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Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo 21-A)

2022-12-08T16:14:56Z

Jose.serna.garcia:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo21-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | José Serna García, Galo Pastor Brezmes, Javier López Gonzalez y Miguel Millaruelo Frontela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

== Representación del semianillo ==

Para empezar este artículo, vamos a representar el anillo con el que trabajaremos. Para ello emplearemos coordenadas cilíndricas y lo representaremos entre los ejes [-3,3]x[-1,3].

[[Archivo:FiguraApartado1.2.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Primero parametrizaremos la superficie en función de rho y theta.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;

%Después vamos a definir el mallado correspondiente.
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Ahora vamos a definir las variables X e Y en coordenadas cilíndricas (en función de R y TT).
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Por último, representaremos la superficie deseada entre los ejes [-3,3]x[-1,3].
figure(1);
subplot(1,2,1);
mesh(X,Y,0*X);
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);

}}

== Curvas de nivel del campo de temperaturas ==

A continuación veremos cómo actúa el campo escalar de temperaturas "T" sobre nuestro anillo y veremos representadas las curvas de nivel del campo sobre él.
Como podemos observar en la imagen, a partir de las curvas de nivel se deduce que el punto del anillo en el cual la temperatura es máxima es el punto (0,2).
[[Archivo:FiguraApartado2.3.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Primero vamos a parametrizar la superficie igual que en el apartado anterior y a crear el mallado.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Definimos las variables X e Y en función de R y TT.
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Definimos el campo de temperaturas "T" en función de X e Y.
T=((X-3).^2)+((10.*(Y-0.5)).^2);

%Representamos las curvas de nivel del campo T sobre la superficie designada.
figure(1);
mesh(X,Y,0*X);
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de temperaturas');
subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Curvas de nivel');
colorbar;

}}

== Gradiente del campo de temperaturas ==

El gradiente de este campo de temperaturas será: ∇T=(2x-6)i+(200y-100)j. Gracias a esto podemos demostrar que la dirección de aumento máximo de la temperatura es perpendicular a las curvas de nivel del campo.

[[Archivo:FiguraApartado3.2.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Parametrizamos la superficie y creamos el mallado.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Definimos las variables X e Y en función de R y TT.
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Definimos el campo de temperaturas "T" en función de X e Y. También las matrices Tx y Ty de su gradiente.
T=((X-3).^2)+((10.*(Y-0.5)).^2);
Tx=(2*X)-6;
Ty=(200*Y)-100;

%Representamos el gradiente del campo T sobre las curvas de nivel del campo mismo.
figure(1)
mesh(X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off

}}

== Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido ==
El campo de vectores dado será: u(ρ,θ)=(1/2)log(ρ)sin(2θ − π/2) en la dirección de eρ

[[Archivo:Pregunta 4.jpg]]

{{matlab|codigo=
%intervalos variables
u=1:0.1:2;
v=pi/4:pi/50:3.*pi/4;
%mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%parametrización
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
FX=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
FY=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
%visualizacion del dibujo
quiver(X,Y,FX,FY);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido')
}}

== Sólido previo y posterior a los desplazamientos==
Ahora representaremos las deformaciones producidas en nuestra placa debido a la actuación del campo vectorial u(ρ,θ), mostrando la placa antes y después de las deformaciones, así como una tercera representación comparando ambos casos.

[[Archivo:Pregunta6.PNG|marco|centro]]

{{matlab|codigo=
%creamos los intervalos de las variables
u=1:0.1:2,
v=pi/4:pi/50:3.*pi/4;
%mallado
[U,V] = meshgrid(u,v);
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);
%función
FX=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*cos(V);
FY=log(U).*sin(2.*V-pi/2).*sin(V);
%representación gráfica
%antes de la deformación
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes de la deformación');
%después de la deformación
subplot(1,3,2)
UX=X+FX;
UY=Y+FY;
surf(UX,UY,0*UX);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Después de la deformación');
%comparación
subplot(1,3,3)
hold on
plot(X,Y,'r');
plot(UX,UY,'b');
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Comparación');
hold off
}}

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Rotacional ==

A continuación representaremos el rotacional en los diferentes puntos de nuestra placa.

El rotacional del campo será: <math>\triangle \times \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right )=\left ( \frac{d\vec{e_{\theta }}\rho u_{\rho }}{dz} -\frac{d u_{\rho}}{d\theta } \vec{e_{z}} \right )
</math> y dado que: <math>\frac{d\vec{e_{\theta }}\rho u_{\rho }}{dz} = 0</math>, podemos concluir que: <math>\left | \triangle \times \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right ) \right | = \frac{\log(\rho )cos(2 \theta -\frac{\pi }{2})}{\rho }</math>.

{{matlab|codigo=

num = 0.2;
u = 1:num:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

[rho,theta] = meshgrid(u,v);
x = rho.*cos(theta);
y = rho.*sin(theta);

rotacional = abs((cos(2*theta-pi/2)./(rho)).*(log(rho)));

subplot(1,2,1);
surf(x,y,rotacional);
axis([-3,3,-1,3]);view(2);
colorbar;
title('Rotacional');

}}

[[Archivo:RotacionalSemiAnilloGrupo21-A.jpg|marco|centro]]

== Vectores normales direccionales ==

El tensor de tensiones <math>\sigma _{ij}</math> viene dado por: <math>\sigma = \lambda \triangledown \cdot \vec{u} \mathbf{1} + 2\mu \epsilon </math>, siendo <math>\lambda = \mu = 1</math>

Siendo <math>\epsilon </math> definido como: <math>\epsilon \left ( \vec{u} \right ) = \frac{\left ( \triangledown \vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t}\right )}{2}</math> y cuyas componentes de la diagonal principal son: <math>\epsilon_{11} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }</math>, <math>\epsilon_{22} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})\cdot log(\rho )}{2}</math> y <math>\epsilon_{22} = 0 </math>.

La divergencia del campo será: <math>\triangledown \cdot \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right ) = \frac{1}{\rho }\cdot \frac{d\rho u_{\rho }}{d\rho } = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho } \cdot \left ( log(\rho ) +1\right )</math>

La tensión en dirección <math>\vec{\rho} </math> será: <math>\sigma _{11} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{11} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 3\right )</math>

La tensión en dirección <math>\vec{\theta} </math> será: <math>\sigma _{22} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{22} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 1\right ) + log(\rho )\cdot sen(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

La tensión en dirección <math>\vec{k} </math> será: <math>\sigma _{33} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{33} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 1\right )</math>

{{matlab|codigo=

num = 0.2;
u = 1:num:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

[rho,theta] = meshgrid(u,v);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
Z = zeros(size(X));
clf

a = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+3);
b = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+1)+log(rho).*sin(2*theta-pi()/2);
c = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+1);

subplot(1,3,1)
surf(X,Y,a)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional Rho')

subplot(1,3,2)
surf(X,Y,b)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional Theta')

subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')

}}

[[Archivo:VectoresNormalesDireccionalesGrupo21-A20222023.jpg|marco|centro]]

== Tensiones tangenciales respecto a <math>\vec{\rho} </math> ==

La tensión tangencial respecto a <math>\vec{\rho} </math> viene dada por la siguiente expresión:

<math>\left | \sigma \cdot \vec{e_{\rho }} -\left ( \vec{e_{\rho }} \cdot \sigma \cdot \vec{e_{\rho }} \right ) \cdot \vec{e_{\rho }} \right | = \left | \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix} - \sigma _{11} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right | = \left | \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right | = \left | \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix}\right |</math>

Y dado que:

<math>\sigma _{21} = \frac{\frac{du_{\theta }}{d\rho } + \frac{du_{\rho }}{d\theta } - u_{\theta }}{2} = 0</math>

<math>\sigma _{31} = \frac{\frac{du_{z}}{d\rho } + \frac{du_{\rho }}{dz}}{2} = 0</math>

Se puede concluir que todas las tensiones tangenciales respecto a <math>\vec{\rho} </math> son nulas.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo 21-A)

2022-12-08T12:33:30Z

Jose.serna.garcia: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo21-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | José Serna García, Galo Pastor Brezmes, Javier López Gonzalez y Miguel Millaruelo Frontela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

== Representación del semianillo ==

Para empezar este artículo, vamos a representar el anillo con el que trabajaremos. Para ello emplearemos coordenadas cilíndricas y lo representaremos entre los ejes [-3,3]x[-1,3].

[[Archivo:FiguraApartado1.2.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Primero parametrizaremos la superficie en función de rho y theta.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;

%Después vamos a definir el mallado correspondiente.
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Ahora vamos a definir las variables X e Y en coordenadas cilíndricas (en función de R y TT).
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Por último, representaremos la superficie deseada entre los ejes [-3,3]x[-1,3].
figure(1);
subplot(1,2,1);
mesh(X,Y,0*X);
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);

}}

== Curvas de nivel del campo de temperaturas ==

A continuación veremos cómo actúa el campo escalar de temperaturas "T" sobre nuestro anillo y veremos representadas las curvas de nivel del campo sobre él.
Como podemos observar en la imagen, a partir de las curvas de nivel se deduce que el punto del anillo en el cual la temperatura es máxima es el punto (0,2).
[[Archivo:FiguraApartado2.3.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Primero vamos a parametrizar la superficie igual que en el apartado anterior y a crear el mallado.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Definimos las variables X e Y en función de R y TT.
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Definimos el campo de temperaturas "T" en función de X e Y.
T=((X-3).^2)+((10.*(Y-0.5)).^2);

%Representamos las curvas de nivel del campo T sobre la superficie designada.
figure(1);
mesh(X,Y,0*X);
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de temperaturas');
subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Curvas de nivel');
colorbar;

}}

== Gradiente del campo de temperaturas ==

El gradiente de este campo de temperaturas será: ∇T=(2x-6)i+(200y-100)j. Gracias a esto podemos demostrar que la dirección de aumento máximo de la temperatura es perpendicular a las curvas de nivel del campo.

[[Archivo:FiguraApartado3.2.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Parametrizamos la superficie y creamos el mallado.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Definimos las variables X e Y en función de R y TT.
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Definimos el campo de temperaturas "T" en función de X e Y. También las matrices Tx y Ty de su gradiente.
T=((X-3).^2)+((10.*(Y-0.5)).^2);
Tx=(2*X)-6;
Ty=(200*Y)-100;

%Representamos el gradiente del campo T sobre las curvas de nivel del campo mismo.
figure(1)
mesh(X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off

}}

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Rotacional ==

A continuación representaremos el rotacional en los diferentes puntos de nuestra placa.

El rotacional del campo será: <math>\triangle \times \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right )=\left ( \frac{d\vec{e_{\theta }}\rho u_{\rho }}{dz} -\frac{d u_{\rho}}{d\theta } \vec{e_{z}} \right )
</math> y dado que: <math>\frac{d\vec{e_{\theta }}\rho u_{\rho }}{dz} = 0</math>, podemos concluir que: <math>\left | \triangle \times \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right ) \right | = \frac{\log(\rho )cos(2 \theta -\frac{\pi }{2})}{\rho }</math>.

{{matlab|codigo=

num = 0.2;
u = 1:num:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

[rho,theta] = meshgrid(u,v);
x = rho.*cos(theta);
y = rho.*sin(theta);

rotacional = abs((cos(2*theta-pi/2)./(rho)).*(log(rho)));

subplot(1,2,1);
surf(x,y,rotacional);
axis([-3,3,-1,3]);view(2);
colorbar;
title('Rotacional');

}}

[[Archivo:RotacionalSemiAnilloGrupo21-A.jpg|marco|centro]]

== Vectores normales direccionales ==

El tensor de tensiones <math>\sigma _{ij}</math> viene dado por: <math>\sigma = \lambda \triangledown \cdot \vec{u} \mathbf{1} + 2\mu \epsilon </math>, siendo <math>\lambda = \mu = 1</math>

Siendo <math>\epsilon </math> definido como: <math>\epsilon \left ( \vec{u} \right ) = \frac{\left ( \triangledown \vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t}\right )}{2}</math> y cuyas componentes de la diagonal principal son: <math>\epsilon_{11} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }</math>, <math>\epsilon_{22} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})\cdot log(\rho )}{2}</math> y <math>\epsilon_{22} = 0 </math>.

La divergencia del campo será: <math>\triangledown \cdot \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right ) = \frac{1}{\rho }\cdot \frac{d\rho u_{\rho }}{d\rho } = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho } \cdot \left ( log(\rho ) +1\right )</math>

La tensión en dirección <math>\vec{\rho} </math> será: <math>\sigma _{11} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{11} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 3\right )</math>

La tensión en dirección <math>\vec{\theta} </math> será: <math>\sigma _{22} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{22} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 1\right ) + log(\rho )\cdot sen(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

La tensión en dirección <math>\vec{k} </math> será: <math>\sigma _{33} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{33} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 1\right )</math>

{{matlab|codigo=

num = 0.2;
u = 1:num:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

[rho,theta] = meshgrid(u,v);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
Z = zeros(size(X));
clf

a = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+3);
b = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+1)+log(rho).*sin(2*theta-pi()/2);
c = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+1);

subplot(1,3,1)
surf(X,Y,a)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional Rho')

subplot(1,3,2)
surf(X,Y,b)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional Theta')

subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')

}}

[[Archivo:VectoresNormalesDireccionalesGrupo21-A20222023.jpg|marco|centro]]

== Tensiones tangenciales respecto a <math>\vec{\rho} </math> ==

La tensión tangencial respecto a <math>\vec{\rho} </math> viene dada por la siguiente expresión:

<math>\left | \sigma \cdot \vec{e_{\rho }} -\left ( \vec{e_{\rho }} \cdot \sigma \cdot \vec{e_{\rho }} \right ) \cdot \vec{e_{\rho }} \right | = \left | \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix} - \sigma _{11} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right | = \left | \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right | = \left | \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix}\right |</math>

Y dado que:

<math>\sigma _{21} = \frac{\frac{du_{\theta }}{d\rho } + \frac{du_{\rho }}{d\theta } - u_{\theta }}{2} = 0</math>

<math>\sigma _{31} = \frac{\frac{du_{z}}{d\rho } + \frac{du_{\rho }}{dz}}{2} = 0</math>

Se puede concluir que todas las tensiones tangenciales respecto a <math>\vec{\rho} </math> son nulas.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo 21-A)

2022-12-08T12:32:10Z

Jose.serna.garcia: /* Vectores normales direccionales */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo21-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | José Serna García, Galo Pastor Brezmes, Javier López Gonzalez y Miguel Millaruelo Frontela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

== Representación del semianillo ==

Para empezar este artículo, vamos a representar el anillo con el que trabajaremos. Para ello emplearemos coordenadas cilíndricas y lo representaremos entre los ejes [-3,3]x[-1,3].

