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Placa plana Grupo 41

2024-12-08T20:15:11Z

Jose Andres Bello Amado: /* Masa */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==
Se puede apreciar en el grafico que los puntos que pertenezcan a [x = 0] e [y = 0] se encuentran fijos y no hay desplazamiento.
[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \vec{i} + u_y(x, y) \vec{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = \frac{xy}{10}</math>
<math>u_y(x, y) = \frac{-yx^2}{10}</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = \frac{y}{10}</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = \frac{-x^2}{10}</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = \frac{y-x^2}{10}</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==
Sabiendo que <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Por lo que esto nos lleva a que:

<math>u_x(x, y) = \frac {xy}{10}</math>

<math>u_y(x, y) = \frac {-yx^2}{10}</math>

<math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Y sabiendo esto a la hora de hacer el modulo para realizar esta grafica nos queda: <math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Los puntos que sufren mayor rotacional son los que se encuentren sobre las rectas [y = 0] , [y = 6] , [y = 12].

==Tensiones Normales==

Sabiendo que: <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Y que: <math>∇ × \vec{u} = \frac{x(-2y-1)}{10}\; </math>

Definimos: <math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

Luego calculamos las tensiones normales en las direcciones de los ejes de coordenadas:

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math> 

{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==
Tensión tangencial al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> :

<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
if Region(j,i)
T_ij = [(1 - X(j, i).^4) * (1/2 - Y(j, i)), 0; 0, -(1 - X(j, i).^4) * (1/2 - Y(j, i))];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = 0;
end
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

Valor máximo de la tensión : 2.7605

Coordenadas del valor máximo : (x, y) = (-0.5, 2.2)

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
La masa total es de 19.43
{{matlab|codigo=
% Datos
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = f;
f = @(x) 2+x.^2;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1,x2,y1,y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masa)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T20:09:32Z

Jose Andres Bello Amado: /* Masa */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==
Se puede apreciar en el grafico que los puntos que pertenezcan a [x = 0] e [y = 0] se encuentran fijos y no hay desplazamiento.
[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \vec{i} + u_y(x, y) \vec{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = \frac{xy}{10}</math>
<math>u_y(x, y) = \frac{-yx^2}{10}</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = \frac{y}{10}</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = \frac{-x^2}{10}</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = \frac{y-x^2}{10}</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==
Sabiendo que <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Por lo que esto nos lleva a que:

<math>u_x(x, y) = \frac {xy}{10}</math>

<math>u_y(x, y) = \frac {-yx^2}{10}</math>

<math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Y sabiendo esto a la hora de hacer el modulo para realizar esta grafica nos queda: <math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Los puntos que sufren mayor rotacional son los que se encuentren sobre las rectas [y = 0] , [y = 6] , [y = 12].

==Tensiones Normales==

Sabiendo que: <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Y que: <math>∇ × \vec{u} = \frac{x(-2y-1)}{10}\; </math>

Definimos: <math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

Luego calculamos las tensiones normales en las direcciones de los ejes de coordenadas:

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math> 

{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==
Tensión tangencial al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> :

<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
if Region(j,i)
T_ij = [(1 - X(j, i).^4) * (1/2 - Y(j, i)), 0; 0, -(1 - X(j, i).^4) * (1/2 - Y(j, i))];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = 0;
end
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

Valor máximo de la tensión : 2.7605

Coordenadas del valor máximo : (x, y) = (-0.5, 2.2)

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
La masa total es de 19.43
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = f;
f = @(x) 2+x.^2;
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1,x2,y1,y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masa)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T20:09:12Z

Jose Andres Bello Amado: /* Masa */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==
Se puede apreciar en el grafico que los puntos que pertenezcan a [x = 0] e [y = 0] se encuentran fijos y no hay desplazamiento.
[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \vec{i} + u_y(x, y) \vec{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = \frac{xy}{10}</math>
<math>u_y(x, y) = \frac{-yx^2}{10}</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = \frac{y}{10}</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = \frac{-x^2}{10}</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = \frac{y-x^2}{10}</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==
Sabiendo que <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Por lo que esto nos lleva a que:

<math>u_x(x, y) = \frac {xy}{10}</math>

<math>u_y(x, y) = \frac {-yx^2}{10}</math>

<math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Y sabiendo esto a la hora de hacer el modulo para realizar esta grafica nos queda: <math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Los puntos que sufren mayor rotacional son los que se encuentren sobre las rectas [y = 0] , [y = 6] , [y = 12].

==Tensiones Normales==

Sabiendo que: <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Y que: <math>∇ × \vec{u} = \frac{x(-2y-1)}{10}\; </math>

Definimos: <math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

Luego calculamos las tensiones normales en las direcciones de los ejes de coordenadas:

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math> 

{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==
Tensión tangencial al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> :

<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
if Region(j,i)
T_ij = [(1 - X(j, i).^4) * (1/2 - Y(j, i)), 0; 0, -(1 - X(j, i).^4) * (1/2 - Y(j, i))];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = 0;
end
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

Valor máximo de la tensión : 2.7605

Coordenadas del valor máximo : (x, y) = (-0.5, 2.2)

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = f;
f = @(x) 2+x.^2;
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1,x2,y1,y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masa)]);
}}

La masa total es de 19.43

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T20:08:07Z

Jose Andres Bello Amado: /* Masa */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==
Se puede apreciar en el grafico que los puntos que pertenezcan a [x = 0] e [y = 0] se encuentran fijos y no hay desplazamiento.
[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \vec{i} + u_y(x, y) \vec{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = \frac{xy}{10}</math>
<math>u_y(x, y) = \frac{-yx^2}{10}</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = \frac{y}{10}</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = \frac{-x^2}{10}</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = \frac{y-x^2}{10}</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==
Sabiendo que <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Por lo que esto nos lleva a que:

<math>u_x(x, y) = \frac {xy}{10}</math>

<math>u_y(x, y) = \frac {-yx^2}{10}</math>

<math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Y sabiendo esto a la hora de hacer el modulo para realizar esta grafica nos queda: <math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Los puntos que sufren mayor rotacional son los que se encuentren sobre las rectas [y = 0] , [y = 6] , [y = 12].

