(k) == MAX
plot3(X(k),Y(k),MAX,'ro')
end
end
hold off
}}
[[Archivo:9876.jpg|400px|thumb|center|Representación del punto máximo del campo escalar de Von Mises]]
El valor obtenido para la máxima tensión se puede ver representado con un punto rojo en la gráfica y es 1,2005.

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-15T02:11:43Z

Juan Casteres: /* Cálculo punto máximo del rotacional */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano: 
<center><math>y≥\frac{|x|}{2}</math></center> 
Este plano limita la placa circular entre <math>\frac{\pi}{8}</math> y <math>\frac{7\pi}{8}</math> como podemos observar en la siguiente figura. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas:
<ol>1. El campo escalar temperatura: <math>T(x,y)=sin(x^2+(y−3)^2)</math>, expresado en coordenadas cartesianas 
2. El campo vectorial de desplazamientos: <math> \vec{u}(ρ, θ) =\frac {log (3 − ρ)} {2}\cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, expresado en coordenadas cilíndricas </ol>

Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones: 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 

[[Archivo:Representación_de_la_lámina_en_2D.png|400px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del sólido en dos dimensiones.]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/8:h:(7*pi)/8;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x^2 +(y−3)^2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:Representación_del_campo_escalar_temperatura.png|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel son líneas que unen los puntos del mismo valor. Esto nos muestra de una forma muy visual de la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:Curvas123.jpg|375px|center|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> lo que nos da a entender que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. Sin embargo, introduciendo el campo escalar "T" y el paso "h" utilizado en apartados anteriores, el comando "gradient" nos lo calcula directamente. 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

En esta imagen podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. Esto se debe a que el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, mientras que en las curvas de nivel no hay variación de temperatura. Por tanto, el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

[[Archivo:Ortogonalidad_del_gradiente_frente_a_las_curvas_de_nivel.png|420px|miniaturadeimagen|right|Representación gráfica de la ortogonalidad presente entre el gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivada parcial respecto de X=Fx=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
%Derivada parcial respecto de Y=Fy=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido. 
La transmisión de calor, así como cualquier otro fenómeno físico de transmisión, se puede describir mediante la ecuación diferencial para la propagación unidimensional, que viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
Donde <math>\psi</math> es el campo correspondiente al fenómeno físico, en este caso, el campo de la temperatura T, y <math>a</math> una constante característica de la situación física (<math>\kappa</math>).
 
En el caso particular del transporte (en termodinámica denominado conducción) de calor, la ecuación empleada para llevar a cabo su estudio, es la respectiva a la ley de Fourier. 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el 2º Principio de la Termodinámica sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío.

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2x \cdot cos[x^2+(y-3)^2] \vec i+ 2 \cdot (y-3) \cdot cos [x^2+(y-3)] \vec j</math></center>
 
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
 
[[Archivo:Representación_de_la_Ley_de_Fourier.png|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Representación_del_campo_vectorial_u_sobre_la_placa.png|375px|thumb|right|Campo vectorial u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
<ol>1. Imagen de arriba a la izquierda: situación del sólido antes del desplazamiento. Coincide con la situación representada en el apartado 1.</ol>
<ol>2. Imagen de arriba a la derecha: situación del sólido después del desplazamiento. Observamos cómo ciertos puntos de la placa se han desplazado hacia abajo, justo la dirección a la que apuntan los vectores del campo vectorial representado en el apartado 4.</ol>
<ol>3. Imagen de abajo: imágenes 1 y 2 superpuestas. Se puede apreciar mejor la diferencia entre las dos situaciones.</ol> 

[[Archivo:Situación_de_la_placa_antes_y_después_del_desplazamiento.png|650px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ})+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
[[Archivo:divergenciia.jpg|400px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('divergencia')
colorbar
view(2)
}}
==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a utilizar la matriz Hessiana y sacar las derivadas del campo:
 
<center><math>H(u,v)=|\begin{matrix} \frac{\partial^2}{\partial u^2}\cdot (\nabla\vec u) & \frac{\partial^2}{\partial u \cdot \partial v}\cdot \nabla\vec u \\ \frac{\partial^2}{\partial u \cdot \partial v}\cdot (\nabla\vec u) & \frac{\partial^2}{\partial v^2 }\cdot \nabla\vec {u} \end{matrix}\right|</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial u}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{-cos(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3)^2 \cdot log(3-u)]}{2 \cdot (3-u)^2\cdot u^2}=0</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial v}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{sin(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3) \cdot log(3-u)]}{(3-u)\cdot u}=0</math></center>
 

==Representación del cambio de volumen==

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 
[[Archivo:Roootacional.jpg|675px|thumb|center|Rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
[[Archivo:Maxrotacionales.jpg|675px|thumb|center|Puntos máximos de los rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_i_sigma_i_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_j_sigma_j_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 
[[Archivo:3D_k_sigma_k_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\z}</math>]]

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}
[[Archivo:2D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math> ]]
[[Archivo:3D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>]]

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Misses
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}
==Representación de la Tensión de Von Mises==
A continuación se muestra tanto el código empleado, como la representación del campo escalar asociado a la matriz de Von Mises.
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}
[[Archivo:2D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones la tensión de Von Mises ]]
[[Archivo:3D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones la tensión de Von Mises]]

==Punto de mayor valor==
{{matlab|codigo=
%% Punto máximo Von Misses
figure(14)
surf(X,Y,M_VonMises)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('Von Mises en el plano X0Z')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(M_VonMises));
for k = 1:length(M_VonMises)
if M_VonMises(k) == MAX
plot3(X(k),Y(k),MAX,'ro')
end
end
hold off
}}
[[Archivo:9876.jpg|400px|thumb|center|Representación del punto máximo del campo escalar de Von Mises]]
El valor obtenido para la máxima tensión se puede ver representado con un punto rojo en la gráfica y es 1,2005.

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-15T02:09:18Z

Juan Casteres: /* Análisis de \nabla \cdot \vec{u} */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano: 
<center><math>y≥\frac{|x|}{2}</math></center> 
Este plano limita la placa circular entre <math>\frac{\pi}{8}</math> y <math>\frac{7\pi}{8}</math> como podemos observar en la siguiente figura. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas:
<ol>1. El campo escalar temperatura: <math>T(x,y)=sin(x^2+(y−3)^2)</math>, expresado en coordenadas cartesianas 
2. El campo vectorial de desplazamientos: <math> \vec{u}(ρ, θ) =\frac {log (3 − ρ)} {2}\cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, expresado en coordenadas cilíndricas </ol>

Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones: 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 

[[Archivo:Representación_de_la_lámina_en_2D.png|400px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del sólido en dos dimensiones.]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/8:h:(7*pi)/8;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x^2 +(y−3)^2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:Representación_del_campo_escalar_temperatura.png|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel son líneas que unen los puntos del mismo valor. Esto nos muestra de una forma muy visual de la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:Curvas123.jpg|375px|center|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> lo que nos da a entender que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. Sin embargo, introduciendo el campo escalar "T" y el paso "h" utilizado en apartados anteriores, el comando "gradient" nos lo calcula directamente. 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

En esta imagen podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. Esto se debe a que el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, mientras que en las curvas de nivel no hay variación de temperatura. Por tanto, el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

[[Archivo:Ortogonalidad_del_gradiente_frente_a_las_curvas_de_nivel.png|420px|miniaturadeimagen|right|Representación gráfica de la ortogonalidad presente entre el gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivada parcial respecto de X=Fx=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
%Derivada parcial respecto de Y=Fy=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido. 
La transmisión de calor, así como cualquier otro fenómeno físico de transmisión, se puede describir mediante la ecuación diferencial para la propagación unidimensional, que viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
Donde <math>\psi</math> es el campo correspondiente al fenómeno físico, en este caso, el campo de la temperatura T, y <math>a</math> una constante característica de la situación física (<math>\kappa</math>).
 
En el caso particular del transporte (en termodinámica denominado conducción) de calor, la ecuación empleada para llevar a cabo su estudio, es la respectiva a la ley de Fourier. 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el 2º Principio de la Termodinámica sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío.

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2x \cdot cos[x^2+(y-3)^2] \vec i+ 2 \cdot (y-3) \cdot cos [x^2+(y-3)] \vec j</math></center>
 
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
 
[[Archivo:Representación_de_la_Ley_de_Fourier.png|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Representación_del_campo_vectorial_u_sobre_la_placa.png|375px|thumb|right|Campo vectorial u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
<ol>1. Imagen de arriba a la izquierda: situación del sólido antes del desplazamiento. Coincide con la situación representada en el apartado 1.</ol>
<ol>2. Imagen de arriba a la derecha: situación del sólido después del desplazamiento. Observamos cómo ciertos puntos de la placa se han desplazado hacia abajo, justo la dirección a la que apuntan los vectores del campo vectorial representado en el apartado 4.</ol>
<ol>3. Imagen de abajo: imágenes 1 y 2 superpuestas. Se puede apreciar mejor la diferencia entre las dos situaciones.</ol> 

[[Archivo:Situación_de_la_placa_antes_y_después_del_desplazamiento.png|650px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ})+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
[[Archivo:divergenciia.jpg|400px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('divergencia')
colorbar
view(2)
}}
==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a utilizar la matriz Hessiana y sacar las derivadas del campo:
 
<center><math>H(u,v)=|\begin{matrix} \frac{\partial^2}{\partial u^2}\cdot (\nabla\vec u) & \frac{\partial^2}{\partial u \cdot \partial v}\cdot \nabla\vec u \\ \frac{\partial^2}{\partial u \cdot \partial v}\cdot (\nabla\vec u) & \frac{\partial^2}{\partial v^2 }\cdot \nabla\vec {u} \end{matrix}\right|</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial u}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{-cos(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3)^2 \cdot log(3-u)]}{2 \cdot (3-u)^2\cdot u^2}=0</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial v}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{sin(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3) \cdot log(3-u)]}{(3-u)\cdot u}=0</math></center>
 

==Representación del cambio de volumen==

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 
[[Archivo:Roootacional.jpg|675px|thumb|center|Rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
[[Archivo:Maxrotacionales.jpg|675px|thumb|center|Puntos máximos de los rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
 
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_i_sigma_i_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_j_sigma_j_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 
[[Archivo:3D_k_sigma_k_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\z}</math>]]

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}
[[Archivo:2D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math> ]]
[[Archivo:3D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>]]

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Misses
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}
==Representación de la Tensión de Von Mises==
A continuación se muestra tanto el código empleado, como la representación del campo escalar asociado a la matriz de Von Mises.
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}
[[Archivo:2D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones la tensión de Von Mises ]]
[[Archivo:3D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones la tensión de Von Mises]]

==Punto de mayor valor==
{{matlab|codigo=
%% Punto máximo Von Misses
figure(14)
surf(X,Y,M_VonMises)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('Von Mises en el plano X0Z')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(M_VonMises));
for k = 1:length(M_VonMises)
if M_VonMises(k) == MAX
plot3(X(k),Y(k),MAX,'ro')
end
end
hold off
}}
[[Archivo:9876.jpg|400px|thumb|center|Representación del punto máximo del campo escalar de Von Mises]]
El valor obtenido para la máxima tensión se puede ver representado con un punto rojo en la gráfica y es 1,2005.

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-15T02:08:14Z

Juan Casteres: /* Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica \vec{Q} */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano: 
<center><math>y≥\frac{|x|}{2}</math></center> 
Este plano limita la placa circular entre <math>\frac{\pi}{8}</math> y <math>\frac{7\pi}{8}</math> como podemos observar en la siguiente figura. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas:
<ol>1. El campo escalar temperatura: <math>T(x,y)=sin(x^2+(y−3)^2)</math>, expresado en coordenadas cartesianas 
2. El campo vectorial de desplazamientos: <math> \vec{u}(ρ, θ) =\frac {log (3 − ρ)} {2}\cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, expresado en coordenadas cilíndricas </ol>

Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones: 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 

[[Archivo:Representación_de_la_lámina_en_2D.png|400px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del sólido en dos dimensiones.]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/8:h:(7*pi)/8;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x^2 +(y−3)^2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:Representación_del_campo_escalar_temperatura.png|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel son líneas que unen los puntos del mismo valor. Esto nos muestra de una forma muy visual de la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:Curvas123.jpg|375px|center|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> lo que nos da a entender que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. Sin embargo, introduciendo el campo escalar "T" y el paso "h" utilizado en apartados anteriores, el comando "gradient" nos lo calcula directamente. 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

En esta imagen podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. Esto se debe a que el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, mientras que en las curvas de nivel no hay variación de temperatura. Por tanto, el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

[[Archivo:Ortogonalidad_del_gradiente_frente_a_las_curvas_de_nivel.png|420px|miniaturadeimagen|right|Representación gráfica de la ortogonalidad presente entre el gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivada parcial respecto de X=Fx=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
%Derivada parcial respecto de Y=Fy=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido. 
La transmisión de calor, así como cualquier otro fenómeno físico de transmisión, se puede describir mediante la ecuación diferencial para la propagación unidimensional, que viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
Donde <math>\psi</math> es el campo correspondiente al fenómeno físico, en este caso, el campo de la temperatura T, y <math>a</math> una constante característica de la situación física (<math>\kappa</math>).
 
En el caso particular del transporte (en termodinámica denominado conducción) de calor, la ecuación empleada para llevar a cabo su estudio, es la respectiva a la ley de Fourier. 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el 2º Principio de la Termodinámica sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío.

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2x \cdot cos[x^2+(y-3)^2] \vec i+ 2 \cdot (y-3) \cdot cos [x^2+(y-3)] \vec j</math></center>
 
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
 
[[Archivo:Representación_de_la_Ley_de_Fourier.png|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Representación_del_campo_vectorial_u_sobre_la_placa.png|375px|thumb|right|Campo vectorial u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
<ol>1. Imagen de arriba a la izquierda: situación del sólido antes del desplazamiento. Coincide con la situación representada en el apartado 1.</ol>
<ol>2. Imagen de arriba a la derecha: situación del sólido después del desplazamiento. Observamos cómo ciertos puntos de la placa se han desplazado hacia abajo, justo la dirección a la que apuntan los vectores del campo vectorial representado en el apartado 4.</ol>
<ol>3. Imagen de abajo: imágenes 1 y 2 superpuestas. Se puede apreciar mejor la diferencia entre las dos situaciones.</ol> 

[[Archivo:Situación_de_la_placa_antes_y_después_del_desplazamiento.png|650px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ})+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
[[Archivo:divergenciia.jpg|400px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('divergencia')
colorbar
view(2)
}}
==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a utilizar la matriz Hessiana y sacar las derivadas del campo:
 
<center><math>H(u,v)=|\begin{matrix} \frac{\partial^2}{\partial u^2}\cdot (\nabla\vec u) & \frac{\partial^2}{\partial u \cdot \partial v}\cdot \nabla\vec u \\ \frac{\partial^2}{\partial u \cdot \partial v}\cdot (\nabla\vec u) & \frac{\partial^2}{\partial v^2 }\cdot \nabla\vec u \end{matrix}\right|</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial u}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{-cos(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3)^2 \cdot log(3-u)]}{2 \cdot (3-u)^2\cdot u^2}=0</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial v}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{sin(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3) \cdot log(3-u)]}{(3-u)\cdot u}=0</math></center>
 

==Representación del cambio de volumen==

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 
[[Archivo:Roootacional.jpg|675px|thumb|center|Rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
[[Archivo:Maxrotacionales.jpg|675px|thumb|center|Puntos máximos de los rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
 
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_i_sigma_i_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_j_sigma_j_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 
[[Archivo:3D_k_sigma_k_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\z}</math>]]

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}
[[Archivo:2D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math> ]]
[[Archivo:3D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>]]

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Misses
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}
==Representación de la Tensión de Von Mises==
A continuación se muestra tanto el código empleado, como la representación del campo escalar asociado a la matriz de Von Mises.
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}
[[Archivo:2D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones la tensión de Von Mises ]]
[[Archivo:3D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones la tensión de Von Mises]]

==Punto de mayor valor==
{{matlab|codigo=
%% Punto máximo Von Misses
figure(14)
surf(X,Y,M_VonMises)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('Von Mises en el plano X0Z')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(M_VonMises));
for k = 1:length(M_VonMises)
if M_VonMises(k) == MAX
plot3(X(k),Y(k),MAX,'ro')
end
end
hold off
}}
[[Archivo:9876.jpg|400px|thumb|center|Representación del punto máximo del campo escalar de Von Mises]]
El valor obtenido para la máxima tensión se puede ver representado con un punto rojo en la gráfica y es 1,2005.