[[Archivo:FiguraApartado1.2.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Primero parametrizaremos la superficie en función de rho y theta.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;

%Después vamos a definir el mallado correspondiente.
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Ahora vamos a definir las variables X e Y en coordenadas cilíndricas (en función de R y TT).
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Por último, representaremos la superficie deseada entre los ejes [-3,3]x[-1,3].
figure(1);
subplot(1,2,1);
mesh(X,Y,0*X);
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);

}}

== Curvas de nivel del campo de temperaturas ==

A continuación veremos cómo actúa el campo escalar de temperaturas "T" sobre nuestro anillo y veremos representadas las curvas de nivel del campo sobre él.
Como podemos observar en la imagen, a partir de las curvas de nivel se deduce que el punto del anillo en el cual la temperatura es máxima es el punto (0,2).
[[Archivo:FiguraApartado2.3.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Primero vamos a parametrizar la superficie igual que en el apartado anterior y a crear el mallado.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Definimos las variables X e Y en función de R y TT.
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Definimos el campo de temperaturas "T" en función de X e Y.
T=((X-3).^2)+((10.*(Y-0.5)).^2);

%Representamos las curvas de nivel del campo T sobre la superficie designada.
figure(1);
mesh(X,Y,0*X);
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de temperaturas');
subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Curvas de nivel');
colorbar;

}}

== Gradiente del campo de temperaturas ==

El gradiente de este campo de temperaturas será: ∇T=(2x-6)i+(200y-100)j. Gracias a esto podemos demostrar que la dirección de aumento máximo de la temperatura es perpendicular a las curvas de nivel del campo.

[[Archivo:FiguraApartado3.2.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Parametrizamos la superficie y creamos el mallado.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Definimos las variables X e Y en función de R y TT.
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Definimos el campo de temperaturas "T" en función de X e Y. También las matrices Tx y Ty de su gradiente.
T=((X-3).^2)+((10.*(Y-0.5)).^2);
Tx=(2*X)-6;
Ty=(200*Y)-100;

%Representamos el gradiente del campo T sobre las curvas de nivel del campo mismo.
figure(1)
mesh(X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off

}}

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Rotacional ==

El rotacional del campo será: <math>\triangle \times \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right )=\left ( \frac{d\vec{e_{\theta }}\rho u_{\rho }}{dz} -\frac{d u_{\rho}}{d\theta } \vec{e_{z}} \right )
</math> y dado que: <math>\frac{d\vec{e_{\theta }}\rho u_{\rho }}{dz} = 0</math>, podemos concluir que: <math>\left | \triangle \times \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right ) \right | = \frac{\log(\rho )cos(2 \theta -\frac{\pi }{2})}{\rho }</math>.

{{matlab|codigo=

num = 0.2;
u = 1:num:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

[rho,theta] = meshgrid(u,v);
x = rho.*cos(theta);
y = rho.*sin(theta);

rotacional = abs((cos(2*theta-pi/2)./(rho)).*(log(rho)));

subplot(1,2,1);
surf(x,y,rotacional);
axis([-3,3,-1,3]);view(2);
colorbar;
title('Rotacional');

}}

[[Archivo:RotacionalSemiAnilloGrupo21-A.jpg|marco|centro]]

== Vectores normales direccionales ==

El tensor de tensiones <math>\sigma _{ij}</math> viene dado por: <math>\sigma = \lambda \triangledown \cdot \vec{u} \mathbf{1} + 2\mu \epsilon </math>, siendo <math>\lambda = \mu = 1</math>

Siendo <math>\epsilon </math> definido como: <math>\epsilon \left ( \vec{u} \right ) = \frac{\left ( \triangledown \vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t}\right )}{2}</math> y cuyas componentes de la diagonal principal son: <math>\epsilon_{11} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }</math>, <math>\epsilon_{22} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})\cdot log(\rho )}{2}</math> y <math>\epsilon_{22} = 0 </math>.

La divergencia del campo será: <math>\triangledown \cdot \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right ) = \frac{1}{\rho }\cdot \frac{d\rho u_{\rho }}{d\rho } = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho } \cdot \left ( log(\rho ) +1\right )</math>

La tensión en dirección <math>\vec{\rho} </math> será: <math>\sigma _{11} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{11} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 3\right )</math>

La tensión en dirección <math>\vec{\theta} </math> será: <math>\sigma _{22} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{22} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 1\right ) + log(\rho )\cdot sen(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

La tensión en dirección <math>\vec{k} </math> será: <math>\sigma _{33} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{33} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 1\right )</math>

{{matlab|codigo=

num = 0.2;
u = 1:num:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

[rho,theta] = meshgrid(u,v);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
Z = zeros(size(X));
clf

a = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+3);
b = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+1)+log(rho).*sin(2*theta-pi()/2);
c = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+1);

subplot(1,3,1)
surf(X,Y,a)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional Rho')

subplot(1,3,2)
surf(X,Y,b)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional Theta')

subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')

}}

[[Archivo:VectoresNormalesDireccionalesGrupo21-A20222023.jpg|marco|centro]]

== Tensiones tangenciales respecto a <math>\vec{\rho} </math> ==

La tensión tangencial respecto a <math>\vec{\rho} </math> viene dada por la siguiente expresión:

<math>\left | \sigma \cdot \vec{e_{\rho }} -\left ( \vec{e_{\rho }} \cdot \sigma \cdot \vec{e_{\rho }} \right ) \cdot \vec{e_{\rho }} \right | = \left | \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix} - \sigma _{11} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right | = \left | \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right | = \left | \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix}\right |</math>

Y dado que:

<math>\sigma _{21} = \frac{\frac{du_{\theta }}{d\rho } + \frac{du_{\rho }}{d\theta } - u_{\theta }}{2} = 0</math>

<math>\sigma _{31} = \frac{\frac{du_{z}}{d\rho } + \frac{du_{\rho }}{dz}}{2} = 0</math>

Se puede concluir que todas las tensiones tangenciales respecto a <math>\vec{\rho} </math> son nulas.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo 21-A)

2022-12-08T12:31:51Z

Jose.serna.garcia: /* Vectores normales direccionales */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo21-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | José Serna García, Galo Pastor Brezmes, Javier López Gonzalez y Miguel Millaruelo Frontela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

== Representación del semianillo ==

Para empezar este artículo, vamos a representar el anillo con el que trabajaremos. Para ello emplearemos coordenadas cilíndricas y lo representaremos entre los ejes [-3,3]x[-1,3].

[[Archivo:FiguraApartado1.2.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Primero parametrizaremos la superficie en función de rho y theta.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;

%Después vamos a definir el mallado correspondiente.
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Ahora vamos a definir las variables X e Y en coordenadas cilíndricas (en función de R y TT).
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Por último, representaremos la superficie deseada entre los ejes [-3,3]x[-1,3].
figure(1);
subplot(1,2,1);
mesh(X,Y,0*X);
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);

}}

== Curvas de nivel del campo de temperaturas ==

A continuación veremos cómo actúa el campo escalar de temperaturas "T" sobre nuestro anillo y veremos representadas las curvas de nivel del campo sobre él.
Como podemos observar en la imagen, a partir de las curvas de nivel se deduce que el punto del anillo en el cual la temperatura es máxima es el punto (0,2).
[[Archivo:FiguraApartado2.3.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Primero vamos a parametrizar la superficie igual que en el apartado anterior y a crear el mallado.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Definimos las variables X e Y en función de R y TT.
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Definimos el campo de temperaturas "T" en función de X e Y.
T=((X-3).^2)+((10.*(Y-0.5)).^2);

%Representamos las curvas de nivel del campo T sobre la superficie designada.
figure(1);
mesh(X,Y,0*X);
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de temperaturas');
subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Curvas de nivel');
colorbar;

}}

== Gradiente del campo de temperaturas ==

El gradiente de este campo de temperaturas será: ∇T=(2x-6)i+(200y-100)j. Gracias a esto podemos demostrar que la dirección de aumento máximo de la temperatura es perpendicular a las curvas de nivel del campo.

[[Archivo:FiguraApartado3.2.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Parametrizamos la superficie y creamos el mallado.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Definimos las variables X e Y en función de R y TT.
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Definimos el campo de temperaturas "T" en función de X e Y. También las matrices Tx y Ty de su gradiente.
T=((X-3).^2)+((10.*(Y-0.5)).^2);
Tx=(2*X)-6;
Ty=(200*Y)-100;

%Representamos el gradiente del campo T sobre las curvas de nivel del campo mismo.
figure(1)
mesh(X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off

}}

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Rotacional ==

El rotacional del campo será: <math>\triangle \times \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right )=\left ( \frac{d\vec{e_{\theta }}\rho u_{\rho }}{dz} -\frac{d u_{\rho}}{d\theta } \vec{e_{z}} \right )
</math> y dado que: <math>\frac{d\vec{e_{\theta }}\rho u_{\rho }}{dz} = 0</math>, podemos concluir que: <math>\left | \triangle \times \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right ) \right | = \frac{\log(\rho )cos(2 \theta -\frac{\pi }{2})}{\rho }</math>.

{{matlab|codigo=

num = 0.2;
u = 1:num:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

[rho,theta] = meshgrid(u,v);
x = rho.*cos(theta);
y = rho.*sin(theta);

rotacional = abs((cos(2*theta-pi/2)./(rho)).*(log(rho)));

subplot(1,2,1);
surf(x,y,rotacional);
axis([-3,3,-1,3]);view(2);
colorbar;
title('Rotacional');

}}

[[Archivo:RotacionalSemiAnilloGrupo21-A.jpg|marco|centro]]

== Vectores normales direccionales ==

El tensor de tensiones <math>\sigma _{ij}</math> viene dado por: <math>\sigma = \lambda \triangledown \cdot \vec{u} \mathbf{1} + 2\mu \epsilon </math>, siendo <math>\lambda = \mu = 1</math>

Siendo <math>\epsilon </math> definido como: <math>\epsilon \left ( \vec{u} \right ) = \frac{\left ( \triangledown \vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t}\right )}{2}</math> y cuyas componentes de la diagonal principal son: <math>\epsilon_{11} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }</math>, <math>\epsilon_{22} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})\cdot log(\rho )}{2}</math> y <math>\epsilon_{22} = 0 </math>.

La divergencia del campo será: <math>\triangledown \cdot \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right ) = \frac{1}{\rho }\cdot \frac{d\rho u_{\rho }}{d\rho } = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho } \cdot \left ( log(\rho ) +1\right )</math>

La tensión en dirección <math>\vec{\rho} </math> será: <math>\sigma _{11} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{11} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 3\right )</math>

La tensión en dirección <math>\vec{\theta} </math> será: <math>\sigma _{22} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{22} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 1\right ) + log(\rho )\cdot sen(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

La tensión en dirección <math>\vec{k} </math> será: <math>\sigma _{33} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{33} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 1\right )</math>

{{matlab|codigo=

num = 0.2;
u = 1:num:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

[rho,theta] = meshgrid(u,v);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
Z = zeros(size(X));
clf

a = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+3);
b = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+1)+log(rho).*sin(2*theta-pi()/2);
c = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+1);

subplot(1,3,1)
surf(X,Y,a)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional Rho')

subplot(1,3,2)
surf(X,Y,b)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional Theta')

subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')

}}

[[Archivo:VectoresNormalesDireccionalesGrupo21-A20222023.jpg|marco|ninguna]]

== Tensiones tangenciales respecto a <math>\vec{\rho} </math> ==

La tensión tangencial respecto a <math>\vec{\rho} </math> viene dada por la siguiente expresión:

<math>\left | \sigma \cdot \vec{e_{\rho }} -\left ( \vec{e_{\rho }} \cdot \sigma \cdot \vec{e_{\rho }} \right ) \cdot \vec{e_{\rho }} \right | = \left | \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix} - \sigma _{11} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right | = \left | \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right | = \left | \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix}\right |</math>

Y dado que:

<math>\sigma _{21} = \frac{\frac{du_{\theta }}{d\rho } + \frac{du_{\rho }}{d\theta } - u_{\theta }}{2} = 0</math>

<math>\sigma _{31} = \frac{\frac{du_{z}}{d\rho } + \frac{du_{\rho }}{dz}}{2} = 0</math>

Se puede concluir que todas las tensiones tangenciales respecto a <math>\vec{\rho} </math> son nulas.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

Archivo:VectoresNormalesDireccionalesGrupo21-A20222023.jpg

2022-12-08T12:31:36Z

Jose.serna.garcia:

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo 21-A)

2022-12-08T12:29:55Z

Jose.serna.garcia: /* Vectores normales direccionales */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo21-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | José Serna García, Galo Pastor Brezmes, Javier López Gonzalez y Miguel Millaruelo Frontela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

== Representación del semianillo ==

Para empezar este artículo, vamos a representar el anillo con el que trabajaremos. Para ello emplearemos coordenadas cilíndricas y lo representaremos entre los ejes [-3,3]x[-1,3].

