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Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-15T20:23:18Z

Jose.ramos.marin: /* Estructura civil */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =

==Definición==

Se define la cicloide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1.1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 1.2. Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 2, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}\cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}\sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 3 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.1. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.2. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 4.1 y 4.2). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 6.1. Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{\sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.\sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces <math>\hspace{1cm}C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)\hspace{1cm}</math> y<math>\hspace{1cm} R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978\hspace{1cm}</math>

En la Figura 6.1 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{0.2cm}t=0.3\hspace{0.2cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo <math>\hspace{0.2cm} I \hspace{0.2cm}</math>. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 6.2).

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000_1.jpg|500px|thumb|center|Figura 6.2. Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.1. Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.2. Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 7.3. Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|center|Figura 8.1. Museo de Arte Kimbell en Fort Worth. Louis Kahn]]
[[Archivo:Catedral de San Pablo. Christopher Wren.jpeg|400px|thumb|center|Figura 8.2. Catedral de San Pablo en Londres. Christopher Wren]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 9. Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

* '''Observación''':

[[Archivo:cicloide_densidad.jpg|500px|thumb|right|Figura 10.1. Distribución de la densidad según dirección j]]

Para entender como se distribuye la densidad en todos los puntos de la superficie (contenidos en R3) se puede representar la función densidad según la función

<math>f(x_2)=cos(x_2)</math>

que admite valores entre -1 y 1 pues <math>x_2</math> pertenece a <math>(0, 2\pi)</math>. Se puede ver gráficamente en la Figura 10.

Sin embargo resulta difícil pensar que la densidad es negativa en algún punto de la superficie. Por este motivo, se considera la siguiente función densidad

<math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)+1</math>.

De esta manera se tiene una superficie cuya densidad varía en función de la coordenada <math>x_2</math> manteniéndose constante en las otras dos, por tanto la densidad es constante para <math>x_2=cte</math>, es decir, para las distintas rectas generatrices con dirección <math>\vec i</math> que forman la superficie. Su valor va desde 2 en la generatriz más alta hasta anularse en la generatriz inferior. Se admite este resultado por considerarse aproximado en el cálculo de la masa. En la Figura 10.2. se puede observar una representación de la nueva función de densidad en el espacio, como una superficie cuyas coordenadas <math>x_3</math> son el valor de la densidad en los puntos de la superficie junto a la que se representa.

[[Archivo:cicloide_densidad_esp.jpg|500px|thumb|center|Figura 10.2. Densidad vista como superficie y Superficie considerada]]

Con esta distribución de la densidad: '''La masa de la superficie es 9.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
:[https://www.unicoos.com/blog/christopher-wren-y-la-cicloide|Unicoos.com]
{{ referencias }}

[[Categoría:TC23/24]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-15T20:21:02Z

Jose.ramos.marin: /* Estructura civil */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =

==Definición==

Se define la cicloide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1.1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 1.2. Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 2, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}\cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}\sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 3 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.1. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.2. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 4.1 y 4.2). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 6.1. Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{\sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.\sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces <math>\hspace{1cm}C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)\hspace{1cm}</math> y<math>\hspace{1cm} R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978\hspace{1cm}</math>

En la Figura 6.1 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{0.2cm}t=0.3\hspace{0.2cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo <math>\hspace{0.2cm} I \hspace{0.2cm}</math>. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 6.2).

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000_1.jpg|500px|thumb|center|Figura 6.2. Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.1. Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.2. Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 7.3. Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|center|Figura 8.1. Estructura civil con arco cicloide.]]
[[Archivo:Catedral de San Pablo. Christopher Wren.jpeg|400px|thumb|center|Figura 8.2. Catedral de San Pablo en Londres. Christopher Wren]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 9. Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

* '''Observación''':

[[Archivo:cicloide_densidad.jpg|500px|thumb|right|Figura 10.1. Distribución de la densidad según dirección j]]

Para entender como se distribuye la densidad en todos los puntos de la superficie (contenidos en R3) se puede representar la función densidad según la función

<math>f(x_2)=cos(x_2)</math>

que admite valores entre -1 y 1 pues <math>x_2</math> pertenece a <math>(0, 2\pi)</math>. Se puede ver gráficamente en la Figura 10.

Sin embargo resulta difícil pensar que la densidad es negativa en algún punto de la superficie. Por este motivo, se considera la siguiente función densidad

<math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)+1</math>.

De esta manera se tiene una superficie cuya densidad varía en función de la coordenada <math>x_2</math> manteniéndose constante en las otras dos, por tanto la densidad es constante para <math>x_2=cte</math>, es decir, para las distintas rectas generatrices con dirección <math>\vec i</math> que forman la superficie. Su valor va desde 2 en la generatriz más alta hasta anularse en la generatriz inferior. Se admite este resultado por considerarse aproximado en el cálculo de la masa. En la Figura 10.2. se puede observar una representación de la nueva función de densidad en el espacio, como una superficie cuyas coordenadas <math>x_3</math> son el valor de la densidad en los puntos de la superficie junto a la que se representa.

[[Archivo:cicloide_densidad_esp.jpg|500px|thumb|center|Figura 10.2. Densidad vista como superficie y Superficie considerada]]

Con esta distribución de la densidad: '''La masa de la superficie es 9.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
:[https://www.unicoos.com/blog/christopher-wren-y-la-cicloide|Unicoos.com]
{{ referencias }}

[[Categoría:TC23/24]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-15T20:20:13Z

Jose.ramos.marin: /* Estructura civil */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =

==Definición==

Se define la cicloide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1.1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 1.2. Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 2, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}\cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}\sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 3 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.1. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.2. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 4.1 y 4.2). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 6.1. Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{\sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.\sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces <math>\hspace{1cm}C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)\hspace{1cm}</math> y<math>\hspace{1cm} R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978\hspace{1cm}</math>

En la Figura 6.1 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{0.2cm}t=0.3\hspace{0.2cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo <math>\hspace{0.2cm} I \hspace{0.2cm}</math>. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 6.2).

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000_1.jpg|500px|thumb|center|Figura 6.2. Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.1. Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.2. Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 7.3. Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|center|Figura 8.1. Estructura civil con arco cicloide.]]
[[Archivo:Catedral de San Pablo. Christopher Wren.jpg|400px|thumb|center|Figura 8.2. Catedral de San Pablo en Londres. Christopher Wren]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 9. Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

* '''Observación''':

[[Archivo:cicloide_densidad.jpg|500px|thumb|right|Figura 10.1. Distribución de la densidad según dirección j]]

Para entender como se distribuye la densidad en todos los puntos de la superficie (contenidos en R3) se puede representar la función densidad según la función

<math>f(x_2)=cos(x_2)</math>

que admite valores entre -1 y 1 pues <math>x_2</math> pertenece a <math>(0, 2\pi)</math>. Se puede ver gráficamente en la Figura 10.

Sin embargo resulta difícil pensar que la densidad es negativa en algún punto de la superficie. Por este motivo, se considera la siguiente función densidad

<math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)+1</math>.

De esta manera se tiene una superficie cuya densidad varía en función de la coordenada <math>x_2</math> manteniéndose constante en las otras dos, por tanto la densidad es constante para <math>x_2=cte</math>, es decir, para las distintas rectas generatrices con dirección <math>\vec i</math> que forman la superficie. Su valor va desde 2 en la generatriz más alta hasta anularse en la generatriz inferior. Se admite este resultado por considerarse aproximado en el cálculo de la masa. En la Figura 10.2. se puede observar una representación de la nueva función de densidad en el espacio, como una superficie cuyas coordenadas <math>x_3</math> son el valor de la densidad en los puntos de la superficie junto a la que se representa.

[[Archivo:cicloide_densidad_esp.jpg|500px|thumb|center|Figura 10.2. Densidad vista como superficie y Superficie considerada]]

Con esta distribución de la densidad: '''La masa de la superficie es 9.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
:[https://www.unicoos.com/blog/christopher-wren-y-la-cicloide|Unicoos.com]
{{ referencias }}

[[Categoría:TC23/24]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-15T20:19:42Z

Jose.ramos.marin: /* Estructura civil */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =

==Definición==

Se define la cicloide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1.1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 1.2. Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 2, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}\cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}\sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 3 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.1. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.2. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 4.1 y 4.2). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 6.1. Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{\sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.\sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces <math>\hspace{1cm}C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)\hspace{1cm}</math> y<math>\hspace{1cm} R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978\hspace{1cm}</math>

En la Figura 6.1 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{0.2cm}t=0.3\hspace{0.2cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo <math>\hspace{0.2cm} I \hspace{0.2cm}</math>. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 6.2).

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000_1.jpg|500px|thumb|center|Figura 6.2. Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.1. Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.2. Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 7.3. Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|left|Figura 8.1. Estructura civil con arco cicloide.]]
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|right|Figura 8.2. Catedral de San Pablo en Londres. Christopher Wren]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 9. Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

* '''Observación''':

[[Archivo:cicloide_densidad.jpg|500px|thumb|right|Figura 10.1. Distribución de la densidad según dirección j]]

Para entender como se distribuye la densidad en todos los puntos de la superficie (contenidos en R3) se puede representar la función densidad según la función

<math>f(x_2)=cos(x_2)</math>

que admite valores entre -1 y 1 pues <math>x_2</math> pertenece a <math>(0, 2\pi)</math>. Se puede ver gráficamente en la Figura 10.

Sin embargo resulta difícil pensar que la densidad es negativa en algún punto de la superficie. Por este motivo, se considera la siguiente función densidad

<math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)+1</math>.

De esta manera se tiene una superficie cuya densidad varía en función de la coordenada <math>x_2</math> manteniéndose constante en las otras dos, por tanto la densidad es constante para <math>x_2=cte</math>, es decir, para las distintas rectas generatrices con dirección <math>\vec i</math> que forman la superficie. Su valor va desde 2 en la generatriz más alta hasta anularse en la generatriz inferior. Se admite este resultado por considerarse aproximado en el cálculo de la masa. En la Figura 10.2. se puede observar una representación de la nueva función de densidad en el espacio, como una superficie cuyas coordenadas <math>x_3</math> son el valor de la densidad en los puntos de la superficie junto a la que se representa.

[[Archivo:cicloide_densidad_esp.jpg|500px|thumb|center|Figura 10.2. Densidad vista como superficie y Superficie considerada]]

Con esta distribución de la densidad: '''La masa de la superficie es 9.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
:[https://www.unicoos.com/blog/christopher-wren-y-la-cicloide|Unicoos.com]
{{ referencias }}

[[Categoría:TC23/24]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]

Archivo:Catedral de San Pablo. Christopher Wren.jpeg

2023-12-15T20:19:31Z

Jose.ramos.marin:

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-15T19:48:02Z

Jose.ramos.marin: /* Masa de la superficie con densidad variable */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =

==Definición==

Se define la cicloide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1.1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 1.2. Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 2, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}\cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}\sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 3 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.1. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.2. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 4.1 y 4.2). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 6.1. Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{\sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.\sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces <math>\hspace{1cm}C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)\hspace{1cm}</math> y<math>\hspace{1cm} R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978\hspace{1cm}</math>

En la Figura 6.1 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{0.2cm}t=0.3\hspace{0.2cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo <math>\hspace{0.2cm} I \hspace{0.2cm}</math>. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 6.2).

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000_1.jpg|500px|thumb|center|Figura 6.2. Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.1. Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.2. Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 7.3. Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|Figura 8.1. Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 9. Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

* '''Observación''':

[[Archivo:cicloide_densidad.jpg|500px|thumb|right|Figura 10.1. Distribución de la densidad según dirección j]]

Para entender como se distribuye la densidad en todos los puntos de la superficie (contenidos en R3) se puede representar la función densidad según la función

<math>f(x_2)=cos(x_2)</math>

que admite valores entre -1 y 1 pues <math>x_2</math> pertenece a <math>(0, 2\pi)</math>. Se puede ver gráficamente en la Figura 10.

Sin embargo resulta difícil pensar que la densidad es negativa en algún punto de la superficie. Por este motivo, se considera la siguiente función densidad

<math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)+1</math>.

De esta manera se tiene una superficie cuya densidad varía en función de la coordenada <math>x_2</math> manteniéndose constante en las otras dos, por tanto la densidad es constante para <math>x_2=cte</math>, es decir, para las distintas rectas generatrices con dirección <math>\vec i</math> que forman la superficie. Su valor va desde 2 en la generatriz más alta hasta anularse en la generatriz inferior. Se admite este resultado por considerarse aproximado en el cálculo de la masa. En la Figura 10.2. se puede observar una representación de la nueva función de densidad en el espacio, como una superficie cuyas coordenadas <math>x_3</math> son el valor de la densidad en los puntos de la superficie junto a la que se representa.

[[Archivo:cicloide_densidad_esp.jpg|500px|thumb|center|Figura 10.2. Densidad vista como superficie y Superficie considerada]]

Con esta distribución de la densidad: '''La masa de la superficie es 9.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
:[https://www.unicoos.com/blog/christopher-wren-y-la-cicloide|Unicoos.com]
{{ referencias }}

[[Categoría:TC23/24]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-15T19:45:37Z

Jose.ramos.marin: /* Masa de la superficie con densidad variable */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =

==Definición==

Se define la cicloide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1.1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 1.2. Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 2, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}\cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}\sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 3 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.1. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.2. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 4.1 y 4.2). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 6.1. Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{\sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.\sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces <math>\hspace{1cm}C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)\hspace{1cm}</math> y<math>\hspace{1cm} R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978\hspace{1cm}</math>

En la Figura 6.1 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{0.2cm}t=0.3\hspace{0.2cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo <math>\hspace{0.2cm} I \hspace{0.2cm}</math>. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 6.2).

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000_1.jpg|500px|thumb|center|Figura 6.2. Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.1. Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.2. Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 7.3. Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|Figura 8.1. Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 9. Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

* '''Observación''':

[[Archivo:cicloide_densidad.jpg|500px|thumb|right|Figura 10.1. Distribución de la densidad según dirección j]]

Para entender como se distribuye la densidad en todos los puntos de la superficie (contenidos en R3) se puede representar la función densidad según la función

<math>f(x_2)=cos(x_2)</math>

que admite valores entre -1 y 1 pues <math>x_2</math> pertenece a <math>(0, 2\pi)</math>. Se puede ver gráficamente en la Figura 10.

Sin embargo resulta difícil pensar que la densidad es negativa en algún punto de la superficie. Por este motivo, se considera la siguiente función densidad

<math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)+1</math>.

De esta manera se tiene una superficie cuya densidad varía en función de la coordenada <math>x_2</math> manteniéndose constante en las otras dos, por tanto la densidad es constante para <math>x_2=cte</math>, es decir, para las distintas rectas generatrices con dirección <math>\vec i</math> que forman la superficie. Su valor va desde 2 en la generatriz más alta hasta anularse en la generatriz inferior. Se admite este resultado por considerarse aproximado en el cálculo de la masa. En la Figura 10.2. se puede observar una representación de la nueva función de densidad en el espacio, como una superficie cuyas coordenadas <math>Z</math> son el valor de la densidad en los puntos de la superficie junto a la que se representa.

[[Archivo:cicloide_densidad_esp.jpg|500px|thumb|center|Figura 10.2. Densidad vista como superficie y Superficie considerada]]

Con esta distribución de la densidad: '''La masa de la superficie es 9.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
:[https://www.unicoos.com/blog/christopher-wren-y-la-cicloide|Unicoos.com]
{{ referencias }}

[[Categoría:TC23/24]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-15T19:45:02Z

Jose.ramos.marin: /* Masa de la superficie con densidad variable */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =

==Definición==

Se define la cicloide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1.1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 1.2. Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 2, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}\cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}\sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 3 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.1. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.2. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 4.1 y 4.2). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 6.1. Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{\sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.\sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces <math>\hspace{1cm}C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)\hspace{1cm}</math> y<math>\hspace{1cm} R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978\hspace{1cm}</math>

En la Figura 6.1 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{0.2cm}t=0.3\hspace{0.2cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo <math>\hspace{0.2cm} I \hspace{0.2cm}</math>. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 6.2).

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000_1.jpg|500px|thumb|center|Figura 6.2. Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.1. Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.2. Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 7.3. Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|Figura 8.1. Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 9. Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

* '''Observación''':

[[Archivo:cicloide_densidad.jpg|500px|thumb|right|Figura 10.1. Distribución de la densidad según dirección j]]

Para entender como se distribuye la densidad en todos los puntos de la superficie (contenidos en R3) se puede representar la función densidad según la función

<math>f(x_2)=cos(x_2)</math>

que admite valores entre -1 y 1 pues <math>x_2</math> pertenece a <math>(0, 2\pi)</math>. Se puede ver gráficamente en la Figura 10.

Sin embargo resulta difícil pensar que la densidad es negativa en algún punto de la superficie. Por este motivo, se considera la siguiente función densidad

<math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)+1</math>.

De esta manera se tiene una superficie cuya densidad varía en función de la coordenada <math>x_2</math> manteniéndose constante en las otras dos, por tanto la densidad es constante para <math>x_2=cte</math>, es decir, para las distintas rectas generatrices con dirección <math>\vec i</math> que forman la superficie. Su valor va desde 2 en la generatriz más alta hasta anularse en la generatriz inferior. Se admite este resultado por considerarse aproximado en el cálculo de la masa. En la Figura 10.2. se puede observar una representación de la nueva función de densidad en el espacio, como una superficie cuyas coordenadas <math>Z</math> son el valor de la densidad en los puntos de la superficie junto a la que se representa.

[[Archivo:cicloide_densidad_esp.jpg|500px|thumb|left|Figura 10.2. Densidad vista como superficie y Superficie considerada]]

Con esta distribución de la densidad: '''La masa de la superficie es 9.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
:[https://www.unicoos.com/blog/christopher-wren-y-la-cicloide|Unicoos.com]
{{ referencias }}

[[Categoría:TC23/24]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-15T19:44:15Z

Jose.ramos.marin: /* Masa de la superficie con densidad variable */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =

==Definición==

Se define la cicloide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1.1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 1.2. Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 2, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}\cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}\sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 3 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.1. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.2. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 4.1 y 4.2). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 6.1. Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{\sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.\sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces <math>\hspace{1cm}C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)\hspace{1cm}</math> y<math>\hspace{1cm} R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978\hspace{1cm}</math>

En la Figura 6.1 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{0.2cm}t=0.3\hspace{0.2cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo <math>\hspace{0.2cm} I \hspace{0.2cm}</math>. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 6.2).

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000_1.jpg|500px|thumb|center|Figura 6.2. Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.1. Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.2. Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 7.3. Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|Figura 8.1. Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 9. Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

* '''Observación''':

[[Archivo:cicloide_densidad.jpg|450px|thumb|right|Figura 10.1. Distribución de la densidad según dirección j]]

Para entender como se distribuye la densidad en todos los puntos de la superficie (contenidos en R3) se puede representar la función densidad según la función

<math>f(x_2)=cos(x_2)</math>

que admite valores entre -1 y 1 pues <math>x_2</math> pertenece a <math>(0, 2\pi)</math>. Se puede ver gráficamente en la Figura 10.

Sin embargo resulta difícil pensar que la densidad es negativa en algún punto de la superficie. Por este motivo, se considera la siguiente función densidad

<math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)+1</math>.

De esta manera se tiene una superficie cuya densidad varía en función de la coordenada <math>x_2</math> manteniéndose constante en las otras dos, por tanto la densidad es constante para <math>x_2=cte</math>, es decir, para las distintas rectas generatrices con dirección <math>\vec i</math> que forman la superficie. Su valor va desde 2 en la generatriz más alta hasta anularse en la generatriz inferior. Se admite este resultado por considerarse aproximado en el cálculo de la masa. En la Figura 10.2. se puede observar una representación de la nueva función de densidad en el espacio, como una superficie cuyas coordenadas <math>Z</math> son el valor de la densidad en los puntos de la superficie junto a la que se representa.

[[Archivo:cicloide_densidad_esp.jpg|450px|thumb|center|Figura 10.2. Densidad vista como superficie y Superficie considerada]]

Con esta distribución de la densidad: '''La masa de la superficie es 9.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
:[https://www.unicoos.com/blog/christopher-wren-y-la-cicloide|Unicoos.com]
{{ referencias }}

[[Categoría:TC23/24]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-15T19:43:31Z

Jose.ramos.marin: /* Masa de la superficie con densidad variable */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =

==Definición==

Se define la cicloide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1.1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 1.2. Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 2, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}\cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}\sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 3 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.1. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.2. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 4.1 y 4.2). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 6.1. Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{\sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.\sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces <math>\hspace{1cm}C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)\hspace{1cm}</math> y<math>\hspace{1cm} R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978\hspace{1cm}</math>

En la Figura 6.1 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{0.2cm}t=0.3\hspace{0.2cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo <math>\hspace{0.2cm} I \hspace{0.2cm}</math>. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 6.2).

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000_1.jpg|500px|thumb|center|Figura 6.2. Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.1. Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.2. Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 7.3. Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|Figura 8.1. Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 9. Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

* '''Observación''':

[[Archivo:cicloide_densidad.jpg|450px|thumb|right|Figura 10.1. Distribución de la densidad según dirección j]]

Para entender como se distribuye la densidad en todos los puntos de la superficie (contenidos en R3) se puede representar la función densidad según la función

<math>f(x_2)=cos(x_2)</math>

que admite valores entre -1 y 1 pues <math>x_2</math> pertenece a <math>(0, 2\pi)</math>. Se puede ver gráficamente en la Figura 10.

Sin embargo resulta difícil pensar que la densidad es negativa en algún punto de la superficie. Por este motivo, se considera la siguiente función densidad

<math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)+1</math>.

De esta manera se tiene una superficie cuya densidad varía en función de la coordenada <math>x_2</math> manteniéndose constante en las otras dos, por tanto la densidad es constante para <math>x_2=cte</math>, es decir, para las distintas rectas generatrices con dirección <math>\vec i</math> que forman la superficie. Su valor va desde 2 en la generatriz más alta hasta anularse en la generatriz inferior. Se admite este resultado por considerarse aproximado en el cálculo de la masa. En la Figura 10.2. se puede observar una representación de la nueva función de densidad en el espacio, como una superficie cuyas coordenadas <math>Z</math> son el valor de la densidad en los puntos de la superficie junto a la que se representa.

[[Archivo:cicloide_densidad_esp.jpg|450px|thumb|right|Figura 10.2. Densidad vista como superficie y Superficie considerada]]

Con esta distribución de la densidad: '''La masa de la superficie es 9.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
:[https://www.unicoos.com/blog/christopher-wren-y-la-cicloide|Unicoos.com]
{{ referencias }}

[[Categoría:TC23/24]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-15T19:38:18Z

Jose.ramos.marin: /* Masa de la superficie con densidad variable */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =

==Definición==

Se define la cicloide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1.1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 1.2. Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 2, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}\cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}\sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 3 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.1. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.2. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 4.1 y 4.2). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 6.1. Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{\sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.\sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces <math>\hspace{1cm}C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)\hspace{1cm}</math> y<math>\hspace{1cm} R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978\hspace{1cm}</math>

En la Figura 6.1 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{0.2cm}t=0.3\hspace{0.2cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo <math>\hspace{0.2cm} I \hspace{0.2cm}</math>. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 6.2).

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000_1.jpg|500px|thumb|center|Figura 6.2. Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.1. Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.2. Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 7.3. Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|Figura 8.1. Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 9. Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

* '''Observación''':

Para entender como se distribuye la densidad en todos los puntos de la superficie (contenidos en R3) se puede representar la función densidad según la función

<math>f(x_2)=cos(x_2)</math>

que admite valores entre -1 y 1 pues <math>x_2</math> pertenece a <math>(0, 2\pi)</math>. Se puede ver gráficamente en la Figura 10.

[[Archivo:cicloide_densidad.jpg|450px|thumb|right|Figura 10.1. Distribución de la densidad según dirección j]]

Sin embargo resulta difícil pensar que la densidad es negativa en algún punto de la superficie. Por este motivo, se considera la siguiente función densidad

<math>f(x_2)=cos(x_2)+1</math>.

De esta manera se tiene una superficie cuya densidad varía en función de la coordenada <math>x_2</math>, manteniéndose constante en las otras dos y su valor va desde 2 en el punto más alto hasta anularse en la generatriz inferior. Se admite este resultado por considerarse aproximado en el cálculo de la masa. En la Figura 10.2. se puede observar una representación de la nueva función de densidad en el espacio, como una superficie cuyas coordenadas <math>Z</math> son el valor de la densidad en los puntos de la superficie junto a la que se representa.

[[Archivo:cicloide_densidad_esp.jpg|450px|thumb|right|Figura 10.2. Densidad vista como superficie y Superficie considerada]]

Con esta distribución de la densidad: '''La masa de la superficie es 9.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
:[https://www.unicoos.com/blog/christopher-wren-y-la-cicloide|Unicoos.com]
{{ referencias }}

[[Categoría:TC23/24]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-15T19:32:18Z

Jose.ramos.marin: /* Masa de la superficie con densidad variable */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =

==Definición==

Se define la cicloide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1.1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 1.2. Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 2, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}\cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}\sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 3 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.1. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.2. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 4.1 y 4.2). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 6.1. Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{\sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.\sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces <math>\hspace{1cm}C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)\hspace{1cm}</math> y<math>\hspace{1cm} R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978\hspace{1cm}</math>

En la Figura 6.1 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{0.2cm}t=0.3\hspace{0.2cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo <math>\hspace{0.2cm} I \hspace{0.2cm}</math>. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 6.2).

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000_1.jpg|500px|thumb|center|Figura 6.2. Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.1. Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.2. Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 7.3. Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|Figura 8.1. Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 9. Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

* '''Observación''':

Para entender como se distribuye la densidad en todos los puntos de la superficie (contenidos en R3) se puede representar la función densidad según la función

<math>f(x_2)=cos(x_2)</math>

que admite valores entre -1 y 1 pues <math>x_2</math> pertenece a <math>0 2\pi</math>. Se puede ver gráficamente en la Figura 10.

[[Archivo:cicloide_densidad.jpg|450px|thumb|right|Figura 10.1. Distribución de la densidad según dirección j]]

Sin embargo resulta difícil pensar que la densidad es negativa en algún punto de la superficie. Por este motivo, se considera la siguiente función densidad

<math>f(x_2)=cos(x_2)+1</math>.

De esta manera se tiene una superficie cuya densidad varía en función de la coordenada <math>x_2</math>, manteniéndose constante en las otras dos y su valor va desde 2 en el punto más alto hasta anularse en la generatriz inferior. Se admite este resultado por considerarse aproximado en el cálculo de la masa. En la Figura 10.2. se puede observar una representación de la nueva función de densidad en el espacio, como una superficie cuyas coordenadas <math>Z</math> son el valor de la densidad en los puntos de la superficie junto a la que se representa.

[[Archivo:cicloide_densidad_esp.jpg|450px|right|Figura 10.2. Densidad vista como superficie y Superficie considerada]]

Con esta distribución de la densidad

'''La masa de la superficie es 9.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
:[https://www.unicoos.com/blog/christopher-wren-y-la-cicloide|Unicoos.com]
{{ referencias }}

[[Categoría:TC23/24]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-15T19:30:25Z

Jose.ramos.marin:

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =

==Definición==

Se define la cicloide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1.1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 1.2. Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 2, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}\cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}\sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 3 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.1. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.2. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 4.1 y 4.2). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 6.1. Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{\sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.\sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces <math>\hspace{1cm}C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)\hspace{1cm}</math> y<math>\hspace{1cm} R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978\hspace{1cm}</math>

En la Figura 6.1 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{0.2cm}t=0.3\hspace{0.2cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo <math>\hspace{0.2cm} I \hspace{0.2cm}</math>. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 6.2).

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000_1.jpg|500px|thumb|center|Figura 6.2. Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.1. Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.2. Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 7.3. Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|Figura 8.1. Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 9. Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

* '''Observación''':

Para entender como se distribuye la densidad en todos los puntos de la superficie (contenidos en R3) se puede representar la función densidad según la función

<math>f(x_2)=cos(x_2)</math>

que admite valores entre -1 y 1 pues <math>x_2</math> pertenece a <math>0 2\pi</math>. Se puede ver gráficamente en la Figura 10.

[[Archivo:cicloide_densidad.jpg|450px|thumb|right|Figura 10.1. Distribución de la densidad según dirección j]]

Sin embargo resulta difícil pensar que la densidad es negativa en algún punto de la superficie. Por este motivo, se considera la siguiente función densidad

<math>f(x_2)=cos(x_2)+1</math>.

De esta manera se tiene una superficie cuya densidad varía en función de la coordenada <math>x_2</math>, manteniéndose constante en las otras dos y su valor va desde 2 en el punto más alto hasta anularse en la generatriz inferior. Se admite este resultado por considerarse aproximado en el cálculo de la masa. En la Figura 10.2. se puede observar una representación de la nueva función de densidad en el espacio, como una superficie cuyas coordenadas <math>Z</math> son el valor de la densidad en los puntos de la superficie junto a la que se representa.

[[Archivo:cicloide_densidad_esp.jpg|450px|right|left|Figura 10.2. Densidad vista como superficie y Superficie considerada]]

Con esta distribución de la densidad

'''La masa de la superficie es 9.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
:[https://www.unicoos.com/blog/christopher-wren-y-la-cicloide|Unicoos.com]
{{ referencias }}

[[Categoría:TC23/24]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-15T19:28:59Z

Jose.ramos.marin: /* Masa de la superficie con densidad variable */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =

==Definición==

Se define la cicloide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1.1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 1.2. Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 2, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}\cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}\sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 3 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.1. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.2. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 4.1 y 4.2). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 6.1. Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{\sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.\sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces <math>\hspace{1cm}C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)\hspace{1cm}</math> y<math>\hspace{1cm} R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978\hspace{1cm}</math>

En la Figura 6.1 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{0.2cm}t=0.3\hspace{0.2cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo <math>\hspace{0.2cm} I \hspace{0.2cm}</math>. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 6.2).

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000_1.jpg|500px|thumb|center|Figura 6.2. Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.1. Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.2. Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 7.3. Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|Figura 8.1. Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 9. Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

* '''Observación''':

Para entender como se distribuye la densidad en todos los puntos de la superficie (contenidos en R3) se puede representar la función densidad según la función

<math>f(x_2)=cos(x_2)</math>

que admite valores entre -1 y 1 pues <math>x_2</math> pertenece a <math>0 2\pi</math>. Se puede ver gráficamente en la Figura 10.

[[Archivo:cicloide_densidad.jpg|450px|thumb|right|Figura 10.1. Distribución de la densidad según dirección j]]

Sin embargo resulta difícil pensar que la densidad es negativa en algún punto de la superficie. Por este motivo, se considera la siguiente función densidad

<math>f(x_2)=cos(x_2)+1</math>.

De esta manera se tiene una superficie cuya densidad varía en función de la coordenada <math>x_2</math>, manteniéndose constante en las otras dos y su valor va desde 2 en el punto más alto hasta anularse en la generatriz inferior. Se admite este resultado por considerarse aproximado en el cálculo de la masa. En la Figura 10.2. se puede observar una representación de la nueva función de densidad en el espacio, como una superficie cuyas coordenadas <math>Z</math> son el valor de la densidad en los puntos de la superficie junto a la que se representa.

[[Archivo:cicloide_densidad_esp.jpg|450px|right|left|Figura 10.2. Densidad vista como superficie y Superficie considerada]]

Con esta distribución de la densidad

'''La masa de la superficie es 9.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
:[https://www.unicoos.com/blog/christopher-wren-y-la-cicloide|Unicoos.com]
{{ referencias }}

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-15T19:26:03Z

Jose.ramos.marin: /* Masa de la superficie con densidad variable */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =

==Definición==

Se define la cicloide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1.1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 1.2. Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 2, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}\cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}\sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 3 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.1. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.2. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 4.1 y 4.2). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 6.1. Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{\sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.\sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces <math>\hspace{1cm}C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)\hspace{1cm}</math> y<math>\hspace{1cm} R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978\hspace{1cm}</math>

En la Figura 6.1 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{0.2cm}t=0.3\hspace{0.2cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo <math>\hspace{0.2cm} I \hspace{0.2cm}</math>. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 6.2).

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000_1.jpg|500px|thumb|center|Figura 6.2. Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.1. Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.2. Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 7.3. Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|Figura 8.1. Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 9. Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

* Observación:

Para entender como se distribuye la densidad en todos los puntos de la superficie (contenidos en R3) se puede representar la función densidad swegún la función

<math>f(x_2)=cos(x_2)</math>

que admite valores entre -1 y 1 pues <math>x_2</math> pertenece a <math>0 2\pi</math>. Se puede ver gráficamente en la Figura 10.

[[Archivo:cicloide_densidad.jpg|250px|thumb|left|Figura 10.1. Distribución de la densidad según dirección j]]

Sin embargo resulta difícil pensar que la densidad es negativa en algún punto de la superficie. Por este motivo, se considera la siguiente función densidad

<math>f(x_2)=cos(x_2)+1</math>.

De esta manera se tiene una superficie cuya densidad varía en función de la coordenada <math>x_2</math>, manteniéndose constante en las otras dos y su valor va desde 2 en el punto más alto hasta anularse en la generatriz inferior. Se admite este resultado por considerarse aproximado en el cálculo de la masa. En la Figura 10.2. se puede observar una representación de la nueva función de densidad en el espacio, como una superficie cuyas coordenadas <math>Z</math> son el valor de la densidad en los puntos de la superficie junto a la que se representa.

[[Archivo:cicloide_densidad_esp.jpg|250px|thumb|left|Figura 10.2. Densidad vista como superficie y Superficie considerada]]

Con esta distribución de la densidad

'''La masa de la superficie es 9.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
:[https://www.unicoos.com/blog/christopher-wren-y-la-cicloide|Unicoos.com]
{{ referencias }}

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-15T19:24:59Z

Jose.ramos.marin: /* Masa de la superficie con densidad variable */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =

==Definición==

Se define la cicloide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1.1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 1.2. Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 2, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}\cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}\sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 3 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.1. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.2. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 4.1 y 4.2). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 6.1. Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{\sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.\sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces <math>\hspace{1cm}C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)\hspace{1cm}</math> y<math>\hspace{1cm} R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978\hspace{1cm}</math>

En la Figura 6.1 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{0.2cm}t=0.3\hspace{0.2cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo <math>\hspace{0.2cm} I \hspace{0.2cm}</math>. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 6.2).

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000_1.jpg|500px|thumb|center|Figura 6.2. Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.1. Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.2. Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 7.3. Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|Figura 8.1. Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 9. Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

* Observación:

Para entender como se distribuye la densidad en todos los puntos de la superficie (contenidos en R3) se puede representar la función densidad swegún la función

<math>f(x_2)=cos(x_2)</math>

que admite valores entre -1 y 1 pues <math>x_2</math> pertenece a <math>0 2\pi</math>. Se puede ver gráficamente en la Figura 10.

[[Archivo:cicloide_densidad|250px|thumb|left|Figura 10.1. Distribución de la densidad según dirección j]]

Sin embargo resulta difícil pensar que la densidad es negativa en algún punto de la superficie. Por este motivo, se considera la siguiente función densidad

<math>f(x_2)=cos(x_2)+1</math>.

De esta manera se tiene una superficie cuya densidad varía en función de la coordenada <math>x_2</math>, manteniéndose constante en las otras dos y su valor va desde 2 en el punto más alto hasta anularse en la generatriz inferior. Se admite este resultado por considerarse aproximado en el cálculo de la masa. En la Figura 10.2. se puede observar una representación de la nueva función de densidad en el espacio, como una superficie cuyas coordenadas <math>Z</math> son el valor de la densidad en los puntos de la superficie junto a la que se representa.

[[Archivo:cicloide_densidad_esp|250px|thumb|left|Figura 10.2. Densidad vista como superficie y Superficie considerada]]

Con esta distribución de la densidad

'''La masa de la superficie es 9.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
:[https://www.unicoos.com/blog/christopher-wren-y-la-cicloide|Unicoos.com]
{{ referencias }}

Archivo:Cicloide densidad esp.jpg

2023-12-15T19:23:04Z

Jose.ramos.marin:

Archivo:Cicloide densidad.jpg

2023-12-15T18:51:34Z

Jose.ramos.marin:

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-14T15:27:11Z

Jose.ramos.marin: /* Superficie reglada */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =

==Definición==

Se define la cicloide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1.1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 1.2. Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 2, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}\cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}\sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 3 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.1. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.2. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 4.1 y 4.2). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 6.1. Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{\sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.\sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces <math>\hspace{1cm}C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)\hspace{1cm}</math> y<math>\hspace{1cm} R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978\hspace{1cm}</math>

En la Figura 6.1 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{0.2cm}t=0.3\hspace{0.2cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo <math>\hspace{0.2cm} I \hspace{0.2cm}</math>. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 6.2).

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000_1.jpg|500px|thumb|center|Figura 6.2. Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.1. Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.2. Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 7.3. Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|Figura 8.1. Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 9. Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
:[https://www.unicoos.com/blog/christopher-wren-y-la-cicloide|Unicoos.com]
{{ referencias }}

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-14T15:26:48Z

Jose.ramos.marin: /* Estructura civil */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =

==Definición==

Se define la cicloide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1.1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 1.2. Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 2, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}\cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}\sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 3 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.1. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.2. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 4.1 y 4.2). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 6.1. Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{\sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.\sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces <math>\hspace{1cm}C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)\hspace{1cm}</math> y<math>\hspace{1cm} R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978\hspace{1cm}</math>

En la Figura 6.1 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{0.2cm}t=0.3\hspace{0.2cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo <math>\hspace{0.2cm} I \hspace{0.2cm}</math>. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 6.2).

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000_1.jpg|500px|thumb|center|Figura 6.2. Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.1. Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.2. Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 7.3. Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|Figura 8.1. Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 14: Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
:[https://www.unicoos.com/blog/christopher-wren-y-la-cicloide|Unicoos.com]
{{ referencias }}

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-14T15:26:32Z

Jose.ramos.marin: /* Curiosidades */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =

==Definición==

Se define la cicloide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1.1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 1.2. Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 2, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}\cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}\sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 3 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.1. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.2. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 4.1 y 4.2). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 6.1. Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{\sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.\sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces <math>\hspace{1cm}C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)\hspace{1cm}</math> y<math>\hspace{1cm} R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978\hspace{1cm}</math>

En la Figura 6.1 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{0.2cm}t=0.3\hspace{0.2cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo <math>\hspace{0.2cm} I \hspace{0.2cm}</math>. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 6.2).

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000_1.jpg|500px|thumb|center|Figura 6.2. Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.1. Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 7.2. Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 7.3. Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|Figura 13: Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 14: Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
:[https://www.unicoos.com/blog/christopher-wren-y-la-cicloide|Unicoos.com]
{{ referencias }}

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-14T15:25:48Z

Jose.ramos.marin: /* Circunferencia osculatriz */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =

==Definición==

Se define la cicloide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1.1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 1.2. Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 2, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}\cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}\sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 3 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.1. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.2. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 4.1 y 4.2). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 6.1. Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{\sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.\sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces <math>\hspace{1cm}C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)\hspace{1cm}</math> y<math>\hspace{1cm} R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978\hspace{1cm}</math>

En la Figura 6.1 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{0.2cm}t=0.3\hspace{0.2cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo <math>\hspace{0.2cm} I \hspace{0.2cm}</math>. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 6.2).

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000_1.jpg|500px|thumb|center|Figura 6.2. Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 10: Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 11: Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 12: Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|Figura 13: Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 14: Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
:[https://www.unicoos.com/blog/christopher-wren-y-la-cicloide|Unicoos.com]
{{ referencias }}

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-14T15:24:58Z

Jose.ramos.marin: /* Curvatura */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =

==Definición==

Se define la cicloide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1.1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 1.2. Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 2, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}\cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}\sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 3 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.1. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.2. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 4.1 y 4.2). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 8: Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{\sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.\sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces <math>\hspace{1cm}C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)\hspace{1cm}</math> y<math>\hspace{1cm} R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978\hspace{1cm}</math>

En la Figura 8 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{0.2cm}t=0.3\hspace{0.2cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo <math>\hspace{0.2cm} I \hspace{0.2cm}</math>. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 9).

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000_1.jpg|500px|thumb|center|Figura 9: Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 10: Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 11: Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 12: Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|Figura 13: Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 14: Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
:[https://www.unicoos.com/blog/christopher-wren-y-la-cicloide|Unicoos.com]
{{ referencias }}

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-14T15:24:41Z

Jose.ramos.marin: /* Vectores Tangentes y Normales */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =

==Definición==

Se define la cicloide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1.1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 1.2. Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 2, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}\cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}\sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 3 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.1. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 4.2. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 4.1 y 4.2). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 7: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 8: Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{\sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.\sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces <math>\hspace{1cm}C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)\hspace{1cm}</math> y<math>\hspace{1cm} R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978\hspace{1cm}</math>

En la Figura 8 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{0.2cm}t=0.3\hspace{0.2cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo <math>\hspace{0.2cm} I \hspace{0.2cm}</math>. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 9).

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000_1.jpg|500px|thumb|center|Figura 9: Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 10: Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 11: Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 12: Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|Figura 13: Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 14: Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
:[https://www.unicoos.com/blog/christopher-wren-y-la-cicloide|Unicoos.com]
{{ referencias }}

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-14T15:23:55Z

Jose.ramos.marin: /* Longitud de la curva */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =

==Definición==

Se define la cicloide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1.1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 1.2. Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 2, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}\cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}\sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 3 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 6: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 5 y 6). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 7: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 8: Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{\sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.\sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces <math>\hspace{1cm}C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)\hspace{1cm}</math> y<math>\hspace{1cm} R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978\hspace{1cm}</math>

En la Figura 8 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{0.2cm}t=0.3\hspace{0.2cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo <math>\hspace{0.2cm} I \hspace{0.2cm}</math>. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 9).

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000_1.jpg|500px|thumb|center|Figura 9: Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 10: Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 11: Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 12: Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|Figura 13: Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 14: Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
:[https://www.unicoos.com/blog/christopher-wren-y-la-cicloide|Unicoos.com]
{{ referencias }}

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-14T15:23:34Z

Jose.ramos.marin: /* Vectores Velocidad y Aceleración */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =

==Definición==

Se define la cicloide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1.1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 1.2. Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 2, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}\cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}\sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 4 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 4: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 6: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 5 y 6). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 7: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 8: Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{\sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.\sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces <math>\hspace{1cm}C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)\hspace{1cm}</math> y<math>\hspace{1cm} R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978\hspace{1cm}</math>

En la Figura 8 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{0.2cm}t=0.3\hspace{0.2cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo <math>\hspace{0.2cm} I \hspace{0.2cm}</math>. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 9).

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000_1.jpg|500px|thumb|center|Figura 9: Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 10: Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 11: Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 12: Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|Figura 13: Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 14: Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
:[https://www.unicoos.com/blog/christopher-wren-y-la-cicloide|Unicoos.com]
{{ referencias }}

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-14T15:22:30Z

Jose.ramos.marin: /* Introducción */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =

==Definición==

Se define la cicloide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1.1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 1.2. Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 3, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}\cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}\sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 4 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 4: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 6: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 5 y 6). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 7: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 8: Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{\sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.\sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces <math>\hspace{1cm}C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)\hspace{1cm}</math> y<math>\hspace{1cm} R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978\hspace{1cm}</math>

En la Figura 8 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{0.2cm}t=0.3\hspace{0.2cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo <math>\hspace{0.2cm} I \hspace{0.2cm}</math>. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 9).

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000_1.jpg|500px|thumb|center|Figura 9: Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 10: Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 11: Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 12: Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|Figura 13: Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 14: Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
:[https://www.unicoos.com/blog/christopher-wren-y-la-cicloide|Unicoos.com]
{{ referencias }}

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-14T15:21:44Z

Jose.ramos.marin: /* Interpretación */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =

==Definición==

Se define la cicloide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1.1 Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 3, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}\cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}\sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 4 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 4: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 6: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 5 y 6). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 7: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 8: Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{\sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.\sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces <math>\hspace{1cm}C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)\hspace{1cm}</math> y<math>\hspace{1cm} R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978\hspace{1cm}</math>

En la Figura 8 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{0.2cm}t=0.3\hspace{0.2cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo <math>\hspace{0.2cm} I \hspace{0.2cm}</math>. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 9).

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000_1.jpg|500px|thumb|center|Figura 9: Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 10: Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 11: Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 12: Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|Figura 13: Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 14: Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
:[https://www.unicoos.com/blog/christopher-wren-y-la-cicloide|Unicoos.com]
{{ referencias }}

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-14T11:00:50Z

Jose.ramos.marin: /* Introducción */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =

==Definición==

Se define la cicloide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 3, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}\cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}\sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 4 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 4: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 6: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 5 y 6). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 7: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 8: Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{\sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.\sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces

::<math>C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)</math>

Y

::<math>R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978</math>

En la Figura 8 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{0.2cm}t=0.3\hspace{0.2cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo <math>\hspace{0.2cm} I \hspace{0.2cm}</math>. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 9).

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000_1.jpg|500px|thumb|center|Figura 9: Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 10: Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 11: Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 12: Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|Figura 13: Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 14: Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
{{ referencias }}

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-14T10:58:10Z

Jose.ramos.marin: /* Definición */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =
[Intro]
==Definición==

Se define la cicloide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 3, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}\cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}\sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 4 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 4: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 6: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 5 y 6). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 7: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 8: Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{\sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.\sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces

::<math>C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)</math>

Y

::<math>R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978</math>

En la Figura 8 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{0.2cm}t=0.3\hspace{0.2cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo <math>\hspace{0.2cm} I \hspace{0.2cm}</math>. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 9).

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000_1.jpg|500px|thumb|center|Figura 9: Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 10: Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 11: Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 12: Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|Figura 13: Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 14: Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
{{ referencias }}

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-14T10:57:28Z

Jose.ramos.marin: /* Longitud de la curva */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =
[Intro]
==Definición==

Se define la clicoide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 3, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}\cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}\sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 4 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 4: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 6: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 5 y 6). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 7: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 8: Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{\sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.\sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces

::<math>C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)</math>

Y

::<math>R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978</math>

En la Figura 8 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{0.2cm}t=0.3\hspace{0.2cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo <math>\hspace{0.2cm} I \hspace{0.2cm}</math>. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 9).

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000_1.jpg|500px|thumb|center|Figura 9: Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 10: Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 11: Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 12: Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|Figura 13: Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 14: Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
{{ referencias }}

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-14T10:48:19Z

Jose.ramos.marin: /* Circunferencia osculatriz */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =
[Intro]
==Definición==

Se define la clicoide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 3, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 4 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2.sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 4: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 6: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 5 y 6). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 7: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 8: Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{\sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.\sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces

::<math>C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)</math>

Y

::<math>R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978</math>

En la Figura 8 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{0.2cm}t=0.3\hspace{0.2cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo <math>\hspace{0.2cm} I \hspace{0.2cm}</math>. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 9).

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000_1.jpg|500px|thumb|center|Figura 9: Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 10: Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 11: Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 12: Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|Figura 13: Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 14: Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
{{ referencias }}

Archivo:Cicloide osculatriz 20000 1.jpg

2023-12-14T10:48:08Z

Jose.ramos.marin:

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-14T10:40:58Z

Jose.ramos.marin: /* Circunferencia osculatriz */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =
[Intro]
==Definición==

Se define la clicoide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 3, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 4 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2.sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 4: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 6: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 5 y 6). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 7: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 8: Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{\sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.\sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces

::<math>C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)</math>

Y

::<math>R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978</math>

En la Figura 8 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{0.2cm}t=0.3\hspace{0.2cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo <math>\hspace{0.2cm} I \hspace{0.2cm}</math>. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 9).

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000.jpg|500px|thumb|center|Figura 9: Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 10: Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 11: Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 12: Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|Figura 13: Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 14: Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
{{ referencias }}

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-14T10:38:13Z

Jose.ramos.marin: /* Circunferencia osculatriz */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =
[Intro]
==Definición==

Se define la clicoide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 3, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 4 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2.sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 4: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 6: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 5 y 6). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 7: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 8: Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{\sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.\sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces

::<math>C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)</math>

Y

::<math>R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978</math>

En la Figura 8 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{0.2cm}t=0.3\hspace{0.2cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo <math>\hspace{0.2cm} I \hspace{0.2cm}</math>. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 9).

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000.jpg|500px|thumb|center|Figura 9: Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 10: Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 11: Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 12: Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|Figura 13: Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 14: Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
{{ referencias }}

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-14T10:37:21Z

Jose.ramos.marin: /* Circunferencia osculatriz */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =
[Intro]
==Definición==

Se define la clicoide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 3, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 4 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2.sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 4: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 6: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 5 y 6). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 7: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 8: Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{\sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.\sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces

::<math>C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)</math>

Y

::<math>R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978</math>

En la Figura 8 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{0.2cm}t=0.3\hspace{0.2cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo <math>\hspace{0.2cm} I \hspace{0.2cm}. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 9).

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000.jpg|500px|thumb|center|Figura 9: Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 10: Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 11: Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 12: Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|Figura 13: Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 14: Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
{{ referencias }}

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-14T10:31:05Z

Jose.ramos.marin: /* Circunferencia osculatriz */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =
[Intro]
==Definición==

Se define la clicoide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 3, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 4 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2.sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 4: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 6: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 5 y 6). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 7: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 8: Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{\sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.\sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2.sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces

::<math>C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)</math>

Y

::<math>R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978</math>

En la Figura 8 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo I. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 9).

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000.jpg|500px|thumb|center|Figura 9: Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 10: Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 11: Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 12: Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|Figura 13: Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 14: Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
{{ referencias }}

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-14T10:29:27Z

Jose.ramos.marin: /* Circunferencia osculatriz */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =
[Intro]
==Definición==

Se define la clicoide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 3, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 4 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2.sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 4: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 6: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 5 y 6). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 7: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 8: Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2.sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces

::<math>C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)</math>

Y

::<math>R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978</math>

En la Figura 8 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo I. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 9).

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000.jpg|500px|thumb|center|Figura 9: Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 10: Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 11: Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 12: Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|Figura 13: Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 14: Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
{{ referencias }}

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-14T10:26:08Z

Jose.ramos.marin: /* Superficie reglada */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =
[Intro]
==Definición==

Se define la clicoide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 3, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 4 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2.sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 4: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 6: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 5 y 6). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 7: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 8: Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2.sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces

::<math>C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)</math>

Y

::::<math>R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978</math>

En la Figura 8 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo I. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 9).

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000.jpg|500px|thumb|center|Figura 9: Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 10: Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 11: Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 12: Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|Figura 13: Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 14: Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
{{ referencias }}

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-14T10:25:50Z

Jose.ramos.marin: /* Estructura civil */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =
[Intro]
==Definición==

Se define la clicoide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 3, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 4 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2.sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 4: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 6: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 5 y 6). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 7: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 8: Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2.sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces

::<math>C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)</math>

Y

::::<math>R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978</math>

En la Figura 8 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo I. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 9).

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000.jpg|500px|thumb|center|Figura 9: Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 10: Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 11: Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 12: Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|Figura 13: Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 12: Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
{{ referencias }}

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-14T10:25:32Z

Jose.ramos.marin: /* Curiosidades */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =
[Intro]
==Definición==

Se define la clicoide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 3, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 4 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2.sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 4: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 6: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 5 y 6). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 7: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 8: Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2.sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces

::<math>C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)</math>

Y

::::<math>R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978</math>

En la Figura 8 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo I. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 9).

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000.jpg|500px|thumb|center|Figura 9: Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|Figura 10: Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|Figura 11: Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|Figura 12: Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|figura 11: Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 12: Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
{{ referencias }}

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-14T10:22:52Z

Jose.ramos.marin: /* Circunferencia osculatriz */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =
[Intro]
==Definición==

Se define la clicoide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 3, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 4 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2.sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 4: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 6: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 5 y 6). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 7: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 8: Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2.sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces

::<math>C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)</math>

Y

::::<math>R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978</math>

En la Figura 8 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a <math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math> son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo I. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 9).

=== Código ===

{{matlab|codigo=
a=0;b=2*pi(); %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N); % Vector de valores del intervalo
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

[[Archivo:cicloide_osculatriz_20000.jpg|500px|thumb|center|Figura 9: Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t]]

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|figura 9: Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|figura 10: Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|figura 11: Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|figura 11: Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 12: Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
{{ referencias }}

Archivo:Cicloide osculatriz 20000.jpg

2023-12-14T10:22:29Z

Jose.ramos.marin:

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-14T09:50:52Z

Jose.ramos.marin: /* Circunferencia osculatriz */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =
[Intro]
==Definición==

Se define la clicoide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 3, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 4 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2.sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 4: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 6: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 5 y 6). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 7: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 8: Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2.sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces

::<math>C(0.3)=\left(0.595 ,-0.0446\right)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|figura 9: Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|figura 10: Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|figura 11: Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|figura 11: Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 12: Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
{{ referencias }}

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-14T09:48:22Z

Jose.ramos.marin: /* Curvatura */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =
[Intro]
==Definición==

Se define la clicoide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 3, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 4 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2.sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 4: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 6: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 5 y 6). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 7: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 8: Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2.sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces

::<math>C(0.3)=\left(0.595 ,-0.0446\right)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|figura 9: Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|figura 10: Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|figura 11: Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|figura 11: Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 12: Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
{{ referencias }}

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-13T01:41:22Z

Jose.ramos.marin: /* Circunferencia osculatriz */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =
[Intro]
==Definición==

Se define la clicoide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 3, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 4 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2.sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 4: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 6: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 5 y 6). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 7: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

El radio de curvatura asociado será

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 8: Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2.sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =</math>

:::::<math>=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=</math>

:::::<math>=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)</math>

Si<math>\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}</math>entonces

::<math>C(0.3)=\left(0.595 ,-0.0446\right)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|figura 9: Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|figura 10: Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|figura 11: Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|figura 11: Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 12: Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
{{ referencias }}

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-13T01:15:05Z

Jose.ramos.marin: /* Representación de la curva */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =
[Intro]
==Definición==

Se define la clicoide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 3, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 4 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2.sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 4: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 6: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 5 y 6). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 7: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

El radio de curvatura asociado será

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 8: Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = </math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|figura 9: Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|figura 10: Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|figura 11: Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|figura 11: Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 12: Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
{{ referencias }}

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-13T01:05:20Z

Jose.ramos.marin: /* Circunferencia osculatriz */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =
[Intro]
==Definición==

Se define la clicoide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t)))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 3, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 4 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2.sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 4: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 6: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 5 y 6). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 7: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

El radio de curvatura asociado será

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 8: Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =

4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=</math>

:::<math>\hspace{1cm}=2.sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = </math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|figura 9: Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|figura 10: Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|figura 11: Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|figura 11: Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 12: Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
{{ referencias }}

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-13T00:49:25Z

Jose.ramos.marin: /* Circunferencia osculatriz */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =
[Intro]
==Definición==

Se define la clicoide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t)))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 3, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 4 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2.sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 4: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 6: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 5 y 6). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 7: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

El radio de curvatura asociado será

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 8: Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = 0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando <math>t=\pi,3\pi,...</math>.

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right).\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =</math>

::::<math>=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{4.(1-\cos(t))} = \frac{sin(t)}{4.(1-\cos(t))}\vec i-\frac{1}{4}\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = </math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|figura 9: Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|figura 10: Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|figura 11: Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|figura 11: Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 12: Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
{{ referencias }}

Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)

2023-12-13T00:29:24Z

Jose.ramos.marin: /* Curvatura */

{{ TrabajoED | Parametrización de una curva plana. La cicloide | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín}}

= Introducción =
[Intro]
==Definición==

Se define la clicoide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)</math>.
Donde
:<math>γ:t\to\mathbb{R}^2</math>
:<math>I</math> es el intervalo de <math>a</math> hasta <math>b</math>
:<math>a,b∈\mathbb{R}</math>

==Interpretación==
La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

[[Archivo:cicloide_interpretacion2.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R]]

== Representación de la curva ==

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: <math>R=1, a=0, b=2\pi</math>. Por tanto, la curva se expresa según:
::::<math> \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t)))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Vemos que
:Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}</math>
:Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}</math>
::::<math>\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_representacion1.jpg|500px|thumb|right|Figura 2: Representación gráfica de la curva.]]
{{matlab|codigo=
%Trayectoria
a=0;b=2*pi();
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Velocidad y Aceleración =

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función <math>γ(t)</math>, según la expresión:
::::<math> γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo según
::::<math> |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:
::::<math> γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Y su módulo vale
::::<math> |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1</math>
Por tanto,
para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando <math>t=0,2\pi,...</math>

=== Código ===
[[Archivo:cicloide_velacel3.jpg|500px|thumb|right|Figura 3: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración]]
{{matlab|codigo=
%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

Como se puede observar en la Figura 3, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, <math>t=0,2\pi,...</math>, la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo
:<math> γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0</math>
Cuando P está en el punto más alto,<math>t=\pi</math>, la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.
:<math> γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i</math>

= Longitud de la curva =
El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:
::::<math> \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt </math>
Si <math>f(γ(t))=1, \;</math> entonces
::::<math>Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt</math>
Sustituyendo se tiene que
::::<math>Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt </math>

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que
::::<math>\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}</math>pues<math>\hspace{1cm}cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)</math>

O lo que es lo mismo
::::<math>\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)</math>

Por tanto
::::<math>Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 </math>

== Aproximación de la integral ==

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio<ref>Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida</ref>. .

En la Figura 4 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según
::::<math>|γ'(t)|= 2.sin\left(\frac{t}{2}\right)</math>

=== Código ===

[[Archivo:cicloide_longitud1.jpg|500px|thumb|right|Figura 4: Representación gráfica de la integral y de la curva]]

{{matlab|codigo=
%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200; %Número de puntos
a=0; b=2*pi(); %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Paso
t=a:h:b; %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))'; %Función
w=ones(N+1,1); %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5) %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Vectores Tangentes y Normales =
[[Archivo:cicloide_tangnormal.jpg|500px|thumb|right|Figura 5: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior]]
[[Archivo:cicloide_tangnormal_ext.jpg|500px|thumb|right|Figura 6: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior]]
Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por <math>\gamma(t)</math>, por tanto,
para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,
::::<math> \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math> los vectores tangentes. En <math>\mathbb{R}^2</math> esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 5 y 6). La expresión de los vectores normales según la orientación es:
:''Orientación interior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>
:''Orientación exterior'' <math>\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º
n1=-t2; % -t2 Or. Ext. t2 Or. Int.
n2=t1; % t1 Or. Ext. -t1 Or. Int

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j} $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curvatura =
[[Archivo:cicloide_curvatura1.jpg|500px|thumb|right|Figura 7: Curvatura en función del ángulo girado.]]

Se define la curvatura de <math>\gamma(t)</math> como la función escalar <math>\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}</math> tal que

::::<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

Sustituyendo

<math>\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=</math>

:<math>=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=</math>

:<math>=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}</math>

Se observa que

::Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto</math>

Y

::Si<math>\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}</math>

El radio de curvatura asociado será

::::<math>R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4</math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi(); %Límites
t=linspace(a,b,100); %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on
}}

= Circunferencia osculatriz =
[[Archivo:cicloide_osculatriz.jpg|500px|thumb|right|Figura 8: Circunferencia osculatriz para t=0.3.]]

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}}</math>

Operando se obtiene

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=2\sqrt{2}.\sqrt{(1-\cos(t)}</math>

Se observa que

Si<math>\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}</math>entonces

::::<math>R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=0\hspace{1cm}</math>.

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

*1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

::<math>R.\vec n(t) = \frac{-\sqrt{2}}{4.\sqrt{(1-\cos(t)}}.\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =</math>

::::<math>=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{4.(1-\cos(t))} = \frac{sin(t)}{4.(1-\cos(t))}\vec i-\frac{1}{4}\vec j</math>

*2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

::::<math>C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = </math>

=== Código ===

{{matlab|codigo=
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on
}}

= Curiosidades =
Aplicaciones físicas
*Curva braquistócrona
Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.
[[Archivo:brachistochrone.gif|350px|thumb|centro|figura 9: Curva braquistócrona.]]

*Curva tautócrona
Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|350px|thumb|centro|figura 10: Curva tautócrona.]]

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.
[[Archivo:Péndulohuygensciclo.gif|300px|thumb|centro|figura 11: Péndulo de Huygens.]]

*Propiedades fundamentales
La normal de la circunferencia pasa por el punto “inferior” al circulo generador y la tangente, pasa por el punto “superior” al circulo generador.

=Estructura civil=
[[Archivo:estructuracicloide.png|400px|thumb|centro|figura 11: Estructura civil con arco cicloide.]]

= Superficie reglada =
Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en <math>\mathbb{R}^3</math> es:
::::<math> γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)</math>.
Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector
director <math>\vec{i}</math>:

[[Archivo:superf.jpg|450px|thumb|right|Figura 12: Superficie reglada.]]

===Código===
{{matlab|codigo=
n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;
}}

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

'''Diseño de Puentes y túneles'''
*En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
*Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
*La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
*En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

'''Diseño de Carreteras, tuberías y elementos arquitectónicos'''
* La curva podría ser utilizada en el diseño de curvas en terrenos montañosos o para proporcionar transiciones suaves entre secciones rectas y curvas.
* En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
* Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.
*En el diseño de canales o estructuras de canalización de agua, la curva podría influir en la forma de las secciones transversales para proporcionar un flujo suave y evitar turbulencias.

= Masa de la superficie con densidad variable =
Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>, debemos aplicar la definición:
::::<math>masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv </math>.
Siendo <math>S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π]</math> y <math>\vec{n}</math> el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante <math>
\vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}</math>, donde <math>\vec{i},\vec{j}, \vec{k}</math> son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes <math>x,y,z</math>.

Entonces <math>|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}</math>

Nos queda la siguiente integral:
::::<math>\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu </math>

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:
::::<math>m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv</math>

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

===Código===
{{matlab|codigo=
N=200; %Número de puntos
a=0;
b=2*pi; %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N; %Coordenadas de partición
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))'; %Función
w=ones(N+1,1); %weights vector
w(1)=1/2;
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);
}}

La máquina nos devuelve que: '''La masa de la superficie es 1.37 u.m.'''

= Bibliografía =
:[[Trapezoidal rule to approximate integrals|Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales]]
:[https://es.mathworks.com/help/matlab/|Matlab Mathworks. Help Center]
{{ referencias }}