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-15T02:05:37Z

Juan Casteres: /* Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica \vec{Q} */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano: 
<center><math>y≥\frac{|x|}{2}</math></center> 
Este plano limita la placa circular entre <math>\frac{\pi}{8}</math> y <math>\frac{7\pi}{8}</math> como podemos observar en la siguiente figura. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas:
<ol>1. El campo escalar temperatura: <math>T(x,y)=sin(x^2+(y−3)^2)</math>, expresado en coordenadas cartesianas 
2. El campo vectorial de desplazamientos: <math> \vec{u}(ρ, θ) =\frac {log (3 − ρ)} {2}\cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, expresado en coordenadas cilíndricas </ol>

Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones: 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 

[[Archivo:Representación_de_la_lámina_en_2D.png|400px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del sólido en dos dimensiones.]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/8:h:(7*pi)/8;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x^2 +(y−3)^2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:Representación_del_campo_escalar_temperatura.png|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel son líneas que unen los puntos del mismo valor. Esto nos muestra de una forma muy visual de la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:Curvas123.jpg|375px|center|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> lo que nos da a entender que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. Sin embargo, introduciendo el campo escalar "T" y el paso "h" utilizado en apartados anteriores, el comando "gradient" nos lo calcula directamente. 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

En esta imagen podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. Esto se debe a que el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, mientras que en las curvas de nivel no hay variación de temperatura. Por tanto, el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

[[Archivo:Ortogonalidad_del_gradiente_frente_a_las_curvas_de_nivel.png|420px|miniaturadeimagen|right|Representación gráfica de la ortogonalidad presente entre el gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivada parcial respecto de X=Fx=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
%Derivada parcial respecto de Y=Fy=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido. 
La transmisión de calor, así como cualquier otro fenómeno físico de transmisión, se puede describir mediante la ecuación diferencial para la propagación unidimensional, que viene dada por la siguiente ecuación:
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
Donde <math>\psi</math> es el campo correspondiente al fenómeno físico, en este caso, el campo de la temperatura T, y <math>a</math> una constante característica de la situación física (<math>\kappa</math>).
 
En el caso particular del transporte (en termodinámica denominado conducción) de calor, la ecuación empleada su estudio, es la respectiva a la Ley de Fourier. 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el 2º Principio de la Termodinámica sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío.

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2x \cdot cos[x^2+(y-3)^2] \vec i+ 2 \cdot (y-3) \cdot cos [x^2+(y-3)] \vec j</math></center>
 
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
 
[[Archivo:Representación_de_la_Ley_de_Fourier.png|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Representación_del_campo_vectorial_u_sobre_la_placa.png|375px|thumb|right|Campo vectorial u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
<ol>1. Imagen de arriba a la izquierda: situación del sólido antes del desplazamiento. Coincide con la situación representada en el apartado 1.</ol>
<ol>2. Imagen de arriba a la derecha: situación del sólido después del desplazamiento. Observamos cómo ciertos puntos de la placa se han desplazado hacia abajo, justo la dirección a la que apuntan los vectores del campo vectorial representado en el apartado 4.</ol>
<ol>3. Imagen de abajo: imágenes 1 y 2 superpuestas. Se puede apreciar mejor la diferencia entre las dos situaciones.</ol> 

[[Archivo:Situación_de_la_placa_antes_y_después_del_desplazamiento.png|650px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ})+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
[[Archivo:divergenciia.jpg|400px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('divergencia')
colorbar
view(2)
}}
==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a utilizar la matriz Hessiana y sacar las derivadas del campo:
 
<center><math>H(u,v)=|\begin{matrix} \frac{\partial^2}{\partial u^2}\cdot (\nabla\vec u) & \frac{\partial^2}{\partial u \cdot \partial v}\cdot \nabla\vec u \\ \frac{\partial^2}{\partial u \cdot \partial v}\cdot (\nabla\vec u) & \frac{\partial^2}{\partial v^2 }\cdot \nabla\vec u \end{matrix}\right|</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial u}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{-cos(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3)^2 \cdot log(3-u)]}{2 \cdot (3-u)^2\cdot u^2}=0</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial v}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{sin(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3) \cdot log(3-u)]}{(3-u)\cdot u}=0</math></center>
 

==Representación del cambio de volumen==

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 
[[Archivo:Roootacional.jpg|675px|thumb|center|Rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
[[Archivo:Maxrotacionales.jpg|675px|thumb|center|Puntos máximos de los rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
 
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_i_sigma_i_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_j_sigma_j_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 
[[Archivo:3D_k_sigma_k_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\z}</math>]]

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}
[[Archivo:2D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math> ]]
[[Archivo:3D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>]]

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Misses
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}
==Representación de la Tensión de Von Mises==
A continuación se muestra tanto el código empleado, como la representación del campo escalar asociado a la matriz de Von Mises.
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}
[[Archivo:2D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones la tensión de Von Mises ]]
[[Archivo:3D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones la tensión de Von Mises]]

==Punto de mayor valor==
{{matlab|codigo=
%% Punto máximo Von Misses
figure(14)
surf(X,Y,M_VonMises)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('Von Mises en el plano X0Z')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(M_VonMises));
for k = 1:length(M_VonMises)
if M_VonMises(k) == MAX
plot3(X(k),Y(k),MAX,'ro')
end
end
hold off
}}
[[Archivo:9876.jpg|400px|thumb|center|Representación del punto máximo del campo escalar de Von Mises]]
El valor obtenido para la máxima tensión se puede ver representado con un punto rojo en la gráfica y es 1,2005.

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-15T02:04:38Z

Juan Casteres: /* Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica \vec{Q} */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano: 
<center><math>y≥\frac{|x|}{2}</math></center> 
Este plano limita la placa circular entre <math>\frac{\pi}{8}</math> y <math>\frac{7\pi}{8}</math> como podemos observar en la siguiente figura. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas:
<ol>1. El campo escalar temperatura: <math>T(x,y)=sin(x^2+(y−3)^2)</math>, expresado en coordenadas cartesianas 
2. El campo vectorial de desplazamientos: <math> \vec{u}(ρ, θ) =\frac {log (3 − ρ)} {2}\cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, expresado en coordenadas cilíndricas </ol>

Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones: 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 

[[Archivo:Representación_de_la_lámina_en_2D.png|400px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del sólido en dos dimensiones.]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/8:h:(7*pi)/8;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x^2 +(y−3)^2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:Representación_del_campo_escalar_temperatura.png|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel son líneas que unen los puntos del mismo valor. Esto nos muestra de una forma muy visual de la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:Curvas123.jpg|375px|center|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> lo que nos da a entender que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. Sin embargo, introduciendo el campo escalar "T" y el paso "h" utilizado en apartados anteriores, el comando "gradient" nos lo calcula directamente. 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

En esta imagen podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. Esto se debe a que el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, mientras que en las curvas de nivel no hay variación de temperatura. Por tanto, el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

[[Archivo:Ortogonalidad_del_gradiente_frente_a_las_curvas_de_nivel.png|420px|miniaturadeimagen|right|Representación gráfica de la ortogonalidad presente entre el gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivada parcial respecto de X=Fx=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
%Derivada parcial respecto de Y=Fy=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido. 
La transmisión de calor, así como cualquier otro fenómeno físico de transmisión, se puede describir mediante la ecuación diferencial para la propagación unidimensional, que viene dada por la siguiente ecuación:
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
Donde <math>\psi</math> es el campo correspondiente al fenómeno físico, en este caso la temperatura T, y a una constante característica de la situación física (<math>\kappa</math>).
 
En el caso particular del transporte (en termodinámica denominado conducción) de calor, la ecuación empleada su estudio, es la respectiva a la Ley de Fourier. 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el 2º Principio de la Termodinámica sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío.

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2x \cdot cos[x^2+(y-3)^2] \vec i+ 2 \cdot (y-3) \cdot cos [x^2+(y-3)] \vec j</math></center>
 
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
 
[[Archivo:Representación_de_la_Ley_de_Fourier.png|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Representación_del_campo_vectorial_u_sobre_la_placa.png|375px|thumb|right|Campo vectorial u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
<ol>1. Imagen de arriba a la izquierda: situación del sólido antes del desplazamiento. Coincide con la situación representada en el apartado 1.</ol>
<ol>2. Imagen de arriba a la derecha: situación del sólido después del desplazamiento. Observamos cómo ciertos puntos de la placa se han desplazado hacia abajo, justo la dirección a la que apuntan los vectores del campo vectorial representado en el apartado 4.</ol>
<ol>3. Imagen de abajo: imágenes 1 y 2 superpuestas. Se puede apreciar mejor la diferencia entre las dos situaciones.</ol> 

[[Archivo:Situación_de_la_placa_antes_y_después_del_desplazamiento.png|650px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ})+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
[[Archivo:divergenciia.jpg|400px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('divergencia')
colorbar
view(2)
}}
==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a utilizar la matriz Hessiana y sacar las derivadas del campo:
 
<center><math>H(u,v)=|\begin{matrix} \frac{\partial^2}{\partial u^2}\cdot (\nabla\vec u) & \frac{\partial^2}{\partial u \cdot \partial v}\cdot \nabla\vec u \\ \frac{\partial^2}{\partial u \cdot \partial v}\cdot (\nabla\vec u) & \frac{\partial^2}{\partial v^2 }\cdot \nabla\vec u \end{matrix}\right|</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial u}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{-cos(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3)^2 \cdot log(3-u)]}{2 \cdot (3-u)^2\cdot u^2}=0</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial v}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{sin(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3) \cdot log(3-u)]}{(3-u)\cdot u}=0</math></center>
 

==Representación del cambio de volumen==

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 
[[Archivo:Roootacional.jpg|675px|thumb|center|Rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
[[Archivo:Maxrotacionales.jpg|675px|thumb|center|Puntos máximos de los rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
 
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_i_sigma_i_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_j_sigma_j_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 
[[Archivo:3D_k_sigma_k_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\z}</math>]]

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}
[[Archivo:2D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math> ]]
[[Archivo:3D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>]]

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Misses
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}
==Representación de la Tensión de Von Mises==
A continuación se muestra tanto el código empleado, como la representación del campo escalar asociado a la matriz de Von Mises.
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}
[[Archivo:2D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones la tensión de Von Mises ]]
[[Archivo:3D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones la tensión de Von Mises]]

==Punto de mayor valor==
{{matlab|codigo=
%% Punto máximo Von Misses
figure(14)
surf(X,Y,M_VonMises)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('Von Mises en el plano X0Z')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(M_VonMises));
for k = 1:length(M_VonMises)
if M_VonMises(k) == MAX
plot3(X(k),Y(k),MAX,'ro')
end
end
hold off
}}
[[Archivo:9876.jpg|400px|thumb|center|Representación del punto máximo del campo escalar de Von Mises]]
El valor obtenido para la máxima tensión se puede ver representado con un punto rojo en la gráfica y es 1,2005.

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-15T02:03:23Z

Juan Casteres: /* Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica \vec{Q} */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano: 
<center><math>y≥\frac{|x|}{2}</math></center> 
Este plano limita la placa circular entre <math>\frac{\pi}{8}</math> y <math>\frac{7\pi}{8}</math> como podemos observar en la siguiente figura. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas:
<ol>1. El campo escalar temperatura: <math>T(x,y)=sin(x^2+(y−3)^2)</math>, expresado en coordenadas cartesianas 
2. El campo vectorial de desplazamientos: <math> \vec{u}(ρ, θ) =\frac {log (3 − ρ)} {2}\cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, expresado en coordenadas cilíndricas </ol>

Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones: 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 

[[Archivo:Representación_de_la_lámina_en_2D.png|400px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del sólido en dos dimensiones.]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/8:h:(7*pi)/8;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x^2 +(y−3)^2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:Representación_del_campo_escalar_temperatura.png|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel son líneas que unen los puntos del mismo valor. Esto nos muestra de una forma muy visual de la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:Curvas123.jpg|375px|center|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> lo que nos da a entender que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. Sin embargo, introduciendo el campo escalar "T" y el paso "h" utilizado en apartados anteriores, el comando "gradient" nos lo calcula directamente. 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

En esta imagen podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. Esto se debe a que el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, mientras que en las curvas de nivel no hay variación de temperatura. Por tanto, el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

[[Archivo:Ortogonalidad_del_gradiente_frente_a_las_curvas_de_nivel.png|420px|miniaturadeimagen|right|Representación gráfica de la ortogonalidad presente entre el gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivada parcial respecto de X=Fx=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
%Derivada parcial respecto de Y=Fy=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido. 
La transmisión de calor, así como cualquier otro fenómeno físico de transmisión, se puede describir mediante la ecuación diferencial para la propagación unidimensional, que viene dada por la siguiente ecuación:
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
Donde <math><\psi</math> es el campo correspondiente al fenómeno, en este caso la temperatura T, y a una constante característica de la situación física.
 
En el caso particular del transporte (en termodinámica denominado conducción) de calor, la ecuación empleada su estudio, es la respectiva a la Ley de Fourier. 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el 2º Principio de la Termodinámica sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío.

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2x \cdot cos[x^2+(y-3)^2] \vec i+ 2 \cdot (y-3) \cdot cos [x^2+(y-3)] \vec j</math></center>
 
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
 
[[Archivo:Representación_de_la_Ley_de_Fourier.png|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Representación_del_campo_vectorial_u_sobre_la_placa.png|375px|thumb|right|Campo vectorial u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
<ol>1. Imagen de arriba a la izquierda: situación del sólido antes del desplazamiento. Coincide con la situación representada en el apartado 1.</ol>
<ol>2. Imagen de arriba a la derecha: situación del sólido después del desplazamiento. Observamos cómo ciertos puntos de la placa se han desplazado hacia abajo, justo la dirección a la que apuntan los vectores del campo vectorial representado en el apartado 4.</ol>
<ol>3. Imagen de abajo: imágenes 1 y 2 superpuestas. Se puede apreciar mejor la diferencia entre las dos situaciones.</ol> 

[[Archivo:Situación_de_la_placa_antes_y_después_del_desplazamiento.png|650px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ})+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
[[Archivo:divergenciia.jpg|400px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('divergencia')
colorbar
view(2)
}}
==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a utilizar la matriz Hessiana y sacar las derivadas del campo:
 
<center><math>H(u,v)=|\begin{matrix} \frac{\partial^2}{\partial u^2}\cdot (\nabla\vec u) & \frac{\partial^2}{\partial u \cdot \partial v}\cdot \nabla\vec u \\ \frac{\partial^2}{\partial u \cdot \partial v}\cdot (\nabla\vec u) & \frac{\partial^2}{\partial v^2 }\cdot \nabla\vec u \end{matrix}\right|</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial u}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{-cos(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3)^2 \cdot log(3-u)]}{2 \cdot (3-u)^2\cdot u^2}=0</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial v}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{sin(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3) \cdot log(3-u)]}{(3-u)\cdot u}=0</math></center>
 

==Representación del cambio de volumen==

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 
[[Archivo:Roootacional.jpg|675px|thumb|center|Rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
[[Archivo:Maxrotacionales.jpg|675px|thumb|center|Puntos máximos de los rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
 
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_i_sigma_i_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_j_sigma_j_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 
[[Archivo:3D_k_sigma_k_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\z}</math>]]

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}
[[Archivo:2D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math> ]]
[[Archivo:3D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>]]

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Misses
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}
==Representación de la Tensión de Von Mises==
A continuación se muestra tanto el código empleado, como la representación del campo escalar asociado a la matriz de Von Mises.
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}
[[Archivo:2D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones la tensión de Von Mises ]]
[[Archivo:3D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones la tensión de Von Mises]]

==Punto de mayor valor==
{{matlab|codigo=
%% Punto máximo Von Misses
figure(14)
surf(X,Y,M_VonMises)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('Von Mises en el plano X0Z')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(M_VonMises));
for k = 1:length(M_VonMises)
if M_VonMises(k) == MAX
plot3(X(k),Y(k),MAX,'ro')
end
end
hold off
}}
[[Archivo:9876.jpg|400px|thumb|center|Representación del punto máximo del campo escalar de Von Mises]]
El valor obtenido para la máxima tensión se puede ver representado con un punto rojo en la gráfica y es 1,2005.

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-15T02:01:56Z

Juan Casteres: /* Representación de la Tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano: 
<center><math>y≥\frac{|x|}{2}</math></center> 
Este plano limita la placa circular entre <math>\frac{\pi}{8}</math> y <math>\frac{7\pi}{8}</math> como podemos observar en la siguiente figura. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas:
<ol>1. El campo escalar temperatura: <math>T(x,y)=sin(x^2+(y−3)^2)</math>, expresado en coordenadas cartesianas 
2. El campo vectorial de desplazamientos: <math> \vec{u}(ρ, θ) =\frac {log (3 − ρ)} {2}\cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, expresado en coordenadas cilíndricas </ol>

Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones: 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 

[[Archivo:Representación_de_la_lámina_en_2D.png|400px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del sólido en dos dimensiones.]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/8:h:(7*pi)/8;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x^2 +(y−3)^2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:Representación_del_campo_escalar_temperatura.png|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel son líneas que unen los puntos del mismo valor. Esto nos muestra de una forma muy visual de la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:Curvas123.jpg|375px|center|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> lo que nos da a entender que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. Sin embargo, introduciendo el campo escalar "T" y el paso "h" utilizado en apartados anteriores, el comando "gradient" nos lo calcula directamente. 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

En esta imagen podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. Esto se debe a que el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, mientras que en las curvas de nivel no hay variación de temperatura. Por tanto, el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

[[Archivo:Ortogonalidad_del_gradiente_frente_a_las_curvas_de_nivel.png|420px|miniaturadeimagen|right|Representación gráfica de la ortogonalidad presente entre el gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivada parcial respecto de X=Fx=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
%Derivada parcial respecto de Y=Fy=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido. 
La transmisión de calor, así como cualquier otro fenómeno físico de transmisión, se puede describir mediante la ecuación diferencial para la propagación unidimensional, que viene dada por la siguiente ecuación:
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
Donde <math><\psi<\math> es el campo correspondiente al fenómeno, en este caso la temperatura T, y a una constante característica de la situación física.
 