[[Archivo:FiguraApartado1.2.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Primero parametrizaremos la superficie en función de rho y theta.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;

%Después vamos a definir el mallado correspondiente.
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Ahora vamos a definir las variables X e Y en coordenadas cilíndricas (en función de R y TT).
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Por último, representaremos la superficie deseada entre los ejes [-3,3]x[-1,3].
figure(1);
subplot(1,2,1);
mesh(X,Y,0*X);
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);

}}

== Curvas de nivel del campo de temperaturas ==

A continuación veremos cómo actúa el campo escalar de temperaturas "T" sobre nuestro anillo y veremos representadas las curvas de nivel del campo sobre él.
Como podemos observar en la imagen, a partir de las curvas de nivel se deduce que el punto del anillo en el cual la temperatura es máxima es el punto (0,2).
[[Archivo:FiguraApartado2.3.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Primero vamos a parametrizar la superficie igual que en el apartado anterior y a crear el mallado.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Definimos las variables X e Y en función de R y TT.
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Definimos el campo de temperaturas "T" en función de X e Y.
T=((X-3).^2)+((10.*(Y-0.5)).^2);

%Representamos las curvas de nivel del campo T sobre la superficie designada.
figure(1);
mesh(X,Y,0*X);
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de temperaturas');
subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Curvas de nivel');
colorbar;

}}

== Gradiente del campo de temperaturas ==

El gradiente de este campo de temperaturas será: ∇T=(2x-6)i+(200y-100)j. Gracias a esto podemos demostrar que la dirección de aumento máximo de la temperatura es perpendicular a las curvas de nivel del campo.

[[Archivo:FiguraApartado3.2.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Parametrizamos la superficie y creamos el mallado.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Definimos las variables X e Y en función de R y TT.
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Definimos el campo de temperaturas "T" en función de X e Y. También las matrices Tx y Ty de su gradiente.
T=((X-3).^2)+((10.*(Y-0.5)).^2);
Tx=(2*X)-6;
Ty=(200*Y)-100;

%Representamos el gradiente del campo T sobre las curvas de nivel del campo mismo.
figure(1)
mesh(X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off

}}

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Rotacional ==

El rotacional del campo será: <math>\triangle \times \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right )=\left ( \frac{d\vec{e_{\theta }}\rho u_{\rho }}{dz} -\frac{d u_{\rho}}{d\theta } \vec{e_{z}} \right )
</math> y dado que: <math>\frac{d\vec{e_{\theta }}\rho u_{\rho }}{dz} = 0</math>, podemos concluir que: <math>\left | \triangle \times \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right ) \right | = \frac{\log(\rho )cos(2 \theta -\frac{\pi }{2})}{\rho }</math>.

{{matlab|codigo=

num = 0.2;
u = 1:num:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

[rho,theta] = meshgrid(u,v);
x = rho.*cos(theta);
y = rho.*sin(theta);

rotacional = abs((cos(2*theta-pi/2)./(rho)).*(log(rho)));

subplot(1,2,1);
surf(x,y,rotacional);
axis([-3,3,-1,3]);view(2);
colorbar;
title('Rotacional');

}}

[[Archivo:RotacionalSemiAnilloGrupo21-A.jpg|marco|centro]]

== Vectores normales direccionales ==

El tensor de tensiones <math>\sigma _{ij}</math> viene dado por: <math>\sigma = \lambda \triangledown \cdot \vec{u} \mathbf{1} + 2\mu \epsilon </math>, siendo <math>\lambda = \mu = 1</math>

Siendo <math>\epsilon </math> definido como: <math>\epsilon \left ( \vec{u} \right ) = \frac{\left ( \triangledown \vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t}\right )}{2}</math> y cuyas componentes de la diagonal principal son: <math>\epsilon_{11} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }</math>, <math>\epsilon_{22} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})\cdot log(\rho )}{2}</math> y <math>\epsilon_{22} = 0 </math>.

La divergencia del campo será: <math>\triangledown \cdot \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right ) = \frac{1}{\rho }\cdot \frac{d\rho u_{\rho }}{d\rho } = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho } \cdot \left ( log(\rho ) +1\right )</math>

La tensión en dirección <math>\vec{\rho} </math> será: <math>\sigma _{11} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{11} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 3\right )</math>

La tensión en dirección <math>\vec{\theta} </math> será: <math>\sigma _{22} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{22} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 1\right ) + log(\rho )\cdot sen(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

La tensión en dirección <math>\vec{k} </math> será: <math>\sigma _{33} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{33} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 1\right )</math>

{{matlab|codigo=

num = 0.2;
u = 1:num:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

[rho,theta] = meshgrid(u,v);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
Z = zeros(size(X));
clf

a = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+3);
b = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+1)+log(rho).*sin(2*theta-pi()/2);
c = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+1);

subplot(1,3,1)
surf(X,Y,a)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional Rho')

subplot(1,3,2)
surf(X,Y,b)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional Theta')

subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')

}}

[[Archivo:VectoresNormalesDireccionalesGrupo21-A2022.jpg|marco|ninguna]]

== Tensiones tangenciales respecto a <math>\vec{\rho} </math> ==

La tensión tangencial respecto a <math>\vec{\rho} </math> viene dada por la siguiente expresión:

<math>\left | \sigma \cdot \vec{e_{\rho }} -\left ( \vec{e_{\rho }} \cdot \sigma \cdot \vec{e_{\rho }} \right ) \cdot \vec{e_{\rho }} \right | = \left | \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix} - \sigma _{11} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right | = \left | \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right | = \left | \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix}\right |</math>

Y dado que:

<math>\sigma _{21} = \frac{\frac{du_{\theta }}{d\rho } + \frac{du_{\rho }}{d\theta } - u_{\theta }}{2} = 0</math>

<math>\sigma _{31} = \frac{\frac{du_{z}}{d\rho } + \frac{du_{\rho }}{dz}}{2} = 0</math>

Se puede concluir que todas las tensiones tangenciales respecto a <math>\vec{\rho} </math> son nulas.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

Archivo:VectoresNormalesDireccionalesGrupo21-A2022.jpg

2022-12-08T12:29:35Z

Jose.serna.garcia:

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo 21-A)

2022-12-08T12:28:22Z

Jose.serna.garcia: /* Vectores normales direccionales */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo21-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | José Serna García, Galo Pastor Brezmes, Javier López Gonzalez y Miguel Millaruelo Frontela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

== Representación del semianillo ==

Para empezar este artículo, vamos a representar el anillo con el que trabajaremos. Para ello emplearemos coordenadas cilíndricas y lo representaremos entre los ejes [-3,3]x[-1,3].

[[Archivo:FiguraApartado1.2.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Primero parametrizaremos la superficie en función de rho y theta.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;

%Después vamos a definir el mallado correspondiente.
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Ahora vamos a definir las variables X e Y en coordenadas cilíndricas (en función de R y TT).
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Por último, representaremos la superficie deseada entre los ejes [-3,3]x[-1,3].
figure(1);
subplot(1,2,1);
mesh(X,Y,0*X);
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);

}}

== Curvas de nivel del campo de temperaturas ==

A continuación veremos cómo actúa el campo escalar de temperaturas "T" sobre nuestro anillo y veremos representadas las curvas de nivel del campo sobre él.
Como podemos observar en la imagen, a partir de las curvas de nivel se deduce que el punto del anillo en el cual la temperatura es máxima es el punto (0,2).
[[Archivo:FiguraApartado2.3.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Primero vamos a parametrizar la superficie igual que en el apartado anterior y a crear el mallado.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Definimos las variables X e Y en función de R y TT.
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Definimos el campo de temperaturas "T" en función de X e Y.
T=((X-3).^2)+((10.*(Y-0.5)).^2);

%Representamos las curvas de nivel del campo T sobre la superficie designada.
figure(1);
mesh(X,Y,0*X);
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de temperaturas');
subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Curvas de nivel');
colorbar;

}}

== Gradiente del campo de temperaturas ==

El gradiente de este campo de temperaturas será: ∇T=(2x-6)i+(200y-100)j. Gracias a esto podemos demostrar que la dirección de aumento máximo de la temperatura es perpendicular a las curvas de nivel del campo.

[[Archivo:FiguraApartado3.2.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Parametrizamos la superficie y creamos el mallado.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Definimos las variables X e Y en función de R y TT.
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Definimos el campo de temperaturas "T" en función de X e Y. También las matrices Tx y Ty de su gradiente.
T=((X-3).^2)+((10.*(Y-0.5)).^2);
Tx=(2*X)-6;
Ty=(200*Y)-100;

%Representamos el gradiente del campo T sobre las curvas de nivel del campo mismo.
figure(1)
mesh(X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off

}}

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Rotacional ==

El rotacional del campo será: <math>\triangle \times \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right )=\left ( \frac{d\vec{e_{\theta }}\rho u_{\rho }}{dz} -\frac{d u_{\rho}}{d\theta } \vec{e_{z}} \right )
</math> y dado que: <math>\frac{d\vec{e_{\theta }}\rho u_{\rho }}{dz} = 0</math>, podemos concluir que: <math>\left | \triangle \times \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right ) \right | = \frac{\log(\rho )cos(2 \theta -\frac{\pi }{2})}{\rho }</math>.

{{matlab|codigo=

num = 0.2;
u = 1:num:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

[rho,theta] = meshgrid(u,v);
x = rho.*cos(theta);
y = rho.*sin(theta);

rotacional = abs((cos(2*theta-pi/2)./(rho)).*(log(rho)));

subplot(1,2,1);
surf(x,y,rotacional);
axis([-3,3,-1,3]);view(2);
colorbar;
title('Rotacional');

}}

[[Archivo:RotacionalSemiAnilloGrupo21-A.jpg|marco|centro]]

== Vectores normales direccionales ==

El tensor de tensiones <math>\sigma _{ij}</math> viene dado por: <math>\sigma = \lambda \triangledown \cdot \vec{u} \mathbf{1} + 2\mu \epsilon </math>, siendo <math>\lambda = \mu = 1</math>

Siendo <math>\epsilon </math> definido como: <math>\epsilon \left ( \vec{u} \right ) = \frac{\left ( \triangledown \vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t}\right )}{2}</math> y cuyas componentes de la diagonal principal son: <math>\epsilon_{11} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }</math>, <math>\epsilon_{22} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})\cdot log(\rho )}{2}</math> y <math>\epsilon_{22} = 0 </math>.

La divergencia del campo será: <math>\triangledown \cdot \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right ) = \frac{1}{\rho }\cdot \frac{d\rho u_{\rho }}{d\rho } = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho } \cdot \left ( log(\rho ) +1\right )</math>

La tensión en dirección <math>\vec{\rho} </math> será: <math>\sigma _{11} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{11} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 3\right )</math>

La tensión en dirección <math>\vec{\theta} </math> será: <math>\sigma _{22} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{22} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 1\right ) + log(\rho )\cdot sen(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

La tensión en dirección <math>\vec{k} </math> será: <math>\sigma _{33} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{33} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 1\right )</math>

{{matlab|codigo=

num = 0.2;
u = 1:num:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

[rho,theta] = meshgrid(u,v);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
Z = zeros(size(X));
clf

a = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+3);
b = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+1)+log(rho).*sin(2*theta-pi()/2);
c = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+1);

subplot(1,3,1)
surf(X,Y,a)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional Rho')

subplot(1,3,2)
surf(X,Y,b)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional Theta')

subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')

}}

[[Archivo:VectoresNormalesDireccionalesdelGrupo21-A.jpg|marco|ninguna]]

== Tensiones tangenciales respecto a <math>\vec{\rho} </math> ==

La tensión tangencial respecto a <math>\vec{\rho} </math> viene dada por la siguiente expresión:

<math>\left | \sigma \cdot \vec{e_{\rho }} -\left ( \vec{e_{\rho }} \cdot \sigma \cdot \vec{e_{\rho }} \right ) \cdot \vec{e_{\rho }} \right | = \left | \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix} - \sigma _{11} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right | = \left | \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right | = \left | \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix}\right |</math>

Y dado que:

<math>\sigma _{21} = \frac{\frac{du_{\theta }}{d\rho } + \frac{du_{\rho }}{d\theta } - u_{\theta }}{2} = 0</math>

<math>\sigma _{31} = \frac{\frac{du_{z}}{d\rho } + \frac{du_{\rho }}{dz}}{2} = 0</math>

Se puede concluir que todas las tensiones tangenciales respecto a <math>\vec{\rho} </math> son nulas.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

Archivo:VectoresNormalesDireccionalesdelGrupo21-A.jpg

2022-12-08T12:28:06Z

Jose.serna.garcia:

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo 21-A)

2022-12-08T12:26:02Z

Jose.serna.garcia: /* Vectores normales direccionales */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo21-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | José Serna García, Galo Pastor Brezmes, Javier López Gonzalez y Miguel Millaruelo Frontela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

== Representación del semianillo ==

Para empezar este artículo, vamos a representar el anillo con el que trabajaremos. Para ello emplearemos coordenadas cilíndricas y lo representaremos entre los ejes [-3,3]x[-1,3].