==Tensiones Normales==

Sabiendo que: <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Y que: <math>∇ × \vec{u} = \frac{x(-2y-1)}{10}\; </math>

Definimos: <math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

Luego calculamos las tensiones normales en las direcciones de los ejes de coordenadas:

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math> 

{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==
Tensión tangencial al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> :

<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
if Region(j,i)
T_ij = [(1 - X(j, i).^4) * (1/2 - Y(j, i)), 0; 0, -(1 - X(j, i).^4) * (1/2 - Y(j, i))];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = 0;
end
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

Valor máximo de la tensión : 2.7605

Coordenadas del valor máximo : (x, y) = (-0.5, 2.2)

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = f;
f = @(x) 2+x.^2;
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1,x2,y1,y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masa)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T20:07:37Z

Jose Andres Bello Amado: /* Masa */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==
Se puede apreciar en el grafico que los puntos que pertenezcan a [x = 0] e [y = 0] se encuentran fijos y no hay desplazamiento.
[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \vec{i} + u_y(x, y) \vec{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = \frac{xy}{10}</math>
<math>u_y(x, y) = \frac{-yx^2}{10}</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = \frac{y}{10}</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = \frac{-x^2}{10}</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = \frac{y-x^2}{10}</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==
Sabiendo que <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Por lo que esto nos lleva a que:

<math>u_x(x, y) = \frac {xy}{10}</math>

<math>u_y(x, y) = \frac {-yx^2}{10}</math>

<math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Y sabiendo esto a la hora de hacer el modulo para realizar esta grafica nos queda: <math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Los puntos que sufren mayor rotacional son los que se encuentren sobre las rectas [y = 0] , [y = 6] , [y = 12].

==Tensiones Normales==

Sabiendo que: <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Y que: <math>∇ × \vec{u} = \frac{x(-2y-1)}{10}\; </math>

Definimos: <math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

Luego calculamos las tensiones normales en las direcciones de los ejes de coordenadas:

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math> 

{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==
Tensión tangencial al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> :

<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
if Region(j,i)
T_ij = [(1 - X(j, i).^4) * (1/2 - Y(j, i)), 0; 0, -(1 - X(j, i).^4) * (1/2 - Y(j, i))];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = 0;
end
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

Valor máximo de la tensión : 2.7605

Coordenadas del valor máximo : (x, y) = (-0.5, 2.2)

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = f;
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1,x2,y1,y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masa)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T19:54:48Z

Jose Andres Bello Amado: /* Von Mises */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==
Se puede apreciar en el grafico que los puntos que pertenezcan a [x = 0] e [y = 0] se encuentran fijos y no hay desplazamiento.
[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \vec{i} + u_y(x, y) \vec{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = \frac{xy}{10}</math>
<math>u_y(x, y) = \frac{-yx^2}{10}</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = \frac{y}{10}</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = \frac{-x^2}{10}</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = \frac{y-x^2}{10}</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==
Sabiendo que <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Por lo que esto nos lleva a que:

<math>u_x(x, y) = \frac {xy}{10}</math>

<math>u_y(x, y) = \frac {-yx^2}{10}</math>

<math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Y sabiendo esto a la hora de hacer el modulo para realizar esta grafica nos queda: <math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Los puntos que sufren mayor rotacional son los que se encuentren sobre las rectas [y = 0] , [y = 6] , [y = 12].

==Tensiones Normales==

Sabiendo que: <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Y que: <math>∇ × \vec{u} = \frac{x(-2y-1)}{10}\; </math>

Definimos: <math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

Luego calculamos las tensiones normales en las direcciones de los ejes de coordenadas:

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math> 

{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==
Tensión tangencial al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> :

<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
if Region(j,i)
T_ij = [(1 - X(j, i).^4) * (1/2 - Y(j, i)), 0; 0, -(1 - X(j, i).^4) * (1/2 - Y(j, i))];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = 0;
end
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

Valor máximo de la tensión : 2.7605

Coordenadas del valor máximo : (x, y) = (-0.5, 2.2)

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T19:21:05Z

Jose Andres Bello Amado: /* Von Mises */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==
Se puede apreciar en el grafico que los puntos que pertenezcan a [x = 0] e [y = 0] se encuentran fijos y no hay desplazamiento.
[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \vec{i} + u_y(x, y) \vec{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = \frac{xy}{10}</math>
<math>u_y(x, y) = \frac{-yx^2}{10}</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = \frac{y}{10}</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = \frac{-x^2}{10}</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = \frac{y-x^2}{10}</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==
Sabiendo que <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Por lo que esto nos lleva a que:

<math>u_x(x, y) = \frac {xy}{10}</math>

<math>u_y(x, y) = \frac {-yx^2}{10}</math>

<math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Y sabiendo esto a la hora de hacer el modulo para realizar esta grafica nos queda: <math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Los puntos que sufren mayor rotacional son los que se encuentren sobre las rectas [y = 0] , [y = 6] , [y = 12].

==Tensiones Normales==

Sabiendo que: <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Y que: <math>∇ × \vec{u} = \frac{x(-2y-1)}{10}\; </math>

Definimos: <math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

Luego calculamos las tensiones normales en las direcciones de los ejes de coordenadas:

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math> 

{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==
Tensión tangencial al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> :

<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

Valor máximo de la tensión : 2.7605

Coordenadas del valor máximo : (x, y) = (-0.5, 2.2)

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T19:20:44Z

Jose Andres Bello Amado: /* Von Mises */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==
Se puede apreciar en el grafico que los puntos que pertenezcan a [x = 0] e [y = 0] se encuentran fijos y no hay desplazamiento.
[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \vec{i} + u_y(x, y) \vec{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = \frac{xy}{10}</math>
<math>u_y(x, y) = \frac{-yx^2}{10}</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = \frac{y}{10}</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = \frac{-x^2}{10}</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = \frac{y-x^2}{10}</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==
Sabiendo que <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Por lo que esto nos lleva a que:

<math>u_x(x, y) = \frac {xy}{10}</math>

<math>u_y(x, y) = \frac {-yx^2}{10}</math>

<math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Y sabiendo esto a la hora de hacer el modulo para realizar esta grafica nos queda: <math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Los puntos que sufren mayor rotacional son los que se encuentren sobre las rectas [y = 0] , [y = 6] , [y = 12].

==Tensiones Normales==

Sabiendo que: <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Y que: <math>∇ × \vec{u} = \frac{x(-2y-1)}{10}\; </math>

Definimos: <math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

Luego calculamos las tensiones normales en las direcciones de los ejes de coordenadas:

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math> 

{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==
Tensión tangencial al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> :

<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

Valor máximo de la tensión: 2.7605
Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (-0.5, 2.2)

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T19:19:38Z

Jose Andres Bello Amado: /* Tensiones Tangenciales */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==
Se puede apreciar en el grafico que los puntos que pertenezcan a [x = 0] e [y = 0] se encuentran fijos y no hay desplazamiento.
[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \vec{i} + u_y(x, y) \vec{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = \frac{xy}{10}</math>
<math>u_y(x, y) = \frac{-yx^2}{10}</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = \frac{y}{10}</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = \frac{-x^2}{10}</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = \frac{y-x^2}{10}</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==
Sabiendo que <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Por lo que esto nos lleva a que:

<math>u_x(x, y) = \frac {xy}{10}</math>

<math>u_y(x, y) = \frac {-yx^2}{10}</math>

<math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Y sabiendo esto a la hora de hacer el modulo para realizar esta grafica nos queda: <math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Los puntos que sufren mayor rotacional son los que se encuentren sobre las rectas [y = 0] , [y = 6] , [y = 12].