En el caso particular del transporte (en termodinámica denominado conducción) de calor, la ecuación empleada su estudio, es la respectiva a la Ley de Fourier. 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el 2º Principio de la Termodinámica sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío.

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2x \cdot cos[x^2+(y-3)^2] \vec i+ 2 \cdot (y-3) \cdot cos [x^2+(y-3)] \vec j</math></center>
 
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
 
[[Archivo:Representación_de_la_Ley_de_Fourier.png|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Representación_del_campo_vectorial_u_sobre_la_placa.png|375px|thumb|right|Campo vectorial u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
<ol>1. Imagen de arriba a la izquierda: situación del sólido antes del desplazamiento. Coincide con la situación representada en el apartado 1.</ol>
<ol>2. Imagen de arriba a la derecha: situación del sólido después del desplazamiento. Observamos cómo ciertos puntos de la placa se han desplazado hacia abajo, justo la dirección a la que apuntan los vectores del campo vectorial representado en el apartado 4.</ol>
<ol>3. Imagen de abajo: imágenes 1 y 2 superpuestas. Se puede apreciar mejor la diferencia entre las dos situaciones.</ol> 

[[Archivo:Situación_de_la_placa_antes_y_después_del_desplazamiento.png|650px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ})+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
[[Archivo:divergenciia.jpg|400px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('divergencia')
colorbar
view(2)
}}
==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a utilizar la matriz Hessiana y sacar las derivadas del campo:
 
<center><math>H(u,v)=|\begin{matrix} \frac{\partial^2}{\partial u^2}\cdot (\nabla\vec u) & \frac{\partial^2}{\partial u \cdot \partial v}\cdot \nabla\vec u \\ \frac{\partial^2}{\partial u \cdot \partial v}\cdot (\nabla\vec u) & \frac{\partial^2}{\partial v^2 }\cdot \nabla\vec u \end{matrix}\right|</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial u}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{-cos(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3)^2 \cdot log(3-u)]}{2 \cdot (3-u)^2\cdot u^2}=0</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial v}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{sin(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3) \cdot log(3-u)]}{(3-u)\cdot u}=0</math></center>
 

==Representación del cambio de volumen==

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 
[[Archivo:Roootacional.jpg|675px|thumb|center|Rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
[[Archivo:Maxrotacionales.jpg|675px|thumb|center|Puntos máximos de los rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
 
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_i_sigma_i_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_j_sigma_j_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 
[[Archivo:3D_k_sigma_k_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\z}</math>]]

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}
[[Archivo:2D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math> ]]
[[Archivo:3D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>]]

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Misses
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}
==Representación de la Tensión de Von Mises==
A continuación se muestra tanto el código empleado, como la representación del campo escalar asociado a la matriz de Von Mises.
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}
[[Archivo:2D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones la tensión de Von Mises ]]
[[Archivo:3D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones la tensión de Von Mises]]

==Punto de mayor valor==
{{matlab|codigo=
%% Punto máximo Von Misses
figure(14)
surf(X,Y,M_VonMises)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('Von Mises en el plano X0Z')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(M_VonMises));
for k = 1:length(M_VonMises)
if M_VonMises(k) == MAX
plot3(X(k),Y(k),MAX,'ro')
end
end
hold off
}}
[[Archivo:9876.jpg|400px|thumb|center|Representación del punto máximo del campo escalar de Von Mises]]
El valor obtenido para la máxima tensión se puede ver representado con un punto rojo en la gráfica y es 1,2005.

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-15T02:00:39Z

Juan Casteres: /* Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica \vec{Q} */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano: 
<center><math>y≥\frac{|x|}{2}</math></center> 
Este plano limita la placa circular entre <math>\frac{\pi}{8}</math> y <math>\frac{7\pi}{8}</math> como podemos observar en la siguiente figura. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas:
<ol>1. El campo escalar temperatura: <math>T(x,y)=sin(x^2+(y−3)^2)</math>, expresado en coordenadas cartesianas 
2. El campo vectorial de desplazamientos: <math> \vec{u}(ρ, θ) =\frac {log (3 − ρ)} {2}\cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, expresado en coordenadas cilíndricas </ol>

Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones: 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 

[[Archivo:Representación_de_la_lámina_en_2D.png|400px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del sólido en dos dimensiones.]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/8:h:(7*pi)/8;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x^2 +(y−3)^2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:Representación_del_campo_escalar_temperatura.png|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel son líneas que unen los puntos del mismo valor. Esto nos muestra de una forma muy visual de la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:Curvas123.jpg|375px|center|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> lo que nos da a entender que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. Sin embargo, introduciendo el campo escalar "T" y el paso "h" utilizado en apartados anteriores, el comando "gradient" nos lo calcula directamente. 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

En esta imagen podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. Esto se debe a que el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, mientras que en las curvas de nivel no hay variación de temperatura. Por tanto, el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

[[Archivo:Ortogonalidad_del_gradiente_frente_a_las_curvas_de_nivel.png|420px|miniaturadeimagen|right|Representación gráfica de la ortogonalidad presente entre el gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivada parcial respecto de X=Fx=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
%Derivada parcial respecto de Y=Fy=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido. 
La transmisión de calor, así como cualquier otro fenómeno físico de transmisión, se puede describir mediante la ecuación diferencial para la propagación unidimensional, que viene dada por la siguiente ecuación:
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
Donde <math><\psi<\math> es el campo correspondiente al fenómeno, en este caso la temperatura T, y a una constante característica de la situación física.
 
En el caso particular del transporte (en termodinámica denominado conducción) de calor, la ecuación empleada su estudio, es la respectiva a la Ley de Fourier. 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el 2º Principio de la Termodinámica sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío.

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2x \cdot cos[x^2+(y-3)^2] \vec i+ 2 \cdot (y-3) \cdot cos [x^2+(y-3)] \vec j</math></center>
 
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
 
[[Archivo:Representación_de_la_Ley_de_Fourier.png|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Representación_del_campo_vectorial_u_sobre_la_placa.png|375px|thumb|right|Campo vectorial u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
<ol>1. Imagen de arriba a la izquierda: situación del sólido antes del desplazamiento. Coincide con la situación representada en el apartado 1.</ol>
<ol>2. Imagen de arriba a la derecha: situación del sólido después del desplazamiento. Observamos cómo ciertos puntos de la placa se han desplazado hacia abajo, justo la dirección a la que apuntan los vectores del campo vectorial representado en el apartado 4.</ol>
<ol>3. Imagen de abajo: imágenes 1 y 2 superpuestas. Se puede apreciar mejor la diferencia entre las dos situaciones.</ol> 

[[Archivo:Situación_de_la_placa_antes_y_después_del_desplazamiento.png|650px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ})+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
[[Archivo:divergenciia.jpg|400px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('divergencia')
colorbar
view(2)
}}
==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a utilizar la matriz Hessiana y sacar las derivadas del campo:
 
<center><math>H(u,v)=|\begin{matrix} \frac{\partial^2}{\partial u^2}\cdot (\nabla\vec u) & \frac{\partial^2}{\partial u \cdot \partial v}\cdot \nabla\vec u \\ \frac{\partial^2}{\partial u \cdot \partial v}\cdot (\nabla\vec u) & \frac{\partial^2}{\partial v^2 }\cdot \nabla\vec u \end{matrix}\right|</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial u}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{-cos(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3)^2 \cdot log(3-u)]}{2 \cdot (3-u)^2\cdot u^2}=0</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial v}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{sin(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3) \cdot log(3-u)]}{(3-u)\cdot u}=0</math></center>
 

==Representación del cambio de volumen==

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 
[[Archivo:Roootacional.jpg|675px|thumb|center|Rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
[[Archivo:Maxrotacionales.jpg|675px|thumb|center|Puntos máximos de los rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
 
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_i_sigma_i_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_j_sigma_j_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 
[[Archivo:3D_k_sigma_k_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\z}</math>]]

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}
[[Archivo:2D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math> ]]
[[Archivo:3D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>]]

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Misses
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}
==Representación de la Tensión de Von Mises==
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}
[[Archivo:2D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones la tensión de Von Mises ]]
[[Archivo:3D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones la tensión de Von Mises]]

==Punto de mayor valor==
{{matlab|codigo=
%% Punto máximo Von Misses
figure(14)
surf(X,Y,M_VonMises)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('Von Mises en el plano X0Z')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(M_VonMises));
for k = 1:length(M_VonMises)
if M_VonMises(k) == MAX
plot3(X(k),Y(k),MAX,'ro')
end
end
hold off
}}
[[Archivo:9876.jpg|400px|thumb|center|Representación del punto máximo del campo escalar de Von Mises]]
El valor obtenido para la máxima tensión se puede ver representado con un punto rojo en la gráfica y es 1,2005.

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-15T01:31:24Z

Juan Casteres: /* Punto de mayor valor */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano: 
<center><math>y≥\frac{|x|}{2}</math></center> 
Este plano limita la placa circular entre <math>\frac{\pi}{8}</math> y <math>\frac{7\pi}{8}</math> como podemos observar en la siguiente figura. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas:
<ol>1. El campo escalar temperatura: <math>T(x,y)=sin(x^2+(y−3)^2)</math>, expresado en coordenadas cartesianas 
2. El campo vectorial de desplazamientos: <math> \vec{u}(ρ, θ) =\frac {log (3 − ρ)} {2}\cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, expresado en coordenadas cilíndricas </ol>

Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones: 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 

[[Archivo:Representación_de_la_lámina_en_2D.png|400px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del sólido en dos dimensiones.]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/8:h:(7*pi)/8;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x^2 +(y−3)^2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:Representación_del_campo_escalar_temperatura.png|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel son líneas que unen los puntos del mismo valor. Esto nos muestra de una forma muy visual de la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:Curvas123.jpg|375px|center|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> lo que nos da a entender que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. Sin embargo, introduciendo el campo escalar "T" y el paso "h" utilizado en apartados anteriores, el comando "gradient" nos lo calcula directamente. 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

En esta imagen podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. Esto se debe a que el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, mientras que en las curvas de nivel no hay variación de temperatura. Por tanto, el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

[[Archivo:Ortogonalidad_del_gradiente_frente_a_las_curvas_de_nivel.png|420px|miniaturadeimagen|right|Representación gráfica de la ortogonalidad presente entre el gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivada parcial respecto de X=Fx=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
%Derivada parcial respecto de Y=Fy=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido.
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el 2º Principio de la Termodinámica sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío.

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2x \cdot cos[x^2+(y-3)^2] \vec i+ 2 \cdot (y-3) \cdot cos [x^2+(y-3)] \vec j</math></center>
 
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
 
[[Archivo:Representación_de_la_Ley_de_Fourier.png|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Representación_del_campo_vectorial_u_sobre_la_placa.png|375px|thumb|right|Campo vectorial u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
<ol>1. Imagen de arriba a la izquierda: situación del sólido antes del desplazamiento. Coincide con la situación representada en el apartado 1.</ol>
<ol>2. Imagen de arriba a la derecha: situación del sólido después del desplazamiento. Observamos cómo ciertos puntos de la placa se han desplazado hacia abajo, justo la dirección a la que apuntan los vectores del campo vectorial representado en el apartado 4.</ol>
<ol>3. Imagen de abajo: imágenes 1 y 2 superpuestas. Se puede apreciar mejor la diferencia entre las dos situaciones.</ol> 

[[Archivo:Situación_de_la_placa_antes_y_después_del_desplazamiento.png|650px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ})+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
[[Archivo:divergenciia.jpg|400px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('divergencia')
colorbar
view(2)
}}
==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a utilizar la matriz Hessiana y sacar las derivadas del campo:
 
<center><math>H(u,v)=|\begin{matrix} \frac{\partial^2}{\partial u^2}\cdot (\nabla\vec u) & \frac{\partial^2}{\partial u \cdot \partial v}\cdot \nabla\vec u \\ \frac{\partial^2}{\partial u \cdot \partial v}\cdot (\nabla\vec u) & \frac{\partial^2}{\partial v^2 }\cdot \nabla\vec u \end{matrix}\right|</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial u}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{-cos(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3)^2 \cdot log(3-u)]}{2 \cdot (3-u)^2\cdot u^2}=0</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial v}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{sin(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3) \cdot log(3-u)]}{(3-u)\cdot u}=0</math></center>
 

==Representación del cambio de volumen==

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 
[[Archivo:Roootacional.jpg|675px|thumb|center|Rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
[[Archivo:Maxrotacionales.jpg|675px|thumb|center|Puntos máximos de los rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
 
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_i_sigma_i_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_j_sigma_j_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 
[[Archivo:3D_k_sigma_k_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\z}</math>]]

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}
[[Archivo:2D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math> ]]
[[Archivo:3D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>]]

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Misses
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}
==Representación de la Tensión de Von Mises==
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}
[[Archivo:2D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones la tensión de Von Mises ]]
[[Archivo:3D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones la tensión de Von Mises]]

==Punto de mayor valor==
{{matlab|codigo=
%% Punto máximo Von Misses
figure(14)
surf(X,Y,M_VonMises)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('Von Mises en el plano X0Z')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(M_VonMises));
for k = 1:length(M_VonMises)
if M_VonMises(k) == MAX
plot3(X(k),Y(k),MAX,'ro')
end
end
hold off
}}
[[Archivo:9876.jpg|400px|thumb|center|Representación del punto máximo del campo escalar de Von Mises]]
El valor obtenido para la máxima tensión se puede ver representado con un punto rojo en la gráfica y es 1,2005.

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-15T01:31:06Z

Juan Casteres: /* Tensión máxima */

{{ TrabajoED | Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Marta Sanz, Beatriz del Pozo, Rocío Coquillat, Arturo Martín }}

En este artículo estudiaremos los campos escalares, vectoriales y tensoriales de una placa plana en elasticidad. La placa ocupa un cuarto de anillo circular comprendida entre los radios 1 y 2 en el plano \(y≥|x|/2\). En nuestro caso trabajaremos en coordenadas cilíndricas.

Disponemos de dos magnitudes físicas:

La temperatura que viene dada por <math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math> siendo (x,y) la temperatura en cada punto.

El desplazamiento que viene dado por <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

En primer lugar trabajaremos con la temperatura para poder apreciar cómo varía a lo largo de la superficie de la placa, para ello usaremos el gradiente y las curvas de nivel. A continuación veremos cómo se deforma el anillo a causa del desplazamiento anteriormente mencionado, para ello haremos uso de la divergencia y del rotacional. Por último trabajaremos con campos tensoriales con el fin de visualizar y calcular las diferentes tensiones que afectan a la placa. Por lo tanto, la finalidad de este trabajo es estudiar los campos escalares, vectoriales y tensoriales que afectan al cuarto de anillo gráficamente haciendo uso de Matlab además de analíticamente.

==Mallado de los puntos interiores del sólido==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el anillo esta comprendido en el plano \(y≥|x|/2\), y el radio debe estar contenido entre 1 y 2.

Las coordenadas en cilíndricas se representan como (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>], tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3,3] × [−1,3]\), y como paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, para representar una placa exacta en el espacio 2D.

[[Archivo:malladoarco.png|300px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

=Curvas de nivel y gradiente de la temperatura=
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es:

<center><math>T(x,y)=sin(x^2+(y-3)^2)</math></center>
==Gráfico representación de la temperatura==
[[Archivo:temperaturagrafico.png|270px|miniatura|derecha]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
surf(x,y,Temp)
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
}}

==Representación curvas de nivel de T==
[[Archivo:Curvasdenivel4.png|300px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
contour(x,y,Temp,40)
title('Curvas de Nivel')
axis equal
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Temperatura máxima==
La temperatura máxima es 0.9993ºC.
{{matlab|codigo=
Tempmax=max(max(Temp));
}}
==Gradiente de T==
El gradiente de la temperatura \(T(x,y)\) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i + (2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j </math></center>

Este campo debe ser ortogonal a las curvas de nivel. Esto se observa en la siguiente representación.
[[Archivo:gradienteee.png|520px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2);
Tempy=(2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2);
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Ley de Fourier=
La Ley de Fourier dice que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja de acuerdo con la fórmula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Donde k es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos k=1. Y quedaría:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-2xcos(x^2+(y-3)^2)\vec i -(2y-6)cos(x^2+(y-3)^2)\vec j</math></center>

[[Archivo:fourier2.png|530px|miniatura|derecha|Campo vectorial]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
Temp=sin(x.^2+(y-3).^2);
Tempx=-(2*x.*cos(x.^2+(y-3).^2));
Tempy=-((2*y-6).*cos(x.^2+(y-3).^2));
contour(x,y,Temp);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(x,y,Tempx,Tempy);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off
}}

=Campo de vectores=

En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido. Nos piden los resultados en t=0, pero nuestro campo no depende de t.