[[Archivo:FiguraApartado1.2.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Primero parametrizaremos la superficie en función de rho y theta.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;

%Después vamos a definir el mallado correspondiente.
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Ahora vamos a definir las variables X e Y en coordenadas cilíndricas (en función de R y TT).
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Por último, representaremos la superficie deseada entre los ejes [-3,3]x[-1,3].
figure(1);
subplot(1,2,1);
mesh(X,Y,0*X);
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);

}}

== Curvas de nivel del campo de temperaturas ==

A continuación veremos cómo actúa el campo escalar de temperaturas "T" sobre nuestro anillo y veremos representadas las curvas de nivel del campo sobre él.
Como podemos observar en la imagen, a partir de las curvas de nivel se deduce que el punto del anillo en el cual la temperatura es máxima es el punto (0,2).
[[Archivo:FiguraApartado2.3.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Primero vamos a parametrizar la superficie igual que en el apartado anterior y a crear el mallado.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Definimos las variables X e Y en función de R y TT.
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Definimos el campo de temperaturas "T" en función de X e Y.
T=((X-3).^2)+((10.*(Y-0.5)).^2);

%Representamos las curvas de nivel del campo T sobre la superficie designada.
figure(1);
mesh(X,Y,0*X);
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de temperaturas');
subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Curvas de nivel');
colorbar;

}}

== Gradiente del campo de temperaturas ==

El gradiente de este campo de temperaturas será: ∇T=(2x-6)i+(200y-100)j. Gracias a esto podemos demostrar que la dirección de aumento máximo de la temperatura es perpendicular a las curvas de nivel del campo.

[[Archivo:FiguraApartado3.2.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Parametrizamos la superficie y creamos el mallado.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Definimos las variables X e Y en función de R y TT.
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Definimos el campo de temperaturas "T" en función de X e Y. También las matrices Tx y Ty de su gradiente.
T=((X-3).^2)+((10.*(Y-0.5)).^2);
Tx=(2*X)-6;
Ty=(200*Y)-100;

%Representamos el gradiente del campo T sobre las curvas de nivel del campo mismo.
figure(1)
mesh(X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off

}}

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Rotacional ==

El rotacional del campo será: <math>\triangle \times \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right )=\left ( \frac{d\vec{e_{\theta }}\rho u_{\rho }}{dz} -\frac{d u_{\rho}}{d\theta } \vec{e_{z}} \right )
</math> y dado que: <math>\frac{d\vec{e_{\theta }}\rho u_{\rho }}{dz} = 0</math>, podemos concluir que: <math>\left | \triangle \times \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right ) \right | = \frac{\log(\rho )cos(2 \theta -\frac{\pi }{2})}{\rho }</math>.

{{matlab|codigo=

num = 0.2;
u = 1:num:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

[rho,theta] = meshgrid(u,v);
x = rho.*cos(theta);
y = rho.*sin(theta);

rotacional = abs((cos(2*theta-pi/2)./(rho)).*(log(rho)));

subplot(1,2,1);
surf(x,y,rotacional);
axis([-3,3,-1,3]);view(2);
colorbar;
title('Rotacional');

}}

[[Archivo:RotacionalSemiAnilloGrupo21-A.jpg|marco|centro]]

== Vectores normales direccionales ==

El tensor de tensiones <math>\sigma _{ij}</math> viene dado por: <math>\sigma = \lambda \triangledown \cdot \vec{u} \mathbf{1} + 2\mu \epsilon </math>, siendo <math>\lambda = \mu = 1</math>

Siendo <math>\epsilon </math> definido como: <math>\epsilon \left ( \vec{u} \right ) = \frac{\left ( \triangledown \vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t}\right )}{2}</math> y cuyas componentes de la diagonal principal son: <math>\epsilon_{11} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }</math>, <math>\epsilon_{22} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})\cdot log(\rho )}{2}</math> y <math>\epsilon_{22} = 0 </math>.

La divergencia del campo será: <math>\triangledown \cdot \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right ) = \frac{1}{\rho }\cdot \frac{d\rho u_{\rho }}{d\rho } = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho } \cdot \left ( log(\rho ) +1\right )</math>

La tensión en dirección <math>\vec{\rho} </math> será: <math>\sigma _{11} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{11} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 3\right )</math>

La tensión en dirección <math>\vec{\theta} </math> será: <math>\sigma _{22} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{22} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 1\right ) + log(\rho )\cdot sen(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

La tensión en dirección <math>\vec{k} </math> será: <math>\sigma _{33} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{33} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 1\right )</math>

{{matlab|codigo=

num = 0.2;
u = 1:num:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

[rho,theta] = meshgrid(u,v);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
Z = zeros(size(X));
clf

a = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+3);
b = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+1)+log(rho).*sin(2*theta-pi()/2);
c = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+1);

subplot(1,3,1)
surf(X,Y,a)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional Rho')

subplot(1,3,2)
surf(X,Y,b)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional Theta')

subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')

}}

[[Archivo:VectoresNormalesDireccionalesGrupo21-A.jpg|marco|ninguna]]

== Tensiones tangenciales respecto a <math>\vec{\rho} </math> ==

La tensión tangencial respecto a <math>\vec{\rho} </math> viene dada por la siguiente expresión:

<math>\left | \sigma \cdot \vec{e_{\rho }} -\left ( \vec{e_{\rho }} \cdot \sigma \cdot \vec{e_{\rho }} \right ) \cdot \vec{e_{\rho }} \right | = \left | \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix} - \sigma _{11} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right | = \left | \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right | = \left | \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix}\right |</math>

Y dado que:

<math>\sigma _{21} = \frac{\frac{du_{\theta }}{d\rho } + \frac{du_{\rho }}{d\theta } - u_{\theta }}{2} = 0</math>

<math>\sigma _{31} = \frac{\frac{du_{z}}{d\rho } + \frac{du_{\rho }}{dz}}{2} = 0</math>

Se puede concluir que todas las tensiones tangenciales respecto a <math>\vec{\rho} </math> son nulas.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

Archivo:VectoresNormalesDireccionalesGrupo21-A.jpg

2022-12-08T12:25:16Z

Jose.serna.garcia:

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo 21-A)

2022-12-08T12:24:39Z

Jose.serna.garcia: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo21-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | José Serna García, Galo Pastor Brezmes, Javier López Gonzalez y Miguel Millaruelo Frontela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

== Representación del semianillo ==

Para empezar este artículo, vamos a representar el anillo con el que trabajaremos. Para ello emplearemos coordenadas cilíndricas y lo representaremos entre los ejes [-3,3]x[-1,3].

[[Archivo:FiguraApartado1.2.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Primero parametrizaremos la superficie en función de rho y theta.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;

%Después vamos a definir el mallado correspondiente.
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Ahora vamos a definir las variables X e Y en coordenadas cilíndricas (en función de R y TT).
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Por último, representaremos la superficie deseada entre los ejes [-3,3]x[-1,3].
figure(1);
subplot(1,2,1);
mesh(X,Y,0*X);
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);

}}

== Curvas de nivel del campo de temperaturas ==

A continuación veremos cómo actúa el campo escalar de temperaturas "T" sobre nuestro anillo y veremos representadas las curvas de nivel del campo sobre él.
Como podemos observar en la imagen, a partir de las curvas de nivel se deduce que el punto del anillo en el cual la temperatura es máxima es el punto (0,2).
[[Archivo:FiguraApartado2.3.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Primero vamos a parametrizar la superficie igual que en el apartado anterior y a crear el mallado.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Definimos las variables X e Y en función de R y TT.
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Definimos el campo de temperaturas "T" en función de X e Y.
T=((X-3).^2)+((10.*(Y-0.5)).^2);

%Representamos las curvas de nivel del campo T sobre la superficie designada.
figure(1);
mesh(X,Y,0*X);
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de temperaturas');
subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Curvas de nivel');
colorbar;

}}

== Gradiente del campo de temperaturas ==

El gradiente de este campo de temperaturas será: ∇T=(2x-6)i+(200y-100)j. Gracias a esto podemos demostrar que la dirección de aumento máximo de la temperatura es perpendicular a las curvas de nivel del campo.

[[Archivo:FiguraApartado3.2.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Parametrizamos la superficie y creamos el mallado.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Definimos las variables X e Y en función de R y TT.
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Definimos el campo de temperaturas "T" en función de X e Y. También las matrices Tx y Ty de su gradiente.
T=((X-3).^2)+((10.*(Y-0.5)).^2);
Tx=(2*X)-6;
Ty=(200*Y)-100;

%Representamos el gradiente del campo T sobre las curvas de nivel del campo mismo.
figure(1)
mesh(X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off

}}

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Rotacional ==

El rotacional del campo será: <math>\triangle \times \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right )=\left ( \frac{d\vec{e_{\theta }}\rho u_{\rho }}{dz} -\frac{d u_{\rho}}{d\theta } \vec{e_{z}} \right )
</math> y dado que: <math>\frac{d\vec{e_{\theta }}\rho u_{\rho }}{dz} = 0</math>, podemos concluir que: <math>\left | \triangle \times \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right ) \right | = \frac{\log(\rho )cos(2 \theta -\frac{\pi }{2})}{\rho }</math>.

{{matlab|codigo=

num = 0.2;
u = 1:num:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

[rho,theta] = meshgrid(u,v);
x = rho.*cos(theta);
y = rho.*sin(theta);

rotacional = abs((cos(2*theta-pi/2)./(rho)).*(log(rho)));

subplot(1,2,1);
surf(x,y,rotacional);
axis([-3,3,-1,3]);view(2);
colorbar;
title('Rotacional');

}}

[[Archivo:RotacionalSemiAnilloGrupo21-A.jpg|marco|centro]]

== Vectores normales direccionales ==

El tensor de tensiones <math>\sigma _{ij}</math> viene dado por: <math>\sigma = \lambda \triangledown \cdot \vec{u} \mathbf{1} + 2\mu \epsilon </math>, siendo <math>\lambda = \mu = 1</math>

Siendo <math>\epsilon </math> definido como: <math>\epsilon \left ( \vec{u} \right ) = \frac{\left ( \triangledown \vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t}\right )}{2}</math> y cuyas componentes de la diagonal principal son: <math>\epsilon_{11} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }</math>, <math>\epsilon_{22} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})\cdot log(\rho )}{2}</math> y <math>\epsilon_{22} = 0 </math>.

La divergencia del campo será: <math>\triangledown \cdot \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right ) = \frac{1}{\rho }\cdot \frac{d\rho u_{\rho }}{d\rho } = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho } \cdot \left ( log(\rho ) +1\right )</math>

La tensión en dirección <math>\vec{\rho} </math> será: <math>\sigma _{11} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{11} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 3\right )</math>

La tensión en dirección <math>\vec{\theta} </math> será: <math>\sigma _{22} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{22} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 1\right ) + log(\rho )\cdot sen(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

La tensión en dirección <math>\vec{k} </math> será: <math>\sigma _{33} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{33} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 1\right )</math>

{{matlab|codigo=

num = 0.2;
u = 1:num:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

[rho,theta] = meshgrid(u,v);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
Z = zeros(size(X));
clf

a = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+3);
b = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+1)+log(rho).*sin(2*theta-pi()/2);
c = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+1);

subplot(1,3,1)
surf(X,Y,a)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional Rho')

subplot(1,3,2)
surf(X,Y,b)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional Theta')

subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')

}}

[[Archivo:VectoresNormalesDireccionales21-A.jpg|marco|ninguna]]

== Tensiones tangenciales respecto a <math>\vec{\rho} </math> ==

La tensión tangencial respecto a <math>\vec{\rho} </math> viene dada por la siguiente expresión:

<math>\left | \sigma \cdot \vec{e_{\rho }} -\left ( \vec{e_{\rho }} \cdot \sigma \cdot \vec{e_{\rho }} \right ) \cdot \vec{e_{\rho }} \right | = \left | \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix} - \sigma _{11} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right | = \left | \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right | = \left | \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix}\right |</math>

Y dado que:

<math>\sigma _{21} = \frac{\frac{du_{\theta }}{d\rho } + \frac{du_{\rho }}{d\theta } - u_{\theta }}{2} = 0</math>

<math>\sigma _{31} = \frac{\frac{du_{z}}{d\rho } + \frac{du_{\rho }}{dz}}{2} = 0</math>

Se puede concluir que todas las tensiones tangenciales respecto a <math>\vec{\rho} </math> son nulas.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

Archivo:RotacionalSemiAnilloGrupo21-A.jpg

2022-12-08T12:23:59Z

Jose.serna.garcia:

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo 21-A)

2022-12-08T12:17:06Z

Jose.serna.garcia: /* Tensiones tangenciales respecto a \vec{\rho} */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo21-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | José Serna García, Galo Pastor Brezmes, Javier López Gonzalez y Miguel Millaruelo Frontela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

== Representación del semianillo ==

Para empezar este artículo, vamos a representar el anillo con el que trabajaremos. Para ello emplearemos coordenadas cilíndricas y lo representaremos entre los ejes [-3,3]x[-1,3].

[[Archivo:FiguraApartado1.2.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Primero parametrizaremos la superficie en función de rho y theta.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;

%Después vamos a definir el mallado correspondiente.
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Ahora vamos a definir las variables X e Y en coordenadas cilíndricas (en función de R y TT).
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Por último, representaremos la superficie deseada entre los ejes [-3,3]x[-1,3].
figure(1);
subplot(1,2,1);
mesh(X,Y,0*X);
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);

}}

== Curvas de nivel del campo de temperaturas ==

A continuación veremos cómo actúa el campo escalar de temperaturas "T" sobre nuestro anillo y veremos representadas las curvas de nivel del campo sobre él.
Como podemos observar en la imagen, a partir de las curvas de nivel se deduce que el punto del anillo en el cual la temperatura es máxima es el punto (0,2).
[[Archivo:FiguraApartado2.3.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Primero vamos a parametrizar la superficie igual que en el apartado anterior y a crear el mallado.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Definimos las variables X e Y en función de R y TT.
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Definimos el campo de temperaturas "T" en función de X e Y.
T=((X-3).^2)+((10.*(Y-0.5)).^2);

%Representamos las curvas de nivel del campo T sobre la superficie designada.
figure(1);
mesh(X,Y,0*X);
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de temperaturas');
subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Curvas de nivel');
colorbar;

}}

== Gradiente del campo de temperaturas ==

El gradiente de este campo de temperaturas será: ∇T=(2x-6)i+(200y-100)j. Gracias a esto podemos demostrar que la dirección de aumento máximo de la temperatura es perpendicular a las curvas de nivel del campo.