==Tensiones Normales==

Sabiendo que: <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Y que: <math>∇ × \vec{u} = \frac{x(-2y-1)}{10}\; </math>

Definimos: <math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

Luego calculamos las tensiones normales en las direcciones de los ejes de coordenadas:

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math> 

{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==
Tensión tangencial al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> :

<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T19:19:05Z

Jose Andres Bello Amado: /* Tensiones Tangenciales */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==
Se puede apreciar en el grafico que los puntos que pertenezcan a [x = 0] e [y = 0] se encuentran fijos y no hay desplazamiento.
[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \vec{i} + u_y(x, y) \vec{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = \frac{xy}{10}</math>
<math>u_y(x, y) = \frac{-yx^2}{10}</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = \frac{y}{10}</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = \frac{-x^2}{10}</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = \frac{y-x^2}{10}</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==
Sabiendo que <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Por lo que esto nos lleva a que:

<math>u_x(x, y) = \frac {xy}{10}</math>

<math>u_y(x, y) = \frac {-yx^2}{10}</math>

<math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Y sabiendo esto a la hora de hacer el modulo para realizar esta grafica nos queda: <math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Los puntos que sufren mayor rotacional son los que se encuentren sobre las rectas [y = 0] , [y = 6] , [y = 12].

==Tensiones Normales==

Sabiendo que: <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Y que: <math>∇ × \vec{u} = \frac{x(-2y-1)}{10}\; </math>

Definimos: <math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

Luego calculamos las tensiones normales en las direcciones de los ejes de coordenadas:

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math> 

{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==
Tensión tangencial al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>: <center><math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math><center>

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T19:18:05Z

Jose Andres Bello Amado: /* Tensiones Tangenciales */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==
Se puede apreciar en el grafico que los puntos que pertenezcan a [x = 0] e [y = 0] se encuentran fijos y no hay desplazamiento.
[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \vec{i} + u_y(x, y) \vec{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = \frac{xy}{10}</math>
<math>u_y(x, y) = \frac{-yx^2}{10}</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = \frac{y}{10}</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = \frac{-x^2}{10}</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = \frac{y-x^2}{10}</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==
Sabiendo que <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Por lo que esto nos lleva a que:

<math>u_x(x, y) = \frac {xy}{10}</math>

<math>u_y(x, y) = \frac {-yx^2}{10}</math>

<math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Y sabiendo esto a la hora de hacer el modulo para realizar esta grafica nos queda: <math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Los puntos que sufren mayor rotacional son los que se encuentren sobre las rectas [y = 0] , [y = 6] , [y = 12].

==Tensiones Normales==

Sabiendo que: <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Y que: <math>∇ × \vec{u} = \frac{x(-2y-1)}{10}\; </math>

Definimos: <math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

Luego calculamos las tensiones normales en las direcciones de los ejes de coordenadas:

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math> 

{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==
Tensión tangencial al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>: <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T19:17:36Z

Jose Andres Bello Amado: /* Tensiones Tangenciales */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==
Se puede apreciar en el grafico que los puntos que pertenezcan a [x = 0] e [y = 0] se encuentran fijos y no hay desplazamiento.
[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \vec{i} + u_y(x, y) \vec{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = \frac{xy}{10}</math>
<math>u_y(x, y) = \frac{-yx^2}{10}</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = \frac{y}{10}</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = \frac{-x^2}{10}</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = \frac{y-x^2}{10}</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==
Sabiendo que <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Por lo que esto nos lleva a que:

<math>u_x(x, y) = \frac {xy}{10}</math>

<math>u_y(x, y) = \frac {-yx^2}{10}</math>

<math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Y sabiendo esto a la hora de hacer el modulo para realizar esta grafica nos queda: <math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Los puntos que sufren mayor rotacional son los que se encuentren sobre las rectas [y = 0] , [y = 6] , [y = 12].

==Tensiones Normales==

Sabiendo que: <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Y que: <math>∇ × \vec{u} = \frac{x(-2y-1)}{10}\; </math>

Definimos: <math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

Luego calculamos las tensiones normales en las direcciones de los ejes de coordenadas:

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math> 

{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==
Tensión tangencial al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>:

<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T19:16:33Z

Jose Andres Bello Amado: /* Tensiones Tangenciales */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==
Se puede apreciar en el grafico que los puntos que pertenezcan a [x = 0] e [y = 0] se encuentran fijos y no hay desplazamiento.
[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \vec{i} + u_y(x, y) \vec{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = \frac{xy}{10}</math>
<math>u_y(x, y) = \frac{-yx^2}{10}</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = \frac{y}{10}</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = \frac{-x^2}{10}</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = \frac{y-x^2}{10}</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==
Sabiendo que <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Por lo que esto nos lleva a que:

<math>u_x(x, y) = \frac {xy}{10}</math>

<math>u_y(x, y) = \frac {-yx^2}{10}</math>

<math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Y sabiendo esto a la hora de hacer el modulo para realizar esta grafica nos queda: <math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Los puntos que sufren mayor rotacional son los que se encuentren sobre las rectas [y = 0] , [y = 6] , [y = 12].

==Tensiones Normales==

Sabiendo que: <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Y que: <math>∇ × \vec{u} = \frac{x(-2y-1)}{10}\; </math>

Definimos: <math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

Luego calculamos las tensiones normales en las direcciones de los ejes de coordenadas:

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math> 

{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==
Tensión tangencial al plano ortogonal a <math>|vec{i}|</math>:

<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T19:16:04Z

Jose Andres Bello Amado: /* Tensiones Tangenciales */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==
Se puede apreciar en el grafico que los puntos que pertenezcan a [x = 0] e [y = 0] se encuentran fijos y no hay desplazamiento.
[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \vec{i} + u_y(x, y) \vec{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = \frac{xy}{10}</math>
<math>u_y(x, y) = \frac{-yx^2}{10}</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = \frac{y}{10}</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = \frac{-x^2}{10}</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = \frac{y-x^2}{10}</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==
Sabiendo que <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Por lo que esto nos lleva a que:

<math>u_x(x, y) = \frac {xy}{10}</math>

<math>u_y(x, y) = \frac {-yx^2}{10}</math>

<math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Y sabiendo esto a la hora de hacer el modulo para realizar esta grafica nos queda: <math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Los puntos que sufren mayor rotacional son los que se encuentren sobre las rectas [y = 0] , [y = 6] , [y = 12].