Nuestro campo es: <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>.

Debido a que MATLAB no puede representar el gráfico coordenadas cilíndricas, lo expresamos en coordenadas cartesianas.

[[Archivo:Campodevectores17.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7.*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*cos(T));
FY=((log(3-U)/2).*cos(2*T).*sin(T));
quiver(x,y,FX,FY);
axis ([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
axis equal
title('Campo de vectores')
}}

=Sólido antes y después del desplazamiento=

Estudiamos el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo:

<math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>

En este apartado también debemos expresar el campo en coordenadas cartesianas.

==Gráfica antes del desplazamiento==

[[Archivo:Antesdeldesplazamiento17.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:3*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
surf(x,y,0*x);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del desplazamiento');
}}

==Gráfica después del desplazamiento==

[[Archivo:Despuesdeldesplazamiento217.png|300px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
FX=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*cos(T)+x;
FY=((log(3-U)/2).*cos(2.*T)).*sin(T)+y;
surf(FX,FY,x*0);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después del desplazamiento')
}}

=Divergencia del campo=

La divergencia de un campo vectorial es la medida de como el campo se desplaza.

Siendo el campo <math> \vec u(ρ,θ) = \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ)\vec e_ρ </math>, la divergencia se calculará:

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{ρ}[\frac{\partial}{\partial{ρ}}({ρ·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{θ}}(u_θ)] </math>

==Gráfica de la divergencia==

La divergencia de este campo es:

<math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.

[[Archivo:Divergencia217.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
DIV=(-cos(2.*T))./(2.*(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*T)./2.*U);
surf(x,y,DIV)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==Divergencia máxima, mínima y nula==
La divergencia máxima es: 0.499520346036555

La divergencia mínima es: -0.353553390593274
{{matlab|codigo=
DIVmax=max(max(DIV))
DIVmin=min(min(DIV))
}}

Debido a que la divergencia es: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>, la divergencia será nula cuando <math> cos(2\theta)=0 </math>.

Por lo que obtenemos que la divergencia será nula cuando <math> \theta=\pi </math>.

=Rotacional del campo=
El rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a rotar alrededor de un punto.

==Módulo del rotacional==
Para calcular el módulo del rotacional primero tenemos que calcular el rotacional, que en cilíndricas, viene dado por la siguiente expresión <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

En nuestro caso es <math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{log(3-ρ)}{2}cos(2θ) & 0 &0\end{matrix}\right|</math> y obtenemos <math>\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}\vec e_z</math>.

Por lo tanto el módulo es <math>|∇ × \vec{u}|=\frac{log(3-ρ)\cdot sen(2θ)}{ρ}</math>.

==Representación gráfica==
[[Archivo:rotacional020202.png|500px|miniatura|derecha|Rotacional|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
ROT=(sin(2*T).*(log(3-U))./U);
subplot(1,2,1);
surf(x,y,ROT);
axis([-3,3,-1,3])
axis equal
view(2);
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
axis tight
surf(x,y,ROT);
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Puntos con mayor rotacional==
Para obtener los puntos que sufren mayor rotacional basta con pasar el cursor por encima de la zona amarilla de la gráfica que obtenemos de matlab (figura superior). También se puede hallar directamente con los siguientes comandos de Matlab.
{{matlab|codigo=
[max_rot, i] = max(ROT(:));
[coord_fila, coord_col] = ind2sub(size(ROT), i);
coord_max_rot=[x(coord_fila, coord_col), y(coord_fila, coord_col)];
disp('Máximo rotacional: ')
disp(max_rot)
disp(coord_max_rot)
}}
Por lo tanto el punto que sufre mayor rotacional es el (0.7079,0.7123).

=Tensor de tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo el tensor de tensiones se define como <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e(\overrightarrow u)</math>, siendo <math> \lambda , \mu</math> los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material y <math>e(\overrightarrow u)</math> el tensor de deformaciones. Al ser <math>e(\overrightarrow u)</math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\overrightarrow u</math>, viene dado por la fórmula <math>e(\overrightarrow u)=(\nabla \overrightarrow u +\nabla \overrightarrow u^t)/2</math>. Además, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1.

Como hemos calculado anteriormente la divergencia sería: <math>\nabla\cdot\overrightarrow u=-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} </math>.
Multiplicandolo por la matriz Identidad tendríamos la primera parte de la expresión. Para la segunda parte necesitamos calcular el gradiente de un campo vectorial, por lo que debemos utilizar los símbolos de Cristoffel.

[[Archivo:derivadasparciales.png|425px|left|]] <math>\nabla\overrightarrow u=\begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Aplicando la fórmula del tensor de transformaciones, es decir, calculando la traspuesta y sumándosela al gradiente, obtendríamos una matriz con la que sumar la primera parte de la expresión, obteniendo:

<math>\sigma=\lambda\nabla\cdot \overrightarrow u \cdot I +2\mu e =\begin{pmatrix}\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{2\rho} & \frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Finalmente, la tensión pedida sería:

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}</math>

Así, podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\overrightarrow e_{\rho} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\rho} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje<math>\overrightarrow e_{\theta} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{\theta} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{\theta}</math> y las correspondientes al eje <math>\overrightarrow e_{z} </math>, es decir <math>\overrightarrow e_{z} \cdot σ \cdot \overrightarrow e_{z}</math>.

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\rho</math>==

<math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_\theta</math>==

<math> e_\theta \cdot \sigma \cdot e_\theta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Tensiones en la dirección de <math>\vec e_z</math>==

<math> e_z \cdot \sigma \cdot e_z =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

==Representación de las tensiones normales==

[[Archivo:tensionesnormales6.png|miniatura|275px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2
t=pi/8:h:7.*pi/8
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T)
y=U.*sin(T)

%tensión normal en dirección e rho
t1=(-3.*cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,1)
surf(x,y,t1)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje rho')

%tensión normal en dirección e theta
t2=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(3.*log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,2)
surf(x,y,t2)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje theta')

%tensión normal en dirección e rho
t3=(-cos(2.*T)./(2.*(3-U)))+(log(3-U).*cos(2.*T)).*(1./2.*U)
subplot(3,1,3)
surf(x,y,t3)
axis equal
title('Tensión normal en la dirección del eje z')
}}

=Tensiones tangenciales=
En este apartado tenemos que calcular <math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|</math>

Como en el apartado anterior tomaremos <math> \vec e_\rho = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> y también la solución a <math> e_\rho \cdot \sigma \cdot e_\rho =\frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}</math>

<math>\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho= \begin{pmatrix} \frac{-3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}& \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & 0 \\ \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} & \frac{3log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}-\frac{\cos(2\theta)}{2(3-\rho)} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} +( \frac{3\cos(2\theta)}{2(3-\rho)}-\frac{log(3-\rho)\cos(2\theta)}{2\rho}) \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\\frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho} \\0 \end{pmatrix}</math>

Por ser el resultado un vector <math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}\cdot \vec e_\theta</math>, la solución no se obtendría aplicando un valor absoluto como si fuera un escalar, si no que tenemos que calcular su módulo.

Además, para poder trabajar con ello en Matlab debemos pasarlo a cartesianas, es decir, debemos cambiar la base física.

<math> \frac{-log(3-\rho)\sin(2\theta)}{\rho}e_\theta=\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)}{\rho}\cdot sin(\theta) \vec{i}-\frac{log(3-\rho) sin(2\theta}{\rho}\cdot cos(\theta)\vec{j} </math>

Finalmente, calculamos el módulo:

<math>|\sigma\cdot \vec e_\rho -(\vec e_\rho \cdot\sigma \cdot\vec e_\rho)\vec e_\rho|=\sqrt{(\frac{log(3-\rho) sin(2\theta)sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)sin(2\theta)cos(\theta)}{\rho})^2}</math>

[[Archivo:tensionestangenciales9.png|miniatura|650px|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=pi/8:h:7*pi/8;
[U,T]=meshgrid(r,t)
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
i=((log(3-U).*sin(2.*T).*sin(T)./U));
j=((-log(3-U).*sin(2.*T).*cos(T)./U));
m=sqrt((i.^2)+(j.^2));

subplot(1,2,1)
surf(x,y,m)
title('Tensión tangencial en la dirección de e_ρ')
axis equal

subplot(1,2,2)
surf(x,y,m)
view(2)
axis image
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene dada por la formula <math>\sigma_{VM} = \sqrt {\frac{(\sigma_1 - \sigma_2 )^2 + (\sigma_2 - \sigma_3 )^2 + (\sigma_3 - \sigma_1 )^2}{2}}</math>, siendo <math> \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> autovalores de la tensión previamente calculada.

Para calcular los autovalores deberemos crear primero la matriz de la tensión en Matlab y, a continuación, emplear el comando eig para calcular sus autovalores. Este último nos calculará dos matrices: una con los autovectores por columnas y una matriz diagonal con los autovalores. Para calcular la tensión sólo nos interesa la segunda matriz.

[[Archivo:tensiondevonmises1.3.png|miniatura|400px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
h=2/10;
r=1:h:2;
t=linspace(pi/8,7*pi/8,pi/h);
[U,T]=meshgrid(r,t);
x=U.*cos(T);
y=U.*sin(T);
sig= zeros(3,3);
VM=zeros(length(t),length(r));

for i=1:length(t) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(r)
rho=U(i,j);
theta=T(i,j);
sig(1,1)= -3.*cos(2.*theta)./(2.*(3-rho))+(log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(1,2)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= -(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./rho);
sig(2,2)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))+(3.*log(3-rho).*cos(2.*theta)).*(1./2.*rho);
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= (-cos(2.*theta)./(2.*(3-rho)))-(log(3-rho).*sin(2.*theta)).*(1./2.*rho);

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

surf(x,y,VM)
axis equal
}}

==Tensión máxima==
Esta magnitud escalar se emplea como indicador de cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro). Esta tensión nos dirá que parte de la placa tiene un estrés mayor, es decir por donde se producirá la rotura. En nuestro caso se trata del punto mostrado en la figura de la derecha.

[[Archivo:tensiondevonmises2.3.png|miniatura|445px|derecha|]]
{{matlab|codigo=
surf(x,y,VM)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(VM));
for k = 1:length(VM) %Cálculo del punto máximo
if VM(k) == MAX
plot3(x(k),y(k),MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end

txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.85,2,1.4,txt)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Estudio de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo (grupo 17)

2023-12-15T01:30:20Z

Juan Casteres: /* Tensión máxima */

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-15T01:27:52Z

Juan Casteres: /* Punto de mayor valor */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano: 
<center><math>y≥\frac{|x|}{2}</math></center> 
Este plano limita la placa circular entre <math>\frac{\pi}{8}</math> y <math>\frac{7\pi}{8}</math> como podemos observar en la siguiente figura. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas:
<ol>1. El campo escalar temperatura: <math>T(x,y)=sin(x^2+(y−3)^2)</math>, expresado en coordenadas cartesianas 
2. El campo vectorial de desplazamientos: <math> \vec{u}(ρ, θ) =\frac {log (3 − ρ)} {2}\cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, expresado en coordenadas cilíndricas </ol>

Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones: 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 

[[Archivo:Representación_de_la_lámina_en_2D.png|400px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del sólido en dos dimensiones.]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/8:h:(7*pi)/8;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x^2 +(y−3)^2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:Representación_del_campo_escalar_temperatura.png|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel son líneas que unen los puntos del mismo valor. Esto nos muestra de una forma muy visual de la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:Curvas123.jpg|375px|center|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> lo que nos da a entender que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. Sin embargo, introduciendo el campo escalar "T" y el paso "h" utilizado en apartados anteriores, el comando "gradient" nos lo calcula directamente. 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

En esta imagen podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. Esto se debe a que el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, mientras que en las curvas de nivel no hay variación de temperatura. Por tanto, el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

[[Archivo:Ortogonalidad_del_gradiente_frente_a_las_curvas_de_nivel.png|420px|miniaturadeimagen|right|Representación gráfica de la ortogonalidad presente entre el gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivada parcial respecto de X=Fx=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
%Derivada parcial respecto de Y=Fy=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido.
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el 2º Principio de la Termodinámica sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío.

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2x \cdot cos[x^2+(y-3)^2] \vec i+ 2 \cdot (y-3) \cdot cos [x^2+(y-3)] \vec j</math></center>
 
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
 
[[Archivo:Representación_de_la_Ley_de_Fourier.png|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Representación_del_campo_vectorial_u_sobre_la_placa.png|375px|thumb|right|Campo vectorial u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
<ol>1. Imagen de arriba a la izquierda: situación del sólido antes del desplazamiento. Coincide con la situación representada en el apartado 1.</ol>
<ol>2. Imagen de arriba a la derecha: situación del sólido después del desplazamiento. Observamos cómo ciertos puntos de la placa se han desplazado hacia abajo, justo la dirección a la que apuntan los vectores del campo vectorial representado en el apartado 4.</ol>
<ol>3. Imagen de abajo: imágenes 1 y 2 superpuestas. Se puede apreciar mejor la diferencia entre las dos situaciones.</ol> 

[[Archivo:Situación_de_la_placa_antes_y_después_del_desplazamiento.png|650px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ})+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
[[Archivo:divergenciia.jpg|400px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('divergencia')
colorbar
view(2)
}}
==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a utilizar la matriz Hessiana y sacar las derivadas del campo:
 
<center><math>H(u,v)=|\begin{matrix} \frac{\partial^2}{\partial u^2}\cdot (\nabla\vec u) & \frac{\partial^2}{\partial u \cdot \partial v}\cdot \nabla\vec u \\ \frac{\partial^2}{\partial u \cdot \partial v}\cdot (\nabla\vec u) & \frac{\partial^2}{\partial v^2 }\cdot \nabla\vec u \end{matrix}\right|</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial u}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{-cos(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3)^2 \cdot log(3-u)]}{2 \cdot (3-u)^2\cdot u^2}=0</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial v}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{sin(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3) \cdot log(3-u)]}{(3-u)\cdot u}=0</math></center>
 

==Representación del cambio de volumen==

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 
[[Archivo:Roootacional.jpg|675px|thumb|center|Rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
[[Archivo:Maxrotacionales.jpg|675px|thumb|center|Puntos máximos de los rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
 
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_i_sigma_i_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_j_sigma_j_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 
[[Archivo:3D_k_sigma_k_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\z}</math>]]

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}
[[Archivo:2D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math> ]]
[[Archivo:3D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>]]

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Misses
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}
==Representación de la Tensión de Von Mises==
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}
[[Archivo:2D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones la tensión de Von Mises ]]
[[Archivo:3D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones la tensión de Von Mises]]

==Punto de mayor valor==
{{matlab|codigo=
%% Punto máximo Von Misses
figure(14)
surf(X,Y,M_VonMises)
view(0,0)
axis equal
hold on
title('Von Mises en el plano X0Z')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

MAX = max(max(M_VonMises));
for k = 1:length(M_VonMises)
if M_VonMises(k) == MAX
plot3(X(k),Y(k),MAX,'ro')
end
end
hold off
}}
[[Archivo:9876.jpg|400px|thumb|center|Representación del punto máximo del campo escalar de Von Mises]]

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-15T00:47:27Z

Juan Casteres: /* Tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano: 
<center><math>y≥\frac{|x|}{2}</math></center> 
Este plano limita la placa circular entre <math>\frac{\pi}{8}</math> y <math>\frac{7\pi}{8}</math> como podemos observar en la siguiente figura. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas:
<ol>1. El campo escalar temperatura: <math>T(x,y)=sin(x^2+(y−3)^2)</math>, expresado en coordenadas cartesianas 
2. El campo vectorial de desplazamientos: <math> \vec{u}(ρ, θ) =\frac {log (3 − ρ)} {2}\cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, expresado en coordenadas cilíndricas </ol>

Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones: 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 

[[Archivo:Representación_de_la_lámina_en_2D.png|400px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del sólido en dos dimensiones.]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/8:h:(7*pi)/8;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x^2 +(y−3)^2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:Representación_del_campo_escalar_temperatura.png|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel son líneas que unen los puntos del mismo valor. Esto nos muestra de una forma muy visual de la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:Curvas123.jpg|375px|center|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> lo que nos da a entender que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. Sin embargo, introduciendo el campo escalar "T" y el paso "h" utilizado en apartados anteriores, el comando "gradient" nos lo calcula directamente. 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

En esta imagen podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. Esto se debe a que el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, mientras que en las curvas de nivel no hay variación de temperatura. Por tanto, el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

[[Archivo:Ortogonalidad_del_gradiente_frente_a_las_curvas_de_nivel.png|420px|miniaturadeimagen|right|Representación gráfica de la ortogonalidad presente entre el gradiente y las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivada parcial respecto de X=Fx=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
%Derivada parcial respecto de Y=Fy=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido.
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el 2º Principio de la Termodinámica sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío.

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) = 2x \cdot cos[x^2+(y-3)^2] \vec i+ 2 \cdot (y-3) \cdot cos [x^2+(y-3)] \vec j</math></center>
 
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
 
[[Archivo:Representación_de_la_Ley_de_Fourier.png|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Representación_del_campo_vectorial_u_sobre_la_placa.png|375px|thumb|right|Campo vectorial u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
<ol>1. Imagen de arriba a la izquierda: situación del sólido antes del desplazamiento. Coincide con la situación representada en el apartado 1.</ol>
<ol>2. Imagen de arriba a la derecha: situación del sólido después del desplazamiento. Observamos cómo ciertos puntos de la placa se han desplazado hacia abajo, justo la dirección a la que apuntan los vectores del campo vectorial representado en el apartado 4.</ol>
<ol>3. Imagen de abajo: imágenes 1 y 2 superpuestas. Se puede apreciar mejor la diferencia entre las dos situaciones.</ol> 

[[Archivo:Situación_de_la_placa_antes_y_después_del_desplazamiento.png|650px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math>\vec{u}(ρ, θ) = \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{e_ρ})+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
[[Archivo:divergenciia.jpg|400px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('divergencia')
colorbar
view(2)
}}
==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a utilizar la matriz Hessiana y sacar las derivadas del campo:
 
<center><math>H(u,v)=|\begin{matrix} \frac{\partial^2}{\partial u^2}\cdot (\nabla\vec u) & \frac{\partial^2}{\partial u \cdot \partial v}\cdot \nabla\vec u \\ \frac{\partial^2}{\partial u \cdot \partial v}\cdot (\nabla\vec u) & \frac{\partial^2}{\partial v^2 }\cdot \nabla\vec u \end{matrix}\right|</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial u}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{-cos(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3)^2 \cdot log(3-u)]}{2 \cdot (3-u)^2\cdot u^2}=0</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial v}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{sin(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3) \cdot log(3-u)]}{(3-u)\cdot u}=0</math></center>
 

==Representación del cambio de volumen==

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac {log (3 − ρ)} {2} \cdot cos(2θ)\vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 
[[Archivo:Roootacional.jpg|675px|thumb|center|Rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
[[Archivo:Maxrotacionales.jpg|675px|thumb|center|Puntos máximos de los rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
 
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_i_sigma_i_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 
[[Archivo:3D_j_sigma_j_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>]]

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 
[[Archivo:3D_k_sigma_k_14122023_2.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\z}</math>]]

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}
[[Archivo:2D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math> ]]
[[Archivo:3D_ap9_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>]]

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Misses
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}
==Representación de la Tensión de Von Mises==
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}
[[Archivo:2D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en dos dimensiones la tensión de Von Mises ]]
[[Archivo:3D_ap10_14122023.jpg|400px|thumb|center|Campo escalar que representa en tres dimensiones la tensión de Von Mises]]

==Punto de mayor valor==
[[Archivo:9876.jpg|400px|thumb|center|Representación del punto máximo del campo escalar de Von Mises]]

Archivo:9876.jpg

2023-12-15T00:45:07Z

Juan Casteres:

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-14T20:33:33Z

Juan Casteres: /* Representación curvas de nivel de T */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano: 
<center><math>y≥\frac{|x|}{2}</math></center> 
Este plano limita la placa circular entre <math>\frac{\pi}{8}</math> y <math>\frac{7\pi}{8}</math> como podemos observar en la siguiente figura. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas:
<ol>1. El campo escalar temperatura: <math>T(x,y)=sin(x\cdot 2+(y−3)\cdot2)</math>, expresado en coordenadas cartesianas 
2. El campo vectorial de desplazamientos: <math> \vec{u}(ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, expresado en coordenadas cilíndricas </ol>

Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones: 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 
[[Archivo:SoLiDo.jpg|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica de una lámina sólida en forma de cuarto de círculo]]
{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/4:h:(3*pi)/4;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x\cdot 2+(y−3)\cdot2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:Representación_del_campo_escalar_temperatura.png|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel son líneas que unen los puntos del mismo valor. Esto nos muestra de una forma muy visual de la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:Curvas123.jpg|375px|center|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> lo que nos da a entender que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. Sin embargo, introduciendo el campo escalar "T" y el paso "h" utilizado en apartados anteriores, el comando "gradient" nos lo calcula directamente. 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

En esta imagen podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. Esto se debe a que el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, mientras que en las curvas de nivel no hay variación de temperatura. Por tanto, el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

[[Archivo:Gradiente_de_T.jpg|445px|miniaturadeimagen|right|Representación gráfica del punto máximo de la función temperatura T en la lámina de trabajo]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivada parcial respecto de X=Fx=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
%Derivada parcial respecto de Y=Fy=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido.
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el 2º Principio de la Termodinámica sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío.

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) =2\cdot cos[2\cdot (x+y-3)] \vec i+ 2\cdot cos[2\cdot (x+y-3)] \vec j</math></center>
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
[[Archivo:Ley_de_Fourier.jpg|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Campo_vectores_u.jpg|375px|thumb|right|Campo de vectores u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math> u (ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
[[Archivo:Desplazamientos_todos.jpg|575px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]
==Dibujo antes del desplazamiento==
Previo al desplazamiento, la posición del sólido es idéntica a la representada en el apartado 1.
[[Archivo:Antes_desplazamiento.jpg|375px|thumb|center|Sólido antes del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

==Dibujo después del desplazamiento==
Tras la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}</math>, la posición del sólido es la siguiente:
[[Archivo:Despues_desplazamiento.jpg|375px|thumb|center|Sólido después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

==Comparación pre y post deplazamiento==
[[Archivo:comparacion_desplazamientos.jpg|375px|thumb|center|Comparación pre y post desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math> u (\rho, \theta) = log (3 − \rho) 2 cos(2\theta)\vec{e_\rho} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho· log (3 − ρ) 2 cos(2θ))+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
[[Archivo:divergenciia.jpg|400px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('divergencia')
colorbar
view(2)
}}
==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a sacar sus derivadas e igualarlas a 0:
<center><math>\frac{\partial}{\partial u}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{-cos(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3)^2 \cdot log(3-u)]}{2 \cdot (3-u)^2\cdot u^2}=0</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial v}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{sin(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3) \cdot log(3-u)]}{(3-u)\cdot u}=0</math></center>
 

==Representación del cambio de volumen==

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ log (3 − ρ) 2 cos(2θ) \vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (-sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 
[[Archivo:Rotacions.jpg|675px|thumb|center|Rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
 
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>,las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Misses
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}
==Representación de la Tensión de Von Mises==
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}

==Punto de mayor valor==

Archivo:Curvas123.jpg

2023-12-14T20:32:29Z

Juan Casteres:

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-14T16:28:20Z

Juan Casteres: /* Dibujo antes del desplazamiento */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano: 
<center><math>y≥\frac{|x|}{2}</math></center> 
Este plano limita la placa circular entre <math>\frac{\pi}{4}</math> y <math>\frac{3\pi}{4}</math> como podemos observar en la siguiente figura. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas:
<ol>1. El campo escalar temperatura: <math>T(x,y)=sin(x\cdot 2+(y−3)\cdot2)</math>, expresado en coordenadas cartesianas 
2. El campo vectorial de desplazamientos: <math> \vec{u}(ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, expresado en coordenadas cilíndricas </ol>

Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones: 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 
[[Archivo:SoLiDo.jpg|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica de una lámina sólida en forma de cuarto de círculo]]
{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/4:h:(3*pi)/4;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x\cdot 2+(y−3)\cdot2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:fotoplaca.jpg|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel son líneas que unen los puntos del mismo valor. Esto nos muestra de una forma muy visual de la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:A_._2.jpg|375px|center|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> lo que nos da a entender que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. Sin embargo, introduciendo el campo escalar "T" y el paso "h" utilizado en apartados anteriores, el comando "gradient" nos lo calcula directamente. 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

[[Archivo:Gradiente_de_T.jpg|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica del punto máximo de la función temperatura T en la lámina de trabajo]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivada parcial respecto de X=Fx=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
%Derivada parcial respecto de Y=Fy=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

==Ortogonalidad de <math>\vec{\nabla T}</math> respecto a las curvas de nivel==
Al igual que en el apartado 2.3, con el comando "quiver" representamos el campo vectorial <math>\vec{\nabla T}</math>. De nuevo, haciendo uso del comando "hold on" podemos representar dos gráficos superpuestos. Así que representamos el gradiente sobre las curvas de nivel y, ajustando los ejes para que tengan la misma escala, podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. 

Esto se debe a que: como el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, y en las curvas de nivel no hay variación de temperatura; el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|right|Punto máximo de la temperatura en la placa]] 

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivadas parciales
%X=Fx=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
%Y=Fy=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido.
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el 2º Principio de la Termodinámica sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío.

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) =2\cdot cos[2\cdot (x+y-3)] \vec i+ 2\cdot cos[2\cdot (x+y-3)] \vec j</math></center>
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
[[Archivo:Ley_de_Fourier.jpg|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Campo_vectores_u.jpg|375px|thumb|right|Campo de vectores u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math> u (ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
[[Archivo:Desplazamientos_todos.jpg|575px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]
==Dibujo antes del desplazamiento==
Previo al desplazamiento, la posición del sólido es idéntica a la representada en el apartado 1.
[[Archivo:Antes_desplazamiento.jpg|375px|thumb|right|Sólido antes del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

==Dibujo después del desplazamiento==
Tras la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}</math>, la posición del sólido es la siguiente:
[[Archivo:Despues_desplazamiento.jpg|375px|thumb|right|Sólido después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

==Comparación pre y post deplazamiento==
[[Archivo:comparacion_desplazamientos.jpg|375px|thumb|right|Comparación pre y post desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math> u (\rho, \theta) = log (3 − \rho) 2 cos(2\theta)\vec{e_\rho} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho· log (3 − ρ) 2 cos(2θ))+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('divergencia')
colorbar
view(2)
}}
==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a sacar sus derivadas e igualarlas a 0:
<center><math>\frac{\partial}{\partial u}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{-cos(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3)^2 \cdot log(3-u)]}{2 \cdot (3-u)^2\cdot u^2}=0</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial v}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{sin(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3) \cdot log(3-u)]}{(3-u)\cdot u}=0</math></center>
 

==Representación del cambio de volumen==

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ log (3 − ρ) 2 cos(2θ) \vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (-sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 
[[Archivo:Rotacions.jpg|575px|thumb|center|Rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
 
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>,las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Misses
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}
==Representación de la Tensión de Von Mises==
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}

==Punto de mayor valor==

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-14T16:26:00Z

Juan Casteres: /* Desplazamiento provocado por el campo vectorial \vec{u} */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano: 
<center><math>y≥\frac{|x|}{2}</math></center> 
Este plano limita la placa circular entre <math>\frac{\pi}{4}</math> y <math>\frac{3\pi}{4}</math> como podemos observar en la siguiente figura. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas:
<ol>1. El campo escalar temperatura: <math>T(x,y)=sin(x\cdot 2+(y−3)\cdot2)</math>, expresado en coordenadas cartesianas 
2. El campo vectorial de desplazamientos: <math> \vec{u}(ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math>, expresado en coordenadas cilíndricas </ol>

Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones: 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 
[[Archivo:SoLiDo.jpg|375px|miniaturadeimagen|center|Representación gráfica de una lámina sólida en forma de cuarto de círculo]]
{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/4:h:(3*pi)/4;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x\cdot 2+(y−3)\cdot2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:fotoplaca.jpg|375px|miniaturadeimagen|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel son líneas que unen los puntos del mismo valor. Esto nos muestra de una forma muy visual de la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:A_._2.jpg|375px|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> lo que nos da a entender que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. Sin embargo, introduciendo el campo escalar "T" y el paso "h" utilizado en apartados anteriores, el comando "gradient" nos lo calcula directamente. 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

[[Archivo:Gradiente_de_T.jpg|375px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica del punto máximo de la función temperatura T en la lámina de trabajo]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivada parcial respecto de X=Fx=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
%Derivada parcial respecto de Y=Fy=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

==Ortogonalidad de <math>\vec{\nabla T}</math> respecto a las curvas de nivel==
Al igual que en el apartado 2.3, con el comando "quiver" representamos el campo vectorial <math>\vec{\nabla T}</math>. De nuevo, haciendo uso del comando "hold on" podemos representar dos gráficos superpuestos. Así que representamos el gradiente sobre las curvas de nivel y, ajustando los ejes para que tengan la misma escala, podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. 

Esto se debe a que: como el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, y en las curvas de nivel no hay variación de temperatura; el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivadas parciales
%X=Fx=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
%Y=Fy=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido.
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el 2º Principio de la Termodinámica sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío.

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) =2\cdot cos[2\cdot (x+y-3)] \vec i+ 2\cdot cos[2\cdot (x+y-3)] \vec j</math></center>
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
[[Archivo:Ley_de_Fourier.jpg|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Campo_vectores_u.jpg|375px|thumb|right|Campo de vectores u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math> u (ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
[[Archivo:Desplazamientos_todos.jpg|575px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]
==Dibujo antes del desplazamiento==
Previo al desplazamiento, la posición del sólido es idéntica a la representada en el apartado 1.
[[Archivo:Antes_desplazamiento.jpg|675px|thumb|right|Sólido antes del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

==Dibujo después del desplazamiento==
Tras la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}</math>, la posición del sólido es la siguiente:
[[Archivo:Despues_desplazamiento.jpg|375px|thumb|right|Sólido después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

==Comparación pre y post deplazamiento==
[[Archivo:comparacion_desplazamientos.jpg|375px|thumb|right|Comparación pre y post desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math> u (\rho, \theta) = log (3 − \rho) 2 cos(2\theta)\vec{e_\rho} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho· log (3 − ρ) 2 cos(2θ))+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('divergencia')
colorbar
view(2)
}}
==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a sacar sus derivadas e igualarlas a 0:
<center><math>\frac{\partial}{\partial u}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{-cos(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3)^2 \cdot log(3-u)]}{2 \cdot (3-u)^2\cdot u^2}=0</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial v}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{sin(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3) \cdot log(3-u)]}{(3-u)\cdot u}=0</math></center>
 

==Representación del cambio de volumen==

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ log (3 − ρ) 2 cos(2θ) \vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (-sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 
[[Archivo:Rotacions.jpg|575px|thumb|center|Rotacionales del campo u en 2D y 3D]]
{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
 
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>,las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Misses
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}
==Representación de la Tensión de Von Mises==
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}

==Punto de mayor valor==

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-14T16:03:56Z

Juan Casteres: /* Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica \vec{Q} */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2. Dicha placa está contenida en el plano <math>y≥\frac{|x|}{2}</math>, que podemos observar en la figura 1. 
[[Archivo:Planoo.png|375px|miniaturadeimagen|center|Plano en el que está contenida la placa circular]]

En todas las figuras que se mostrarán a lo largo del artículo, dibujaremos los ejes en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. 

También se suponen definidas las siguientes cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)=sin(x\cdot 2+(y−3)\cdot2)</math> y el campo de desplazamientos: <math> u (ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> (Proporcionadas en coordenadas cartesianas y cilíndricas respectivamente). 
Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones:
 

=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 
[[Archivo:SoLiDo.jpg|375px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica de una lámina sólida en forma de cuarto de círculo]]
{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/4:h:(3*pi)/4;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x\cdot 2+(y−3)\cdot2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 
[[Archivo:fotoplaca.jpg|375px|miniaturadeimagen|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}
 
 
==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel son líneas que unen los puntos del mismo valor. Esto nos muestra de una forma muy visual de la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:A_._2.jpg|375px|miniaturadeimagen|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
 
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}
 
 

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> lo que nos da a entender que se trata de una función trigonométrica seno. 
 
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
 
[[Archivo:punto_max.jpg|375px|thumb|center|Punto máximo de la temperatura en la placa]]
 

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. Sin embargo, introduciendo el campo escalar "T" y el paso "h" utilizado en apartados anteriores, el comando "gradient" nos lo calcula directamente. 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

[[Archivo:Gradiente_de_T.jpg|375px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica del punto máximo de la función temperatura T en la lámina de trabajo]]

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivada parcial respecto de X=Fx=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
%Derivada parcial respecto de Y=Fy=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

==Ortogonalidad de <math>\vec{\nabla T}</math> respecto a las curvas de nivel==
Al igual que en el apartado 2.3, con el comando "quiver" representamos el campo vectorial <math>\vec{\nabla T}</math>. De nuevo, haciendo uso del comando "hold on" podemos representar dos gráficos superpuestos. Así que representamos el gradiente sobre las curvas de nivel y, ajustando los ejes para que tengan la misma escala, podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. 

Esto se debe a que: como el gradiente es la dirección de máxima variación de la temperatura, y en las curvas de nivel no hay variación de temperatura; el gradiente debe ser perpendicular a las curvas de nivel. 

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivadas parciales
%X=Fx=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
%Y=Fy=2.*cos(2.*X+2.*(Y-3));
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido.
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center> 

El motivo por el cual la ley de Fourier incorpora un signo menos, tiene una explicación meramente física. Por el 2º Principio de la Termodinámica sabemos que al juntar un foco caliente y uno frío, el calor se transmite del foco caliente al foco frío.

Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) =2\cdot cos[2\cdot (x+y-3)] \vec i+ 2\cdot cos[2\cdot (x+y-3)] \vec j</math></center>
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
[[Archivo:Ley_de_Fourier.jpg|375px|thumb|center|Representación gráfica de la ley de Fourier aplicada a la temperatura]]
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
Partimos del campo vectorial dado: 
<center><math>\vec{u}(ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math></center> 
Lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

[[Archivo:Campo_vectores_u.jpg|375px|thumb|right|Campo de vectores u en t=0]]

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math> u (ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él. 
[[Archivo:Desplazamientos_todos.jpg|375px|thumb|center|Desplazamiento provocado por el campo vectorial]]
==Dibujo antes del desplazamiento==
Previo al desplazamiento, la posición del sólido es idéntica a la representada en el apartado 1.
[[Archivo:Antes_desplazamiento.jpg|375px|thumb|right|Sólido antes del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

==Dibujo después del desplazamiento==
Tras la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}</math>, la posición del sólido es la siguiente:
[[Archivo:Despues_desplazamiento.jpg|375px|thumb|right|Sólido después del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

==Comparación pre y post deplazamiento==
[[Archivo:comparacion_desplazamientos.jpg|375px|thumb|right|Comparación pre y post desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control. 
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math> u (\rho, \theta) = log (3 − \rho) 2 cos(2\theta)\vec{e_\rho} </math>, sustituimos en la ecuación de arriba:
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho· log (3 − ρ) 2 cos(2θ))+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
Siendo U y V los parámetros asociados respectivamente a las coordenadas <math>\rho</math> y <math>\theta</math>.
 
{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('divergencia')
colorbar
view(2)
}}
==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a sacar sus derivadas e igualarlas a 0:
<center><math>\frac{\partial}{\partial u}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{-cos(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3)^2 \cdot log(3-u)]}{2 \cdot (3-u)^2\cdot u^2}=0</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial v}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{sin(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3) \cdot log(3-u)]}{(3-u)\cdot u}=0</math></center>
 

==Representación del cambio de volumen==

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ log (3 − ρ) 2 cos(2θ) \vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (-sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Por tanto, el módulo será: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V))</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 

{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
 
<center>Max2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>,las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Misses
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}
==Representación de la Tensión de Von Mises==
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}

==Punto de mayor valor==

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-14T10:37:43Z

Juan Casteres: /* Representación curvas de nivel de T */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2,en el plano <math>y≥\frac{|x|}{2}</math> en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. También se suponen definidas las cantidades físicas de: la temperatura <math>T(x,y)=sin(x\cdot 2+(y−3)\cdot2)</math> y el campo de desplazamientos: <math> u (ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> (Proporcionadas en coordenadas cartesianas y cilíndricas respectivamente). 
Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones:
 
=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 
[[Archivo:SoLiDo.jpg|375px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica de una lámina sólida en forma de cuarto de círculo]]
{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/4:h:(3*pi)/4;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x\cdot 2+(y−3)\cdot2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 

[[Archivo:fotoplaca.jpg|275px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel son líneas que unen los puntos del mismo valor. Esto nos muestra de una forma muy visual de la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:A_._2.jpg|275px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> lo que nos da a entender que se trata de una función trigonométrica seno. 
[[Archivo:punto_max.jpg|275px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica del punto máximo de la función temperatura T en la lámina de trabajo]]
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
INTRODUCIR IMAGENES AMPLIADAS

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. Sin embargo, introduciendo el campo escalar "F" y el paso "h" utilizado en apartados anteriores, el comando "gradient" nos lo calcula directamente. 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivada parcial respecto de X=Fx=(2.*X)/(X.^2+1);
%Derivada parcial respecto de Y=Fy=((2.*Y)-8)/((Y-4).^2+1);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

==Ortogonalidad de <math>\vec{\nabla T}</math> respecto a las curvas de nivel==
Al igual que en el apartado 2.3, con el comando "quiver" representamos el campo vectorial <math>\vec{\nabla T}</math>. De nuevo, haciendo uso del comando "hold on" podemos representar dos gráficos superpuestos. Así que representamos el gradiente sobre las curvas de nivel y, ajustando los ejes para que tengan la misma escala, podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. 

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivadas parciales
%Fx=(2.*X)/(X.^2+1);
%Fy=((2.*Y)-8)/((Y-4).^2+1);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido.
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>
Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) =2\cdot cos[2\cdot (x+y-3)] \vec i+ 2\cdot cos[2\cdot (x+y-3)] \vec j</math></center>
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
En primer lugar, tomamos el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> y lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math> u (ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él.

==Dibujo antes del desplazamiento==
Previo al desplazamiento, la posición del sólido es idéntica a la representada en el apartado 1.
{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

==Dibujo después del desplazamiento==
Tras la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}</math>, la posición del sólido es la siguiente:
{{matlab|codigo=
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

==Comparación pre y post deplazamiento==
{{matlab|codigo=
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math> u (\rho, \theta) = log (3 − \rho) 2 cos(2\theta)\vec{e_\rho} </math>
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho· log (3 − ρ) 2 cos(2θ))+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{(-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
(Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V)
 
{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('divergencia')
colorbar
view(2)
}}
==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a sacar sus derivadas e igualarlas a 0:
<center><math>\frac{\partial}{\partial u}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{-cos(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3)^2 \cdot log(3-u)]}{2 \cdot (3-u)^2\cdot u^2}=0</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial v}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{sin(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3) \cdot log(3-u)]}{(3-u)\cdot u}=0</math></center>
 

==Representación del cambio de volumen==

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ log (3 − ρ) 2 cos(2θ) \vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (-sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 

{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
 
<center>Max_2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>,las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Misses
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}
==Representación de la Tensión de Von Mises==
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}

==Punto de mayor valor==

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-14T10:29:07Z

Juan Casteres:

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2,en el plano <math>y≥\frac{|x|}{2}</math> en la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. También se suponen definidas las cantidades físicas de: la temperatura <math>T(x,y)=sin(x\cdot 2+(y−3)\cdot2)</math> y el campo de desplazamientos: <math> u (ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> (Proporcionadas en coordenadas cartesianas y cilíndricas respectivamente). 
Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones:
 
=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se parametrizarán para expresarlos de tal forma. 
[[Archivo:SoLiDo.jpg|375px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica de una lámina sólida en forma de cuarto de círculo]]
{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/4:h:(3*pi)/4;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x\cdot 2+(y−3)\cdot2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 

[[Archivo:fotoplaca.jpg|275px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel son líneas que unen los puntos de la misma altitud. Esto nos muestra de una forma muy visual de la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las más amarillentas la temperatura es mayor.
 
Las partes en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:A_._2.jpg|275px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> lo que nos da a entender que se trata de una función trigonométrica seno. 
[[Archivo:punto_max.jpg|275px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica del punto máximo de la función temperatura T en la lámina de trabajo]]
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
INTRODUCIR IMAGENES AMPLIADAS

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. Sin embargo, introduciendo el campo escalar "F" y el paso "h" utilizado en apartados anteriores, el comando "gradient" nos lo calcula directamente. 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivada parcial respecto de X=Fx=(2.*X)/(X.^2+1);
%Derivada parcial respecto de Y=Fy=((2.*Y)-8)/((Y-4).^2+1);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

==Ortogonalidad de <math>\vec{\nabla T}</math> respecto a las curvas de nivel==
Al igual que en el apartado 2.3, con el comando "quiver" representamos el campo vectorial <math>\vec{\nabla T}</math>. De nuevo, haciendo uso del comando "hold on" podemos representar dos gráficos superpuestos. Así que representamos el gradiente sobre las curvas de nivel y, ajustando los ejes para que tengan la misma escala, podemos apreciar que los vectores del gradiente son perpendiculares a las curvas de nivel. 

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivadas parciales
%Fx=(2.*X)/(X.^2+1);
%Fy=((2.*Y)-8)/((Y-4).^2+1);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido.
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>
Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) =2\cdot cos[2\cdot (x+y-3)] \vec i+ 2\cdot cos[2\cdot (x+y-3)] \vec j</math></center>
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
En primer lugar, tomamos el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> y lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math> u (ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él.

==Dibujo antes del desplazamiento==
Previo al desplazamiento, la posición del sólido es idéntica a la representada en el apartado 1.
{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

==Dibujo después del desplazamiento==
Tras la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}</math>, la posición del sólido es la siguiente:
{{matlab|codigo=
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

==Comparación pre y post deplazamiento==
{{matlab|codigo=
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math> u (\rho, \theta) = log (3 − \rho) 2 cos(2\theta)\vec{e_\rho} </math>
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho· log (3 − ρ) 2 cos(2θ))+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{(-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
(Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V)
 
{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('divergencia')
colorbar
view(2)
}}
==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. Por lo que habiendo calculado el valor de <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> en el apartado anterior, se procede a sacar sus derivadas e igualarlas a 0:
<center><math>\frac{\partial}{\partial u}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{-cos(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3)^2 \cdot log(3-u)]}{2 \cdot (3-u)^2\cdot u^2}=0</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial v}(\nabla \cdot \vec{u})= \frac{sin(2 \cdot v) \cdot [3u+(u-3) \cdot log(3-u)]}{(3-u)\cdot u}=0</math></center>
 

==Representación del cambio de volumen==

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ log (3 − ρ) 2 cos(2θ) \vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (-sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 

{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
 
<center>Max_2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
Partiendo de la expresión matricial del gradiente, podemos calcular su parte simétrica, es decir, <math>\epsilon</math>: 
<center><math>\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 
La matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 
Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>,las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
Por lo tanto el módulo queda tal que: 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Misses
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}
==Representación de la Tensión de Von Mises==
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}

==Punto de mayor valor==

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-14T09:28:58Z

Juan Casteres: /* Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica \vec{Q} */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. También se suponen definidas las cantidades físicas de: la temperatura <math>T(x,y)=sin(x\cdot 2+(y−3)\cdot2)</math> y el campo de desplazamientos: <math> u (ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> (Proporcionadas en coordenadas cartesianas y cilíndricas respectivamente). 
Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones:
 
=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se expresarán, de forma parametrizada, en coordenadas cartesianas. 
[[Archivo:SoLiDo.jpg|375px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica de una lámina sólida en forma de cuarto de círculo]]
{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/4:h:(3*pi)/4;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x\cdot 2+(y−3)\cdot2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 

[[Archivo:fotoplaca.jpg|275px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel son líneas que unen los puntos de la misma altitud. Esto nos muestra de una forma muy visual de la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las zonas más amarillentas la temperatura es mayor.
Las zonas en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:A_._2.jpg|275px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> lo que nos da a entender que se trata de una función trigonométrica seno. 
[[Archivo:punto_max.jpg|275px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica del punto máximo de la función temperatura T en la lámina de trabajo]]
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
INTRODUCIR IMAGENES AMPLIADAS

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. Sin embargo, introduciendo el campo escalar "F" y el paso "h" utilizado en apartados anteriores, el comando "gradient" nos lo calcula directamente. 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivada parcial respecto de X=Fx=(2.*X)/(X.^2+1);
%Derivada parcial respecto de Y=Fy=((2.*Y)-8)/((Y-4).^2+1);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

==Ortogonalidad de <math>\nabla T</math> respecto a las curvas de nivel==
Representando el campo vectorial <math>\nabla T</math> sobre las curvas de nivel, se puede apreciar que los vectores del gradiente son ortogonales a las curvas de nivel.
{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivadas parciales
%Fx=(2.*X)/(X.^2+1);
%Fy=((2.*Y)-8)/((Y-4).^2+1);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido.
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}</math></center>
 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>
Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) =2\cdot cos[2\cdot (x+y-3)] \vec i+ 2\cdot cos[2\cdot (x+y-3)] \vec j</math></center>
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
En primer lugar, tomamos el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> y lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math> u (ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él.

==Dibujo antes del desplazamiento==
Previo al desplazamiento, la posición del sólido es idéntica a la representada en el apartado 1.
{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

==Dibujo después del desplazamiento==
Tras la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}</math>, la posición del sólido es la siguiente:
{{matlab|codigo=
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

==Comparación pre y post deplazamiento==
{{matlab|codigo=
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math> u (\rho, \theta) = log (3 − \rho) 2 cos(2\theta)\vec{e_\rho} </math>
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho· log (3 − ρ) 2 cos(2θ))+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{(-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
(Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V)
 
{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('divergencia')
colorbar
view(2)
}}
==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula.

==Representación del cambio de volumen==

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ log (3 − ρ) 2 cos(2θ) \vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (-sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 

{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
 
<center>Max_2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 

Partiendo de la expresión matricial del gradiente: 
<center><math>\nabla\vec{u}=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 

Podemos calcular fácilmente <math>\epsilon(\vec{u})</math>. Además, se tiene que la matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>,las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
el módulo es por lo tanto 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Misses
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}
==Representación de la Tensión de Von Mises==
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}

==Punto de mayor valor==

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-14T09:28:26Z

Juan Casteres: /* Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica \vec{Q} */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. También se suponen definidas las cantidades físicas de: la temperatura <math>T(x,y)=sin(x\cdot 2+(y−3)\cdot2)</math> y el campo de desplazamientos: <math> u (ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> (Proporcionadas en coordenadas cartesianas y cilíndricas respectivamente). 
Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones:
 
=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se expresarán, de forma parametrizada, en coordenadas cartesianas. 
[[Archivo:SoLiDo.jpg|375px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica de una lámina sólida en forma de cuarto de círculo]]
{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/4:h:(3*pi)/4;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x\cdot 2+(y−3)\cdot2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 

[[Archivo:fotoplaca.jpg|275px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel son líneas que unen los puntos de la misma altitud. Esto nos muestra de una forma muy visual de la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las zonas más amarillentas la temperatura es mayor.
Las zonas en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:A_._2.jpg|275px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> lo que nos da a entender que se trata de una función trigonométrica seno. 
[[Archivo:punto_max.jpg|275px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica del punto máximo de la función temperatura T en la lámina de trabajo]]
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
INTRODUCIR IMAGENES AMPLIADAS

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. Sin embargo, introduciendo el campo escalar "F" y el paso "h" utilizado en apartados anteriores, el comando "gradient" nos lo calcula directamente. 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivada parcial respecto de X=Fx=(2.*X)/(X.^2+1);
%Derivada parcial respecto de Y=Fy=((2.*Y)-8)/((Y-4).^2+1);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

==Ortogonalidad de <math>\nabla T</math> respecto a las curvas de nivel==
Representando el campo vectorial <math>\nabla T</math> sobre las curvas de nivel, se puede apreciar que los vectores del gradiente son ortogonales a las curvas de nivel.
{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivadas parciales
%Fx=(2.*X)/(X.^2+1);
%Fy=((2.*Y)-8)/((Y-4).^2+1);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido.
<center><math>\frac{\partial\psi}{\partial t}=a\frac{\partial\psi}{\partial x}</math></center>
 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>
Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) =2\cdot cos[2\cdot (x+y-3)] \vec i+ 2\cdot cos[2\cdot (x+y-3)] \vec j</math></center>
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
En primer lugar, tomamos el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> y lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math> u (ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él.

==Dibujo antes del desplazamiento==
Previo al desplazamiento, la posición del sólido es idéntica a la representada en el apartado 1.
{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

==Dibujo después del desplazamiento==
Tras la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}</math>, la posición del sólido es la siguiente:
{{matlab|codigo=
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

==Comparación pre y post deplazamiento==
{{matlab|codigo=
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math> u (\rho, \theta) = log (3 − \rho) 2 cos(2\theta)\vec{e_\rho} </math>
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho· log (3 − ρ) 2 cos(2θ))+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{(-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
(Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V)
 
{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('divergencia')
colorbar
view(2)
}}
==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula.

==Representación del cambio de volumen==

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ log (3 − ρ) 2 cos(2θ) \vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (-sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 

{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
 
<center>Max_2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 

Partiendo de la expresión matricial del gradiente: 
<center><math>\nabla\vec{u}=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 

Podemos calcular fácilmente <math>\epsilon(\vec{u})</math>. Además, se tiene que la matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>,las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
el módulo es por lo tanto 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Misses
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}
==Representación de la Tensión de Von Mises==
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}

==Punto de mayor valor==

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-14T09:27:04Z

Juan Casteres: /* Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica \vec{Q} */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. También se suponen definidas las cantidades físicas de: la temperatura <math>T(x,y)=sin(x\cdot 2+(y−3)\cdot2)</math> y el campo de desplazamientos: <math> u (ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> (Proporcionadas en coordenadas cartesianas y cilíndricas respectivamente). 
Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones:
 
=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se expresarán, de forma parametrizada, en coordenadas cartesianas. 
[[Archivo:SoLiDo.jpg|375px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica de una lámina sólida en forma de cuarto de círculo]]
{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/4:h:(3*pi)/4;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x\cdot 2+(y−3)\cdot2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 

[[Archivo:fotoplaca.jpg|275px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel son líneas que unen los puntos de la misma altitud. Esto nos muestra de una forma muy visual de la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las zonas más amarillentas la temperatura es mayor.
Las zonas en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:A_._2.jpg|275px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> lo que nos da a entender que se trata de una función trigonométrica seno. 
[[Archivo:punto_max.jpg|275px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica del punto máximo de la función temperatura T en la lámina de trabajo]]
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
INTRODUCIR IMAGENES AMPLIADAS

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. Sin embargo, introduciendo el campo escalar "F" y el paso "h" utilizado en apartados anteriores, el comando "gradient" nos lo calcula directamente. 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivada parcial respecto de X=Fx=(2.*X)/(X.^2+1);
%Derivada parcial respecto de Y=Fy=((2.*Y)-8)/((Y-4).^2+1);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

==Ortogonalidad de <math>\nabla T</math> respecto a las curvas de nivel==
Representando el campo vectorial <math>\nabla T</math> sobre las curvas de nivel, se puede apreciar que los vectores del gradiente son ortogonales a las curvas de nivel.
{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivadas parciales
%Fx=(2.*X)/(X.^2+1);
%Fy=((2.*Y)-8)/((Y-4).^2+1);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido.
<center><math>\frac{\delta\psi}{\delta t}=\frac{\delta\psi}{\delta x}</math></center>
 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>
Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) =2\cdot cos[2\cdot (x+y-3)] \vec i+ 2\cdot cos[2\cdot (x+y-3)] \vec j</math></center>
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
En primer lugar, tomamos el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> y lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math> u (ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él.

==Dibujo antes del desplazamiento==
Previo al desplazamiento, la posición del sólido es idéntica a la representada en el apartado 1.
{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

==Dibujo después del desplazamiento==
Tras la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}</math>, la posición del sólido es la siguiente:
{{matlab|codigo=
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

==Comparación pre y post deplazamiento==
{{matlab|codigo=
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math> u (\rho, \theta) = log (3 − \rho) 2 cos(2\theta)\vec{e_\rho} </math>
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho· log (3 − ρ) 2 cos(2θ))+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{(-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
(Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V)
 
{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('divergencia')
colorbar
view(2)
}}
==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula.

==Representación del cambio de volumen==

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ log (3 − ρ) 2 cos(2θ) \vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (-sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 

{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
 
<center>Max_2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 

Partiendo de la expresión matricial del gradiente: 
<center><math>\nabla\vec{u}=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 

Podemos calcular fácilmente <math>\epsilon(\vec{u})</math>. Además, se tiene que la matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>,las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
el módulo es por lo tanto 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Misses
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}
==Representación de la Tensión de Von Mises==
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}

==Punto de mayor valor==

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-14T09:25:50Z

Juan Casteres: /* Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica \vec{Q} */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. También se suponen definidas las cantidades físicas de: la temperatura <math>T(x,y)=sin(x\cdot 2+(y−3)\cdot2)</math> y el campo de desplazamientos: <math> u (ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> (Proporcionadas en coordenadas cartesianas y cilíndricas respectivamente). 
Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones:
 
=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se expresarán, de forma parametrizada, en coordenadas cartesianas. 
[[Archivo:SoLiDo.jpg|375px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica de una lámina sólida en forma de cuarto de círculo]]
{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/4:h:(3*pi)/4;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x\cdot 2+(y−3)\cdot2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 

[[Archivo:fotoplaca.jpg|275px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel son líneas que unen los puntos de la misma altitud. Esto nos muestra de una forma muy visual de la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las zonas más amarillentas la temperatura es mayor.
Las zonas en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:A_._2.jpg|275px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> lo que nos da a entender que se trata de una función trigonométrica seno. 
[[Archivo:punto_max.jpg|275px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica del punto máximo de la función temperatura T en la lámina de trabajo]]
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
INTRODUCIR IMAGENES AMPLIADAS

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. Sin embargo, introduciendo el campo escalar "F" y el paso "h" utilizado en apartados anteriores, el comando "gradient" nos lo calcula directamente. 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivada parcial respecto de X=Fx=(2.*X)/(X.^2+1);
%Derivada parcial respecto de Y=Fy=((2.*Y)-8)/((Y-4).^2+1);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

==Ortogonalidad de <math>\nabla T</math> respecto a las curvas de nivel==
Representando el campo vectorial <math>\nabla T</math> sobre las curvas de nivel, se puede apreciar que los vectores del gradiente son ortogonales a las curvas de nivel.
{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivadas parciales
%Fx=(2.*X)/(X.^2+1);
%Fy=((2.*Y)-8)/((Y-4).^2+1);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido.
<center><math>\psi</math></center>
 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>
Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) =2\cdot cos[2\cdot (x+y-3)] \vec i+ 2\cdot cos[2\cdot (x+y-3)] \vec j</math></center>
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
En primer lugar, tomamos el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> y lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math> u (ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él.

==Dibujo antes del desplazamiento==
Previo al desplazamiento, la posición del sólido es idéntica a la representada en el apartado 1.
{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

==Dibujo después del desplazamiento==
Tras la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}</math>, la posición del sólido es la siguiente:
{{matlab|codigo=
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

==Comparación pre y post deplazamiento==
{{matlab|codigo=
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math> u (\rho, \theta) = log (3 − \rho) 2 cos(2\theta)\vec{e_\rho} </math>
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho· log (3 − ρ) 2 cos(2θ))+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{(-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
(Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V)
 
{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('divergencia')
colorbar
view(2)
}}
==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula.

==Representación del cambio de volumen==

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ log (3 − ρ) 2 cos(2θ) \vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (-sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 

{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
 
<center>Max_2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 

Partiendo de la expresión matricial del gradiente: 
<center><math>\nabla\vec{u}=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 

Podemos calcular fácilmente <math>\epsilon(\vec{u})</math>. Además, se tiene que la matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>,las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
el módulo es por lo tanto 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Misses
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}
==Representación de la Tensión de Von Mises==
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}

==Punto de mayor valor==

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-14T09:24:08Z

Juan Casteres: /* Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica \vec{Q} */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. También se suponen definidas las cantidades físicas de: la temperatura <math>T(x,y)=sin(x\cdot 2+(y−3)\cdot2)</math> y el campo de desplazamientos: <math> u (ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> (Proporcionadas en coordenadas cartesianas y cilíndricas respectivamente). 
Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones:
 
=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se expresarán, de forma parametrizada, en coordenadas cartesianas. 
[[Archivo:SoLiDo.jpg|375px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica de una lámina sólida en forma de cuarto de círculo]]
{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/4:h:(3*pi)/4;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x\cdot 2+(y−3)\cdot2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 

[[Archivo:fotoplaca.jpg|275px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel son líneas que unen los puntos de la misma altitud. Esto nos muestra de una forma muy visual de la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las zonas más amarillentas la temperatura es mayor.
Las zonas en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:A_._2.jpg|275px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> lo que nos da a entender que se trata de una función trigonométrica seno. 
[[Archivo:punto_max.jpg|275px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica del punto máximo de la función temperatura T en la lámina de trabajo]]
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
INTRODUCIR IMAGENES AMPLIADAS

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. Sin embargo, introduciendo el campo escalar "F" y el paso "h" utilizado en apartados anteriores, el comando "gradient" nos lo calcula directamente. 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivada parcial respecto de X=Fx=(2.*X)/(X.^2+1);
%Derivada parcial respecto de Y=Fy=((2.*Y)-8)/((Y-4).^2+1);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

==Ortogonalidad de <math>\nabla T</math> respecto a las curvas de nivel==
Representando el campo vectorial <math>\nabla T</math> sobre las curvas de nivel, se puede apreciar que los vectores del gradiente son ortogonales a las curvas de nivel.
{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivadas parciales
%Fx=(2.*X)/(X.^2+1);
%Fy=((2.*Y)-8)/((Y-4).^2+1);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto, variación de temperatura a lo largo de un sólido.
 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>
Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) =2\cdot cos[2\cdot (x+y-3)] \vec i+ 2\cdot cos[2\cdot (x+y-3)] \vec j</math></center>
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
En primer lugar, tomamos el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> y lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math> u (ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él.

==Dibujo antes del desplazamiento==
Previo al desplazamiento, la posición del sólido es idéntica a la representada en el apartado 1.
{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

==Dibujo después del desplazamiento==
Tras la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}</math>, la posición del sólido es la siguiente:
{{matlab|codigo=
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

==Comparación pre y post deplazamiento==
{{matlab|codigo=
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math> u (\rho, \theta) = log (3 − \rho) 2 cos(2\theta)\vec{e_\rho} </math>
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho· log (3 − ρ) 2 cos(2θ))+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{(-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
(Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V)
 
{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('divergencia')
colorbar
view(2)
}}
==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula.

==Representación del cambio de volumen==

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ log (3 − ρ) 2 cos(2θ) \vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (-sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 

{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
 
<center>Max_2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 

Partiendo de la expresión matricial del gradiente: 
<center><math>\nabla\vec{u}=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 

Podemos calcular fácilmente <math>\epsilon(\vec{u})</math>. Además, se tiene que la matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>,las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
el módulo es por lo tanto 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Misses
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}
==Representación de la Tensión de Von Mises==
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}

==Punto de mayor valor==

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-14T09:07:12Z

Juan Casteres: /* Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica \vec{Q} */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. También se suponen definidas las cantidades físicas de: la temperatura <math>T(x,y)=sin(x\cdot 2+(y−3)\cdot2)</math> y el campo de desplazamientos: <math> u (ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> (Proporcionadas en coordenadas cartesianas y cilíndricas respectivamente). 
Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones:
 
=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se expresarán, de forma parametrizada, en coordenadas cartesianas. 
[[Archivo:SoLiDo.jpg|375px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica de una lámina sólida en forma de cuarto de círculo]]
{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/4:h:(3*pi)/4;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x\cdot 2+(y−3)\cdot2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 

[[Archivo:fotoplaca.jpg|275px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel son líneas que unen los puntos de la misma altitud. Esto nos muestra de una forma muy visual de la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las zonas más amarillentas la temperatura es mayor.
Las zonas en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:A_._2.jpg|275px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> lo que nos da a entender que se trata de una función trigonométrica seno. 
[[Archivo:punto_max.jpg|275px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica del punto máximo de la función temperatura T en la lámina de trabajo]]
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
INTRODUCIR IMAGENES AMPLIADAS

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. Sin embargo, introduciendo el campo escalar "F" y el paso "h" utilizado en apartados anteriores, el comando "gradient" nos lo calcula directamente. 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivada parcial respecto de X=Fx=(2.*X)/(X.^2+1);
%Derivada parcial respecto de Y=Fy=((2.*Y)-8)/((Y-4).^2+1);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

==Ortogonalidad de <math>\nabla T</math> respecto a las curvas de nivel==
Representando el campo vectorial <math>\nabla T</math> sobre las curvas de nivel, se puede apreciar que los vectores del gradiente son ortogonales a las curvas de nivel.
{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivadas parciales
%Fx=(2.*X)/(X.^2+1);
%Fy=((2.*Y)-8)/((Y-4).^2+1);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto variación de temperatura a lo largo de un sólido.
 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>
Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) =2\cdot cos[2\cdot (x+y-3)] \vec i+ 2\cdot cos[2\cdot (x+y-3)] \vec j</math></center>
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
En primer lugar, tomamos el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> y lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math> u (ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él.

==Dibujo antes del desplazamiento==
Previo al desplazamiento, la posición del sólido es idéntica a la representada en el apartado 1.
{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

==Dibujo después del desplazamiento==
Tras la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}</math>, la posición del sólido es la siguiente:
{{matlab|codigo=
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

==Comparación pre y post deplazamiento==
{{matlab|codigo=
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math> u (\rho, \theta) = log (3 − \rho) 2 cos(2\theta)\vec{e_\rho} </math>
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho· log (3 − ρ) 2 cos(2θ))+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{(-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
(Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V)
 
{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('divergencia')
colorbar
view(2)
}}
==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula.

==Representación del cambio de volumen==

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ log (3 − ρ) 2 cos(2θ) \vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (-sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 

{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
 
<center>Max_2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 

Partiendo de la expresión matricial del gradiente: 
<center><math>\nabla\vec{u}=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 

Podemos calcular fácilmente <math>\epsilon(\vec{u})</math>. Además, se tiene que la matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>,las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
el módulo es por lo tanto 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Misses
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}
==Representación de la Tensión de Von Mises==
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}

==Punto de mayor valor==

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-14T09:06:19Z

Juan Casteres: /* Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica \vec{Q} */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. También se suponen definidas las cantidades físicas de: la temperatura <math>T(x,y)=sin(x\cdot 2+(y−3)\cdot2)</math> y el campo de desplazamientos: <math> u (ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> (Proporcionadas en coordenadas cartesianas y cilíndricas respectivamente). 
Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones:
 
=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se expresarán, de forma parametrizada, en coordenadas cartesianas. 
[[Archivo:SoLiDo.jpg|375px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica de una lámina sólida en forma de cuarto de círculo]]
{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/4:h:(3*pi)/4;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x\cdot 2+(y−3)\cdot2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 

[[Archivo:fotoplaca.jpg|275px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel son líneas que unen los puntos de la misma altitud. Esto nos muestra de una forma muy visual de la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las zonas más amarillentas la temperatura es mayor.
Las zonas en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:A_._2.jpg|275px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> lo que nos da a entender que se trata de una función trigonométrica seno. 
[[Archivo:punto_max.jpg|275px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica del punto máximo de la función temperatura T en la lámina de trabajo]]
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
INTRODUCIR IMAGENES AMPLIADAS

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. Sin embargo, introduciendo el campo escalar "F" y el paso "h" utilizado en apartados anteriores, el comando "gradient" nos lo calcula directamente. 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivada parcial respecto de X=Fx=(2.*X)/(X.^2+1);
%Derivada parcial respecto de Y=Fy=((2.*Y)-8)/((Y-4).^2+1);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

==Ortogonalidad de <math>\nabla T</math> respecto a las curvas de nivel==
Representando el campo vectorial <math>\nabla T</math> sobre las curvas de nivel, se puede apreciar que los vectores del gradiente son ortogonales a las curvas de nivel.
{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivadas parciales
%Fx=(2.*X)/(X.^2+1);
%Fy=((2.*Y)-8)/((Y-4).^2+1);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto variación de temperatura a lo largo de un sólido.
 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde <math>\kappa</math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>
Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) =2\cdot cos[2\cdot (x+y-3)] \vec i+ 2\cdot cos[2\cdot (x+y-3) \vec j</math></center>
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
En primer lugar, tomamos el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> y lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math> u (ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él.

==Dibujo antes del desplazamiento==
Previo al desplazamiento, la posición del sólido es idéntica a la representada en el apartado 1.
{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

==Dibujo después del desplazamiento==
Tras la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}</math>, la posición del sólido es la siguiente:
{{matlab|codigo=
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

==Comparación pre y post deplazamiento==
{{matlab|codigo=
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math> u (\rho, \theta) = log (3 − \rho) 2 cos(2\theta)\vec{e_\rho} </math>
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho· log (3 − ρ) 2 cos(2θ))+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{(-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
(Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V)
 
{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('divergencia')
colorbar
view(2)
}}
==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula.

==Representación del cambio de volumen==

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ log (3 − ρ) 2 cos(2θ) \vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (-sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 

{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
 
<center>Max_2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 

Partiendo de la expresión matricial del gradiente: 
<center><math>\nabla\vec{u}=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 

Podemos calcular fácilmente <math>\epsilon(\vec{u})</math>. Además, se tiene que la matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>,las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
el módulo es por lo tanto 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Misses
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}
==Representación de la Tensión de Von Mises==
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}

==Punto de mayor valor==

Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas)

2023-12-14T09:05:26Z

Juan Casteres: /* Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica \vec{Q} */

{{ TrabajoED | Elasticidad en Campos Escalares y Vectoriales (Coordenadas Cilíndricas) - Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Juan Casteres Cortiñas Jorge Martínez Rodríguez-Malo Manuel Martín-Oar Faustmann Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}
En el siguiente trabajo se expondrán los cálculos relacionados con el estudio de diferentes campos escalares y vectoriales, así como su influencia en un sólido curvado. Para ello se hará uso de coordenadas cartesianas y cilíndricas. 

Se considera una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [−3, 3] × [−1, 3]</math>. También se suponen definidas las cantidades físicas de: la temperatura <math>T(x,y)=sin(x\cdot 2+(y−3)\cdot2)</math> y el campo de desplazamientos: <math> u (ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> (Proporcionadas en coordenadas cartesianas y cilíndricas respectivamente). 
Con estos datos, se procede a responder a las siguientes cuestiones:
 
=Dibujo Lámina=
Para el dibujo del mallado se tomará la región dada: una parte de un anillo. Como paso de muestreo para las variables <math>x</math> e <math>y</math>, tomaremos <math>\frac{1}{10}</math>, contrariamente a los <math>\frac{2}{10}</math> que propone el enunciado. Esto, es debido a que un paso de muestreo menor produce una malla con más puntos, y por lo tanto, con más detalle. Es por ello, que la elección de <math>\frac{1}{10}</math> proporciona un buen balance entre detalle y claridad para todos los problemas planteados a lo largo de este artículo. 

Para llevar a cabo el dibujo de la lámina (sólido), se ha empleado el programa informático MATLAB, debido a sus buenas prestaciones y sus múltiples facilidades a la hora de graficar problemas matemáticos.
 
Al tratarse de una geometría circular, se emplearán coordenadas cilíndricas. Sin embargo, MATLAB únicamente trabaja en coordenadas cartesianas, por lo que todos los resultados se expresarán, de forma parametrizada, en coordenadas cartesianas. 
[[Archivo:SoLiDo.jpg|375px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica de una lámina sólida en forma de cuarto de círculo]]
{{matlab|codigo=
%Dibujo Lámina (sólido)
%% Datos y Variables
h=1/10; %Coordenadas r y t
r=1:h:2;
t=pi/4:h:(3*pi)/4;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
%% Dibujo de la malla
mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3]); % definimos ejes
title('Lámina');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;
view(2);
}}
 

=Cálculo de las curvas de nivel del campo de temperaturas=
La temperatura del sólido viene dada por el siguiente campo escalar: 
<center><math>T(x,y)=sin(x\cdot 2+(y−3)\cdot2)</math></center> 

Si introducimos la expresión del campo en MATLAB, podemos representarlo gráficamente con el comando "surf", obteniendo la imagen que se presenta a continuación. 

[[Archivo:fotoplaca.jpg|275px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica del mapa de calor de la función temperatura T]]
{{matlab|codigo=
%% Cálculo función de Temperatura
T=sin(X.^2+(Y-3).^2);
%% Gráfico Mapa Térmico
figure(1);
surf(X,Y,T);
title('Temperatura');
view(2);
axis equal;
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
}}

==Representación curvas de nivel de T==
Las curvas de nivel son líneas que unen los puntos de la misma altitud. Esto nos muestra de una forma muy visual de la variación de la función temperatura. Es posible representar estas curvas en MATLAB mediante el comando "contour".
 
Las zonas de la gráfica que presentan colores más azulados son aquellas en las que la temperatura es menor, mientras que en las zonas más amarillentas la temperatura es mayor.
Las zonas en las que aparecen zonas blancas son aquellas en las que la temperatura es nula. 
[[Archivo:A_._2.jpg|275px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica de las curvas de nivel de la función temperatura T]]
{{matlab|codigo=
%% Gráfico Curvas de Nivel
figure(2);
contour(X,Y,T,50);
title('Curvas de Nivel');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
colorbar
}}

==Punto máximo de T==
Para la función <math>T(x,y)</math> cabe recalcar que los valores máximos y mínimos se alcanzan en el intervalo <math>x ∈ [−1,1]</math> lo que nos da a entender que se trata de una función trigonométrica seno. 
[[Archivo:punto_max.jpg|275px|miniaturadeimagen|derecha|Representación gráfica del punto máximo de la función temperatura T en la lámina de trabajo]]
En los dos gráficos obtenidos, tanto el del campo escalar temperatura como el de las curvas de nivel de dicho campo, podemos hacer zoom y observar que en ambos casos que el punto de la gráfica en el que la temperatura es mayor es aproximadamente el (0,2). 
INTRODUCIR IMAGENES AMPLIADAS

==Cálculo de <math>\vec{\nabla T}</math>==
Podríamos calcular el gradiente del campo escalar T(x,y) analíticamente mediante las fórmulas vistas en clase. Sin embargo, introduciendo el campo escalar "F" y el paso "h" utilizado en apartados anteriores, el comando "gradient" nos lo calcula directamente. 

El comando "contour" nos permite dibujar las curvas de nivel (apartado 2.1) y el comando "quiver" nos permite representar el campo vectorial gradiente. Por tanto, si representamos ambos a la vez mediante el comando "hold on", obtenemos el gráfico de <math>\vec{\nabla T}</math> sobre las curvas de nivel de <math>T(x,y)</math>. 

{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivada parcial respecto de X=Fx=(2.*X)/(X.^2+1);
%Derivada parcial respecto de Y=Fy=((2.*Y)-8)/((Y-4).^2+1);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

==Ortogonalidad de <math>\nabla T</math> respecto a las curvas de nivel==
Representando el campo vectorial <math>\nabla T</math> sobre las curvas de nivel, se puede apreciar que los vectores del gradiente son ortogonales a las curvas de nivel.
{{matlab|codigo=
%% Gradiente de la Temperatura
[FX,FY]=gradient(T,h); %Cálculo del gradiente discretizando h
%Derivadas parciales
%Fx=(2.*X)/(X.^2+1);
%Fy=((2.*Y)-8)/((Y-4).^2+1);
figure(4);
contour(X,Y,T,50);
title('\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
hold on
quiver(X,Y,FX,FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
}}

=Ley de Fourier aplicada a la energía calorífica <math>\vec{Q}</math>=
La energía calorífica es un término utilizado en el campo de la termodinámica, para referirse a aquella energía asociada al calor que recibe, desprende o transmite un cuerpo. Un ejemplo físico muy común de la aplicación de esta fórmula es la transmisión de calor, y por tanto variación de temperatura a lo largo de un sólido.
 
Según la Ley de Fourier, la energía calorífica <math>\vec{Q}</math> viaja de acuerdo a la fórmula <math>\vec{Q} = −\kappa\nabla T</math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1. 
Sabiendo que el gradiente de la temperatura representa la dirección de más velocidad de cambio de la función. El cual viene dado por: 
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>
Por tanto, queda:
<center><math>\nabla T(x,y) =2\cdot cos[2\cdot (x+y-3)] \vec i+ 2\cdot cos[2\cdot (x+y-3) \vec j</math></center>
Una propiedad característica del gradiente es la ortogonalidad a las curvas de nivel que hemos representado en el apartado anterior.
{{matlab|codigo=
%% Ley de Fourier
figure(5);
title('Q=-k\nablaT');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial Fourier
quiver(X,Y,-FX,-FY)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Dibujo de un campo vectorial sobre el mallado, en t=0=
En primer lugar, tomamos el campo vectorial <math>\vec{u}(ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> y lo parametrizamos como se muestra en las líneas 3 y 5 del código. Esto lo hacemos para tener <math>\vec{u}</math> expresado en coordenadas cartesianas, ya que MATLAB no puede representarlo si está expresado en cilíndricas. 

Posteriormente, representamos dicho campo vectorial sobre nuestro sólido mediante la función "quiver", obteniendo el gráfico que se muestra a continuación.

{{matlab|codigo=
%%Campo en t=0
%Componente x campo vectorial (Nueva parametrización)
ui=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*cos(V);
%Componente y campo vectorial
uj=((log(3-U))./2).*cos(2.*V).*sin(V);
figure(6);
title('Campo de vectores u en t=0');
xlabel('X');
ylabel('Y');
view(2);
hold on
%Representación campo vectorial u
quiver(X,Y,ui,uj)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
}}

=Desplazamiento provocado por el campo vectorial <math>\vec{u}</math>=
Dado el campo: <math> u (ρ, θ) = log (3 − ρ) 2 cos(2θ)\vec{e_ρ} </math> queremos representar el desplazamiento que experimenta nuestro sólido a causa de él.

==Dibujo antes del desplazamiento==
Previo al desplazamiento, la posición del sólido es idéntica a la representada en el apartado 1.
{{matlab|codigo=
%Inicio
subplot(2,2,1);
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g')
title('Situación antes del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

==Dibujo después del desplazamiento==
Tras la actuación del campo vectorial <math>\vec{u}</math>, la posición del sólido es la siguiente:
{{matlab|codigo=
%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
title('Situación después del desplazamiento');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

==Comparación pre y post deplazamiento==
{{matlab|codigo=
%Comparación entre ambas situaciones
subplot(2,2,3.5);
mesh(X+ui,Y+uj,X*0);
hold on
j=mesh(X,Y,X*0);
set(j,'EdgeColor','g');
title('Comaparación');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
axis([-3,3,-1,3])
view(2);
}}

=Dibujo de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> en t=0=
En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial de la divergencia de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
Tomando nuestro campo vectorial: <math> u (\rho, \theta) = log (3 − \rho) 2 cos(2\theta)\vec{e_\rho} </math>
 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho· log (3 − ρ) 2 cos(2θ))+\vec 0 ({\vec u_\theta })+\vec 0({\rho·\vec u_z })] = \frac{(-cos(2V)}{2 \cdot (3-U)}+ \frac{(log(3-U)\cdot cos(2V)}{2U} </math></center>
 
(Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V)
 
{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(8)
div=((-cos(2.*V))./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./2.*U);
surf(X,Y,div)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('divergencia')
colorbar
view(2)
}}
==Análisis de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math>==
Se pide determinar de forma analítica los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula.

==Representación del cambio de volumen==

=Cálculo y dibujo de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> en t=0=
El rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. En coordenadas cilíndricas, el operador diferencial del rotacional de campos vectoriales viene dado por: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

Sustituyendo para los valores de nuestro campo y operando, obtenemos: 
<center><math>\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \ log (3 − ρ) 2 cos(2θ) \vec{u_ρ} & 0 & 0 \end{matrix}\right| = (\frac {1}{ρ} \cdot (-sin(2\cdot θ))\cdot log(3-ρ)) \vec{e_z}</math>.</center> 

Tras calcular <math>\nabla \times \vec{u}</math>, sabemos que es un campo vectorial. Sin embargo, lo pedido es <math>|\nabla \times \vec{u}|</math>, que es un campo escalar. Por tanto, se hace se procede a hacer el módulo del rotacional calculado anteriormente. 

Al introducir el campo en MATLAB, parametrizamos poniéndolo en función de U y V: 
<center><math> (\frac {1}{V} \cdot (-sin(2\cdot U))\cdot log(3-V)) \vec{e_z}</math></center> 

Si representamos gráficamente el campo escalar calculado, obtenemos las figuras que se muestran debajo. 

{{matlab|codigo=
figure(9)
ROT=sqrt(((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)).^2); %Módulo del campo escalar.
%%ROT=abs((1./U).*(-sin(2*V)).*log(3.-U)); %Valor absoluto del campo.
subplot(1,2,1)
%Rotacional en 2D
pcolor(X,Y,ROT);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis on;
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot(0.7,0.7,'ro') %Máximo 1 en gráfico 2D
hold on
plot(-0.65,0.75,'ro') %Máximo 2 en gráfico 2D
%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,ROT);
view(3)
colorbar;
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
axis on
axis([-3,3,-1,3]);
hold on
plot3(0.7,0.7,0.693,'ro') %Máximo 1 en gráfico 3D
hold on
plot3(-0.65,0.75,0.693,'ro') %Máximo 2 en gráfico 3D
}}

==Cálculo punto máximo del rotacional==
Como puntos máximos de rotacional, como se puede observar en el gráfico, nos quedan los siguientes puntos:
 
<center>Max1(0.7,0.7,0.693).</center>
 
<center>Max_2(-0.65,0.75,0.693)</center>
 
Los cuales están señalados en ambos gráficos con un círculo rojo.

=Tensor Tensiones=
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo se puede describir el tensor de tensiones mediante la expresión: 
<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math></center> 
Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 

Partiendo de la expresión matricial del gradiente: 
<center><math>\nabla\vec{u}=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math></center> 

Podemos calcular fácilmente <math>\epsilon(\vec{u})</math>. Además, se tiene que la matriz identidad multiplicada por la divergencia del campo <math>\vec{u}</math> da como resultado la matriz: 
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}1=\begin{pmatrix} \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0 & 0\\ 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

Por lo tanto, operando con las matrices anteriores se obtiene la matriz del tensor tensiones: 
<center><math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} </math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\rho}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{i}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{i}</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_\theta}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{j}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{j}</math>. 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho}</math></center> 

==Tensiones normales en la dirección de <math>\vec{e_z}</math>==
Vienen definidas por <math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}</math>. Por tanto, multiplicando la matriz <math>\sigma</math> a ambos lados por el vector unitario <math>\vec{k}</math>, obtenemos las tensiones normales en la dirección de <math>\vec{k}</math>. 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center> 

<center><math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=</math><math>\frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} </math></center> 

==Código Matlab==
{{matlab|codigo=
%% Apartado 8
i_sig_i=(-3./2).*(cos(2.*V)./(3-U))+(log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U);
j_sig_j=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+(3./2).*((log(3-U).*cos(2.*V))./U);
k_sig_k=(-cos(2.*V)./(2.*(3-U)))+((log(3-U).*cos(2.*V))./(2.*U));
figure(10)
subplot(2,2,1)
surf(X,Y,i_sig_i)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(X,Y,j_sig_j)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(X,Y,k_sig_k)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
title('k·\sigma·k')
}} 
Los tres campos escalares resultantes representan las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\rho}</math>,las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{e_\theta}</math>, y las correspondientes al eje <math>\vec{e_z}</math>.

=Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>=
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> lo tenemos calculado del apartado 8.2, bastará con multiplicar el valor hallado por <math>\vec{e_\rho}</math>. 
<center><math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}</math><math> = \frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}</math><math>\vec{e_\rho}</math><math> = \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 
<math>\sigma\cdot\vec{e_\rho}</math> se calcula de la siguiente forma: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{3}{2}\cdot\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\\ 0 & 0 & \frac{-cos(2\cdot\theta)}{2\cdot(3-\rho)}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> <center><math>=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Por lo tanto, el vector solución resultante de la resta de los anteriores es: 
<center><math>\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho} & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\cdot\frac{-cos(2\cdot\theta)}{3-\rho}+\frac{log(3-\rho)\cdot cos(2\cdot\theta)}{2\cdot\rho}& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & \frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho} & 0\end{pmatrix}</math></center> 
Dado que en Matlab se trabaja en coordenadas cartesianas, Es necesario pasar de la base física cilíndrica a la cartesiana. 
<center><math>(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\vec{e_\theta}=(\frac{-log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)}{\rho})\cdot(-sen(\theta))\vec{i}+cos(\theta)\vec{j})=\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho}\vec{i}-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho}\vec{j}</math></center> 
el módulo es por lo tanto 
<center><math>\sqrt{(\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot sin(\theta)}{\rho})^2+(-\frac{log(3-\rho)\cdot sin(2\cdot\theta)\cdot cos(\theta)}{\rho})^2}</math></center>
{{matlab|codigo=
tti=((log(3-U).*sin(2.*V).*sin(V)./U));
ttj=((-log(3-U).*sin(2.*V).*cos(V)./U));
mod=sqrt((tti.^2)+(ttj.^2));
figure(11)
hold on
mesh(X,Y,X.*0)
surf(X,Y,mod)
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
title('módulo de tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i');
}}

=Tensión de Von Mises=
La tensión de Von Mises viene definida por la fórmula:

<center><math> \sigma_{VM}= \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math></center>
 
donde <math>\sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 </math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
 
Para sacar los autovalores en MATLAB se utiliza el comando eig.m
{{matlab|codigo=
%% Matriz Tensión de Von Misses
sig=[];
M_VonMises=zeros(length(t),length(r));
a=@(UU,VV)(-3./2).*(cos(2.*VV)./(3-UU))+(log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU);
b=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+(3./2).*((log(3-UU).*cos(2.*VV))./UU);
c=@(UU,VV)(-cos(2.*VV)./(2.*(3-UU)))+((log(3-UU).*cos(2.*VV))./(2.*UU));
d=@(UU,VV)((-log(3-UU).*sin(2.*VV))./UU);

%fila1=[a,d,0];
%fila2=[d,b,0];
%fila3=[0,0,c];
%sigma=[fila1;fila2;fila3]

% Se ha de asignar a la matriz "M_VonMises" los valores
% de la tensión de Von Mises en cada punto de la placa.
for i=1:length(t)
for j=1:length(r)
sig(1,1)=a(U(i,j),V(i,j));
sig(1,2)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(1,3)=0;
sig(2,1)=d(U(i,j),V(i,j));
sig(2,2)=b(U(i,j),V(i,j));
sig(2,3)=0;
sig(3,1)=0;
sig(3,2)=0;
sig(3,3)=c(U(i,j),V(i,j));
[v,u]=eig(sig);%Autovalores
M_VonMises(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2)).^2+((u(2,2)-u(3,3)).^2)+((u(3,3)-u(1,1)).^2))/2);
end
end
% Von Mises.
}}
==Representación de la Tensión de Von Mises==
{{matlab|codigo=
%Representación Von Mises
figure(12)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(2)
figure(13)
surf(X,Y,M_VonMises);
% Se pone título a la gráfica.
title('Von Mises');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
% Se da equidistancia a los ejes.
% Se le aplica una barra con colores en función
% de la tension de Von Mises en cada punto.
colorbar;
view(3)
}}

==Punto de mayor valor==