[[Archivo:FiguraApartado3.2.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Parametrizamos la superficie y creamos el mallado.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Definimos las variables X e Y en función de R y TT.
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Definimos el campo de temperaturas "T" en función de X e Y. También las matrices Tx y Ty de su gradiente.
T=((X-3).^2)+((10.*(Y-0.5)).^2);
Tx=(2*X)-6;
Ty=(200*Y)-100;

%Representamos el gradiente del campo T sobre las curvas de nivel del campo mismo.
figure(1)
mesh(X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off

}}

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Rotacional ==

El rotacional del campo será: <math>\triangle \times \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right )=\left ( \frac{d\vec{e_{\theta }}\rho u_{\rho }}{dz} -\frac{d u_{\rho}}{d\theta } \vec{e_{z}} \right )
</math> y dado que: <math>\frac{d\vec{e_{\theta }}\rho u_{\rho }}{dz} = 0</math>, podemos concluir que: <math>\left | \triangle \times \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right ) \right | = \frac{\log(\rho )cos(2 \theta -\frac{\pi }{2})}{\rho }</math>.

{{matlab|codigo=

num = 0.2;
u = 1:num:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

[rho,theta] = meshgrid(u,v);
x = rho.*cos(theta);
y = rho.*sin(theta);

rotacional = abs((cos(2*theta-pi/2)./(rho)).*(log(rho)));

subplot(1,2,1);
surf(x,y,rotacional);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('Rotacional');

}}

[[Archivo:RotacionalSemiAnillo21-A.jpg|marco|centro]]

== Vectores normales direccionales ==

El tensor de tensiones <math>\sigma _{ij}</math> viene dado por: <math>\sigma = \lambda \triangledown \cdot \vec{u} \mathbf{1} + 2\mu \epsilon </math>, siendo <math>\lambda = \mu = 1</math>

Siendo <math>\epsilon </math> definido como: <math>\epsilon \left ( \vec{u} \right ) = \frac{\left ( \triangledown \vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t}\right )}{2}</math> y cuyas componentes de la diagonal principal son: <math>\epsilon_{11} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }</math>, <math>\epsilon_{22} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})\cdot log(\rho )}{2}</math> y <math>\epsilon_{22} = 0 </math>.

La divergencia del campo será: <math>\triangledown \cdot \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right ) = \frac{1}{\rho }\cdot \frac{d\rho u_{\rho }}{d\rho } = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho } \cdot \left ( log(\rho ) +1\right )</math>

La tensión en dirección <math>\vec{\rho} </math> será: <math>\sigma _{11} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{11} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 3\right )</math>

La tensión en dirección <math>\vec{\theta} </math> será: <math>\sigma _{22} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{22} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 1\right ) + log(\rho )\cdot sen(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

La tensión en dirección <math>\vec{k} </math> será: <math>\sigma _{33} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{33} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 1\right )</math>

{{matlab|codigo=

num = 0.2;
u = 1:num:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

[rho,theta] = meshgrid(u,v);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
Z = zeros(size(X));
clf

a = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+3);
b = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+1)+log(rho).*sin(2*theta-pi()/2);
c = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+1);

subplot(1,3,1)
surf(X,Y,a)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional Rho')

subplot(1,3,2)
surf(X,Y,b)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional Theta')

subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')

}}

[[Archivo:VectoresNormalesDireccionales21-A.jpg|marco|ninguna]]

== Tensiones tangenciales respecto a <math>\vec{\rho} </math> ==

La tensión tangencial respecto a <math>\vec{\rho} </math> viene dada por la siguiente expresión:

<math>\left | \sigma \cdot \vec{e_{\rho }} -\left ( \vec{e_{\rho }} \cdot \sigma \cdot \vec{e_{\rho }} \right ) \cdot \vec{e_{\rho }} \right | = \left | \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix} - \sigma _{11} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right | = \left | \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right | = \left | \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix}\right |</math>

Y dado que:

<math>\sigma _{21} = \frac{\frac{du_{\theta }}{d\rho } + \frac{du_{\rho }}{d\theta } - u_{\theta }}{2} = 0</math>

<math>\sigma _{31} = \frac{\frac{du_{z}}{d\rho } + \frac{du_{\rho }}{dz}}{2} = 0</math>

Se puede concluir que todas las tensiones tangenciales respecto a <math>\vec{\rho} </math> son nulas.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo 21-A)

2022-12-08T12:15:20Z

Jose.serna.garcia: /* Tensiones tangenciales respecto a \vec{\rho} */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo21-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | José Serna García, Galo Pastor Brezmes, Javier López Gonzalez y Miguel Millaruelo Frontela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

== Representación del semianillo ==

Para empezar este artículo, vamos a representar el anillo con el que trabajaremos. Para ello emplearemos coordenadas cilíndricas y lo representaremos entre los ejes [-3,3]x[-1,3].

[[Archivo:FiguraApartado1.2.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Primero parametrizaremos la superficie en función de rho y theta.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;

%Después vamos a definir el mallado correspondiente.
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Ahora vamos a definir las variables X e Y en coordenadas cilíndricas (en función de R y TT).
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Por último, representaremos la superficie deseada entre los ejes [-3,3]x[-1,3].
figure(1);
subplot(1,2,1);
mesh(X,Y,0*X);
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);

}}

== Curvas de nivel del campo de temperaturas ==

A continuación veremos cómo actúa el campo escalar de temperaturas "T" sobre nuestro anillo y veremos representadas las curvas de nivel del campo sobre él.
Como podemos observar en la imagen, a partir de las curvas de nivel se deduce que el punto del anillo en el cual la temperatura es máxima es el punto (0,2).
[[Archivo:FiguraApartado2.3.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Primero vamos a parametrizar la superficie igual que en el apartado anterior y a crear el mallado.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Definimos las variables X e Y en función de R y TT.
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Definimos el campo de temperaturas "T" en función de X e Y.
T=((X-3).^2)+((10.*(Y-0.5)).^2);

%Representamos las curvas de nivel del campo T sobre la superficie designada.
figure(1);
mesh(X,Y,0*X);
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de temperaturas');
subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Curvas de nivel');
colorbar;

}}

== Gradiente del campo de temperaturas ==

El gradiente de este campo de temperaturas será: ∇T=(2x-6)i+(200y-100)j. Gracias a esto podemos demostrar que la dirección de aumento máximo de la temperatura es perpendicular a las curvas de nivel del campo.

[[Archivo:FiguraApartado3.2.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Parametrizamos la superficie y creamos el mallado.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Definimos las variables X e Y en función de R y TT.
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Definimos el campo de temperaturas "T" en función de X e Y. También las matrices Tx y Ty de su gradiente.
T=((X-3).^2)+((10.*(Y-0.5)).^2);
Tx=(2*X)-6;
Ty=(200*Y)-100;

%Representamos el gradiente del campo T sobre las curvas de nivel del campo mismo.
figure(1)
mesh(X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off

}}

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Rotacional ==

El rotacional del campo será: <math>\triangle \times \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right )=\left ( \frac{d\vec{e_{\theta }}\rho u_{\rho }}{dz} -\frac{d u_{\rho}}{d\theta } \vec{e_{z}} \right )
</math> y dado que: <math>\frac{d\vec{e_{\theta }}\rho u_{\rho }}{dz} = 0</math>, podemos concluir que: <math>\left | \triangle \times \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right ) \right | = \frac{\log(\rho )cos(2 \theta -\frac{\pi }{2})}{\rho }</math>.

{{matlab|codigo=

num = 0.2;
u = 1:num:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

[rho,theta] = meshgrid(u,v);
x = rho.*cos(theta);
y = rho.*sin(theta);

rotacional = abs((cos(2*theta-pi/2)./(rho)).*(log(rho)));

subplot(1,2,1);
surf(x,y,rotacional);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('Rotacional');

}}

[[Archivo:RotacionalSemiAnillo21-A.jpg|marco|centro]]

== Vectores normales direccionales ==

El tensor de tensiones <math>\sigma _{ij}</math> viene dado por: <math>\sigma = \lambda \triangledown \cdot \vec{u} \mathbf{1} + 2\mu \epsilon </math>, siendo <math>\lambda = \mu = 1</math>

Siendo <math>\epsilon </math> definido como: <math>\epsilon \left ( \vec{u} \right ) = \frac{\left ( \triangledown \vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t}\right )}{2}</math> y cuyas componentes de la diagonal principal son: <math>\epsilon_{11} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }</math>, <math>\epsilon_{22} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})\cdot log(\rho )}{2}</math> y <math>\epsilon_{22} = 0 </math>.

La divergencia del campo será: <math>\triangledown \cdot \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right ) = \frac{1}{\rho }\cdot \frac{d\rho u_{\rho }}{d\rho } = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho } \cdot \left ( log(\rho ) +1\right )</math>

La tensión en dirección <math>\vec{\rho} </math> será: <math>\sigma _{11} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{11} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 3\right )</math>

La tensión en dirección <math>\vec{\theta} </math> será: <math>\sigma _{22} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{22} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 1\right ) + log(\rho )\cdot sen(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

La tensión en dirección <math>\vec{k} </math> será: <math>\sigma _{33} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{33} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 1\right )</math>

{{matlab|codigo=

num = 0.2;
u = 1:num:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

[rho,theta] = meshgrid(u,v);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
Z = zeros(size(X));
clf

a = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+3);
b = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+1)+log(rho).*sin(2*theta-pi()/2);
c = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+1);

subplot(1,3,1)
surf(X,Y,a)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional Rho')

subplot(1,3,2)
surf(X,Y,b)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional Theta')

subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')

}}

[[Archivo:VectoresNormalesDireccionales21-A.jpg|marco|ninguna]]

== Tensiones tangenciales respecto a <math>\vec{\rho} </math> ==

<math>\left | \sigma \cdot \vec{e_{\rho }} -\left ( \vec{e_{\rho }} \cdot \sigma \cdot \vec{e_{\rho }} \right ) \cdot \vec{e_{\rho }} \right | = \left | \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix} - \sigma _{11} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right | = \left | \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right | = \left | \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix}\right |</math>

<math>\sigma _{21} = \frac{\frac{du_{\theta }}{d\rho } + \frac{du_{\rho }}{d\theta } - u_{\theta }}{2} = 0</math>

<math>\sigma _{31} = \frac{\frac{du_{z}}{d\rho } + \frac{du_{\rho }}{dz}}{2} = 0</math>

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo 21-A)

2022-12-08T12:14:58Z

Jose.serna.garcia: /* Tensiones tangenciales respecto a \vec{\rho} */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo21-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | José Serna García, Galo Pastor Brezmes, Javier López Gonzalez y Miguel Millaruelo Frontela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

== Representación del semianillo ==

Para empezar este artículo, vamos a representar el anillo con el que trabajaremos. Para ello emplearemos coordenadas cilíndricas y lo representaremos entre los ejes [-3,3]x[-1,3].

[[Archivo:FiguraApartado1.2.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Primero parametrizaremos la superficie en función de rho y theta.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;

%Después vamos a definir el mallado correspondiente.
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Ahora vamos a definir las variables X e Y en coordenadas cilíndricas (en función de R y TT).
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Por último, representaremos la superficie deseada entre los ejes [-3,3]x[-1,3].
figure(1);
subplot(1,2,1);
mesh(X,Y,0*X);
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);

}}

== Curvas de nivel del campo de temperaturas ==

A continuación veremos cómo actúa el campo escalar de temperaturas "T" sobre nuestro anillo y veremos representadas las curvas de nivel del campo sobre él.
Como podemos observar en la imagen, a partir de las curvas de nivel se deduce que el punto del anillo en el cual la temperatura es máxima es el punto (0,2).
[[Archivo:FiguraApartado2.3.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Primero vamos a parametrizar la superficie igual que en el apartado anterior y a crear el mallado.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Definimos las variables X e Y en función de R y TT.
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Definimos el campo de temperaturas "T" en función de X e Y.
T=((X-3).^2)+((10.*(Y-0.5)).^2);

%Representamos las curvas de nivel del campo T sobre la superficie designada.
figure(1);
mesh(X,Y,0*X);
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de temperaturas');
subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Curvas de nivel');
colorbar;

}}

== Gradiente del campo de temperaturas ==

El gradiente de este campo de temperaturas será: ∇T=(2x-6)i+(200y-100)j. Gracias a esto podemos demostrar que la dirección de aumento máximo de la temperatura es perpendicular a las curvas de nivel del campo.

[[Archivo:FiguraApartado3.2.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Parametrizamos la superficie y creamos el mallado.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Definimos las variables X e Y en función de R y TT.
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Definimos el campo de temperaturas "T" en función de X e Y. También las matrices Tx y Ty de su gradiente.
T=((X-3).^2)+((10.*(Y-0.5)).^2);
Tx=(2*X)-6;
Ty=(200*Y)-100;

%Representamos el gradiente del campo T sobre las curvas de nivel del campo mismo.
figure(1)
mesh(X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off

}}

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Rotacional ==

El rotacional del campo será: <math>\triangle \times \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right )=\left ( \frac{d\vec{e_{\theta }}\rho u_{\rho }}{dz} -\frac{d u_{\rho}}{d\theta } \vec{e_{z}} \right )
</math> y dado que: <math>\frac{d\vec{e_{\theta }}\rho u_{\rho }}{dz} = 0</math>, podemos concluir que: <math>\left | \triangle \times \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right ) \right | = \frac{\log(\rho )cos(2 \theta -\frac{\pi }{2})}{\rho }</math>.