==Tensiones Normales==

Sabiendo que: <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Y que: <math>∇ × \vec{u} = \frac{x(-2y-1)}{10}\; </math>

Definimos: <math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

Luego calculamos las tensiones normales en las direcciones de los ejes de coordenadas:

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math> 

{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==
Tensión tangencial al plano ortogonal a <math>vec{i}</math>:

<math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}| = |\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ \frac{x(1-2y)}{10} \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| = |\frac{x(1-2y)}{10}|</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T19:10:51Z

Jose Andres Bello Amado: /* Tensiones Normales */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==
Se puede apreciar en el grafico que los puntos que pertenezcan a [x = 0] e [y = 0] se encuentran fijos y no hay desplazamiento.
[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \vec{i} + u_y(x, y) \vec{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = \frac{xy}{10}</math>
<math>u_y(x, y) = \frac{-yx^2}{10}</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = \frac{y}{10}</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = \frac{-x^2}{10}</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = \frac{y-x^2}{10}</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==
Sabiendo que <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Por lo que esto nos lleva a que:

<math>u_x(x, y) = \frac {xy}{10}</math>

<math>u_y(x, y) = \frac {-yx^2}{10}</math>

<math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Y sabiendo esto a la hora de hacer el modulo para realizar esta grafica nos queda: <math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Los puntos que sufren mayor rotacional son los que se encuentren sobre las rectas [y = 0] , [y = 6] , [y = 12].

==Tensiones Normales==

Sabiendo que: <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Y que: <math>∇ × \vec{u} = \frac{x(-2y-1)}{10}\; </math>

Definimos: <math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

Luego calculamos las tensiones normales en las direcciones de los ejes de coordenadas:

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math> 

{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T19:09:14Z

Jose Andres Bello Amado: /* Tensiones Normales */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==
Se puede apreciar en el grafico que los puntos que pertenezcan a [x = 0] e [y = 0] se encuentran fijos y no hay desplazamiento.
[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \vec{i} + u_y(x, y) \vec{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = \frac{xy}{10}</math>
<math>u_y(x, y) = \frac{-yx^2}{10}</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = \frac{y}{10}</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = \frac{-x^2}{10}</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = \frac{y-x^2}{10}</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==
Sabiendo que <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Por lo que esto nos lleva a que:

<math>u_x(x, y) = \frac {xy}{10}</math>

<math>u_y(x, y) = \frac {-yx^2}{10}</math>

<math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Y sabiendo esto a la hora de hacer el modulo para realizar esta grafica nos queda: <math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Los puntos que sufren mayor rotacional son los que se encuentren sobre las rectas [y = 0] , [y = 6] , [y = 12].

==Tensiones Normales==

Sabiendo que: <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Y que: <math>∇ × \vec{u} = \frac{x(-2y-1)}{10}\; </math>

Definimos: <math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

Luego calculamos las tensiones normales en las direcciones de los ejes de coordenadas:

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math> 

{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T19:08:55Z

Jose Andres Bello Amado: /* Tensiones Normales */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==
Se puede apreciar en el grafico que los puntos que pertenezcan a [x = 0] e [y = 0] se encuentran fijos y no hay desplazamiento.
[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \vec{i} + u_y(x, y) \vec{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = \frac{xy}{10}</math>
<math>u_y(x, y) = \frac{-yx^2}{10}</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = \frac{y}{10}</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = \frac{-x^2}{10}</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = \frac{y-x^2}{10}</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==
Sabiendo que <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Por lo que esto nos lleva a que:

<math>u_x(x, y) = \frac {xy}{10}</math>

<math>u_y(x, y) = \frac {-yx^2}{10}</math>

<math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Y sabiendo esto a la hora de hacer el modulo para realizar esta grafica nos queda: <math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Los puntos que sufren mayor rotacional son los que se encuentren sobre las rectas [y = 0] , [y = 6] , [y = 12].

==Tensiones Normales==

Sabiendo que: <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Y que: <math>∇ × \vec{u} = \frac{x(-2y-1)}{10}\; </math>

Definimos: <math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

Luego calculamos las tensiones normales en las direcciones de los ejes de coordenadas:

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math>
</center> 

{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T19:08:37Z

Jose Andres Bello Amado: /* Tensiones Normales */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==
Se puede apreciar en el grafico que los puntos que pertenezcan a [x = 0] e [y = 0] se encuentran fijos y no hay desplazamiento.
[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \vec{i} + u_y(x, y) \vec{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = \frac{xy}{10}</math>
<math>u_y(x, y) = \frac{-yx^2}{10}</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = \frac{y}{10}</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = \frac{-x^2}{10}</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = \frac{y-x^2}{10}</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==
Sabiendo que <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Por lo que esto nos lleva a que:

<math>u_x(x, y) = \frac {xy}{10}</math>

<math>u_y(x, y) = \frac {-yx^2}{10}</math>

<math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Y sabiendo esto a la hora de hacer el modulo para realizar esta grafica nos queda: <math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Los puntos que sufren mayor rotacional son los que se encuentren sobre las rectas [y = 0] , [y = 6] , [y = 12].

==Tensiones Normales==

Sabiendo que: <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Y que: <math>∇ × \vec{u} = \frac{x(-2y-1)}{10}\; </math>

Definimos: <math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

Luego calculamos las tensiones normales en las direcciones de los ejes de coordenadas:

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math>
</center> 

{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T19:06:26Z

Jose Andres Bello Amado: /* Tensiones Normales */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==
Se puede apreciar en el grafico que los puntos que pertenezcan a [x = 0] e [y = 0] se encuentran fijos y no hay desplazamiento.
[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \vec{i} + u_y(x, y) \vec{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = \frac{xy}{10}</math>
<math>u_y(x, y) = \frac{-yx^2}{10}</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = \frac{y}{10}</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = \frac{-x^2}{10}</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = \frac{y-x^2}{10}</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==
Sabiendo que <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Por lo que esto nos lleva a que:

<math>u_x(x, y) = \frac {xy}{10}</math>

<math>u_y(x, y) = \frac {-yx^2}{10}</math>

<math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Y sabiendo esto a la hora de hacer el modulo para realizar esta grafica nos queda: <math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Los puntos que sufren mayor rotacional son los que se encuentren sobre las rectas [y = 0] , [y = 6] , [y = 12].

==Tensiones Normales==

Sabiendo que: <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Y que: <math>∇ × \vec{u} = \frac{x(-2y-1)}{10}\; </math>

<center><math>σ = λ∇·\vec{u}1 + 2 μԐ=\begin{pmatrix}\frac{y-x^2}{10} & 0 & 0\\0 & \frac{y-x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{y}{5} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{-x^2}{5} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{3y-x^2}{10}\vec{i}</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{y-3x^2}{10}\vec{j}</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{3y-x^2}{10} & \frac{x(1-2y)}{10} & 0\\\frac{x(1-2y)}{10} & \frac{y-3x^2}{10} & 0\\ 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{y-x^2}{10} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{y-x^2}{10}\vec{k}</math>
</center> 

{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T19:04:11Z

Jose Andres Bello Amado: /* Tensiones Normales */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==
Se puede apreciar en el grafico que los puntos que pertenezcan a [x = 0] e [y = 0] se encuentran fijos y no hay desplazamiento.
[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \vec{i} + u_y(x, y) \vec{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = \frac{xy}{10}</math>
<math>u_y(x, y) = \frac{-yx^2}{10}</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = \frac{y}{10}</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = \frac{-x^2}{10}</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = \frac{y-x^2}{10}</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==
Sabiendo que <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Por lo que esto nos lleva a que:

<math>u_x(x, y) = \frac {xy}{10}</math>

<math>u_y(x, y) = \frac {-yx^2}{10}</math>

<math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Y sabiendo esto a la hora de hacer el modulo para realizar esta grafica nos queda: <math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Los puntos que sufren mayor rotacional son los que se encuentren sobre las rectas [y = 0] , [y = 6] , [y = 12].

==Tensiones Normales==

Sabiendo que: <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Y que: <math>∇ × \vec{u} = \frac{x(-2y-1)}{10}\; </math>

{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T19:03:51Z

Jose Andres Bello Amado: /* Tensiones Normales */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==
Se puede apreciar en el grafico que los puntos que pertenezcan a [x = 0] e [y = 0] se encuentran fijos y no hay desplazamiento.
[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \vec{i} + u_y(x, y) \vec{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = \frac{xy}{10}</math>
<math>u_y(x, y) = \frac{-yx^2}{10}</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = \frac{y}{10}</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = \frac{-x^2}{10}</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = \frac{y-x^2}{10}</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==
Sabiendo que <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Por lo que esto nos lleva a que:

<math>u_x(x, y) = \frac {xy}{10}</math>

<math>u_y(x, y) = \frac {-yx^2}{10}</math>

<math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Y sabiendo esto a la hora de hacer el modulo para realizar esta grafica nos queda: <math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Los puntos que sufren mayor rotacional son los que se encuentren sobre las rectas [y = 0] , [y = 6] , [y = 12].

==Tensiones Normales==

Sabiendo que: <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Y que: <math>∇ × \vec{u} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T18:58:23Z

Jose Andres Bello Amado: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==
Se puede apreciar en el grafico que los puntos que pertenezcan a [x = 0] e [y = 0] se encuentran fijos y no hay desplazamiento.
[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \vec{i} + u_y(x, y) \vec{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = \frac{xy}{10}</math>
<math>u_y(x, y) = \frac{-yx^2}{10}</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = \frac{y}{10}</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = \frac{-x^2}{10}</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = \frac{y-x^2}{10}</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==
Sabiendo que <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Por lo que esto nos lleva a que:

<math>u_x(x, y) = \frac {xy}{10}</math>

<math>u_y(x, y) = \frac {-yx^2}{10}</math>

<math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Y sabiendo esto a la hora de hacer el modulo para realizar esta grafica nos queda: <math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Los puntos que sufren mayor rotacional son los que se encuentren sobre las rectas [y = 0] , [y = 6] , [y = 12].

==Tensiones Normales==
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T18:55:47Z

Jose Andres Bello Amado: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==
Se puede apreciar en el grafico que los puntos que pertenezcan a [x = 0] e [y = 0] se encuentran fijos y no hay desplazamiento.
[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \vec{i} + u_y(x, y) \vec{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = \frac{xy}{10}</math>
<math>u_y(x, y) = \frac{-yx^2}{10}</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = \frac{y}{10}</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = \frac{-x^2}{10}</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = \frac{y-x^2}{10}</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==
Sabiendo que <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Por lo que esto nos lleva a que:

<math>u_x(x, y) = \frac {xy}{10}</math>

<math>u_y(x, y) = \frac {-yx^2}{10}</math>

<math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

Y sabiendo esto a la hora de hacer el modulo para realizar esta grafica nos queda: <math>|∇ × \vec{u}|= \frac{x(2y+1)}{10}</math>

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones Normales==
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T18:53:54Z

Jose Andres Bello Amado: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==
Se puede apreciar en el grafico que los puntos que pertenezcan a [x = 0] e [y = 0] se encuentran fijos y no hay desplazamiento.
[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \vec{i} + u_y(x, y) \vec{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = \frac{xy}{10}</math>
<math>u_y(x, y) = \frac{-yx^2}{10}</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = \frac{y}{10}</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = \frac{-x^2}{10}</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = \frac{y-x^2}{10}</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==
Sabiendo que <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Por lo que esto nos lleva a que:

<math>u_x(x, y) = \frac {xy}{10}</math>

<math>u_y(x, y) = \frac {-yx^2}{10}</math>

<math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones Normales==
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T18:52:58Z

Jose Andres Bello Amado: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==
Se puede apreciar en el grafico que los puntos que pertenezcan a [x = 0] e [y = 0] se encuentran fijos y no hay desplazamiento.
[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \vec{i} + u_y(x, y) \vec{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = \frac{xy}{10}</math>
<math>u_y(x, y) = \frac{-yx^2}{10}</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = \frac{y}{10}</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = \frac{-x^2}{10}</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = \frac{y-x^2}{10}</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==
Sabiendo que <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Por lo que esto nos lleva a que:

<math>u_x(x, y) = \frac {xy}{10}</math>

<math>u_y(x, y) = \frac {-yx^2}{10}</math>

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{xy}{10} & \frac{-yx^2}{10} & 0\end{vmatrix} = \frac{-2yx}{10} \vec{k} - \frac{x}{10} \vec{k} = \frac{x(-2y-1)}{10}\vec{k}; </math>

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones Normales==
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T18:51:35Z

Jose Andres Bello Amado: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==
Se puede apreciar en el grafico que los puntos que pertenezcan a [x = 0] e [y = 0] se encuentran fijos y no hay desplazamiento.
[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \vec{i} + u_y(x, y) \vec{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = \frac{xy}{10}</math>
<math>u_y(x, y) = \frac{-yx^2}{10}</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = \frac{y}{10}</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = \frac{-x^2}{10}</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = \frac{y-x^2}{10}</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==
Sabiendo que <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Por lo que esto nos lleva a que:

<math>u_x(x, y) = \frac {xy}{10}</math>

<math>u_y(x, y) = \frac {-yx^2}{10}</math>

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones Normales==
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T18:51:18Z

Jose Andres Bello Amado: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==
Se puede apreciar en el grafico que los puntos que pertenezcan a [x = 0] e [y = 0] se encuentran fijos y no hay desplazamiento.
[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \vec{i} + u_y(x, y) \vec{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = \frac{xy}{10}</math>
<math>u_y(x, y) = \frac{-yx^2}{10}</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = \frac{y}{10}</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = \frac{-x^2}{10}</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = \frac{y-x^2}{10}</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==
Sabiendo que <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>
Por lo que esto nos lleva a que:
<math>u_x(x, y) = \frac {xy}{10}</math>

<math>u_y(x, y) = \frac {-yx^2}{10}</math>

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones Normales==
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T18:50:51Z

Jose Andres Bello Amado: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==
Se puede apreciar en el grafico que los puntos que pertenezcan a [x = 0] e [y = 0] se encuentran fijos y no hay desplazamiento.
[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \vec{i} + u_y(x, y) \vec{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = \frac{xy}{10}</math>
<math>u_y(x, y) = \frac{-yx^2}{10}</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = \frac{y}{10}</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = \frac{-x^2}{10}</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = \frac{y-x^2}{10}</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==
Sabiendo que <math>\vec{u} = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>
Por lo que esto nos lleva a que:
<math>u_x(x, y) = \frac {xy}{10}</math>

<math>u_y(x, y) = \frac {-yx^2}{10}</math>

<math>\nabla \times \vec u =\left|
\begin{matrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{matrix}\right|
=\left|

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones Normales==
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T18:33:17Z

Jose Andres Bello Amado: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==
Se puede apreciar en el grafico que los puntos que pertenezcan a [x = 0] e [y = 0] se encuentran fijos y no hay desplazamiento.
[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \vec{i} + u_y(x, y) \vec{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = \frac{(xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})}{10}</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = \frac{xy}{10}</math>
<math>u_y(x, y) = \frac{-yx^2}{10}</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = \frac{y}{10}</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = \frac{-x^2}{10}</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = \frac{y-x^2}{10}</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones Normales==
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T18:29:24Z

Jose Andres Bello Amado: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==
Se puede apreciar en el grafico que los puntos que pertenezcan a [x = 0] e [y = 0] se encuentran fijos y no hay desplazamiento.
[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \vec{i} + u_y(x, y) \vec{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = (xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})/10</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = \frac{xy}{10}</math>
<math>u_y(x, y) = \frac{-yx^2}{10}</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = \frac{y}{10}</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = \frac{-x^2}{10}</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = \frac{y-x^2}{10}</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones Normales==
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T18:28:31Z

Jose Andres Bello Amado: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==
Se puede apreciar en el grafico que los puntos que pertenezcan a [x = 0] e [y = 0] se encuentran fijos y no hay desplazamiento.
[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \vec{i} + u_y(x, y) \vec{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = (xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})/10</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = xy/10</math>
<math>u_y(x, y) = -yx^2/10</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = \frac{y}{10}</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = \frac{-x^2}{10}</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = \frac{y-x^2}{10}</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones Normales==
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T18:28:07Z

Jose Andres Bello Amado: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==
Se puede apreciar en el grafico que los puntos que pertenezcan a [x = 0] e [y = 0] se encuentran fijos y no hay desplazamiento.
[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \vec{i} + u_y(x, y) \vec{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = (xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})/10</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = xy/10</math>
<math>u_y(x, y) = -yx^2/10</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = \frac{y}{10}</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = \frac{-x^2}{10}</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = y - x^2/10</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones Normales==
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T18:27:23Z

Jose Andres Bello Amado: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==
Se puede apreciar en el grafico que los puntos que pertenezcan a [x = 0] e [y = 0] se encuentran fijos y no hay desplazamiento.
[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \vec{i} + u_y(x, y) \vec{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = (xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})/10</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = xy/10</math>
<math>u_y(x, y) = -yx^2/10</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = y/10</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = \frac{-x^2}{10}</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = y - x^2/10</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones Normales==
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T18:27:03Z

Jose Andres Bello Amado: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==
Se puede apreciar en el grafico que los puntos que pertenezcan a [x = 0] e [y = 0] se encuentran fijos y no hay desplazamiento.
[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \vec{i} + u_y(x, y) \vec{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = (xy \vec{i} - yx^2 \vec{j})/10</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = xy/10</math>
<math>u_y(x, y) = -yx^2/10</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = y/10</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = \frac{\-x^2}{\10}</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = y - x^2/10</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones Normales==
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T18:14:55Z

Jose Andres Bello Amado: /* Campos de Desplazamientos */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==
Se puede apreciar en el grafico que los puntos que pertenezcan a [x = 0] e [y = 0] se encuentran fijos y no hay desplazamiento.
[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \hat{i} + u_y(x, y) \hat{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = (xy \hat{i} - yx^2 \hat{j})/10</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = xy/10</math>
<math>u_y(x, y) = -yx^2/10</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = y/10</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = -x^2/10</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = y - x^2/10</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones Normales==
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T18:07:59Z

Jose Andres Bello Amado: /* Temperatura Maxima */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==
La variación de temperatura máxima se puede ver en el siguiente grafico:

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==

[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \hat{i} + u_y(x, y) \hat{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = (xy \hat{i} - yx^2 \hat{j})/10</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = xy/10</math>
<math>u_y(x, y) = -yx^2/10</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = y/10</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = -x^2/10</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = y - x^2/10</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones Normales==
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T18:05:06Z

Jose Andres Bello Amado: /* Ley de Fourier */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>.

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==

[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \hat{i} + u_y(x, y) \hat{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = (xy \hat{i} - yx^2 \hat{j})/10</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = xy/10</math>
<math>u_y(x, y) = -yx^2/10</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = y/10</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = -x^2/10</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = y - x^2/10</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones Normales==
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T18:00:29Z

Jose Andres Bello Amado: /* Mallado del Solido */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa, parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==

[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \hat{i} + u_y(x, y) \hat{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = (xy \hat{i} - yx^2 \hat{j})/10</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = xy/10</math>
<math>u_y(x, y) = -yx^2/10</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = y/10</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = -x^2/10</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = y - x^2/10</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones Normales==
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T18:00:14Z

Jose Andres Bello Amado: /* Mallado del Solido */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==
Para dibujar el mallado que represente los puntos de la placa parametrizamos el sólido de manera que las líneas coordenadas sean iguales a la figura. Tomamos los ejes del el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−2, 2] × [0, 3]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{1}{10}</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==

[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \hat{i} + u_y(x, y) \hat{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = (xy \hat{i} - yx^2 \hat{j})/10</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = xy/10</math>
<math>u_y(x, y) = -yx^2/10</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = y/10</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = -x^2/10</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = y - x^2/10</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones Normales==
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T17:54:47Z

Jose Andres Bello Amado: /* Masa */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==

[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \hat{i} + u_y(x, y) \hat{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = (xy \hat{i} - yx^2 \hat{j})/10</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = xy/10</math>
<math>u_y(x, y) = -yx^2/10</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = y/10</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = -x^2/10</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = y - x^2/10</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones Normales==
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(Masal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T17:43:35Z

Jose Andres Bello Amado: /* Campo de Fuerzas */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==

[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \hat{i} + u_y(x, y) \hat{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = (xy \hat{i} - yx^2 \hat{j})/10</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = xy/10</math>
<math>u_y(x, y) = -yx^2/10</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = y/10</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = -x^2/10</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = y - x^2/10</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones Normales==
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|500px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(masatotal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Archivo:CampoFuerzasPlaca.png

2024-12-08T17:43:09Z

Jose Andres Bello Amado:

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T17:42:55Z

Jose Andres Bello Amado: /* Campo de Fuerzas */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==

[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \hat{i} + u_y(x, y) \hat{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = (xy \hat{i} - yx^2 \hat{j})/10</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = xy/10</math>
<math>u_y(x, y) = -yx^2/10</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = y/10</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = -x^2/10</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = y - x^2/10</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones Normales==
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
[[Archivo:CampoFuerzasPlaca.png|410px|thumb|CamposFuerzaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Paso de discretización y rango de puntos
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2 + x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
U = (X .* Y) / 10;
V = -(Y .* X.^2) / 10;
% Gradientes de los desplazamientos
[UX, UY] = gradient(U, h);
[VX, VY] = gradient(V, h);
% Cálculo de las fuerzas
FuerzaX = UX + VX;
FuerzaY= UY + VY;
Fuerza = sqrt(FuerzaX.^2 + FuerzaY.^2);
% Valor máximo de la fuerza
FuerzaMaxima = max(Fuerza(:));
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X, Y, FuerzaX, FuerzaY)
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Fuerza en la región definida')
}}

==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(masatotal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T13:12:45Z

Jose Andres Bello Amado: /* Masa */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==

[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \hat{i} + u_y(x, y) \hat{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = (xy \hat{i} - yx^2 \hat{j})/10</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = xy/10</math>
<math>u_y(x, y) = -yx^2/10</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = y/10</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = -x^2/10</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = y - x^2/10</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones Normales==
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
==Masa==
{{matlab|codigo=
x1 = -1; x2 = 1;
y1 = 0; y2 = 3;
% Calculo Masa atraves Integral
densidad = @(x, y) (2 - abs(x)) .* (4 - y);
Masa = integral2(densidad, x1, x2, y1, y2);
disp(['La masa total es: ', num2str(masatotal)]);
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Archivo:VonMisesPlaca.png

2024-12-08T13:09:40Z

Jose Andres Bello Amado:

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T13:09:22Z

Jose Andres Bello Amado: /* Von Mises */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==

[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \hat{i} + u_y(x, y) \hat{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = (xy \hat{i} - yx^2 \hat{j})/10</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = xy/10</math>
<math>u_y(x, y) = -yx^2/10</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = y/10</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = -x^2/10</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = y - x^2/10</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones Normales==
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==
[[Archivo:VonMisesPlaca.png|410px|thumb|VonMisesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
==Masa==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T13:08:21Z

Jose Andres Bello Amado: /* Von Mises */

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Jose Andres Bello Amado Pelayo Gomez Lobo Juan Pablo Garcia-Arias Vila }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1 , 1] × [0,f(x)]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por <center><math>T(x, y)=(1-x^4)+(\frac{1}{2}-y)</math></center> y los desplazamientos <math>u(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por <center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector <center><math>\vec{u}(x, y) = \frac{xy \vec{i} - yx^2 \vec{j}}{10}</math></center>

==Mallado del Solido==

[[Archivo:MalladoPlaca.png|thumb|400px|right|Mallado Placa Plana]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x= -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y limites placa
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
mesh(X, Y, Z);
hold on
limx = x;
limy = arrayfun(f, limx);
%Superficie
plot3(limx, limy, zeros(size(limx)), 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 -1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([1 1], [0 3], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
plot3([-1 1], [0 0], [0 0], 'Color', [0.2, 0.4, 0.6], 'LineWidth', 2);
%Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Mallado de la Placa')
view(2)
grid on
hold off
}}

==Curvas de Nivel y Gradiente de la Temperatura==

===Curvas de Nivel===

[[Archivo:CurvasNivel.png|thumb|300px|right|CurvasNivel]]
{{matlab|codigo=
% Datos y región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
contour3(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 2);
colorbar
%Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel de la Temperatura')
grid on
view(2)
hold off;
}}

===Superficie de la Temperatura===

[[Archivo:SuperficieTemperatura.png|thumb|500px|right|SuperficieTemperatura]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
% Mallado y Región
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
%Funcion Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
mesh(X, Y, Temperatura);
hold on;
% Valores Maximos Temperatura y Coordenadas
[maxTemperatura, XX] = max(Temperatura(:));
[maxX, maxY] = ind2sub(size(Temperatura), XX);
PuntoX = X(maxX, maxY);
PuntoY = Y(maxX, maxY);
plot3(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
text(PuntoX, PuntoY, maxTemperatura, sprintf(' %.2f', maxTemperatura), 'Color', 'r', 'FontSize', 10);
%Asignación ejes y vista
axis equal;
axis([-2, 2, 0, 3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Temperatura Superficie')
colorbar
grid on
hold off
}}

=== Gradiente Función Temperatura===

[[Archivo:CurvasNivelGradiente.png|thumb|350px|right|CurvasNivelGradiente]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:2;
h = 1/10;
% Función Temperatura y Gradiente
Temperatura = @(x, y) (1 - x.^4) .* (1/2 - y);
[X, Y] = meshgrid(x,y);
ValoresTemp = Temperatura(X, Y);
[Tx, Ty] = gradient(ValoresTemp, h, h);
figure
% Grafico Gradiente
contour(X, Y, ValoresTemp, 35, 'LineWidth', 1);
hold on
quiver(X, Y, Tx, Ty, 'r','LineWidth', 1);
% Asignación ejes y vista
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Curvas de nivel de T(x, y) y gradiente ∇T')
colorbar
hold off
}}

==Ley de Fourier==

[[Archivo:LeyFourier.png|thumb|500px|LeyFourier]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
region = (Y <= f(X));
% Gradiente Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
Temperatura(~region) = NaN;
[Tx, Ty] = gradient(Temperatura, h);
% Aplicacion Ley Fourier
Qx = -Tx; Qy = -Ty;
Qx(~region) = NaN; Qy(~region) = NaN;
SuperficieTemp = Temperatura;
% Graficas
contour3(X, Y, SuperficieTemp, 35);
hold on;
quiver3(X, Y, SuperficieTemp, Qx, Qy, zeros(size(Qx)), 'r');
% Asiganación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, 0, 1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Temperatura T(x, y)')
title('Curvas de Nivel y Flujo de Energía')
colorbar
grid on
hold off
view(2)
}}

==Temperatura Maxima==

[[Archivo:DireccionMaxima.png|thumb|500px|DireccionMaxima]]
{{matlab | codigo=% Datos y Región
h = 1/50;
x =-1:h:1;
y = 0:h:3;
[X,Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Cálculo de la Temperatura
Temperatura = (1 - X.^4) .* (1/2 - Y);
% Derivadas Parciales y Gradiente
DerivadaX = (-4*X.^3).* (1/2 - Y);
DerivadaY = -(1-X.^4);
gradiente = sqrt(DerivadaX.^2 + DerivadaY.^2);
% Punto Maximo Gradiente
[MaximoGradiente, XX] = max(gradiente(:));
[MaximaX, MaximaY] = ind2sub(size(gradiente), XX);
PuntoMaximo = [X(MaximaX, MaximaY), Y(MaximaX, MaximaY)];
figure;
hold on;
% Direccion Gradiente
X2 = X(1:5:end, 1:5:end);
Y2 = Y(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaX2 = DerivadaX(1:5:end, 1:5:end);
DerivadaY2 = DerivadaY(1:5:end, 1:5:end);
% Grafico Gradiente y Punto Maximo
quiver3(X2, Y2, Z(1:5:end, 1:5:end), DerivadaX2, DerivadaY2, zeros(size(DerivadaX2)), 'LineWidth', 1, 'MaxHeadSize', 1);
plot3(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2);
text(PuntoMaximo(1), PuntoMaximo(2), 0, sprintf(' %.2f', MaximoGradiente));
% Configuración de los Ejes y la Vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3.1, -1, 1]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Mallado de la Superficie y Dirección de Máxima Variación de Temperatura')
grid on
hold off
}}

==Campos de Desplazamientos==

[[Archivo:CamposDesplazamiento.png|thumb|500px|CamposDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
Z = zeros(size(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamientos
u = (X.*Y) / 10;
v = -(Y.*X.^2) / 10;
% Grafica Campos Desplazamientos
figure;
mesh(X, Y, Z);
hold on
quiver3(X, Y, Z, u, v, zeros(size(u)), 2, 'r');
% Asignación ejes y vista
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3, -0.5, 0.5]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Campo de Desplazamientos')
view(2)
grid on
hold off
}}

== Desplazamiento dado por el Campo de Vectores==

[[Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png|thumb|600px|AntesDespuesDesplazamiento]]
{{matlab | codigo=
% Datos y Región
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
h = 1/10;
f = @(x) 2 + x.^2 ;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Campo Desplazamiento
U = @(x, y) (x .* y)/10;
V = @(x, y) (-y .* x.^2)/10;
% Puntos iniciales
X0 = X;
Y0 = Y;
% Puntos Desplazados
XX = X0 + U(X0, Y0);
YY = Y0 + V(X0, Y0);
figure
% Graficar la placa antes del desplazamiento
subplot(1, 2, 1)
hold on
mesh(X,Y,zeros(size(X)))
title('Placa antes del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
% Graficar la placa después del desplazamiento
subplot(1, 2, 2)
hold on
mesh(XX,YY,zeros(size(X)))
title('Placa después del desplazamiento')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
grid on
}}

==Divergencia==

La divergencia de un campo vectorial en 2D está dada por: <math>\vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} </math>

Donde el campo vectorial es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x(x, y) \hat{i} + u_y(x, y) \hat{j} </math>

En este caso, el vector de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = (xy \hat{i} - yx^2 \hat{j})/10</math>

Entonces tenemos:
<math>u_x(x, y) = xy/10</math>
<math>u_y(x, y) = -yx^2/10</math>

Para calcular la divergencia, necesitamos las derivadas parciales:

<math>\frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\partial (xy)}{\partial x} = y/10</math>

<math>\frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{\partial (-yx^2)}{\partial y} = -x^2/10</math>

Entonces, la divergencia es: <math>\nabla \cdot \vec{u}(x, y) = y - x^2/10</math>

[[Archivo:DivergenciaPlacaa.png|500px|thumb|DivergenciaPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
f = @(x) 2 + x.^2;
[X, Y] = meshgrid(x,y);
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Divergencia de u(x, y)
Divergencia = (Y - X.^2)/10;
% Grafica de la divergencia
figure;
surf(X, Y, Divergencia);
% Asiganación ejes y vista
title('Divergencia de U en t = 0')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
axis([-2, 2, 0, 3])
view(2)
colorbar
}}

==Rotacional==

[[Archivo:RotacionalPlaca.png|450px|thumb|RotacionalPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Rotacional calculado
Rotacion = (X.*(2.*Y+1))/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X,Y,Rotacion)
title("Rotacional en t=0")
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones Normales==
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensiones Normales
TensionI=(3*Y-X.^2)/10;
TensionJ=(Y-3*X.^2)/10;
TensionK=(Y-X.^2)/10;
% Configuración de la gráfica I
figure(1)
surf(X,Y,TensionI)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje i')
% Configuración de la gráfica J
figure(2)
surf(X,Y,TensionJ)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje j')
% Configuración de la gráfica K
figure(3)
surf(X,Y,TensionK)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tension eje k')
}}
[[Archivo:TensionesNormalesI.png|315px|TensionesNormalesI]][[Archivo:TensionesNormalesJ.png|315px|TensionesNormalesJ]][[Archivo:TensionesNormalesK.png|315px|TensionesNormalesK]]

==Tensiones Tangenciales==

[[Archivo:TensionesTangencialesPlaca.png|410px|thumb|TensionesTangencialesPlaca]]
{{matlab|codigo=
% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Tensión
tension=(X-2.*X.*Y)/10;
% Asiganación ejes y vista
figure
quiver(X,Y,tension,tension*0)
view(2)
axis equal
title('Tensiones tangenciales')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Von Mises==

% Datos y Región
h = 1/10;
x = -1:h:1;
y = 0:h:3;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
f = @(x) 2+x.^2;
Region = (Y <= f(X));
X(~Region) = NaN;
Y(~Region) = NaN;
% Valores
Valor1 = zeros(length(y), length(x));
Valor2 = zeros(length(y), length(x));
Valor3 = zeros(length(y), length(x));
for i = 1:length(x)
for j = 1:length(y)
T_ij =[(-3*Y(j,i))/25 - 1/25, (4*(2 - X(j,i)))/25, 0; (4*(2 - X(j,i)))/25, (-Y(j,i) - 2)/25, 0; 0, 0, 0];
AVs = eig(T_ij);
Valor1(j, i) = AVs(1);
Valor2(j, i) = AVs(2);
Valor3(j, i) = AVs(3);
end
end
%Tensión de Von Mises
VonMises = sqrt(((Valor1 - Valor2).^2 + (Valor2 - Valor3).^2 + (Valor3 - Valor1).^2) / 2);
% Asiganación ejes y vista
figure
surf(X, Y, VonMises)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Von Mises')
title('Tensión de Von Mises')
% Calculo y Representación Punto Maximo Valor
[TensionMaxima, XX] = max(VonMises(:));
[N, M] = ind2sub(size(VonMises), XX);
XMaxima = X(N, M);
YMaxima = Y(N, M);
hold on
scatter3(XMaxima, YMaxima, TensionMaxima, 100, 'r', 'filled');
disp(['Valor máximo de la tensión: ', num2str(TensionMaxima)])
disp(['Coordenadas del valor máximo: (x, y) = (', num2str(XMaxima), ', ', num2str(YMaxima), ')'])
}}

==Campo de Fuerzas==
==Masa==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Archivo:AntesDespuesDesplazamientoo.png

2024-12-08T12:40:36Z

Jose Andres Bello Amado:

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T12:40:23Z

Jose Andres Bello Amado: /* Desplazamiento dado por el Campo de Vectores */

Placa plana Grupo 41

2024-12-08T12:07:44Z

Jose Andres Bello Amado: