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Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T20:49:56Z

Jose Luis Lema Paguay: /* Calculo de la Masa */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura $T(x,y)$ define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math> es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>
A partir de esa expresión se calcula la divergencia:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

El máximo de la divergencia se encuentra en -0.02, donde la divergencia es menos negativa y el mínimo de la divergencia en -0.14 donde el campo vectorial tiene la máxima contracción en ese sistema.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ \nabla \cdot \vec u=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.
[[Archivo:divergenciapresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;

% Cálculo de la divergencia
D = (-2 .* y2 / 50) - (1 / 50);
% Graficar el mallado interno y divergencia
figure;
% Superficie de divergencia con mallado interno
mesh(x2, y2, D, 'FaceColor', 'interp', 'EdgeColor', [0.5, 0.5, 0.5]);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', 'black', 'FaceColor', 'none');
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, min(D(:)), max(D(:))]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Divergencia');
title('Divergencia');
colorbar; % Barra de colores para la divergencia
view(3);
grid on;
hold off;
% Cálculo de máximos y mínimos
Dmax = max(D(:), [], 'omitnan'); % Máximo de la divergencia
Dmin = min(D(:), [], 'omitnan'); % Mínimo de la divergencia
disp(['Máximo de la divergencia: ', num2str(Dmax)]);
disp(['Mínimo de la divergencia: ', num2str(Dmin)]);

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Calculando el módulo:
<center><math>|∇ × \vec{u}|= \frac{-2(2-x)}{50} </math></center>
[[Archivo:rotacionalpresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));

% Crear el mallado
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

% Calcular componentes del rotacional
Ri = 0 * MY;
Rj = 0 * MY;
Rk = (-(2 - MX)) ./ 25;

% Graficar el rotacional
figure;
quiver3(MX, MY, zeros(size(MX)), Ri, Rj, Rk, 'k', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
mesh(MX, MY, zeros(size(MX)), 'EdgeColor', [0.2, 0.4, 0.6], 'FaceColor', 'none');
hold off;
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 1]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
grid on;
}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - \frac{2y}{50}\ & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50}\ & 0\\0 & - \frac{1}{50}\ & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>;

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t= \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}- \frac{y}{25}\ & \frac{2(2-x)}{100}\ & 0\\\frac{2(2-x)}{100} & - \frac{1}{50}\ & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones:

<math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>= <math> 1 · (-\frac{2y}{50} -\frac{1}{50})</math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + <math> 2 · 1 </math> \begin{pmatrix}- \frac{2y}{50}\ & \frac{2-x}{50}\ & 0\\\frac{2-x}{50} & - \frac{1}{50}\ & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} & 0\\ \frac{2-x}{25} & - \frac{y}{25}-\frac{3}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{2y}{50}-\frac{1}{50}\end{pmatrix}

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} & 0\\ \frac{4-2x}{50} & - \frac{3+2y}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{2y}{50}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix}= -\frac{6y+1}{50}</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} & 0\\ \frac{4-2x}{50} & - \frac{3+2y}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{2y}{50}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{2-x}{25} \\ -\frac{y}{25}-\frac{3}{50} \\ 0 \end{pmatrix}=-\frac{3+2y}{50}</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} & 0\\ \frac{4-2x}{50} & - \frac{3+2y}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{2y}{50}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -\frac{y}{25}-\frac{1}{50}\end{pmatrix}= -\frac{y}{25}-\frac{1}{50}</math>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

Tni = (-3 .* MY) ./ 25 - 1 / 50;
Tnj = -MY ./ 25 - 3 / 50;
Tnk = -MY ./ 25 - 1 / 50;

figure;
set(gcf, 'Position', [100, 100, 1200, 600]); % Configurar el tamaño de la ventana de la figura

% Tensión normal en dirección i
subplot(1, 3, 1);
surf(MX, MY, Tni);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en i', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección j
subplot(1, 3, 2);
surf(MX, MY, Tnj);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en j', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección k
subplot(1, 3, 3);
surf(MX, MY, Tnk);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en k', 'FontSize', 14);
}}
[[Archivo:tensordeformaciones.png|750px|centro|Tensor Deformaciones]]

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas. Seguiremos la fórmula:
<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>.
<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} & \frac{2-x}{25} & 0\\ \frac{2-x}{25} & - \frac{y}{25}-\frac{3}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{y}{25}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}= -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = \begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = |\frac{2-x}{25} \vec{j}| = \frac{2-x}{25} </math></center>

[[Archivo:TANG.png|700px|thumb|right|figura]]
{{matlab|codigo=

h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x1) min(3, 3/2 * (2 - x1));
y = 0:h:max(f(x1));

[X, Y] = meshgrid(x, y);
Y(Y > f(X)) = NaN;
tang=(2-X)./25;%Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

[[Archivo:vonm.png|750px|thumb|right|Apartado 11]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Inicializar la matriz de Von Mises
VonMises = zeros(size(X));

% Definición de las funciones para las tensiones
M11 = @(x, y) (-6 .* y - 1) ./ 50;
M12 = @(x, y) (2 - x) / 25;
M22 = @(x, y) (-2 .* y - 3) ./ 50;

% Iterar sobre el mallado para calcular Von Mises en cada punto
for i = 1:size(Y, 1)
for j = 1:size(X, 2)
% Construcción de la matriz de tensiones
sigma = [M11(X(i, j), Y(i, j)), M12(X(i, j), Y(i, j)), 0;
M12(X(i, j), Y(i, j)), M22(X(i, j), Y(i, j)), 0;
0, 0, (-2 .* Y(i, j) - 1) ./ 50];

% Cálculo de los autovalores de la matriz de tensiones
eigvals = eig(sigma);

% Cálculo de la tensión de Von Mises
VonMises(i, j) = sqrt(((eigvals(1) - eigvals(2))^2 + ...
(eigvals(2) - eigvals(3))^2 + ...
(eigvals(3) - eigvals(1))^2) / 2);
end
end

% Limitar la gráfica a los puntos dentro del triángulo definido por f(x)
mask = Y > f(X);
VonMises(mask) = NaN;

% Graficar los resultados en tres vistas diferentes
subplot(1, 3, 1);
surf(X, Y, VonMises);
view(2);
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5]);
colorbar;
title('Plano XOY');

subplot(1, 3, 2);
surf(X, Y, VonMises);
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises en 3D');
axis vis3d;

subplot(1, 3, 3);
hold on;
surf(X, Y, VonMises);
view(0, 0);
xlabel('Eje x');
zlabel('Eje z');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
colorbar;
title('Plano XOZ');
MAX = max(VonMises, [], 'all');
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX)];
text(-0.5, -0.5, MAX * 0.8, txt);
hold off;

}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actúan en la placa plana triangular, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuación de la elasticidad lineal, modelo matemático que define como los solidos deformables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relación lineal entre tensión y deformación.
Con esta teoría se asume que el solido es isótropo y homogéneo, es decir que tiene las mismas características mecánicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento: <center><math>\vec{F}=-∇·σ</math></center>

Recordando σ del apartado 9, se calcula el campo de fuerzas pedido con el siguiente comando:
[[Archivo:Campodefuerzas.png|350px|thumb|right|campodefuerzas]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;

F1 = (-3*Y)/25 - 1/25 + (4*(2 - X))/25;
F2 = (4*(2 - X))/25 + (-Y - 2)/25;
[div_x1, div_y_1] = gradient(F1, x, y);
[div_2x, div_2y] = gradient(F2, x, y);
divergencia = div_x1 + div_2y;
Fx = -divergencia;
Fy = -divergencia;
Fuerza = sqrt(Fx.^2 + Fy.^2);
max_F = max(Fuerza(:));
figure;
quiver(X, Y, Fx, Fy);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Fuerza en la presa triangular');
}}

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por: <center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>
Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

Definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.

<center>
<math>
M = \int \int_{A} d(x, y) \, dx \, dy
</math>
</center>

Remplazamos en la ecuacion la Region a integrar y la funcion de Densidad Definida anteriormente.

<center>
<math>
M = \int_{0}^{2} \int_{0}^{f(x)} \left( 2 - \left| x - \frac{1}{2} \right| \right)(4 - y) \, dy \, dx
</math>
</center>

Posteriormente se realiza la parametrizacion de la Region a integrar y hallamos el valor absoluto.
<math>\vec{r'_u}=\vec{j}</math>

<math>\vec{r'_v}=\vec{i}</math>
<center><math>\vec{r'_u} × \vec{r'_v}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{vmatrix} = \vec{k}; </math></center>

<center><math>|\vec{r'_u} × \vec{r'_v}|=1</math></center>

Luego se hace reemplazan las variables y se aplica la definicion de la Integral para calcular la Masa.
<center><math>\int_{A} d( \vec{r} (u,v) |\vec{r'_u} × \vec{r'_v}| dudv=\int_{0}^{2}\int_{0}^{f(x)} d( \vec{r} (u,v) |\vec{r'_u} × \vec{r'_v}| dudv=\int_{0}^{2}\int_{0}^{f(x)} (2 − |u − \frac{1}{2}|)(4 − v) dudv= 14.19 </math></center>

La masa Total es 14.19

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T20:48:26Z

Jose Luis Lema Paguay: /* Calculo de la Masa */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura $T(x,y)$ define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math> es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>
A partir de esa expresión se calcula la divergencia:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

El máximo de la divergencia se encuentra en -0.02, donde la divergencia es menos negativa y el mínimo de la divergencia en -0.14 donde el campo vectorial tiene la máxima contracción en ese sistema.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ \nabla \cdot \vec u=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.
[[Archivo:divergenciapresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;

% Cálculo de la divergencia
D = (-2 .* y2 / 50) - (1 / 50);
% Graficar el mallado interno y divergencia
figure;
% Superficie de divergencia con mallado interno
mesh(x2, y2, D, 'FaceColor', 'interp', 'EdgeColor', [0.5, 0.5, 0.5]);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', 'black', 'FaceColor', 'none');
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, min(D(:)), max(D(:))]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Divergencia');
title('Divergencia');
colorbar; % Barra de colores para la divergencia
view(3);
grid on;
hold off;
% Cálculo de máximos y mínimos
Dmax = max(D(:), [], 'omitnan'); % Máximo de la divergencia
Dmin = min(D(:), [], 'omitnan'); % Mínimo de la divergencia
disp(['Máximo de la divergencia: ', num2str(Dmax)]);
disp(['Mínimo de la divergencia: ', num2str(Dmin)]);

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Calculando el módulo:
<center><math>|∇ × \vec{u}|= \frac{-2(2-x)}{50} </math></center>
[[Archivo:rotacionalpresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));

% Crear el mallado
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

% Calcular componentes del rotacional
Ri = 0 * MY;
Rj = 0 * MY;
Rk = (-(2 - MX)) ./ 25;

% Graficar el rotacional
figure;
quiver3(MX, MY, zeros(size(MX)), Ri, Rj, Rk, 'k', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
mesh(MX, MY, zeros(size(MX)), 'EdgeColor', [0.2, 0.4, 0.6], 'FaceColor', 'none');
hold off;
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 1]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
grid on;
}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - \frac{2y}{50}\ & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50}\ & 0\\0 & - \frac{1}{50}\ & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>;

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t= \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}- \frac{y}{25}\ & \frac{2(2-x)}{100}\ & 0\\\frac{2(2-x)}{100} & - \frac{1}{50}\ & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones:

<math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>= <math> 1 · (-\frac{2y}{50} -\frac{1}{50})</math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + <math> 2 · 1 </math> \begin{pmatrix}- \frac{2y}{50}\ & \frac{2-x}{50}\ & 0\\\frac{2-x}{50} & - \frac{1}{50}\ & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} & 0\\ \frac{2-x}{25} & - \frac{y}{25}-\frac{3}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{2y}{50}-\frac{1}{50}\end{pmatrix}

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} & 0\\ \frac{4-2x}{50} & - \frac{3+2y}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{2y}{50}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix}= -\frac{6y+1}{50}</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} & 0\\ \frac{4-2x}{50} & - \frac{3+2y}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{2y}{50}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{2-x}{25} \\ -\frac{y}{25}-\frac{3}{50} \\ 0 \end{pmatrix}=-\frac{3+2y}{50}</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} & 0\\ \frac{4-2x}{50} & - \frac{3+2y}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{2y}{50}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -\frac{y}{25}-\frac{1}{50}\end{pmatrix}= -\frac{y}{25}-\frac{1}{50}</math>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

Tni = (-3 .* MY) ./ 25 - 1 / 50;
Tnj = -MY ./ 25 - 3 / 50;
Tnk = -MY ./ 25 - 1 / 50;

figure;
set(gcf, 'Position', [100, 100, 1200, 600]); % Configurar el tamaño de la ventana de la figura

% Tensión normal en dirección i
subplot(1, 3, 1);
surf(MX, MY, Tni);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en i', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección j
subplot(1, 3, 2);
surf(MX, MY, Tnj);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en j', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección k
subplot(1, 3, 3);
surf(MX, MY, Tnk);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en k', 'FontSize', 14);
}}
[[Archivo:tensordeformaciones.png|750px|centro|Tensor Deformaciones]]

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas. Seguiremos la fórmula:
<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>.
<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} & \frac{2-x}{25} & 0\\ \frac{2-x}{25} & - \frac{y}{25}-\frac{3}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{y}{25}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}= -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = \begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = |\frac{2-x}{25} \vec{j}| = \frac{2-x}{25} </math></center>

[[Archivo:TANG.png|700px|thumb|right|figura]]
{{matlab|codigo=

h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x1) min(3, 3/2 * (2 - x1));
y = 0:h:max(f(x1));

[X, Y] = meshgrid(x, y);
Y(Y > f(X)) = NaN;
tang=(2-X)./25;%Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

[[Archivo:vonm.png|750px|thumb|right|Apartado 11]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Inicializar la matriz de Von Mises
VonMises = zeros(size(X));

% Definición de las funciones para las tensiones
M11 = @(x, y) (-6 .* y - 1) ./ 50;
M12 = @(x, y) (2 - x) / 25;
M22 = @(x, y) (-2 .* y - 3) ./ 50;

% Iterar sobre el mallado para calcular Von Mises en cada punto
for i = 1:size(Y, 1)
for j = 1:size(X, 2)
% Construcción de la matriz de tensiones
sigma = [M11(X(i, j), Y(i, j)), M12(X(i, j), Y(i, j)), 0;
M12(X(i, j), Y(i, j)), M22(X(i, j), Y(i, j)), 0;
0, 0, (-2 .* Y(i, j) - 1) ./ 50];

% Cálculo de los autovalores de la matriz de tensiones
eigvals = eig(sigma);

% Cálculo de la tensión de Von Mises
VonMises(i, j) = sqrt(((eigvals(1) - eigvals(2))^2 + ...
(eigvals(2) - eigvals(3))^2 + ...
(eigvals(3) - eigvals(1))^2) / 2);
end
end

% Limitar la gráfica a los puntos dentro del triángulo definido por f(x)
mask = Y > f(X);
VonMises(mask) = NaN;

% Graficar los resultados en tres vistas diferentes
subplot(1, 3, 1);
surf(X, Y, VonMises);
view(2);
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5]);
colorbar;
title('Plano XOY');

subplot(1, 3, 2);
surf(X, Y, VonMises);
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises en 3D');
axis vis3d;

subplot(1, 3, 3);
hold on;
surf(X, Y, VonMises);
view(0, 0);
xlabel('Eje x');
zlabel('Eje z');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
colorbar;
title('Plano XOZ');
MAX = max(VonMises, [], 'all');
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX)];
text(-0.5, -0.5, MAX * 0.8, txt);
hold off;

}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actúan en la placa plana triangular, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuación de la elasticidad lineal, modelo matemático que define como los solidos deformables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relación lineal entre tensión y deformación.
Con esta teoría se asume que el solido es isótropo y homogéneo, es decir que tiene las mismas características mecánicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento: <center><math>\vec{F}=-∇·σ</math></center>

Recordando σ del apartado 9, se calcula el campo de fuerzas pedido con el siguiente comando:
[[Archivo:Campodefuerzas.png|350px|thumb|right|campodefuerzas]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;

F1 = (-3*Y)/25 - 1/25 + (4*(2 - X))/25;
F2 = (4*(2 - X))/25 + (-Y - 2)/25;
[div_x1, div_y_1] = gradient(F1, x, y);
[div_2x, div_2y] = gradient(F2, x, y);
divergencia = div_x1 + div_2y;
Fx = -divergencia;
Fy = -divergencia;
Fuerza = sqrt(Fx.^2 + Fy.^2);
max_F = max(Fuerza(:));
figure;
quiver(X, Y, Fx, Fy);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Fuerza en la presa triangular');
}}

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por: <center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>
Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

Definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.

<center>
<math>
M = \int \int_{A} d(x, y) \, dx \, dy
</math>
</center>

Remplazamos en la ecuacion la Region a integrar y la funcion de Densidad Definida anteriormente.

<center>
<math>
M = \int_{0}^{2} \int_{0}^{f(x)} \left( 2 - \left| x - \frac{1}{2} \right| \right)(4 - y) \, dy \, dx
</math>
</center>

<math>\vec{r'_v}=\vec{i}</math>

Posteriormente se realiza la parametrizacion de la Region a integrar y hallamos el valor absoluto.
<math>/math>
<center><math>\vec{r'_u} × \vec{r'_v}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{vmatrix} = \vec{k}; </math></center>
<center><math>|\vec{r'_u} × \vec{r'_v}|=1</math></center>

Luego se hace reemplazan las variables y se aplica la definicion de la Integral para calcular la Masa.
<center><math>\int_{A} d( \vec{r} (u,v) |\vec{r'_u} × \vec{r'_v}| dudv=\int_{0}^{2}\int_{0}^{f(x)} d( \vec{r} (u,v) |\vec{r'_u} × \vec{r'_v}| dudv=\int_{0}^{2}\int_{0}^{f(x)} (2 − |u − \frac{1}{2}|)(4 − v) dudv= 14.19 </math></center>

La masa Total es 14.19

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T20:44:40Z

Jose Luis Lema Paguay: /* Calculo de la Masa */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*La temperatura viene dada por la función:
<center><math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math></center>
*Los desplazamientos se corresponden con el campo:
<center><math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math></center>
*Tomar como densidad:
<center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura $T(x,y)$ define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo. La temperatura máxima es 0.8820ºC.
[[Archivo:temperaturamax.png|320px|miniatura|derecha|Máxima temperatura]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;
Tempmax=max(max(T))
}}

== Campo de vectores==
En este apartado mostraremos el campo de vectores en los puntos del mallado del solido.
Nuestro campo es:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.

En el campo de desplazamientos que se observa en la imagen, los puntos que están fijos son aquellos donde el vector de desplazamiento es cero.
[[Archivo:campodedesplazamientos.png|450px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5;
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Estudiamos el desplazamiento de una presa triangular al campo <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>
===Antes del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangular.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
figure;
surf(x2, y2, z2, 'FaceColor', [0.2, 0.6, 0.8], 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2]); % Superficie con líneas internas visibles
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
plot(x_contorno, y_contorno, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea del contorno en azul
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Presa triangular');
view(2);
grid on;
hold off;
}}

===Después del desplazamiento===
[[Archivo:presatriangulardesplazamiento.png|350px|miniatura|derecha|Campo de vectores]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x del desplazamiento
uy = -y2 / 50; % Componente y del desplazamiento
% Aplicar el desplazamiento
x2_desplazado = x2 + ux;
y2_desplazado = y2 + uy;
figure;
surf(x2_desplazado, y2_desplazado, z2, ...
'FaceColor', 'magenta', 'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'FaceAlpha', 0.7);
hold on;
x_contorno = [0, 2, 0, 0];
y_contorno = [0, 0, 3, 0];
% Aplicar el desplazamiento al contorno
ux_contorno = (2 * (2 - x_contorno) .* y_contorno) / 50;
uy_contorno = -y_contorno / 50;
x_contorno_desplazado = x_contorno + ux_contorno;
y_contorno_desplazado = y_contorno + uy_contorno;
plot(x_contorno_desplazado, y_contorno_desplazado, 'b-', 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}
[[Archivo:subplot.png|750px|centro|Campodesplazamientocomparación]]

== Divergencia del Vector U ==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math> es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>
A partir de esa expresión se calcula la divergencia:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

El máximo de la divergencia se encuentra en -0.02, donde la divergencia es menos negativa y el mínimo de la divergencia en -0.14 donde el campo vectorial tiene la máxima contracción en ese sistema.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ \nabla \cdot \vec u=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.
[[Archivo:divergenciapresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;

% Cálculo de la divergencia
D = (-2 .* y2 / 50) - (1 / 50);
% Graficar el mallado interno y divergencia
figure;
% Superficie de divergencia con mallado interno
mesh(x2, y2, D, 'FaceColor', 'interp', 'EdgeColor', [0.5, 0.5, 0.5]);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', 'black', 'FaceColor', 'none');
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, min(D(:)), max(D(:))]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Divergencia');
title('Divergencia');
colorbar; % Barra de colores para la divergencia
view(3);
grid on;
hold off;
% Cálculo de máximos y mínimos
Dmax = max(D(:), [], 'omitnan'); % Máximo de la divergencia
Dmin = min(D(:), [], 'omitnan'); % Mínimo de la divergencia
disp(['Máximo de la divergencia: ', num2str(Dmax)]);
disp(['Mínimo de la divergencia: ', num2str(Dmin)]);

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Calculando el módulo:
<center><math>|∇ × \vec{u}|= \frac{-2(2-x)}{50} </math></center>
[[Archivo:rotacionalpresatriangular.png|550px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));

% Crear el mallado
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

% Calcular componentes del rotacional
Ri = 0 * MY;
Rj = 0 * MY;
Rk = (-(2 - MX)) ./ 25;

% Graficar el rotacional
figure;
quiver3(MX, MY, zeros(size(MX)), Ri, Rj, Rk, 'k', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
mesh(MX, MY, zeros(size(MX)), 'EdgeColor', [0.2, 0.4, 0.6], 'FaceColor', 'none');
hold off;
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 1]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
grid on;
}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - \frac{2y}{50}\ & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50}\ & 0\\0 & - \frac{1}{50}\ & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>;

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t= \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}- \frac{y}{25}\ & \frac{2(2-x)}{100}\ & 0\\\frac{2(2-x)}{100} & - \frac{1}{50}\ & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones:

<math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>= <math> 1 · (-\frac{2y}{50} -\frac{1}{50})</math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + <math> 2 · 1 </math> \begin{pmatrix}- \frac{2y}{50}\ & \frac{2-x}{50}\ & 0\\\frac{2-x}{50} & - \frac{1}{50}\ & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} & 0\\ \frac{2-x}{25} & - \frac{y}{25}-\frac{3}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{2y}{50}-\frac{1}{50}\end{pmatrix}

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} & 0\\ \frac{4-2x}{50} & - \frac{3+2y}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{2y}{50}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix}= -\frac{6y+1}{50}</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} & 0\\ \frac{4-2x}{50} & - \frac{3+2y}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{2y}{50}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{2-x}{25} \\ -\frac{y}{25}-\frac{3}{50} \\ 0 \end{pmatrix}=-\frac{3+2y}{50}</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} & 0\\ \frac{4-2x}{50} & - \frac{3+2y}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{2y}{50}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -\frac{y}{25}-\frac{1}{50}\end{pmatrix}= -\frac{y}{25}-\frac{1}{50}</math>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[MX, MY] = meshgrid(x, y);
MY(MY > f(MX)) = NaN;

Tni = (-3 .* MY) ./ 25 - 1 / 50;
Tnj = -MY ./ 25 - 3 / 50;
Tnk = -MY ./ 25 - 1 / 50;

figure;
set(gcf, 'Position', [100, 100, 1200, 600]); % Configurar el tamaño de la ventana de la figura

% Tensión normal en dirección i
subplot(1, 3, 1);
surf(MX, MY, Tni);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en i', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección j
subplot(1, 3, 2);
surf(MX, MY, Tnj);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en j', 'FontSize', 14);

% Tensión normal en dirección k
subplot(1, 3, 3);
surf(MX, MY, Tnk);
shading interp;
axis equal;
xlabel('X', 'FontSize', 14);
ylabel('Y', 'FontSize', 14);
zlabel('Z', 'FontSize', 14);
view(2);
colorbar;
title('Tensión normal en k', 'FontSize', 14);
}}
[[Archivo:tensordeformaciones.png|750px|centro|Tensor Deformaciones]]

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas. Seguiremos la fórmula:
<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>.
<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} & \frac{2-x}{25} & 0\\ \frac{2-x}{25} & - \frac{y}{25}-\frac{3}{50} & 0\\ 0 & 0 & - \frac{y}{25}-\frac{1}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}= -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></center>

<center><math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = \begin{pmatrix} - \frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ \frac{2-x}{25} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -\frac{3y}{25}-\frac{1}{50} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = |\frac{2-x}{25} \vec{j}| = \frac{2-x}{25} </math></center>

[[Archivo:TANG.png|700px|thumb|right|figura]]
{{matlab|codigo=

h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x1) min(3, 3/2 * (2 - x1));
y = 0:h:max(f(x1));

[X, Y] = meshgrid(x, y);
Y(Y > f(X)) = NaN;
tang=(2-X)./25;%Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

[[Archivo:vonm.png|750px|thumb|right|Apartado 11]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
y = 0:h:max(f(x));
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Inicializar la matriz de Von Mises
VonMises = zeros(size(X));

% Definición de las funciones para las tensiones
M11 = @(x, y) (-6 .* y - 1) ./ 50;
M12 = @(x, y) (2 - x) / 25;
M22 = @(x, y) (-2 .* y - 3) ./ 50;

% Iterar sobre el mallado para calcular Von Mises en cada punto
for i = 1:size(Y, 1)
for j = 1:size(X, 2)
% Construcción de la matriz de tensiones
sigma = [M11(X(i, j), Y(i, j)), M12(X(i, j), Y(i, j)), 0;
M12(X(i, j), Y(i, j)), M22(X(i, j), Y(i, j)), 0;
0, 0, (-2 .* Y(i, j) - 1) ./ 50];

% Cálculo de los autovalores de la matriz de tensiones
eigvals = eig(sigma);

% Cálculo de la tensión de Von Mises
VonMises(i, j) = sqrt(((eigvals(1) - eigvals(2))^2 + ...
(eigvals(2) - eigvals(3))^2 + ...
(eigvals(3) - eigvals(1))^2) / 2);
end
end

% Limitar la gráfica a los puntos dentro del triángulo definido por f(x)
mask = Y > f(X);
VonMises(mask) = NaN;

% Graficar los resultados en tres vistas diferentes
subplot(1, 3, 1);
surf(X, Y, VonMises);
view(2);
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5]);
colorbar;
title('Plano XOY');

subplot(1, 3, 2);
surf(X, Y, VonMises);
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
zlabel('Eje z');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
colorbar;
title('Tensión de Von Mises en 3D');
axis vis3d;

subplot(1, 3, 3);
hold on;
surf(X, Y, VonMises);
view(0, 0);
xlabel('Eje x');
zlabel('Eje z');
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
colorbar;
title('Plano XOZ');
MAX = max(VonMises, [], 'all');
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX)];
text(-0.5, -0.5, MAX * 0.8, txt);
hold off;

}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actúan en la placa plana triangular, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuación de la elasticidad lineal, modelo matemático que define como los solidos deformables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relación lineal entre tensión y deformación.
Con esta teoría se asume que el solido es isótropo y homogéneo, es decir que tiene las mismas características mecánicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento: <center><math>\vec{F}=-∇·σ</math></center>

Recordando σ del apartado 9, se calcula el campo de fuerzas pedido con el siguiente comando:
[[Archivo:Campodefuerzas.png|350px|thumb|right|campodefuerzas]]

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x = 0:h:2;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) min(3, 3/2 * (2 - x));
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;

F1 = (-3*Y)/25 - 1/25 + (4*(2 - X))/25;
F2 = (4*(2 - X))/25 + (-Y - 2)/25;
[div_x1, div_y_1] = gradient(F1, x, y);
[div_2x, div_2y] = gradient(F2, x, y);
divergencia = div_x1 + div_2y;
Fx = -divergencia;
Fy = -divergencia;
Fuerza = sqrt(Fx.^2 + Fy.^2);
max_F = max(Fuerza(:));
figure;
quiver(X, Y, Fx, Fy);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Fuerza en la presa triangular');
}}

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por: <center><math>d(x, y) = (2 − |x − \frac{1}{2}|)(4 − y)</math></center>
Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

Definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.

<center>
<math>
M = \int \int_{A} d(x, y) \, dx \, dy
</math>
</center>

Remplazamos en la ecuacion la Region a integrar y la funcion de Densidad Definida anteriormente.

<center>
<math>
M = \int_{0}^{2} \int_{0}^{f(x)} \left( 2 - \left| x - \frac{1}{2} \right| \right)(4 - y) \, dy \, dx
</math>
</center>

Posteriormente se realiza la parametrizacion de la Region a integrar y hallamos el valor absoluto.
<math>\vec{r'_v}=\vec{i}</math>
<center><math>\vec{r'_u} × \vec{r'_v}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{vmatrix} = \vec{k}; </math></center>
<center><math>|\vec{r'_u} × \vec{r'_v}|=1</math></center>

Luego se hace reemplazan las variables y se aplica la definicion de la Integral para calcular la Masa.
<center><math>\int_{A} d( \vec{r} (u,v) |\vec{r'_u} × \vec{r'_v}| dudv=\int_{0}^{2}\int_{0}^{f(x)} d( \vec{r} (u,v) |\vec{r'_u} × \vec{r'_v}| dudv=\int_{0}^{2}\int_{0}^{f(x)} (2 − |u − \frac{1}{2}|)(4 − v) dudv= 14.19 </math></center>

La masa Total es 14.19

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T00:35:10Z

Jose Luis Lema Paguay: /* Tensiones de Von Mises */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*Temperatura:
<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
*Campo de Desplazamientos:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
*Densidad
<math> función</math>.
[[Archivo:Densidadec.jpg|thumb|450px|center|Funcion densidad]]

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura $T(x,y)$ define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Campo de desplazamientos==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5; % Factor de escalado reducido
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}
== Desplazamiento de la placa plana==

== Divergencia del Vector U==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ y=\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

{{matlab|codigo=
% Limpiar variables y pantalla
clear;
clc;

% Paso de muestreo y rangos
h = 1/10; % Paso de muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x
y = 0:h:3; % Rango de y

% Crear malla de puntos (x, y)
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Calcular la divergencia: Div(U) = (-2y - 1) / 50
Div = (-2 .* My - 1) / 50;

% Graficar la divergencia
figure;
surf(Mx, My, Div); % Crear superficie de la divergencia
view(2); % Vista 2D
axis equal; % Escalas iguales en los ejes
colorbar; % Mostrar barra de color
title('Divergencia del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

% Encontrar valores máximos, mínimos y nulos
maxDiv = max(Div(:)); % Máximo valor de la divergencia
minDiv = min(Div(:)); % Mínimo valor de la divergencia
nullDiv = find(Div == 0); % Índices donde la divergencia es cero

% Mostrar resultados en la consola
fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.5f\n', maxDiv);
fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.5f\n', minDiv);

if isempty(nullDiv)
fprintf('No hay puntos donde la divergencia sea nula.\n');
else
fprintf('Existen puntos donde la divergencia es nula.\n');
end

}}

En la gráfica no se aprecia cuando la divergencia es nula ya que <math>\ y </math> está limitado en el intervalo [0,3] y esta es nula cuando <math>\ y=-\frac{1}{2}</math>
[[Archivo:Divergencia mire.jpg|thumb|450px|right|Divergencia mire]]

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas.

||σ⋅i−(i*σ*i)i||=|(-6y+1/50; 4-2x/50)-(-6y+1/50; 0)|= 4-2x/50

[[Archivo:Apartado 10.2.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Figura. Tensión tangencial en tres dimensiones ]]

[[Archivo:Apartado 10.1.jpg|400px|marco|centro|Figura . Tensión tangencial]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X, Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

tang=(4-2*X)/50;; %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos:

[[Archivo: Mallado XOY.jpg|650px|miniaturadeimagen|center|Figura 15.Tensión de Von Mises]]

{{matlab|codigo=
Dirección i: <math> σ_(1)=▽⋅u + 2ϵ_(11)= -6y-1/50

Dirección θ: <math> σ_(2)=▽⋅u +2ϵ_(22)= -2y-3/50

Dirección Z: <math> σ_(3)=▽⋅u +2ϵ_(33)= -2y-1/50

% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T00:30:07Z

Jose Luis Lema Paguay:

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*Temperatura:
<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
*Campo de Desplazamientos:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
*Densidad
<math> función</math>.
[[Archivo:Densidadec.jpg|thumb|450px|center|Funcion densidad]]

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura $T(x,y)$ define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Campo de desplazamientos==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5; % Factor de escalado reducido
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}
== Desplazamiento de la placa plana==

== Divergencia del Vector U==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ y=\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

{{matlab|codigo=
% Limpiar variables y pantalla
clear;
clc;

% Paso de muestreo y rangos
h = 1/10; % Paso de muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x
y = 0:h:3; % Rango de y

% Crear malla de puntos (x, y)
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Calcular la divergencia: Div(U) = (-2y - 1) / 50
Div = (-2 .* My - 1) / 50;

% Graficar la divergencia
figure;
surf(Mx, My, Div); % Crear superficie de la divergencia
view(2); % Vista 2D
axis equal; % Escalas iguales en los ejes
colorbar; % Mostrar barra de color
title('Divergencia del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

% Encontrar valores máximos, mínimos y nulos
maxDiv = max(Div(:)); % Máximo valor de la divergencia
minDiv = min(Div(:)); % Mínimo valor de la divergencia
nullDiv = find(Div == 0); % Índices donde la divergencia es cero

% Mostrar resultados en la consola
fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.5f\n', maxDiv);
fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.5f\n', minDiv);

if isempty(nullDiv)
fprintf('No hay puntos donde la divergencia sea nula.\n');
else
fprintf('Existen puntos donde la divergencia es nula.\n');
end

}}

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas.

||σ⋅i−(i*σ*i)i||=|(-6y+1/50; 4-2x/50)-(-6y+1/50; 0)|= 4-2x/50

[[Archivo:Apartado 10.2.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Figura. Tensión tangencial en tres dimensiones ]]

[[Archivo:Apartado 10.1.jpg|400px|marco|centro|Figura . Tensión tangencial]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X, Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

tang=(4-2*X)/50;; %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección i: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= -6y-1/50

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= -2y-3/50

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= -2y-1/50

[[Archivo: Mallado XOY.jpg|650px|miniaturadeimagen|center|Figura 15.Tensión de Von Mises]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T00:14:55Z

Jose Luis Lema Paguay: /* Tensiones de Von Mises */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*Temperatura:
<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
*Campo de Desplazamientos:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
*Densidad
<math> función</math>.
[[Archivo:Densidadec.jpg|thumb|450px|center|Funcion densidad]]

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura $T(x,y)$ define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Campo de desplazamientos==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5; % Factor de escalado reducido
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}
== Desplazamiento de la placa plana==

== Divergencia del Vector U==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ y=\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

{{matlab|codigo=
% Limpiar variables y pantalla
clear;
clc;

% Paso de muestreo y rangos
h = 1/10; % Paso de muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x
y = 0:h:3; % Rango de y

% Crear malla de puntos (x, y)
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Calcular la divergencia: Div(U) = (-2y - 1) / 50
Div = (-2 .* My - 1) / 50;

% Graficar la divergencia
figure;
surf(Mx, My, Div); % Crear superficie de la divergencia
view(2); % Vista 2D
axis equal; % Escalas iguales en los ejes
colorbar; % Mostrar barra de color
title('Divergencia del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

% Encontrar valores máximos, mínimos y nulos
maxDiv = max(Div(:)); % Máximo valor de la divergencia
minDiv = min(Div(:)); % Mínimo valor de la divergencia
nullDiv = find(Div == 0); % Índices donde la divergencia es cero

% Mostrar resultados en la consola
fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.5f\n', maxDiv);
fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.5f\n', minDiv);

if isempty(nullDiv)
fprintf('No hay puntos donde la divergencia sea nula.\n');
else
fprintf('Existen puntos donde la divergencia es nula.\n');
end

}}

(PREGUNTAR)
CUANDO LA DIVERGENCIA ES NULA CORRESPONDE A UNOS VALORES DE Y QUE SE SALEN DEL INTERVALO, NO SE SI EXTENDER EL INTERVALO PARA Q SE VEA CUANDO LA DIVERNCIA SE HACE NULA

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas.

||σ⋅i−(i*σ*i)i||=|(-6y+1/50; 4-2x/50)-(-6y+1/50; 0)|= 4-2x/50

[[Archivo:Apartado 10.2.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Figura. Tensión tangencial en tres dimensiones ]]

[[Archivo:Apartado 10.1.jpg|400px|marco|centro|Figura . Tensión tangencial]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X, Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

tang=(4-2*X)/50;; %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección i: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= -6y-1/50

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= -2y-3/50

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= -2y-1/50

[[Archivo: Mallado XOY.jpg|650px|miniaturadeimagen|center|Figura 15.Tensión de Von Mises]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]
== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-09T00:10:40Z

Jose Luis Lema Paguay:

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*Temperatura:
<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
*Campo de Desplazamientos:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
*Densidad
<math> función</math>.
[[Archivo:Densidadec.jpg|thumb|450px|center|Funcion densidad]]

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura $T(x,y)$ define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Campo de desplazamientos==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5; % Factor de escalado reducido
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}
== Desplazamiento de la placa plana==

== Divergencia del Vector U==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ y=\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia es nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

{{matlab|codigo=
% Limpiar variables y pantalla
clear;
clc;

% Paso de muestreo y rangos
h = 1/10; % Paso de muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x
y = 0:h:3; % Rango de y

% Crear malla de puntos (x, y)
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Calcular la divergencia: Div(U) = (-2y - 1) / 50
Div = (-2 .* My - 1) / 50;

% Graficar la divergencia
figure;
surf(Mx, My, Div); % Crear superficie de la divergencia
view(2); % Vista 2D
axis equal; % Escalas iguales en los ejes
colorbar; % Mostrar barra de color
title('Divergencia del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

% Encontrar valores máximos, mínimos y nulos
maxDiv = max(Div(:)); % Máximo valor de la divergencia
minDiv = min(Div(:)); % Mínimo valor de la divergencia
nullDiv = find(Div == 0); % Índices donde la divergencia es cero

% Mostrar resultados en la consola
fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.5f\n', maxDiv);
fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.5f\n', minDiv);

if isempty(nullDiv)
fprintf('No hay puntos donde la divergencia sea nula.\n');
else
fprintf('Existen puntos donde la divergencia es nula.\n');
end

}}

(PREGUNTAR)
CUANDO LA DIVERGENCIA ES NULA CORRESPONDE A UNOS VALORES DE Y QUE SE SALEN DEL INTERVALO, NO SE SI EXTENDER EL INTERVALO PARA Q SE VEA CUANDO LA DIVERNCIA SE HACE NULA

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

==Tensiones Tangenciales==
En este apartado, se calcularán las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a u, en este caso el plano ortogonal a i. En la Figura se dibujaran solo las que no sean nulas.

||σ⋅i−(i*σ*i)i||=|(-6y+1/50; 4-2x/50)-(-6y+1/50; 0)|= 4-2x/50

[[Archivo:Apartado 10.2.jpg|miniaturadeimagen|derecha|Figura. Tensión tangencial en tres dimensiones ]]

[[Archivo:Apartado 10.1.jpg|400px|marco|centro|Figura . Tensión tangencial]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X, Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

tang=(4-2*X)/50;; %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(X,Y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')
zlabel('Z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e i')}}

== Tensiones de Von Mises ==
Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:
*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se
trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección i: <math> σ_{1}=▽⋅u + 2ϵ_{11}= -6y-1/50

Dirección θ: <math> σ_{2}=▽⋅u +2ϵ_{22}= -2y-3/50

Dirección Z: <math> σ_{3}=▽⋅u +2ϵ_{33}= -2y-1/50

[[Archivo: Mallado XOY.jpg|650px|miniaturadeimagen|centro|Figura 15.Tensión de Von Mises]]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]
== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-08T23:22:49Z

Jose Luis Lema Paguay: /* Tensiones de Von Mises */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*Temperatura:
<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
*Campo de Desplazamientos:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
*Densidad
<math> función</math>.
[[Archivo:Densidadec.jpg|thumb|450px|center|Funcion densidad]]

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura $T(x,y)$ define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Campo de desplazamientos==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5; % Factor de escalado reducido
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}
== Desplazamiento de la placa plana==

== Divergencia del Vector U==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ y=\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia en nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

{{matlab|codigo=
% Limpiar variables y pantalla
clear;
clc;

% Paso de muestreo y rangos
h = 1/10; % Paso de muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x
y = 0:h:3; % Rango de y

% Crear malla de puntos (x, y)
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Calcular la divergencia: Div(U) = (-2y - 1) / 50
Div = (-2 .* My - 1) / 50;

% Graficar la divergencia
figure;
surf(Mx, My, Div); % Crear superficie de la divergencia
view(2); % Vista 2D
axis equal; % Escalas iguales en los ejes
colorbar; % Mostrar barra de color
title('Divergencia del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

% Encontrar valores máximos, mínimos y nulos
maxDiv = max(Div(:)); % Máximo valor de la divergencia
minDiv = min(Div(:)); % Mínimo valor de la divergencia
nullDiv = find(Div == 0); % Índices donde la divergencia es cero

% Mostrar resultados en la consola
fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.5f\n', maxDiv);
fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.5f\n', minDiv);

if isempty(nullDiv)
fprintf('No hay puntos donde la divergencia sea nula.\n');
else
fprintf('Existen puntos donde la divergencia es nula.\n');
end

}}

(PREGUNTAR)
CUANDO LA DIVERGENCIA ES NULA CORRESPONDE A UNOS VALORES DE Y QUE SE SALEN DEL INTERVALO, NO SE SI EXTENDER EL INTERVALO PARA Q SE VEA CUANDO LA DIVERNCIA SE HACE NULA

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

==Tensiones Tangenciales==

== Tensiones de Von Mises ==

Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:

σV=(σ1−σ2)2+(σ2−σ3)2+(σ3−σ1)22‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√
Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección i: σ1=▽⋅u+2ϵ11= (-6y-1)/50

Dirección j: σ2=▽⋅u+2ϵ22= (-2y-3)/50

Dirección k: σ3=▽⋅u+2ϵ33= (-2y-1)/50

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');
}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-08T23:22:04Z

Jose Luis Lema Paguay: /* Tensiones de Von Mises */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*Temperatura:
<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
*Campo de Desplazamientos:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
*Densidad
<math> función</math>.
[[Archivo:Densidadec.jpg|thumb|450px|center|Funcion densidad]]

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura $T(x,y)$ define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Campo de desplazamientos==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5; % Factor de escalado reducido
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}
== Desplazamiento de la placa plana==

== Divergencia del Vector U==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ y=\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia en nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

{{matlab|codigo=
% Limpiar variables y pantalla
clear;
clc;

% Paso de muestreo y rangos
h = 1/10; % Paso de muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x
y = 0:h:3; % Rango de y

% Crear malla de puntos (x, y)
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Calcular la divergencia: Div(U) = (-2y - 1) / 50
Div = (-2 .* My - 1) / 50;

% Graficar la divergencia
figure;
surf(Mx, My, Div); % Crear superficie de la divergencia
view(2); % Vista 2D
axis equal; % Escalas iguales en los ejes
colorbar; % Mostrar barra de color
title('Divergencia del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

% Encontrar valores máximos, mínimos y nulos
maxDiv = max(Div(:)); % Máximo valor de la divergencia
minDiv = min(Div(:)); % Mínimo valor de la divergencia
nullDiv = find(Div == 0); % Índices donde la divergencia es cero

% Mostrar resultados en la consola
fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.5f\n', maxDiv);
fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.5f\n', minDiv);

if isempty(nullDiv)
fprintf('No hay puntos donde la divergencia sea nula.\n');
else
fprintf('Existen puntos donde la divergencia es nula.\n');
end

}}

(PREGUNTAR)
CUANDO LA DIVERGENCIA ES NULA CORRESPONDE A UNOS VALORES DE Y QUE SE SALEN DEL INTERVALO, NO SE SI EXTENDER EL INTERVALO PARA Q SE VEA CUANDO LA DIVERNCIA SE HACE NULA

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

==Tensiones Tangenciales==

== Tensiones de Von Mises ==

Para la tensión de Von Mises seguiremos la siguiente fórmula:

σV=(σ1−σ2)2+(σ2−σ3)2+(σ3−σ1)22‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√
Donde σ1, σ2 y σ3 (también conocidos como tensiones principales) son los autovalores de σ (tensor de tensiones). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

En la Figura se puede ver que σ1, σ2 y σ3 representan las tensiones principales como autovalores de σ, siendo estos

Dirección i: σ1=▽⋅u+2ϵ11= (-6y-1)/50

Dirección j: σ2=▽⋅u+2ϵ22= (-2y-3)/50

Dirección k: σ3=▽⋅u+2ϵ33= (-2y-1)/50

% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-08T23:06:46Z

Jose Luis Lema Paguay:

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*Temperatura:
<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
*Campo de Desplazamientos:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
*Densidad
<math> función</math>.
[[Archivo:Densidadec.jpg|thumb|450px|center|Funcion densidad]]

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura $T(x,y)$ define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Campo de desplazamientos==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5; % Factor de escalado reducido
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}
== Desplazamiento de la placa plana==

== Divergencia del Vector U==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ y=\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia en nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

{{matlab|codigo=
% Limpiar variables y pantalla
clear;
clc;

% Paso de muestreo y rangos
h = 1/10; % Paso de muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x
y = 0:h:3; % Rango de y

% Crear malla de puntos (x, y)
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Calcular la divergencia: Div(U) = (-2y - 1) / 50
Div = (-2 .* My - 1) / 50;

% Graficar la divergencia
figure;
surf(Mx, My, Div); % Crear superficie de la divergencia
view(2); % Vista 2D
axis equal; % Escalas iguales en los ejes
colorbar; % Mostrar barra de color
title('Divergencia del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

% Encontrar valores máximos, mínimos y nulos
maxDiv = max(Div(:)); % Máximo valor de la divergencia
minDiv = min(Div(:)); % Mínimo valor de la divergencia
nullDiv = find(Div == 0); % Índices donde la divergencia es cero

% Mostrar resultados en la consola
fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.5f\n', maxDiv);
fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.5f\n', minDiv);

if isempty(nullDiv)
fprintf('No hay puntos donde la divergencia sea nula.\n');
else
fprintf('Existen puntos donde la divergencia es nula.\n');
end

}}

(PREGUNTAR)
CUANDO LA DIVERGENCIA ES NULA CORRESPONDE A UNOS VALORES DE Y QUE SE SALEN DEL INTERVALO, NO SE SI EXTENDER EL INTERVALO PARA Q SE VEA CUANDO LA DIVERNCIA SE HACE NULA

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

==Tensiones Tangenciales==

== Tensiones de Von Mises ==

% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-08T22:11:53Z

Jose Luis Lema Paguay: /* Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*Temperatura:
<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
*Campo de Desplazamientos:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
*Densidad
<math> función</math>.
[[Archivo:Densidadec.jpg|thumb|450px|center|Funcion densidad]]

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura $T(x,y)$ define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Campo de desplazamientos==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5; % Factor de escalado reducido
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}
== Desplazamiento de la placa plana==

== Divergencia del Vector U==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ y=\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia en nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

{{matlab|codigo=
% Limpiar variables y pantalla
clear;
clc;

% Paso de muestreo y rangos
h = 1/10; % Paso de muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x
y = 0:h:3; % Rango de y

% Crear malla de puntos (x, y)
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Calcular la divergencia: Div(U) = (-2y - 1) / 50
Div = (-2 .* My - 1) / 50;

% Graficar la divergencia
figure;
surf(Mx, My, Div); % Crear superficie de la divergencia
view(2); % Vista 2D
axis equal; % Escalas iguales en los ejes
colorbar; % Mostrar barra de color
title('Divergencia del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

% Encontrar valores máximos, mínimos y nulos
maxDiv = max(Div(:)); % Máximo valor de la divergencia
minDiv = min(Div(:)); % Mínimo valor de la divergencia
nullDiv = find(Div == 0); % Índices donde la divergencia es cero

% Mostrar resultados en la consola
fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.5f\n', maxDiv);
fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.5f\n', minDiv);

if isempty(nullDiv)
fprintf('No hay puntos donde la divergencia sea nula.\n');
else
fprintf('Existen puntos donde la divergencia es nula.\n');
end

}}

(PREGUNTAR)
CUANDO LA DIVERGENCIA ES NULA CORRESPONDE A UNOS VALORES DE Y QUE SE SALEN DEL INTERVALO, NO SE SI EXTENDER EL INTERVALO PARA Q SE VEA CUANDO LA DIVERNCIA SE HACE NULA

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

== Tensiones de Von Mises ==

% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08) y si representamos el campo de fuerzas es:
[[Archivo:fuerzasec.jpg|center|450px|center|CAMPO DE fUERZAS]]

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Archivo:Fuerzasec.jpg

2024-12-08T22:10:26Z

Jose Luis Lema Paguay:

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-08T22:09:21Z

Jose Luis Lema Paguay: /* Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*Temperatura:
<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
*Campo de Desplazamientos:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
*Densidad
<math> función</math>.
[[Archivo:Densidadec.jpg|thumb|450px|center|Funcion densidad]]

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura $T(x,y)$ define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Campo de desplazamientos==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5; % Factor de escalado reducido
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}
== Desplazamiento de la placa plana==

== Divergencia del Vector U==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ y=\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia en nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

{{matlab|codigo=
% Limpiar variables y pantalla
clear;
clc;

% Paso de muestreo y rangos
h = 1/10; % Paso de muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x
y = 0:h:3; % Rango de y

% Crear malla de puntos (x, y)
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Calcular la divergencia: Div(U) = (-2y - 1) / 50
Div = (-2 .* My - 1) / 50;

% Graficar la divergencia
figure;
surf(Mx, My, Div); % Crear superficie de la divergencia
view(2); % Vista 2D
axis equal; % Escalas iguales en los ejes
colorbar; % Mostrar barra de color
title('Divergencia del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

% Encontrar valores máximos, mínimos y nulos
maxDiv = max(Div(:)); % Máximo valor de la divergencia
minDiv = min(Div(:)); % Mínimo valor de la divergencia
nullDiv = find(Div == 0); % Índices donde la divergencia es cero

% Mostrar resultados en la consola
fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.5f\n', maxDiv);
fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.5f\n', minDiv);

if isempty(nullDiv)
fprintf('No hay puntos donde la divergencia sea nula.\n');
else
fprintf('Existen puntos donde la divergencia es nula.\n');
end

}}

(PREGUNTAR)
CUANDO LA DIVERGENCIA ES NULA CORRESPONDE A UNOS VALORES DE Y QUE SE SALEN DEL INTERVALO, NO SE SI EXTENDER EL INTERVALO PARA Q SE VEA CUANDO LA DIVERNCIA SE HACE NULA

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

== Tensiones de Von Mises ==

% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

EL Vector F es igual a (0, 0.08)

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-08T22:06:46Z

Jose Luis Lema Paguay: /* Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*Temperatura:
<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
*Campo de Desplazamientos:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
*Densidad
<math> función</math>.
[[Archivo:Densidadec.jpg|thumb|450px|center|Funcion densidad]]

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura $T(x,y)$ define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Campo de desplazamientos==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5; % Factor de escalado reducido
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}
== Desplazamiento de la placa plana==

== Divergencia del Vector U==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ y=\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia en nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

{{matlab|codigo=
% Limpiar variables y pantalla
clear;
clc;

% Paso de muestreo y rangos
h = 1/10; % Paso de muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x
y = 0:h:3; % Rango de y

% Crear malla de puntos (x, y)
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Calcular la divergencia: Div(U) = (-2y - 1) / 50
Div = (-2 .* My - 1) / 50;

% Graficar la divergencia
figure;
surf(Mx, My, Div); % Crear superficie de la divergencia
view(2); % Vista 2D
axis equal; % Escalas iguales en los ejes
colorbar; % Mostrar barra de color
title('Divergencia del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

% Encontrar valores máximos, mínimos y nulos
maxDiv = max(Div(:)); % Máximo valor de la divergencia
minDiv = min(Div(:)); % Mínimo valor de la divergencia
nullDiv = find(Div == 0); % Índices donde la divergencia es cero

% Mostrar resultados en la consola
fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.5f\n', maxDiv);
fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.5f\n', minDiv);

if isempty(nullDiv)
fprintf('No hay puntos donde la divergencia sea nula.\n');
else
fprintf('Existen puntos donde la divergencia es nula.\n');
end

}}

(PREGUNTAR)
CUANDO LA DIVERGENCIA ES NULA CORRESPONDE A UNOS VALORES DE Y QUE SE SALEN DEL INTERVALO, NO SE SI EXTENDER EL INTERVALO PARA Q SE VEA CUANDO LA DIVERNCIA SE HACE NULA

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

== Tensiones de Von Mises ==

% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado simbólico
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

% Evaluar F(x, y) en un rango para graficar
[X, Y] = meshgrid(-2:0.5:2, -2:0.5:2); % Rango de valores para x e y
Fx = zeros(size(X)); % Inicializar componente Fx
Fy = zeros(size(Y)); % Inicializar componente Fy

% Calcular las componentes de F en cada punto de la malla
for i = 1:numel(X)
% Sustituir x y y en F
F_eval = subs(F, [x, y], [X(i), Y(i)]);
Fx(i) = double(F_eval(1)); % Componente en x
Fy(i) = double(F_eval(2)); % Componente en y
end

% Graficar el campo vectorial en 3D
figure;
quiver3(X, Y, zeros(size(X)), Fx, Fy, zeros(size(X)), 'r'); % Flechas en 3D
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('Fuerza');
title('Campo vectorial de la fuerza F(x, y)');
grid on;
axis tight;
view(2); % Vista superior en 2D

}}

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-08T22:02:59Z

Jose Luis Lema Paguay: /* Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*Temperatura:
<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
*Campo de Desplazamientos:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
*Densidad
<math> función</math>.
[[Archivo:Densidadec.jpg|thumb|450px|center|Funcion densidad]]

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura $T(x,y)$ define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Campo de desplazamientos==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5; % Factor de escalado reducido
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}
== Desplazamiento de la placa plana==

== Divergencia del Vector U==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ y=\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia en nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

{{matlab|codigo=
% Limpiar variables y pantalla
clear;
clc;

% Paso de muestreo y rangos
h = 1/10; % Paso de muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x
y = 0:h:3; % Rango de y

% Crear malla de puntos (x, y)
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Calcular la divergencia: Div(U) = (-2y - 1) / 50
Div = (-2 .* My - 1) / 50;

% Graficar la divergencia
figure;
surf(Mx, My, Div); % Crear superficie de la divergencia
view(2); % Vista 2D
axis equal; % Escalas iguales en los ejes
colorbar; % Mostrar barra de color
title('Divergencia del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

% Encontrar valores máximos, mínimos y nulos
maxDiv = max(Div(:)); % Máximo valor de la divergencia
minDiv = min(Div(:)); % Mínimo valor de la divergencia
nullDiv = find(Div == 0); % Índices donde la divergencia es cero

% Mostrar resultados en la consola
fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.5f\n', maxDiv);
fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.5f\n', minDiv);

if isempty(nullDiv)
fprintf('No hay puntos donde la divergencia sea nula.\n');
else
fprintf('Existen puntos donde la divergencia es nula.\n');
end

}}

(PREGUNTAR)
CUANDO LA DIVERGENCIA ES NULA CORRESPONDE A UNOS VALORES DE Y QUE SE SALEN DEL INTERVALO, NO SE SI EXTENDER EL INTERVALO PARA Q SE VEA CUANDO LA DIVERNCIA SE HACE NULA

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

== Tensiones de Von Mises ==

% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Declarar las variables simbólicas
syms x y

% Definir el tensor sigma(x, y)
sigma = [-(6*y + 1)/50, (4 - 2*x)/50;
(4 - 2*x)/50, -(3 + 2*y)/50];

% Inicializar un vector para almacenar la divergencia
divergence_sigma = [0; 0];

% Calcular la divergencia de sigma
for i = 1:size(sigma, 1) % Iterar sobre las filas del tensor
for j = 1:size(sigma, 2) % Iterar sobre las columnas
if j == 1
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), x); % Derivada respecto a x
else
divergence_sigma(i) = divergence_sigma(i) + diff(sigma(i, j), y); % Derivada respecto a y
end
end
end

% Multiplicar por -1 para obtener la fuerza
F = -divergence_sigma;

% Mostrar el resultado
disp('El vector de fuerza F(x, y) es:');
disp(F);

}}

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-08T21:49:18Z

Jose Luis Lema Paguay: /* Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*Temperatura:
<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
*Campo de Desplazamientos:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
*Densidad
<math> función</math>.
[[Archivo:Densidadec.jpg|thumb|450px|center|Funcion densidad]]

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura $T(x,y)$ define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Campo de desplazamientos==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5; % Factor de escalado reducido
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}
== Desplazamiento de la placa plana==

== Divergencia del Vector U==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ y=\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia en nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

{{matlab|codigo=
% Limpiar variables y pantalla
clear;
clc;

% Paso de muestreo y rangos
h = 1/10; % Paso de muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x
y = 0:h:3; % Rango de y

% Crear malla de puntos (x, y)
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Calcular la divergencia: Div(U) = (-2y - 1) / 50
Div = (-2 .* My - 1) / 50;

% Graficar la divergencia
figure;
surf(Mx, My, Div); % Crear superficie de la divergencia
view(2); % Vista 2D
axis equal; % Escalas iguales en los ejes
colorbar; % Mostrar barra de color
title('Divergencia del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

% Encontrar valores máximos, mínimos y nulos
maxDiv = max(Div(:)); % Máximo valor de la divergencia
minDiv = min(Div(:)); % Mínimo valor de la divergencia
nullDiv = find(Div == 0); % Índices donde la divergencia es cero

% Mostrar resultados en la consola
fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.5f\n', maxDiv);
fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.5f\n', minDiv);

if isempty(nullDiv)
fprintf('No hay puntos donde la divergencia sea nula.\n');
else
fprintf('Existen puntos donde la divergencia es nula.\n');
end

}}

(PREGUNTAR)
CUANDO LA DIVERGENCIA ES NULA CORRESPONDE A UNOS VALORES DE Y QUE SE SALEN DEL INTERVALO, NO SE SI EXTENDER EL INTERVALO PARA Q SE VEA CUANDO LA DIVERNCIA SE HACE NULA

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

== Tensiones de Von Mises ==

% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : σ =\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}
Posteriormente calculamos el campo de fuerzas pedido con el siguiente Comando.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Definición del tensor sigma (por ejemplo, en 3D)
sigma = sym('sigma', [3, 3]); % Tensor de tensiones simbólico (3x3)

% Coordenadas espaciales
syms x y z

% Definición del gradiente del tensor sigma
sigma_x = diff(sigma(:,1), x); % Derivadas parciales respecto a x
sigma_y = diff(sigma(:,2), y); % Derivadas parciales respecto a y
sigma_z = diff(sigma(:,3), z); % Derivadas parciales respecto a z

% Calcular la divergencia (sumar derivadas de cada dirección)
div_sigma = sigma_x + sigma_y + sigma_z;

% Calcular la fuerza
F = -div_sigma;
}}

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-08T21:47:01Z

Jose Luis Lema Paguay: /* Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*Temperatura:
<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
*Campo de Desplazamientos:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
*Densidad
<math> función</math>.
[[Archivo:Densidadec.jpg|thumb|450px|center|Funcion densidad]]

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura $T(x,y)$ define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Campo de desplazamientos==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5; % Factor de escalado reducido
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}
== Desplazamiento de la placa plana==

== Divergencia del Vector U==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ y=\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia en nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

{{matlab|codigo=
% Limpiar variables y pantalla
clear;
clc;

% Paso de muestreo y rangos
h = 1/10; % Paso de muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x
y = 0:h:3; % Rango de y

% Crear malla de puntos (x, y)
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Calcular la divergencia: Div(U) = (-2y - 1) / 50
Div = (-2 .* My - 1) / 50;

% Graficar la divergencia
figure;
surf(Mx, My, Div); % Crear superficie de la divergencia
view(2); % Vista 2D
axis equal; % Escalas iguales en los ejes
colorbar; % Mostrar barra de color
title('Divergencia del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

% Encontrar valores máximos, mínimos y nulos
maxDiv = max(Div(:)); % Máximo valor de la divergencia
minDiv = min(Div(:)); % Mínimo valor de la divergencia
nullDiv = find(Div == 0); % Índices donde la divergencia es cero

% Mostrar resultados en la consola
fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.5f\n', maxDiv);
fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.5f\n', minDiv);

if isempty(nullDiv)
fprintf('No hay puntos donde la divergencia sea nula.\n');
else
fprintf('Existen puntos donde la divergencia es nula.\n');
end

}}

(PREGUNTAR)
CUANDO LA DIVERGENCIA ES NULA CORRESPONDE A UNOS VALORES DE Y QUE SE SALEN DEL INTERVALO, NO SE SI EXTENDER EL INTERVALO PARA Q SE VEA CUANDO LA DIVERNCIA SE HACE NULA

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

== Tensiones de Von Mises ==

% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

definimos el Vector deformacion : \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix}

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Definición del tensor sigma (por ejemplo, en 3D)
sigma = sym('sigma', [3, 3]); % Tensor de tensiones simbólico (3x3)

% Coordenadas espaciales
syms x y z

% Definición del gradiente del tensor sigma
sigma_x = diff(sigma(:,1), x); % Derivadas parciales respecto a x
sigma_y = diff(sigma(:,2), y); % Derivadas parciales respecto a y
sigma_z = diff(sigma(:,3), z); % Derivadas parciales respecto a z

% Calcular la divergencia (sumar derivadas de cada dirección)
div_sigma = sigma_x + sigma_y + sigma_z;

% Calcular la fuerza
F = -div_sigma;
}}

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-08T21:38:40Z

Jose Luis Lema Paguay: /* Tensiones de Von Mises */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*Temperatura:
<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
*Campo de Desplazamientos:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
*Densidad
<math> función</math>.
[[Archivo:Densidadec.jpg|thumb|450px|center|Funcion densidad]]

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura $T(x,y)$ define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Campo de desplazamientos==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5; % Factor de escalado reducido
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}
== Desplazamiento de la placa plana==

== Divergencia del Vector U==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ y=\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia en nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

{{matlab|codigo=
% Limpiar variables y pantalla
clear;
clc;

% Paso de muestreo y rangos
h = 1/10; % Paso de muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x
y = 0:h:3; % Rango de y

% Crear malla de puntos (x, y)
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Calcular la divergencia: Div(U) = (-2y - 1) / 50
Div = (-2 .* My - 1) / 50;

% Graficar la divergencia
figure;
surf(Mx, My, Div); % Crear superficie de la divergencia
view(2); % Vista 2D
axis equal; % Escalas iguales en los ejes
colorbar; % Mostrar barra de color
title('Divergencia del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

% Encontrar valores máximos, mínimos y nulos
maxDiv = max(Div(:)); % Máximo valor de la divergencia
minDiv = min(Div(:)); % Mínimo valor de la divergencia
nullDiv = find(Div == 0); % Índices donde la divergencia es cero

% Mostrar resultados en la consola
fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.5f\n', maxDiv);
fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.5f\n', minDiv);

if isempty(nullDiv)
fprintf('No hay puntos donde la divergencia sea nula.\n');
else
fprintf('Existen puntos donde la divergencia es nula.\n');
end

}}

(PREGUNTAR)
CUANDO LA DIVERGENCIA ES NULA CORRESPONDE A UNOS VALORES DE Y QUE SE SALEN DEL INTERVALO, NO SE SI EXTENDER EL INTERVALO PARA Q SE VEA CUANDO LA DIVERNCIA SE HACE NULA

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

== Tensiones de Von Mises ==

% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Definición del tensor sigma (por ejemplo, en 3D)
sigma = sym('sigma', [3, 3]); % Tensor de tensiones simbólico (3x3)

% Coordenadas espaciales
syms x y z

% Definición del gradiente del tensor sigma
sigma_x = diff(sigma(:,1), x); % Derivadas parciales respecto a x
sigma_y = diff(sigma(:,2), y); % Derivadas parciales respecto a y
sigma_z = diff(sigma(:,3), z); % Derivadas parciales respecto a z

% Calcular la divergencia (sumar derivadas de cada dirección)
div_sigma = sigma_x + sigma_y + sigma_z;

% Calcular la fuerza
F = -div_sigma;
}}

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-08T21:37:02Z

Jose Luis Lema Paguay: /* Calculo de la Masa */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*Temperatura:
<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
*Campo de Desplazamientos:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
*Densidad
<math> función</math>.
[[Archivo:Densidadec.jpg|thumb|450px|center|Funcion densidad]]

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura $T(x,y)$ define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Campo de desplazamientos==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5; % Factor de escalado reducido
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}
== Desplazamiento de la placa plana==

== Divergencia del Vector U==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ y=\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia en nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

{{matlab|codigo=
% Limpiar variables y pantalla
clear;
clc;

% Paso de muestreo y rangos
h = 1/10; % Paso de muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x
y = 0:h:3; % Rango de y

% Crear malla de puntos (x, y)
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Calcular la divergencia: Div(U) = (-2y - 1) / 50
Div = (-2 .* My - 1) / 50;

% Graficar la divergencia
figure;
surf(Mx, My, Div); % Crear superficie de la divergencia
view(2); % Vista 2D
axis equal; % Escalas iguales en los ejes
colorbar; % Mostrar barra de color
title('Divergencia del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

% Encontrar valores máximos, mínimos y nulos
maxDiv = max(Div(:)); % Máximo valor de la divergencia
minDiv = min(Div(:)); % Mínimo valor de la divergencia
nullDiv = find(Div == 0); % Índices donde la divergencia es cero

% Mostrar resultados en la consola
fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.5f\n', maxDiv);
fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.5f\n', minDiv);

if isempty(nullDiv)
fprintf('No hay puntos donde la divergencia sea nula.\n');
else
fprintf('Existen puntos donde la divergencia es nula.\n');
end

}}

(PREGUNTAR)
CUANDO LA DIVERGENCIA ES NULA CORRESPONDE A UNOS VALORES DE Y QUE SE SALEN DEL INTERVALO, NO SE SI EXTENDER EL INTERVALO PARA Q SE VEA CUANDO LA DIVERNCIA SE HACE NULA

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

== Tensiones de Von Mises ==

% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Definición del tensor sigma (por ejemplo, en 3D)
sigma = sym('sigma', [3, 3]); % Tensor de tensiones simbólico (3x3)

% Coordenadas espaciales
syms x y z

% Definición del gradiente del tensor sigma
sigma_x = diff(sigma(:,1), x); % Derivadas parciales respecto a x
sigma_y = diff(sigma(:,2), y); % Derivadas parciales respecto a y
sigma_z = diff(sigma(:,3), z); % Derivadas parciales respecto a z

% Calcular la divergencia (sumar derivadas de cada dirección)
div_sigma = sigma_x + sigma_y + sigma_z;

% Calcular la fuerza
F = -div_sigma;
}}

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 14.19

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-08T21:35:02Z

Jose Luis Lema Paguay: /* Calculo de la Masa */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*Temperatura:
<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
*Campo de Desplazamientos:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
*Densidad
<math> función</math>.
[[Archivo:Densidadec.jpg|thumb|450px|center|Funcion densidad]]

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura $T(x,y)$ define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Campo de desplazamientos==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5; % Factor de escalado reducido
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}
== Desplazamiento de la placa plana==

== Divergencia del Vector U==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ y=\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia en nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

{{matlab|codigo=
% Limpiar variables y pantalla
clear;
clc;

% Paso de muestreo y rangos
h = 1/10; % Paso de muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x
y = 0:h:3; % Rango de y

% Crear malla de puntos (x, y)
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Calcular la divergencia: Div(U) = (-2y - 1) / 50
Div = (-2 .* My - 1) / 50;

% Graficar la divergencia
figure;
surf(Mx, My, Div); % Crear superficie de la divergencia
view(2); % Vista 2D
axis equal; % Escalas iguales en los ejes
colorbar; % Mostrar barra de color
title('Divergencia del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

% Encontrar valores máximos, mínimos y nulos
maxDiv = max(Div(:)); % Máximo valor de la divergencia
minDiv = min(Div(:)); % Mínimo valor de la divergencia
nullDiv = find(Div == 0); % Índices donde la divergencia es cero

% Mostrar resultados en la consola
fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.5f\n', maxDiv);
fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.5f\n', minDiv);

if isempty(nullDiv)
fprintf('No hay puntos donde la divergencia sea nula.\n');
else
fprintf('Existen puntos donde la divergencia es nula.\n');
end

}}

(PREGUNTAR)
CUANDO LA DIVERGENCIA ES NULA CORRESPONDE A UNOS VALORES DE Y QUE SE SALEN DEL INTERVALO, NO SE SI EXTENDER EL INTERVALO PARA Q SE VEA CUANDO LA DIVERNCIA SE HACE NULA

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

== Tensiones de Von Mises ==

% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Definición del tensor sigma (por ejemplo, en 3D)
sigma = sym('sigma', [3, 3]); % Tensor de tensiones simbólico (3x3)

% Coordenadas espaciales
syms x y z

% Definición del gradiente del tensor sigma
sigma_x = diff(sigma(:,1), x); % Derivadas parciales respecto a x
sigma_y = diff(sigma(:,2), y); % Derivadas parciales respecto a y
sigma_z = diff(sigma(:,3), z); % Derivadas parciales respecto a z

% Calcular la divergencia (sumar derivadas de cada dirección)
div_sigma = sigma_x + sigma_y + sigma_z;

% Calcular la fuerza
F = -div_sigma;
}}

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función límite superior f(x)
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x)); % Función f(x)

% Definir la densidad d(x, y)
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y); % Densidad

% Calcular la masa usando integración doble
masa = integral(@(x) arrayfun(@(x) integral(@(y) d(x, y), 0, f(x)), x), 0, 2);

% Mostrar el resultado
disp(['La masa del objeto es: ', num2str(masa)]);

}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 18.90

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-08T21:16:49Z

Jose Luis Lema Paguay: /* Calculo de la Masa */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*Temperatura:
<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
*Campo de Desplazamientos:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
*Densidad
<math> función</math>.
[[Archivo:Densidadec.jpg|thumb|450px|center|Funcion densidad]]

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura $T(x,y)$ define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Campo de desplazamientos==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5; % Factor de escalado reducido
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}
== Desplazamiento de la placa plana==

== Divergencia del Vector U==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ y=\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia en nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

{{matlab|codigo=
% Limpiar variables y pantalla
clear;
clc;

% Paso de muestreo y rangos
h = 1/10; % Paso de muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x
y = 0:h:3; % Rango de y

% Crear malla de puntos (x, y)
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Calcular la divergencia: Div(U) = (-2y - 1) / 50
Div = (-2 .* My - 1) / 50;

% Graficar la divergencia
figure;
surf(Mx, My, Div); % Crear superficie de la divergencia
view(2); % Vista 2D
axis equal; % Escalas iguales en los ejes
colorbar; % Mostrar barra de color
title('Divergencia del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

% Encontrar valores máximos, mínimos y nulos
maxDiv = max(Div(:)); % Máximo valor de la divergencia
minDiv = min(Div(:)); % Mínimo valor de la divergencia
nullDiv = find(Div == 0); % Índices donde la divergencia es cero

% Mostrar resultados en la consola
fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.5f\n', maxDiv);
fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.5f\n', minDiv);

if isempty(nullDiv)
fprintf('No hay puntos donde la divergencia sea nula.\n');
else
fprintf('Existen puntos donde la divergencia es nula.\n');
end

}}

(PREGUNTAR)
CUANDO LA DIVERGENCIA ES NULA CORRESPONDE A UNOS VALORES DE Y QUE SE SALEN DEL INTERVALO, NO SE SI EXTENDER EL INTERVALO PARA Q SE VEA CUANDO LA DIVERNCIA SE HACE NULA

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

== Tensiones de Von Mises ==

% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Definición del tensor sigma (por ejemplo, en 3D)
sigma = sym('sigma', [3, 3]); % Tensor de tensiones simbólico (3x3)

% Coordenadas espaciales
syms x y z

% Definición del gradiente del tensor sigma
sigma_x = diff(sigma(:,1), x); % Derivadas parciales respecto a x
sigma_y = diff(sigma(:,2), y); % Derivadas parciales respecto a y
sigma_z = diff(sigma(:,3), z); % Derivadas parciales respecto a z

% Calcular la divergencia (sumar derivadas de cada dirección)
div_sigma = sigma_x + sigma_y + sigma_z;

% Calcular la fuerza
F = -div_sigma;
}}

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x): <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

{{matlab|codigo=
% Definir la función de densidad
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y);

% Límites del área donde calcular la masa
x1 = 0; x2 = 2; % Límites en x
y1 = 0; y2 = 2.5; % Límites en y

% Usar integral doble para calcular la masa
masa = integral2(d, x1, x2, y1, y2);

% Mostrar resultado
disp(['La masa total es: ', num2str(masa)]);
}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 18.90

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-08T21:15:58Z

Jose Luis Lema Paguay: /* Calculo de la Masa */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*Temperatura:
<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
*Campo de Desplazamientos:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
*Densidad
<math> función</math>.
[[Archivo:Densidadec.jpg|thumb|450px|center|Funcion densidad]]

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura $T(x,y)$ define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Campo de desplazamientos==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5; % Factor de escalado reducido
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}
== Desplazamiento de la placa plana==

== Divergencia del Vector U==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ y=\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia en nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

{{matlab|codigo=
% Limpiar variables y pantalla
clear;
clc;

% Paso de muestreo y rangos
h = 1/10; % Paso de muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x
y = 0:h:3; % Rango de y

% Crear malla de puntos (x, y)
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Calcular la divergencia: Div(U) = (-2y - 1) / 50
Div = (-2 .* My - 1) / 50;

% Graficar la divergencia
figure;
surf(Mx, My, Div); % Crear superficie de la divergencia
view(2); % Vista 2D
axis equal; % Escalas iguales en los ejes
colorbar; % Mostrar barra de color
title('Divergencia del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

% Encontrar valores máximos, mínimos y nulos
maxDiv = max(Div(:)); % Máximo valor de la divergencia
minDiv = min(Div(:)); % Mínimo valor de la divergencia
nullDiv = find(Div == 0); % Índices donde la divergencia es cero

% Mostrar resultados en la consola
fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.5f\n', maxDiv);
fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.5f\n', minDiv);

if isempty(nullDiv)
fprintf('No hay puntos donde la divergencia sea nula.\n');
else
fprintf('Existen puntos donde la divergencia es nula.\n');
end

}}

(PREGUNTAR)
CUANDO LA DIVERGENCIA ES NULA CORRESPONDE A UNOS VALORES DE Y QUE SE SALEN DEL INTERVALO, NO SE SI EXTENDER EL INTERVALO PARA Q SE VEA CUANDO LA DIVERNCIA SE HACE NULA

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

== Tensiones de Von Mises ==

% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Definición del tensor sigma (por ejemplo, en 3D)
sigma = sym('sigma', [3, 3]); % Tensor de tensiones simbólico (3x3)

% Coordenadas espaciales
syms x y z

% Definición del gradiente del tensor sigma
sigma_x = diff(sigma(:,1), x); % Derivadas parciales respecto a x
sigma_y = diff(sigma(:,2), y); % Derivadas parciales respecto a y
sigma_z = diff(sigma(:,3), z); % Derivadas parciales respecto a z

% Calcular la divergencia (sumar derivadas de cada dirección)
div_sigma = sigma_x + sigma_y + sigma_z;

% Calcular la fuerza
F = -div_sigma;
}}

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;f(x)]

definimos la funcion F(x):

{{matlab|codigo=
% Definir la función de densidad
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y);

% Límites del área donde calcular la masa
x1 = 0; x2 = 2; % Límites en x
y1 = 0; y2 = 2.5; % Límites en y

% Usar integral doble para calcular la masa
masa = integral2(d, x1, x2, y1, y2);

% Mostrar resultado
disp(['La masa total es: ', num2str(masa)]);
}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 18.90

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-08T21:13:52Z

Jose Luis Lema Paguay:

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*Temperatura:
<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
*Campo de Desplazamientos:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
*Densidad
<math> función</math>.
[[Archivo:Densidadec.jpg|thumb|450px|center|Funcion densidad]]

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura $T(x,y)$ define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Campo de desplazamientos==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5; % Factor de escalado reducido
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}
== Desplazamiento de la placa plana==

== Divergencia del Vector U==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ y=\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia en nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

{{matlab|codigo=
% Limpiar variables y pantalla
clear;
clc;

% Paso de muestreo y rangos
h = 1/10; % Paso de muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x
y = 0:h:3; % Rango de y

% Crear malla de puntos (x, y)
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Calcular la divergencia: Div(U) = (-2y - 1) / 50
Div = (-2 .* My - 1) / 50;

% Graficar la divergencia
figure;
surf(Mx, My, Div); % Crear superficie de la divergencia
view(2); % Vista 2D
axis equal; % Escalas iguales en los ejes
colorbar; % Mostrar barra de color
title('Divergencia del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

% Encontrar valores máximos, mínimos y nulos
maxDiv = max(Div(:)); % Máximo valor de la divergencia
minDiv = min(Div(:)); % Mínimo valor de la divergencia
nullDiv = find(Div == 0); % Índices donde la divergencia es cero

% Mostrar resultados en la consola
fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.5f\n', maxDiv);
fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.5f\n', minDiv);

if isempty(nullDiv)
fprintf('No hay puntos donde la divergencia sea nula.\n');
else
fprintf('Existen puntos donde la divergencia es nula.\n');
end

}}

(PREGUNTAR)
CUANDO LA DIVERGENCIA ES NULA CORRESPONDE A UNOS VALORES DE Y QUE SE SALEN DEL INTERVALO, NO SE SI EXTENDER EL INTERVALO PARA Q SE VEA CUANDO LA DIVERNCIA SE HACE NULA

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

== Tensiones de Von Mises ==

% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Definición del tensor sigma (por ejemplo, en 3D)
sigma = sym('sigma', [3, 3]); % Tensor de tensiones simbólico (3x3)

% Coordenadas espaciales
syms x y z

% Definición del gradiente del tensor sigma
sigma_x = diff(sigma(:,1), x); % Derivadas parciales respecto a x
sigma_y = diff(sigma(:,2), y); % Derivadas parciales respecto a y
sigma_z = diff(sigma(:,3), z); % Derivadas parciales respecto a z

% Calcular la divergencia (sumar derivadas de cada dirección)
div_sigma = sigma_x + sigma_y + sigma_z;

% Calcular la fuerza
F = -div_sigma;
}}

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;2.5]

{{matlab|codigo=
% Definir la función de densidad
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y);

% Límites del área donde calcular la masa
x1 = 0; x2 = 2; % Límites en x
y1 = 0; y2 = 2.5; % Límites en y

% Usar integral doble para calcular la masa
masa = integral2(d, x1, x2, y1, y2);

% Mostrar resultado
disp(['La masa total es: ', num2str(masa)]);
}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 18.90

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-12-08T21:08:57Z

Jose Luis Lema Paguay:

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Jose Lema Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*Temperatura:
<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
*Campo de Desplazamientos:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
*Densidad
<math>Poner función</math>.

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura $T(x,y)$ define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Campo de desplazamientos==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5; % Factor de escalado reducido
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}
== Desplazamiento de la placa plana==

== Divergencia del Vector U==
El campo vectorial desplazamiento <math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>. que desarrollándolo es igual a <math> \vec u(x,y)=(\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50})\vec{i} - (\frac{y}{50})\vec{j} </math>

A partir de esa expresión se utiliza el operador nabla para poder calcular la divergencia
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{4y}{50})}{\partial x} - \frac{\partial (\frac{2xy}{50})}{\partial x} + \frac{\partial(\frac{-y}{50})}{\partial y} = \frac{-2y -1}{50}</math>

Luego se pide determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia es máxima, mínima y nula.

<math>\ y=\frac{-2y -1}{50}</math> depende linealmente de <math>\ y </math> por lo cual la divergencia simplemente aumenta o disminuye en función de y. Para este caso como <math>\ y </math> está limitado al intervalo [0,3] se puede calcular el máximo global que es para <math>\ y=0 </math> ya que la divergencia será -0.02 y el mínimo global es para <math>\ y=3 </math> cuya divergencia será -0.14.

La divergencia en nula en todos los puntos donde <math>\ y=-\frac{1}{2}</math> para cualquier valor de <math>\ x </math>.

{{matlab|codigo=
% Limpiar variables y pantalla
clear;
clc;

% Paso de muestreo y rangos
h = 1/10; % Paso de muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x
y = 0:h:3; % Rango de y

% Crear malla de puntos (x, y)
[Mx, My] = meshgrid(x, y);

% Calcular la divergencia: Div(U) = (-2y - 1) / 50
Div = (-2 .* My - 1) / 50;

% Graficar la divergencia
figure;
surf(Mx, My, Div); % Crear superficie de la divergencia
view(2); % Vista 2D
axis equal; % Escalas iguales en los ejes
colorbar; % Mostrar barra de color
title('Divergencia del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

% Encontrar valores máximos, mínimos y nulos
maxDiv = max(Div(:)); % Máximo valor de la divergencia
minDiv = min(Div(:)); % Mínimo valor de la divergencia
nullDiv = find(Div == 0); % Índices donde la divergencia es cero

% Mostrar resultados en la consola
fprintf('El valor máximo de la divergencia es: %1.5f\n', maxDiv);
fprintf('El valor mínimo de la divergencia es: %1.5f\n', minDiv);

if isempty(nullDiv)
fprintf('No hay puntos donde la divergencia sea nula.\n');
else
fprintf('Existen puntos donde la divergencia es nula.\n');
end

}}

(PREGUNTAR)
CUANDO LA DIVERGENCIA ES NULA CORRESPONDE A UNOS VALORES DE Y QUE SE SALEN DEL INTERVALO, NO SE SI EXTENDER EL INTERVALO PARA Q SE VEA CUANDO LA DIVERNCIA SE HACE NULA

== Rotacional==

Para empezar se calcula el rotacional de <math>\vec{u}</math>:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{4 y}{50} - \frac{2 x y}{50}) & - (\frac{y}{50}) & 0 \end{vmatrix}=(\frac{2 x }{50}-\frac{4}{50})\vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = \left |\frac{-2(2-x)}{50} \right | </math>.

Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional bastará con igualar a 0 ya que el resultado depende únicamente de <math>\ x </math>

<math>\ \left | \ 2-x \right | = 0 </math>

En conclusión los puntos que sufren mayor rotacional son lo más alejado de <math>\ x=2 </math> es decir cuando <math>\ x </math> tiende a infinito.

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} \\ 0 & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

También se debe calcular la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> : <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix} -\frac{2y}{50} & 0 \\ \frac{4}{50}-\frac{2x}{50} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Con todo ello se puede calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} </math>.

Ya calculado la divergencia anteriormente <math>\ \nabla \cdot \vec u = \frac{-2y -1}{50}</math> se podrá sustituir en la fórmula del tensor de tensiones

<math>σ=∇·\vec{u}1 + 2Ԑ = \frac{-2y -1}{50} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -\frac{y}{25} & \frac{2(2-x)}{100} \\ \frac{2(2-x)}{100} & -\frac{1}{50}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} </math>.

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\frac{6y+1}{50} </math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac{6y+1}{50} & \frac{4-2x}{50} \\ \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4-2x}{50} & -\frac{3+2y}{50} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = -\frac{3+2y}{50} </math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=0 </math> ya que el campo es plano y no hay componente en k.

{{matlab|codigo=

% Parámetros
syms x y
% Definir las tensiones normales
sigma_ii = -(6*y + 1)/50; % Tensión en dirección i
sigma_jj = -(2*y + 3)/50; % Tensión en dirección j
sigma_kk = 0; % Tensión en dirección k

% Crear mallas para el dominio
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 3, 50), linspace(-1, 3, 50)); % Cambiar límites si es necesario

% Evaluar las tensiones normales
sigma_ii_vals = subs(sigma_ii, {x, y}, {X, Y});
sigma_jj_vals = subs(sigma_jj, {x, y}, {X, Y});
sigma_kk_vals = sigma_kk; % Constante, cero

% Convertir a valores numéricos
sigma_ii_vals = double(sigma_ii_vals);
sigma_jj_vals = double(sigma_jj_vals);

% Graficar las tensiones normales
figure;

% Gráfico de \sigma_{ii}
subplot(1, 2, 1);
surf(X, Y, sigma_ii_vals);
title('\sigma_{ii} (Tensión normal en dirección i)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{ii}');
colorbar;
shading interp;

% Gráfico de \sigma_{jj}
subplot(1, 2, 2);
surf(X, Y, sigma_jj_vals);
title('\sigma_{jj} (Tensión normal en dirección j)');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('\sigma_{jj}');
colorbar;
shading interp;

% Nota: \sigma_{kk} no se grafica porque es cero en todo el dominio.
}}

== Tensiones de Von Mises ==

% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[X,Y] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Campo de desplazamientos
u_x = @(x, y) (2 * (2 - x) .* y) / 50; % Componente en x
u_y = @(x, y) -y / 50; % Componente en y

% Matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(x, y)-(6*y + 1)/50;
M12 = @(x, y)(4-2*x)/50;
M22 = @(x, y)-(2*y + 3)/50;
M21 = @(x, y)(4-2*x)/50;

for i = 1:length(y)
for j = 1:length(x)
sigma(1,1) = M11(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,2) = M12(X(i,j),Y(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = M21(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,2) = M22(X(i,j),Y(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = 0;

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(X,Y,VonMises)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(X,Y,VonMises);
view(0,0)
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(X,Y,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5])
colorbar;
title('XOY');

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Definición del tensor sigma (por ejemplo, en 3D)
sigma = sym('sigma', [3, 3]); % Tensor de tensiones simbólico (3x3)

% Coordenadas espaciales
syms x y z

% Definición del gradiente del tensor sigma
sigma_x = diff(sigma(:,1), x); % Derivadas parciales respecto a x
sigma_y = diff(sigma(:,2), y); % Derivadas parciales respecto a y
sigma_z = diff(sigma(:,3), z); % Derivadas parciales respecto a z

% Calcular la divergencia (sumar derivadas de cada dirección)
div_sigma = sigma_x + sigma_y + sigma_z;

% Calcular la fuerza
F = -div_sigma;
}}

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;2.5]

{{matlab|codigo=
% Definir la función de densidad
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y);

% Límites del área donde calcular la masa
x1 = 0; x2 = 2; % Límites en x
y1 = 0; y2 = 2.5; % Límites en y

% Usar integral doble para calcular la masa
masa = integral2(d, x1, x2, y1, y2);

% Mostrar resultado
disp(['La masa total es: ', num2str(masa)]);
}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 18.90

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-11-30T22:17:40Z

Jose Luis Lema Paguay: /* Calculo de la Masa */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Usuario1 Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*Temperatura:
<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
*Campo de Desplazamientos:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
*Densidad
<math>Poner función</math>.

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura $T(x,y)$ define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Campo de desplazamientos==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5; % Factor de escalado reducido
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}
== Desplazamiento de la placa plana==

== Divergencia del Vector U==

== Rotacional==

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
== Tensiones Tangenciales==
== Tensiones de Von Mises ==

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Definición del tensor sigma (por ejemplo, en 3D)
sigma = sym('sigma', [3, 3]); % Tensor de tensiones simbólico (3x3)

% Coordenadas espaciales
syms x y z

% Definición del gradiente del tensor sigma
sigma_x = diff(sigma(:,1), x); % Derivadas parciales respecto a x
sigma_y = diff(sigma(:,2), y); % Derivadas parciales respecto a y
sigma_z = diff(sigma(:,3), z); % Derivadas parciales respecto a z

% Calcular la divergencia (sumar derivadas de cada dirección)
div_sigma = sigma_x + sigma_y + sigma_z;

% Calcular la fuerza
F = -div_sigma;
}}

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;2.5]

{{matlab|codigo=
% Definir la función de densidad
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y);

% Límites del área donde calcular la masa
x1 = 0; x2 = 2; % Límites en x
y1 = 0; y2 = 2.5; % Límites en y

% Usar integral doble para calcular la masa
masa = integral2(d, x1, x2, y1, y2);

% Mostrar resultado
disp(['La masa total es: ', num2str(masa)]);
}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular.
[[Archivo:integralec.jpg|center|450px|right|Integral Doble para el Calculo de Masa]]

La masa Total es 18.90

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Archivo:Integralec.jpg

2024-11-30T22:16:02Z

Jose Luis Lema Paguay:

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-11-30T22:15:17Z

Jose Luis Lema Paguay: /* Calculo de la Masa */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Usuario1 Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*Temperatura:
<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
*Campo de Desplazamientos:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
*Densidad
<math>Poner función</math>.

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura $T(x,y)$ define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Campo de desplazamientos==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5; % Factor de escalado reducido
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}
== Desplazamiento de la placa plana==

== Divergencia del Vector U==

== Rotacional==

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
== Tensiones Tangenciales==
== Tensiones de Von Mises ==

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Definición del tensor sigma (por ejemplo, en 3D)
sigma = sym('sigma', [3, 3]); % Tensor de tensiones simbólico (3x3)

% Coordenadas espaciales
syms x y z

% Definición del gradiente del tensor sigma
sigma_x = diff(sigma(:,1), x); % Derivadas parciales respecto a x
sigma_y = diff(sigma(:,2), y); % Derivadas parciales respecto a y
sigma_z = diff(sigma(:,3), z); % Derivadas parciales respecto a z

% Calcular la divergencia (sumar derivadas de cada dirección)
div_sigma = sigma_x + sigma_y + sigma_z;

% Calcular la fuerza
F = -div_sigma;
}}

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;2.5]

{{matlab|codigo=
% Definir la función de densidad
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y);

% Límites del área donde calcular la masa
x1 = 0; x2 = 2; % Límites en x
y1 = 0; y2 = 2.5; % Límites en y

% Usar integral doble para calcular la masa
masa = integral2(d, x1, x2, y1, y2);

% Mostrar resultado
disp(['La masa total es: ', num2str(masa)]);
}}

Donde con ayuda de Matlab, se define que si integramos la densidad en las regiones por las que esta definida la presa Triangular. La masa Total es 18.90

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-11-30T22:10:21Z

Jose Luis Lema Paguay: /* Calculo de la Masa */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Usuario1 Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*Temperatura:
<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
*Campo de Desplazamientos:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
*Densidad
<math>Poner función</math>.

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura $T(x,y)$ define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Campo de desplazamientos==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5; % Factor de escalado reducido
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}
== Desplazamiento de la placa plana==

== Divergencia del Vector U==

== Rotacional==

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
== Tensiones Tangenciales==
== Tensiones de Von Mises ==

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Definición del tensor sigma (por ejemplo, en 3D)
sigma = sym('sigma', [3, 3]); % Tensor de tensiones simbólico (3x3)

% Coordenadas espaciales
syms x y z

% Definición del gradiente del tensor sigma
sigma_x = diff(sigma(:,1), x); % Derivadas parciales respecto a x
sigma_y = diff(sigma(:,2), y); % Derivadas parciales respecto a y
sigma_z = diff(sigma(:,3), z); % Derivadas parciales respecto a z

% Calcular la divergencia (sumar derivadas de cada dirección)
div_sigma = sigma_x + sigma_y + sigma_z;

% Calcular la fuerza
F = -div_sigma;
}}

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

Para calcular la masa cuando una densidad depende de 2 variables, como es el caso, integramos la densidad sobre la region correspondiente en el plano XY.

Definimos las regiones de la Presa Triangular:

Coordenadas X en [0;2]

Coordenadas Y en [0;2.5]

% Definir la función de densidad
d = @(x, y) (2 - abs(x - 1/2)) .* (4 - y);

% Límites del área donde calcular la masa
x1 = 0; x2 = 2; % Límites en x
y1 = 0; y2 = 2.5; % Límites en y

% Usar integral doble para calcular la masa
masa = integral2(d, x1, x2, y1, y2);

% Mostrar resultado
disp(['La masa total es: ', num2str(masa)]);
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Archivo:Densidadec.jpg

2024-11-30T21:33:14Z

Jose Luis Lema Paguay:

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-11-30T21:32:21Z

Jose Luis Lema Paguay:

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Usuario1 Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*Temperatura:
<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
*Campo de Desplazamientos:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
*Densidad
<math>Poner función</math>.

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura $T(x,y)$ define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Campo de desplazamientos==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5; % Factor de escalado reducido
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}
== Desplazamiento de la placa plana==

== Divergencia del Vector U==

== Rotacional==

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
== Tensiones Tangenciales==
== Tensiones de Von Mises ==

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Definición del tensor sigma (por ejemplo, en 3D)
sigma = sym('sigma', [3, 3]); % Tensor de tensiones simbólico (3x3)

% Coordenadas espaciales
syms x y z

% Definición del gradiente del tensor sigma
sigma_x = diff(sigma(:,1), x); % Derivadas parciales respecto a x
sigma_y = diff(sigma(:,2), y); % Derivadas parciales respecto a y
sigma_z = diff(sigma(:,3), z); % Derivadas parciales respecto a z

% Calcular la divergencia (sumar derivadas de cada dirección)
div_sigma = sigma_x + sigma_y + sigma_z;

% Calcular la fuerza
F = -div_sigma;
}}

== Calculo de la Masa==

Definimos que la presa triangular tiene una densidad definida por:
[[Archivo:densidadec.jpg|center|450px|right|Densidad Presa Triangular]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-11-30T21:27:20Z

Jose Luis Lema Paguay: /* Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Usuario1 Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*Temperatura:
<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
*Campo de Desplazamientos:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
*Densidad
<math>Poner función</math>.

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura $T(x,y)$ define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Campo de desplazamientos==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5; % Factor de escalado reducido
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}
== Desplazamiento de la placa plana==

== Divergencia del Vector U==

== Rotacional==

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
== Tensiones Tangenciales==
== Tensiones de Von Mises ==

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

{{matlab|codigo=
% Definición del tensor sigma (por ejemplo, en 3D)
sigma = sym('sigma', [3, 3]); % Tensor de tensiones simbólico (3x3)

% Coordenadas espaciales
syms x y z

% Definición del gradiente del tensor sigma
sigma_x = diff(sigma(:,1), x); % Derivadas parciales respecto a x
sigma_y = diff(sigma(:,2), y); % Derivadas parciales respecto a y
sigma_z = diff(sigma(:,3), z); % Derivadas parciales respecto a z

% Calcular la divergencia (sumar derivadas de cada dirección)
div_sigma = sigma_x + sigma_y + sigma_z;

% Calcular la fuerza
F = -div_sigma;
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-11-30T21:25:28Z

Jose Luis Lema Paguay: /* Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Usuario1 Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*Temperatura:
<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
*Campo de Desplazamientos:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
*Densidad
<math>Poner función</math>.

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura $T(x,y)$ define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Campo de desplazamientos==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5; % Factor de escalado reducido
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}
== Desplazamiento de la placa plana==

== Divergencia del Vector U==

== Rotacional==

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
== Tensiones Tangenciales==
== Tensiones de Von Mises ==

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

Donde F es el Vector Fuerza, que es igual a MENOS la divergencia del tensor de TENSIONES.

EN Matlab el codigo de Representacion es:

% Definición del tensor sigma (por ejemplo, en 3D)
sigma = sym('sigma', [3, 3]); % Tensor de tensiones simbólico (3x3)

% Coordenadas espaciales
syms x y z

% Definición del gradiente del tensor sigma
sigma_x = diff(sigma(:,1), x); % Derivadas parciales respecto a x
sigma_y = diff(sigma(:,2), y); % Derivadas parciales respecto a y
sigma_z = diff(sigma(:,3), z); % Derivadas parciales respecto a z

% Calcular la divergencia (sumar derivadas de cada dirección)
div_sigma = sigma_x + sigma_y + sigma_z;

% Calcular la fuerza
F = -div_sigma;

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-11-30T21:20:03Z

Jose Luis Lema Paguay: /* Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Usuario1 Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*Temperatura:
<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
*Campo de Desplazamientos:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
*Densidad
<math>Poner función</math>.

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura $T(x,y)$ define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Campo de desplazamientos==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5; % Factor de escalado reducido
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}
== Desplazamiento de la placa plana==

== Divergencia del Vector U==

== Rotacional==

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
== Tensiones Tangenciales==
== Tensiones de Von Mises ==

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:Ecuacionelastica.jpg|center|450px|right|Elasticidad Lineal]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-11-30T21:17:51Z

Jose Luis Lema Paguay: /* Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Usuario1 Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*Temperatura:
<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
*Campo de Desplazamientos:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
*Densidad
<math>Poner función</math>.

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura $T(x,y)$ define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Campo de desplazamientos==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5; % Factor de escalado reducido
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}
== Desplazamiento de la placa plana==

== Divergencia del Vector U==

== Rotacional==

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
== Tensiones Tangenciales==
== Tensiones de Von Mises ==

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

[[Archivo:ecuacionelastica.png|thumb|450px|right|Elasticidad Lineal]]
{{matlab|codigo=

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Archivo:Ecuacionelastica.jpg

2024-11-30T21:15:31Z

Jose Luis Lema Paguay:

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-11-30T21:03:14Z

Jose Luis Lema Paguay: /* Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Usuario1 Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*Temperatura:
<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
*Campo de Desplazamientos:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
*Densidad
<math>Poner función</math>.

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura $T(x,y)$ define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Campo de desplazamientos==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5; % Factor de escalado reducido
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}
== Desplazamiento de la placa plana==

== Divergencia del Vector U==

== Rotacional==

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
== Tensiones Tangenciales==
== Tensiones de Von Mises ==

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular.

Con esta formula definimos el Campo de Fuerzas que causan el desplazamiento.

F=-divergence(sigma)

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-11-30T20:57:48Z

Jose Luis Lema Paguay:

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Usuario1 Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*Temperatura:
<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
*Campo de Desplazamientos:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
*Densidad
<math>Poner función</math>.

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
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T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura $T(x,y)$ define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Campo de desplazamientos==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5; % Factor de escalado reducido
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}
== Desplazamiento de la placa plana==

== Divergencia del Vector U==

== Rotacional==

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Tensor de deformaciones==
== Tensiones Tangenciales==
== Tensiones de Von Mises ==

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-11-30T20:52:21Z

Jose Luis Lema Paguay: /* Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento */

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Usuario1 Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*Temperatura:
<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
*Campo de Desplazamientos:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
*Densidad
<math>Poner función</math>.

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura $T(x,y)$ define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Campo de desplazamientos==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5; % Factor de escalado reducido
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}
== Desplazamiento de la placa plana==

== Divergencia del Vector U==

== Rotacional==

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

El Campo de Fuerzas que actuan en la superficie, que son causantes de los desplazamiento, se aproximan usando la ecuacion de la ELASTICIDAD LINEAL, modelo matematico que define como los solidos defomables responden a las fuerzas externas a las que son sometidas, manteniendo una relacion lineal entre tension y deformacion.
Con esta Teoria se asume que el solido es isotropo y homogeneo, es decir que tiene las mismas caracteristicas mecanicas en todos los puntos de su estructura, en este caso en todos los puntos de la estructura de la Presa Triangular

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular

2024-11-30T20:45:26Z

Jose Luis Lema Paguay:

{{ TrabajoED | Estudio de la temperatura y deformación sobre una presa triangular |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]]| Usuario1 Mirella Espinal Arias Jorge García Sara López Caro Iria Cobos }}

Se considera la sección transversal de una presa triangular, estando la superficie dada en coordenadas cartesianas, donde (x,y) pertenecen al siguiente recinto :

<math> [0,2]X[0,f(x)] </math>.

Siendo f(x) igual a: <math> f(x)=min(3,\frac{3}{2}(2-x)) </math>
 

El objetivo de este estudio es analizar las diferentes transformaciones y aplicaciones que se le pueden ejercer a dicha presa triangular. Para ello se tienen que tener en cuenta tres funciones, la de temperatura, el campo de los desplazamientos y la función densidad de la presa.
*Temperatura:
<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
*Campo de Desplazamientos:
<math> \vec u(x,y)=\frac{2(2-x)y\vec i-y\vec j}{50}</math>.
*Densidad
<math>Poner función</math>.

==Mallado del solido==
En primer lugar se tendrá que visualizar el mallado del solido. Para ello deberemos tener en cuenta el reciento planteado en el enunciado:
* Dibujar la presa triangular sabiendo que la superficie es [0,2] x [0,f(x)]
* Tener en cuenta los ejes de comando pedidos que en este caso son [-2,2] x [0,3]

[[Archivo:Mallado Presa.png|thumb|450px|right|Mallado de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10; % Paso de Muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN; % Filtración de puntos fuera de la región(NaN)
y2(~Region) = NaN;
mesh(x2, y2, z2);
hold on;
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
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plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2); %Delimitado de la superficie
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4]); %Asignacion del eje
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Mallado de la Presa');
view(2);
grid on;
hold off;

}}

== Curvas de nivel y gradiente de temperatura ==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la presa, conociendo la función temperatura podemos calcular su dirección de crecimiento y punto máximo:

<math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math>.
=== Representación de temperatura y Punto Máximo ===

[[Archivo:Temperatura_Grafica.png|thumb|450px|right|Temperatura Representada en Superficie]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;%Paso muestreo
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
Temp = (y2 .* x2.^2) / 2; %Funcion Temperatura
Temp(~region) = NaN; %Filtrar Sperficie Valida
surf(x2, y2, Temp, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
[maxTemp, idx] = max(Temp(:)); % Máximo valor
[x_max, y_max] = ind2sub(size(Temp), idx);
x_coord = x2(x_max, y_max); % Coordenada X del máximo
y_coord = y2(x_max, y_max); % Coordenada Y del máximo
plot3(x_coord, y_coord, maxTemp, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2); % Punto rojo en 3D de coordenada maxima
text(x_coord, y_coord, maxTemp, sprintf(' Maximo: %.2f', maxTemp), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Temperatura representada sobre la Superficie');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}

=== Representacion Curvas de nivel de T ===

[[Archivo:CurvasDeNivelJ.png|thumb|450px|right|Curvas de Nivel de la Presa]]
{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2)*(2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
contour3(x2, y2, T, 20, 'LineWidth', 2); %Mostrar Curvas de Nivel
colorbar;
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel de la Temperatura representadas');
grid on;
hold off;

}}
=== Gradiente de T ===
El gradiente de la temperatura $T(x,y)$ define en que dirección el campo de temperaturas varia mas rápido, este se define de la siguiente manera:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j + \frac{∂T}{∂z}\vec ez </math></center>

Conociendo dicha definición en este caso el gradiente será:
<center><math>\nabla T(x,y) = yx\vec i + \frac{x^2}{2}\vec j </math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);%Gradiente de la Temperatura
Tx(~region) = NaN;%Filtrar Gradiente fuera de la Región
Ty(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 3;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Tx, scale*Ty, zeros(size(Tx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura');
colorbar;
grid on;
hold off;
}}
[[Archivo:GradienteJ2.png|450px|Gradiente de Temperatura]]
[[Archivo:GradienteJ1.png|450px|Gradiente 2D]]

== Ley de Fourier==
La ley de Fourier establece que la energía calorífica <math>\vec Q~</math> viaja a través de la superficie con la siguiente formula:

<center><math>\vec Q=-k∇T</math></center>

Sabiendo que K es la constante de conductividad térmica de la presa que supondremos k=1:

<center><math>\vec Q=-k∇T=-yx\vec i -\frac{x^2}{2}\vec j</math></center>

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
region = (y2 <= f(x2));
T = (y2 .* x2.^2) / 2;
T(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(T, h);
Qx = -Tx;%Flujo de la energía calorifica
Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN;%Filtrar flujo en superficie
Qy(~region) = NaN;
z_surface = T;
contour3(x2, y2, z_surface, 20, 'LineWidth', 2);
hold on;
scale = 1.5;
quiver3(x2, y2, z_surface, scale*Qx, scale*Qy, zeros(size(Qx)), 'r', 'LineWidth', 1.5);
axis equal;
axis([0, 2, 0, 3, 0, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Temperatura T(x, y)');
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía Calorífica en 3D');
colorbar;
grid on;
hold off;

}}
[[Archivo:Flujo1.png|450px|Ley de Fourier]]
[[Archivo:Flujo2.png|450px|Ley de Fourier]]

== Máxima temperatura==
Es el punto en el dominio donde el valor de la función <math>T(x,y)=\frac{yx^2}{2}</math> es máximo.

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
T = (y2 .* x2.^2) / 2; % Función de temperatura T(x, y)
% Gradiente de T(x, y)
dTdx = y2 .* x2; % Derivada parcial respecto a x
dTdy = x2.^2 / 2; % Derivada parcial respecto a y
grad = sqrt(dTdx.^2 + dTdy.^2);
[max_grad, idx] = max(grad_magnitude(:)); % Punto de mayor gradiente
[max_x, max_y] = ind2sub(size(grad_magnitude), idx);
max_point = [x2(max_x, max_y), y2(max_x, max_y)];
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2);
x_borde = x1;
y_borde = arrayfun(f, x_borde);
plot3(x_borde, y_borde, zeros(size(x_borde)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 0], [0 f(0)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([2 2], [0 f(2)], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([0 2], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
% Representar direcciones de gradiente
quiver3(x2, y2, z2, dTdx, dTdy, zeros(size(dTdx)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
% Resaltar el punto de mayor gradiente
plot3(max_point(1), max_point(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
axis equal;
axis([-1, 3, -1, 4, -1, 1]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}

== Campo de desplazamientos==

{{matlab|codigo=
h = 1/10;
x1 = 0:h:2;
y1 = 0:h:3;
[x2, y2] = meshgrid(x1, y1);
f = @(x) min(3, (3/2) * (2 - x));
Region = (y2 <= f(x2));
z2 = zeros(size(x2));
x2(~Region) = NaN;
y2(~Region) = NaN;
% Campo de desplazamientos u(x, y)
ux = (2 * (2 - x2) .* y2) / 50; % Componente x
uy = -y2 / 50; % Componente y
scale = 1.5; % Factor de escalado reducido
figure;
hold on;
mesh(x2, y2, z2, 'EdgeColor', [0.8 0.8 0.8], 'FaceAlpha', 0.2);
quiver3(x2, y2, z2, ux, uy, zeros(size(ux)), scale, 'k'); % Flechas de desplazamiento
axis equal;
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
title('Mallado de la Superficie y Campo de Desplazamientos');
view(3); % Vista 3D
grid on;
hold off;

}}
== Desplazamiento de la placa plana==

== Divergencia del Vector U==

== Rotacional==

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la malla
h = 1/10; % Paso del muestreo
x = 0:h:2; % Rango de x de 0 a 2
y = 0:h:3; % Rango de y de 0 a 3

% Generación de la malla
[Mx, My] = meshgrid(x, y); % Malla para (x, y)

% Componentes del rotacional
Rui = 0 * My; % Componente x del rotacional (cero)
Ruj = 0 * My; % Componente y del rotacional (cero)
Ruk = -2 * (2 - Mx) / 50; % Componente z del rotacional

% Graficar el rotacional
quiver3(Mx, My, 0 * My, Rui, Ruj, Ruk); % Gráfico de vectores
axis equal; % Escalas iguales
axis([-0.5, 2.5, -0.5, 3.5, -0.1, 0.1]); % Límites de los ejes
title('Rotacional del campo vectorial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
colormap jet;

}}

== Campo de Fuerzas Causantes del Desplazamiento==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Flujo de Couette en planos paralelos horizontales. 34A

2023-12-14T17:29:08Z

Jose Luis Lema Paguay:

{{ TrabajoED | Flujo de Coutte(Flujo de un fluido incomprensible). Grupo 34-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Julia Roquero Arregui, Eduardo Lopez Reyes, Jose Luis Lema, Lorenzo Perez Guerrero}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

En este articulo empezaremos explicando un poco del flujo de Coutte

==INTRODUCCION: FLUJO DE COUETTE.==

En nuestro trabajo vamos a realizar un estudio del '''Flujo de Couette'''. Para ello es imprescindible saber en qué consiste este fenómeno y las aplicaciones que tiene en nuestras vidas. El Flujo de Couette es un tipo de flujo en el que un fluido incompresible se desplaza entre dos planos paralelos e infinitos separados a una distancia determinada. Uno de los planos se encuentra en reposo, y el otro es el que induce el flujo al moverse en una dirección j (eje y), paralelamente a sí misma, con una velocidad constante <math>v\vec{j}</math>, y sin existir un gradiente de presión reducida. Este suceso nos proporciona datos imprescindibles para poder entender los patrones de flujo y la dinámica de fluidos.

Para poder analizar el comportamiento del fluido, utilizaremos como herramienta auxiliar MATLAB, plataforma de programación y calculo numérico que nos permitirá visualizar dicho comportamiento en forma de graficas.

==SUPERFICIE DE ESTUDIO==

En esta investigación nos vamos a centrar en la siguiente '''superficie de estudio''':

Trabajaremos con un rectángulo de dominio [0, 8] × [0, 1], al trabajar en un plano x=0, el plano queda proyectado sobre la recta z=1 y el inferior sobre la recta z=0. Esto nos indica que al trabajar en coordenadas cartesianas (y,z), la coordenada y quedara en el intervalo definido por el dominio [0,8] y la coordenada z quedara en [0,1].

Ademas definiremos los ejes de la región [0, 8] × [−1, 2].

Usando un paso de 0.7 para mayor claridad de representacion, dibujamos nuestra superficie mediante el programa MATLAB usando en siguiente código:

{{matlab|codigo=
y=0:0.07:8;
z=0:0.07:1;
[yy,zz]=meshgrid(y,z);
figure(1);
h=mesh (yy,zz,0*yy);
set(h, 'EdgeColor', 'g',
('LineWidth', 0.7);
rectangle('Position', [min(y),
min(z), max(y)-min(y), max(z)-
min(z)], 'EdgeColor', 'K',
'LineWidth', 1);
grid on [0,8] * [-1, 2]%
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:mallado34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

==ECUACION DE NAVIER-STOKES.==

La ecuación de Navier-Stokes es una ecuación fundamental en la mecánica de fluidos. Describe el movimiento de los fluidos “reales” (liquido o gases). Gracias a esta ecuación podemos modelar fenómenos como el flujo del agua en ríos, corrientes oceánicas, el clima, el comportamiento de la atmosfera, vuelos de aviones y otros muchos sistemas en los que se implican los fluidos.
A continuación, vamos a mostrar que el fluido, sujeto a un campo de velocidad y un campo de presión, cumple con la ecuación Navier-Stokes. Al cumplir con ello, verificaríamos que el fluido es incomprensible. Un fluido incomprensible es cualquier fluido cuya densidad permanece constante con el tiempo, ni su masa ni su volumen pueden cambiar.

La ecuación Navier-Stokes es:

<math>\begin{equation}(u \cdot \nabla)u + \nabla p = \mu \nabla^2u \quad \longleftrightarrow \quad (u \cdot \nabla)u + \nabla p = \mu \Delta u\end{equation}</math>

Siendo:
* u=campo de velocidad del fluido.
* p=presión en el fluido.
* μ=coeficiente de viscosidad del fluido.

La velocidad de las partículas del fluido dada: u(y, z)=f(z)j siendo j el vector unitario dirección y

Presión dada: <math>p(x, y, z) = p_1 + (p_2 - p_1)(y - 1)</math>

Donde:
* p1=presion en los puntos y=1
* p2=presion en los puntos y=2

<math>(u \cdot \nabla)u = u_j \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right) \mathbf{e}_i</math>

<math>\Delta \mathbf{u} = u_i \mathbf{e}_i</math>

<math>\mathbf{u} = u_i \mathbf{e}_i</math>

Desarrollamos término a término nuestra ecuación:

1) <center><math>\displaystyle
\begin{align*}
(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} &=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z}
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2
\end{pmatrix}
\end{align*}</math></center>

Para nuestro campo será:

<math>\begin{bmatrix}
\frac{\partial f(z)}{\partial y} & \frac{\partial f(z)}{\partial z} \\
\frac{\partial 0}{\partial y} & \frac{\partial 0}{\partial z}
\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}
f(z) \\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 & f'(z) \\
0 & 0
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
f(z) \\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 \\
0
\end{bmatrix}</math>

Calculamos el gradiente del campo de presiones:

2) <math>\nabla P = \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial z}</math>
siendo p (x, y, z) = p1 + (p2 − p1)(y − 1) = 2p1-p2+p2y-p1y

<math>\nabla P = \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial z}</math> =p2-p1

El laplaciano en coordenadas cartesianas se reduce a realizar las derivadas parciales de la función dos veces:

3) <math>\Delta \mathbf{u} = \nabla (\nabla \mathbf{u})</math>

Por lo tanto,

<math>\Delta \mathbf{u} = \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{i}^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{j}^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{k}^2} = f''(z) \mathbf{j}</math>

Sustituimos estos tres términos obtenidos en la ecuación de Navier-Stokes:

<math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ (p_2 - p_1)\mathbf{j} = \mu \begin{bmatrix} f''(z) \\ 0 \end{bmatrix}</math>

<math> f''(z)= \frac{(p_2-p_1)}{μ}\vec{j} </math>

El f(z) resultante será nuestro campo de velocidad ante el cual se somete nuestro fluido.
Integramos para hallar f (z):

<math>f''(z) = \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}}</math>

<math>f'(z) = \int f''(z) \, dz = \frac{p_2 - p_1}{\mu} z \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}}</math>

<math>f(z) = \int f'(z) \, dz = \frac{z^2}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 z \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_2 \bar{\mathbf{j}}</math>

Las constantes que nos aparecen al integrar las podremos sacar de las condiciones de contorno que presenta nuestro fluido:

Para z=0 <math>\longrightarrow</math> f(z)=vj ̅

Por lo que <math>f(z=0) = 0\bar{\mathbf{j}} + 0\bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_2\bar{\mathbf{j}} = v\bar{\mathbf{j}}</math>

<math>\text{cte}_2 = v\bar{\mathbf{j}}</math>

Para z=1 <math>\longrightarrow</math> f(z)=0

Por lo que <math>f(z=1) = \frac{1}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}} + v\bar{\mathbf{j}} = 0</math>

<math>\text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}} = -v\bar{\mathbf{j}} - \frac{1}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}}</math>

El campo de velocidades queda:
<math>\boxed{\mathbf{f(z) = \frac{(z^2 - z)}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + v(1 - z) \bar{\mathbf{j}}}}</math>

==REPRESENTACION DEL CAMPO DE VELOCIDADES Y CAMPO DE PRESIONES==
Para calcular el '''campo de velocidades''' y poder representarlo gráficamente hemos usado los valores p1=1,p2=2,v=1,μ= 1

<center>
<math>\displaystyle \mathbf{u} = \frac{(z^2 - z)}{2} \cdot \frac{(2 - 1)}{1} \bar{\mathbf{j}} + 1(1 - z) \bar{\mathbf{j}}</math>

<math>\displaystyle \mathbf{u} = \frac{(z^2 - z)}{2} \bar{\mathbf{j}} + (1 - z) \bar{\mathbf{j}} = \frac{(z^2 - 3z + 2)}{2} \bar{\mathbf{j}}</math>
</center>

<center><math>\displaystyle \boxed{\mathbf{u} = \frac{(z^2 - 3z + 2)}{2} \bar{\mathbf{j}}}</math></center>

Acudimos a Matlab para su representación:
{{matlab|codigo=
%Definimos mallado
[Y,Z] = meshgrid([0:0.30:8],[0:0.1:1]);
%Definimos uy y uz
uy=inline('((z.^2-3*z+2))./(2)','y','z');
uz=inline('0.*y','y','z');
%Calculamos U y V segun las funciones y el mallado
U=uy(Y,Z);
V=uz(Y,Z);
%Fijamos limites
axis([0,8,-1,2]);
%Ajustamos flechas
quiver(Y,Z,U,V);}}

[[Archivo:campodevelocidad34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades]]

Por otra parte, para el '''campo de presiones''', Simplemente sustituimos nuestros valores particularizados en la función de presiones: p1=1, p2=2

<center>
<math>\displaystyle p(x, y, z) = p_1 + (p_2 - p_1)(y - 1) = 1 + (2 - 1)(y - 1) = 1 + y - 1 = y</math>

'''<math>\displaystyle \boxed{p(x, y, z) = y}</math>'''
</center>

Nos sale una función que depende sólo de y. Representando el campo de presiones en Matlab con el siguiente código:

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
f=Y;
surf(Y,Z,f);
view(2);
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:campodepresiones34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presiones]]

==LINEAS DE CORRIENTE==
Buscamos las '''<math>\underline{\textbf{líneas de corriente}}</math>''' en el campo de velocidades u(y,z) = f(z)j , es decir, las líneas que son tangentes al campo u en cada punto.
Para ello, calculamos el campo v, que es ortogonal al campo vectorial u, tomando v = i×u. (i es vector unitario).

v= i×u = f(z)k

Teniendo en cuenta que v es irrotacional, es decir, que su rotacional es cero ∇×v=0, y que el potencial escalar ψ, tal que v=∇ψ, se puede expresar ∇×v=0. En este caso ∇×v= ∇×(i×u)=0. Se puede comprobar al realizar el rotacional:

<big><math>
\begin{array}{@{}l@{}}
\nabla\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & 0 & f(z) \end{vmatrix}
\end{array}
</math></big>

Donde la derivada parcial respecto a $y$ de $f(z)$, al depender solo de $z$, es $0$. Con esto se comprueba que es irrotacional.

Calculamos la función potencial ψ(y,z):

Según la definición:

<center> <math> \vec{v}=\nabla \psi (y,z)
\ v_1=\frac{\partial \psi }{\partial y} \ {,} \ \ v_2 =\frac{\partial \psi}{\partial z} </math></center>

Sabemos que f(z) depende sólo de z, así que el diferencial parcial respecto y será 0.

Calculamos el potencial escalar integrando v respecto z:

<math>\psi = \int \vec{v} \cdot dz = \int \left( \frac{z^2 - z}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} + v(1 - z) \right) dz = \frac{2z^3 - 3z^2}{12} \frac{p_2 - p_1}{\mu} - v\left(\frac{z^2 - 2z}{2}\right) + \text{cte}</math>

La constante la podemos sacar de las condiciones de contorno, como sabemos que en z=1 la velocidad es cero, la corriente en z=1 debe ser cero también:

<math>\psi(z=1) = 0 = \frac{2 \cdot 1^3 - 3 \cdot 1^2}{12} \frac{p_2 - p_1}{\mu} - v\left(\frac{1^2 - 2 \cdot 1}{2}\right) + \text{cte}</math>

<math>\text{cte} = -\frac{v}{2} + \frac{p_2 - p_1}{12\mu}</math>

Por lo que ψ queda como:

<math>\psi = \frac{z^3}{6} - \frac{3z^2}{4} + z - \frac{v}{2} + \frac{p_2 - p_1}{12\mu}</math>

Particularizando con p_1=1, p_2=2,v=1 y µ=1 queda:

'''<math>\boxed{\boldsymbol{\psi = \frac{z^3}{6} - \frac{3z^2}{4} + z - \frac{5}{12}}}</math>'''

La constante, o sea –(5/12), resulta ser la corriente en z=0 cuando está particularizado.

Dibujamos las líneas de corriente en Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.01:8;
z=0:0.01:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
psi=(((Z.^3)./6)-((3/4).*(Z.^2))+Z-(5/12));
contour(Y,Z,psi);
axis([0,8,-1,2]);
title('Líneas de corriente');
colorbar;}}

[[Archivo:corriente34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Lineas de Corriente]]

Gráficamente es sencillo de verificar que las líneas de corriente son paralelas al campo de velocidades en cada punto, justificando que son las líneas de corriente de nuestro campo u.

==VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO==

Para encontrar los puntos donde el módulo de la velocidad del flujo es '''<math>\underline{\textbf{máximo}}</math>''' hemos de igualar a 0 la primera derivada de f(z):

<math>f(z) = \frac{z^2 - z}{2} \bar{j} + (1 - z) \bar{j}</math>

<math>f'(z) = z - \frac{1}{2} \bar{j} - \bar{j} = z - \frac{3}{2} \bar{j}</math>

<math>f'(z) = z - \frac{3}{2} \bar{j}</math>

<math>f'(z) = 0</math>

<math>f'(z) = z - \frac{3}{2} \bar{j} = 0</math>

'''<math>\boxed{z = \frac{3}{2} \bar{j}}</math>'''

Resulta que nuestro campo de velocidades tiene como función una parábola que tiene un extremo mínimo y no un extremo máximo. En z=3/2 la velocidad es -1/8 y luego en z=2 vuelve a ser 0. Se trata de una '''parábola con concavidad positiva'''.

Además 3/2 se encuentra fuera del dominio de nuestra función, dentro del dominio la z en la que la velocidad es máxima resulta ser z=0, con velocidad v, 1 si particularizamos a v=1.

Gráficamente se ve muy bien:

[[Archivo:parabola34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|direccion]]

Las líneas rojas marcan los planos inferior y superior. El punto morado es el mínimo absoluto de la función

==ROTACIONAL DEL CAMPO U==
El ''''''rotacional'''''' de un campo vectorial muestra la tendencia de dicho campo a inducir rotación alrededor de un punto. A continuación, vamos a calcular el rotacional de nuestro campo u y a analizar su aspecto.

Calculamos el rotacional de u (∇ × u)

'''<math>\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}</math>'''

Con nuestro campo u= f(z)j, siendo f(z)

'''<math>f(z) = \frac{z^2 - z}{2} \bar{j} + (1 - z) \bar{j}</math>'''

Primero hemos de calcular el determinante:

'''<math>\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}</math>'''

'''<math>\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
0 & \frac{z^2 - 3z + 2}{2} & 0
\end{vmatrix}</math>'''

Calculamos derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_y}{\partial z} = -\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z^2 - 3z + 2}{2}\right) \mathbf{\Im} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}</math>

El rotacional calculado es:

<math>\nabla \times \mathbf{u} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}</math>

Para poder analizar su aspecto dibujamos el campo |∇ × u| en Matlab:

{{matlab|codigo=
%vector y con rango de 0 a 8
y=0:0.1:8;
%vector z con rango de 0 a 1
z=0:0.1:1;
%creamos el mallado según los vectores y y z
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
%calculamos diferencia absoluta entre z y 1/2,
rotacion=abs(-Z+3/2);
%representamos tridimensionalmente la superficie
surf(Y,Z,rotacion)
%limitamos los ejes
axis([0,8,-1,2])
%representacion con vista 2D
view(2)}}

[[Archivo:rotacional34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

El rotacional que nos ha dado resultado es

<math>\nabla \times \mathbf{u} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}</math>

El campo vectorial tiene una componente en la dirección positiva de y de 3/2 en la cual la rotación es máxima.
Al analizar el campo vectorial original u, es proporcional a z^2-3z+2. Este término cuadrático plantea que el campo tiene un comportamiento parabólico con vertice.que alcanza su máximo en z=3/2. Esto es consistente con la interpretación geométrica de la rotación.

<math>z^2 - 3z + 2 = 0</math>

<math>z = \frac{3}{2}</math>

Por lo que el resultado es razonable, la mayor rotación ocurre en la dirección positiva del eje y y está asociada con la coordenada z=3/2, que es el vértice de la parábola que define el campo vectorial en z.

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Para poder estudiar el ''''''campo de temperaturas'''''' con respecto al Flujo de Couette nos ponemos en situación hipotetica:

Sometemos a nuestro fluido a una temperatura dada por el siguiente campo:

<math>T(\rho, \theta) = \log(1 + \rho) \cos^2(\theta)</math>

Para realizar más fácilmente este supuesto lo primero que haremos será pasar de coordenadas polares a coordenadas cartesianas:

<math>
\begin{align*}
x(\rho, \theta) &= \rho \cos(\theta) \\
y(\rho, \theta) &= \rho \sin(\theta)
\end{align*}
</math>

<math>
\begin{align*}
\rho &= \sqrt{x^2 + y^2} \\
\theta &= \arctan\left(\frac{y}{x}\right)
\end{align*}
</math>

Como nuestros ejes son {j⃗ ,k⃗ }

<math>
\begin{align*}
y(\rho, \theta) &= \rho \cos(\theta) \\
z(\rho, \theta) &= \rho \sin(\theta) \\
\rho &= \sqrt{y^2 + z^2} \\
\theta &= \arctan\left(\frac{z}{y}\right)
\end{align*}
</math>

Sustituimos en T (ρ, θ) para obtener el campo en cartesianas T(y,z):

<math>T(y,z) = \log\left(1 + \sqrt{y^2 + z^2}\cos^2\left(\arctan\left(\frac{z}{y}\right)\right)\right)</math>

<math>T(y,z) = \log\left(1 + \sqrt{y^2 + z^2}\right) \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{z}{y}\right)^2}</math>

<math>\fbox{$T(y,z) = \log(1 + \sqrt{y^2 + z^2}) \cdot \frac{y^2}{y^2 + z^2}$}</math>

Con las coordenadas cambiadas será mucho más fácil representar el campo gráficamente con Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=log(1+(sqrt(Y.^2+Z.^2))).*((Y.^2)./((Y.^2)+(Z.^2)));
pcolor(Y,Z,p);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar
figure(2)
contour(Y,Z,p,10,'k');
grid on
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:temperatura34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Temperaturas]]

== GRADIENTE DE LA TEMPERATURA==
El ''''''gradiente de la temperatura'''''' describe como cambia la temperatura en un punto dado en relación con las direcciones espaciales.

Para que la representación gráfica del gradiente sea mas fácil de trabajar hemos decidido trabajar con coordenadas cilíndricas:

$T = \ln(1 + \rho) \cos^2(\theta)$

El gradiente en coordenadas cilíndricas sigue la siguiente fórmula:

$\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \mathbf{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} \mathbf{e}_{\theta} + \frac{\partial T}{\partial z} \mathbf{e}_z$

Donde vemos la particularidad de que hay que dividir entre ρ la parcial respecto θ.

$\frac{\partial T}{\partial \rho} \mathbf{e}_{\rho} = \frac{\cos^2(\theta)}{1 + \rho}$

$\frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} \mathbf{e}_{\theta} = -\frac{2 \ln(1 + \rho) \cos(\theta) \sin(\theta)}{\rho}$

Representamos el gradiente en Matlab con el siguiente código:

{{matlab|codigo=
y=-5:0.1:5;
z=-1:0.1:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
Ro=sqrt(Y.^2+Z.^2);
Theta=atan(Z./(Y));
T=log(1+Ro).*cos(Theta).^2;
G1=((cos(Theta).^2).*(1./(Ro+1)));
G2=((1./Ro).*((-2).*log(Ro+1).*cos(Theta).*sin(Theta)));
figure
hold on
grid on
title(‘Gradiente de temperatura’)
quiver(Y,Z,G1,G2)
contour(Y,Z,T,'k')
axis([-5,5,-2,2])
hold off}}

[[Archivo:gradiente34 .png|400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente de Temperatura]]

==CAUDAL==

EL caudal de un rio es la cantidad e agua que fluye por unidad de tiempo a través de un punto específico en el río. Para poder calcular este caudal vamos a trabajar con la integral de superficie. Esta fórmula se utiliza para calcular el caudal total a lo largo de toda la sección transversal del río. Vamos a establecer profunidad de 1 metro por unidad de tiempo.

Integral de Superficie
<math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}</math>
-Campo de velocidades calculado en el apartado 3:
<math>\boxed(\mathbf{u}(\mathbf{y,z}) = \frac{{z^2 - 3z + 2}}{2} \overline{\mathbf{j}})</math>
Velocidad en m/s

Profundidad caudal: 1 metro

Tenemos que parametrizar la superficie S sobre la que vamos a trabajar. Dado que estamos trabajando en un rectángulo de dominio [0, 8] × [0, 1], parametrizamos la superficie S usando los parámetros u y v.

$\overline{r}(u,v) = \begin{bmatrix} x(u,v) \\ y(u,v) \\ z(u,v) \end{bmatrix}$
teniendo en cuenta que trabajamos en el plano x=0, tomamos:

$\overline{r}(u,v) = \begin{bmatrix} 0 \\ 8u \\ v \end{bmatrix}$

Estando u, es decir y, en el intervalo [0,-1] y v (z) en [0,1].

---Profundidad caudal (z), entre -1 y 1:--
$\frac{d\vec{s}}{} = \frac{\partial\vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial\vec{r}}{\partial v} \, du \, dv$

$\frac{d\vec{r}}{du} = \begin{bmatrix} 0 \\ 8 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\frac{d\vec{r}}{dv} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\frac{d\vec{s}}{} = \frac{\partial\vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial\vec{r}}{\partial v} $

$\vec{r}_u \times \vec{r}_v = \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right| = 8\mathbf{i}$

Definimos el Flujo
$ Q = \int \int \vec{u} \, d\vec{S} \, du \, dv $

<math>(\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \frac{{v^2 - 3v + 2}}{2} \cdot 8 \, du \, dv \</math>

$\int_S \vec{v} \, d\vec{S} = \int_S \bar{u}|\vec{r}_u \times \vec{r}_v|$

---PROCEDEMOS AL CALCULO--

$\int_S \vec{v} \, d\vec{S} = \int_S \bar{u}|\vec{r}_u \times \vec{r}_v|$

<math>\$\int_{-1}^0 \int_0^1 \frac{{z^2-3z+2}}{2} \cdot 8 \, dz \, dx$</math>

$\int_{-1}^0 \frac{1}{2} \left(\frac{z^2}{4} - \frac{3z^2}{2} + 2z\right) \, dz$

$\int_{-1}^0 \left[\frac{z^4}{8} - \frac{3z^2}{4} + z\right] \, dx$
Despues reemplazamos el Valor de Z:
$\int_{-1}^0 \left(\frac{1}{8} - \frac{3}{4} + 1\right) \, dx$

Resolvemos las fracciones de adentro

$\int_{-1}^0 \frac{3}{8} \, dx$

Proseguimos con el calculo de la integral

<math>[\left[\frac{3}{8}x\right]_{-1}^0]</math>

y el resultado final es:
<math>[= -\frac{3}{8} = \frac{3}{8} = 0.375 \, \text{m}^2/\text{s}]</math>

Flujo de Couette en planos paralelos horizontales. 34A

2023-12-14T17:23:35Z

Jose Luis Lema Paguay: /* CAUDAL */

{{ TrabajoED | Flujo de Coutte(Flujo de un fluido incomprensible). Grupo 34-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Julia Roquero Arregui, Eduardo Lopez Reyes, Jose Luis Lema, Lorenzo Perez Guerrero}}
En este articulo empezaremos explicando un poco del flujo de Coutte

==INTRODUCCION: FLUJO DE COUETTE.==

En nuestro trabajo vamos a realizar un estudio del '''Flujo de Couette'''. Para ello es imprescindible saber en qué consiste este fenómeno y las aplicaciones que tiene en nuestras vidas. El Flujo de Couette es un tipo de flujo en el que un fluido incompresible se desplaza entre dos planos paralelos e infinitos separados a una distancia determinada. Uno de los planos se encuentra en reposo, y el otro es el que induce el flujo al moverse en una dirección j (eje y), paralelamente a sí misma, con una velocidad constante <math>v\vec{j}</math>, y sin existir un gradiente de presión reducida. Este suceso nos proporciona datos imprescindibles para poder entender los patrones de flujo y la dinámica de fluidos.

Para poder analizar el comportamiento del fluido, utilizaremos como herramienta auxiliar MATLAB, plataforma de programación y calculo numérico que nos permitirá visualizar dicho comportamiento en forma de graficas.

==SUPERFICIE DE ESTUDIO==

En esta investigación nos vamos a centrar en la siguiente '''superficie de estudio''':

Trabajaremos con un rectángulo de dominio [0, 8] × [0, 1], al trabajar en un plano x=0, el plano queda proyectado sobre la recta z=1 y el inferior sobre la recta z=0. Esto nos indica que al trabajar en coordenadas cartesianas (y,z), la coordenada y quedara en el intervalo definido por el dominio [0,8] y la coordenada z quedara en [0,1].

Ademas definiremos los ejes de la región [0, 8] × [−1, 2].

Usando un paso de 0.7 para mayor claridad de representacion, dibujamos nuestra superficie mediante el programa MATLAB usando en siguiente código:

{{matlab|codigo=
y=0:0.07:8;
z=0:0.07:1;
[yy,zz]=meshgrid(y,z);
figure(1);
h=mesh (yy,zz,0*yy);
set(h, 'EdgeColor', 'g',
('LineWidth', 0.7);
rectangle('Position', [min(y),
min(z), max(y)-min(y), max(z)-
min(z)], 'EdgeColor', 'K',
'LineWidth', 1);
grid on [0,8] * [-1, 2]%
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:mallado34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

==ECUACION DE NAVIER-STOKES.==

La ecuación de Navier-Stokes es una ecuación fundamental en la mecánica de fluidos. Describe el movimiento de los fluidos “reales” (liquido o gases). Gracias a esta ecuación podemos modelar fenómenos como el flujo del agua en ríos, corrientes oceánicas, el clima, el comportamiento de la atmosfera, vuelos de aviones y otros muchos sistemas en los que se implican los fluidos.
A continuación, vamos a mostrar que el fluido, sujeto a un campo de velocidad y un campo de presión, cumple con la ecuación Navier-Stokes. Al cumplir con ello, verificaríamos que el fluido es incomprensible. Un fluido incomprensible es cualquier fluido cuya densidad permanece constante con el tiempo, ni su masa ni su volumen pueden cambiar.

La ecuación Navier-Stokes es:

<math>\begin{equation}(u \cdot \nabla)u + \nabla p = \mu \nabla^2u \quad \longleftrightarrow \quad (u \cdot \nabla)u + \nabla p = \mu \Delta u\end{equation}</math>

Siendo:
* u=campo de velocidad del fluido.
* p=presión en el fluido.
* μ=coeficiente de viscosidad del fluido.

La velocidad de las partículas del fluido dada: u(y, z)=f(z)j siendo j el vector unitario dirección y

Presión dada: <math>p(x, y, z) = p_1 + (p_2 - p_1)(y - 1)</math>

Donde:
* p1=presion en los puntos y=1
* p2=presion en los puntos y=2

<math>(u \cdot \nabla)u = u_j \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right) \mathbf{e}_i</math>

<math>\Delta \mathbf{u} = u_i \mathbf{e}_i</math>

<math>\mathbf{u} = u_i \mathbf{e}_i</math>

Desarrollamos término a término nuestra ecuación:

1) <center><math>\displaystyle
\begin{align*}
(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} &=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z}
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2
\end{pmatrix}
\end{align*}</math></center>

Para nuestro campo será:

<math>\begin{bmatrix}
\frac{\partial f(z)}{\partial y} & \frac{\partial f(z)}{\partial z} \\
\frac{\partial 0}{\partial y} & \frac{\partial 0}{\partial z}
\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}
f(z) \\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 & f'(z) \\
0 & 0
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
f(z) \\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 \\
0
\end{bmatrix}</math>

Calculamos el gradiente del campo de presiones:

2) <math>\nabla P = \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial z}</math>
siendo p (x, y, z) = p1 + (p2 − p1)(y − 1) = 2p1-p2+p2y-p1y

<math>\nabla P = \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial z}</math> =p2-p1

El laplaciano en coordenadas cartesianas se reduce a realizar las derivadas parciales de la función dos veces:

3) <math>\Delta \mathbf{u} = \nabla (\nabla \mathbf{u})</math>

Por lo tanto,

<math>\Delta \mathbf{u} = \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{i}^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{j}^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{k}^2} = f''(z) \mathbf{j}</math>

Sustituimos estos tres términos obtenidos en la ecuación de Navier-Stokes:

<math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ (p_2 - p_1)\mathbf{j} = \mu \begin{bmatrix} f''(z) \\ 0 \end{bmatrix}</math>

<math> f''(z)= \frac{(p_2-p_1)}{μ}\vec{j} </math>

El f(z) resultante será nuestro campo de velocidad ante el cual se somete nuestro fluido.
Integramos para hallar f (z):

<math>f''(z) = \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}}</math>

<math>f'(z) = \int f''(z) \, dz = \frac{p_2 - p_1}{\mu} z \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}}</math>

<math>f(z) = \int f'(z) \, dz = \frac{z^2}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 z \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_2 \bar{\mathbf{j}}</math>

Las constantes que nos aparecen al integrar las podremos sacar de las condiciones de contorno que presenta nuestro fluido:

Para z=0 <math>\longrightarrow</math> f(z)=vj ̅

Por lo que <math>f(z=0) = 0\bar{\mathbf{j}} + 0\bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_2\bar{\mathbf{j}} = v\bar{\mathbf{j}}</math>

<math>\text{cte}_2 = v\bar{\mathbf{j}}</math>

Para z=1 <math>\longrightarrow</math> f(z)=0

Por lo que <math>f(z=1) = \frac{1}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}} + v\bar{\mathbf{j}} = 0</math>

<math>\text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}} = -v\bar{\mathbf{j}} - \frac{1}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}}</math>

El campo de velocidades queda:
<math>\boxed{\mathbf{f(z) = \frac{(z^2 - z)}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + v(1 - z) \bar{\mathbf{j}}}}</math>

==REPRESENTACION DEL CAMPO DE VELOCIDADES Y CAMPO DE PRESIONES==
Para calcular el '''campo de velocidades''' y poder representarlo gráficamente hemos usado los valores p1=1,p2=2,v=1,μ= 1

<center>
<math>\displaystyle \mathbf{u} = \frac{(z^2 - z)}{2} \cdot \frac{(2 - 1)}{1} \bar{\mathbf{j}} + 1(1 - z) \bar{\mathbf{j}}</math>

<math>\displaystyle \mathbf{u} = \frac{(z^2 - z)}{2} \bar{\mathbf{j}} + (1 - z) \bar{\mathbf{j}} = \frac{(z^2 - 3z + 2)}{2} \bar{\mathbf{j}}</math>
</center>

<center><math>\displaystyle \boxed{\mathbf{u} = \frac{(z^2 - 3z + 2)}{2} \bar{\mathbf{j}}}</math></center>

Acudimos a Matlab para su representación:
{{matlab|codigo=
%Definimos mallado
[Y,Z] = meshgrid([0:0.30:8],[0:0.1:1]);
%Definimos uy y uz
uy=inline('((z.^2-3*z+2))./(2)','y','z');
uz=inline('0.*y','y','z');
%Calculamos U y V segun las funciones y el mallado
U=uy(Y,Z);
V=uz(Y,Z);
%Fijamos limites
axis([0,8,-1,2]);
%Ajustamos flechas
quiver(Y,Z,U,V);}}

[[Archivo:campodevelocidad34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades]]

Por otra parte, para el '''campo de presiones''', Simplemente sustituimos nuestros valores particularizados en la función de presiones: p1=1, p2=2

<center>
<math>\displaystyle p(x, y, z) = p_1 + (p_2 - p_1)(y - 1) = 1 + (2 - 1)(y - 1) = 1 + y - 1 = y</math>

'''<math>\displaystyle \boxed{p(x, y, z) = y}</math>'''
</center>

Nos sale una función que depende sólo de y. Representando el campo de presiones en Matlab con el siguiente código:

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
f=Y;
surf(Y,Z,f);
view(2);
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:campodepresiones34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presiones]]

==LINEAS DE CORRIENTE==
Buscamos las '''<math>\underline{\textbf{líneas de corriente}}</math>''' en el campo de velocidades u(y,z) = f(z)j , es decir, las líneas que son tangentes al campo u en cada punto.
Para ello, calculamos el campo v, que es ortogonal al campo vectorial u, tomando v = i×u. (i es vector unitario).

v= i×u = f(z)k

Teniendo en cuenta que v es irrotacional, es decir, que su rotacional es cero ∇×v=0, y que el potencial escalar ψ, tal que v=∇ψ, se puede expresar ∇×v=0. En este caso ∇×v= ∇×(i×u)=0. Se puede comprobar al realizar el rotacional:

<big><math>
\begin{array}{@{}l@{}}
\nabla\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & 0 & f(z) \end{vmatrix}
\end{array}
</math></big>

Donde la derivada parcial respecto a $y$ de $f(z)$, al depender solo de $z$, es $0$. Con esto se comprueba que es irrotacional.

Calculamos la función potencial ψ(y,z):

Según la definición:

<center> <math> \vec{v}=\nabla \psi (y,z)
\ v_1=\frac{\partial \psi }{\partial y} \ {,} \ \ v_2 =\frac{\partial \psi}{\partial z} </math></center>

Sabemos que f(z) depende sólo de z, así que el diferencial parcial respecto y será 0.

Calculamos el potencial escalar integrando v respecto z:

<math>\psi = \int \vec{v} \cdot dz = \int \left( \frac{z^2 - z}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} + v(1 - z) \right) dz = \frac{2z^3 - 3z^2}{12} \frac{p_2 - p_1}{\mu} - v\left(\frac{z^2 - 2z}{2}\right) + \text{cte}</math>

La constante la podemos sacar de las condiciones de contorno, como sabemos que en z=1 la velocidad es cero, la corriente en z=1 debe ser cero también:

<math>\psi(z=1) = 0 = \frac{2 \cdot 1^3 - 3 \cdot 1^2}{12} \frac{p_2 - p_1}{\mu} - v\left(\frac{1^2 - 2 \cdot 1}{2}\right) + \text{cte}</math>

<math>\text{cte} = -\frac{v}{2} + \frac{p_2 - p_1}{12\mu}</math>

Por lo que ψ queda como:

<math>\psi = \frac{z^3}{6} - \frac{3z^2}{4} + z - \frac{v}{2} + \frac{p_2 - p_1}{12\mu}</math>

Particularizando con p_1=1, p_2=2,v=1 y µ=1 queda:

'''<math>\boxed{\boldsymbol{\psi = \frac{z^3}{6} - \frac{3z^2}{4} + z - \frac{5}{12}}}</math>'''

La constante, o sea –(5/12), resulta ser la corriente en z=0 cuando está particularizado.

Dibujamos las líneas de corriente en Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.01:8;
z=0:0.01:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
psi=(((Z.^3)./6)-((3/4).*(Z.^2))+Z-(5/12));
contour(Y,Z,psi);
axis([0,8,-1,2]);
title('Líneas de corriente');
colorbar;}}

[[Archivo:corriente34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Lineas de Corriente]]

Gráficamente es sencillo de verificar que las líneas de corriente son paralelas al campo de velocidades en cada punto, justificando que son las líneas de corriente de nuestro campo u.

==VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO==

Para encontrar los puntos donde el módulo de la velocidad del flujo es '''<math>\underline{\textbf{máximo}}</math>''' hemos de igualar a 0 la primera derivada de f(z):

<math>f(z) = \frac{z^2 - z}{2} \bar{j} + (1 - z) \bar{j}</math>

<math>f'(z) = z - \frac{1}{2} \bar{j} - \bar{j} = z - \frac{3}{2} \bar{j}</math>

<math>f'(z) = z - \frac{3}{2} \bar{j}</math>

<math>f'(z) = 0</math>

<math>f'(z) = z - \frac{3}{2} \bar{j} = 0</math>

'''<math>\boxed{z = \frac{3}{2} \bar{j}}</math>'''

Resulta que nuestro campo de velocidades tiene como función una parábola que tiene un extremo mínimo y no un extremo máximo. En z=3/2 la velocidad es -1/8 y luego en z=2 vuelve a ser 0. Se trata de una '''parábola con concavidad positiva'''.

Además 3/2 se encuentra fuera del dominio de nuestra función, dentro del dominio la z en la que la velocidad es máxima resulta ser z=0, con velocidad v, 1 si particularizamos a v=1.

Gráficamente se ve muy bien:

[[Archivo:parabola34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|direccion]]

Las líneas rojas marcan los planos inferior y superior. El punto morado es el mínimo absoluto de la función

==ROTACIONAL DEL CAMPO U==
El ''''''rotacional'''''' de un campo vectorial muestra la tendencia de dicho campo a inducir rotación alrededor de un punto. A continuación, vamos a calcular el rotacional de nuestro campo u y a analizar su aspecto.

Calculamos el rotacional de u (∇ × u)

'''<math>\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}</math>'''

Con nuestro campo u= f(z)j, siendo f(z)

'''<math>f(z) = \frac{z^2 - z}{2} \bar{j} + (1 - z) \bar{j}</math>'''

Primero hemos de calcular el determinante:

'''<math>\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}</math>'''

'''<math>\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
0 & \frac{z^2 - 3z + 2}{2} & 0
\end{vmatrix}</math>'''

Calculamos derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_y}{\partial z} = -\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z^2 - 3z + 2}{2}\right) \mathbf{\Im} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}</math>

El rotacional calculado es:

<math>\nabla \times \mathbf{u} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}</math>

Para poder analizar su aspecto dibujamos el campo |∇ × u| en Matlab:

{{matlab|codigo=
%vector y con rango de 0 a 8
y=0:0.1:8;
%vector z con rango de 0 a 1
z=0:0.1:1;
%creamos el mallado según los vectores y y z
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
%calculamos diferencia absoluta entre z y 1/2,
rotacion=abs(-Z+3/2);
%representamos tridimensionalmente la superficie
surf(Y,Z,rotacion)
%limitamos los ejes
axis([0,8,-1,2])
%representacion con vista 2D
view(2)}}

[[Archivo:rotacional34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

El rotacional que nos ha dado resultado es

<math>\nabla \times \mathbf{u} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}</math>

El campo vectorial tiene una componente en la dirección positiva de y de 3/2 en la cual la rotación es máxima.
Al analizar el campo vectorial original u, es proporcional a z^2-3z+2. Este término cuadrático plantea que el campo tiene un comportamiento parabólico con vertice.que alcanza su máximo en z=3/2. Esto es consistente con la interpretación geométrica de la rotación.

<math>z^2 - 3z + 2 = 0</math>

<math>z = \frac{3}{2}</math>

Por lo que el resultado es razonable, la mayor rotación ocurre en la dirección positiva del eje y y está asociada con la coordenada z=3/2, que es el vértice de la parábola que define el campo vectorial en z.

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Para poder estudiar el ''''''campo de temperaturas'''''' con respecto al Flujo de Couette nos ponemos en situación hipotetica:

Sometemos a nuestro fluido a una temperatura dada por el siguiente campo:

<math>T(\rho, \theta) = \log(1 + \rho) \cos^2(\theta)</math>

Para realizar más fácilmente este supuesto lo primero que haremos será pasar de coordenadas polares a coordenadas cartesianas:

<math>
\begin{align*}
x(\rho, \theta) &= \rho \cos(\theta) \\
y(\rho, \theta) &= \rho \sin(\theta)
\end{align*}
</math>

<math>
\begin{align*}
\rho &= \sqrt{x^2 + y^2} \\
\theta &= \arctan\left(\frac{y}{x}\right)
\end{align*}
</math>

Como nuestros ejes son {j⃗ ,k⃗ }

<math>
\begin{align*}
y(\rho, \theta) &= \rho \cos(\theta) \\
z(\rho, \theta) &= \rho \sin(\theta) \\
\rho &= \sqrt{y^2 + z^2} \\
\theta &= \arctan\left(\frac{z}{y}\right)
\end{align*}
</math>

Sustituimos en T (ρ, θ) para obtener el campo en cartesianas T(y,z):

<math>T(y,z) = \log\left(1 + \sqrt{y^2 + z^2}\cos^2\left(\arctan\left(\frac{z}{y}\right)\right)\right)</math>

<math>T(y,z) = \log\left(1 + \sqrt{y^2 + z^2}\right) \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{z}{y}\right)^2}</math>

<math>\fbox{$T(y,z) = \log(1 + \sqrt{y^2 + z^2}) \cdot \frac{y^2}{y^2 + z^2}$}</math>

Con las coordenadas cambiadas será mucho más fácil representar el campo gráficamente con Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=log(1+(sqrt(Y.^2+Z.^2))).*((Y.^2)./((Y.^2)+(Z.^2)));
pcolor(Y,Z,p);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar
figure(2)
contour(Y,Z,p,10,'k');
grid on
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:temperatura34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Temperaturas]]

== GRADIENTE DE LA TEMPERATURA==
Para qu ela representacion grafica del gradiente sea mas facil de trabajar hemos decidido trabajar con coordenadas cilindricas:

$T = \ln(1 + \rho) \cos^2(\theta)$

El gradiente en coordenadas cilíndricas sigue la siguiente fórmula:

$\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \mathbf{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} \mathbf{e}_{\theta} + \frac{\partial T}{\partial z} \mathbf{e}_z$

Donde vemos la particularidad de que hay que dividir entre ρ la parcial respecto θ.

$\frac{\partial T}{\partial \rho} \mathbf{e}_{\rho} = \frac{\cos^2(\theta)}{1 + \rho}$

$\frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} \mathbf{e}_{\theta} = -\frac{2 \ln(1 + \rho) \cos(\theta) \sin(\theta)}{\rho}$

Representamos el gradiente en Matlab con el siguiente código:

{{matlab|codigo=
y=-5:0.1:5;
z=-1:0.1:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
Ro=sqrt(Y.^2+Z.^2);
Theta=atan(Z./(Y));
T=log(1+Ro).*cos(Theta).^2;
G1=((cos(Theta).^2).*(1./(Ro+1)));
G2=((1./Ro).*((-2).*log(Ro+1).*cos(Theta).*sin(Theta)));
figure
hold on
grid on
title(‘Gradiente de temperatura’)
quiver(Y,Z,G1,G2)
contour(Y,Z,T,'k')
axis([-5,5,-2,2])
hold off}}

[[Archivo:gradiente34 .png|400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente de Temperatura]]

==CAUDAL==

EL caudal de un rio es la cantidad e agua que fluye por unidad de tiempo a través de un punto específico en el río. Para poder calcular este caudal vamos a trabajar con la integral de superficie. Esta fórmula se utiliza para calcular el caudal total a lo largo de toda la sección transversal del río. Vamos a establecer profunidad de 1 metro por unidad de tiempo.

Integral de Superficie
<math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}</math>
-Campo de velocidades calculado en el apartado 3:
<math>\boxed(\mathbf{u}(\mathbf{y,z}) = \frac{{z^2 - 3z + 2}}{2} \overline{\mathbf{j}})</math>
Velocidad en m/s

Profundidad caudal: 1 metro

Tenemos que parametrizar la superficie S sobre la que vamos a trabajar. Dado que estamos trabajando en un rectángulo de dominio [0, 8] × [0, 1], parametrizamos la superficie S usando los parámetros u y v.

$\overline{r}(u,v) = \begin{bmatrix} x(u,v) \\ y(u,v) \\ z(u,v) \end{bmatrix}$
teniendo en cuenta que trabajamos en el plano x=0, tomamos:

$\overline{r}(u,v) = \begin{bmatrix} 0 \\ 8u \\ v \end{bmatrix}$

Estando u, es decir y, en el intervalo [0,-1] y v (z) en [0,1].

---Profundidad caudal (z), entre -1 y 1:--
$\frac{d\vec{s}}{} = \frac{\partial\vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial\vec{r}}{\partial v} \, du \, dv$

$\frac{d\vec{r}}{du} = \begin{bmatrix} 0 \\ 8 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\frac{d\vec{r}}{dv} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\frac{d\vec{s}}{} = \frac{\partial\vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial\vec{r}}{\partial v} $

$\vec{r}_u \times \vec{r}_v = \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right| = 8\mathbf{i}$

Definimos el Flujo
$ Q = \int \int \vec{u} \, d\vec{S} \, du \, dv $

<math>(\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \frac{{v^2 - 3v + 2}}{2} \cdot 8 \, du \, dv \</math>

$\int_S \vec{v} \, d\vec{S} = \int_S \bar{u}|\vec{r}_u \times \vec{r}_v|$

---PROCEDEMOS AL CALCULO--

$\int_S \vec{v} \, d\vec{S} = \int_S \bar{u}|\vec{r}_u \times \vec{r}_v|$

<math>\$\int_{-1}^0 \int_0^1 \frac{{z^2-3z+2}}{2} \cdot 8 \, dz \, dx$</math>

$\int_{-1}^0 \frac{1}{2} \left(\frac{z^2}{4} - \frac{3z^2}{2} + 2z\right) \, dz$

$\int_{-1}^0 \left[\frac{z^4}{8} - \frac{3z^2}{4} + z\right] \, dx$
Despues reemplazamos el Valor de Z:
$\int_{-1}^0 \left(\frac{1}{8} - \frac{3}{4} + 1\right) \, dx$

Resolvemos las fracciones de adentro

$\int_{-1}^0 \frac{3}{8} \, dx$

Proseguimos con el calculo de la integral

<math>[\left[\frac{3}{8}x\right]_{-1}^0]</math>

y el resultado final es:
<math>[= -\frac{3}{8} = \frac{3}{8} = 0.375 \, \text{m}^2/\text{s}]</math>

Flujo de Couette en planos paralelos horizontales. 34A

2023-12-14T17:23:12Z

Jose Luis Lema Paguay: /* CAUDAL */

{{ TrabajoED | Flujo de Coutte(Flujo de un fluido incomprensible). Grupo 34-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Julia Roquero Arregui, Eduardo Lopez Reyes, Jose Luis Lema, Lorenzo Perez Guerrero}}
En este articulo empezaremos explicando un poco del flujo de Coutte

==INTRODUCCION: FLUJO DE COUETTE.==

En nuestro trabajo vamos a realizar un estudio del '''Flujo de Couette'''. Para ello es imprescindible saber en qué consiste este fenómeno y las aplicaciones que tiene en nuestras vidas. El Flujo de Couette es un tipo de flujo en el que un fluido incompresible se desplaza entre dos planos paralelos e infinitos separados a una distancia determinada. Uno de los planos se encuentra en reposo, y el otro es el que induce el flujo al moverse en una dirección j (eje y), paralelamente a sí misma, con una velocidad constante <math>v\vec{j}</math>, y sin existir un gradiente de presión reducida. Este suceso nos proporciona datos imprescindibles para poder entender los patrones de flujo y la dinámica de fluidos.

Para poder analizar el comportamiento del fluido, utilizaremos como herramienta auxiliar MATLAB, plataforma de programación y calculo numérico que nos permitirá visualizar dicho comportamiento en forma de graficas.

==SUPERFICIE DE ESTUDIO==

En esta investigación nos vamos a centrar en la siguiente '''superficie de estudio''':

Trabajaremos con un rectángulo de dominio [0, 8] × [0, 1], al trabajar en un plano x=0, el plano queda proyectado sobre la recta z=1 y el inferior sobre la recta z=0. Esto nos indica que al trabajar en coordenadas cartesianas (y,z), la coordenada y quedara en el intervalo definido por el dominio [0,8] y la coordenada z quedara en [0,1].

Ademas definiremos los ejes de la región [0, 8] × [−1, 2].

Usando un paso de 0.7 para mayor claridad de representacion, dibujamos nuestra superficie mediante el programa MATLAB usando en siguiente código:

{{matlab|codigo=
y=0:0.07:8;
z=0:0.07:1;
[yy,zz]=meshgrid(y,z);
figure(1);
h=mesh (yy,zz,0*yy);
set(h, 'EdgeColor', 'g',
('LineWidth', 0.7);
rectangle('Position', [min(y),
min(z), max(y)-min(y), max(z)-
min(z)], 'EdgeColor', 'K',
'LineWidth', 1);
grid on [0,8] * [-1, 2]%
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:mallado34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

==ECUACION DE NAVIER-STOKES.==

La ecuación de Navier-Stokes es una ecuación fundamental en la mecánica de fluidos. Describe el movimiento de los fluidos “reales” (liquido o gases). Gracias a esta ecuación podemos modelar fenómenos como el flujo del agua en ríos, corrientes oceánicas, el clima, el comportamiento de la atmosfera, vuelos de aviones y otros muchos sistemas en los que se implican los fluidos.
A continuación, vamos a mostrar que el fluido, sujeto a un campo de velocidad y un campo de presión, cumple con la ecuación Navier-Stokes. Al cumplir con ello, verificaríamos que el fluido es incomprensible. Un fluido incomprensible es cualquier fluido cuya densidad permanece constante con el tiempo, ni su masa ni su volumen pueden cambiar.

La ecuación Navier-Stokes es:

<math>\begin{equation}(u \cdot \nabla)u + \nabla p = \mu \nabla^2u \quad \longleftrightarrow \quad (u \cdot \nabla)u + \nabla p = \mu \Delta u\end{equation}</math>

Siendo:
* u=campo de velocidad del fluido.
* p=presión en el fluido.
* μ=coeficiente de viscosidad del fluido.

La velocidad de las partículas del fluido dada: u(y, z)=f(z)j siendo j el vector unitario dirección y

Presión dada: <math>p(x, y, z) = p_1 + (p_2 - p_1)(y - 1)</math>

Donde:
* p1=presion en los puntos y=1
* p2=presion en los puntos y=2

<math>(u \cdot \nabla)u = u_j \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right) \mathbf{e}_i</math>

<math>\Delta \mathbf{u} = u_i \mathbf{e}_i</math>

<math>\mathbf{u} = u_i \mathbf{e}_i</math>

Desarrollamos término a término nuestra ecuación:

1) <center><math>\displaystyle
\begin{align*}
(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} &=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z}
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2
\end{pmatrix}
\end{align*}</math></center>

Para nuestro campo será:

<math>\begin{bmatrix}
\frac{\partial f(z)}{\partial y} & \frac{\partial f(z)}{\partial z} \\
\frac{\partial 0}{\partial y} & \frac{\partial 0}{\partial z}
\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}
f(z) \\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 & f'(z) \\
0 & 0
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
f(z) \\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 \\
0
\end{bmatrix}</math>

Calculamos el gradiente del campo de presiones:

2) <math>\nabla P = \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial z}</math>
siendo p (x, y, z) = p1 + (p2 − p1)(y − 1) = 2p1-p2+p2y-p1y

<math>\nabla P = \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial z}</math> =p2-p1

El laplaciano en coordenadas cartesianas se reduce a realizar las derivadas parciales de la función dos veces:

3) <math>\Delta \mathbf{u} = \nabla (\nabla \mathbf{u})</math>

Por lo tanto,

<math>\Delta \mathbf{u} = \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{i}^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{j}^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{k}^2} = f''(z) \mathbf{j}</math>

Sustituimos estos tres términos obtenidos en la ecuación de Navier-Stokes:

<math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ (p_2 - p_1)\mathbf{j} = \mu \begin{bmatrix} f''(z) \\ 0 \end{bmatrix}</math>

<math> f''(z)= \frac{(p_2-p_1)}{μ}\vec{j} </math>

El f(z) resultante será nuestro campo de velocidad ante el cual se somete nuestro fluido.
Integramos para hallar f (z):

<math>f''(z) = \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}}</math>

<math>f'(z) = \int f''(z) \, dz = \frac{p_2 - p_1}{\mu} z \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}}</math>

<math>f(z) = \int f'(z) \, dz = \frac{z^2}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 z \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_2 \bar{\mathbf{j}}</math>

Las constantes que nos aparecen al integrar las podremos sacar de las condiciones de contorno que presenta nuestro fluido:

Para z=0 <math>\longrightarrow</math> f(z)=vj ̅

Por lo que <math>f(z=0) = 0\bar{\mathbf{j}} + 0\bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_2\bar{\mathbf{j}} = v\bar{\mathbf{j}}</math>

<math>\text{cte}_2 = v\bar{\mathbf{j}}</math>

Para z=1 <math>\longrightarrow</math> f(z)=0

Por lo que <math>f(z=1) = \frac{1}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}} + v\bar{\mathbf{j}} = 0</math>

<math>\text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}} = -v\bar{\mathbf{j}} - \frac{1}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}}</math>

El campo de velocidades queda:
<math>\boxed{\mathbf{f(z) = \frac{(z^2 - z)}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + v(1 - z) \bar{\mathbf{j}}}}</math>

==REPRESENTACION DEL CAMPO DE VELOCIDADES Y CAMPO DE PRESIONES==
Para calcular el '''campo de velocidades''' y poder representarlo gráficamente hemos usado los valores p1=1,p2=2,v=1,μ= 1

<center>
<math>\displaystyle \mathbf{u} = \frac{(z^2 - z)}{2} \cdot \frac{(2 - 1)}{1} \bar{\mathbf{j}} + 1(1 - z) \bar{\mathbf{j}}</math>

<math>\displaystyle \mathbf{u} = \frac{(z^2 - z)}{2} \bar{\mathbf{j}} + (1 - z) \bar{\mathbf{j}} = \frac{(z^2 - 3z + 2)}{2} \bar{\mathbf{j}}</math>
</center>

<center><math>\displaystyle \boxed{\mathbf{u} = \frac{(z^2 - 3z + 2)}{2} \bar{\mathbf{j}}}</math></center>

Acudimos a Matlab para su representación:
{{matlab|codigo=
%Definimos mallado
[Y,Z] = meshgrid([0:0.30:8],[0:0.1:1]);
%Definimos uy y uz
uy=inline('((z.^2-3*z+2))./(2)','y','z');
uz=inline('0.*y','y','z');
%Calculamos U y V segun las funciones y el mallado
U=uy(Y,Z);
V=uz(Y,Z);
%Fijamos limites
axis([0,8,-1,2]);
%Ajustamos flechas
quiver(Y,Z,U,V);}}

[[Archivo:campodevelocidad34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades]]

Por otra parte, para el '''campo de presiones''', Simplemente sustituimos nuestros valores particularizados en la función de presiones: p1=1, p2=2

<center>
<math>\displaystyle p(x, y, z) = p_1 + (p_2 - p_1)(y - 1) = 1 + (2 - 1)(y - 1) = 1 + y - 1 = y</math>

'''<math>\displaystyle \boxed{p(x, y, z) = y}</math>'''
</center>

Nos sale una función que depende sólo de y. Representando el campo de presiones en Matlab con el siguiente código:

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
f=Y;
surf(Y,Z,f);
view(2);
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:campodepresiones34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presiones]]

==LINEAS DE CORRIENTE==
Buscamos las '''<math>\underline{\textbf{líneas de corriente}}</math>''' en el campo de velocidades u(y,z) = f(z)j , es decir, las líneas que son tangentes al campo u en cada punto.
Para ello, calculamos el campo v, que es ortogonal al campo vectorial u, tomando v = i×u. (i es vector unitario).

v= i×u = f(z)k

Teniendo en cuenta que v es irrotacional, es decir, que su rotacional es cero ∇×v=0, y que el potencial escalar ψ, tal que v=∇ψ, se puede expresar ∇×v=0. En este caso ∇×v= ∇×(i×u)=0. Se puede comprobar al realizar el rotacional:

<big><math>
\begin{array}{@{}l@{}}
\nabla\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & 0 & f(z) \end{vmatrix}
\end{array}
</math></big>

Donde la derivada parcial respecto a $y$ de $f(z)$, al depender solo de $z$, es $0$. Con esto se comprueba que es irrotacional.

Calculamos la función potencial ψ(y,z):

Según la definición:

<center> <math> \vec{v}=\nabla \psi (y,z)
\ v_1=\frac{\partial \psi }{\partial y} \ {,} \ \ v_2 =\frac{\partial \psi}{\partial z} </math></center>

Sabemos que f(z) depende sólo de z, así que el diferencial parcial respecto y será 0.

Calculamos el potencial escalar integrando v respecto z:

<math>\psi = \int \vec{v} \cdot dz = \int \left( \frac{z^2 - z}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} + v(1 - z) \right) dz = \frac{2z^3 - 3z^2}{12} \frac{p_2 - p_1}{\mu} - v\left(\frac{z^2 - 2z}{2}\right) + \text{cte}</math>

La constante la podemos sacar de las condiciones de contorno, como sabemos que en z=1 la velocidad es cero, la corriente en z=1 debe ser cero también:

<math>\psi(z=1) = 0 = \frac{2 \cdot 1^3 - 3 \cdot 1^2}{12} \frac{p_2 - p_1}{\mu} - v\left(\frac{1^2 - 2 \cdot 1}{2}\right) + \text{cte}</math>

<math>\text{cte} = -\frac{v}{2} + \frac{p_2 - p_1}{12\mu}</math>

Por lo que ψ queda como:

<math>\psi = \frac{z^3}{6} - \frac{3z^2}{4} + z - \frac{v}{2} + \frac{p_2 - p_1}{12\mu}</math>

Particularizando con p_1=1, p_2=2,v=1 y µ=1 queda:

'''<math>\boxed{\boldsymbol{\psi = \frac{z^3}{6} - \frac{3z^2}{4} + z - \frac{5}{12}}}</math>'''

La constante, o sea –(5/12), resulta ser la corriente en z=0 cuando está particularizado.

Dibujamos las líneas de corriente en Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.01:8;
z=0:0.01:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
psi=(((Z.^3)./6)-((3/4).*(Z.^2))+Z-(5/12));
contour(Y,Z,psi);
axis([0,8,-1,2]);
title('Líneas de corriente');
colorbar;}}

[[Archivo:corriente34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Lineas de Corriente]]

Gráficamente es sencillo de verificar que las líneas de corriente son paralelas al campo de velocidades en cada punto, justificando que son las líneas de corriente de nuestro campo u.

==VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO==

Para encontrar los puntos donde el módulo de la velocidad del flujo es '''<math>\underline{\textbf{máximo}}</math>''' hemos de igualar a 0 la primera derivada de f(z):

<math>f(z) = \frac{z^2 - z}{2} \bar{j} + (1 - z) \bar{j}</math>

<math>f'(z) = z - \frac{1}{2} \bar{j} - \bar{j} = z - \frac{3}{2} \bar{j}</math>

<math>f'(z) = z - \frac{3}{2} \bar{j}</math>

<math>f'(z) = 0</math>

<math>f'(z) = z - \frac{3}{2} \bar{j} = 0</math>

'''<math>\boxed{z = \frac{3}{2} \bar{j}}</math>'''

Resulta que nuestro campo de velocidades tiene como función una parábola que tiene un extremo mínimo y no un extremo máximo. En z=3/2 la velocidad es -1/8 y luego en z=2 vuelve a ser 0. Se trata de una '''parábola con concavidad positiva'''.

Además 3/2 se encuentra fuera del dominio de nuestra función, dentro del dominio la z en la que la velocidad es máxima resulta ser z=0, con velocidad v, 1 si particularizamos a v=1.

Gráficamente se ve muy bien:

[[Archivo:parabola34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|direccion]]

Las líneas rojas marcan los planos inferior y superior. El punto morado es el mínimo absoluto de la función

==ROTACIONAL DEL CAMPO U==
El ''''''rotacional'''''' de un campo vectorial muestra la tendencia de dicho campo a inducir rotación alrededor de un punto. A continuación, vamos a calcular el rotacional de nuestro campo u y a analizar su aspecto.

Calculamos el rotacional de u (∇ × u)

'''<math>\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}</math>'''

Con nuestro campo u= f(z)j, siendo f(z)

'''<math>f(z) = \frac{z^2 - z}{2} \bar{j} + (1 - z) \bar{j}</math>'''

Primero hemos de calcular el determinante:

'''<math>\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}</math>'''

'''<math>\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
0 & \frac{z^2 - 3z + 2}{2} & 0
\end{vmatrix}</math>'''

Calculamos derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_y}{\partial z} = -\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z^2 - 3z + 2}{2}\right) \mathbf{\Im} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}</math>

El rotacional calculado es:

<math>\nabla \times \mathbf{u} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}</math>

Para poder analizar su aspecto dibujamos el campo |∇ × u| en Matlab:

{{matlab|codigo=
%vector y con rango de 0 a 8
y=0:0.1:8;
%vector z con rango de 0 a 1
z=0:0.1:1;
%creamos el mallado según los vectores y y z
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
%calculamos diferencia absoluta entre z y 1/2,
rotacion=abs(-Z+3/2);
%representamos tridimensionalmente la superficie
surf(Y,Z,rotacion)
%limitamos los ejes
axis([0,8,-1,2])
%representacion con vista 2D
view(2)}}

[[Archivo:rotacional34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

El rotacional que nos ha dado resultado es

<math>\nabla \times \mathbf{u} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}</math>

El campo vectorial tiene una componente en la dirección positiva de y de 3/2 en la cual la rotación es máxima.
Al analizar el campo vectorial original u, es proporcional a z^2-3z+2. Este término cuadrático plantea que el campo tiene un comportamiento parabólico con vertice.que alcanza su máximo en z=3/2. Esto es consistente con la interpretación geométrica de la rotación.

<math>z^2 - 3z + 2 = 0</math>

<math>z = \frac{3}{2}</math>

Por lo que el resultado es razonable, la mayor rotación ocurre en la dirección positiva del eje y y está asociada con la coordenada z=3/2, que es el vértice de la parábola que define el campo vectorial en z.

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Para poder estudiar el ''''''campo de temperaturas'''''' con respecto al Flujo de Couette nos ponemos en situación hipotetica:

Sometemos a nuestro fluido a una temperatura dada por el siguiente campo:

<math>T(\rho, \theta) = \log(1 + \rho) \cos^2(\theta)</math>

Para realizar más fácilmente este supuesto lo primero que haremos será pasar de coordenadas polares a coordenadas cartesianas:

<math>
\begin{align*}
x(\rho, \theta) &= \rho \cos(\theta) \\
y(\rho, \theta) &= \rho \sin(\theta)
\end{align*}
</math>

<math>
\begin{align*}
\rho &= \sqrt{x^2 + y^2} \\
\theta &= \arctan\left(\frac{y}{x}\right)
\end{align*}
</math>

Como nuestros ejes son {j⃗ ,k⃗ }

<math>
\begin{align*}
y(\rho, \theta) &= \rho \cos(\theta) \\
z(\rho, \theta) &= \rho \sin(\theta) \\
\rho &= \sqrt{y^2 + z^2} \\
\theta &= \arctan\left(\frac{z}{y}\right)
\end{align*}
</math>

Sustituimos en T (ρ, θ) para obtener el campo en cartesianas T(y,z):

<math>T(y,z) = \log\left(1 + \sqrt{y^2 + z^2}\cos^2\left(\arctan\left(\frac{z}{y}\right)\right)\right)</math>

<math>T(y,z) = \log\left(1 + \sqrt{y^2 + z^2}\right) \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{z}{y}\right)^2}</math>

<math>\fbox{$T(y,z) = \log(1 + \sqrt{y^2 + z^2}) \cdot \frac{y^2}{y^2 + z^2}$}</math>

Con las coordenadas cambiadas será mucho más fácil representar el campo gráficamente con Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=log(1+(sqrt(Y.^2+Z.^2))).*((Y.^2)./((Y.^2)+(Z.^2)));
pcolor(Y,Z,p);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar
figure(2)
contour(Y,Z,p,10,'k');
grid on
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:temperatura34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Temperaturas]]

== GRADIENTE DE LA TEMPERATURA==
Para qu ela representacion grafica del gradiente sea mas facil de trabajar hemos decidido trabajar con coordenadas cilindricas:

$T = \ln(1 + \rho) \cos^2(\theta)$

El gradiente en coordenadas cilíndricas sigue la siguiente fórmula:

$\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \mathbf{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} \mathbf{e}_{\theta} + \frac{\partial T}{\partial z} \mathbf{e}_z$

Donde vemos la particularidad de que hay que dividir entre ρ la parcial respecto θ.

$\frac{\partial T}{\partial \rho} \mathbf{e}_{\rho} = \frac{\cos^2(\theta)}{1 + \rho}$

$\frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} \mathbf{e}_{\theta} = -\frac{2 \ln(1 + \rho) \cos(\theta) \sin(\theta)}{\rho}$

Representamos el gradiente en Matlab con el siguiente código:

{{matlab|codigo=
y=-5:0.1:5;
z=-1:0.1:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
Ro=sqrt(Y.^2+Z.^2);
Theta=atan(Z./(Y));
T=log(1+Ro).*cos(Theta).^2;
G1=((cos(Theta).^2).*(1./(Ro+1)));
G2=((1./Ro).*((-2).*log(Ro+1).*cos(Theta).*sin(Theta)));
figure
hold on
grid on
title(‘Gradiente de temperatura’)
quiver(Y,Z,G1,G2)
contour(Y,Z,T,'k')
axis([-5,5,-2,2])
hold off}}

[[Archivo:gradiente34 .png|400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente de Temperatura]]

==CAUDAL==

EL caudal de un rio es la cantidad e agua que fluye por unidad de tiempo a través de un punto específico en el río. Para poder calcular este caudal vamos a trabajar con la integral de superficie. Esta fórmula se utiliza para calcular el caudal total a lo largo de toda la sección transversal del río. Vamos a establecer profunidad de 1 metro por unidad de tiempo.

Integral de Superficie
<math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}</math>
-Campo de velocidades calculado en el apartado 3:
<math>\boxed(\mathbf{u}(\mathbf{y,z}) = \frac{{z^2 - 3z + 2}}{2} \overline{\mathbf{j}})</math>
Velocidad en m/s

Profundidad caudal: 1 metro

Tenemos que parametrizar la superficie S sobre la que vamos a trabajar. Dado que estamos trabajando en un rectángulo de dominio [0, 8] × [0, 1], parametrizamos la superficie S usando los parámetros u y v.

$\overline{r}(u,v) = \begin{bmatrix} x(u,v) \\ y(u,v) \\ z(u,v) \end{bmatrix}$
teniendo en cuenta que trabajamos en el plano x=0, tomamos:

$\overline{r}(u,v) = \begin{bmatrix} 0 \\ 8u \\ v \end{bmatrix}$

Estando u, es decir y, en el intervalo [0,-1] y v (z) en [0,1].

---Profundidad caudal (z), entre -1 y 1:--
$\frac{d\vec{s}}{} = \frac{\partial\vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial\vec{r}}{\partial v} \, du \, dv$

$\frac{d\vec{r}}{du} = \begin{bmatrix} 0 \\ 8 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\frac{d\vec{r}}{dv} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\frac{d\vec{s}}{} = \frac{\partial\vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial\vec{r}}{\partial v} $

$\vec{r}_u \times \vec{r}_v = \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right| = 8\mathbf{i}$

Definimos el Flujo
$ Q = \int \int \vec{u} \, d\vec{S} \, du \, dv $

<math>(\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \frac{{v^2 - 3v + 2}}{2} \cdot 8 \, du \, dv \</math>

$\int_S \vec{v} \, d\vec{S} = \int_S \bar{u}|\vec{r}_u \times \vec{r}_v|$

---PROCEDEMOS AL CALCULO--

$\int_S \vec{v} \, d\vec{S} = \int_S \bar{u}|\vec{r}_u \times \vec{r}_v|$

<math>\$\int_{-1}^0 \int_0^1 \frac{{z^2-3z+2}}{2} \cdot 8 \, dz \, dx$</math>

$\int_{-1}^0 \frac{1}{2} \left(\frac{z^2}{4} - \frac{3z^2}{2} + 2z\right) \, dz$

$\int_{-1}^0 \left[\frac{z^4}{8} - \frac{3z^2}{4} + z\right] \, dx$
Despues reemplazamos el Valor de Z:
$\int_{-1}^0 \left(\frac{1}{8} - \frac{3}{4} + 1\right) \, dx$

Resolvemos las fracciones de adentro

$\int_{-1}^0 \frac{3}{8} \, dx$

Proseguimos con el calculo de la integral

<math>[\left[\frac{3}{8}x\right]_{-1}^0]</math>

y el resultado final es:
<math>\[= -\frac{3}{8} = \frac{3}{8} = 0.375 \, \text{m}^2/\text{s}]</math>

Flujo de Couette en planos paralelos horizontales. 34A

2023-12-14T17:22:51Z

Jose Luis Lema Paguay: /* CAUDAL */

{{ TrabajoED | Flujo de Coutte(Flujo de un fluido incomprensible). Grupo 34-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Julia Roquero Arregui, Eduardo Lopez Reyes, Jose Luis Lema, Lorenzo Perez Guerrero}}
En este articulo empezaremos explicando un poco del flujo de Coutte

==INTRODUCCION: FLUJO DE COUETTE.==

En nuestro trabajo vamos a realizar un estudio del '''Flujo de Couette'''. Para ello es imprescindible saber en qué consiste este fenómeno y las aplicaciones que tiene en nuestras vidas. El Flujo de Couette es un tipo de flujo en el que un fluido incompresible se desplaza entre dos planos paralelos e infinitos separados a una distancia determinada. Uno de los planos se encuentra en reposo, y el otro es el que induce el flujo al moverse en una dirección j (eje y), paralelamente a sí misma, con una velocidad constante <math>v\vec{j}</math>, y sin existir un gradiente de presión reducida. Este suceso nos proporciona datos imprescindibles para poder entender los patrones de flujo y la dinámica de fluidos.

Para poder analizar el comportamiento del fluido, utilizaremos como herramienta auxiliar MATLAB, plataforma de programación y calculo numérico que nos permitirá visualizar dicho comportamiento en forma de graficas.

==SUPERFICIE DE ESTUDIO==

En esta investigación nos vamos a centrar en la siguiente '''superficie de estudio''':

Trabajaremos con un rectángulo de dominio [0, 8] × [0, 1], al trabajar en un plano x=0, el plano queda proyectado sobre la recta z=1 y el inferior sobre la recta z=0. Esto nos indica que al trabajar en coordenadas cartesianas (y,z), la coordenada y quedara en el intervalo definido por el dominio [0,8] y la coordenada z quedara en [0,1].

Ademas definiremos los ejes de la región [0, 8] × [−1, 2].

Usando un paso de 0.7 para mayor claridad de representacion, dibujamos nuestra superficie mediante el programa MATLAB usando en siguiente código:

{{matlab|codigo=
y=0:0.07:8;
z=0:0.07:1;
[yy,zz]=meshgrid(y,z);
figure(1);
h=mesh (yy,zz,0*yy);
set(h, 'EdgeColor', 'g',
('LineWidth', 0.7);
rectangle('Position', [min(y),
min(z), max(y)-min(y), max(z)-
min(z)], 'EdgeColor', 'K',
'LineWidth', 1);
grid on [0,8] * [-1, 2]%
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:mallado34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

==ECUACION DE NAVIER-STOKES.==

La ecuación de Navier-Stokes es una ecuación fundamental en la mecánica de fluidos. Describe el movimiento de los fluidos “reales” (liquido o gases). Gracias a esta ecuación podemos modelar fenómenos como el flujo del agua en ríos, corrientes oceánicas, el clima, el comportamiento de la atmosfera, vuelos de aviones y otros muchos sistemas en los que se implican los fluidos.
A continuación, vamos a mostrar que el fluido, sujeto a un campo de velocidad y un campo de presión, cumple con la ecuación Navier-Stokes. Al cumplir con ello, verificaríamos que el fluido es incomprensible. Un fluido incomprensible es cualquier fluido cuya densidad permanece constante con el tiempo, ni su masa ni su volumen pueden cambiar.

La ecuación Navier-Stokes es:

<math>\begin{equation}(u \cdot \nabla)u + \nabla p = \mu \nabla^2u \quad \longleftrightarrow \quad (u \cdot \nabla)u + \nabla p = \mu \Delta u\end{equation}</math>

Siendo:
* u=campo de velocidad del fluido.
* p=presión en el fluido.
* μ=coeficiente de viscosidad del fluido.

La velocidad de las partículas del fluido dada: u(y, z)=f(z)j siendo j el vector unitario dirección y

Presión dada: <math>p(x, y, z) = p_1 + (p_2 - p_1)(y - 1)</math>

Donde:
* p1=presion en los puntos y=1
* p2=presion en los puntos y=2

<math>(u \cdot \nabla)u = u_j \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right) \mathbf{e}_i</math>

<math>\Delta \mathbf{u} = u_i \mathbf{e}_i</math>

<math>\mathbf{u} = u_i \mathbf{e}_i</math>

Desarrollamos término a término nuestra ecuación:

1) <center><math>\displaystyle
\begin{align*}
(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} &=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z}
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2
\end{pmatrix}
\end{align*}</math></center>

Para nuestro campo será:

<math>\begin{bmatrix}
\frac{\partial f(z)}{\partial y} & \frac{\partial f(z)}{\partial z} \\
\frac{\partial 0}{\partial y} & \frac{\partial 0}{\partial z}
\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}
f(z) \\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 & f'(z) \\
0 & 0
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
f(z) \\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 \\
0
\end{bmatrix}</math>

Calculamos el gradiente del campo de presiones:

2) <math>\nabla P = \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial z}</math>
siendo p (x, y, z) = p1 + (p2 − p1)(y − 1) = 2p1-p2+p2y-p1y

<math>\nabla P = \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial z}</math> =p2-p1

El laplaciano en coordenadas cartesianas se reduce a realizar las derivadas parciales de la función dos veces:

3) <math>\Delta \mathbf{u} = \nabla (\nabla \mathbf{u})</math>

Por lo tanto,

<math>\Delta \mathbf{u} = \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{i}^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{j}^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{k}^2} = f''(z) \mathbf{j}</math>

Sustituimos estos tres términos obtenidos en la ecuación de Navier-Stokes:

<math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ (p_2 - p_1)\mathbf{j} = \mu \begin{bmatrix} f''(z) \\ 0 \end{bmatrix}</math>

<math> f''(z)= \frac{(p_2-p_1)}{μ}\vec{j} </math>

El f(z) resultante será nuestro campo de velocidad ante el cual se somete nuestro fluido.
Integramos para hallar f (z):

<math>f''(z) = \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}}</math>

<math>f'(z) = \int f''(z) \, dz = \frac{p_2 - p_1}{\mu} z \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}}</math>

<math>f(z) = \int f'(z) \, dz = \frac{z^2}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 z \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_2 \bar{\mathbf{j}}</math>

Las constantes que nos aparecen al integrar las podremos sacar de las condiciones de contorno que presenta nuestro fluido:

Para z=0 <math>\longrightarrow</math> f(z)=vj ̅

Por lo que <math>f(z=0) = 0\bar{\mathbf{j}} + 0\bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_2\bar{\mathbf{j}} = v\bar{\mathbf{j}}</math>

<math>\text{cte}_2 = v\bar{\mathbf{j}}</math>

Para z=1 <math>\longrightarrow</math> f(z)=0

Por lo que <math>f(z=1) = \frac{1}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}} + v\bar{\mathbf{j}} = 0</math>

<math>\text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}} = -v\bar{\mathbf{j}} - \frac{1}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}}</math>

El campo de velocidades queda:
<math>\boxed{\mathbf{f(z) = \frac{(z^2 - z)}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + v(1 - z) \bar{\mathbf{j}}}}</math>

==REPRESENTACION DEL CAMPO DE VELOCIDADES Y CAMPO DE PRESIONES==
Para calcular el '''campo de velocidades''' y poder representarlo gráficamente hemos usado los valores p1=1,p2=2,v=1,μ= 1

<center>
<math>\displaystyle \mathbf{u} = \frac{(z^2 - z)}{2} \cdot \frac{(2 - 1)}{1} \bar{\mathbf{j}} + 1(1 - z) \bar{\mathbf{j}}</math>

<math>\displaystyle \mathbf{u} = \frac{(z^2 - z)}{2} \bar{\mathbf{j}} + (1 - z) \bar{\mathbf{j}} = \frac{(z^2 - 3z + 2)}{2} \bar{\mathbf{j}}</math>
</center>

<center><math>\displaystyle \boxed{\mathbf{u} = \frac{(z^2 - 3z + 2)}{2} \bar{\mathbf{j}}}</math></center>

Acudimos a Matlab para su representación:
{{matlab|codigo=
%Definimos mallado
[Y,Z] = meshgrid([0:0.30:8],[0:0.1:1]);
%Definimos uy y uz
uy=inline('((z.^2-3*z+2))./(2)','y','z');
uz=inline('0.*y','y','z');
%Calculamos U y V segun las funciones y el mallado
U=uy(Y,Z);
V=uz(Y,Z);
%Fijamos limites
axis([0,8,-1,2]);
%Ajustamos flechas
quiver(Y,Z,U,V);}}

[[Archivo:campodevelocidad34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades]]

Por otra parte, para el '''campo de presiones''', Simplemente sustituimos nuestros valores particularizados en la función de presiones: p1=1, p2=2

<center>
<math>\displaystyle p(x, y, z) = p_1 + (p_2 - p_1)(y - 1) = 1 + (2 - 1)(y - 1) = 1 + y - 1 = y</math>

'''<math>\displaystyle \boxed{p(x, y, z) = y}</math>'''
</center>

Nos sale una función que depende sólo de y. Representando el campo de presiones en Matlab con el siguiente código:

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
f=Y;
surf(Y,Z,f);
view(2);
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:campodepresiones34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presiones]]

==LINEAS DE CORRIENTE==
Buscamos las '''<math>\underline{\textbf{líneas de corriente}}</math>''' en el campo de velocidades u(y,z) = f(z)j , es decir, las líneas que son tangentes al campo u en cada punto.
Para ello, calculamos el campo v, que es ortogonal al campo vectorial u, tomando v = i×u. (i es vector unitario).

v= i×u = f(z)k

Teniendo en cuenta que v es irrotacional, es decir, que su rotacional es cero ∇×v=0, y que el potencial escalar ψ, tal que v=∇ψ, se puede expresar ∇×v=0. En este caso ∇×v= ∇×(i×u)=0. Se puede comprobar al realizar el rotacional:

<big><math>
\begin{array}{@{}l@{}}
\nabla\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & 0 & f(z) \end{vmatrix}
\end{array}
</math></big>

Donde la derivada parcial respecto a $y$ de $f(z)$, al depender solo de $z$, es $0$. Con esto se comprueba que es irrotacional.

Calculamos la función potencial ψ(y,z):

Según la definición:

<center> <math> \vec{v}=\nabla \psi (y,z)
\ v_1=\frac{\partial \psi }{\partial y} \ {,} \ \ v_2 =\frac{\partial \psi}{\partial z} </math></center>

Sabemos que f(z) depende sólo de z, así que el diferencial parcial respecto y será 0.

Calculamos el potencial escalar integrando v respecto z:

<math>\psi = \int \vec{v} \cdot dz = \int \left( \frac{z^2 - z}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} + v(1 - z) \right) dz = \frac{2z^3 - 3z^2}{12} \frac{p_2 - p_1}{\mu} - v\left(\frac{z^2 - 2z}{2}\right) + \text{cte}</math>

La constante la podemos sacar de las condiciones de contorno, como sabemos que en z=1 la velocidad es cero, la corriente en z=1 debe ser cero también:

<math>\psi(z=1) = 0 = \frac{2 \cdot 1^3 - 3 \cdot 1^2}{12} \frac{p_2 - p_1}{\mu} - v\left(\frac{1^2 - 2 \cdot 1}{2}\right) + \text{cte}</math>

<math>\text{cte} = -\frac{v}{2} + \frac{p_2 - p_1}{12\mu}</math>

Por lo que ψ queda como:

<math>\psi = \frac{z^3}{6} - \frac{3z^2}{4} + z - \frac{v}{2} + \frac{p_2 - p_1}{12\mu}</math>

Particularizando con p_1=1, p_2=2,v=1 y µ=1 queda:

'''<math>\boxed{\boldsymbol{\psi = \frac{z^3}{6} - \frac{3z^2}{4} + z - \frac{5}{12}}}</math>'''

La constante, o sea –(5/12), resulta ser la corriente en z=0 cuando está particularizado.

Dibujamos las líneas de corriente en Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.01:8;
z=0:0.01:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
psi=(((Z.^3)./6)-((3/4).*(Z.^2))+Z-(5/12));
contour(Y,Z,psi);
axis([0,8,-1,2]);
title('Líneas de corriente');
colorbar;}}

[[Archivo:corriente34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Lineas de Corriente]]

Gráficamente es sencillo de verificar que las líneas de corriente son paralelas al campo de velocidades en cada punto, justificando que son las líneas de corriente de nuestro campo u.

==VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO==

Para encontrar los puntos donde el módulo de la velocidad del flujo es '''<math>\underline{\textbf{máximo}}</math>''' hemos de igualar a 0 la primera derivada de f(z):

<math>f(z) = \frac{z^2 - z}{2} \bar{j} + (1 - z) \bar{j}</math>

<math>f'(z) = z - \frac{1}{2} \bar{j} - \bar{j} = z - \frac{3}{2} \bar{j}</math>

<math>f'(z) = z - \frac{3}{2} \bar{j}</math>

<math>f'(z) = 0</math>

<math>f'(z) = z - \frac{3}{2} \bar{j} = 0</math>

'''<math>\boxed{z = \frac{3}{2} \bar{j}}</math>'''

Resulta que nuestro campo de velocidades tiene como función una parábola que tiene un extremo mínimo y no un extremo máximo. En z=3/2 la velocidad es -1/8 y luego en z=2 vuelve a ser 0. Se trata de una '''parábola con concavidad positiva'''.

Además 3/2 se encuentra fuera del dominio de nuestra función, dentro del dominio la z en la que la velocidad es máxima resulta ser z=0, con velocidad v, 1 si particularizamos a v=1.

Gráficamente se ve muy bien:

[[Archivo:parabola34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|direccion]]

Las líneas rojas marcan los planos inferior y superior. El punto morado es el mínimo absoluto de la función

==ROTACIONAL DEL CAMPO U==
El ''''''rotacional'''''' de un campo vectorial muestra la tendencia de dicho campo a inducir rotación alrededor de un punto. A continuación, vamos a calcular el rotacional de nuestro campo u y a analizar su aspecto.

Calculamos el rotacional de u (∇ × u)

'''<math>\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}</math>'''

Con nuestro campo u= f(z)j, siendo f(z)

'''<math>f(z) = \frac{z^2 - z}{2} \bar{j} + (1 - z) \bar{j}</math>'''

Primero hemos de calcular el determinante:

'''<math>\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}</math>'''

'''<math>\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
0 & \frac{z^2 - 3z + 2}{2} & 0
\end{vmatrix}</math>'''

Calculamos derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_y}{\partial z} = -\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z^2 - 3z + 2}{2}\right) \mathbf{\Im} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}</math>

El rotacional calculado es:

<math>\nabla \times \mathbf{u} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}</math>

Para poder analizar su aspecto dibujamos el campo |∇ × u| en Matlab:

{{matlab|codigo=
%vector y con rango de 0 a 8
y=0:0.1:8;
%vector z con rango de 0 a 1
z=0:0.1:1;
%creamos el mallado según los vectores y y z
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
%calculamos diferencia absoluta entre z y 1/2,
rotacion=abs(-Z+3/2);
%representamos tridimensionalmente la superficie
surf(Y,Z,rotacion)
%limitamos los ejes
axis([0,8,-1,2])
%representacion con vista 2D
view(2)}}

[[Archivo:rotacional34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

El rotacional que nos ha dado resultado es

<math>\nabla \times \mathbf{u} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}</math>

El campo vectorial tiene una componente en la dirección positiva de y de 3/2 en la cual la rotación es máxima.
Al analizar el campo vectorial original u, es proporcional a z^2-3z+2. Este término cuadrático plantea que el campo tiene un comportamiento parabólico con vertice.que alcanza su máximo en z=3/2. Esto es consistente con la interpretación geométrica de la rotación.

<math>z^2 - 3z + 2 = 0</math>

<math>z = \frac{3}{2}</math>

Por lo que el resultado es razonable, la mayor rotación ocurre en la dirección positiva del eje y y está asociada con la coordenada z=3/2, que es el vértice de la parábola que define el campo vectorial en z.

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Para poder estudiar el ''''''campo de temperaturas'''''' con respecto al Flujo de Couette nos ponemos en situación hipotetica:

Sometemos a nuestro fluido a una temperatura dada por el siguiente campo:

<math>T(\rho, \theta) = \log(1 + \rho) \cos^2(\theta)</math>

Para realizar más fácilmente este supuesto lo primero que haremos será pasar de coordenadas polares a coordenadas cartesianas:

<math>
\begin{align*}
x(\rho, \theta) &= \rho \cos(\theta) \\
y(\rho, \theta) &= \rho \sin(\theta)
\end{align*}
</math>

<math>
\begin{align*}
\rho &= \sqrt{x^2 + y^2} \\
\theta &= \arctan\left(\frac{y}{x}\right)
\end{align*}
</math>

Como nuestros ejes son {j⃗ ,k⃗ }

<math>
\begin{align*}
y(\rho, \theta) &= \rho \cos(\theta) \\
z(\rho, \theta) &= \rho \sin(\theta) \\
\rho &= \sqrt{y^2 + z^2} \\
\theta &= \arctan\left(\frac{z}{y}\right)
\end{align*}
</math>

Sustituimos en T (ρ, θ) para obtener el campo en cartesianas T(y,z):

<math>T(y,z) = \log\left(1 + \sqrt{y^2 + z^2}\cos^2\left(\arctan\left(\frac{z}{y}\right)\right)\right)</math>

<math>T(y,z) = \log\left(1 + \sqrt{y^2 + z^2}\right) \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{z}{y}\right)^2}</math>

<math>\fbox{$T(y,z) = \log(1 + \sqrt{y^2 + z^2}) \cdot \frac{y^2}{y^2 + z^2}$}</math>

Con las coordenadas cambiadas será mucho más fácil representar el campo gráficamente con Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=log(1+(sqrt(Y.^2+Z.^2))).*((Y.^2)./((Y.^2)+(Z.^2)));
pcolor(Y,Z,p);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar
figure(2)
contour(Y,Z,p,10,'k');
grid on
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:temperatura34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Temperaturas]]

== GRADIENTE DE LA TEMPERATURA==
Para qu ela representacion grafica del gradiente sea mas facil de trabajar hemos decidido trabajar con coordenadas cilindricas:

$T = \ln(1 + \rho) \cos^2(\theta)$

El gradiente en coordenadas cilíndricas sigue la siguiente fórmula:

$\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \mathbf{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} \mathbf{e}_{\theta} + \frac{\partial T}{\partial z} \mathbf{e}_z$

Donde vemos la particularidad de que hay que dividir entre ρ la parcial respecto θ.

$\frac{\partial T}{\partial \rho} \mathbf{e}_{\rho} = \frac{\cos^2(\theta)}{1 + \rho}$

$\frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} \mathbf{e}_{\theta} = -\frac{2 \ln(1 + \rho) \cos(\theta) \sin(\theta)}{\rho}$

Representamos el gradiente en Matlab con el siguiente código:

{{matlab|codigo=
y=-5:0.1:5;
z=-1:0.1:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
Ro=sqrt(Y.^2+Z.^2);
Theta=atan(Z./(Y));
T=log(1+Ro).*cos(Theta).^2;
G1=((cos(Theta).^2).*(1./(Ro+1)));
G2=((1./Ro).*((-2).*log(Ro+1).*cos(Theta).*sin(Theta)));
figure
hold on
grid on
title(‘Gradiente de temperatura’)
quiver(Y,Z,G1,G2)
contour(Y,Z,T,'k')
axis([-5,5,-2,2])
hold off}}

[[Archivo:gradiente34 .png|400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente de Temperatura]]

==CAUDAL==

EL caudal de un rio es la cantidad e agua que fluye por unidad de tiempo a través de un punto específico en el río. Para poder calcular este caudal vamos a trabajar con la integral de superficie. Esta fórmula se utiliza para calcular el caudal total a lo largo de toda la sección transversal del río. Vamos a establecer profunidad de 1 metro por unidad de tiempo.

Integral de Superficie
<math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}</math>
-Campo de velocidades calculado en el apartado 3:
<math>\boxed(\mathbf{u}(\mathbf{y,z}) = \frac{{z^2 - 3z + 2}}{2} \overline{\mathbf{j}})</math>
Velocidad en m/s

Profundidad caudal: 1 metro

Tenemos que parametrizar la superficie S sobre la que vamos a trabajar. Dado que estamos trabajando en un rectángulo de dominio [0, 8] × [0, 1], parametrizamos la superficie S usando los parámetros u y v.

$\overline{r}(u,v) = \begin{bmatrix} x(u,v) \\ y(u,v) \\ z(u,v) \end{bmatrix}$
teniendo en cuenta que trabajamos en el plano x=0, tomamos:

$\overline{r}(u,v) = \begin{bmatrix} 0 \\ 8u \\ v \end{bmatrix}$

Estando u, es decir y, en el intervalo [0,-1] y v (z) en [0,1].

---Profundidad caudal (z), entre -1 y 1:--
$\frac{d\vec{s}}{} = \frac{\partial\vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial\vec{r}}{\partial v} \, du \, dv$

$\frac{d\vec{r}}{du} = \begin{bmatrix} 0 \\ 8 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\frac{d\vec{r}}{dv} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\frac{d\vec{s}}{} = \frac{\partial\vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial\vec{r}}{\partial v} $

$\vec{r}_u \times \vec{r}_v = \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right| = 8\mathbf{i}$

Definimos el Flujo
$ Q = \int \int \vec{u} \, d\vec{S} \, du \, dv $

<math>(\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \frac{{v^2 - 3v + 2}}{2} \cdot 8 \, du \, dv \</math>

$\int_S \vec{v} \, d\vec{S} = \int_S \bar{u}|\vec{r}_u \times \vec{r}_v|$

---PROCEDEMOS AL CALCULO--

$\int_S \vec{v} \, d\vec{S} = \int_S \bar{u}|\vec{r}_u \times \vec{r}_v|$

<math>\$\int_{-1}^0 \int_0^1 \frac{{z^2-3z+2}}{2} \cdot 8 \, dz \, dx$</math>

$\int_{-1}^0 \frac{1}{2} \left(\frac{z^2}{4} - \frac{3z^2}{2} + 2z\right) \, dz$

$\int_{-1}^0 \left[\frac{z^4}{8} - \frac{3z^2}{4} + z\right] \, dx$
Despues reemplazamos el Valor de Z:
$\int_{-1}^0 \left(\frac{1}{8} - \frac{3}{4} + 1\right) \, dx$

Resolvemos las fracciones de adentro

$\int_{-1}^0 \frac{3}{8} \, dx$

Proseguimos con el calculo de la integral

<math>[\left[\frac{3}{8}x\right]_{-1}^0\]</math>

y el resultado final es:
<math>\[= -\frac{3}{8} = \frac{3}{8} = 0.375 \, \text{m}^2/\text{s}]</math>

Flujo de Couette en planos paralelos horizontales. 34A

2023-12-14T17:21:57Z

Jose Luis Lema Paguay: /* CAUDAL */

{{ TrabajoED | Flujo de Coutte(Flujo de un fluido incomprensible). Grupo 34-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Julia Roquero Arregui, Eduardo Lopez Reyes, Jose Luis Lema, Lorenzo Perez Guerrero}}
En este articulo empezaremos explicando un poco del flujo de Coutte

==INTRODUCCION: FLUJO DE COUETTE.==

En nuestro trabajo vamos a realizar un estudio del '''Flujo de Couette'''. Para ello es imprescindible saber en qué consiste este fenómeno y las aplicaciones que tiene en nuestras vidas. El Flujo de Couette es un tipo de flujo en el que un fluido incompresible se desplaza entre dos planos paralelos e infinitos separados a una distancia determinada. Uno de los planos se encuentra en reposo, y el otro es el que induce el flujo al moverse en una dirección j (eje y), paralelamente a sí misma, con una velocidad constante <math>v\vec{j}</math>, y sin existir un gradiente de presión reducida. Este suceso nos proporciona datos imprescindibles para poder entender los patrones de flujo y la dinámica de fluidos.

Para poder analizar el comportamiento del fluido, utilizaremos como herramienta auxiliar MATLAB, plataforma de programación y calculo numérico que nos permitirá visualizar dicho comportamiento en forma de graficas.

==SUPERFICIE DE ESTUDIO==

En esta investigación nos vamos a centrar en la siguiente '''superficie de estudio''':

Trabajaremos con un rectángulo de dominio [0, 8] × [0, 1], al trabajar en un plano x=0, el plano queda proyectado sobre la recta z=1 y el inferior sobre la recta z=0. Esto nos indica que al trabajar en coordenadas cartesianas (y,z), la coordenada y quedara en el intervalo definido por el dominio [0,8] y la coordenada z quedara en [0,1].

Ademas definiremos los ejes de la región [0, 8] × [−1, 2].

Usando un paso de 0.7 para mayor claridad de representacion, dibujamos nuestra superficie mediante el programa MATLAB usando en siguiente código:

{{matlab|codigo=
y=0:0.07:8;
z=0:0.07:1;
[yy,zz]=meshgrid(y,z);
figure(1);
h=mesh (yy,zz,0*yy);
set(h, 'EdgeColor', 'g',
('LineWidth', 0.7);
rectangle('Position', [min(y),
min(z), max(y)-min(y), max(z)-
min(z)], 'EdgeColor', 'K',
'LineWidth', 1);
grid on [0,8] * [-1, 2]%
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:mallado34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

==ECUACION DE NAVIER-STOKES.==

La ecuación de Navier-Stokes es una ecuación fundamental en la mecánica de fluidos. Describe el movimiento de los fluidos “reales” (liquido o gases). Gracias a esta ecuación podemos modelar fenómenos como el flujo del agua en ríos, corrientes oceánicas, el clima, el comportamiento de la atmosfera, vuelos de aviones y otros muchos sistemas en los que se implican los fluidos.
A continuación, vamos a mostrar que el fluido, sujeto a un campo de velocidad y un campo de presión, cumple con la ecuación Navier-Stokes. Al cumplir con ello, verificaríamos que el fluido es incomprensible. Un fluido incomprensible es cualquier fluido cuya densidad permanece constante con el tiempo, ni su masa ni su volumen pueden cambiar.

La ecuación Navier-Stokes es:

<math>\begin{equation}(u \cdot \nabla)u + \nabla p = \mu \nabla^2u \quad \longleftrightarrow \quad (u \cdot \nabla)u + \nabla p = \mu \Delta u\end{equation}</math>

Siendo:
* u=campo de velocidad del fluido.
* p=presión en el fluido.
* μ=coeficiente de viscosidad del fluido.

La velocidad de las partículas del fluido dada: u(y, z)=f(z)j siendo j el vector unitario dirección y

Presión dada: <math>p(x, y, z) = p_1 + (p_2 - p_1)(y - 1)</math>

Donde:
* p1=presion en los puntos y=1
* p2=presion en los puntos y=2

<math>(u \cdot \nabla)u = u_j \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right) \mathbf{e}_i</math>

<math>\Delta \mathbf{u} = u_i \mathbf{e}_i</math>

<math>\mathbf{u} = u_i \mathbf{e}_i</math>

Desarrollamos término a término nuestra ecuación:

1) <center><math>\displaystyle
\begin{align*}
(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} &=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z}
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2
\end{pmatrix}
\end{align*}</math></center>

Para nuestro campo será:

<math>\begin{bmatrix}
\frac{\partial f(z)}{\partial y} & \frac{\partial f(z)}{\partial z} \\
\frac{\partial 0}{\partial y} & \frac{\partial 0}{\partial z}
\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}
f(z) \\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 & f'(z) \\
0 & 0
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
f(z) \\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 \\
0
\end{bmatrix}</math>

Calculamos el gradiente del campo de presiones:

2) <math>\nabla P = \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial z}</math>
siendo p (x, y, z) = p1 + (p2 − p1)(y − 1) = 2p1-p2+p2y-p1y

<math>\nabla P = \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial z}</math> =p2-p1

El laplaciano en coordenadas cartesianas se reduce a realizar las derivadas parciales de la función dos veces:

3) <math>\Delta \mathbf{u} = \nabla (\nabla \mathbf{u})</math>

Por lo tanto,

<math>\Delta \mathbf{u} = \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{i}^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{j}^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{k}^2} = f''(z) \mathbf{j}</math>

Sustituimos estos tres términos obtenidos en la ecuación de Navier-Stokes:

<math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ (p_2 - p_1)\mathbf{j} = \mu \begin{bmatrix} f''(z) \\ 0 \end{bmatrix}</math>

<math> f''(z)= \frac{(p_2-p_1)}{μ}\vec{j} </math>

El f(z) resultante será nuestro campo de velocidad ante el cual se somete nuestro fluido.
Integramos para hallar f (z):

<math>f''(z) = \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}}</math>

<math>f'(z) = \int f''(z) \, dz = \frac{p_2 - p_1}{\mu} z \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}}</math>

<math>f(z) = \int f'(z) \, dz = \frac{z^2}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 z \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_2 \bar{\mathbf{j}}</math>

Las constantes que nos aparecen al integrar las podremos sacar de las condiciones de contorno que presenta nuestro fluido:

Para z=0 <math>\longrightarrow</math> f(z)=vj ̅

Por lo que <math>f(z=0) = 0\bar{\mathbf{j}} + 0\bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_2\bar{\mathbf{j}} = v\bar{\mathbf{j}}</math>

<math>\text{cte}_2 = v\bar{\mathbf{j}}</math>

Para z=1 <math>\longrightarrow</math> f(z)=0

Por lo que <math>f(z=1) = \frac{1}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}} + v\bar{\mathbf{j}} = 0</math>

<math>\text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}} = -v\bar{\mathbf{j}} - \frac{1}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}}</math>

El campo de velocidades queda:
<math>\boxed{\mathbf{f(z) = \frac{(z^2 - z)}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + v(1 - z) \bar{\mathbf{j}}}}</math>

==REPRESENTACION DEL CAMPO DE VELOCIDADES Y CAMPO DE PRESIONES==
Para calcular el '''campo de velocidades''' y poder representarlo gráficamente hemos usado los valores p1=1,p2=2,v=1,μ= 1

<center>
<math>\displaystyle \mathbf{u} = \frac{(z^2 - z)}{2} \cdot \frac{(2 - 1)}{1} \bar{\mathbf{j}} + 1(1 - z) \bar{\mathbf{j}}</math>

<math>\displaystyle \mathbf{u} = \frac{(z^2 - z)}{2} \bar{\mathbf{j}} + (1 - z) \bar{\mathbf{j}} = \frac{(z^2 - 3z + 2)}{2} \bar{\mathbf{j}}</math>
</center>

<center><math>\displaystyle \boxed{\mathbf{u} = \frac{(z^2 - 3z + 2)}{2} \bar{\mathbf{j}}}</math></center>

Acudimos a Matlab para su representación:
{{matlab|codigo=
%Definimos mallado
[Y,Z] = meshgrid([0:0.30:8],[0:0.1:1]);
%Definimos uy y uz
uy=inline('((z.^2-3*z+2))./(2)','y','z');
uz=inline('0.*y','y','z');
%Calculamos U y V segun las funciones y el mallado
U=uy(Y,Z);
V=uz(Y,Z);
%Fijamos limites
axis([0,8,-1,2]);
%Ajustamos flechas
quiver(Y,Z,U,V);}}

[[Archivo:campodevelocidad34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades]]

Por otra parte, para el '''campo de presiones''', Simplemente sustituimos nuestros valores particularizados en la función de presiones: p1=1, p2=2

<center>
<math>\displaystyle p(x, y, z) = p_1 + (p_2 - p_1)(y - 1) = 1 + (2 - 1)(y - 1) = 1 + y - 1 = y</math>

'''<math>\displaystyle \boxed{p(x, y, z) = y}</math>'''
</center>

Nos sale una función que depende sólo de y. Representando el campo de presiones en Matlab con el siguiente código:

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
f=Y;
surf(Y,Z,f);
view(2);
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:campodepresiones34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presiones]]

==LINEAS DE CORRIENTE==
Buscamos las '''<math>\underline{\textbf{líneas de corriente}}</math>''' en el campo de velocidades u(y,z) = f(z)j , es decir, las líneas que son tangentes al campo u en cada punto.
Para ello, calculamos el campo v, que es ortogonal al campo vectorial u, tomando v = i×u. (i es vector unitario).

v= i×u = f(z)k

Teniendo en cuenta que v es irrotacional, es decir, que su rotacional es cero ∇×v=0, y que el potencial escalar ψ, tal que v=∇ψ, se puede expresar ∇×v=0. En este caso ∇×v= ∇×(i×u)=0. Se puede comprobar al realizar el rotacional:

<big><math>
\begin{array}{@{}l@{}}
\nabla\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & 0 & f(z) \end{vmatrix}
\end{array}
</math></big>

Donde la derivada parcial respecto a $y$ de $f(z)$, al depender solo de $z$, es $0$. Con esto se comprueba que es irrotacional.

Calculamos la función potencial ψ(y,z):

Según la definición:

<center> <math> \vec{v}=\nabla \psi (y,z)
\ v_1=\frac{\partial \psi }{\partial y} \ {,} \ \ v_2 =\frac{\partial \psi}{\partial z} </math></center>

Sabemos que f(z) depende sólo de z, así que el diferencial parcial respecto y será 0.

Calculamos el potencial escalar integrando v respecto z:

<math>\psi = \int \vec{v} \cdot dz = \int \left( \frac{z^2 - z}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} + v(1 - z) \right) dz = \frac{2z^3 - 3z^2}{12} \frac{p_2 - p_1}{\mu} - v\left(\frac{z^2 - 2z}{2}\right) + \text{cte}</math>

La constante la podemos sacar de las condiciones de contorno, como sabemos que en z=1 la velocidad es cero, la corriente en z=1 debe ser cero también:

<math>\psi(z=1) = 0 = \frac{2 \cdot 1^3 - 3 \cdot 1^2}{12} \frac{p_2 - p_1}{\mu} - v\left(\frac{1^2 - 2 \cdot 1}{2}\right) + \text{cte}</math>

<math>\text{cte} = -\frac{v}{2} + \frac{p_2 - p_1}{12\mu}</math>

Por lo que ψ queda como:

<math>\psi = \frac{z^3}{6} - \frac{3z^2}{4} + z - \frac{v}{2} + \frac{p_2 - p_1}{12\mu}</math>

Particularizando con p_1=1, p_2=2,v=1 y µ=1 queda:

'''<math>\boxed{\boldsymbol{\psi = \frac{z^3}{6} - \frac{3z^2}{4} + z - \frac{5}{12}}}</math>'''

La constante, o sea –(5/12), resulta ser la corriente en z=0 cuando está particularizado.

Dibujamos las líneas de corriente en Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.01:8;
z=0:0.01:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
psi=(((Z.^3)./6)-((3/4).*(Z.^2))+Z-(5/12));
contour(Y,Z,psi);
axis([0,8,-1,2]);
title('Líneas de corriente');
colorbar;}}

[[Archivo:corriente34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Lineas de Corriente]]

Gráficamente es sencillo de verificar que las líneas de corriente son paralelas al campo de velocidades en cada punto, justificando que son las líneas de corriente de nuestro campo u.

==VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO==

Para encontrar los puntos donde el módulo de la velocidad del flujo es '''<math>\underline{\textbf{máximo}}</math>''' hemos de igualar a 0 la primera derivada de f(z):

<math>f(z) = \frac{z^2 - z}{2} \bar{j} + (1 - z) \bar{j}</math>

<math>f'(z) = z - \frac{1}{2} \bar{j} - \bar{j} = z - \frac{3}{2} \bar{j}</math>

<math>f'(z) = z - \frac{3}{2} \bar{j}</math>

<math>f'(z) = 0</math>

<math>f'(z) = z - \frac{3}{2} \bar{j} = 0</math>

'''<math>\boxed{z = \frac{3}{2} \bar{j}}</math>'''

Resulta que nuestro campo de velocidades tiene como función una parábola que tiene un extremo mínimo y no un extremo máximo. En z=3/2 la velocidad es -1/8 y luego en z=2 vuelve a ser 0. Se trata de una '''parábola con concavidad positiva'''.

Además 3/2 se encuentra fuera del dominio de nuestra función, dentro del dominio la z en la que la velocidad es máxima resulta ser z=0, con velocidad v, 1 si particularizamos a v=1.

Gráficamente se ve muy bien:

[[Archivo:parabola34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|direccion]]

Las líneas rojas marcan los planos inferior y superior. El punto morado es el mínimo absoluto de la función

==ROTACIONAL DEL CAMPO U==
El ''''''rotacional'''''' de un campo vectorial muestra la tendencia de dicho campo a inducir rotación alrededor de un punto. A continuación, vamos a calcular el rotacional de nuestro campo u y a analizar su aspecto.

Calculamos el rotacional de u (∇ × u)

'''<math>\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}</math>'''

Con nuestro campo u= f(z)j, siendo f(z)

'''<math>f(z) = \frac{z^2 - z}{2} \bar{j} + (1 - z) \bar{j}</math>'''

Primero hemos de calcular el determinante:

'''<math>\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}</math>'''

'''<math>\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
0 & \frac{z^2 - 3z + 2}{2} & 0
\end{vmatrix}</math>'''

Calculamos derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_y}{\partial z} = -\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z^2 - 3z + 2}{2}\right) \mathbf{\Im} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}</math>

El rotacional calculado es:

<math>\nabla \times \mathbf{u} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}</math>

Para poder analizar su aspecto dibujamos el campo |∇ × u| en Matlab:

{{matlab|codigo=
%vector y con rango de 0 a 8
y=0:0.1:8;
%vector z con rango de 0 a 1
z=0:0.1:1;
%creamos el mallado según los vectores y y z
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
%calculamos diferencia absoluta entre z y 1/2,
rotacion=abs(-Z+3/2);
%representamos tridimensionalmente la superficie
surf(Y,Z,rotacion)
%limitamos los ejes
axis([0,8,-1,2])
%representacion con vista 2D
view(2)}}

[[Archivo:rotacional34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

El rotacional que nos ha dado resultado es

<math>\nabla \times \mathbf{u} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}</math>

El campo vectorial tiene una componente en la dirección positiva de y de 3/2 en la cual la rotación es máxima.
Al analizar el campo vectorial original u, es proporcional a z^2-3z+2. Este término cuadrático plantea que el campo tiene un comportamiento parabólico con vertice.que alcanza su máximo en z=3/2. Esto es consistente con la interpretación geométrica de la rotación.

<math>z^2 - 3z + 2 = 0</math>

<math>z = \frac{3}{2}</math>

Por lo que el resultado es razonable, la mayor rotación ocurre en la dirección positiva del eje y y está asociada con la coordenada z=3/2, que es el vértice de la parábola que define el campo vectorial en z.

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Para poder estudiar el ''''''campo de temperaturas'''''' con respecto al Flujo de Couette nos ponemos en situación hipotetica:

Sometemos a nuestro fluido a una temperatura dada por el siguiente campo:

<math>T(\rho, \theta) = \log(1 + \rho) \cos^2(\theta)</math>

Para realizar más fácilmente este supuesto lo primero que haremos será pasar de coordenadas polares a coordenadas cartesianas:

<math>
\begin{align*}
x(\rho, \theta) &= \rho \cos(\theta) \\
y(\rho, \theta) &= \rho \sin(\theta)
\end{align*}
</math>

<math>
\begin{align*}
\rho &= \sqrt{x^2 + y^2} \\
\theta &= \arctan\left(\frac{y}{x}\right)
\end{align*}
</math>

Como nuestros ejes son {j⃗ ,k⃗ }

<math>
\begin{align*}
y(\rho, \theta) &= \rho \cos(\theta) \\
z(\rho, \theta) &= \rho \sin(\theta) \\
\rho &= \sqrt{y^2 + z^2} \\
\theta &= \arctan\left(\frac{z}{y}\right)
\end{align*}
</math>

Sustituimos en T (ρ, θ) para obtener el campo en cartesianas T(y,z):

<math>T(y,z) = \log\left(1 + \sqrt{y^2 + z^2}\cos^2\left(\arctan\left(\frac{z}{y}\right)\right)\right)</math>

<math>T(y,z) = \log\left(1 + \sqrt{y^2 + z^2}\right) \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{z}{y}\right)^2}</math>

<math>\fbox{$T(y,z) = \log(1 + \sqrt{y^2 + z^2}) \cdot \frac{y^2}{y^2 + z^2}$}</math>

Con las coordenadas cambiadas será mucho más fácil representar el campo gráficamente con Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=log(1+(sqrt(Y.^2+Z.^2))).*((Y.^2)./((Y.^2)+(Z.^2)));
pcolor(Y,Z,p);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar
figure(2)
contour(Y,Z,p,10,'k');
grid on
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:temperatura34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Temperaturas]]

== GRADIENTE DE LA TEMPERATURA==
Para qu ela representacion grafica del gradiente sea mas facil de trabajar hemos decidido trabajar con coordenadas cilindricas:

$T = \ln(1 + \rho) \cos^2(\theta)$

El gradiente en coordenadas cilíndricas sigue la siguiente fórmula:

$\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \mathbf{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} \mathbf{e}_{\theta} + \frac{\partial T}{\partial z} \mathbf{e}_z$

Donde vemos la particularidad de que hay que dividir entre ρ la parcial respecto θ.

$\frac{\partial T}{\partial \rho} \mathbf{e}_{\rho} = \frac{\cos^2(\theta)}{1 + \rho}$

$\frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} \mathbf{e}_{\theta} = -\frac{2 \ln(1 + \rho) \cos(\theta) \sin(\theta)}{\rho}$

Representamos el gradiente en Matlab con el siguiente código:

{{matlab|codigo=
y=-5:0.1:5;
z=-1:0.1:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
Ro=sqrt(Y.^2+Z.^2);
Theta=atan(Z./(Y));
T=log(1+Ro).*cos(Theta).^2;
G1=((cos(Theta).^2).*(1./(Ro+1)));
G2=((1./Ro).*((-2).*log(Ro+1).*cos(Theta).*sin(Theta)));
figure
hold on
grid on
title(‘Gradiente de temperatura’)
quiver(Y,Z,G1,G2)
contour(Y,Z,T,'k')
axis([-5,5,-2,2])
hold off}}

[[Archivo:gradiente34 .png|400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente de Temperatura]]

==CAUDAL==

EL caudal de un rio es la cantidad e agua que fluye por unidad de tiempo a través de un punto específico en el río. Para poder calcular este caudal vamos a trabajar con la integral de superficie. Esta fórmula se utiliza para calcular el caudal total a lo largo de toda la sección transversal del río. Vamos a establecer profunidad de 1 metro por unidad de tiempo.

Integral de Superficie
<math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}</math>
-Campo de velocidades calculado en el apartado 3:
<math>\boxed(\mathbf{u}(\mathbf{y,z}) = \frac{{z^2 - 3z + 2}}{2} \overline{\mathbf{j}})</math>
Velocidad en m/s

Profundidad caudal: 1 metro

Tenemos que parametrizar la superficie S sobre la que vamos a trabajar. Dado que estamos trabajando en un rectángulo de dominio [0, 8] × [0, 1], parametrizamos la superficie S usando los parámetros u y v.

$\overline{r}(u,v) = \begin{bmatrix} x(u,v) \\ y(u,v) \\ z(u,v) \end{bmatrix}$
teniendo en cuenta que trabajamos en el plano x=0, tomamos:

$\overline{r}(u,v) = \begin{bmatrix} 0 \\ 8u \\ v \end{bmatrix}$

Estando u, es decir y, en el intervalo [0,-1] y v (z) en [0,1].

---Profundidad caudal (z), entre -1 y 1:--
$\frac{d\vec{s}}{} = \frac{\partial\vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial\vec{r}}{\partial v} \, du \, dv$

$\frac{d\vec{r}}{du} = \begin{bmatrix} 0 \\ 8 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\frac{d\vec{r}}{dv} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\frac{d\vec{s}}{} = \frac{\partial\vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial\vec{r}}{\partial v} $

$\vec{r}_u \times \vec{r}_v = \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right| = 8\mathbf{i}$

Definimos el Flujo
$ Q = \int \int \vec{u} \, d\vec{S} \, du \, dv $

<math>(\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \frac{{v^2 - 3v + 2}}{2} \cdot 8 \, du \, dv \</math>

$\int_S \vec{v} \, d\vec{S} = \int_S \bar{u}|\vec{r}_u \times \vec{r}_v|$

---PROCEDEMOS AL CALCULO--

$\int_S \vec{v} \, d\vec{S} = \int_S \bar{u}|\vec{r}_u \times \vec{r}_v|$

<math>\$\int_{-1}^0 \int_0^1 \frac{{z^2-3z+2}}{2} \cdot 8 \, dz \, dx$</math>

$\int_{-1}^0 \frac{1}{2} \left(\frac{z^2}{4} - \frac{3z^2}{2} + 2z\right) \, dz$

$\int_{-1}^0 \left[\frac{z^4}{8} - \frac{3z^2}{4} + z\right] \, dx$
Despues reemplazamos el Valor de Z:
$\int_{-1}^0 \left(\frac{1}{8} - \frac{3}{4} + 1\right) \, dx$

Resolvemos las fracciones de adentro

$\int_{-1}^0 \frac{3}{8} \, dx$

Proseguimos con el calculo de la integral

<math>\[\left[\frac{3}{8}x\right]_{-1}^0\]</math>

y el resultado final es:
<math>\[= -\frac{3}{8} = \frac{3}{8} = 0.375 \, \text{m}^2/\text{s}]</math>

Flujo de Couette en planos paralelos horizontales. 34A

2023-12-14T17:21:15Z

Jose Luis Lema Paguay: /* CAUDAL */

{{ TrabajoED | Flujo de Coutte(Flujo de un fluido incomprensible). Grupo 34-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Julia Roquero Arregui, Eduardo Lopez Reyes, Jose Luis Lema, Lorenzo Perez Guerrero}}
En este articulo empezaremos explicando un poco del flujo de Coutte

==INTRODUCCION: FLUJO DE COUETTE.==

En nuestro trabajo vamos a realizar un estudio del '''Flujo de Couette'''. Para ello es imprescindible saber en qué consiste este fenómeno y las aplicaciones que tiene en nuestras vidas. El Flujo de Couette es un tipo de flujo en el que un fluido incompresible se desplaza entre dos planos paralelos e infinitos separados a una distancia determinada. Uno de los planos se encuentra en reposo, y el otro es el que induce el flujo al moverse en una dirección j (eje y), paralelamente a sí misma, con una velocidad constante <math>v\vec{j}</math>, y sin existir un gradiente de presión reducida. Este suceso nos proporciona datos imprescindibles para poder entender los patrones de flujo y la dinámica de fluidos.

Para poder analizar el comportamiento del fluido, utilizaremos como herramienta auxiliar MATLAB, plataforma de programación y calculo numérico que nos permitirá visualizar dicho comportamiento en forma de graficas.

==SUPERFICIE DE ESTUDIO==

En esta investigación nos vamos a centrar en la siguiente '''superficie de estudio''':

Trabajaremos con un rectángulo de dominio [0, 8] × [0, 1], al trabajar en un plano x=0, el plano queda proyectado sobre la recta z=1 y el inferior sobre la recta z=0. Esto nos indica que al trabajar en coordenadas cartesianas (y,z), la coordenada y quedara en el intervalo definido por el dominio [0,8] y la coordenada z quedara en [0,1].

Ademas definiremos los ejes de la región [0, 8] × [−1, 2].

Usando un paso de 0.7 para mayor claridad de representacion, dibujamos nuestra superficie mediante el programa MATLAB usando en siguiente código:

{{matlab|codigo=
y=0:0.07:8;
z=0:0.07:1;
[yy,zz]=meshgrid(y,z);
figure(1);
h=mesh (yy,zz,0*yy);
set(h, 'EdgeColor', 'g',
('LineWidth', 0.7);
rectangle('Position', [min(y),
min(z), max(y)-min(y), max(z)-
min(z)], 'EdgeColor', 'K',
'LineWidth', 1);
grid on [0,8] * [-1, 2]%
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:mallado34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

==ECUACION DE NAVIER-STOKES.==

La ecuación de Navier-Stokes es una ecuación fundamental en la mecánica de fluidos. Describe el movimiento de los fluidos “reales” (liquido o gases). Gracias a esta ecuación podemos modelar fenómenos como el flujo del agua en ríos, corrientes oceánicas, el clima, el comportamiento de la atmosfera, vuelos de aviones y otros muchos sistemas en los que se implican los fluidos.
A continuación, vamos a mostrar que el fluido, sujeto a un campo de velocidad y un campo de presión, cumple con la ecuación Navier-Stokes. Al cumplir con ello, verificaríamos que el fluido es incomprensible. Un fluido incomprensible es cualquier fluido cuya densidad permanece constante con el tiempo, ni su masa ni su volumen pueden cambiar.

La ecuación Navier-Stokes es:

<math>\begin{equation}(u \cdot \nabla)u + \nabla p = \mu \nabla^2u \quad \longleftrightarrow \quad (u \cdot \nabla)u + \nabla p = \mu \Delta u\end{equation}</math>

Siendo:
* u=campo de velocidad del fluido.
* p=presión en el fluido.
* μ=coeficiente de viscosidad del fluido.

La velocidad de las partículas del fluido dada: u(y, z)=f(z)j siendo j el vector unitario dirección y

Presión dada: <math>p(x, y, z) = p_1 + (p_2 - p_1)(y - 1)</math>

Donde:
* p1=presion en los puntos y=1
* p2=presion en los puntos y=2

<math>(u \cdot \nabla)u = u_j \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right) \mathbf{e}_i</math>

<math>\Delta \mathbf{u} = u_i \mathbf{e}_i</math>

<math>\mathbf{u} = u_i \mathbf{e}_i</math>

Desarrollamos término a término nuestra ecuación:

1) <center><math>\displaystyle
\begin{align*}
(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} &=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z}
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2
\end{pmatrix}
\end{align*}</math></center>

Para nuestro campo será:

<math>\begin{bmatrix}
\frac{\partial f(z)}{\partial y} & \frac{\partial f(z)}{\partial z} \\
\frac{\partial 0}{\partial y} & \frac{\partial 0}{\partial z}
\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}
f(z) \\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 & f'(z) \\
0 & 0
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
f(z) \\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 \\
0
\end{bmatrix}</math>

Calculamos el gradiente del campo de presiones:

2) <math>\nabla P = \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial z}</math>
siendo p (x, y, z) = p1 + (p2 − p1)(y − 1) = 2p1-p2+p2y-p1y

<math>\nabla P = \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial z}</math> =p2-p1

El laplaciano en coordenadas cartesianas se reduce a realizar las derivadas parciales de la función dos veces:

3) <math>\Delta \mathbf{u} = \nabla (\nabla \mathbf{u})</math>

Por lo tanto,

<math>\Delta \mathbf{u} = \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{i}^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{j}^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{k}^2} = f''(z) \mathbf{j}</math>

Sustituimos estos tres términos obtenidos en la ecuación de Navier-Stokes:

<math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ (p_2 - p_1)\mathbf{j} = \mu \begin{bmatrix} f''(z) \\ 0 \end{bmatrix}</math>

<math> f''(z)= \frac{(p_2-p_1)}{μ}\vec{j} </math>

El f(z) resultante será nuestro campo de velocidad ante el cual se somete nuestro fluido.
Integramos para hallar f (z):

<math>f''(z) = \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}}</math>

<math>f'(z) = \int f''(z) \, dz = \frac{p_2 - p_1}{\mu} z \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}}</math>

<math>f(z) = \int f'(z) \, dz = \frac{z^2}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 z \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_2 \bar{\mathbf{j}}</math>

Las constantes que nos aparecen al integrar las podremos sacar de las condiciones de contorno que presenta nuestro fluido:

Para z=0 <math>\longrightarrow</math> f(z)=vj ̅

Por lo que <math>f(z=0) = 0\bar{\mathbf{j}} + 0\bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_2\bar{\mathbf{j}} = v\bar{\mathbf{j}}</math>

<math>\text{cte}_2 = v\bar{\mathbf{j}}</math>

Para z=1 <math>\longrightarrow</math> f(z)=0

Por lo que <math>f(z=1) = \frac{1}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}} + v\bar{\mathbf{j}} = 0</math>

<math>\text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}} = -v\bar{\mathbf{j}} - \frac{1}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}}</math>

El campo de velocidades queda:
<math>\boxed{\mathbf{f(z) = \frac{(z^2 - z)}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + v(1 - z) \bar{\mathbf{j}}}}</math>

==REPRESENTACION DEL CAMPO DE VELOCIDADES Y CAMPO DE PRESIONES==
Para calcular el '''campo de velocidades''' y poder representarlo gráficamente hemos usado los valores p1=1,p2=2,v=1,μ= 1

<center>
<math>\displaystyle \mathbf{u} = \frac{(z^2 - z)}{2} \cdot \frac{(2 - 1)}{1} \bar{\mathbf{j}} + 1(1 - z) \bar{\mathbf{j}}</math>

<math>\displaystyle \mathbf{u} = \frac{(z^2 - z)}{2} \bar{\mathbf{j}} + (1 - z) \bar{\mathbf{j}} = \frac{(z^2 - 3z + 2)}{2} \bar{\mathbf{j}}</math>
</center>

<center><math>\displaystyle \boxed{\mathbf{u} = \frac{(z^2 - 3z + 2)}{2} \bar{\mathbf{j}}}</math></center>

Acudimos a Matlab para su representación:
{{matlab|codigo=
%Definimos mallado
[Y,Z] = meshgrid([0:0.30:8],[0:0.1:1]);
%Definimos uy y uz
uy=inline('((z.^2-3*z+2))./(2)','y','z');
uz=inline('0.*y','y','z');
%Calculamos U y V segun las funciones y el mallado
U=uy(Y,Z);
V=uz(Y,Z);
%Fijamos limites
axis([0,8,-1,2]);
%Ajustamos flechas
quiver(Y,Z,U,V);}}

[[Archivo:campodevelocidad34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades]]

Por otra parte, para el '''campo de presiones''', Simplemente sustituimos nuestros valores particularizados en la función de presiones: p1=1, p2=2

<center>
<math>\displaystyle p(x, y, z) = p_1 + (p_2 - p_1)(y - 1) = 1 + (2 - 1)(y - 1) = 1 + y - 1 = y</math>

'''<math>\displaystyle \boxed{p(x, y, z) = y}</math>'''
</center>

Nos sale una función que depende sólo de y. Representando el campo de presiones en Matlab con el siguiente código:

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
f=Y;
surf(Y,Z,f);
view(2);
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:campodepresiones34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presiones]]

==LINEAS DE CORRIENTE==
Buscamos las '''<math>\underline{\textbf{líneas de corriente}}</math>''' en el campo de velocidades u(y,z) = f(z)j , es decir, las líneas que son tangentes al campo u en cada punto.
Para ello, calculamos el campo v, que es ortogonal al campo vectorial u, tomando v = i×u. (i es vector unitario).

v= i×u = f(z)k

Teniendo en cuenta que v es irrotacional, es decir, que su rotacional es cero ∇×v=0, y que el potencial escalar ψ, tal que v=∇ψ, se puede expresar ∇×v=0. En este caso ∇×v= ∇×(i×u)=0. Se puede comprobar al realizar el rotacional:

<big><math>
\begin{array}{@{}l@{}}
\nabla\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & 0 & f(z) \end{vmatrix}
\end{array}
</math></big>

Donde la derivada parcial respecto a $y$ de $f(z)$, al depender solo de $z$, es $0$. Con esto se comprueba que es irrotacional.

Calculamos la función potencial ψ(y,z):

Según la definición:

<center> <math> \vec{v}=\nabla \psi (y,z)
\ v_1=\frac{\partial \psi }{\partial y} \ {,} \ \ v_2 =\frac{\partial \psi}{\partial z} </math></center>

Sabemos que f(z) depende sólo de z, así que el diferencial parcial respecto y será 0.

Calculamos el potencial escalar integrando v respecto z:

<math>\psi = \int \vec{v} \cdot dz = \int \left( \frac{z^2 - z}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} + v(1 - z) \right) dz = \frac{2z^3 - 3z^2}{12} \frac{p_2 - p_1}{\mu} - v\left(\frac{z^2 - 2z}{2}\right) + \text{cte}</math>

La constante la podemos sacar de las condiciones de contorno, como sabemos que en z=1 la velocidad es cero, la corriente en z=1 debe ser cero también:

<math>\psi(z=1) = 0 = \frac{2 \cdot 1^3 - 3 \cdot 1^2}{12} \frac{p_2 - p_1}{\mu} - v\left(\frac{1^2 - 2 \cdot 1}{2}\right) + \text{cte}</math>

<math>\text{cte} = -\frac{v}{2} + \frac{p_2 - p_1}{12\mu}</math>

Por lo que ψ queda como:

<math>\psi = \frac{z^3}{6} - \frac{3z^2}{4} + z - \frac{v}{2} + \frac{p_2 - p_1}{12\mu}</math>

Particularizando con p_1=1, p_2=2,v=1 y µ=1 queda:

'''<math>\boxed{\boldsymbol{\psi = \frac{z^3}{6} - \frac{3z^2}{4} + z - \frac{5}{12}}}</math>'''

La constante, o sea –(5/12), resulta ser la corriente en z=0 cuando está particularizado.

Dibujamos las líneas de corriente en Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.01:8;
z=0:0.01:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
psi=(((Z.^3)./6)-((3/4).*(Z.^2))+Z-(5/12));
contour(Y,Z,psi);
axis([0,8,-1,2]);
title('Líneas de corriente');
colorbar;}}

[[Archivo:corriente34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Lineas de Corriente]]

Gráficamente es sencillo de verificar que las líneas de corriente son paralelas al campo de velocidades en cada punto, justificando que son las líneas de corriente de nuestro campo u.

==VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO==

Para encontrar los puntos donde el módulo de la velocidad del flujo es '''<math>\underline{\textbf{máximo}}</math>''' hemos de igualar a 0 la primera derivada de f(z):

<math>f(z) = \frac{z^2 - z}{2} \bar{j} + (1 - z) \bar{j}</math>

<math>f'(z) = z - \frac{1}{2} \bar{j} - \bar{j} = z - \frac{3}{2} \bar{j}</math>

<math>f'(z) = z - \frac{3}{2} \bar{j}</math>

<math>f'(z) = 0</math>

<math>f'(z) = z - \frac{3}{2} \bar{j} = 0</math>

'''<math>\boxed{z = \frac{3}{2} \bar{j}}</math>'''

Resulta que nuestro campo de velocidades tiene como función una parábola que tiene un extremo mínimo y no un extremo máximo. En z=3/2 la velocidad es -1/8 y luego en z=2 vuelve a ser 0. Se trata de una '''parábola con concavidad positiva'''.

Además 3/2 se encuentra fuera del dominio de nuestra función, dentro del dominio la z en la que la velocidad es máxima resulta ser z=0, con velocidad v, 1 si particularizamos a v=1.

Gráficamente se ve muy bien:

[[Archivo:parabola34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|direccion]]

Las líneas rojas marcan los planos inferior y superior. El punto morado es el mínimo absoluto de la función

==ROTACIONAL DEL CAMPO U==
El ''''''rotacional'''''' de un campo vectorial muestra la tendencia de dicho campo a inducir rotación alrededor de un punto. A continuación, vamos a calcular el rotacional de nuestro campo u y a analizar su aspecto.

Calculamos el rotacional de u (∇ × u)

'''<math>\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}</math>'''

Con nuestro campo u= f(z)j, siendo f(z)

'''<math>f(z) = \frac{z^2 - z}{2} \bar{j} + (1 - z) \bar{j}</math>'''

Primero hemos de calcular el determinante:

'''<math>\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}</math>'''

'''<math>\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
0 & \frac{z^2 - 3z + 2}{2} & 0
\end{vmatrix}</math>'''

Calculamos derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_y}{\partial z} = -\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z^2 - 3z + 2}{2}\right) \mathbf{\Im} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}</math>

El rotacional calculado es:

<math>\nabla \times \mathbf{u} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}</math>

Para poder analizar su aspecto dibujamos el campo |∇ × u| en Matlab:

{{matlab|codigo=
%vector y con rango de 0 a 8
y=0:0.1:8;
%vector z con rango de 0 a 1
z=0:0.1:1;
%creamos el mallado según los vectores y y z
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
%calculamos diferencia absoluta entre z y 1/2,
rotacion=abs(-Z+3/2);
%representamos tridimensionalmente la superficie
surf(Y,Z,rotacion)
%limitamos los ejes
axis([0,8,-1,2])
%representacion con vista 2D
view(2)}}

[[Archivo:rotacional34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

El rotacional que nos ha dado resultado es

<math>\nabla \times \mathbf{u} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}</math>

El campo vectorial tiene una componente en la dirección positiva de y de 3/2 en la cual la rotación es máxima.
Al analizar el campo vectorial original u, es proporcional a z^2-3z+2. Este término cuadrático plantea que el campo tiene un comportamiento parabólico con vertice.que alcanza su máximo en z=3/2. Esto es consistente con la interpretación geométrica de la rotación.

<math>z^2 - 3z + 2 = 0</math>

<math>z = \frac{3}{2}</math>

Por lo que el resultado es razonable, la mayor rotación ocurre en la dirección positiva del eje y y está asociada con la coordenada z=3/2, que es el vértice de la parábola que define el campo vectorial en z.

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Para poder estudiar el ''''''campo de temperaturas'''''' con respecto al Flujo de Couette nos ponemos en situación hipotetica:

Sometemos a nuestro fluido a una temperatura dada por el siguiente campo:

<math>T(\rho, \theta) = \log(1 + \rho) \cos^2(\theta)</math>

Para realizar más fácilmente este supuesto lo primero que haremos será pasar de coordenadas polares a coordenadas cartesianas:

<math>
\begin{align*}
x(\rho, \theta) &= \rho \cos(\theta) \\
y(\rho, \theta) &= \rho \sin(\theta)
\end{align*}
</math>

<math>
\begin{align*}
\rho &= \sqrt{x^2 + y^2} \\
\theta &= \arctan\left(\frac{y}{x}\right)
\end{align*}
</math>

Como nuestros ejes son {j⃗ ,k⃗ }

<math>
\begin{align*}
y(\rho, \theta) &= \rho \cos(\theta) \\
z(\rho, \theta) &= \rho \sin(\theta) \\
\rho &= \sqrt{y^2 + z^2} \\
\theta &= \arctan\left(\frac{z}{y}\right)
\end{align*}
</math>

Sustituimos en T (ρ, θ) para obtener el campo en cartesianas T(y,z):

<math>T(y,z) = \log\left(1 + \sqrt{y^2 + z^2}\cos^2\left(\arctan\left(\frac{z}{y}\right)\right)\right)</math>

<math>T(y,z) = \log\left(1 + \sqrt{y^2 + z^2}\right) \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{z}{y}\right)^2}</math>

<math>\fbox{$T(y,z) = \log(1 + \sqrt{y^2 + z^2}) \cdot \frac{y^2}{y^2 + z^2}$}</math>

Con las coordenadas cambiadas será mucho más fácil representar el campo gráficamente con Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=log(1+(sqrt(Y.^2+Z.^2))).*((Y.^2)./((Y.^2)+(Z.^2)));
pcolor(Y,Z,p);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar
figure(2)
contour(Y,Z,p,10,'k');
grid on
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:temperatura34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Temperaturas]]

== GRADIENTE DE LA TEMPERATURA==
Para qu ela representacion grafica del gradiente sea mas facil de trabajar hemos decidido trabajar con coordenadas cilindricas:

$T = \ln(1 + \rho) \cos^2(\theta)$

El gradiente en coordenadas cilíndricas sigue la siguiente fórmula:

$\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \mathbf{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} \mathbf{e}_{\theta} + \frac{\partial T}{\partial z} \mathbf{e}_z$

Donde vemos la particularidad de que hay que dividir entre ρ la parcial respecto θ.

$\frac{\partial T}{\partial \rho} \mathbf{e}_{\rho} = \frac{\cos^2(\theta)}{1 + \rho}$

$\frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} \mathbf{e}_{\theta} = -\frac{2 \ln(1 + \rho) \cos(\theta) \sin(\theta)}{\rho}$

Representamos el gradiente en Matlab con el siguiente código:

{{matlab|codigo=
y=-5:0.1:5;
z=-1:0.1:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
Ro=sqrt(Y.^2+Z.^2);
Theta=atan(Z./(Y));
T=log(1+Ro).*cos(Theta).^2;
G1=((cos(Theta).^2).*(1./(Ro+1)));
G2=((1./Ro).*((-2).*log(Ro+1).*cos(Theta).*sin(Theta)));
figure
hold on
grid on
title(‘Gradiente de temperatura’)
quiver(Y,Z,G1,G2)
contour(Y,Z,T,'k')
axis([-5,5,-2,2])
hold off}}

[[Archivo:gradiente34 .png|400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente de Temperatura]]

==CAUDAL==

EL caudal de un rio es la cantidad e agua que fluye por unidad de tiempo a través de un punto específico en el río. Para poder calcular este caudal vamos a trabajar con la integral de superficie. Esta fórmula se utiliza para calcular el caudal total a lo largo de toda la sección transversal del río. Vamos a establecer profunidad de 1 metro por unidad de tiempo.

Integral de Superficie
<math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}</math>
-Campo de velocidades calculado en el apartado 3:
<math>\boxed(\mathbf{u}(\mathbf{y,z}) = \frac{{z^2 - 3z + 2}}{2} \overline{\mathbf{j}})</math>
Velocidad en m/s

Profundidad caudal: 1 metro

Tenemos que parametrizar la superficie S sobre la que vamos a trabajar. Dado que estamos trabajando en un rectángulo de dominio [0, 8] × [0, 1], parametrizamos la superficie S usando los parámetros u y v.

$\overline{r}(u,v) = \begin{bmatrix} x(u,v) \\ y(u,v) \\ z(u,v) \end{bmatrix}$
teniendo en cuenta que trabajamos en el plano x=0, tomamos:

$\overline{r}(u,v) = \begin{bmatrix} 0 \\ 8u \\ v \end{bmatrix}$

Estando u, es decir y, en el intervalo [0,-1] y v (z) en [0,1].

---Profundidad caudal (z), entre -1 y 1:--
$\frac{d\vec{s}}{} = \frac{\partial\vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial\vec{r}}{\partial v} \, du \, dv$

$\frac{d\vec{r}}{du} = \begin{bmatrix} 0 \\ 8 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\frac{d\vec{r}}{dv} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\frac{d\vec{s}}{} = \frac{\partial\vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial\vec{r}}{\partial v} $

$\vec{r}_u \times \vec{r}_v = \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right| = 8\mathbf{i}$

Definimos el Flujo
$ Q = \int \int \vec{u} \, d\vec{S} \, du \, dv $

<math>(\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \frac{{v^2 - 3v + 2}}{2} \cdot 8 \, du \, dv \)</math>

$\int_S \vec{v} \, d\vec{S} = \int_S \bar{u}|\vec{r}_u \times \vec{r}_v|$

---PROCEDEMOS AL CALCULO--

$\int_S \vec{v} \, d\vec{S} = \int_S \bar{u}|\vec{r}_u \times \vec{r}_v|$

<math>\$\int_{-1}^0 \int_0^1 \frac{{z^2-3z+2}}{2} \cdot 8 \, dz \, dx$</math>

$\int_{-1}^0 \frac{1}{2} \left(\frac{z^2}{4} - \frac{3z^2}{2} + 2z\right) \, dz$

$\int_{-1}^0 \left[\frac{z^4}{8} - \frac{3z^2}{4} + z\right] \, dx$
Despues reemplazamos el Valor de Z:
$\int_{-1}^0 \left(\frac{1}{8} - \frac{3}{4} + 1\right) \, dx$

Resolvemos las fracciones de adentro

$\int_{-1}^0 \frac{3}{8} \, dx$

Proseguimos con el calculo de la integral

<math>\[\left[\frac{3}{8}x\right]_{-1}^0\]</math>

y el resultado final es:
<math>\[= -\frac{3}{8} = \frac{3}{8} = 0.375 \, \text{m}^2/\text{s}]</math>

Flujo de Couette en planos paralelos horizontales. 34A

2023-12-14T17:18:21Z

Jose Luis Lema Paguay: /* CAMPO DE TEMPERATURAS */

{{ TrabajoED | Flujo de Coutte(Flujo de un fluido incomprensible). Grupo 34-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Julia Roquero Arregui, Eduardo Lopez Reyes, Jose Luis Lema, Lorenzo Perez Guerrero}}
En este articulo empezaremos explicando un poco del flujo de Coutte

==INTRODUCCION: FLUJO DE COUETTE.==

En nuestro trabajo vamos a realizar un estudio del '''Flujo de Couette'''. Para ello es imprescindible saber en qué consiste este fenómeno y las aplicaciones que tiene en nuestras vidas. El Flujo de Couette es un tipo de flujo en el que un fluido incompresible se desplaza entre dos planos paralelos e infinitos separados a una distancia determinada. Uno de los planos se encuentra en reposo, y el otro es el que induce el flujo al moverse en una dirección j (eje y), paralelamente a sí misma, con una velocidad constante <math>v\vec{j}</math>, y sin existir un gradiente de presión reducida. Este suceso nos proporciona datos imprescindibles para poder entender los patrones de flujo y la dinámica de fluidos.

Para poder analizar el comportamiento del fluido, utilizaremos como herramienta auxiliar MATLAB, plataforma de programación y calculo numérico que nos permitirá visualizar dicho comportamiento en forma de graficas.

==SUPERFICIE DE ESTUDIO==

En esta investigación nos vamos a centrar en la siguiente '''superficie de estudio''':

Trabajaremos con un rectángulo de dominio [0, 8] × [0, 1], al trabajar en un plano x=0, el plano queda proyectado sobre la recta z=1 y el inferior sobre la recta z=0. Esto nos indica que al trabajar en coordenadas cartesianas (y,z), la coordenada y quedara en el intervalo definido por el dominio [0,8] y la coordenada z quedara en [0,1].

Ademas definiremos los ejes de la región [0, 8] × [−1, 2].

Usando un paso de 0.7 para mayor claridad de representacion, dibujamos nuestra superficie mediante el programa MATLAB usando en siguiente código:

{{matlab|codigo=
y=0:0.07:8;
z=0:0.07:1;
[yy,zz]=meshgrid(y,z);
figure(1);
h=mesh (yy,zz,0*yy);
set(h, 'EdgeColor', 'g',
('LineWidth', 0.7);
rectangle('Position', [min(y),
min(z), max(y)-min(y), max(z)-
min(z)], 'EdgeColor', 'K',
'LineWidth', 1);
grid on [0,8] * [-1, 2]%
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:mallado34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

==ECUACION DE NAVIER-STOKES.==

La ecuación de Navier-Stokes es una ecuación fundamental en la mecánica de fluidos. Describe el movimiento de los fluidos “reales” (liquido o gases). Gracias a esta ecuación podemos modelar fenómenos como el flujo del agua en ríos, corrientes oceánicas, el clima, el comportamiento de la atmosfera, vuelos de aviones y otros muchos sistemas en los que se implican los fluidos.
A continuación, vamos a mostrar que el fluido, sujeto a un campo de velocidad y un campo de presión, cumple con la ecuación Navier-Stokes. Al cumplir con ello, verificaríamos que el fluido es incomprensible. Un fluido incomprensible es cualquier fluido cuya densidad permanece constante con el tiempo, ni su masa ni su volumen pueden cambiar.

La ecuación Navier-Stokes es:

<math>\begin{equation}(u \cdot \nabla)u + \nabla p = \mu \nabla^2u \quad \longleftrightarrow \quad (u \cdot \nabla)u + \nabla p = \mu \Delta u\end{equation}</math>

Siendo:
* u=campo de velocidad del fluido.
* p=presión en el fluido.
* μ=coeficiente de viscosidad del fluido.

La velocidad de las partículas del fluido dada: u(y, z)=f(z)j siendo j el vector unitario dirección y

Presión dada: <math>p(x, y, z) = p_1 + (p_2 - p_1)(y - 1)</math>

Donde:
* p1=presion en los puntos y=1
* p2=presion en los puntos y=2

<math>(u \cdot \nabla)u = u_j \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right) \mathbf{e}_i</math>

<math>\Delta \mathbf{u} = u_i \mathbf{e}_i</math>

<math>\mathbf{u} = u_i \mathbf{e}_i</math>

Desarrollamos término a término nuestra ecuación:

1) <center><math>\displaystyle
\begin{align*}
(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} &=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z}
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2
\end{pmatrix}
\end{align*}</math></center>

Para nuestro campo será:

<math>\begin{bmatrix}
\frac{\partial f(z)}{\partial y} & \frac{\partial f(z)}{\partial z} \\
\frac{\partial 0}{\partial y} & \frac{\partial 0}{\partial z}
\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}
f(z) \\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 & f'(z) \\
0 & 0
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
f(z) \\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 \\
0
\end{bmatrix}</math>

Calculamos el gradiente del campo de presiones:

2) <math>\nabla P = \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial z}</math>
siendo p (x, y, z) = p1 + (p2 − p1)(y − 1) = 2p1-p2+p2y-p1y

<math>\nabla P = \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial z}</math> =p2-p1

El laplaciano en coordenadas cartesianas se reduce a realizar las derivadas parciales de la función dos veces:

3) <math>\Delta \mathbf{u} = \nabla (\nabla \mathbf{u})</math>

Por lo tanto,

<math>\Delta \mathbf{u} = \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{i}^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{j}^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{k}^2} = f''(z) \mathbf{j}</math>

Sustituimos estos tres términos obtenidos en la ecuación de Navier-Stokes:

<math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ (p_2 - p_1)\mathbf{j} = \mu \begin{bmatrix} f''(z) \\ 0 \end{bmatrix}</math>

<math> f''(z)= \frac{(p_2-p_1)}{μ}\vec{j} </math>

El f(z) resultante será nuestro campo de velocidad ante el cual se somete nuestro fluido.
Integramos para hallar f (z):

<math>f''(z) = \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}}</math>

<math>f'(z) = \int f''(z) \, dz = \frac{p_2 - p_1}{\mu} z \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}}</math>

<math>f(z) = \int f'(z) \, dz = \frac{z^2}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 z \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_2 \bar{\mathbf{j}}</math>

Las constantes que nos aparecen al integrar las podremos sacar de las condiciones de contorno que presenta nuestro fluido:

Para z=0 <math>\longrightarrow</math> f(z)=vj ̅

Por lo que <math>f(z=0) = 0\bar{\mathbf{j}} + 0\bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_2\bar{\mathbf{j}} = v\bar{\mathbf{j}}</math>

<math>\text{cte}_2 = v\bar{\mathbf{j}}</math>

Para z=1 <math>\longrightarrow</math> f(z)=0

Por lo que <math>f(z=1) = \frac{1}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}} + v\bar{\mathbf{j}} = 0</math>

<math>\text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}} = -v\bar{\mathbf{j}} - \frac{1}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}}</math>

El campo de velocidades queda:
<math>\boxed{\mathbf{f(z) = \frac{(z^2 - z)}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + v(1 - z) \bar{\mathbf{j}}}}</math>

==REPRESENTACION DEL CAMPO DE VELOCIDADES Y CAMPO DE PRESIONES==
Para calcular el '''campo de velocidades''' y poder representarlo gráficamente hemos usado los valores p1=1,p2=2,v=1,μ= 1

<center>
<math>\displaystyle \mathbf{u} = \frac{(z^2 - z)}{2} \cdot \frac{(2 - 1)}{1} \bar{\mathbf{j}} + 1(1 - z) \bar{\mathbf{j}}</math>

<math>\displaystyle \mathbf{u} = \frac{(z^2 - z)}{2} \bar{\mathbf{j}} + (1 - z) \bar{\mathbf{j}} = \frac{(z^2 - 3z + 2)}{2} \bar{\mathbf{j}}</math>
</center>

<center><math>\displaystyle \boxed{\mathbf{u} = \frac{(z^2 - 3z + 2)}{2} \bar{\mathbf{j}}}</math></center>

Acudimos a Matlab para su representación:
{{matlab|codigo=
%Definimos mallado
[Y,Z] = meshgrid([0:0.30:8],[0:0.1:1]);
%Definimos uy y uz
uy=inline('((z.^2-3*z+2))./(2)','y','z');
uz=inline('0.*y','y','z');
%Calculamos U y V segun las funciones y el mallado
U=uy(Y,Z);
V=uz(Y,Z);
%Fijamos limites
axis([0,8,-1,2]);
%Ajustamos flechas
quiver(Y,Z,U,V);}}

[[Archivo:campodevelocidad34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades]]

Por otra parte, para el '''campo de presiones''', Simplemente sustituimos nuestros valores particularizados en la función de presiones: p1=1, p2=2

<center>
<math>\displaystyle p(x, y, z) = p_1 + (p_2 - p_1)(y - 1) = 1 + (2 - 1)(y - 1) = 1 + y - 1 = y</math>

'''<math>\displaystyle \boxed{p(x, y, z) = y}</math>'''
</center>

Nos sale una función que depende sólo de y. Representando el campo de presiones en Matlab con el siguiente código:

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
f=Y;
surf(Y,Z,f);
view(2);
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:campodepresiones34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presiones]]

==LINEAS DE CORRIENTE==
Buscamos las '''<math>\underline{\textbf{líneas de corriente}}</math>''' en el campo de velocidades u(y,z) = f(z)j , es decir, las líneas que son tangentes al campo u en cada punto.
Para ello, calculamos el campo v, que es ortogonal al campo vectorial u, tomando v = i×u. (i es vector unitario).

v= i×u = f(z)k

Teniendo en cuenta que v es irrotacional, es decir, que su rotacional es cero ∇×v=0, y que el potencial escalar ψ, tal que v=∇ψ, se puede expresar ∇×v=0. En este caso ∇×v= ∇×(i×u)=0. Se puede comprobar al realizar el rotacional:

<big><math>
\begin{array}{@{}l@{}}
\nabla\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & 0 & f(z) \end{vmatrix}
\end{array}
</math></big>

Donde la derivada parcial respecto a $y$ de $f(z)$, al depender solo de $z$, es $0$. Con esto se comprueba que es irrotacional.

Calculamos la función potencial ψ(y,z):

Según la definición:

<center> <math> \vec{v}=\nabla \psi (y,z)
\ v_1=\frac{\partial \psi }{\partial y} \ {,} \ \ v_2 =\frac{\partial \psi}{\partial z} </math></center>

Sabemos que f(z) depende sólo de z, así que el diferencial parcial respecto y será 0.

Calculamos el potencial escalar integrando v respecto z:

<math>\psi = \int \vec{v} \cdot dz = \int \left( \frac{z^2 - z}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} + v(1 - z) \right) dz = \frac{2z^3 - 3z^2}{12} \frac{p_2 - p_1}{\mu} - v\left(\frac{z^2 - 2z}{2}\right) + \text{cte}</math>

La constante la podemos sacar de las condiciones de contorno, como sabemos que en z=1 la velocidad es cero, la corriente en z=1 debe ser cero también:

<math>\psi(z=1) = 0 = \frac{2 \cdot 1^3 - 3 \cdot 1^2}{12} \frac{p_2 - p_1}{\mu} - v\left(\frac{1^2 - 2 \cdot 1}{2}\right) + \text{cte}</math>

<math>\text{cte} = -\frac{v}{2} + \frac{p_2 - p_1}{12\mu}</math>

Por lo que ψ queda como:

<math>\psi = \frac{z^3}{6} - \frac{3z^2}{4} + z - \frac{v}{2} + \frac{p_2 - p_1}{12\mu}</math>

Particularizando con p_1=1, p_2=2,v=1 y µ=1 queda:

'''<math>\boxed{\boldsymbol{\psi = \frac{z^3}{6} - \frac{3z^2}{4} + z - \frac{5}{12}}}</math>'''

La constante, o sea –(5/12), resulta ser la corriente en z=0 cuando está particularizado.

Dibujamos las líneas de corriente en Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.01:8;
z=0:0.01:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
psi=(((Z.^3)./6)-((3/4).*(Z.^2))+Z-(5/12));
contour(Y,Z,psi);
axis([0,8,-1,2]);
title('Líneas de corriente');
colorbar;}}

[[Archivo:corriente34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Lineas de Corriente]]

Gráficamente es sencillo de verificar que las líneas de corriente son paralelas al campo de velocidades en cada punto, justificando que son las líneas de corriente de nuestro campo u.

==VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO==

Para encontrar los puntos donde el módulo de la velocidad del flujo es '''<math>\underline{\textbf{máximo}}</math>''' hemos de igualar a 0 la primera derivada de f(z):

<math>f(z) = \frac{z^2 - z}{2} \bar{j} + (1 - z) \bar{j}</math>

<math>f'(z) = z - \frac{1}{2} \bar{j} - \bar{j} = z - \frac{3}{2} \bar{j}</math>

<math>f'(z) = z - \frac{3}{2} \bar{j}</math>

<math>f'(z) = 0</math>

<math>f'(z) = z - \frac{3}{2} \bar{j} = 0</math>

'''<math>\boxed{z = \frac{3}{2} \bar{j}}</math>'''

Resulta que nuestro campo de velocidades tiene como función una parábola que tiene un extremo mínimo y no un extremo máximo. En z=3/2 la velocidad es -1/8 y luego en z=2 vuelve a ser 0. Se trata de una '''parábola con concavidad positiva'''.

Además 3/2 se encuentra fuera del dominio de nuestra función, dentro del dominio la z en la que la velocidad es máxima resulta ser z=0, con velocidad v, 1 si particularizamos a v=1.

Gráficamente se ve muy bien:

[[Archivo:parabola34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|direccion]]

Las líneas rojas marcan los planos inferior y superior. El punto morado es el mínimo absoluto de la función

==ROTACIONAL DEL CAMPO U==
El ''''''rotacional'''''' de un campo vectorial muestra la tendencia de dicho campo a inducir rotación alrededor de un punto. A continuación, vamos a calcular el rotacional de nuestro campo u y a analizar su aspecto.

Calculamos el rotacional de u (∇ × u)

'''<math>\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}</math>'''

Con nuestro campo u= f(z)j, siendo f(z)

'''<math>f(z) = \frac{z^2 - z}{2} \bar{j} + (1 - z) \bar{j}</math>'''

Primero hemos de calcular el determinante:

'''<math>\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}</math>'''

'''<math>\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
0 & \frac{z^2 - 3z + 2}{2} & 0
\end{vmatrix}</math>'''

Calculamos derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_y}{\partial z} = -\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z^2 - 3z + 2}{2}\right) \mathbf{\Im} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}</math>

El rotacional calculado es:

<math>\nabla \times \mathbf{u} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}</math>

Para poder analizar su aspecto dibujamos el campo |∇ × u| en Matlab:

{{matlab|codigo=
%vector y con rango de 0 a 8
y=0:0.1:8;
%vector z con rango de 0 a 1
z=0:0.1:1;
%creamos el mallado según los vectores y y z
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
%calculamos diferencia absoluta entre z y 1/2,
rotacion=abs(-Z+3/2);
%representamos tridimensionalmente la superficie
surf(Y,Z,rotacion)
%limitamos los ejes
axis([0,8,-1,2])
%representacion con vista 2D
view(2)}}

[[Archivo:rotacional34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

El rotacional que nos ha dado resultado es

<math>\nabla \times \mathbf{u} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}</math>

El campo vectorial tiene una componente en la dirección positiva de y de 3/2 en la cual la rotación es máxima.
Al analizar el campo vectorial original u, es proporcional a z^2-3z+2. Este término cuadrático plantea que el campo tiene un comportamiento parabólico con vertice.que alcanza su máximo en z=3/2. Esto es consistente con la interpretación geométrica de la rotación.

<math>z^2 - 3z + 2 = 0</math>

<math>z = \frac{3}{2}</math>

Por lo que el resultado es razonable, la mayor rotación ocurre en la dirección positiva del eje y y está asociada con la coordenada z=3/2, que es el vértice de la parábola que define el campo vectorial en z.

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Para poder estudiar el ''''''campo de temperaturas'''''' con respecto al Flujo de Couette nos ponemos en situación hipotetica:

Sometemos a nuestro fluido a una temperatura dada por el siguiente campo:

<math>T(\rho, \theta) = \log(1 + \rho) \cos^2(\theta)</math>

Para realizar más fácilmente este supuesto lo primero que haremos será pasar de coordenadas polares a coordenadas cartesianas:

<math>
\begin{align*}
x(\rho, \theta) &= \rho \cos(\theta) \\
y(\rho, \theta) &= \rho \sin(\theta)
\end{align*}
</math>

<math>
\begin{align*}
\rho &= \sqrt{x^2 + y^2} \\
\theta &= \arctan\left(\frac{y}{x}\right)
\end{align*}
</math>

Como nuestros ejes son {j⃗ ,k⃗ }

<math>
\begin{align*}
y(\rho, \theta) &= \rho \cos(\theta) \\
z(\rho, \theta) &= \rho \sin(\theta) \\
\rho &= \sqrt{y^2 + z^2} \\
\theta &= \arctan\left(\frac{z}{y}\right)
\end{align*}
</math>

Sustituimos en T (ρ, θ) para obtener el campo en cartesianas T(y,z):

<math>T(y,z) = \log\left(1 + \sqrt{y^2 + z^2}\cos^2\left(\arctan\left(\frac{z}{y}\right)\right)\right)</math>

<math>T(y,z) = \log\left(1 + \sqrt{y^2 + z^2}\right) \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{z}{y}\right)^2}</math>

<math>\fbox{$T(y,z) = \log(1 + \sqrt{y^2 + z^2}) \cdot \frac{y^2}{y^2 + z^2}$}</math>

Con las coordenadas cambiadas será mucho más fácil representar el campo gráficamente con Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=log(1+(sqrt(Y.^2+Z.^2))).*((Y.^2)./((Y.^2)+(Z.^2)));
pcolor(Y,Z,p);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar
figure(2)
contour(Y,Z,p,10,'k');
grid on
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:temperatura34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Temperaturas]]

== GRADIENTE DE LA TEMPERATURA==
Para qu ela representacion grafica del gradiente sea mas facil de trabajar hemos decidido trabajar con coordenadas cilindricas:

$T = \ln(1 + \rho) \cos^2(\theta)$

El gradiente en coordenadas cilíndricas sigue la siguiente fórmula:

$\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \mathbf{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} \mathbf{e}_{\theta} + \frac{\partial T}{\partial z} \mathbf{e}_z$

Donde vemos la particularidad de que hay que dividir entre ρ la parcial respecto θ.

$\frac{\partial T}{\partial \rho} \mathbf{e}_{\rho} = \frac{\cos^2(\theta)}{1 + \rho}$

$\frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} \mathbf{e}_{\theta} = -\frac{2 \ln(1 + \rho) \cos(\theta) \sin(\theta)}{\rho}$

Representamos el gradiente en Matlab con el siguiente código:

{{matlab|codigo=
y=-5:0.1:5;
z=-1:0.1:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
Ro=sqrt(Y.^2+Z.^2);
Theta=atan(Z./(Y));
T=log(1+Ro).*cos(Theta).^2;
G1=((cos(Theta).^2).*(1./(Ro+1)));
G2=((1./Ro).*((-2).*log(Ro+1).*cos(Theta).*sin(Theta)));
figure
hold on
grid on
title(‘Gradiente de temperatura’)
quiver(Y,Z,G1,G2)
contour(Y,Z,T,'k')
axis([-5,5,-2,2])
hold off}}

[[Archivo:gradiente34 .png|400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente de Temperatura]]

==CAUDAL==

EL caudal de un rio es la cantidad e agua que fluye por unidad de tiempo a través de un punto específico en el río. Para poder calcular este caudal vamos a trabajar con la integral de superficie. Esta fórmula se utiliza para calcular el caudal total a lo largo de toda la sección transversal del río. Vamos a establecer profunidad de 1 metro por unidad de tiempo.

Integral de Superficie
<math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}</math>
-Campo de velocidades calculado en el apartado 3:
<math>\boxed(\mathbf{u}(\mathbf{y,z}) = \frac{{z^2 - 3z + 2}}{2} \overline{\mathbf{j}})</math>
Velocidad en m/s

Profundidad caudal: 1 metro

Tenemos que parametrizar la superficie S sobre la que vamos a trabajar. Dado que estamos trabajando en un rectángulo de dominio [0, 8] × [0, 1], parametrizamos la superficie S usando los parámetros u y v.

$\overline{r}(u,v) = \begin{bmatrix} x(u,v) \\ y(u,v) \\ z(u,v) \end{bmatrix}$
teniendo en cuenta que trabajamos en el plano x=0, tomamos:

$\overline{r}(u,v) = \begin{bmatrix} 0 \\ 8u \\ v \end{bmatrix}$

Estando u, es decir y, en el intervalo [0,-1] y v (z) en [0,1].

---Profundidad caudal (z), entre -1 y 1:--
$\frac{d\vec{s}}{} = \frac{\partial\vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial\vec{r}}{\partial v} \, du \, dv$

$\frac{d\vec{r}}{du} = \begin{bmatrix} 0 \\ 8 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\frac{d\vec{r}}{dv} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\frac{d\vec{s}}{} = \frac{\partial\vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial\vec{r}}{\partial v} $

$\vec{r}_u \times \vec{r}_v = \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right| = 8\mathbf{i}$

Definimos el Flujo
$ Q = \int \int \vec{u} \, d\vec{S} \, du \, dv $

<math>$\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \frac{{v^2 - 3v + 2}}{2} \cdot 8 \, du \, dv $</math>

$\int_S \vec{v} \, d\vec{S} = \int_S \bar{u}|\vec{r}_u \times \vec{r}_v|$

---PROCEDEMOS AL CALCULO--

$\int_S \vec{v} \, d\vec{S} = \int_S \bar{u}|\vec{r}_u \times \vec{r}_v|$

<math>\$\int_{-1}^0 \int_0^1 \frac{{z^2-3z+2}}{2} \cdot 8 \, dz \, dx$</math>

$\int_{-1}^0 \frac{1}{2} \left(\frac{z^2}{4} - \frac{3z^2}{2} + 2z\right) \, dz$

$\int_{-1}^0 \left[\frac{z^4}{8} - \frac{3z^2}{4} + z\right] \, dx$
Despues reemplazamos el Valor de Z:
$\int_{-1}^0 \left(\frac{1}{8} - \frac{3}{4} + 1\right) \, dx$

Resolvemos las fracciones de adentro

$\int_{-1}^0 \frac{3}{8} \, dx$

Proseguimos con el calculo de la integral

<math>\[\left[\frac{3}{8}x\right]_{-1}^0\]</math>

y el resultado final es:
<math>\[= -\frac{3}{8} = \frac{3}{8} = 0.375 \, \text{m}^2/\text{s}]</math>

Flujo de Couette en planos paralelos horizontales. 34A

2023-12-14T17:14:27Z

Jose Luis Lema Paguay: /* GRADIENTE DE LA TEMPERATURA */

{{ TrabajoED | Flujo de Coutte(Flujo de un fluido incomprensible). Grupo 34-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Julia Roquero Arregui, Eduardo Lopez Reyes, Jose Luis Lema, Lorenzo Perez Guerrero}}
En este articulo empezaremos explicando un poco del flujo de Coutte

==INTRODUCCION: FLUJO DE COUETTE.==

En nuestro trabajo vamos a realizar un estudio del '''Flujo de Couette'''. Para ello es imprescindible saber en qué consiste este fenómeno y las aplicaciones que tiene en nuestras vidas. El Flujo de Couette es un tipo de flujo en el que un fluido incompresible se desplaza entre dos planos paralelos e infinitos separados a una distancia determinada. Uno de los planos se encuentra en reposo, y el otro es el que induce el flujo al moverse en una dirección j (eje y), paralelamente a sí misma, con una velocidad constante <math>v\vec{j}</math>, y sin existir un gradiente de presión reducida. Este suceso nos proporciona datos imprescindibles para poder entender los patrones de flujo y la dinámica de fluidos.

Para poder analizar el comportamiento del fluido, utilizaremos como herramienta auxiliar MATLAB, plataforma de programación y calculo numérico que nos permitirá visualizar dicho comportamiento en forma de graficas.

==SUPERFICIE DE ESTUDIO==

En esta investigación nos vamos a centrar en la siguiente '''superficie de estudio''':

Trabajaremos con un rectángulo de dominio [0, 8] × [0, 1], al trabajar en un plano x=0, el plano queda proyectado sobre la recta z=1 y el inferior sobre la recta z=0. Esto nos indica que al trabajar en coordenadas cartesianas (y,z), la coordenada y quedara en el intervalo definido por el dominio [0,8] y la coordenada z quedara en [0,1].

Ademas definiremos los ejes de la región [0, 8] × [−1, 2].

Usando un paso de 0.7 para mayor claridad de representacion, dibujamos nuestra superficie mediante el programa MATLAB usando en siguiente código:

{{matlab|codigo=
y=0:0.07:8;
z=0:0.07:1;
[yy,zz]=meshgrid(y,z);
figure(1);
h=mesh (yy,zz,0*yy);
set(h, 'EdgeColor', 'g',
('LineWidth', 0.7);
rectangle('Position', [min(y),
min(z), max(y)-min(y), max(z)-
min(z)], 'EdgeColor', 'K',
'LineWidth', 1);
grid on [0,8] * [-1, 2]%
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:mallado34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

==ECUACION DE NAVIER-STOKES.==

La ecuación de Navier-Stokes es una ecuación fundamental en la mecánica de fluidos. Describe el movimiento de los fluidos “reales” (liquido o gases). Gracias a esta ecuación podemos modelar fenómenos como el flujo del agua en ríos, corrientes oceánicas, el clima, el comportamiento de la atmosfera, vuelos de aviones y otros muchos sistemas en los que se implican los fluidos.
A continuación, vamos a mostrar que el fluido, sujeto a un campo de velocidad y un campo de presión, cumple con la ecuación Navier-Stokes. Al cumplir con ello, verificaríamos que el fluido es incomprensible. Un fluido incomprensible es cualquier fluido cuya densidad permanece constante con el tiempo, ni su masa ni su volumen pueden cambiar.

La ecuación Navier-Stokes es:

<math>\begin{equation}(u \cdot \nabla)u + \nabla p = \mu \nabla^2u \quad \longleftrightarrow \quad (u \cdot \nabla)u + \nabla p = \mu \Delta u\end{equation}</math>

Siendo:
* u=campo de velocidad del fluido.
* p=presión en el fluido.
* μ=coeficiente de viscosidad del fluido.

La velocidad de las partículas del fluido dada: u(y, z)=f(z)j siendo j el vector unitario dirección y

Presión dada: <math>p(x, y, z) = p_1 + (p_2 - p_1)(y - 1)</math>

Donde:
* p1=presion en los puntos y=1
* p2=presion en los puntos y=2

<math>(u \cdot \nabla)u = u_j \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right) \mathbf{e}_i</math>

<math>\Delta \mathbf{u} = u_i \mathbf{e}_i</math>

<math>\mathbf{u} = u_i \mathbf{e}_i</math>

Desarrollamos término a término nuestra ecuación:

1) <center><math>\displaystyle
\begin{align*}
(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} &=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z}
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2
\end{pmatrix}
\end{align*}</math></center>

Para nuestro campo será:

<math>\begin{bmatrix}
\frac{\partial f(z)}{\partial y} & \frac{\partial f(z)}{\partial z} \\
\frac{\partial 0}{\partial y} & \frac{\partial 0}{\partial z}
\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}
f(z) \\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 & f'(z) \\
0 & 0
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
f(z) \\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 \\
0
\end{bmatrix}</math>

Calculamos el gradiente del campo de presiones:

2) <math>\nabla P = \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial z}</math>
siendo p (x, y, z) = p1 + (p2 − p1)(y − 1) = 2p1-p2+p2y-p1y

<math>\nabla P = \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial z}</math> =p2-p1

El laplaciano en coordenadas cartesianas se reduce a realizar las derivadas parciales de la función dos veces:

3) <math>\Delta \mathbf{u} = \nabla (\nabla \mathbf{u})</math>

Por lo tanto,

<math>\Delta \mathbf{u} = \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{i}^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{j}^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{k}^2} = f''(z) \mathbf{j}</math>

Sustituimos estos tres términos obtenidos en la ecuación de Navier-Stokes:

<math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ (p_2 - p_1)\mathbf{j} = \mu \begin{bmatrix} f''(z) \\ 0 \end{bmatrix}</math>

<math> f''(z)= \frac{(p_2-p_1)}{μ}\vec{j} </math>

El f(z) resultante será nuestro campo de velocidad ante el cual se somete nuestro fluido.
Integramos para hallar f (z):

<math>f''(z) = \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}}</math>

<math>f'(z) = \int f''(z) \, dz = \frac{p_2 - p_1}{\mu} z \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}}</math>

<math>f(z) = \int f'(z) \, dz = \frac{z^2}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 z \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_2 \bar{\mathbf{j}}</math>

Las constantes que nos aparecen al integrar las podremos sacar de las condiciones de contorno que presenta nuestro fluido:

Para z=0 <math>\longrightarrow</math> f(z)=vj ̅

Por lo que <math>f(z=0) = 0\bar{\mathbf{j}} + 0\bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_2\bar{\mathbf{j}} = v\bar{\mathbf{j}}</math>

<math>\text{cte}_2 = v\bar{\mathbf{j}}</math>

Para z=1 <math>\longrightarrow</math> f(z)=0

Por lo que <math>f(z=1) = \frac{1}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}} + v\bar{\mathbf{j}} = 0</math>

<math>\text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}} = -v\bar{\mathbf{j}} - \frac{1}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}}</math>

El campo de velocidades queda:
<math>\boxed{\mathbf{f(z) = \frac{(z^2 - z)}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + v(1 - z) \bar{\mathbf{j}}}}</math>

==REPRESENTACION DEL CAMPO DE VELOCIDADES Y CAMPO DE PRESIONES==
Para calcular el '''campo de velocidades''' y poder representarlo gráficamente hemos usado los valores p1=1,p2=2,v=1,μ= 1

<center>
<math>\displaystyle \mathbf{u} = \frac{(z^2 - z)}{2} \cdot \frac{(2 - 1)}{1} \bar{\mathbf{j}} + 1(1 - z) \bar{\mathbf{j}}</math>

<math>\displaystyle \mathbf{u} = \frac{(z^2 - z)}{2} \bar{\mathbf{j}} + (1 - z) \bar{\mathbf{j}} = \frac{(z^2 - 3z + 2)}{2} \bar{\mathbf{j}}</math>
</center>

<center><math>\displaystyle \boxed{\mathbf{u} = \frac{(z^2 - 3z + 2)}{2} \bar{\mathbf{j}}}</math></center>

Acudimos a Matlab para su representación:
{{matlab|codigo=
%Definimos mallado
[Y,Z] = meshgrid([0:0.30:8],[0:0.1:1]);
%Definimos uy y uz
uy=inline('((z.^2-3*z+2))./(2)','y','z');
uz=inline('0.*y','y','z');
%Calculamos U y V segun las funciones y el mallado
U=uy(Y,Z);
V=uz(Y,Z);
%Fijamos limites
axis([0,8,-1,2]);
%Ajustamos flechas
quiver(Y,Z,U,V);}}

[[Archivo:campodevelocidad34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades]]

Por otra parte, para el '''campo de presiones''', Simplemente sustituimos nuestros valores particularizados en la función de presiones: p1=1, p2=2

<center>
<math>\displaystyle p(x, y, z) = p_1 + (p_2 - p_1)(y - 1) = 1 + (2 - 1)(y - 1) = 1 + y - 1 = y</math>

'''<math>\displaystyle \boxed{p(x, y, z) = y}</math>'''
</center>

Nos sale una función que depende sólo de y. Representando el campo de presiones en Matlab con el siguiente código:

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
f=Y;
surf(Y,Z,f);
view(2);
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:campodepresiones34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presiones]]

==LINEAS DE CORRIENTE==
Buscamos las '''<math>\underline{\textbf{líneas de corriente}}</math>''' en el campo de velocidades u(y,z) = f(z)j , es decir, las líneas que son tangentes al campo u en cada punto.
Para ello, calculamos el campo v, que es ortogonal al campo vectorial u, tomando v = i×u. (i es vector unitario).

v= i×u = f(z)k

Teniendo en cuenta que v es irrotacional, es decir, que su rotacional es cero ∇×v=0, y que el potencial escalar ψ, tal que v=∇ψ, se puede expresar ∇×v=0. En este caso ∇×v= ∇×(i×u)=0. Se puede comprobar al realizar el rotacional:

<big><math>
\begin{array}{@{}l@{}}
\nabla\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & 0 & f(z) \end{vmatrix}
\end{array}
</math></big>

Donde la derivada parcial respecto a $y$ de $f(z)$, al depender solo de $z$, es $0$. Con esto se comprueba que es irrotacional.

Calculamos la función potencial ψ(y,z):

Según la definición:

<center> <math> \vec{v}=\nabla \psi (y,z)
\ v_1=\frac{\partial \psi }{\partial y} \ {,} \ \ v_2 =\frac{\partial \psi}{\partial z} </math></center>

Sabemos que f(z) depende sólo de z, así que el diferencial parcial respecto y será 0.

Calculamos el potencial escalar integrando v respecto z:

<math>\psi = \int \vec{v} \cdot dz = \int \left( \frac{z^2 - z}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} + v(1 - z) \right) dz = \frac{2z^3 - 3z^2}{12} \frac{p_2 - p_1}{\mu} - v\left(\frac{z^2 - 2z}{2}\right) + \text{cte}</math>

La constante la podemos sacar de las condiciones de contorno, como sabemos que en z=1 la velocidad es cero, la corriente en z=1 debe ser cero también:

<math>\psi(z=1) = 0 = \frac{2 \cdot 1^3 - 3 \cdot 1^2}{12} \frac{p_2 - p_1}{\mu} - v\left(\frac{1^2 - 2 \cdot 1}{2}\right) + \text{cte}</math>

<math>\text{cte} = -\frac{v}{2} + \frac{p_2 - p_1}{12\mu}</math>

Por lo que ψ queda como:

<math>\psi = \frac{z^3}{6} - \frac{3z^2}{4} + z - \frac{v}{2} + \frac{p_2 - p_1}{12\mu}</math>

Particularizando con p_1=1, p_2=2,v=1 y µ=1 queda:

'''<math>\boxed{\boldsymbol{\psi = \frac{z^3}{6} - \frac{3z^2}{4} + z - \frac{5}{12}}}</math>'''

La constante, o sea –(5/12), resulta ser la corriente en z=0 cuando está particularizado.

Dibujamos las líneas de corriente en Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.01:8;
z=0:0.01:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
psi=(((Z.^3)./6)-((3/4).*(Z.^2))+Z-(5/12));
contour(Y,Z,psi);
axis([0,8,-1,2]);
title('Líneas de corriente');
colorbar;}}

[[Archivo:corriente34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Lineas de Corriente]]

Gráficamente es sencillo de verificar que las líneas de corriente son paralelas al campo de velocidades en cada punto, justificando que son las líneas de corriente de nuestro campo u.

==VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO==

Para encontrar los puntos donde el módulo de la velocidad del flujo es '''<math>\underline{\textbf{máximo}}</math>''' hemos de igualar a 0 la primera derivada de f(z):

<math>f(z) = \frac{z^2 - z}{2} \bar{j} + (1 - z) \bar{j}</math>

<math>f'(z) = z - \frac{1}{2} \bar{j} - \bar{j} = z - \frac{3}{2} \bar{j}</math>

<math>f'(z) = z - \frac{3}{2} \bar{j}</math>

<math>f'(z) = 0</math>

<math>f'(z) = z - \frac{3}{2} \bar{j} = 0</math>

'''<math>\boxed{z = \frac{3}{2} \bar{j}}</math>'''

Resulta que nuestro campo de velocidades tiene como función una parábola que tiene un extremo mínimo y no un extremo máximo. En z=3/2 la velocidad es -1/8 y luego en z=2 vuelve a ser 0. Se trata de una '''parábola con concavidad positiva'''.

Además 3/2 se encuentra fuera del dominio de nuestra función, dentro del dominio la z en la que la velocidad es máxima resulta ser z=0, con velocidad v, 1 si particularizamos a v=1.

Gráficamente se ve muy bien:

[[Archivo:parabola34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|direccion]]

Las líneas rojas marcan los planos inferior y superior. El punto morado es el mínimo absoluto de la función

==ROTACIONAL DEL CAMPO U==
El ''''''rotacional'''''' de un campo vectorial muestra la tendencia de dicho campo a inducir rotación alrededor de un punto. A continuación, vamos a calcular el rotacional de nuestro campo u y a analizar su aspecto.

Calculamos el rotacional de u (∇ × u)

'''<math>\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}</math>'''

Con nuestro campo u= f(z)j, siendo f(z)

'''<math>f(z) = \frac{z^2 - z}{2} \bar{j} + (1 - z) \bar{j}</math>'''

Primero hemos de calcular el determinante:

'''<math>\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}</math>'''

'''<math>\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
0 & \frac{z^2 - 3z + 2}{2} & 0
\end{vmatrix}</math>'''

Calculamos derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_y}{\partial z} = -\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z^2 - 3z + 2}{2}\right) \mathbf{\Im} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}</math>

El rotacional calculado es:

<math>\nabla \times \mathbf{u} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}</math>

Para poder analizar su aspecto dibujamos el campo |∇ × u| en Matlab:

{{matlab|codigo=
%vector y con rango de 0 a 8
y=0:0.1:8;
%vector z con rango de 0 a 1
z=0:0.1:1;
%creamos el mallado según los vectores y y z
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
%calculamos diferencia absoluta entre z y 1/2,
rotacion=abs(-Z+3/2);
%representamos tridimensionalmente la superficie
surf(Y,Z,rotacion)
%limitamos los ejes
axis([0,8,-1,2])
%representacion con vista 2D
view(2)}}

[[Archivo:rotacional34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

El rotacional que nos ha dado resultado es

<math>\nabla \times \mathbf{u} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}</math>

El campo vectorial tiene una componente en la dirección positiva de y de 3/2 en la cual la rotación es máxima.
Al analizar el campo vectorial original u, es proporcional a z^2-3z+2. Este término cuadrático plantea que el campo tiene un comportamiento parabólico con vertice.que alcanza su máximo en z=3/2. Esto es consistente con la interpretación geométrica de la rotación.

<math>z^2 - 3z + 2 = 0</math>

<math>z = \frac{3}{2}</math>

Por lo que el resultado es razonable, la mayor rotación ocurre en la dirección positiva del eje y y está asociada con la coordenada z=3/2, que es el vértice de la parábola que define el campo vectorial en z.

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Para poder estudiar el campo de temperaturas con respecto al Flujo de Couette nos ponemos en situación hipotetica:

Sometemos a nuestro fluido a una temperatura dada por el siguiente campo:

T (ρ, θ) = log(1 + ρ) cos^2(θ).
T(ρ,θ)=log⁡〖(l+ρ) 〖cos〗^2⁡(θ) 〗

Para realizar más fácilmente este supuesto lo primero que haremos será pasar de coordenadas polares a coordenadas cartesianas:
x(ρ,θ)=ρ cos⁡(θ)
y(ρ,θ)=ρ sin⁡(θ)

ρ=√(x^2+y^2 )
θ=arctan⁡(y/x)

Como nuestros ejes son {j⃗ ,k⃗ }

y(ρ,θ)=ρ cos⁡(θ)
z(ρ,θ)=ρ sin⁡(θ)

ρ=√(y^2+z^2 )
θ=arctan⁡(z/y)

Sustituimos en T (ρ, θ) para obtener el campo en cartesianas T(y,z):

[CALCULOS]

[CALCULOS]

[CALCULOS]

[CALCULOS]

Con las coordenadas cambiadas será mucho más fácil representar el campo gráficamente con Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=log(1+(sqrt(Y.^2+Z.^2))).*((Y.^2)./((Y.^2)+(Z.^2)));
pcolor(Y,Z,p);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar
figure(2)
contour(Y,Z,p,10,'k');
grid on
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:temperatura34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

== GRADIENTE DE LA TEMPERATURA==
Para qu ela representacion grafica del gradiente sea mas facil de trabajar hemos decidido trabajar con coordenadas cilindricas:

$T = \ln(1 + \rho) \cos^2(\theta)$

El gradiente en coordenadas cilíndricas sigue la siguiente fórmula:

$\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \mathbf{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} \mathbf{e}_{\theta} + \frac{\partial T}{\partial z} \mathbf{e}_z$

Donde vemos la particularidad de que hay que dividir entre ρ la parcial respecto θ.

$\frac{\partial T}{\partial \rho} \mathbf{e}_{\rho} = \frac{\cos^2(\theta)}{1 + \rho}$

$\frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} \mathbf{e}_{\theta} = -\frac{2 \ln(1 + \rho) \cos(\theta) \sin(\theta)}{\rho}$

Representamos el gradiente en Matlab con el siguiente código:

{{matlab|codigo=
y=-5:0.1:5;
z=-1:0.1:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
Ro=sqrt(Y.^2+Z.^2);
Theta=atan(Z./(Y));
T=log(1+Ro).*cos(Theta).^2;
G1=((cos(Theta).^2).*(1./(Ro+1)));
G2=((1./Ro).*((-2).*log(Ro+1).*cos(Theta).*sin(Theta)));
figure
hold on
grid on
title(‘Gradiente de temperatura’)
quiver(Y,Z,G1,G2)
contour(Y,Z,T,'k')
axis([-5,5,-2,2])
hold off}}

[[Archivo:gradiente34 .png|400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente de Temperatura]]

==CAUDAL==

EL caudal de un rio es la cantidad e agua que fluye por unidad de tiempo a través de un punto específico en el río. Para poder calcular este caudal vamos a trabajar con la integral de superficie. Esta fórmula se utiliza para calcular el caudal total a lo largo de toda la sección transversal del río. Vamos a establecer profunidad de 1 metro por unidad de tiempo.

Integral de Superficie
<math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}</math>
-Campo de velocidades calculado en el apartado 3:
<math>\boxed(\mathbf{u}(\mathbf{y,z}) = \frac{{z^2 - 3z + 2}}{2} \overline{\mathbf{j}})</math>
Velocidad en m/s

Profundidad caudal: 1 metro

Tenemos que parametrizar la superficie S sobre la que vamos a trabajar. Dado que estamos trabajando en un rectángulo de dominio [0, 8] × [0, 1], parametrizamos la superficie S usando los parámetros u y v.

$\overline{r}(u,v) = \begin{bmatrix} x(u,v) \\ y(u,v) \\ z(u,v) \end{bmatrix}$
teniendo en cuenta que trabajamos en el plano x=0, tomamos:

$\overline{r}(u,v) = \begin{bmatrix} 0 \\ 8u \\ v \end{bmatrix}$

Estando u, es decir y, en el intervalo [0,-1] y v (z) en [0,1].

---Profundidad caudal (z), entre -1 y 1:--
$\frac{d\vec{s}}{} = \frac{\partial\vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial\vec{r}}{\partial v} \, du \, dv$

$\frac{d\vec{r}}{du} = \begin{bmatrix} 0 \\ 8 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\frac{d\vec{r}}{dv} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\frac{d\vec{s}}{} = \frac{\partial\vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial\vec{r}}{\partial v} $

$\vec{r}_u \times \vec{r}_v = \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right| = 8\mathbf{i}$

Definimos el Flujo
$ Q = \int \int \vec{u} \, d\vec{S} \, du \, dv $

<math>$\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \frac{{v^2 - 3v + 2}}{2} \cdot 8 \, du \, dv $</math>

$\int_S \vec{v} \, d\vec{S} = \int_S \bar{u}|\vec{r}_u \times \vec{r}_v|$

---PROCEDEMOS AL CALCULO--

$\int_S \vec{v} \, d\vec{S} = \int_S \bar{u}|\vec{r}_u \times \vec{r}_v|$

<math>\$\int_{-1}^0 \int_0^1 \frac{{z^2-3z+2}}{2} \cdot 8 \, dz \, dx$</math>

$\int_{-1}^0 \frac{1}{2} \left(\frac{z^2}{4} - \frac{3z^2}{2} + 2z\right) \, dz$

$\int_{-1}^0 \left[\frac{z^4}{8} - \frac{3z^2}{4} + z\right] \, dx$
Despues reemplazamos el Valor de Z:
$\int_{-1}^0 \left(\frac{1}{8} - \frac{3}{4} + 1\right) \, dx$

Resolvemos las fracciones de adentro

$\int_{-1}^0 \frac{3}{8} \, dx$

Proseguimos con el calculo de la integral

<math>\[\left[\frac{3}{8}x\right]_{-1}^0\]</math>

y el resultado final es:
<math>\[= -\frac{3}{8} = \frac{3}{8} = 0.375 \, \text{m}^2/\text{s}]</math>

Flujo de Couette en planos paralelos horizontales. 34A

2023-12-14T17:11:42Z

Jose Luis Lema Paguay: /* GRADIENTE DE LA TEMPERATURA */

{{ TrabajoED | Flujo de Coutte(Flujo de un fluido incomprensible). Grupo 34-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Julia Roquero Arregui, Eduardo Lopez Reyes, Jose Luis Lema, Lorenzo Perez Guerrero}}
En este articulo empezaremos explicando un poco del flujo de Coutte

==INTRODUCCION: FLUJO DE COUETTE.==

En nuestro trabajo vamos a realizar un estudio del '''Flujo de Couette'''. Para ello es imprescindible saber en qué consiste este fenómeno y las aplicaciones que tiene en nuestras vidas. El Flujo de Couette es un tipo de flujo en el que un fluido incompresible se desplaza entre dos planos paralelos e infinitos separados a una distancia determinada. Uno de los planos se encuentra en reposo, y el otro es el que induce el flujo al moverse en una dirección j (eje y), paralelamente a sí misma, con una velocidad constante <math>v\vec{j}</math>, y sin existir un gradiente de presión reducida. Este suceso nos proporciona datos imprescindibles para poder entender los patrones de flujo y la dinámica de fluidos.

Para poder analizar el comportamiento del fluido, utilizaremos como herramienta auxiliar MATLAB, plataforma de programación y calculo numérico que nos permitirá visualizar dicho comportamiento en forma de graficas.

==SUPERFICIE DE ESTUDIO==

En esta investigación nos vamos a centrar en la siguiente '''superficie de estudio''':

Trabajaremos con un rectángulo de dominio [0, 8] × [0, 1], al trabajar en un plano x=0, el plano queda proyectado sobre la recta z=1 y el inferior sobre la recta z=0. Esto nos indica que al trabajar en coordenadas cartesianas (y,z), la coordenada y quedara en el intervalo definido por el dominio [0,8] y la coordenada z quedara en [0,1].

Ademas definiremos los ejes de la región [0, 8] × [−1, 2].

Usando un paso de 0.7 para mayor claridad de representacion, dibujamos nuestra superficie mediante el programa MATLAB usando en siguiente código:

{{matlab|codigo=
y=0:0.07:8;
z=0:0.07:1;
[yy,zz]=meshgrid(y,z);
figure(1);
h=mesh (yy,zz,0*yy);
set(h, 'EdgeColor', 'g',
('LineWidth', 0.7);
rectangle('Position', [min(y),
min(z), max(y)-min(y), max(z)-
min(z)], 'EdgeColor', 'K',
'LineWidth', 1);
grid on [0,8] * [-1, 2]%
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:mallado34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

==ECUACION DE NAVIER-STOKES.==

La ecuación de Navier-Stokes es una ecuación fundamental en la mecánica de fluidos. Describe el movimiento de los fluidos “reales” (liquido o gases). Gracias a esta ecuación podemos modelar fenómenos como el flujo del agua en ríos, corrientes oceánicas, el clima, el comportamiento de la atmosfera, vuelos de aviones y otros muchos sistemas en los que se implican los fluidos.
A continuación, vamos a mostrar que el fluido, sujeto a un campo de velocidad y un campo de presión, cumple con la ecuación Navier-Stokes. Al cumplir con ello, verificaríamos que el fluido es incomprensible. Un fluido incomprensible es cualquier fluido cuya densidad permanece constante con el tiempo, ni su masa ni su volumen pueden cambiar.

La ecuación Navier-Stokes es:

<math>\begin{equation}(u \cdot \nabla)u + \nabla p = \mu \nabla^2u \quad \longleftrightarrow \quad (u \cdot \nabla)u + \nabla p = \mu \Delta u\end{equation}</math>

Siendo:
* u=campo de velocidad del fluido.
* p=presión en el fluido.
* μ=coeficiente de viscosidad del fluido.

La velocidad de las partículas del fluido dada: u(y, z)=f(z)j siendo j el vector unitario dirección y

Presión dada: <math>p(x, y, z) = p_1 + (p_2 - p_1)(y - 1)</math>

Donde:
* p1=presion en los puntos y=1
* p2=presion en los puntos y=2

<math>(u \cdot \nabla)u = u_j \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right) \mathbf{e}_i</math>

<math>\Delta \mathbf{u} = u_i \mathbf{e}_i</math>

<math>\mathbf{u} = u_i \mathbf{e}_i</math>

Desarrollamos término a término nuestra ecuación:

1) <center><math>\displaystyle
\begin{align*}
(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} &=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z}
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2
\end{pmatrix}
\end{align*}</math></center>

Para nuestro campo será:

<math>\begin{bmatrix}
\frac{\partial f(z)}{\partial y} & \frac{\partial f(z)}{\partial z} \\
\frac{\partial 0}{\partial y} & \frac{\partial 0}{\partial z}
\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}
f(z) \\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 & f'(z) \\
0 & 0
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
f(z) \\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 \\
0
\end{bmatrix}</math>

Calculamos el gradiente del campo de presiones:

2) <math>\nabla P = \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial z}</math>
siendo p (x, y, z) = p1 + (p2 − p1)(y − 1) = 2p1-p2+p2y-p1y

<math>\nabla P = \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial z}</math> =p2-p1

El laplaciano en coordenadas cartesianas se reduce a realizar las derivadas parciales de la función dos veces:

3) <math>\Delta \mathbf{u} = \nabla (\nabla \mathbf{u})</math>

Por lo tanto,

<math>\Delta \mathbf{u} = \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{i}^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{j}^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{k}^2} = f''(z) \mathbf{j}</math>

Sustituimos estos tres términos obtenidos en la ecuación de Navier-Stokes:

<math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ (p_2 - p_1)\mathbf{j} = \mu \begin{bmatrix} f''(z) \\ 0 \end{bmatrix}</math>

<math> f''(z)= \frac{(p_2-p_1)}{μ}\vec{j} </math>

El f(z) resultante será nuestro campo de velocidad ante el cual se somete nuestro fluido.
Integramos para hallar f (z):

<math>f''(z) = \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}}</math>

<math>f'(z) = \int f''(z) \, dz = \frac{p_2 - p_1}{\mu} z \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}}</math>

<math>f(z) = \int f'(z) \, dz = \frac{z^2}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 z \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_2 \bar{\mathbf{j}}</math>

Las constantes que nos aparecen al integrar las podremos sacar de las condiciones de contorno que presenta nuestro fluido:

Para z=0 <math>\longrightarrow</math> f(z)=vj ̅

Por lo que <math>f(z=0) = 0\bar{\mathbf{j}} + 0\bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_2\bar{\mathbf{j}} = v\bar{\mathbf{j}}</math>

<math>\text{cte}_2 = v\bar{\mathbf{j}}</math>

Para z=1 <math>\longrightarrow</math> f(z)=0

Por lo que <math>f(z=1) = \frac{1}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}} + v\bar{\mathbf{j}} = 0</math>

<math>\text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}} = -v\bar{\mathbf{j}} - \frac{1}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}}</math>

El campo de velocidades queda:
<math>\boxed{\mathbf{f(z) = \frac{(z^2 - z)}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + v(1 - z) \bar{\mathbf{j}}}}</math>

==REPRESENTACION DEL CAMPO DE VELOCIDADES Y CAMPO DE PRESIONES==
Para calcular el '''campo de velocidades''' y poder representarlo gráficamente hemos usado los valores p1=1,p2=2,v=1,μ= 1

<center>
<math>\displaystyle \mathbf{u} = \frac{(z^2 - z)}{2} \cdot \frac{(2 - 1)}{1} \bar{\mathbf{j}} + 1(1 - z) \bar{\mathbf{j}}</math>

<math>\displaystyle \mathbf{u} = \frac{(z^2 - z)}{2} \bar{\mathbf{j}} + (1 - z) \bar{\mathbf{j}} = \frac{(z^2 - 3z + 2)}{2} \bar{\mathbf{j}}</math>
</center>

<center><math>\displaystyle \boxed{\mathbf{u} = \frac{(z^2 - 3z + 2)}{2} \bar{\mathbf{j}}}</math></center>

Acudimos a Matlab para su representación:
{{matlab|codigo=
%Definimos mallado
[Y,Z] = meshgrid([0:0.30:8],[0:0.1:1]);
%Definimos uy y uz
uy=inline('((z.^2-3*z+2))./(2)','y','z');
uz=inline('0.*y','y','z');
%Calculamos U y V segun las funciones y el mallado
U=uy(Y,Z);
V=uz(Y,Z);
%Fijamos limites
axis([0,8,-1,2]);
%Ajustamos flechas
quiver(Y,Z,U,V);}}

[[Archivo:campodevelocidad34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades]]

Por otra parte, para el '''campo de presiones''', Simplemente sustituimos nuestros valores particularizados en la función de presiones: p1=1, p2=2

<center>
<math>\displaystyle p(x, y, z) = p_1 + (p_2 - p_1)(y - 1) = 1 + (2 - 1)(y - 1) = 1 + y - 1 = y</math>

'''<math>\displaystyle \boxed{p(x, y, z) = y}</math>'''
</center>

Nos sale una función que depende sólo de y. Representando el campo de presiones en Matlab con el siguiente código:

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
f=Y;
surf(Y,Z,f);
view(2);
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:campodepresiones34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presiones]]

==LINEAS DE CORRIENTE==
Buscamos las '''<math>\underline{\textbf{líneas de corriente}}</math>''' en el campo de velocidades u(y,z) = f(z)j , es decir, las líneas que son tangentes al campo u en cada punto.
Para ello, calculamos el campo v, que es ortogonal al campo vectorial u, tomando v = i×u. (i es vector unitario).

v= i×u = f(z)k

Teniendo en cuenta que v es irrotacional, es decir, que su rotacional es cero ∇×v=0, y que el potencial escalar ψ, tal que v=∇ψ, se puede expresar ∇×v=0. En este caso ∇×v= ∇×(i×u)=0. Se puede comprobar al realizar el rotacional:

<big><math>
\begin{array}{@{}l@{}}
\nabla\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & 0 & f(z) \end{vmatrix}
\end{array}
</math></big>

Donde la derivada parcial respecto a $y$ de $f(z)$, al depender solo de $z$, es $0$. Con esto se comprueba que es irrotacional.

Calculamos la función potencial ψ(y,z):

Según la definición:

<center> <math> \vec{v}=\nabla \psi (y,z)
\ v_1=\frac{\partial \psi }{\partial y} \ {,} \ \ v_2 =\frac{\partial \psi}{\partial z} </math></center>

Sabemos que f(z) depende sólo de z, así que el diferencial parcial respecto y será 0.

Calculamos el potencial escalar integrando v respecto z:

<math>\psi = \int \vec{v} \cdot dz = \int \left( \frac{z^2 - z}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} + v(1 - z) \right) dz = \frac{2z^3 - 3z^2}{12} \frac{p_2 - p_1}{\mu} - v\left(\frac{z^2 - 2z}{2}\right) + \text{cte}</math>

La constante la podemos sacar de las condiciones de contorno, como sabemos que en z=1 la velocidad es cero, la corriente en z=1 debe ser cero también:

<math>\psi(z=1) = 0 = \frac{2 \cdot 1^3 - 3 \cdot 1^2}{12} \frac{p_2 - p_1}{\mu} - v\left(\frac{1^2 - 2 \cdot 1}{2}\right) + \text{cte}</math>

<math>\text{cte} = -\frac{v}{2} + \frac{p_2 - p_1}{12\mu}</math>

Por lo que ψ queda como:

<math>\psi = \frac{z^3}{6} - \frac{3z^2}{4} + z - \frac{v}{2} + \frac{p_2 - p_1}{12\mu}</math>

Particularizando con p_1=1, p_2=2,v=1 y µ=1 queda:

'''<math>\boxed{\boldsymbol{\psi = \frac{z^3}{6} - \frac{3z^2}{4} + z - \frac{5}{12}}}</math>'''

La constante, o sea –(5/12), resulta ser la corriente en z=0 cuando está particularizado.

Dibujamos las líneas de corriente en Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.01:8;
z=0:0.01:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
psi=(((Z.^3)./6)-((3/4).*(Z.^2))+Z-(5/12));
contour(Y,Z,psi);
axis([0,8,-1,2]);
title('Líneas de corriente');
colorbar;}}

[[Archivo:corriente34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Lineas de Corriente]]

Gráficamente es sencillo de verificar que las líneas de corriente son paralelas al campo de velocidades en cada punto, justificando que son las líneas de corriente de nuestro campo u.

==VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO==

Para encontrar los puntos donde el módulo de la velocidad del flujo es '''<math>\underline{\textbf{máximo}}</math>''' hemos de igualar a 0 la primera derivada de f(z):

<math>f(z) = \frac{z^2 - z}{2} \bar{j} + (1 - z) \bar{j}</math>

<math>f'(z) = z - \frac{1}{2} \bar{j} - \bar{j} = z - \frac{3}{2} \bar{j}</math>

<math>f'(z) = z - \frac{3}{2} \bar{j}</math>

<math>f'(z) = 0</math>

<math>f'(z) = z - \frac{3}{2} \bar{j} = 0</math>

'''<math>\boxed{z = \frac{3}{2} \bar{j}}</math>'''

Resulta que nuestro campo de velocidades tiene como función una parábola que tiene un extremo mínimo y no un extremo máximo. En z=3/2 la velocidad es -1/8 y luego en z=2 vuelve a ser 0. Se trata de una '''parábola con concavidad positiva'''.

Además 3/2 se encuentra fuera del dominio de nuestra función, dentro del dominio la z en la que la velocidad es máxima resulta ser z=0, con velocidad v, 1 si particularizamos a v=1.

Gráficamente se ve muy bien:

[[Archivo:parabola34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|direccion]]

Las líneas rojas marcan los planos inferior y superior. El punto morado es el mínimo absoluto de la función

==ROTACIONAL DEL CAMPO U==
El ''''''rotacional'''''' de un campo vectorial muestra la tendencia de dicho campo a inducir rotación alrededor de un punto. A continuación, vamos a calcular el rotacional de nuestro campo u y a analizar su aspecto.

Calculamos el rotacional de u (∇ × u)

'''<math>\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}</math>'''

Con nuestro campo u= f(z)j, siendo f(z)

'''<math>f(z) = \frac{z^2 - z}{2} \bar{j} + (1 - z) \bar{j}</math>'''

Primero hemos de calcular el determinante:

'''<math>\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}</math>'''

'''<math>\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
0 & \frac{z^2 - 3z + 2}{2} & 0
\end{vmatrix}</math>'''

Calculamos derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_y}{\partial z} = -\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z^2 - 3z + 2}{2}\right) \mathbf{\Im} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}</math>

El rotacional calculado es:

<math>\nabla \times \mathbf{u} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}</math>

Para poder analizar su aspecto dibujamos el campo |∇ × u| en Matlab:

{{matlab|codigo=
%vector y con rango de 0 a 8
y=0:0.1:8;
%vector z con rango de 0 a 1
z=0:0.1:1;
%creamos el mallado según los vectores y y z
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
%calculamos diferencia absoluta entre z y 1/2,
rotacion=abs(-Z+3/2);
%representamos tridimensionalmente la superficie
surf(Y,Z,rotacion)
%limitamos los ejes
axis([0,8,-1,2])
%representacion con vista 2D
view(2)}}

[[Archivo:rotacional34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

El rotacional que nos ha dado resultado es

<math>\nabla \times \mathbf{u} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}</math>

El campo vectorial tiene una componente en la dirección positiva de y de 3/2 en la cual la rotación es máxima.
Al analizar el campo vectorial original u, es proporcional a z^2-3z+2. Este término cuadrático plantea que el campo tiene un comportamiento parabólico con vertice.que alcanza su máximo en z=3/2. Esto es consistente con la interpretación geométrica de la rotación.

<math>z^2 - 3z + 2 = 0</math>

<math>z = \frac{3}{2}</math>

Por lo que el resultado es razonable, la mayor rotación ocurre en la dirección positiva del eje y y está asociada con la coordenada z=3/2, que es el vértice de la parábola que define el campo vectorial en z.

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Para poder estudiar el campo de temperaturas con respecto al Flujo de Couette nos ponemos en situación hipotetica:

Sometemos a nuestro fluido a una temperatura dada por el siguiente campo:

T (ρ, θ) = log(1 + ρ) cos^2(θ).
T(ρ,θ)=log⁡〖(l+ρ) 〖cos〗^2⁡(θ) 〗

Para realizar más fácilmente este supuesto lo primero que haremos será pasar de coordenadas polares a coordenadas cartesianas:
x(ρ,θ)=ρ cos⁡(θ)
y(ρ,θ)=ρ sin⁡(θ)

ρ=√(x^2+y^2 )
θ=arctan⁡(y/x)

Como nuestros ejes son {j⃗ ,k⃗ }

y(ρ,θ)=ρ cos⁡(θ)
z(ρ,θ)=ρ sin⁡(θ)

ρ=√(y^2+z^2 )
θ=arctan⁡(z/y)

Sustituimos en T (ρ, θ) para obtener el campo en cartesianas T(y,z):

[CALCULOS]

[CALCULOS]

[CALCULOS]

[CALCULOS]

Con las coordenadas cambiadas será mucho más fácil representar el campo gráficamente con Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=log(1+(sqrt(Y.^2+Z.^2))).*((Y.^2)./((Y.^2)+(Z.^2)));
pcolor(Y,Z,p);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar
figure(2)
contour(Y,Z,p,10,'k');
grid on
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:temperatura34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

== GRADIENTE DE LA TEMPERATURA==
Para qu ela representacion grafica del gradiente sea mas facil de trabajar hemos decidido trabajar con coordenadas cilindricas:

$T = \ln(1 + \rho) \cos^2(\theta)$

El gradiente en coordenadas cilíndricas sigue la siguiente fórmula:

$\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \mathbf{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial T}{\partial \theta} \mathbf{e}_{\theta} + \frac{\partial T}{\partial z} \mathbf{e}_z$

Donde vemos la particularidad de que hay que dividir entre ρ la parcial respecto θ.

[CALCULOS]

Representamos el gradiente en Matlab con el siguiente código:

{{matlab|codigo=
y=-5:0.1:5;
z=-1:0.1:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
Ro=sqrt(Y.^2+Z.^2);
Theta=atan(Z./(Y));
T=log(1+Ro).*cos(Theta).^2;
G1=((cos(Theta).^2).*(1./(Ro+1)));
G2=((1./Ro).*((-2).*log(Ro+1).*cos(Theta).*sin(Theta)));
figure
hold on
grid on
title(‘Gradiente de temperatura’)
quiver(Y,Z,G1,G2)
contour(Y,Z,T,'k')
axis([-5,5,-2,2])
hold off}}

[[Archivo:gradiente34 .png|400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente de Temperatura]]

==CAUDAL==

EL caudal de un rio es la cantidad e agua que fluye por unidad de tiempo a través de un punto específico en el río. Para poder calcular este caudal vamos a trabajar con la integral de superficie. Esta fórmula se utiliza para calcular el caudal total a lo largo de toda la sección transversal del río. Vamos a establecer profunidad de 1 metro por unidad de tiempo.

Integral de Superficie
<math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}</math>
-Campo de velocidades calculado en el apartado 3:
<math>\boxed(\mathbf{u}(\mathbf{y,z}) = \frac{{z^2 - 3z + 2}}{2} \overline{\mathbf{j}})</math>
Velocidad en m/s

Profundidad caudal: 1 metro

Tenemos que parametrizar la superficie S sobre la que vamos a trabajar. Dado que estamos trabajando en un rectángulo de dominio [0, 8] × [0, 1], parametrizamos la superficie S usando los parámetros u y v.

$\overline{r}(u,v) = \begin{bmatrix} x(u,v) \\ y(u,v) \\ z(u,v) \end{bmatrix}$
teniendo en cuenta que trabajamos en el plano x=0, tomamos:

$\overline{r}(u,v) = \begin{bmatrix} 0 \\ 8u \\ v \end{bmatrix}$

Estando u, es decir y, en el intervalo [0,-1] y v (z) en [0,1].

---Profundidad caudal (z), entre -1 y 1:--
$\frac{d\vec{s}}{} = \frac{\partial\vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial\vec{r}}{\partial v} \, du \, dv$

$\frac{d\vec{r}}{du} = \begin{bmatrix} 0 \\ 8 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\frac{d\vec{r}}{dv} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\frac{d\vec{s}}{} = \frac{\partial\vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial\vec{r}}{\partial v} $

$\vec{r}_u \times \vec{r}_v = \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right| = 8\mathbf{i}$

Definimos el Flujo
$ Q = \int \int \vec{u} \, d\vec{S} \, du \, dv $

<math>$\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \frac{{v^2 - 3v + 2}}{2} \cdot 8 \, du \, dv $</math>

$\int_S \vec{v} \, d\vec{S} = \int_S \bar{u}|\vec{r}_u \times \vec{r}_v|$

---PROCEDEMOS AL CALCULO--

$\int_S \vec{v} \, d\vec{S} = \int_S \bar{u}|\vec{r}_u \times \vec{r}_v|$

<math>\$\int_{-1}^0 \int_0^1 \frac{{z^2-3z+2}}{2} \cdot 8 \, dz \, dx$</math>

$\int_{-1}^0 \frac{1}{2} \left(\frac{z^2}{4} - \frac{3z^2}{2} + 2z\right) \, dz$

$\int_{-1}^0 \left[\frac{z^4}{8} - \frac{3z^2}{4} + z\right] \, dx$
Despues reemplazamos el Valor de Z:
$\int_{-1}^0 \left(\frac{1}{8} - \frac{3}{4} + 1\right) \, dx$

Resolvemos las fracciones de adentro

$\int_{-1}^0 \frac{3}{8} \, dx$

Proseguimos con el calculo de la integral

<math>\[\left[\frac{3}{8}x\right]_{-1}^0\]</math>

y el resultado final es:
<math>\[= -\frac{3}{8} = \frac{3}{8} = 0.375 \, \text{m}^2/\text{s}]</math>

Flujo de Couette en planos paralelos horizontales. 34A

2023-12-14T16:55:17Z

Jose Luis Lema Paguay: /* CAUDAL */

{{ TrabajoED | Flujo de Coutte(Flujo de un fluido incomprensible). Grupo 34-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Julia Roquero Arregui, Eduardo Lopez Reyes, Jose Luis Lema, Lorenzo Perez Guerrero}}
En este articulo empezaremos explicando un poco del flujo de Coutte

==INTRODUCCION: FLUJO DE COUETTE.==

En nuestro trabajo vamos a realizar un estudio del '''Flujo de Couette'''. Para ello es imprescindible saber en qué consiste este fenómeno y las aplicaciones que tiene en nuestras vidas. El Flujo de Couette es un tipo de flujo en el que un fluido incompresible se desplaza entre dos planos paralelos e infinitos separados a una distancia determinada. Uno de los planos se encuentra en reposo, y el otro es el que induce el flujo al moverse en una dirección j (eje y), paralelamente a sí misma, con una velocidad constante <math>v\vec{j}</math>, y sin existir un gradiente de presión reducida. Este suceso nos proporciona datos imprescindibles para poder entender los patrones de flujo y la dinámica de fluidos.

Para poder analizar el comportamiento del fluido, utilizaremos como herramienta auxiliar MATLAB, plataforma de programación y calculo numérico que nos permitirá visualizar dicho comportamiento en forma de graficas.

==SUPERFICIE DE ESTUDIO==

En esta investigación nos vamos a centrar en la siguiente '''superficie de estudio''':

Trabajaremos con un rectángulo de dominio [0, 8] × [0, 1], al trabajar en un plano x=0, el plano queda proyectado sobre la recta z=1 y el inferior sobre la recta z=0. Esto nos indica que al trabajar en coordenadas cartesianas (y,z), la coordenada y quedara en el intervalo definido por el dominio [0,8] y la coordenada z quedara en [0,1].

Ademas definiremos los ejes de la región [0, 8] × [−1, 2].

Usando un paso de 0.7 para mayor claridad de representacion, dibujamos nuestra superficie mediante el programa MATLAB usando en siguiente código:

{{matlab|codigo=
y=0:0.07:8;
z=0:0.07:1;
[yy,zz]=meshgrid(y,z);
figure(1);
h=mesh (yy,zz,0*yy);
set(h, 'EdgeColor', 'g',
('LineWidth', 0.7);
rectangle('Position', [min(y),
min(z), max(y)-min(y), max(z)-
min(z)], 'EdgeColor', 'K',
'LineWidth', 1);
grid on [0,8] * [-1, 2]%
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:mallado34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

==ECUACION DE NAVIER-STOKES.==

La ecuación de Navier-Stokes es una ecuación fundamental en la mecánica de fluidos. Describe el movimiento de los fluidos “reales” (liquido o gases). Gracias a esta ecuación podemos modelar fenómenos como el flujo del agua en ríos, corrientes oceánicas, el clima, el comportamiento de la atmosfera, vuelos de aviones y otros muchos sistemas en los que se implican los fluidos.
A continuación, vamos a mostrar que el fluido, sujeto a un campo de velocidad y un campo de presión, cumple con la ecuación Navier-Stokes. Al cumplir con ello, verificaríamos que el fluido es incomprensible. Un fluido incomprensible es cualquier fluido cuya densidad permanece constante con el tiempo, ni su masa ni su volumen pueden cambiar.

La ecuación Navier-Stokes es:

<math>\begin{equation}(u \cdot \nabla)u + \nabla p = \mu \nabla^2u \quad \longleftrightarrow \quad (u \cdot \nabla)u + \nabla p = \mu \Delta u\end{equation}</math>

Siendo:
* u=campo de velocidad del fluido.
* p=presión en el fluido.
* μ=coeficiente de viscosidad del fluido.

La velocidad de las partículas del fluido dada: u(y, z)=f(z)j siendo j el vector unitario dirección y

Presión dada: <math>p(x, y, z) = p_1 + (p_2 - p_1)(y - 1)</math>

Donde:
* p1=presion en los puntos y=1
* p2=presion en los puntos y=2

<math>(u \cdot \nabla)u = u_j \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right) \mathbf{e}_i</math>

<math>\Delta \mathbf{u} = u_i \mathbf{e}_i</math>

<math>\mathbf{u} = u_i \mathbf{e}_i</math>

Desarrollamos término a término nuestra ecuación:

1) <center><math>\displaystyle
\begin{align*}
(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} &=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z}
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2
\end{pmatrix}
\end{align*}</math></center>

Para nuestro campo será:

<math>\begin{bmatrix}
\frac{\partial f(z)}{\partial y} & \frac{\partial f(z)}{\partial z} \\
\frac{\partial 0}{\partial y} & \frac{\partial 0}{\partial z}
\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}
f(z) \\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 & f'(z) \\
0 & 0
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
f(z) \\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 \\
0
\end{bmatrix}</math>

Calculamos el gradiente del campo de presiones:

2) <math>\nabla P = \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial z}</math>
siendo p (x, y, z) = p1 + (p2 − p1)(y − 1) = 2p1-p2+p2y-p1y

<math>\nabla P = \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial z}</math> =p2-p1

El laplaciano en coordenadas cartesianas se reduce a realizar las derivadas parciales de la función dos veces:

3) <math>\Delta \mathbf{u} = \nabla (\nabla \mathbf{u})</math>

Por lo tanto,

<math>\Delta \mathbf{u} = \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{i}^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{j}^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{k}^2} = f''(z) \mathbf{j}</math>

Sustituimos estos tres términos obtenidos en la ecuación de Navier-Stokes:

<math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ (p_2 - p_1)\mathbf{j} = \mu \begin{bmatrix} f''(z) \\ 0 \end{bmatrix}</math>

<math> f''(z)= \frac{(p_2-p_1)}{μ}\vec{j} </math>

El f(z) resultante será nuestro campo de velocidad ante el cual se somete nuestro fluido.
Integramos para hallar f (z):

<math>f''(z) = \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}}</math>

<math>f'(z) = \int f''(z) \, dz = \frac{p_2 - p_1}{\mu} z \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}}</math>

<math>f(z) = \int f'(z) \, dz = \frac{z^2}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 z \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_2 \bar{\mathbf{j}}</math>

Las constantes que nos aparecen al integrar las podremos sacar de las condiciones de contorno que presenta nuestro fluido:

Para z=0 <math>\longrightarrow</math> f(z)=vj ̅

Por lo que <math>f(z=0) = 0\bar{\mathbf{j}} + 0\bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_2\bar{\mathbf{j}} = v\bar{\mathbf{j}}</math>

<math>\text{cte}_2 = v\bar{\mathbf{j}}</math>

Para z=1 <math>\longrightarrow</math> f(z)=0

Por lo que <math>f(z=1) = \frac{1}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}} + v\bar{\mathbf{j}} = 0</math>

<math>\text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}} = -v\bar{\mathbf{j}} - \frac{1}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}}</math>

El campo de velocidades queda:
<math>\boxed{\mathbf{f(z) = \frac{(z^2 - z)}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + v(1 - z) \bar{\mathbf{j}}}}</math>

==REPRESENTACION DEL CAMPO DE VELOCIDADES Y CAMPO DE PRESIONES==
Para calcular el '''campo de velocidades''' y poder representarlo gráficamente hemos usado los valores p1=1,p2=2,v=1,μ= 1

<center>
<math>\displaystyle \mathbf{u} = \frac{(z^2 - z)}{2} \cdot \frac{(2 - 1)}{1} \bar{\mathbf{j}} + 1(1 - z) \bar{\mathbf{j}}</math>

<math>\displaystyle \mathbf{u} = \frac{(z^2 - z)}{2} \bar{\mathbf{j}} + (1 - z) \bar{\mathbf{j}} = \frac{(z^2 - 3z + 2)}{2} \bar{\mathbf{j}}</math>
</center>

<center><math>\displaystyle \boxed{\mathbf{u} = \frac{(z^2 - 3z + 2)}{2} \bar{\mathbf{j}}}</math></center>

Acudimos a Matlab para su representación:
{{matlab|codigo=
%Definimos mallado
[Y,Z] = meshgrid([0:0.30:8],[0:0.1:1]);
%Definimos uy y uz
uy=inline('((z.^2-3*z+2))./(2)','y','z');
uz=inline('0.*y','y','z');
%Calculamos U y V segun las funciones y el mallado
U=uy(Y,Z);
V=uz(Y,Z);
%Fijamos limites
axis([0,8,-1,2]);
%Ajustamos flechas
quiver(Y,Z,U,V);}}

[[Archivo:campodevelocidad34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades]]

Por otra parte, para el '''campo de presiones''', Simplemente sustituimos nuestros valores particularizados en la función de presiones: p1=1, p2=2

<center>
<math>\displaystyle p(x, y, z) = p_1 + (p_2 - p_1)(y - 1) = 1 + (2 - 1)(y - 1) = 1 + y - 1 = y</math>

'''<math>\displaystyle \boxed{p(x, y, z) = y}</math>'''
</center>

Nos sale una función que depende sólo de y. Representando el campo de presiones en Matlab con el siguiente código:

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
f=Y;
surf(Y,Z,f);
view(2);
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:campodepresiones34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presiones]]

==LINEAS DE CORRIENTE==
Buscamos las '''<math>\underline{\textbf{líneas de corriente}}</math>''' en el campo de velocidades u(y,z) = f(z)j , es decir, las líneas que son tangentes al campo u en cada punto.
Para ello, calculamos el campo v, que es ortogonal al campo vectorial u, tomando v = i×u. (i es vector unitario).

v= i×u = f(z)k

Teniendo en cuenta que v es irrotacional, es decir, que su rotacional es cero ∇×v=0, y que el potencial escalar ψ, tal que v=∇ψ, se puede expresar ∇×v=0. En este caso ∇×v= ∇×(i×u)=0. Se puede comprobar al realizar el rotacional:

<big><math>
\begin{array}{@{}l@{}}
\nabla\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & 0 & f(z) \end{vmatrix}
\end{array}
</math></big>

Donde la derivada parcial respecto a $y$ de $f(z)$, al depender solo de $z$, es $0$. Con esto se comprueba que es irrotacional.

Calculamos la función potencial ψ(y,z):

Según la definición:

<center> <math> \vec{v}=\nabla \psi (y,z)
\ v_1=\frac{\partial \psi }{\partial y} \ {,} \ \ v_2 =\frac{\partial \psi}{\partial z} </math></center>

Sabemos que f(z) depende sólo de z, así que el diferencial parcial respecto y será 0.

Calculamos el potencial escalar integrando v respecto z:

<math>\psi = \int \vec{v} \cdot dz = \int \left( \frac{z^2 - z}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} + v(1 - z) \right) dz = \frac{2z^3 - 3z^2}{12} \frac{p_2 - p_1}{\mu} - v\left(\frac{z^2 - 2z}{2}\right) + \text{cte}</math>

La constante la podemos sacar de las condiciones de contorno, como sabemos que en z=1 la velocidad es cero, la corriente en z=1 debe ser cero también:

<math>\psi(z=1) = 0 = \frac{2 \cdot 1^3 - 3 \cdot 1^2}{12} \frac{p_2 - p_1}{\mu} - v\left(\frac{1^2 - 2 \cdot 1}{2}\right) + \text{cte}</math>

<math>\text{cte} = -\frac{v}{2} + \frac{p_2 - p_1}{12\mu}</math>

Por lo que ψ queda como:

<math>\psi = \frac{z^3}{6} - \frac{3z^2}{4} + z - \frac{v}{2} + \frac{p_2 - p_1}{12\mu}</math>

Particularizando con p_1=1, p_2=2,v=1 y µ=1 queda:

'''<math>\boxed{\boldsymbol{\psi = \frac{z^3}{6} - \frac{3z^2}{4} + z - \frac{5}{12}}}</math>'''

La constante, o sea –(5/12), resulta ser la corriente en z=0 cuando está particularizado.

Dibujamos las líneas de corriente en Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.01:8;
z=0:0.01:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
psi=(((Z.^3)./6)-((3/4).*(Z.^2))+Z-(5/12));
contour(Y,Z,psi);
axis([0,8,-1,2]);
title('Líneas de corriente');
colorbar;}}

[[Archivo:corriente34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Lineas de Corriente]]

Gráficamente es sencillo de verificar que las líneas de corriente son paralelas al campo de velocidades en cada punto, justificando que son las líneas de corriente de nuestro campo u.

==VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO==

Para encontrar los puntos donde el módulo de la velocidad del flujo es '''<math>\underline{\textbf{máximo}}</math>''' hemos de igualar a 0 la primera derivada de f(z):

<math>f(z) = \frac{z^2 - z}{2} \bar{j} + (1 - z) \bar{j}</math>

<math>f'(z) = z - \frac{1}{2} \bar{j} - \bar{j} = z - \frac{3}{2} \bar{j}</math>

<math>f'(z) = z - \frac{3}{2} \bar{j}</math>

<math>f'(z) = 0</math>

<math>f'(z) = z - \frac{3}{2} \bar{j} = 0</math>

'''<math>\boxed{z = \frac{3}{2} \bar{j}}</math>'''

Resulta que nuestro campo de velocidades tiene como función una parábola que tiene un extremo mínimo y no un extremo máximo. En z=3/2 la velocidad es -1/8 y luego en z=2 vuelve a ser 0. Se trata de una '''parábola con concavidad positiva'''.

Además 3/2 se encuentra fuera del dominio de nuestra función, dentro del dominio la z en la que la velocidad es máxima resulta ser z=0, con velocidad v, 1 si particularizamos a v=1.

Gráficamente se ve muy bien:

[[Archivo:parabola34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|direccion]]

Las líneas rojas marcan los planos inferior y superior. El punto morado es el mínimo absoluto de la función

==ROTACIONAL DEL CAMPO U==
El ''''''rotacional'''''' de un campo vectorial muestra la tendencia de dicho campo a inducir rotación alrededor de un punto. A continuación, vamos a calcular el rotacional de nuestro campo u y a analizar su aspecto.

Calculamos el rotacional de u (∇ × u)

'''<math>\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}</math>'''

Con nuestro campo u= f(z)j, siendo f(z)

'''<math>f(z) = \frac{z^2 - z}{2} \bar{j} + (1 - z) \bar{j}</math>'''

Primero hemos de calcular el determinante:

'''<math>\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}</math>'''

'''<math>\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
0 & \frac{z^2 - 3z + 2}{2} & 0
\end{vmatrix}</math>'''

Calculamos derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_y}{\partial z} = -\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z^2 - 3z + 2}{2}\right) \mathbf{\Im} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}</math>

El rotacional calculado es:

<math>\nabla \times \mathbf{u} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}</math>

Para poder analizar su aspecto dibujamos el campo |∇ × u| en Matlab:

{{matlab|codigo=
%vector y con rango de 0 a 8
y=0:0.1:8;
%vector z con rango de 0 a 1
z=0:0.1:1;
%creamos el mallado según los vectores y y z
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
%calculamos diferencia absoluta entre z y 1/2,
rotacion=abs(-Z+3/2);
%representamos tridimensionalmente la superficie
surf(Y,Z,rotacion)
%limitamos los ejes
axis([0,8,-1,2])
%representacion con vista 2D
view(2)}}

[[Archivo:rotacional34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

El rotacional que nos ha dado resultado es

<math>\nabla \times \mathbf{u} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}</math>

El campo vectorial tiene una componente en la dirección positiva de y de 3/2 en la cual la rotación es máxima.
Al analizar el campo vectorial original u, es proporcional a z^2-3z+2. Este término cuadrático plantea que el campo tiene un comportamiento parabólico con vertice.que alcanza su máximo en z=3/2. Esto es consistente con la interpretación geométrica de la rotación.

<math>z^2 - 3z + 2 = 0</math>

<math>z = \frac{3}{2}</math>

Por lo que el resultado es razonable, la mayor rotación ocurre en la dirección positiva del eje y y está asociada con la coordenada z=3/2, que es el vértice de la parábola que define el campo vectorial en z.

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Para poder estudiar el campo de temperaturas con respecto al Flujo de Couette nos ponemos en situación hipotetica:

Sometemos a nuestro fluido a una temperatura dada por el siguiente campo:

T (ρ, θ) = log(1 + ρ) cos^2(θ).
T(ρ,θ)=log⁡〖(l+ρ) 〖cos〗^2⁡(θ) 〗

Para realizar más fácilmente este supuesto lo primero que haremos será pasar de coordenadas polares a coordenadas cartesianas:
x(ρ,θ)=ρ cos⁡(θ)
y(ρ,θ)=ρ sin⁡(θ)

ρ=√(x^2+y^2 )
θ=arctan⁡(y/x)

Como nuestros ejes son {j⃗ ,k⃗ }

y(ρ,θ)=ρ cos⁡(θ)
z(ρ,θ)=ρ sin⁡(θ)

ρ=√(y^2+z^2 )
θ=arctan⁡(z/y)

Sustituimos en T (ρ, θ) para obtener el campo en cartesianas T(y,z):

[CALCULOS]

[CALCULOS]

[CALCULOS]

[CALCULOS]

Con las coordenadas cambiadas será mucho más fácil representar el campo gráficamente con Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=log(1+(sqrt(Y.^2+Z.^2))).*((Y.^2)./((Y.^2)+(Z.^2)));
pcolor(Y,Z,p);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar
figure(2)
contour(Y,Z,p,10,'k');
grid on
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:temperatura34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

== GRADIENTE DE LA TEMPERATURA==
Para qu ela representacion grafica del gradiente sea mas facil de trabajar hemos decidido trabajar con coordenadas cilindricas:

T=ln⁡(1+ρ) cos^2⁡(θ)

El gradiente en coordenadas cilíndricas sigue la siguiente fórmula:

Donde vemos la particularidad de que hay que dividir entre ρ la parcial respecto θ.

[CALCULOS]

Representamos el gradiente en Matlab con el siguiente código:

{{matlab|codigo=
y=-5:0.1:5;
z=-1:0.1:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
Ro=sqrt(Y.^2+Z.^2);
Theta=atan(Z./(Y));
T=log(1+Ro).*cos(Theta).^2;
G1=((cos(Theta).^2).*(1./(Ro+1)));
G2=((1./Ro).*((-2).*log(Ro+1).*cos(Theta).*sin(Theta)));
figure
hold on
grid on
title(‘Gradiente de temperatura’)
quiver(Y,Z,G1,G2)
contour(Y,Z,T,'k')
axis([-5,5,-2,2])
hold off}}

[[Archivo:gradiente34 .png|400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente de Temperatura]]

==CAUDAL==

EL caudal de un rio es la cantidad e agua que fluye por unidad de tiempo a través de un punto específico en el río. Para poder calcular este caudal vamos a trabajar con la integral de superficie. Esta fórmula se utiliza para calcular el caudal total a lo largo de toda la sección transversal del río. Vamos a establecer profunidad de 1 metro por unidad de tiempo.

Integral de Superficie
<math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}</math>
-Campo de velocidades calculado en el apartado 3:
<math>\boxed(\mathbf{u}(\mathbf{y,z}) = \frac{{z^2 - 3z + 2}}{2} \overline{\mathbf{j}})</math>
Velocidad en m/s

Profundidad caudal: 1 metro

Tenemos que parametrizar la superficie S sobre la que vamos a trabajar. Dado que estamos trabajando en un rectángulo de dominio [0, 8] × [0, 1], parametrizamos la superficie S usando los parámetros u y v.

$\overline{r}(u,v) = \begin{bmatrix} x(u,v) \\ y(u,v) \\ z(u,v) \end{bmatrix}$
teniendo en cuenta que trabajamos en el plano x=0, tomamos:

$\overline{r}(u,v) = \begin{bmatrix} 0 \\ 8u \\ v \end{bmatrix}$

Estando u, es decir y, en el intervalo [0,-1] y v (z) en [0,1].

---Profundidad caudal (z), entre -1 y 1:--
$\frac{d\vec{s}}{} = \frac{\partial\vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial\vec{r}}{\partial v} \, du \, dv$

$\frac{d\vec{r}}{du} = \begin{bmatrix} 0 \\ 8 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\frac{d\vec{r}}{dv} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\frac{d\vec{s}}{} = \frac{\partial\vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial\vec{r}}{\partial v} $

$\vec{r}_u \times \vec{r}_v = \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right| = 8\mathbf{i}$

Definimos el Flujo
$ Q = \int \int \vec{u} \, d\vec{S} \, du \, dv $

<math>$\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \frac{{v^2 - 3v + 2}}{2} \cdot 8 \, du \, dv $</math>

$\int_S \vec{v} \, d\vec{S} = \int_S \bar{u}|\vec{r}_u \times \vec{r}_v|$

---PROCEDEMOS AL CALCULO--

$\int_S \vec{v} \, d\vec{S} = \int_S \bar{u}|\vec{r}_u \times \vec{r}_v|$

<math>\$\int_{-1}^0 \int_0^1 \frac{{z^2-3z+2}}{2} \cdot 8 \, dz \, dx$</math>

$\int_{-1}^0 \frac{1}{2} \left(\frac{z^2}{4} - \frac{3z^2}{2} + 2z\right) \, dz$

$\int_{-1}^0 \left[\frac{z^4}{8} - \frac{3z^2}{4} + z\right] \, dx$
Despues reemplazamos el Valor de Z:
$\int_{-1}^0 \left(\frac{1}{8} - \frac{3}{4} + 1\right) \, dx$

Resolvemos las fracciones de adentro

$\int_{-1}^0 \frac{3}{8} \, dx$

Proseguimos con el calculo de la integral

<math>\[\left[\frac{3}{8}x\right]_{-1}^0\]</math>

y el resultado final es:
<math>\[= -\frac{3}{8} = \frac{3}{8} = 0.375 \, \text{m}^2/\text{s}]</math>

Flujo de Couette en planos paralelos horizontales. 34A

2023-12-14T16:52:47Z

Jose Luis Lema Paguay: /* CAUDAL */

{{ TrabajoED | Flujo de Coutte(Flujo de un fluido incomprensible). Grupo 34-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Julia Roquero Arregui, Eduardo Lopez Reyes, Jose Luis Lema, Lorenzo Perez Guerrero}}
En este articulo empezaremos explicando un poco del flujo de Coutte

==INTRODUCCION: FLUJO DE COUETTE.==

En nuestro trabajo vamos a realizar un estudio del '''Flujo de Couette'''. Para ello es imprescindible saber en qué consiste este fenómeno y las aplicaciones que tiene en nuestras vidas. El Flujo de Couette es un tipo de flujo en el que un fluido incompresible se desplaza entre dos planos paralelos e infinitos separados a una distancia determinada. Uno de los planos se encuentra en reposo, y el otro es el que induce el flujo al moverse en una dirección j (eje y), paralelamente a sí misma, con una velocidad constante <math>v\vec{j}</math>, y sin existir un gradiente de presión reducida. Este suceso nos proporciona datos imprescindibles para poder entender los patrones de flujo y la dinámica de fluidos.

Para poder analizar el comportamiento del fluido, utilizaremos como herramienta auxiliar MATLAB, plataforma de programación y calculo numérico que nos permitirá visualizar dicho comportamiento en forma de graficas.

==SUPERFICIE DE ESTUDIO==

En esta investigación nos vamos a centrar en la siguiente '''superficie de estudio''':

Trabajaremos con un rectángulo de dominio [0, 8] × [0, 1], al trabajar en un plano x=0, el plano queda proyectado sobre la recta z=1 y el inferior sobre la recta z=0. Esto nos indica que al trabajar en coordenadas cartesianas (y,z), la coordenada y quedara en el intervalo definido por el dominio [0,8] y la coordenada z quedara en [0,1].

Ademas definiremos los ejes de la región [0, 8] × [−1, 2].

Usando un paso de 0.7 para mayor claridad de representacion, dibujamos nuestra superficie mediante el programa MATLAB usando en siguiente código:

{{matlab|codigo=
y=0:0.07:8;
z=0:0.07:1;
[yy,zz]=meshgrid(y,z);
figure(1);
h=mesh (yy,zz,0*yy);
set(h, 'EdgeColor', 'g',
('LineWidth', 0.7);
rectangle('Position', [min(y),
min(z), max(y)-min(y), max(z)-
min(z)], 'EdgeColor', 'K',
'LineWidth', 1);
grid on [0,8] * [-1, 2]%
axis([0,8,-1,2]);
view(2)}}

[[Archivo:mallado34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

==ECUACION DE NAVIER-STOKES.==

La ecuación de Navier-Stokes es una ecuación fundamental en la mecánica de fluidos. Describe el movimiento de los fluidos “reales” (liquido o gases). Gracias a esta ecuación podemos modelar fenómenos como el flujo del agua en ríos, corrientes oceánicas, el clima, el comportamiento de la atmosfera, vuelos de aviones y otros muchos sistemas en los que se implican los fluidos.
A continuación, vamos a mostrar que el fluido, sujeto a un campo de velocidad y un campo de presión, cumple con la ecuación Navier-Stokes. Al cumplir con ello, verificaríamos que el fluido es incomprensible. Un fluido incomprensible es cualquier fluido cuya densidad permanece constante con el tiempo, ni su masa ni su volumen pueden cambiar.

La ecuación Navier-Stokes es:

<math>\begin{equation}(u \cdot \nabla)u + \nabla p = \mu \nabla^2u \quad \longleftrightarrow \quad (u \cdot \nabla)u + \nabla p = \mu \Delta u\end{equation}</math>

Siendo:
* u=campo de velocidad del fluido.
* p=presión en el fluido.
* μ=coeficiente de viscosidad del fluido.

La velocidad de las partículas del fluido dada: u(y, z)=f(z)j siendo j el vector unitario dirección y

Presión dada: <math>p(x, y, z) = p_1 + (p_2 - p_1)(y - 1)</math>

Donde:
* p1=presion en los puntos y=1
* p2=presion en los puntos y=2

<math>(u \cdot \nabla)u = u_j \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right) \mathbf{e}_i</math>

<math>\Delta \mathbf{u} = u_i \mathbf{e}_i</math>

<math>\mathbf{u} = u_i \mathbf{e}_i</math>

Desarrollamos término a término nuestra ecuación:

1) <center><math>\displaystyle
\begin{align*}
(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} &=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z}
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2
\end{pmatrix}
\end{align*}</math></center>

Para nuestro campo será:

<math>\begin{bmatrix}
\frac{\partial f(z)}{\partial y} & \frac{\partial f(z)}{\partial z} \\
\frac{\partial 0}{\partial y} & \frac{\partial 0}{\partial z}
\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}
f(z) \\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 & f'(z) \\
0 & 0
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
f(z) \\
0
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 \\
0
\end{bmatrix}</math>

Calculamos el gradiente del campo de presiones:

2) <math>\nabla P = \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial z}</math>
siendo p (x, y, z) = p1 + (p2 − p1)(y − 1) = 2p1-p2+p2y-p1y

<math>\nabla P = \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial z}</math> =p2-p1

El laplaciano en coordenadas cartesianas se reduce a realizar las derivadas parciales de la función dos veces:

3) <math>\Delta \mathbf{u} = \nabla (\nabla \mathbf{u})</math>

Por lo tanto,

<math>\Delta \mathbf{u} = \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{i}^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{j}^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial \mathbf{k}^2} = f''(z) \mathbf{j}</math>

Sustituimos estos tres términos obtenidos en la ecuación de Navier-Stokes:

<math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ (p_2 - p_1)\mathbf{j} = \mu \begin{bmatrix} f''(z) \\ 0 \end{bmatrix}</math>

<math> f''(z)= \frac{(p_2-p_1)}{μ}\vec{j} </math>

El f(z) resultante será nuestro campo de velocidad ante el cual se somete nuestro fluido.
Integramos para hallar f (z):

<math>f''(z) = \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}}</math>

<math>f'(z) = \int f''(z) \, dz = \frac{p_2 - p_1}{\mu} z \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}}</math>

<math>f(z) = \int f'(z) \, dz = \frac{z^2}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 z \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_2 \bar{\mathbf{j}}</math>

Las constantes que nos aparecen al integrar las podremos sacar de las condiciones de contorno que presenta nuestro fluido:

Para z=0 <math>\longrightarrow</math> f(z)=vj ̅

Por lo que <math>f(z=0) = 0\bar{\mathbf{j}} + 0\bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_2\bar{\mathbf{j}} = v\bar{\mathbf{j}}</math>

<math>\text{cte}_2 = v\bar{\mathbf{j}}</math>

Para z=1 <math>\longrightarrow</math> f(z)=0

Por lo que <math>f(z=1) = \frac{1}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + \text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}} + v\bar{\mathbf{j}} = 0</math>

<math>\text{cte}_1 \bar{\mathbf{j}} = -v\bar{\mathbf{j}} - \frac{1}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}}</math>

El campo de velocidades queda:
<math>\boxed{\mathbf{f(z) = \frac{(z^2 - z)}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} \bar{\mathbf{j}} + v(1 - z) \bar{\mathbf{j}}}}</math>

==REPRESENTACION DEL CAMPO DE VELOCIDADES Y CAMPO DE PRESIONES==
Para calcular el '''campo de velocidades''' y poder representarlo gráficamente hemos usado los valores p1=1,p2=2,v=1,μ= 1

<center>
<math>\displaystyle \mathbf{u} = \frac{(z^2 - z)}{2} \cdot \frac{(2 - 1)}{1} \bar{\mathbf{j}} + 1(1 - z) \bar{\mathbf{j}}</math>

<math>\displaystyle \mathbf{u} = \frac{(z^2 - z)}{2} \bar{\mathbf{j}} + (1 - z) \bar{\mathbf{j}} = \frac{(z^2 - 3z + 2)}{2} \bar{\mathbf{j}}</math>
</center>

<center><math>\displaystyle \boxed{\mathbf{u} = \frac{(z^2 - 3z + 2)}{2} \bar{\mathbf{j}}}</math></center>

Acudimos a Matlab para su representación:
{{matlab|codigo=
%Definimos mallado
[Y,Z] = meshgrid([0:0.30:8],[0:0.1:1]);
%Definimos uy y uz
uy=inline('((z.^2-3*z+2))./(2)','y','z');
uz=inline('0.*y','y','z');
%Calculamos U y V segun las funciones y el mallado
U=uy(Y,Z);
V=uz(Y,Z);
%Fijamos limites
axis([0,8,-1,2]);
%Ajustamos flechas
quiver(Y,Z,U,V);}}

[[Archivo:campodevelocidad34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades]]

Por otra parte, para el '''campo de presiones''', Simplemente sustituimos nuestros valores particularizados en la función de presiones: p1=1, p2=2

<center>
<math>\displaystyle p(x, y, z) = p_1 + (p_2 - p_1)(y - 1) = 1 + (2 - 1)(y - 1) = 1 + y - 1 = y</math>

'''<math>\displaystyle \boxed{p(x, y, z) = y}</math>'''
</center>

Nos sale una función que depende sólo de y. Representando el campo de presiones en Matlab con el siguiente código:

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
f=Y;
surf(Y,Z,f);
view(2);
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:campodepresiones34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presiones]]

==LINEAS DE CORRIENTE==
Buscamos las '''<math>\underline{\textbf{líneas de corriente}}</math>''' en el campo de velocidades u(y,z) = f(z)j , es decir, las líneas que son tangentes al campo u en cada punto.
Para ello, calculamos el campo v, que es ortogonal al campo vectorial u, tomando v = i×u. (i es vector unitario).

v= i×u = f(z)k

Teniendo en cuenta que v es irrotacional, es decir, que su rotacional es cero ∇×v=0, y que el potencial escalar ψ, tal que v=∇ψ, se puede expresar ∇×v=0. En este caso ∇×v= ∇×(i×u)=0. Se puede comprobar al realizar el rotacional:

<big><math>
\begin{array}{@{}l@{}}
\nabla\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & 0 & f(z) \end{vmatrix}
\end{array}
</math></big>

Donde la derivada parcial respecto a $y$ de $f(z)$, al depender solo de $z$, es $0$. Con esto se comprueba que es irrotacional.

Calculamos la función potencial ψ(y,z):

Según la definición:

<center> <math> \vec{v}=\nabla \psi (y,z)
\ v_1=\frac{\partial \psi }{\partial y} \ {,} \ \ v_2 =\frac{\partial \psi}{\partial z} </math></center>

Sabemos que f(z) depende sólo de z, así que el diferencial parcial respecto y será 0.

Calculamos el potencial escalar integrando v respecto z:

<math>\psi = \int \vec{v} \cdot dz = \int \left( \frac{z^2 - z}{2} \frac{p_2 - p_1}{\mu} + v(1 - z) \right) dz = \frac{2z^3 - 3z^2}{12} \frac{p_2 - p_1}{\mu} - v\left(\frac{z^2 - 2z}{2}\right) + \text{cte}</math>

La constante la podemos sacar de las condiciones de contorno, como sabemos que en z=1 la velocidad es cero, la corriente en z=1 debe ser cero también:

<math>\psi(z=1) = 0 = \frac{2 \cdot 1^3 - 3 \cdot 1^2}{12} \frac{p_2 - p_1}{\mu} - v\left(\frac{1^2 - 2 \cdot 1}{2}\right) + \text{cte}</math>

<math>\text{cte} = -\frac{v}{2} + \frac{p_2 - p_1}{12\mu}</math>

Por lo que ψ queda como:

<math>\psi = \frac{z^3}{6} - \frac{3z^2}{4} + z - \frac{v}{2} + \frac{p_2 - p_1}{12\mu}</math>

Particularizando con p_1=1, p_2=2,v=1 y µ=1 queda:

'''<math>\boxed{\boldsymbol{\psi = \frac{z^3}{6} - \frac{3z^2}{4} + z - \frac{5}{12}}}</math>'''

La constante, o sea –(5/12), resulta ser la corriente en z=0 cuando está particularizado.

Dibujamos las líneas de corriente en Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.01:8;
z=0:0.01:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
psi=(((Z.^3)./6)-((3/4).*(Z.^2))+Z-(5/12));
contour(Y,Z,psi);
axis([0,8,-1,2]);
title('Líneas de corriente');
colorbar;}}

[[Archivo:corriente34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Lineas de Corriente]]

Gráficamente es sencillo de verificar que las líneas de corriente son paralelas al campo de velocidades en cada punto, justificando que son las líneas de corriente de nuestro campo u.

==VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO==

Para encontrar los puntos donde el módulo de la velocidad del flujo es '''<math>\underline{\textbf{máximo}}</math>''' hemos de igualar a 0 la primera derivada de f(z):

<math>f(z) = \frac{z^2 - z}{2} \bar{j} + (1 - z) \bar{j}</math>

<math>f'(z) = z - \frac{1}{2} \bar{j} - \bar{j} = z - \frac{3}{2} \bar{j}</math>

<math>f'(z) = z - \frac{3}{2} \bar{j}</math>

<math>f'(z) = 0</math>

<math>f'(z) = z - \frac{3}{2} \bar{j} = 0</math>

'''<math>\boxed{z = \frac{3}{2} \bar{j}}</math>'''

Resulta que nuestro campo de velocidades tiene como función una parábola que tiene un extremo mínimo y no un extremo máximo. En z=3/2 la velocidad es -1/8 y luego en z=2 vuelve a ser 0. Se trata de una '''parábola con concavidad positiva'''.

Además 3/2 se encuentra fuera del dominio de nuestra función, dentro del dominio la z en la que la velocidad es máxima resulta ser z=0, con velocidad v, 1 si particularizamos a v=1.

Gráficamente se ve muy bien:

[[Archivo:parabola34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|direccion]]

Las líneas rojas marcan los planos inferior y superior. El punto morado es el mínimo absoluto de la función

==ROTACIONAL DEL CAMPO U==
El ''''''rotacional'''''' de un campo vectorial muestra la tendencia de dicho campo a inducir rotación alrededor de un punto. A continuación, vamos a calcular el rotacional de nuestro campo u y a analizar su aspecto.

Calculamos el rotacional de u (∇ × u)

'''<math>\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}</math>'''

Con nuestro campo u= f(z)j, siendo f(z)

'''<math>f(z) = \frac{z^2 - z}{2} \bar{j} + (1 - z) \bar{j}</math>'''

Primero hemos de calcular el determinante:

'''<math>\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}</math>'''

'''<math>\nabla \times \mathbf{u} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
0 & \frac{z^2 - 3z + 2}{2} & 0
\end{vmatrix}</math>'''

Calculamos derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_y}{\partial z} = -\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z^2 - 3z + 2}{2}\right) \mathbf{\Im} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}</math>

El rotacional calculado es:

<math>\nabla \times \mathbf{u} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}</math>

Para poder analizar su aspecto dibujamos el campo |∇ × u| en Matlab:

{{matlab|codigo=
%vector y con rango de 0 a 8
y=0:0.1:8;
%vector z con rango de 0 a 1
z=0:0.1:1;
%creamos el mallado según los vectores y y z
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
%calculamos diferencia absoluta entre z y 1/2,
rotacion=abs(-Z+3/2);
%representamos tridimensionalmente la superficie
surf(Y,Z,rotacion)
%limitamos los ejes
axis([0,8,-1,2])
%representacion con vista 2D
view(2)}}

[[Archivo:rotacional34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

El rotacional que nos ha dado resultado es

<math>\nabla \times \mathbf{u} = (-z + \frac{3}{2}) \mathbf{\Im}</math>

El campo vectorial tiene una componente en la dirección positiva de y de 3/2 en la cual la rotación es máxima.
Al analizar el campo vectorial original u, es proporcional a z^2-3z+2. Este término cuadrático plantea que el campo tiene un comportamiento parabólico con vertice.que alcanza su máximo en z=3/2. Esto es consistente con la interpretación geométrica de la rotación.

<math>z^2 - 3z + 2 = 0</math>

<math>z = \frac{3}{2}</math>

Por lo que el resultado es razonable, la mayor rotación ocurre en la dirección positiva del eje y y está asociada con la coordenada z=3/2, que es el vértice de la parábola que define el campo vectorial en z.

==CAMPO DE TEMPERATURAS==

Para poder estudiar el campo de temperaturas con respecto al Flujo de Couette nos ponemos en situación hipotetica:

Sometemos a nuestro fluido a una temperatura dada por el siguiente campo:

T (ρ, θ) = log(1 + ρ) cos^2(θ).
T(ρ,θ)=log⁡〖(l+ρ) 〖cos〗^2⁡(θ) 〗

Para realizar más fácilmente este supuesto lo primero que haremos será pasar de coordenadas polares a coordenadas cartesianas:
x(ρ,θ)=ρ cos⁡(θ)
y(ρ,θ)=ρ sin⁡(θ)

ρ=√(x^2+y^2 )
θ=arctan⁡(y/x)

Como nuestros ejes son {j⃗ ,k⃗ }

y(ρ,θ)=ρ cos⁡(θ)
z(ρ,θ)=ρ sin⁡(θ)

ρ=√(y^2+z^2 )
θ=arctan⁡(z/y)

Sustituimos en T (ρ, θ) para obtener el campo en cartesianas T(y,z):

[CALCULOS]

[CALCULOS]

[CALCULOS]

[CALCULOS]

Con las coordenadas cambiadas será mucho más fácil representar el campo gráficamente con Matlab:

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=log(1+(sqrt(Y.^2+Z.^2))).*((Y.^2)./((Y.^2)+(Z.^2)));
pcolor(Y,Z,p);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar
figure(2)
contour(Y,Z,p,10,'k');
grid on
axis([0,8,-1,2]);}}

[[Archivo:temperatura34.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

== GRADIENTE DE LA TEMPERATURA==
Para qu ela representacion grafica del gradiente sea mas facil de trabajar hemos decidido trabajar con coordenadas cilindricas:

T=ln⁡(1+ρ) cos^2⁡(θ)

El gradiente en coordenadas cilíndricas sigue la siguiente fórmula:

Donde vemos la particularidad de que hay que dividir entre ρ la parcial respecto θ.

[CALCULOS]

Representamos el gradiente en Matlab con el siguiente código:

{{matlab|codigo=
y=-5:0.1:5;
z=-1:0.1:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
Ro=sqrt(Y.^2+Z.^2);
Theta=atan(Z./(Y));
T=log(1+Ro).*cos(Theta).^2;
G1=((cos(Theta).^2).*(1./(Ro+1)));
G2=((1./Ro).*((-2).*log(Ro+1).*cos(Theta).*sin(Theta)));
figure
hold on
grid on
title(‘Gradiente de temperatura’)
quiver(Y,Z,G1,G2)
contour(Y,Z,T,'k')
axis([-5,5,-2,2])
hold off}}

[[Archivo:gradiente34 .png|400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente de Temperatura]]

==CAUDAL==

EL caudal de un rio es la cantidad e agua que fluye por unidad de tiempo a través de un punto específico en el río. Para poder calcular este caudal vamos a trabajar con la integral de superficie. Esta fórmula se utiliza para calcular el caudal total a lo largo de toda la sección transversal del río. Vamos a establecer profunidad de 1 metro por unidad de tiempo.

Integral de Superficie
<math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}</math>
-Campo de velocidades calculado en el apartado 3:
<math>\boxed(\mathbf{u}(\mathbf{y,z}) = \frac{{z^2 - 3z + 2}}{2} \overline{\mathbf{j}})</math>
Velocidad en m/s

Profundidad caudal: 1 metro

Tenemos que parametrizar la superficie S sobre la que vamos a trabajar. Dado que estamos trabajando en un rectángulo de dominio [0, 8] × [0, 1], parametrizamos la superficie S usando los parámetros u y v.

$\overline{r}(u,v) = \begin{bmatrix} x(u,v) \\ y(u,v) \\ z(u,v) \end{bmatrix}$
teniendo en cuenta que trabajamos en el plano x=0, tomamos:

$\overline{r}(u,v) = \begin{bmatrix} 0 \\ 8u \\ v \end{bmatrix}$

Estando u, es decir y, en el intervalo [0,-1] y v (z) en [0,1].

---Profundidad caudal (z), entre -1 y 1:--
$\frac{d\vec{s}}{} = \frac{\partial\vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial\vec{r}}{\partial v} \, du \, dv$

$\frac{d\vec{r}}{du} = \begin{bmatrix} 0 \\ 8 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\frac{d\vec{r}}{dv} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\frac{d\vec{s}}{} = \frac{\partial\vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial\vec{r}}{\partial v} $

$\vec{r}_u \times \vec{r}_v = \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right| = 8\mathbf{i}$

Definimos el Flujo
$ Q = \int \int \vec{u} \, d\vec{S} \, du \, dv $

<math>$\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \frac{{v^2 - 3v + 2}}{2} \cdot 8 \, du \, dv $</math>

$\int_S \vec{v} \, d\vec{S} = \int_S \bar{u}|\vec{r}_u \times \vec{r}_v|$

---PROCEDEMOS AL CALCULO--

$\int_S \vec{v} \, d\vec{S} = \int_S \bar{u}|\vec{r}_u \times \vec{r}_v|$

<math>\$\int_{-1}^0 \int_0^1 \frac{{z^2-3z+2}}{2} \cdot 8 \, dz \, dx$</math>

$\int_{-1}^0 \frac{1}{2} \left(\frac{z^2}{4} - \frac{3z^2}{2} + 2z\right) \, dz$

$\int_{-1}^0 \left[\frac{z^4}{8} - \frac{3z^2}{4} + z\right] \, dx$
Despues reemplazamos el Valor de Z:
$\int_{-1}^0 \left(\frac{1}{8} - \frac{3}{4} + 1\right) \, dx$

Resolvemos las fracciones de adentro

$\int_{-1}^0 \frac{3}{8} \, dx$

Proseguimos con el calculo de la integral

\[\left[\frac{3}{8}x\right]_{-1}^0\]

= -\frac{3}{8} = \frac{3}{8} = 0.375 \, \text{m}^2/\text{s}