{{matlab|codigo=

num = 0.2;
u = 1:num:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

[rho,theta] = meshgrid(u,v);
x = rho.*cos(theta);
y = rho.*sin(theta);

rotacional = abs((cos(2*theta-pi/2)./(rho)).*(log(rho)));

subplot(1,2,1);
surf(x,y,rotacional);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('Rotacional');

}}

[[Archivo:RotacionalSemiAnillo21-A.jpg|marco|centro]]

== Vectores normales direccionales ==

El tensor de tensiones <math>\sigma _{ij}</math> viene dado por: <math>\sigma = \lambda \triangledown \cdot \vec{u} \mathbf{1} + 2\mu \epsilon </math>, siendo <math>\lambda = \mu = 1</math>

Siendo <math>\epsilon </math> definido como: <math>\epsilon \left ( \vec{u} \right ) = \frac{\left ( \triangledown \vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t}\right )}{2}</math> y cuyas componentes de la diagonal principal son: <math>\epsilon_{11} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }</math>, <math>\epsilon_{22} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})\cdot log(\rho )}{2}</math> y <math>\epsilon_{22} = 0 </math>.

La divergencia del campo será: <math>\triangledown \cdot \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right ) = \frac{1}{\rho }\cdot \frac{d\rho u_{\rho }}{d\rho } = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho } \cdot \left ( log(\rho ) +1\right )</math>

La tensión en dirección <math>\vec{\rho} </math> será: <math>\sigma _{11} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{11} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 3\right )</math>

La tensión en dirección <math>\vec{\theta} </math> será: <math>\sigma _{22} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{22} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 1\right ) + log(\rho )\cdot sen(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

La tensión en dirección <math>\vec{k} </math> será: <math>\sigma _{33} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{33} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 1\right )</math>

{{matlab|codigo=

num = 0.2;
u = 1:num:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

[rho,theta] = meshgrid(u,v);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
Z = zeros(size(X));
clf

a = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+3);
b = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+1)+log(rho).*sin(2*theta-pi()/2);
c = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+1);

subplot(1,3,1)
surf(X,Y,a)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional Rho')

subplot(1,3,2)
surf(X,Y,b)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional Theta')

subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')

}}

[[Archivo:VectoresNormalesDireccionales21-A.jpg|marco|ninguna]]

== Tensiones tangenciales respecto a <math>\vec{\rho} </math> ==

<math>\left | \sigma \cdot \vec{e_{\rho }} -\left ( \vec{e_{\rho }} \cdot \sigma \cdot \vec{e_{\rho }} \right ) \cdot \vec{e_{\rho }} \right | = \left | \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix} - \sigma _{11} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right | = \left | \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right | = \left | \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix}\right |</math>

<math>\sigma _{21} = \frac{\frac{du_{\theta }}{d\rho } + \frac{du_{\rho }}{d\theta } - u_{\theta }}{2}</math>

<math>\sigma _{31} = \frac{\frac{du_{z}}{d\rho } + \frac{du_{\rho }}{dz}}{2}</math>

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo 21-A)

2022-12-08T12:10:03Z

Jose.serna.garcia: /* Tensiones tangenciales respecto a \vec{\rho} */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo21-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | José Serna García, Galo Pastor Brezmes, Javier López Gonzalez y Miguel Millaruelo Frontela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

== Representación del semianillo ==

Para empezar este artículo, vamos a representar el anillo con el que trabajaremos. Para ello emplearemos coordenadas cilíndricas y lo representaremos entre los ejes [-3,3]x[-1,3].

[[Archivo:FiguraApartado1.2.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Primero parametrizaremos la superficie en función de rho y theta.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;

%Después vamos a definir el mallado correspondiente.
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Ahora vamos a definir las variables X e Y en coordenadas cilíndricas (en función de R y TT).
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Por último, representaremos la superficie deseada entre los ejes [-3,3]x[-1,3].
figure(1);
subplot(1,2,1);
mesh(X,Y,0*X);
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);

}}

== Curvas de nivel del campo de temperaturas ==

A continuación veremos cómo actúa el campo escalar de temperaturas "T" sobre nuestro anillo y veremos representadas las curvas de nivel del campo sobre él.
Como podemos observar en la imagen, a partir de las curvas de nivel se deduce que el punto del anillo en el cual la temperatura es máxima es el punto (0,2).
[[Archivo:FiguraApartado2.3.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Primero vamos a parametrizar la superficie igual que en el apartado anterior y a crear el mallado.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Definimos las variables X e Y en función de R y TT.
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Definimos el campo de temperaturas "T" en función de X e Y.
T=((X-3).^2)+((10.*(Y-0.5)).^2);

%Representamos las curvas de nivel del campo T sobre la superficie designada.
figure(1);
mesh(X,Y,0*X);
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de temperaturas');
subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Curvas de nivel');
colorbar;

}}

== Gradiente del campo de temperaturas ==

El gradiente de este campo de temperaturas será: ∇T=(2x-6)i+(200y-100)j. Gracias a esto podemos demostrar que la dirección de aumento máximo de la temperatura es perpendicular a las curvas de nivel del campo.

[[Archivo:FiguraApartado3.2.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Parametrizamos la superficie y creamos el mallado.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Definimos las variables X e Y en función de R y TT.
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Definimos el campo de temperaturas "T" en función de X e Y. También las matrices Tx y Ty de su gradiente.
T=((X-3).^2)+((10.*(Y-0.5)).^2);
Tx=(2*X)-6;
Ty=(200*Y)-100;

%Representamos el gradiente del campo T sobre las curvas de nivel del campo mismo.
figure(1)
mesh(X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off

}}

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Rotacional ==

El rotacional del campo será: <math>\triangle \times \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right )=\left ( \frac{d\vec{e_{\theta }}\rho u_{\rho }}{dz} -\frac{d u_{\rho}}{d\theta } \vec{e_{z}} \right )
</math> y dado que: <math>\frac{d\vec{e_{\theta }}\rho u_{\rho }}{dz} = 0</math>, podemos concluir que: <math>\left | \triangle \times \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right ) \right | = \frac{\log(\rho )cos(2 \theta -\frac{\pi }{2})}{\rho }</math>.

{{matlab|codigo=

num = 0.2;
u = 1:num:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

[rho,theta] = meshgrid(u,v);
x = rho.*cos(theta);
y = rho.*sin(theta);

rotacional = abs((cos(2*theta-pi/2)./(rho)).*(log(rho)));

subplot(1,2,1);
surf(x,y,rotacional);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('Rotacional');

}}

[[Archivo:RotacionalSemiAnillo21-A.jpg|marco|centro]]

== Vectores normales direccionales ==

El tensor de tensiones <math>\sigma _{ij}</math> viene dado por: <math>\sigma = \lambda \triangledown \cdot \vec{u} \mathbf{1} + 2\mu \epsilon </math>, siendo <math>\lambda = \mu = 1</math>

Siendo <math>\epsilon </math> definido como: <math>\epsilon \left ( \vec{u} \right ) = \frac{\left ( \triangledown \vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t}\right )}{2}</math> y cuyas componentes de la diagonal principal son: <math>\epsilon_{11} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }</math>, <math>\epsilon_{22} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})\cdot log(\rho )}{2}</math> y <math>\epsilon_{22} = 0 </math>.

La divergencia del campo será: <math>\triangledown \cdot \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right ) = \frac{1}{\rho }\cdot \frac{d\rho u_{\rho }}{d\rho } = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho } \cdot \left ( log(\rho ) +1\right )</math>

La tensión en dirección <math>\vec{\rho} </math> será: <math>\sigma _{11} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{11} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 3\right )</math>

La tensión en dirección <math>\vec{\theta} </math> será: <math>\sigma _{22} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{22} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 1\right ) + log(\rho )\cdot sen(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

La tensión en dirección <math>\vec{k} </math> será: <math>\sigma _{33} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{33} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 1\right )</math>

{{matlab|codigo=

num = 0.2;
u = 1:num:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

[rho,theta] = meshgrid(u,v);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
Z = zeros(size(X));
clf

a = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+3);
b = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+1)+log(rho).*sin(2*theta-pi()/2);
c = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+1);

subplot(1,3,1)
surf(X,Y,a)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional Rho')

subplot(1,3,2)
surf(X,Y,b)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional Theta')

subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')

}}

[[Archivo:VectoresNormalesDireccionales21-A.jpg|marco|ninguna]]

== Tensiones tangenciales respecto a <math>\vec{\rho} </math> ==

<math>\left | \sigma \cdot \vec{e_{\rho }} -\left ( \vec{e_{\rho }} \cdot \sigma \cdot \vec{e_{\rho }} \right ) \cdot \vec{e_{\rho }} \right | = \left | \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix} - \sigma _{11} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right | = \left | \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right | = \left | \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma _{21} \\ \sigma _{31} \end{pmatrix}\right |</math>

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo 21-A)

2022-12-08T12:08:51Z

Jose.serna.garcia: /* Tensiones tangenciales respecto a \vec{\rho} */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo21-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | José Serna García, Galo Pastor Brezmes, Javier López Gonzalez y Miguel Millaruelo Frontela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

== Representación del semianillo ==

Para empezar este artículo, vamos a representar el anillo con el que trabajaremos. Para ello emplearemos coordenadas cilíndricas y lo representaremos entre los ejes [-3,3]x[-1,3].

[[Archivo:FiguraApartado1.2.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Primero parametrizaremos la superficie en función de rho y theta.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;

%Después vamos a definir el mallado correspondiente.
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Ahora vamos a definir las variables X e Y en coordenadas cilíndricas (en función de R y TT).
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Por último, representaremos la superficie deseada entre los ejes [-3,3]x[-1,3].
figure(1);
subplot(1,2,1);
mesh(X,Y,0*X);
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);

}}

== Curvas de nivel del campo de temperaturas ==

A continuación veremos cómo actúa el campo escalar de temperaturas "T" sobre nuestro anillo y veremos representadas las curvas de nivel del campo sobre él.
Como podemos observar en la imagen, a partir de las curvas de nivel se deduce que el punto del anillo en el cual la temperatura es máxima es el punto (0,2).
[[Archivo:FiguraApartado2.3.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Primero vamos a parametrizar la superficie igual que en el apartado anterior y a crear el mallado.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Definimos las variables X e Y en función de R y TT.
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Definimos el campo de temperaturas "T" en función de X e Y.
T=((X-3).^2)+((10.*(Y-0.5)).^2);

%Representamos las curvas de nivel del campo T sobre la superficie designada.
figure(1);
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subplot(1,2,1);
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view(2);
title('Campo de temperaturas');
subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Curvas de nivel');
colorbar;

}}

== Gradiente del campo de temperaturas ==

El gradiente de este campo de temperaturas será: ∇T=(2x-6)i+(200y-100)j. Gracias a esto podemos demostrar que la dirección de aumento máximo de la temperatura es perpendicular a las curvas de nivel del campo.

[[Archivo:FiguraApartado3.2.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Parametrizamos la superficie y creamos el mallado.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Definimos las variables X e Y en función de R y TT.
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Definimos el campo de temperaturas "T" en función de X e Y. También las matrices Tx y Ty de su gradiente.
T=((X-3).^2)+((10.*(Y-0.5)).^2);
Tx=(2*X)-6;
Ty=(200*Y)-100;

%Representamos el gradiente del campo T sobre las curvas de nivel del campo mismo.
figure(1)
mesh(X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off

}}

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Rotacional ==

El rotacional del campo será: <math>\triangle \times \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right )=\left ( \frac{d\vec{e_{\theta }}\rho u_{\rho }}{dz} -\frac{d u_{\rho}}{d\theta } \vec{e_{z}} \right )
</math> y dado que: <math>\frac{d\vec{e_{\theta }}\rho u_{\rho }}{dz} = 0</math>, podemos concluir que: <math>\left | \triangle \times \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right ) \right | = \frac{\log(\rho )cos(2 \theta -\frac{\pi }{2})}{\rho }</math>.

{{matlab|codigo=

num = 0.2;
u = 1:num:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

[rho,theta] = meshgrid(u,v);
x = rho.*cos(theta);
y = rho.*sin(theta);

rotacional = abs((cos(2*theta-pi/2)./(rho)).*(log(rho)));

subplot(1,2,1);
surf(x,y,rotacional);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('Rotacional');

}}

[[Archivo:RotacionalSemiAnillo21-A.jpg|marco|centro]]

== Vectores normales direccionales ==

El tensor de tensiones <math>\sigma _{ij}</math> viene dado por: <math>\sigma = \lambda \triangledown \cdot \vec{u} \mathbf{1} + 2\mu \epsilon </math>, siendo <math>\lambda = \mu = 1</math>

Siendo <math>\epsilon </math> definido como: <math>\epsilon \left ( \vec{u} \right ) = \frac{\left ( \triangledown \vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t}\right )}{2}</math> y cuyas componentes de la diagonal principal son: <math>\epsilon_{11} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }</math>, <math>\epsilon_{22} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})\cdot log(\rho )}{2}</math> y <math>\epsilon_{22} = 0 </math>.

La divergencia del campo será: <math>\triangledown \cdot \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right ) = \frac{1}{\rho }\cdot \frac{d\rho u_{\rho }}{d\rho } = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho } \cdot \left ( log(\rho ) +1\right )</math>

La tensión en dirección <math>\vec{\rho} </math> será: <math>\sigma _{11} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{11} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 3\right )</math>

La tensión en dirección <math>\vec{\theta} </math> será: <math>\sigma _{22} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{22} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 1\right ) + log(\rho )\cdot sen(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

La tensión en dirección <math>\vec{k} </math> será: <math>\sigma _{33} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{33} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 1\right )</math>

{{matlab|codigo=

num = 0.2;
u = 1:num:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

[rho,theta] = meshgrid(u,v);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
Z = zeros(size(X));
clf

a = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+3);
b = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+1)+log(rho).*sin(2*theta-pi()/2);
c = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+1);

subplot(1,3,1)
surf(X,Y,a)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional Rho')

subplot(1,3,2)
surf(X,Y,b)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional Theta')

subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')

}}

[[Archivo:VectoresNormalesDireccionales21-A.jpg|marco|ninguna]]

== Tensiones tangenciales respecto a <math>\vec{\rho} </math> ==

<math>\left | \sigma \cdot \vec{e_{\rho }} -\left ( \vec{e_{\rho }} \cdot \sigma \cdot \vec{e_{\rho }} \right ) \cdot \vec{e_{\rho }} \right | = \left | \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ \sigma _{22} \\ \sigma _{33} \end{pmatrix} - \sigma _{11} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right | = \left | \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ \sigma _{22} \\ \sigma _{33} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right | = \left | \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma _{22} \\ \sigma _{33} \end{pmatrix}\right |</math>

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo 21-A)

2022-12-08T12:08:21Z

Jose.serna.garcia: /* Tensiones tangenciales respecto a \vec{\rho} */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo21-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | José Serna García, Galo Pastor Brezmes, Javier López Gonzalez y Miguel Millaruelo Frontela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

== Representación del semianillo ==

Para empezar este artículo, vamos a representar el anillo con el que trabajaremos. Para ello emplearemos coordenadas cilíndricas y lo representaremos entre los ejes [-3,3]x[-1,3].

[[Archivo:FiguraApartado1.2.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Primero parametrizaremos la superficie en función de rho y theta.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;

%Después vamos a definir el mallado correspondiente.
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Ahora vamos a definir las variables X e Y en coordenadas cilíndricas (en función de R y TT).
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Por último, representaremos la superficie deseada entre los ejes [-3,3]x[-1,3].
figure(1);
subplot(1,2,1);
mesh(X,Y,0*X);
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);

}}

== Curvas de nivel del campo de temperaturas ==

A continuación veremos cómo actúa el campo escalar de temperaturas "T" sobre nuestro anillo y veremos representadas las curvas de nivel del campo sobre él.
Como podemos observar en la imagen, a partir de las curvas de nivel se deduce que el punto del anillo en el cual la temperatura es máxima es el punto (0,2).
[[Archivo:FiguraApartado2.3.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Primero vamos a parametrizar la superficie igual que en el apartado anterior y a crear el mallado.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Definimos las variables X e Y en función de R y TT.
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Definimos el campo de temperaturas "T" en función de X e Y.
T=((X-3).^2)+((10.*(Y-0.5)).^2);

%Representamos las curvas de nivel del campo T sobre la superficie designada.
figure(1);
mesh(X,Y,0*X);
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de temperaturas');
subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Curvas de nivel');
colorbar;

}}

== Gradiente del campo de temperaturas ==

El gradiente de este campo de temperaturas será: ∇T=(2x-6)i+(200y-100)j. Gracias a esto podemos demostrar que la dirección de aumento máximo de la temperatura es perpendicular a las curvas de nivel del campo.

[[Archivo:FiguraApartado3.2.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Parametrizamos la superficie y creamos el mallado.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Definimos las variables X e Y en función de R y TT.
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Definimos el campo de temperaturas "T" en función de X e Y. También las matrices Tx y Ty de su gradiente.
T=((X-3).^2)+((10.*(Y-0.5)).^2);
Tx=(2*X)-6;
Ty=(200*Y)-100;

%Representamos el gradiente del campo T sobre las curvas de nivel del campo mismo.
figure(1)
mesh(X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off

}}

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Rotacional ==

El rotacional del campo será: <math>\triangle \times \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right )=\left ( \frac{d\vec{e_{\theta }}\rho u_{\rho }}{dz} -\frac{d u_{\rho}}{d\theta } \vec{e_{z}} \right )
</math> y dado que: <math>\frac{d\vec{e_{\theta }}\rho u_{\rho }}{dz} = 0</math>, podemos concluir que: <math>\left | \triangle \times \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right ) \right | = \frac{\log(\rho )cos(2 \theta -\frac{\pi }{2})}{\rho }</math>.

{{matlab|codigo=

num = 0.2;
u = 1:num:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

[rho,theta] = meshgrid(u,v);
x = rho.*cos(theta);
y = rho.*sin(theta);

rotacional = abs((cos(2*theta-pi/2)./(rho)).*(log(rho)));

subplot(1,2,1);
surf(x,y,rotacional);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('Rotacional');

}}

[[Archivo:RotacionalSemiAnillo21-A.jpg|marco|centro]]

== Vectores normales direccionales ==

El tensor de tensiones <math>\sigma _{ij}</math> viene dado por: <math>\sigma = \lambda \triangledown \cdot \vec{u} \mathbf{1} + 2\mu \epsilon </math>, siendo <math>\lambda = \mu = 1</math>

Siendo <math>\epsilon </math> definido como: <math>\epsilon \left ( \vec{u} \right ) = \frac{\left ( \triangledown \vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t}\right )}{2}</math> y cuyas componentes de la diagonal principal son: <math>\epsilon_{11} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }</math>, <math>\epsilon_{22} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})\cdot log(\rho )}{2}</math> y <math>\epsilon_{22} = 0 </math>.

La divergencia del campo será: <math>\triangledown \cdot \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right ) = \frac{1}{\rho }\cdot \frac{d\rho u_{\rho }}{d\rho } = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho } \cdot \left ( log(\rho ) +1\right )</math>

La tensión en dirección <math>\vec{\rho} </math> será: <math>\sigma _{11} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{11} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 3\right )</math>

La tensión en dirección <math>\vec{\theta} </math> será: <math>\sigma _{22} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{22} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 1\right ) + log(\rho )\cdot sen(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

La tensión en dirección <math>\vec{k} </math> será: <math>\sigma _{33} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{33} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 1\right )</math>

{{matlab|codigo=

num = 0.2;
u = 1:num:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

[rho,theta] = meshgrid(u,v);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
Z = zeros(size(X));
clf

a = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+3);
b = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+1)+log(rho).*sin(2*theta-pi()/2);
c = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+1);

subplot(1,3,1)
surf(X,Y,a)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional Rho')

subplot(1,3,2)
surf(X,Y,b)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional Theta')

subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')

}}

[[Archivo:VectoresNormalesDireccionales21-A.jpg|marco|ninguna]]

== Tensiones tangenciales respecto a <math>\vec{\rho} </math> ==

<math>\left | \sigma \cdot \vec{e_{\rho }} -\left ( \vec{e_{\rho }} \cdot \sigma \cdot \vec{e_{\rho }} \right ) \cdot \vec{e_{\rho }} \right | = \left | \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ \sigma _{22} \\ \sigma _{33} \end{pmatrix} - \sigma _{11}) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right | = \left | \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ \sigma _{22} \\ \sigma _{33} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right | = \left | \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma _{22} \\ \sigma _{33} \end{pmatrix}\right |</math>

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo 21-A)

2022-12-08T12:06:38Z

Jose.serna.garcia: /* Tensiones tangenciales respecto a \vec{\rho} */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo21-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | José Serna García, Galo Pastor Brezmes, Javier López Gonzalez y Miguel Millaruelo Frontela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

== Representación del semianillo ==

Para empezar este artículo, vamos a representar el anillo con el que trabajaremos. Para ello emplearemos coordenadas cilíndricas y lo representaremos entre los ejes [-3,3]x[-1,3].

[[Archivo:FiguraApartado1.2.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Primero parametrizaremos la superficie en función de rho y theta.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;

%Después vamos a definir el mallado correspondiente.
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Ahora vamos a definir las variables X e Y en coordenadas cilíndricas (en función de R y TT).
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Por último, representaremos la superficie deseada entre los ejes [-3,3]x[-1,3].
figure(1);
subplot(1,2,1);
mesh(X,Y,0*X);
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);

}}

== Curvas de nivel del campo de temperaturas ==

A continuación veremos cómo actúa el campo escalar de temperaturas "T" sobre nuestro anillo y veremos representadas las curvas de nivel del campo sobre él.
Como podemos observar en la imagen, a partir de las curvas de nivel se deduce que el punto del anillo en el cual la temperatura es máxima es el punto (0,2).
[[Archivo:FiguraApartado2.3.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Primero vamos a parametrizar la superficie igual que en el apartado anterior y a crear el mallado.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Definimos las variables X e Y en función de R y TT.
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Definimos el campo de temperaturas "T" en función de X e Y.
T=((X-3).^2)+((10.*(Y-0.5)).^2);

%Representamos las curvas de nivel del campo T sobre la superficie designada.
figure(1);
mesh(X,Y,0*X);
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de temperaturas');
subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Curvas de nivel');
colorbar;

}}

== Gradiente del campo de temperaturas ==

El gradiente de este campo de temperaturas será: ∇T=(2x-6)i+(200y-100)j. Gracias a esto podemos demostrar que la dirección de aumento máximo de la temperatura es perpendicular a las curvas de nivel del campo.

[[Archivo:FiguraApartado3.2.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Parametrizamos la superficie y creamos el mallado.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Definimos las variables X e Y en función de R y TT.
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Definimos el campo de temperaturas "T" en función de X e Y. También las matrices Tx y Ty de su gradiente.
T=((X-3).^2)+((10.*(Y-0.5)).^2);
Tx=(2*X)-6;
Ty=(200*Y)-100;

%Representamos el gradiente del campo T sobre las curvas de nivel del campo mismo.
figure(1)
mesh(X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off

}}

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Rotacional ==

El rotacional del campo será: <math>\triangle \times \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right )=\left ( \frac{d\vec{e_{\theta }}\rho u_{\rho }}{dz} -\frac{d u_{\rho}}{d\theta } \vec{e_{z}} \right )
</math> y dado que: <math>\frac{d\vec{e_{\theta }}\rho u_{\rho }}{dz} = 0</math>, podemos concluir que: <math>\left | \triangle \times \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right ) \right | = \frac{\log(\rho )cos(2 \theta -\frac{\pi }{2})}{\rho }</math>.

{{matlab|codigo=

num = 0.2;
u = 1:num:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

[rho,theta] = meshgrid(u,v);
x = rho.*cos(theta);
y = rho.*sin(theta);

rotacional = abs((cos(2*theta-pi/2)./(rho)).*(log(rho)));

subplot(1,2,1);
surf(x,y,rotacional);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('Rotacional');

}}

[[Archivo:RotacionalSemiAnillo21-A.jpg|marco|centro]]

== Vectores normales direccionales ==

El tensor de tensiones <math>\sigma _{ij}</math> viene dado por: <math>\sigma = \lambda \triangledown \cdot \vec{u} \mathbf{1} + 2\mu \epsilon </math>, siendo <math>\lambda = \mu = 1</math>

Siendo <math>\epsilon </math> definido como: <math>\epsilon \left ( \vec{u} \right ) = \frac{\left ( \triangledown \vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t}\right )}{2}</math> y cuyas componentes de la diagonal principal son: <math>\epsilon_{11} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }</math>, <math>\epsilon_{22} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})\cdot log(\rho )}{2}</math> y <math>\epsilon_{22} = 0 </math>.

La divergencia del campo será: <math>\triangledown \cdot \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right ) = \frac{1}{\rho }\cdot \frac{d\rho u_{\rho }}{d\rho } = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho } \cdot \left ( log(\rho ) +1\right )</math>

La tensión en dirección <math>\vec{\rho} </math> será: <math>\sigma _{11} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{11} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 3\right )</math>

La tensión en dirección <math>\vec{\theta} </math> será: <math>\sigma _{22} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{22} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 1\right ) + log(\rho )\cdot sen(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

La tensión en dirección <math>\vec{k} </math> será: <math>\sigma _{33} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{33} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 1\right )</math>

{{matlab|codigo=

num = 0.2;
u = 1:num:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

[rho,theta] = meshgrid(u,v);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
Z = zeros(size(X));
clf

a = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+3);
b = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+1)+log(rho).*sin(2*theta-pi()/2);
c = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+1);

subplot(1,3,1)
surf(X,Y,a)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional Rho')

subplot(1,3,2)
surf(X,Y,b)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional Theta')

subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')

}}

[[Archivo:VectoresNormalesDireccionales21-A.jpg|marco|ninguna]]

== Tensiones tangenciales respecto a <math>\vec{\rho} </math> ==

<math>\left | \sigma \cdot \vec{e_{\rho }} -\left ( \vec{e_{\rho }} \cdot \sigma \cdot \vec{e_{\rho }} \right ) \cdot \vec{e_{\rho }} \right | = \left | \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ \sigma _{22} \\ \sigma _{33} \end{pmatrix} - \left ( \triangledown \cdot \vec{u} - 2\epsilon _{11}\right ) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right | = \left | \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ \sigma _{22} \\ \sigma _{33} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right | = \left | \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma _{22} \\ \sigma _{33} \end{pmatrix}\right |</math>

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo 21-A)

2022-12-08T12:05:46Z

Jose.serna.garcia: /* Tensiones tangenciales respecto a \vec{\rho} */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo21-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | José Serna García, Galo Pastor Brezmes, Javier López Gonzalez y Miguel Millaruelo Frontela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

== Representación del semianillo ==

Para empezar este artículo, vamos a representar el anillo con el que trabajaremos. Para ello emplearemos coordenadas cilíndricas y lo representaremos entre los ejes [-3,3]x[-1,3].

[[Archivo:FiguraApartado1.2.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Primero parametrizaremos la superficie en función de rho y theta.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;

%Después vamos a definir el mallado correspondiente.
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Ahora vamos a definir las variables X e Y en coordenadas cilíndricas (en función de R y TT).
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Por último, representaremos la superficie deseada entre los ejes [-3,3]x[-1,3].
figure(1);
subplot(1,2,1);
mesh(X,Y,0*X);
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);

}}

== Curvas de nivel del campo de temperaturas ==

A continuación veremos cómo actúa el campo escalar de temperaturas "T" sobre nuestro anillo y veremos representadas las curvas de nivel del campo sobre él.
Como podemos observar en la imagen, a partir de las curvas de nivel se deduce que el punto del anillo en el cual la temperatura es máxima es el punto (0,2).
[[Archivo:FiguraApartado2.3.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Primero vamos a parametrizar la superficie igual que en el apartado anterior y a crear el mallado.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Definimos las variables X e Y en función de R y TT.
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Definimos el campo de temperaturas "T" en función de X e Y.
T=((X-3).^2)+((10.*(Y-0.5)).^2);

%Representamos las curvas de nivel del campo T sobre la superficie designada.
figure(1);
mesh(X,Y,0*X);
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de temperaturas');
subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Curvas de nivel');
colorbar;

}}

== Gradiente del campo de temperaturas ==

El gradiente de este campo de temperaturas será: ∇T=(2x-6)i+(200y-100)j. Gracias a esto podemos demostrar que la dirección de aumento máximo de la temperatura es perpendicular a las curvas de nivel del campo.

[[Archivo:FiguraApartado3.2.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Parametrizamos la superficie y creamos el mallado.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Definimos las variables X e Y en función de R y TT.
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Definimos el campo de temperaturas "T" en función de X e Y. También las matrices Tx y Ty de su gradiente.
T=((X-3).^2)+((10.*(Y-0.5)).^2);
Tx=(2*X)-6;
Ty=(200*Y)-100;

%Representamos el gradiente del campo T sobre las curvas de nivel del campo mismo.
figure(1)
mesh(X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off

}}

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Rotacional ==

El rotacional del campo será: <math>\triangle \times \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right )=\left ( \frac{d\vec{e_{\theta }}\rho u_{\rho }}{dz} -\frac{d u_{\rho}}{d\theta } \vec{e_{z}} \right )
</math> y dado que: <math>\frac{d\vec{e_{\theta }}\rho u_{\rho }}{dz} = 0</math>, podemos concluir que: <math>\left | \triangle \times \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right ) \right | = \frac{\log(\rho )cos(2 \theta -\frac{\pi }{2})}{\rho }</math>.

{{matlab|codigo=

num = 0.2;
u = 1:num:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

[rho,theta] = meshgrid(u,v);
x = rho.*cos(theta);
y = rho.*sin(theta);

rotacional = abs((cos(2*theta-pi/2)./(rho)).*(log(rho)));

subplot(1,2,1);
surf(x,y,rotacional);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('Rotacional');

}}

[[Archivo:RotacionalSemiAnillo21-A.jpg|marco|centro]]

== Vectores normales direccionales ==

El tensor de tensiones <math>\sigma _{ij}</math> viene dado por: <math>\sigma = \lambda \triangledown \cdot \vec{u} \mathbf{1} + 2\mu \epsilon </math>, siendo <math>\lambda = \mu = 1</math>

Siendo <math>\epsilon </math> definido como: <math>\epsilon \left ( \vec{u} \right ) = \frac{\left ( \triangledown \vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t}\right )}{2}</math> y cuyas componentes de la diagonal principal son: <math>\epsilon_{11} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }</math>, <math>\epsilon_{22} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})\cdot log(\rho )}{2}</math> y <math>\epsilon_{22} = 0 </math>.

La divergencia del campo será: <math>\triangledown \cdot \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right ) = \frac{1}{\rho }\cdot \frac{d\rho u_{\rho }}{d\rho } = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho } \cdot \left ( log(\rho ) +1\right )</math>

La tensión en dirección <math>\vec{\rho} </math> será: <math>\sigma _{11} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{11} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 3\right )</math>

La tensión en dirección <math>\vec{\theta} </math> será: <math>\sigma _{22} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{22} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 1\right ) + log(\rho )\cdot sen(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

La tensión en dirección <math>\vec{k} </math> será: <math>\sigma _{33} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{33} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 1\right )</math>

{{matlab|codigo=

num = 0.2;
u = 1:num:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

[rho,theta] = meshgrid(u,v);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
Z = zeros(size(X));
clf

a = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+3);
b = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+1)+log(rho).*sin(2*theta-pi()/2);
c = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+1);

subplot(1,3,1)
surf(X,Y,a)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional Rho')

subplot(1,3,2)
surf(X,Y,b)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional Theta')

subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')

}}

[[Archivo:VectoresNormalesDireccionales21-A.jpg|marco|ninguna]]

== Tensiones tangenciales respecto a <math>\vec{\rho} </math> ==

<math>\left | \sigma \cdot \vec{e_{\rho }} -\left ( \vec{e_{\rho }} \cdot \sigma \cdot \vec{e_{\rho }} \right ) \cdot \vec{e_{\rho }} \right | = \left | \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ \sigma _{22} \\ \sigma _{33} \end{pmatrix} - \left ( \triangledown \cdot \vec{u} - 2\epsilon _{11}\right ) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right | = \left | \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ \sigma _{22} \\ \sigma _{33} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right |</math>

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo 21-A)

2022-12-08T12:04:00Z

Jose.serna.garcia: /* Tensiones tangenciales respecto a \vec{\rho} */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo21-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | José Serna García, Galo Pastor Brezmes, Javier López Gonzalez y Miguel Millaruelo Frontela }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

== Representación del semianillo ==

Para empezar este artículo, vamos a representar el anillo con el que trabajaremos. Para ello emplearemos coordenadas cilíndricas y lo representaremos entre los ejes [-3,3]x[-1,3].

[[Archivo:FiguraApartado1.2.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Primero parametrizaremos la superficie en función de rho y theta.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;

%Después vamos a definir el mallado correspondiente.
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Ahora vamos a definir las variables X e Y en coordenadas cilíndricas (en función de R y TT).
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Por último, representaremos la superficie deseada entre los ejes [-3,3]x[-1,3].
figure(1);
subplot(1,2,1);
mesh(X,Y,0*X);
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
subplot(1,2,2);
mesh(X,Y,0*X);
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);

}}

== Curvas de nivel del campo de temperaturas ==

A continuación veremos cómo actúa el campo escalar de temperaturas "T" sobre nuestro anillo y veremos representadas las curvas de nivel del campo sobre él.
Como podemos observar en la imagen, a partir de las curvas de nivel se deduce que el punto del anillo en el cual la temperatura es máxima es el punto (0,2).
[[Archivo:FiguraApartado2.3.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Primero vamos a parametrizar la superficie igual que en el apartado anterior y a crear el mallado.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Definimos las variables X e Y en función de R y TT.
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Definimos el campo de temperaturas "T" en función de X e Y.
T=((X-3).^2)+((10.*(Y-0.5)).^2);

%Representamos las curvas de nivel del campo T sobre la superficie designada.
figure(1);
mesh(X,Y,0*X);
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de temperaturas');
subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Curvas de nivel');
colorbar;

}}

== Gradiente del campo de temperaturas ==

El gradiente de este campo de temperaturas será: ∇T=(2x-6)i+(200y-100)j. Gracias a esto podemos demostrar que la dirección de aumento máximo de la temperatura es perpendicular a las curvas de nivel del campo.

[[Archivo:FiguraApartado3.2.jpg]]

{{matlab|codigo=

%Parametrizamos la superficie y creamos el mallado.
r=1:0.2:2;
tt=pi/4:pi/40:(3*pi)/4;
[R,TT]=meshgrid(r,tt);

%Definimos las variables X e Y en función de R y TT.
X=R.*cos(TT);
Y=R.*sin(TT);

%Definimos el campo de temperaturas "T" en función de X e Y. También las matrices Tx y Ty de su gradiente.
T=((X-3).^2)+((10.*(Y-0.5)).^2);
Tx=(2*X)-6;
Ty=(200*Y)-100;

%Representamos el gradiente del campo T sobre las curvas de nivel del campo mismo.
figure(1)
mesh(X,Y,0*X);
contour(X,Y,T);
view(2);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
hold on
quiver(X,Y,Tx,Ty);
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Gradiente del campo T');
hold off

}}

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Rotacional ==

El rotacional del campo será: <math>\triangle \times \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right )=\left ( \frac{d\vec{e_{\theta }}\rho u_{\rho }}{dz} -\frac{d u_{\rho}}{d\theta } \vec{e_{z}} \right )
</math> y dado que: <math>\frac{d\vec{e_{\theta }}\rho u_{\rho }}{dz} = 0</math>, podemos concluir que: <math>\left | \triangle \times \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right ) \right | = \frac{\log(\rho )cos(2 \theta -\frac{\pi }{2})}{\rho }</math>.

{{matlab|codigo=

num = 0.2;
u = 1:num:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

[rho,theta] = meshgrid(u,v);
x = rho.*cos(theta);
y = rho.*sin(theta);

rotacional = abs((cos(2*theta-pi/2)./(rho)).*(log(rho)));

subplot(1,2,1);
surf(x,y,rotacional);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('Rotacional');

}}

[[Archivo:RotacionalSemiAnillo21-A.jpg|marco|centro]]

== Vectores normales direccionales ==

El tensor de tensiones <math>\sigma _{ij}</math> viene dado por: <math>\sigma = \lambda \triangledown \cdot \vec{u} \mathbf{1} + 2\mu \epsilon </math>, siendo <math>\lambda = \mu = 1</math>

Siendo <math>\epsilon </math> definido como: <math>\epsilon \left ( \vec{u} \right ) = \frac{\left ( \triangledown \vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t}\right )}{2}</math> y cuyas componentes de la diagonal principal son: <math>\epsilon_{11} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }</math>, <math>\epsilon_{22} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})\cdot log(\rho )}{2}</math> y <math>\epsilon_{22} = 0 </math>.

La divergencia del campo será: <math>\triangledown \cdot \vec{u} \left ( \rho ,\theta \right ) = \frac{1}{\rho }\cdot \frac{d\rho u_{\rho }}{d\rho } = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho } \cdot \left ( log(\rho ) +1\right )</math>

La tensión en dirección <math>\vec{\rho} </math> será: <math>\sigma _{11} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{11} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 3\right )</math>

La tensión en dirección <math>\vec{\theta} </math> será: <math>\sigma _{22} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{22} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 1\right ) + log(\rho )\cdot sen(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

La tensión en dirección <math>\vec{k} </math> será: <math>\sigma _{33} = \triangledown \cdot \vec{u} + 2\epsilon _{33} = \frac{sen(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho }\cdot\left ( log(\rho ) + 1\right )</math>

{{matlab|codigo=

num = 0.2;
u = 1:num:2;
v = linspace(pi/4,3*pi/4,6);

[rho,theta] = meshgrid(u,v);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
Z = zeros(size(X));
clf

a = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+3);
b = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+1)+log(rho).*sin(2*theta-pi()/2);
c = (sin(2*theta-pi()/2)./2*rho).*(log(rho)+1);

subplot(1,3,1)
surf(X,Y,a)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional Rho')

subplot(1,3,2)
surf(X,Y,b)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional Theta')

subplot(1,3,3)
surf(X,Y,c)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal direccional k')

}}

[[Archivo:VectoresNormalesDireccionales21-A.jpg|marco|ninguna]]

== Tensiones tangenciales respecto a <math>\vec{\rho} </math> ==

<math>\left | \sigma \cdot \vec{e_{\rho }} -\left ( \vec{e_{\rho }} \cdot \sigma \cdot \vec{e_{\rho }} \right ) \cdot \vec{e_{\rho }} \right | = \left | \begin{pmatrix} \sigma _{11} \\ \sigma _{22} \\ \sigma _{33} \end{pmatrix} - \left ( \triangledown \cdot \vec{u} - 2\epsilon _{11}\right ) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right |</math>

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

== Sección ==

Hola, soy el texto de una sección.

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo 21-A)

2022-12-07T21:51:02Z

Jose.serna.garcia:

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo 21-A)

2022-12-07T21:50:23Z

Jose.serna.garcia: /* Sección */

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Jose.serna.garcia: /* Vectores normales direccionales */

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo 21-A)

2022-12-07T21:33:10Z

Jose.serna.garcia: /* Vectores normales direccionales */

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo 21-A)

2022-12-07T21:30:26Z

Jose.serna.garcia: /* Vectores normales direccionales */

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo 21-A)

2022-12-07T21:27:19Z

Jose.serna.garcia: /* Rotacional */

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo 21-A)

2022-12-07T21:26:57Z

Jose.serna.garcia: /* Rotacional */

Archivo:RotacionalSemiAnillo21-A.jpg

2022-12-07T21:26:20Z

Jose.serna.garcia:

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2022-12-07T21:22:07Z

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2022-12-07T21:20:59Z

Jose.serna.garcia: /* Vectores normales direccionales */

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2022-12-07T21:17:51Z

Jose.serna.garcia: /* Vectores normales direccionales */

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2022-12-07T21:16:45Z

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2022-12-07T21:12:02Z

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2022-12-07T21:10:52Z

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Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo 21-A)

2022-12-07T20:18:43Z

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2022-12-07T19:58:55Z

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2022-12-07T19:57:29Z

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2022-12-07T19:55:43Z

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Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo 21-A)

2022-12-07T19:52:18Z

Jose.serna.garcia: /* Vectores normales direccionales */

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2022-12-07T19:52:03Z

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2022-12-07T19:49:18Z

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Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo 21-A)

2022-12-07T19:48:59Z

Jose.serna.garcia: /* Vectores normales direccionales */

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo 21-A)

2022-12-07T19:43:27Z

Jose.serna.garcia: /* Vectores normales direccionales */

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo 21-A)

2022-12-07T19:30:53Z

Jose.serna.garcia: /* Vectores normales direccionales */

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo 21-A)

2022-12-07T19:28:32Z

Jose.serna.garcia: /* Sección */

Visualización de campos escalares y vectoriales sobre semianillo (Grupo 21-A)

2022-12-07T19:27:41Z

Jose.serna.garcia: /* Rotacional */

Archivo:VectoresNormalesDireccionales21-A.jpg

2022-12-07T19:27:33Z

Jose.serna.garcia: